Direccin General de Educacin Superior TecnolgicaInstituto Tecnolgico de LermaIngeniera en MecatrnicaQumicaLectura 1:Teora Cuntica y Estructura AtmicaFacilitadorMC ngel Ancona Ordaz1

INDICE Pginas Introduccin 1.1 El tomo y sus partculas subatmicas. 1..2 Radiactividad. 1.2 Base experimental de la teora cuntica. 1.2.1 Teora ondulatoria de la luz. 1.2.2 Radiacin del cuerpo negro y teora de Planck. 1.2.3 Efecto fotoelctrico. 1.2.4 Espectros de emisin y series espectrales. 1.3 Teora atmica de Bohr. 1.3.1 Teora atmica de Bohr-Sommerfeld. 1.4 Teora cuntica. 1.4.1 Principio de dualidad. Postulado de De Broglie. 1.4.2 Principio de incertidumbre de Heisenberg. 1.4.3Ecuacin de onda de Schrdinger. 1.4.3.1 Significado fsico de la funcin de onda 2. 1.4.3.2 Nmeros cunticos y orbitales atmicos. 1.5 Distribucin electrnica en sistemas polielectrnicos. 1.5.1 Principio de Aufbau o de construccin. 1.5.2 Principio de exclusin de Pauli. 1.5.3 Principio de mxima multiplicidad de Hund. 1.5.4 Configuracin electrnica de los elementos y su ubicacin en la clasificacin peridica. 1.5.5 Principiosde Radiactividad 1.6 Aplicaciones tecnolgicas de la emisin electrnica de los tomos.Bibliografas 69 72 75 76 ...3 4 8 10 14 16 19 ..24 27 32 41 45 42

IntroduccinLa qumica es el estudio de la materia y los cambios que ocurren en ella. Es frecuente que se le considere como la ciencia central, ya que los conocimientos bsicosde qumica son indispensables para los estudiantes de biologa, fsica, geologa, ecologa .y muchas otras disciplinas. De hecho, la qumica es parte central de nuestro estilo de vida; a falta de ella, nuestra vida sera ms breve en lo que llamaramos condiciones primitivas, sin automviles, electricidad, computadoras, discos compactosni muchas otras comodidades modernas. Aunque la qumica es una ciencia antigua, sus fundamentos modernos se remontan al siglo XIX, cuando los adelantos intelectuales y tecnolgicos permitieron que los cientficos separaran sustancias en sus componentes y, por lo tanto, explicaran muchas de sus caractersticas fsicas y qumicas. El desarrollo acelerado de tecnologa cada vez ms refinada durante el siglo XX nos ha brindado medios cada vez mayores para estudiar lo que es inapreciable a simplevista. El uso de las computadoras y microscopios especiales, por citar un ejemplo, permite que los qumicos analicen la estructura de los tomos y las molculas -lasunidades fundamentales en las que se basa el estudio de la qumica- y diseen nuevas sustancias con propiedades especficas, como frmacos y productos de consumo no contaminantes. En este principio del siglo XXI conviene preguntarse qu funcin tendr la ciencia central en esta centuria. Es casi indudable que la qumica mantendr una funcin fundamental en todas las reas de la ciencia y la tecnologa. Antes de profundizar en el estudio de la materia y su transformacin, consideremos algunas fronteras que los qumicos exploran actualmente. Sin importar las razones por las que el estudiante tome un curso de introduccin a la qumica, el conocimiento adecuado de esta disciplina le permitir apreciar sus efectos en la sociedad y en su propia persona.3

1.1 EL TOMO Y SUS PARTCULAS SUBATMICAS. Desde pocas remotas, los humanos se han interesado por la naturaleza de la materia. Las ideas modernas sobre la estructura de la materia se basan en la teora atmica de Dalton, de principios del siglo XIX. En la actualidad se sabe que toda la materia est formada por tomos, molculas e iones. La qumica siempre se relaciona, de una u otra forma, con estas especies. En elsiglo v a.c. el filsofo griego Demcrito expres la idea de que toda la materia estaba formada por muchas partculas pequeas e indivisibles que llam tomos (que significaindestructible o indivisible). A pesar de que la idea de Demcrito no fue aceptadapor muchos de sus contemporneos (entre ellos Platn y Aristteles), sta se mantuvo. Las evidencias experimentales de algunas investigaciones cientficas apoyaron el concepto del "atomismo", lo que condujo, de manera gradual, a las definiciones modernas de elementos y compuestos. En 1808, un cientfico ingls, el profesor John Dalton, formul una definicin precisa de las unidades indivisibles con las que est formada la materia y que llamamos tomos. El trabajo de Dalton marc el principio de laera de la qumica moderna. Las hiptesis sobre la naturaleza de la materia, en las que se basa la teora atmica de Dalton, pueden resumirse como sigue: 1. Los elementos estn formados por partculas extremadamente pequeas llamadas tomos. 2. Todos los tomos de un mismo elemento son idnticos, tienen igual tamao, masa y propiedades qumicas. Los tomos de un elemento son diferentes a los tomos de todos los dems elementos.3. Los compuestos estn formados por tomos de ms de un elemento. En cualquier compuesto, la relacin del nmero de tomos entre dos de los elementos presentes siempre esun nmero entero o una fraccin sencilla. 4. Una reaccin qumica implica slo la separacin, combinacin o reordenamiento de los tomos; nunca supone la creacin o destruccin delos mismos. En la figura 1 se muestra una representacin esquemtica de las tres ltimas hiptesis.4

Figura 1: a) De acuerdo con la teora atmica de Dalton, los tomos del mismo elementoson idnticos, pero los tomos de un elemento son distintos de los tomos de otros. b) Compuesto formado por tomos de los elementos X y Y En este caso, la proporcin delos tomos del elemento X con respecto a la del elemento Y es de 2: 1. Obsrvese que la reaccin qumica produce slo un reordenamiento de tomos, no su destruccin o creacin.El concepto de Dalton sobre un tomo es mucho ms detallado y especfico que el concepto de Demcrito. La segunda hiptesis establece que los tomos de un elemento son diferentes de los tomos de todos los dems elementos. Dalton no intent describir la estructura o composicin de los tomos. Tampoco tena idea de cmo era un tomo, pero se dio cuenta de que la diferencia en las propiedades mostradas por elementos como el hidrgeno y el oxgeno, slo se puede explicar a partir de la idea de que los tomos de hidrgeno son diferentes de los tomos de oxgeno. La tercera hiptesis sugiere que para formar determinado compuesto no slo se necesitan los tomos de los elementos correctos, sino que es indispensable un nmero especfico de dichos tomos. Esta idea es unaextensin de una ley publicada en 1799 por el qumico francs Joseph Proust. La estructura del tomo. Con base en la teora atmica de Dalton, un tomo se define como la unidad bsica de un elemento que puede intervenir en una combinacin qumica. Dalton describi un tomo como una partcula extremadamente pequea e indivisible. Sin embargo, unaserie de investigaciones iniciadas alrededor de 1850, y que continuaron hasta elsiglo XX, demostraron claramente que los tomos tienen una estructura interna, esdecir, que estn formados por partculas an ms pequeas,5

llamadas partculas subatmicas. Estas investigaciones condujeron al descubrimientode tres partculas: electrones, protones y neutrones. El electrn. Los electrones son estables y forman la envoltura del tomo, su masa es prcticamente nula (9.11 x 10-28g o 1/1830 la masa de un tomo de hidrgeno). El protn. Es estable y forma parte del ncleo de todos los tomos; su carga elctrica es positiva y su masa es de 1.67 x 10 -24g. El Neutrn. Junto con los protones, los neutrones constituyen el ncleo de los tomos, debido a esto a ambas partculas se les llama nucleones. Los neutrones notienen carga elctrica y su masa es ligeramente mayor a la del protn (1.675 x 10-24g).Partcula Electrn Protn NeutrnLocalizacin Envoltura Ncleo NcleoCarga elctrica Negativa Positiva NeutraSmbolo eP+ nTodos los tomos se pueden identificar por el nmero de protones y neutrones que contienen. El nmero atmico (Z) es el nmero de protones en el ncleo del tomo de un elemento. En un tomo neutro el nmero de protones es igual al nmero de electrones,6

de manera que el nmero atmico tambin indica el nmero de electrones presentes en un tomo. La identidad qumica de un tomo queda determinada por su nmero atmico. Por ejemplo, el nmero atmico del flor es 9. Esto significa que cada tomo de flor tiene 9 protones y 9 electrones. O bien, visto de otra forma, cada tomo en el universo que contenga 9 protones se llamar de manera correcta "flor". El nmero de masa (A) es el nmero total de neutrones y protones presentes en el ncleo de un tomo de un elemento. Con excepcin de la forma ms comn del hidrgeno, que tiene un protn y no tiene neutrones, todos los ncleos atmicos contienen tanto protones como neutrones. En general, elnmero de masa est dado por nmero de masa = nmero de protones + nmero de neutrones =nmero atmico + nmero de neutrones El nmero de neutrones en un tomo es igual a la diferencia entre el nmero de masa y el nmero atmico (A - Z). Por ejemplo, el nmero de masa del flor es 19 y su nmero atmico es 9. As, el nmero de neutrones en un tomo de flores 19 - 9 = 10. Observe que el nmero atmico, el nmero de neutrones y el nmero de masa deben ser enteros positivos. No todos los tomos de un elemento determinado tienen la misma masa. La mayora de los elementos tiene dos o ms istopos, tomos que tienen el mismo nmero atmico pero diferente nmero de masa. Por ejemplo, existen tres istopos de hidrgeno. Uno de ellos, que se conoce como hidrgeno, tiene un protn y no tiene neutrones. El istopo llamado deuterio contiene un protn y un neutrn, y el tritiotiene un protn y dos neutrones. La forma aceptada para denotar el nmero atmico y el nmero de masa de un elemento (X) es como sigue:7

1.1.1 RAYOS CATDICOS Y RAYOS ANDICOS. En la dcada de 1890, muchos cientficos estabaninteresados en el estudio de la radiacin, la emisin y transmisin de la energa a travs del espacio en forma de ondas. La informacin obtenida por estas investigacionescontribuy al conocimiento de la estructura atmica. Para investigar este fenmeno seutiliz un tubo de rayos catdicos, precursor de los tubos utilizados en los televisores. Consta de un tubo de vidrio del cual se ha evacuado casi todo el aire. Sise colocan dos placas metlicas y se conectan a una fuente de alto voltaje, la placa con carga negativa, llamada ctodo, emite un rayo invisible. Este rayo catdicose dirige hacia la placa con carga positiva, llamada nodo, que pasa por una perforacin y contina su trayectoria hasta el otro extremo del tubo. Cuando dicho rayo alcanza la superficie, recubierta de una manera especial, produce una fuerte fluorescencia o luz brillante.Figura 2: Tubo de rayos catdicos con un campo elctrico perpendicular a la direccinde los rayos catdicos y un campo magntico externo. Los smbolos N y S denotan los polos norte y sur del imn. Los rayos catdicos golpearn el extremo del tubo en el punto A en presencia de un campo magntico, en el punto C en presencia de un campo elctrico y en el punto B cuando no existan campos externos presentes o cuando los efectos del campo elctrico y del campo magntico se cancelen mutuamente.En algunos experimentos se colocaron, por fuera del tubo de rayos catdicos, dos placas cargadas elctricamente y un electroimn. Cuando se conecta el campo8

magntico y el campo elctrico permanece desconectado, los rayos catdicos alcanzan elpunto A del tubo. Cuando est conectado solamente el campo elctrico, los rayos llegan al punto C. Cuando tanto el campo magntico como el elctrico estn desconectados,o bien cuando ambos estn conectados pero se balancean de forma que se cancelan mutuamente, los rayos alcanzan el punto B. De acuerdo con la teora electromagntica,un cuerpo cargado, en movimiento, se comporta como un imn y puede interactuar con los campos magnticos y elctricos que atraviesa. Debido a que los rayos catdicos son atrados por la placa con carga positiva y repelidos por la placa con carga negativa, deben consistir en partculas con carga negativa. Actualmente, estas partculas con carga negativa se conocen como electrones. En la figura 3 se muestra el efecto de un imn sobre los rayos catdicos.Figura 3: Rayo catdico producido en un tubo de descarga. El rayo en s mismo es invisible, pero la fluorescencia de un recubrimiento de su fluoruro de zinc en el cristal provoca su apariencia verdosa. b) El rayo catdico se inclina hacia abajo cuando se le acerca el polo norte del imn. e) Cuando la polaridad del imn se invierte, el rayo se inclina hacia la direccin opuesta.El fsico ingls J. J. Thomson4 utiliz un tubo de rayos catdicos y su conocimiento dela teora electromagntica para determinar la relacin entre la carga elctrica y la masa de un electrn. El nmero que obtuvo fue de - 1.76 X 108 C/g, en donde C corresponde a coulombs, la unidad de carga elctrica. Ms tarde, entre 1908 y 1917, R. A. Millikan5 llev a cabo una serie de experimentos para medir la carga del electrn con gran precisin. Su trabajo demostr que la carga de cada electrn era exactamente la misma. En su experimento, Millikan analiz el movimiento de minsculas gotas de aceiteque adquiran carga esttica a partir de los iones del aire. Suspenda en el aire9

las gotas cargadas mediante la aplicacin de un campo elctrico y segua su movimientocon un microscopio. Al aplicar sus conocimientos sobre electrosttica, Millikan encontr que la carga de un electrn es de - 1.6022 X 10- 19 C. A partir de estos datos calcul la masa de un electrn: masa de un electrn = carga/carga/masa = -l.6022 X10-19 C / -1.76 X 108 C/g = 9.10 X 10-28 g Que es un valor de masa extremadamente pequeo.1.1.2 RADIACTIVIDAD. En 1895, el fsico alemn Wilhelm Rontgen6 observ que cuando losrayos catdicos incidan sobre el vidrio y los metales, hacan que stos emitieran unosrayos desconocidos. Estos rayos muy energticos eran capaces de atravesar la materia, oscurecan las placas fotogrficas, incluso cubiertas, y producan fluorescenciaen algunas sustancias. Debido a que estos rayos no eran desviados de su trayectoria por un imn, no podan contener partculas con carga, como los rayos catdicos. Rontgen les dio el nombre de rayos X, por su naturaleza desconocida. Poco despus deldescubrimiento de Rontgen, Antoine Becquerel, profesor de fsica en Pars, empez a estudiar las propiedades fluorescentes de las sustancias. Accidentalmente encontr que algunos compuestos de uranio oscurecan las placas fotogrficas cubiertas, incluso en ausencia de rayos catdicos. Al igual que los rayos X, los rayos provenientesde los compuestos de uranio resultaban altamente energticos y no los desviaba unimn, pero diferan de los rayos X en que se emitan de manera espontnea. Marie Curie,discpula de Becquerel, sugiri el nombre de radiactividad para describir esta emisin espontnea de partculas o radiacin. Desde entonces se dice que un elemento es radiactivo si emite radiacin de manera espontnea. La desintegracin o descomposicin de las sustancias radiactivas, como el uranio, produce tres tipos de rayos diferentes. Dos de estos rayos son desviados de su trayectoria por placas metlicas con cargas opuestas (figura 4). Los rayos alfa ()10

const n de partculas cargadas positivamente, llamadas partculas , que se apartan de la placa con carga positiva. Los rayos beta () , o partculas , son electrones y se alejan de la placa con carga negativa. Un tercer tipo de radiacin consta de rayos de alta energa, llamados rayos gamma ( ). Al igual que los rayos X, los rayosnopresentan carga y no les afecta un campo externo.Figura 4: Tres tipos de rayos emitidos por elementos radiactivos. Los rayos consisten en partculas con carga negativa (electrones), y por ende son atrados hacia la placa con carga positiva. Por lo contrario, los rayos tienen carga positiva yson atrados hacia la placa con carga negativa. Debido a que los rayos no tienen carga alguna, su trayectoria no se ve alterada por un campo elctrico externo. Espectro electromagntico La radiacin electromagntica recibe diferentes nombres, y vara desde los energticos rayos gamma (con una longitud de onda del orden de picmetros)hasta las ondas de radio (longitudes de onda del orden de kilmetros), pasando porel espectro visible (cuya longitud de onda est en el rango de las dcimas de micrmetro). El rango completo de longitudes de onda es lo que se denomina el espectroelectromagntico.11

El espectro visible es un minsculo intervalo que va desde la longitud de onda correspondiente al color violeta (aproximadamente 400 nanmetros) hasta la longitud de onda correspondiente al color rojo (aproximadamente 700 nm). De mayor a menorenerga transportada por el fotn, las radiaciones electromagnticas se clasifican ensiete mbitos o regiones: Gamma: los que transportan ms energa, emitidos por ncleos atmicos. Rayos X: emitidos por electrones de los tomos, los usamos para hacer radiografas. Ultravioleta: an muy energticos, capaces de producir cncer en la piel. Visible: de energa intermedia, capaz de estimular el ojo humano. Infrarrojo: responsables de bronceado de la piel y de la sensacin de calor. Microonda: usados en el radar, telecomunicaciones y para calentar los alimentos. Radio: los de menor energa, las usamos en las transmisiones de radio y televisin.Figura 5: Diagrama del espectro electromagntico, mostrando el tipo, longitud de onda con ejemplos, frecuencia y temperatura de emisin de cuerpo negro.Propiedades ondulatorias.- La radiacin electromagntica tiene una componente elctrica y una componente magntica. nicamente la componente elctrica es activa al interaccionar con la materia, por lo que nicamente sta ser considerada en el fenmeno de absorcin de la radiacin.12

Figura 6: Componente elctrica y magntica de la radiacin. Absorcin y emisin de la radiacin.- La radiacin electromagntica puede interactuar con la materia de diferentes maneras. Si el haz de radiacin transfiere energa a la materia se dice que ocurre una absorcin de la radiacin. El proceso inverso, el que ocurre cuando parte de la energa interna de la materia es convertida en energa radiante, se llama proceso de emisin. Ambos fenmenos son sumamente importantes en espectroscopia. Absorcin de la radiacin. Cuando la radiacin pasa a travs de una capa transparente de un slido, lquidoo gas, ciertas frecuencias pueden ser selectivamente removidas a travs de un proceso de absorcin. Durante dicho proceso la radiacin electromagntica es transferidaa los tomos o molculas que se encuentran en la muestra; el resultado es que estaspartculas son promovidas desde el estado basal hasta estados de mayor energa o estados excitados. Los tomos, iones o molculas disponen de un nmero limitado de niveles energticos, los cuales estn cuantizados. Para que ocurra la absorcin de un ciertotipo de radiacin, cada fotn incidente deber ser de una energa exactamente igual a la diferencia energtica entre el estado basal y alguno de los estados excitados dela especie absorbente. Dado que esas diferencias en energa son nicas para cadaespecie, un estudio de las frecuencias de radiacin que son absorbidas por un tomo,ion o molcula, proporcionar las caractersticas especficas de la entidad qumica en13

estudio. Para esto lo que generalmente se hace es graficar Absorbencia contra longitud de onda. Al grfico Obtenido de esta manera se le llama ESPECTRO DE ABSORCIN. Este espectro es nico para cada elemento o entidad qumica y podemos decir que dicha grfica es la huella dactilar de la especie considerada. La apariencia de un espectro depende de la complejidad, estado fsico y entorno de la especie absorbente. Existen dos tipos de espectros: el que est asociado a la absorcin en tomos y elque resulta de la absorcin por molculas.1.2 BASE EXPERIMENTAL DE LA TEORA CUNTICA. De acuerdo con el modelo de Rutherford,un tomo consiste en un ncleo muchas veces menor que el tomo mismo, con electronesque ocupan el espacio restante. Cmo estn distribuidos los electrones en este espacio? debemos preguntar, qu estn haciendo los electrones en el tomo? La respuesta vinode un rea inesperada: el estudio de las flamas coloridas. Cuando los compuestos metlicos arden en una flama, emiten colores brillantes (figura l). Los colores espectaculares de los fuegos artificiales se deben a la combustin de compuestos metlicos. Los compuestos de litio y de estroncio dan un color rojo oscuro; los compuestos de bario, un color verde; y los compuestos de cobre, un azul verdoso. Aunque las flamas rojas del litio y del estroncio parecen ser similares, la luz de cada uno se puede resolver (por separado) por medio de un prisma, en colores marcadamente diferentes. Esta resolucin distingue con facilidad los dos elementos. Unprisma dispersa los colores de la luz blanca de la misma forma en que las pequeasgotas de lluvia dispersan los colores de la luz del Sol en el arco iris o espectro. Pero la luz que proviene de una flama, cuando pasa a travs de un prisma, revela algo ms que el arco iris. En lugar de una gama continua de color del rojo, alamarillo, al violeta, el espectro de 1 flama de estroncio, por ejemplo, muestraun grupo de lneas rojas y lneas azules contra un fondo negro. El espectro del litio es diferente, muestra una lnea roja, una amarilla y dos lneas azules contra unfondo negro. Cada elemento, en realidad tiene un espectro caracterstico de lneas debido a la emisin de luz de los tomos gaseosos calientes. El espectro puede ser utilizado para14

identificar los elementos. Cmo que cada tomo emite colores especficos de luz? Qu haceun espectro de lneas al hablarnos acerca de la estructura de un tomo? Si se sabe algo de las estructuras de los tomos, podra explicarse la formacin de iones y molculas? La teora actual de la estructura electrnica de los tomos, empez con una explicacinde la luz colorida producida en los gases calientes de ellos y en sus flamas.Figura 7: Pruebas a la llama de los elementos de los grupos IA y IIA. Un asa dealambre que contiene una muestra del compuesto de un metal se coloca en una flama. De izquierda a derecha: flamas de litio (rojo), sodio (amarillo), estroncio (rojo), y calcio (naranja).De la Fsica clsica a la teora cuntica: Los intentos de los fsicos del siglo XIX paraentender tomos y molculas se encontraron con xitos muy limitados. Considerando quelas molculas se comportan como pequeas pelotas botadoras, los primeros fsicos fueron capaces de predecir y explicar algunos, fenmenos macroscpicos, tales como la presin ejercida por un gas. Sin embargo, el mismo modelo no fue capaz de descifrar la estabilidad de las molculas; esto es, no pudo interpretar las fuerzas que mantienen a los tomos unidos. Tom mucho tiempo dar cuenta y an ms aceptarlo; que las propiedades de los tomos y molculas no estn gobernadas por las mismas leyes que funcionan tan bien para objetos grandes.15

Todo empez en los aos 1900 con un joven fsico alemn llamado Max Planck, Mientras analizaba los datos de la radiacin emitida por slidos calentados a varias temperaturas, Planck descubri que los tomos y molculas emiten energa nicamente en nmeros enterosmltiples de ciertas cantidades bien definidas. Los fsicos siempre haban consideradoque la energa es continua, lo que significa que cualquier cantidad de energa se puede liberar en un proceso de radiacin. El trabajo de Planck, sin embargo, mostr que la energa se puede liberar slo en ciertas cantidades definidas, llamadas cuantos. La teora cuntica resultante puso a la fsica de cabeza. Inicialmente la comunidadcientfica recibi el trabajo de Planck con escepticismo. La idea era tan revolucionaria que el mismo Planck no estaba convencido del todo de su validez; pas aos buscando formas alternativas de explicar los hallazgos experimentales. Eventualmente, sin embargo, la comunidad cientfica lleg a aceptar la teora cuntica, y la Fsica yanunca fue la misma. En el desarrollo de la ciencia, un descubrimiento experimental importante o la formulacin de una teora relevante a menudo da lugar a una avalancha de actividad. As, en los treinta aos que siguieron a la introduccin de la teora cuntica de Planck, no slo fluy la investigacin que trasform la Fsica sino tambin slter el concepto de la naturaleza misma. Para entender la teora cuntica de Planck,se requiere conocer primero algo acerca de la naturaleza de la radiacin, que es la emisin y transmisin de energa a travs del espacio en forma de ondas.1.2.1 TEORIA ONDULATORIA DE LA LUZ Propiedades de las ondas: Una onda se puede considerar como una perturbacin vibracional por medio de la cual se trasmite la energa. La velocidad de la onda depende del tipo de onda y de la naturaleza del medio a travs del cual viaja. Las propiedades fundamentales de una onda se pueden mostrar tomando un ejemplo familiar: las ondas de agua. Las ondas de agua se generan por diferencias en la presin de la superficie del agua en varias regiones. Sise observa en forma cuidadosa el movimiento de la onda de agua a16

medida que afecta el movimiento, se encuentra que es de carcter peridico; esto es,la forma de la onda se repite a s misma en intervalos regulares. La distancia entre puntos idnticos en ondas sucesivas se llama longitud de onda (, lambda). La frecuencia (, nu) de la onda es el nmero de onda que pasa a travs de un punto especfico en un segundo, En este caso, la frecuencia corresponde al nmero de veces por segundo que se completa un ciclo con movimientos ascendente descendente. La amplitud es la distancia vertical de la lnea media de la onda a la cresta o al valle. La figura 2 muestra dos ondas que tienen la misma amplitud pero diferentes longitudes de onda y frecuencias.Figura 8: Dimensiones de la onda.Una propiedad importante de una onda que viaja a travs del espacio es su velocidad. La velocidad de una onda depende del nmero de ciclos de la onda que pasa a travs de un punto dado por segundo (esto es, de la frecuencia) y de la longitud de onda. De hecho, la velocidad de una onda (u) est dada por el producto de su longitud de onda y su frecuencia: u = La precisin implcita en esta ecuacin se puede apreciar analizando las dimensiones fsicas involucradas en los tres trminos. La longitudde onda () expresa la longitud de una onda o distancia/onda. La frecuencia () indica el nmero de estas ondas que17

atraviesan cualquier punto de referencia por unidad de tiempo, u ondas/tiempo. As, del producto de estos trminos resultan dimensiones de distancia/tiempo, la cuales velocidad: (distancia/ondas) (onda/tiempo) = distancia/tiempo x = uLas longitudes de onda comnmente se expresan en metros, centmetros o nanmetros, y la frecuencia se mide en hertz (Hz), donde: 1 Hz = 1 ciclo/s La palabra "ciclo" se puede eliminar y la frecuencia se expresa, por ejemplo, en 25/s (que se lee como "25 por segundo"). Ejemplo: Calclese la velocidad de una onda cuya longitud deonda y frecuencia son 17.4 cm y 87.4 Hz, respectivamente. Respuesta: u = 17.4 cm x 87.4 Hz = 17.4 cm x 87.4/s = 1.52 x 103 cm/s Radiacin electromagntica: La radiacin, como se dijo antes, es la emisin y transmisin de energa a travs del espacio enforma de ondas. Hay muchas clases de ondas, tales como ondas de agua, ondas sonoras y ondas de luz. En 1873 James Maxwell demostr tericamente que la luz visible consta de ondas electromagnticas. De acuerdo con la teora de Maxwell, una onda electromagntica tiene por componentes un campo elctrico y un campo magntico. Estos doscomponentes tienen la misma longitud de onda y frecuencia, y en consecuencia lamisma velocidad; pero viajan en planos mutuamente perpendiculares. La relevanciade la teora de Maxwell estriba en que proporciona una descripcin matemtica del comportamiento general de la luz. En particular, su modelo describe con exactitud cmo se puede propagar la energa en forma de radiacin a travs del espacio en forma devibracin de campos elctrico y magntico. Se sabe que la luz se comporta como radiacinelectromagntica, que es la emisin de energa en forma de ondas Electromagnticas. Unacaracterstica comn de las ondas electromagnticas es la velocidad a la cual viajan:3.00 x 108 metros por segundo, o 186 000 millas por segundo, que es la18

velocidad de la luz en el vaco. A pesar de que la velocidad difiere de un medio aotro, las variaciones son lo suficientemente pequeas para que se pueda usar 3.00x 10 8 m/s como la velocidad de la luz en los clculos. Por convencin, se usa el smbolo c para la velocidad de la luz.Figura 9: Componentes de la onda electromagntica.Ejemplo: La longitud de onda de la luz verde de un semforo se centra en 522 nm. Cules la frecuencia de esta radiacin? Respuesta: v = c/ Dado que se est trabajando con ondas electromagnticas, se sustituye u por c, cuyo valor es 3.00 x 108 m/s. Recordando que 1 nm = 1 X 10-9 mts. = (3.00 x 108 m/s) / 522 nm (1 x 10-9 m/1 nm) =5.75 x 1014 s Las radiaciones electromagnticas difieren entre s en velocidad y frecuencia. Las ondas largas de radio se emiten por grandes antenas como las que usan las radiodifusoras. Las longitudes de onda visibles ms cortas son producidaspor el movimiento de electrones dentro de los tomos y las molculas. Las ondas de mnima19

longitud, que tambin tienen la mxima frecuencia, son aquellas asociadas con los rayos gamma (), las cuales resultan de cambios en el interior del ncleo del tomo. Mientras mayor sea la frecuencia, mayor energa tendr la radiacin. As, la radiacin ultravioleta, los rayos X y los rayos son radiaciones de alta energa.1.2.2 RADIACIN DEL CUERPO NEGRO Y TEORA DE PLANCK. El trmino radiacin se refiere a la emisin continua de energa desde la superficie de cualquier cuerpo, esta energa sedenomina radiante y es transportada por las ondas electromagnticas que viajan enel vaco a la velocidad de 3x 108 m/s. Las ondas de radio, las radiaciones infrarrojas, la luz visible, la luz ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma, constituyen las distintas regiones del espectro electromagntico. Propiedades de la superficie de un cuerpo: Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energa radiante, tanto desde el interior como desde el exterior, la que incide desdeel exterior procede de los objetos que rodean al cuerpo. Cuando la energa radiante incide sobre la superficie una parte se refleja y la otra parte se transmite.Consideremos la energa radiante que incide desde el exterior sobre la superficiedel cuerpo. Si la superficie es lisa y pulimentada, como la de un espejo, la mayor parte de la energa incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie delcuerpo y es absorbido por sus tomos o molculas. Si r es la proporcin de energa radiante que se refleja, y a la proporcin que se absorbe, se debe de cumplir que r + a= 1.Figura10: Energa radiante en los cuerpos.20

La misma proporcin r de la energa radiante que incide desde el interior se reflejahacia dentro, y se transmite la proporcin a = 1 - r que se propaga hacia afueray se denomina por tanto, energa radiante emitida por la superficie. En la figura5, se muestra el comportamiento de la superficie de un cuerpo que refleja una pequea parte de la energa incidente. Las anchuras de las distintas bandas corresponden a cantidades relativas de energa radiante incidente, reflejada y transmitida atravs de la superficie.Figura 11: Comportamiento de la energa radiante en un cuerpo absorbente.Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiacin es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. Tambin podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor. Una aplicacin prctica est en los termos utilizados para mantener la temperatura de los lquidos como elcaf. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habindose vaciado de aire el espacio entre dichas paredes para evitar las prdidas por conduccin y conveccin. Para reducir las prdidas por radiacin, se cubren las paredes con una lmina de plata que es altamente reflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiacin. El cuerpo negro. La superficie de un cuerpo negro es un caso lmite, en el que toda la energa incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energa incidente desde el interior es emitida.21

Figura 12: Comportamiento de un cuerpo negro en la emisin de energa radiante.No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo refleja el1% de la energa incidente. Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir con gran aproximacin por una cavidad con una pequea abertura. La energa radiante incidente a travs de la abertura, es absorbida por las paredes en mltiples reflexiones y solamente una mnima proporcin escapa (se refleja) a travs de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la energa incidente es absorbida.Figura 13: Caractersticas de un cuerpo negro simulado.La radiacin del cuerpo negro. Consideremos una cavidad cuyas paredes estn a una cierta temperatura. Los tomos que componen las paredes estn emitiendo radiacin electromagntica y al mismo tiempo absorben la radiacin emitida por otros tomos de22

las paredes. Cuando la radiacin encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los tomos de las paredes, la cantidad de energa que emiten los tomos en launidad de tiempo es igual a la que absorben. En consecuencia, la densidad de energa del campo electromagntico existente en la cavidad es constante. A cada frecuencia corresponde una densidad de energa que depende solamente de la temperatura delas paredes y es independiente del material del que estn hechas. Si se abre un pequeo agujero en el recipiente, parte de la radiacin se escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo est a alta temperatura, y se vecompletamente negro a bajas temperaturas.Figura 14: Escape de la radiacin de un cuerpo negro a altas temperaturas.Teora de Max Planck Histricamente, el nacimiento de la Mecnica Cuntica, se sita en elmomento en el que Max Planck explica el mecanismo que hace que los tomos radiantes produzcan la distribucin de energa observada. Max Planck sugiri en 1900 que: 1.La radiacin dentro de la cavidad est en equilibrio con los tomos de las paredes que se comportan como osciladores armnicos de frecuencia dada f. 2.- Cada osciladorpuede absorber o emitir energa de la radiacin en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiacin electromagntica, su energa aumenta o disminuye en una cantidad hf. La segunda hiptesis de Planck, establece que la energade los osciladores est cuantizada. La energa de un oscilador de frecuencia f slo puede tener ciertos valores que son 0, hf, 2hf, 3hf.... nhf. La distribucin espectral de radiacin es continua y tiene un mximo dependiente de la temperatura. La distribucin espectral se puede expresar en trminos de la longitud de onda o de la frecuencia de la radiacin.23

dEf /df es la densidad de energa por unidad de frecuencia para la frecuencia f dela radiacin contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (Jm -3)s.donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es k = 1.380510-23 J/K.dEf/df es la densidad de energa por unidad de longitud de onda para la longitud de onda de la radiacin contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (Jm-3)m-1.1.2.3 EFECTO FOTOELCTRICO En 1905, slo cinco aos despus de que Planck presentara lateora cuntica, Albert Einstein, la utiliz para resolver otro misterio de la Fsica, el efecto fotoelctrico. Los experimentos ya haban demostrado que ciertos metales cuando se exponen a la luz que tenga al menos una frecuencia mnima, denominada frecuencia umbral (Figura 9), emiten electrones desde su superficie. El nmero de electrones emitidos era proporcional a la intensidad (o brillantez) de la luz, perosu energa no lo era. Por debajo de la frecuencia umbral no se emitan electrones, independientemente de cun intensa era la luz. El fenmeno observado no se poda explicar con la teora ondulatorio. Sin embargo, Einstein fue capaz de explicar el efecto fotoelctrico haciendo una suposicin extraordinaria. l sugiri que no se deba pensaren un rayo de luz en trminos de onda sino como un rayo de partculas, llamadas fotones. Utilizando la teora cuntica de Planck para la radiacin como punto de partida,Einstein dedujo que cada fotn debe poseer una energa, E, dada por la ecuacin: E = hv24

donde v es la frecuencia de la luz. Los electrones se mantienen en un metal porfuerzas de atraccin, as que para removerlos del metal se debe de emplear luz de frecuencia suficientemente alta (que corresponde a energa suficientemente alta) para liberar los electrones. Un rayo de luz resplandeciente sobre una superficie metlica se puede considerar como disparar un rayo de partculas los fotones sobre los tomos del metal. Si la frecuencia de los fotones es tal que hv es exactamente igual a la energa de enlace de los electrones en el metal, entonces la luz tendr suficiente energa para soltar los electrones. Si se utiliza luz de mayor frecuencia, entonces no slo se rompern los enlaces de los electrones sino que stos tambin adquirirn algo de energa cintica. Esta situacin se resume en la ecuacin: hv = EC + EE dondeEC es la energa cintica de los electrones emitidos y EE es la energa de enlace delelectrn en el metal. Reformulando la ecuacin anterior como: EC = hv EE se muestraque entre ms energtico sea el fotn (esto es, mientras mayor sea la frecuencia), mayor ser la energa cintica del electrn emitido.Figura 15: Un aparato para estudiar el efecto fotoelctrico. Luz de determinada frecuencia se hace incidir sobre una superficie metlica limpia. Los electrones expulsados son atrados hacia el electrodo positivo. El flujo de electrones est indicado por un detector- medidor.25

Ahora considrese dos rayos de luz que tienen la misma frecuencia (que es mayor que la frecuencia umbral) pero diferentes intensidades. El rayo de luz ms intenso,consta de un mayor nmero de fotones; en consecuencia, el nmero de electrones emitidos por la superficie del metal es mayor que el nmero de electrones producidos por el rayo de luz ms dbil. As que entre ms intensa sea la luz, mayor ser el nmero de electrones emitidos por el metal de prueba; a mayor frecuencia de la luz, mayor ser la energa de los electrones emitidos. La teora de la luz de Einstein ha colocadoa los cientficos en un dilema. Por un lado, explica el efecto fotoelctrico en forma satisfactoria; pero por otro, la teora corpuscular de la luz no es congruente con el conocido comportamiento ondulatorio de la luz. La nica forma de resolver eldilema es aceptando la idea de que la luz posee ambas propiedades corpuscular yondulatorio. Dependiendo del experimento, se encuentra que la luz se comporta ya sea como onda o como un chorro de partculas. Este concepto era totalmente ajenoa la forma en que los fsicos pensaban sobre la materia y la radiacin, y tom un largo periodo aceptarlo. Resulta que la propiedad de naturaleza dual (corpuscular yondulatoria) no es exclusiva de la luz, sino es caracterstica de toda materia, incluyendo partculas submicroscpicas como los electrones. Ejemplo: Calclese la energa(en joules) de: a) un fotn cuya longitud de onda es 5.00 x 104 nm (regin infrarrojo) y b) un fotn cuya longitud de onda es 5.00 x 10-2 nm (regin de rayos X). Respuesta: a) Se usa la ecuacin: E = hv De la ecuacin, v = c/; por lo tanto, E = hc/ = (6.63 x 10-34 J - s)(3.00 x 108 m/s) (5.00 X 104 nm) (1 x 10-9 m/1 nm) = 3.98 x 10-21 J sta es la energa que posee un fotn individual de longitud de onda 5.00 x 104nm. b) Siguiendo el mismo procedimiento que en el inciso a, se puede demostrar que la energa de un fotn de longitud de onda 5.00 X 10-2 nm es 3.98 X 10-15 J. Porlo que el fotn "de rayos X" es 1 X 106, o sea un milln de veces ms energtico que unfotn "infrarrojo".26

1.2.4 ESPECTROS DE EMISIN Y SERIES ESPECTRALES. Espectros de emisin: El trabajo deEinstein prepar el camino para solucionar otro "misterio" de la Fsica del siglo XIX, los espectros de emisin de los tomos. Desde el siglo XVII, en que Newton demostr que la luz solar est compuesta por varios componentes coloridos que se pueden recombinar para producir luz blanca, los qumicos y los fsicos han estudiado las caractersticas de los espectros de emisin de varias sustancias, esto es, la radiacin emitida por las sustancias, ya sea continua o en forma de lneas. El espectro de emisin se obtiene suministrando a una muestra del material energa trmica o alguna otra forma de energa (como una descarga elctrica de alto voltaje, si la sustancia esgaseosa). Una barra de hierro al "rojo caliente" o "blanco caliente" recin removida de una fuente de alta temperatura brilla de una manera caracterstica. Este resplandor visible es la porcin de un espectro de emisin que es percibido por el ojo.El calor que se siente a distancia de la misma barra de hierro es otra porcin desu espectro de emisin, esta porcin es de la regin del infrarrojo. Una caractersticacomn del espectro de emisin del sol y del calentamiento de un slido caliente es que ambos son continuos; es decir, todas las longitudes de onda de la luz estn representadas en el espectro (figura 10). Los espectros de emisin de tomos en fase gaseosa, por otro lado, no muestran una distribucin continua de longitudes de onda desde el rojo al violeta; en lugar de ello, los tomos emiten luz slo a longitudes de onda especficas. Dichos espectros se llaman espectros de lneas porque la radiacinse identifica por la aparicin de lneas brillantes en el espectro. La figura 16 esun diagrama esquemtico de un tubo de descarga que se utiliza para estudiar los espectros de emisin.27

Figura 16: Tipos de radiacin electromagntica. Los rayos gamma tienen la mnima longitud de onda y la mxima frecuencia; las ondas de radio son las de mayor longitud de onda y menor frecuencia. Cada tipo de radiacin se extiende sobre un intervalo especfico de longitudes de onda (y frecuencias). La regin visible del espectro abarca de 400 nm (violeta) a 700 nm (rojo).Figura 17: Un dispositivo experimental para estudiar los espectros de emisin de tomos y molculas. El gas en estudio est en un tubo de descarga que contiene dos electrones. A medida que los electrones fluyen del electrodo negativo al electrodo positivo, chocan con el gas. Este proceso de colisin eventualmente conduce a la emisin de luz por los tomos (y molculas). La luz emitida se separa en sus componentespor un prisma. Cada componente colorido se presenta en una posicin definida de acuerdo con su longitud de onda y forma una imagen colorida del colimador en la placa fotogrfica. Las imgenes coloridas se llaman lneas espectrales. Cada elemento tiene un espectro de emisin nico. Las lneas caractersticas de los espectros atmicos sepueden utilizar en anlisis qumico para identificar tomos desconocidos, as como lashuellas digitales sirven para identificar una persona. Cuando las lneas del espectro de emisin de un elemento conocido concuerdan exactamente con las lneas de un espectro de emisin de una muestra desconocida, la identidad de esta ltima se establece rpido. A pesar de que de inmediato se reconoci28

la utilidad de este procedimiento, el origen de estas lneas era desconocido hastaprincipios de este siglo.Figura 18: Un espectro de emisin de lneas de tomos de hidrgeno. Series espectrales:El espectro del hidrgeno es relativamente sencillo: en la parte visible, Balmer,en 1885 descubri la serie de rayas que lleva su nombre y mediante una frmula emprica estableci la relacin entre sus frecuencias. En la regin infrarrojo, de frecuencias inferiores a las de la serie anterior, descubri Paschen, en 1908, otra serie; ypoco despus, Bracket otra nueva serie (correspondiente a frecuencias v = 1.1 x 1014); hacia el extremo lejano de esa regin, y otra serie fue hallada por Pfund enla misma regin. Por ltimo, Lyman, en 1916, descubra otra serie de rayas en la reginultravioleta que es la de mayor frecuencia de radiacin (2.4 X 1015) (figura 19).Rydberg, en 1889, ampli la ecuacin formulada por Balmer a las rayas de otros elementos distintos del hidrgeno, especialmente al helio ionizado (He +). Ms tarde, dicha ecuacin se extendi a otras series de rayas, en la forma: v = Rv (1/n21 1/n22)donde n1 = 1, para la serie Lymann; 2, para la de Balmer; 3 para la de Paschen;y 4 para la de Bracket. Y n2 es un nmero entero mayor que n, por lo menos en unaunidad: as, si n1 = 2, puede ser n2 = 3, 4, 5... Rv es la llamada constante de Rydberg, cuyo valor expresado en frecuencia es actualmente 3.29 X 1015 por segundo(exacto para el hidrgeno). Segn el segundo postulado de Bohr, las frecuencias delas series de rayas citadas se deben a la cada del electrn del tomo del hidrgeno desde una rbita o piso de excitacin a otro de excitacin ms bajo o al normal: si se calcula la frecuencia de las rayas con la frmula de Rydberg, sustituyendo n1 y n2 porlos nmeros de orden de los pisos entre los cuales salta el electrn (supuesto n2 >n1; o bien se calcula aplicando la ecuacin v = (E2 E1)/h deducida por Bohr, se obtiene valores concordantes para las frecuencias. En la figura 13 se indica entre qu rbitas o pisos o29

niveles energticos se producen las citadas cadas de los electrones para dar origena las series de rayas antes expuestas.Figura 19: Esquema que muestra las cadas del electrn del tomo del hidrgeno, con la produccin de las series espectrales.Los espectros de rayos X se producen en donde los electrones de los rayos catdicos chocan contra la pared de un tubo de Crookes, o con una placa interior de forma parablica llamada antictodo (Roentgen, 1895). Los rayos X no son desviados por un campo elctrico o magntico; por lo que se les consider, ya al ser descubiertos, denaturaleza ondulatorio, electromagntica, de frecuencias del orden de 6 x 1018 vibraciones por segundo.Figura 20a: Descomposicin de la luz blanca por medio de un prisma.30

Figura 20b: Bandas luminosas de la emisin y absorcin de la luz.Figura 20c: Comportamiento de las bandas luminosas en el gas segn la temperatura.Figura 20d: Comportamiento de la banda luminosa del hidrgeno.31

1.3 TEORA ATMICA DE BOHR. En 1913, no mucho despus de los descubrimientos de Plancky Einstein, Niels Bohr ofreci una explicacin terica del espectro de emisin del tomode hidrgeno. El tratamiento de Bohr es muy complejo y ya no se considera totalmente correcto en todos sus detalles. Cuando Bohr abord inicialmente este problema,los fsicos ya saban que los tomos estaban formados por electrones y protones. Pensaban en el tomo como una entidad en la que los electrones giraban alrededor del ncleo en rbitas circulares a altas velocidades. ste era un modelo atractivo porque separece al movimiento bien comprendido de los planetas alrededor del Sol. En el tomo de hidrgeno, se crea que la atraccin electrosttica entre el protn positivo solary el electrn negativo planetario empujaba los electrones hacia adentro y que estafuerza era balanceada exactamente por la aceleracin debida al movimiento circular del electrn. El modelo del tomo de Bohr inclua la idea de electrones movindose en rbitas circulares, pero l les impuso una restriccin excepcionalmente severa: el nicoelectrn del tomo de hidrgeno podra estar localizado slo en ciertas rbitas. Dado que cada rbita tiene energa particular asociada, la restriccin de Bohr implic que las energas asociadas con el movimiento del electrn en las rbitas permitidas tienen un valor fijo; esto es, estn cuantizadas. La emisin de la radiacin de un tomo de hidrgeno excitado podra entonces explicarse en trminos de la cada del electrn de una rbita de alta energa a una de menor con la liberacin de un cuanto de energa (un fotn) en formade luz. Utilizando argumentos basados en interaccin electrosttica y de las leyesde movimiento de Newton, Bohr demostr que las energas que el electrn puede poseer en el tomo de hidrgeno estn dadas por En = RH(1/n2) donde RH, la constante de Rydberg, tiene el valor de 2.18 x 10 -18 J. El nmero n es un entero llamado el nmero cuntico principal; tiene los valores de n = 1, 2, 3,... El signo negativo de la ecuacin puede parecer extrao, dado que implica que todas las energas permitidas para elelectrn son negativas. En realidad, el signo no es ms que una convencin arbitraria; establece que la energa del electrn en el tomo es menor32

que la energa del electrn libre o la de un electrn que est infinitamente lejos del ncleo. A la energa del electrn libre se le asigna de manera arbitraria el valor de cero. Matemticamente, esto corresponde asignar a n un valor infinito en la ecuacin,as que E = 0. A medida que el electrn se acerca al ncleo (conforme n disminuye), Ense hace ms grande en valor absoluto, pero tambin se vuelve ms negativo. El valor msnegativo, entonces, se alcanza cuando n = 1, el cual corresponde a la rbita ms estable. A sta se le llama estado basal o fundamental o bien, nivel basal o fundamental, el cual se refiere al estado de mnima energa de un sistema (que en este casoes un tomo). La estabilidad del electrn disminuye de n = 2, 3, ..., y cada uno deellos se llama estado excitado, o nivel excitado, el cual tiene mayor energa queel estado basal o fundamental Se dice que un electrn en el tomo de hidrgeno que ocupa una rbita con n mayor que 1 est en un estado excitado. El radio de cada rbita circular depende de n2. As al aumentar n de la 1 a la 2 y de la 2 a la 3, el radiode la rbita aumenta en tamao en forma muy rpida. Mientras ms alto sea el estado excitado, ms alejado est el electrn del ncleo (y menos fuerte est unido al ncleo). La teora de Bohr del tomo de hidrgeno permite explicar el espectro de lneas de ese tomo. Laenerga radiante absorbida por el tomo hace que el electrn se mueva de una rbita demenor energa (caracterizada por un valor menor de n) a una de mayor energa (caracterizada por un valor mayor de n). Inversamente, la energa radiante (en forma de un fotn) es emitida cuando el electrn se mueve de una rbita de mayor energa a una rbita de menor energa. El movimiento cuantizado de un electrn de una rbita a otra es anlogo al movimiento de una pelota de tenis hacia arriba o hacia abajo en una escalera figura 6. La pelota puede parar en una gran variedad de escalones diferentes, pero nunca entre los escalones. Su viaje de un escaln menor a uno ms alto es unproceso que requiere energa, mientras que de un escaln ms alto a uno inferior es unproceso que libera energa. La cantidad de energa requerida en cada tipo de cambioest determinada por la distancia entre el primero y el ltimo escaln. En forma similar, la cantidad de energa que se necesita para mover un electrn en el tomo de Bohrdepende de la diferencia en los niveles de los estados inicial y final.33

Figura 21: Analoga mecnica del proceso de emisin.Se aplicar ahora la ecuacin siguiente al proceso de emisin en el tomo de hidrgeno. Supngase que el electrn est inicialmente en un estado excitado caracterizado por el nmero cuntico principal ni. Durante la emisin, el electrn cae a un estado de menor energa caracterizado por el nmero cuntico principal nf (los subndices i y f denotan los estados inicial y final, respectivamente). Este estado de menor energa puede ser otro estado excitado o el estado basal. La diferencia de energas entre el estado inicial y final es E (delta E), donde E = Ef Ei de la ecuacin Ef = RH(1/nf 2) y Ei = RH(1/ni 2) por lo que E = (RH/nf 2) (RH/ni 2) = RH[(1/ni 2) /(1/nf 2)]34

Dado que esta transicin produce la emisin de un fotn de frecuencia v y energa hv, sepuede escribir E = hv = (RH/nf 2) (RH/ni 2) Cuando se emite un fotn, ni > nf. Enconsecuencia el trmino entre parntesis es negativo y E es negativo (la energa se pierde hacia el entorno). Cuando la energa es absorbida, ni < nf y el trmino en el parntesis es positivo, as E es positivo. Cada lnea espectral en el espectro de emisin corresponde a una transicin especfica en el tomo de hidrgeno. Cuando se estudia una gran cantidad de tomos de hidrgeno, se observan todas las transiciones posibles y por lo tanto las lneas espectrales correspondientes. La brillantez de la lnea espectral depende del nmero de fotones con la misma longitud de onda emitidas. El espectro de emisin de hidrgeno cubre un amplio intervalo de longitudes de onda desde el infrarrojo hasta el ultravioleta. Cada lnea horizontal se llama nivel energtico.La posicin del nivel energtico medida en la escala de energa, muestra la energa asociada con una rbita en particular. Las rbitas se identifican por su nmero cuntico principal. Ejemplo: Cul es la longitud de onda de un fotn emitido durante una transicin desde el estado ni = 5 al estado nf = 2 en el tomo de hidrgeno? Respuesta: Dadoque nf = 2, esta transicin da lugar a una lnea espectral en la serie de Balmer. Dela ecuacin se escribe E = (RH/nf 2) (RH/ni 2) = 2.18 x 10-18 J (1/52 2) = - 4.58 x10-19 J El signo negativo indica que sta es energa asociada con un proceso de emisin. Para calcular la longitud de onda se omitir el signo menos de AE porque la longitud de onda del fotn debe ser positiva. Dado que E = hv o v = E/h, se puede calcular la longitud de onda del fotn escribiendo = c/v35

= ch/ AE = [(3.00 x 108 m/s)(6.63 x 10-34 J s)]/ 4.58 x 10-19 J = 4.34 x 10-7 m= 4.34 x 10-7 m x (1 x 109 m/1 m) = 434 nmLos fsicos quedaron perplejos pero intrigados con la teora de Bohr. La pregunta que planteaban acerca de ella era: por qu las energas del electrn del hidrgeno estn cuantizadas?. O parafraseando la pregunta de otra manera ms concreta, por qu el electrnen un tomo de Bohr est restringido a viajar en ciertas rbitas a distancias fijas del ncleo? Durante una dcada nadie, ni el mismo Bohr, tuvo una explicacin lgica. El trabajo de Einstein prepar el camino para solucionar otro misterio de la Fsica del siglo XIX, los espectros de emisin de los tomos. Desde el siglo XVII, en que Newtondemostr que la luz solar est compuesta por varios componentes coloridos que se pueden recombinar para producir luz blanca, los qumicos y los fsicos han estudiado las caractersticas de los espectros de emisin de varias sustancias, esto es, la radiacin emitida por las sustancias, ya sea continua o en forma de lneas. El espectrode emisin se obtiene suministrando a una muestra del material energa trmica o alguna otra forma de energa (como una descarga elctrica de alto voltaje, si la sustancia es gaseosa). Una barra de hierro al rojo caliente o blanco caliente recin removido de una fuente de alta temperatura brilla de una manera caracterstica. Este resplandor visible es la porcin de un espectro de emisin que es percibido por el ojo. El calor que se siente a distancia de la misma barra de hierro es otra porcinde su espectro de emisin; esta porcin es de la regin del infrarrojo. Una caracterstica comn del espectro de emisin del Sol y del calentamiento de un slido caliente esque ambos son continuos; es decir, todas las representadas en el espectro. Los espectros de emisin de tomos en fase gaseosa, por otro lado, no muestran una distribucin continua de longitudes de onda desde el rojo al violeta; en lugar de ello,los tomos emiten luz slo a longitudes de onda especficas. Dichos espectros se llaman36longitudes de onda de la luz estn

espectros de lneas porque la radiacin se identifica por la aparicin de lneas brillantes en el espectro. Cada elemento tiene un espectro de emisin nico. Las lneas caractersticas de los espectros atmicos se pueden utilizar en anlisis qumico para identificar tomos desconocidos, as como las huellas digitales sirven para identificar unapersona. Cuando las lneas del espectro de emisin de un elemento conocido concuerdan exactamente con las lneas de un espectro de emisin de una muestra desconocida,la identidad de esta ltima se establece rpido. A pesar de que de inmediato se reconoci la utilidad de este procedimiento, el origen de estas lneas era desconocido hasta principios de este siglo. La teora atmica de Bohr. Niels Bohr propuso un modelo de tomo cuyos principales postulados son: 1.- Los electrones slo pueden encontrarse en determinados y definidos niveles de energa. 2.- Mientras los electrones se mantienen en un determinado nivel, no ganan ni pierden energa. 3.- Los electrones pueden saltar de un nivel de mayor energa cuando el tomo la absorbe y a uno demenor energa cuando el tomo la desprende en forma de fotones. 4.- Cuanto mayor seael salto de los electrones de un nivel alto a uno bajo, ms energtica (de longitudde onda ms corta) ser la radiacin emitida. En 1913 Bohr revel su visin del tomo en tres ensayos que aparecieron en el Philosophical Magazine britnico, utilizando la constante de Planck y las emisiones espectrales del tomo de hidrgeno como pincel ytela. En esos ensayos describi tres postulados: 1) Cuantificacin de las orbitas permitidas para un electrn: un electrn slo puede girar alrededor de su ncleo en ciertas rbitas circulares para las que el momento cintico del electrn es un mltiplo enterode h/21T (h, constante de Planck). 2) El electrn gira alrededor de su ncleo en rbitas fijas, sin radiar ni absorber energa.37

3) La radiacin o absorcin de energa slo tiene lugar cuando un electrn pasa de una rbita de mayor (menor) energa a una de menor (mayor), que se encuentra ms cercana (alejada) al ncleo. La frecuencia f de la radiacin emitida o absorbida viene determinada por la relacin: E1-E2=hf, donde E1 y E2 son las energas correspondientes a las rbitas de trnsito del electrn. Esto explicaba por qu, por ejemplo, los tomos de hidrgeno ceden distintivas longitudes de onda de luz, que aparecen en el espectro delhidrgeno como una distribucin fija de lneas de luz conocida como serie de Balmer: Los tomos emiten energa solamente en ciertas cantidades exactamente calibradas.Ideas de Bohr, 1913 a) Objecin fundamental al modelo de Rutherford. El electrn, por ser partcula de electricidad negativa, al girar en torno al ncleo, atenindose lasleyes de la electrodinmica tendra que engendrar ondas electromagnticas, y en consecuencia emitir continuamente energa en forma de radiacin. Con lo cual, el electrn disminuira su energa, reducira su velocidad y con ella el radio de su rbita, y terminara por caer sobre el ncleo. El hecho de que los tomos en estado normal no emiten radiaciones constituye un serio argumento en contra de la rotacin de los electrones alrededor del ncleo. b) La teora de Bohr. Para explicar la estabilidad de los electrones en las rbitas del tomo y otros fenmenos que con ella se relacionan, Bohr parti de la nueva mecnica cuntica, cuyos aspectos esenciales son los siguientes: Primero, Los cuantos de Planck. En el ao 1900, Planck, basndose en consideraciones tericas, enunci que cuando en un proceso se emite o se absorbe energa (por ejemplo: luz, rayos X, rayos gamma), la energa emitida o absorbida no tiene un valor cualquiera. Las sustancias que intervienen en las manipulaciones corrientes slo puedenimplicar conjuntos de tomos; por lo cual sus masas han de ser forzosamente mltiples enteros de sus pesos atmicos. Anlogamente, la energa de radiacin, segn Planck, se acumula en los cuerpos y slo puede ser emitida o absorbida por otro, cuando alcanza un valor determinado igual a un mltiplo entero de una cantidad mnima de aquella38

radiacin, cantidad denominada cuanto de radiacin, que es, puede decirse, el "tomo"de energa de la radiacin. El cuanto de una radiacin es igual al producto de la frecuencia v del movimiento ondulatorio que la engendra, por un valor constante quese denomina constante de Planck, representada por h, y cuyo valor es 6.62517 X 10-27 ergios/seg. En sntesis:constante de Planck, h, o mnima cantidad tericamente posible de energa de radiacin cuanto" de una radiacin, E = v h, el mnimo o el "tomo" duna radiacin, o la mnima diferencia entre dos cantidades de una radiacinenerga emitida o absorbida, nE = n vh (n es un nmero entero) o cierta cantidad de radiacin.Segundo, Los postulados de Bohr, cimientos de su modelo atmico. Bohr acept las ideas de Rutherford sobre la estructura del tomo y sagazmente salv la objecin ms seriaque se le hiciera a aquel modelo y que el eminente fsico ingls no supo, en aquellas fechas, desvirtuar. Bohr estableci los-siguientes postulados: o Primera condicincuntica de Bohr. Un electrn en su movimiento circular alrededor del ncleo del tomo,de un modo normal o estable slo puede recorrer una trayectoria u rbita fija, a laque llam rbita estacionaria. El nmero posible de rbitas electrnicas estacionarias (de diferente radio), de un tomo est determinado de un lado por el equilibrio entrelas fuerzas electrosttica y centrfuga, y de otro por un principio derivado de los"cuantos", segn el cual 2 veces el momento angular del electrn, m v r, ha de ser igual a un mltiplo entero de la constante de Planck, h; o sea, 2 m v r = n h, de donde, m v r = n h/2 o Segunda condicin cuntica de Bohr. Un tomo no absorbe ni emiteenerga en forma de radiacin mientras los electrones giren en sus respectivas rbitasestacionarias. Pero, se produce absorcin cuando el electrn salta a otra rbita de mayor tamao (excitacin del tomo), y emisin cuando cae de nuevo a la rbita que antes ocupaba. [La rbita de Bohr significa aqu piso; y39

cambio de rbita es situar su rbita en otro piso de mayor o menor tamao]. Segn Bohr,las diferencias entre las energas que corresponden al electrn en su rbita inicial antes del salto y en su rbita final despus de aqul, es igual al cuanto de la radiacin. Llamando E1 a la energa inicial, E2 a la final, y v a la frecuencia de la radiacin emitida, se tiene: E2 E1 = v h, de donde, v = (E2 E1)/h Si E2 > E1, habr absorcin de radiacin; y si E2 < E1, habr emisin. Bohr aplic el postulado de la primera condicin cuntica, al tomo ms sencillo, al del hidrgeno, que presenta un solo protn en suncleo y un electrn en la nica rbita, que constituye el piso primero en su estado normal. Calcul el radio de la rbita normal y de las rbitas de mayor radio en que se sita el electrn del hidrgeno al ser excitado el tomo (por ejemplo, mediante una chispaelctrica) y dar origen a las rayas del espectro ptico. Hall para la rbita normal elradio de 0.529 A; y, adems, estableci que los radios de las rbitas del electrn en estados excitados, en el orden de menor a mayor supuesto 1 el valor del radio dela rbita normal, las dems presentaban radios de longitudes 4, 9, 16, o sea igualesal nmero de orden del piso elevado al cuadrado. Calcul, asimismo Bohr, la velocidad del electrn del tomo del hidrgeno (rbita normal), y hall 2.182 X 108 cm/seg., o sea unas 0.006 de la velocidad de la luz, Tambin calcul Bohr la energa del electrn enel tomo del hidrgeno normal y excitado (rbitas de mayor radio), y lleg a la frmula general: energa total E = -- (2 m e4 Z2/ n2 h2) ergios/seg. El carcter negativo de dicho valor significa que est referido a un estado de energa potencial de valor ceroy que el electrn tendra en una rbita a distancia infinita del ncleo, o sea fuera desu accin atractiva. Es n el nmero de orden del piso a que pertenece la rbita que el electrn desplaza en el tomo de hidrgeno (normal o excitado): para el estado normal, n tiene el valor de la unidad, y para los excitados, aumenta segn la serie 2,3, 4... Representa m la masa del electrn en gramos; e, la carga elctrica elemental: Z, o nmero atmico, vale 1 para el tomo del hidrgeno; y h, la constante de Planck.40

Para conocer la prdida o ganancia de energa del electrn del tomo del hidrgeno, al pasar de su rbita normal a un piso superior (tomo excitado) o al caer de un piso superior a otro ms bajo o al normal, basta restar los valores dados por la frmula anterior de la energa, previa sustitucin de valores; dando a Z el valor 1, y a n el del orden de los pisos en que se supone el electrn en su estado inicial y final. Ladiferencia de energas nos da un valor positivo, que significar absorcin o emisin deenerga, segn que se trate de un salto del electrn a un piso ms alto, o su cada a otro ms bajo.1.3.1 AMPLIACIN DE LA TEORA DE BOHR. Las frmulas de Bohr para la energa del tomo de hidrgeno, as como las que estableci para el radio y la velocidad del electrn del tomodel hidrgeno en estado normal y excitado, slo son exactas para el tomo del hidrgeno.Pueden tambin aplicarse, con aproximacin, a los tomos ms semejantes a los del hidrgeno, como los del helio, litio y berilio, que hayan perdido electrones hasta quedarse con un solo electrn. Pero, para tomos ms complejos, con ms de un electrn en su corteza, que son todos los restantes, aquellas frmulas deben ser modificadas, porconstituir nicamente una norma de valor relativo. En todos los tomos de ms de un piso electrnico, la presencia de los electrones ms prximos al ncleo disminuye el valoreficiente de la carga elctrica positiva del mismo, por desempear aquellos electrones la funcin de valla, disminuyendo las atracciones del ncleo sobre los electrones ms lejanos o externos, a los cuales por aquella causa llega ya debilitada la atraccin nuclear. El producto Ze, implcito en el numerador de la frmula de la energa,da la carga nuclear por ser Z el nmero atmico: el producto Ze da tanto el nmero total de cargas negativas de la corteza, como el de positivas del ncleo; pero, estacarga nuclear disminuye su valor eficiente por la accin de valla antes dicha y debe sustituirse por la carga eficiente nuclear, que es una fraccin del producto Ze. Tambin son aplicables a los tomos en general, los postulados que sirvieron de norma al sabio dans al establecer su modelo del tomo de hidrgeno y que han sido expuestos anteriormente.41

c) Los pisos electrnicos o niveles de energa de los tomos. Las rbitas de radio cadavez mayor del nico electrn del tomo del hidrgeno excitado, pueden ser referidas a las rbitas de los dems tomos aun en estado normal. En stos, siguiendo el modelo de Bohr, los electrones se sitan en rbitas estacionarias circulares de igual radio paralos dos electrones del primer piso, y de radios cada vez mayores para los electrones de los pisos 2, 3, 4?... El nmero de pisos de los tomos, fue deducido primeramente de la estructura de la tabla peridica: el descenso a una lnea horizontal inmediata inferior o sea, el aumento de una unidad en el perodo, representa para los elementos en l situados, sin piso ms en la corteza electrnica de sus tomos, lo cual noes del todo cierto actualmente. Hacia 1914, por estudios espectroscpicos de rayos X, fue comprobado el nmero de pisos o niveles en casi todos los tomos de los elementos conocidos hasta aquella fecha. Con anterioridad, Bohr haba observado que los radios de las rbitas en el tomo del hidrgeno normal y excitado, estaban de acuerdo con los datos proporcionados por los espectros pticos de dicho gas. Segn las ideas primitivas de Bohr, los electrones giraban slo en rbitas circulares, por lo que poda definirse el piso o nivel electrnico como el formado por el conjunto de electrones que describen rbitas electrnicas circulares de igual radio, situadas en planos distintos, y cuyos electrones tienen igual energa. El piso ms prximo al ncleo fue denominado K (hacia 1915) o 1; el segundo, L o 2; el tercero, M o 3; el cuarto, N o 4; el quinto O o 5; el sexto, P o 6, el sptimo, Q o 7. La estructura finadel tomo: contribucin de Sommerfeld y otros investigadores al modelo de Bohr (1915-1924). Arnold Sommerfeld (1868 - 1951). Fsico alemn que profundiz en la teora de Bohr sobre los espectros. Pas la mayor parte de su vida profesional en Munich. Sommerfeld estudi una gran variedad de problemas (giroscopios, difraccin electrnica y de rayos X, ondas de radio). Su trabajo ms conocido es el de los espectros atmicos.Desarroll, profundizando en ella, la teora de la estructura atmica concebida por Bohr. Sommerfeld sustituy el modelo de las orbitas electrnicas circulares por las orbitas42

elpticas e introdujo un nuevo numero cuntico azimutal. En 1916, F. Paschen confirmaba con cierto detalle la hiptesis de Sommerfeld. a) Las rbitas electrnicas elpticasde Sommerfeld. Las rbitas circulares del modelo de Bohr, en los siete pisos o niveles energticos del tomo, de acuerdo con los valores ascendentes de sus radios, ocon la gradacin de energas asignadas a los electrones, no bastaban para explicarlos espectros de los elementos de tomos ms complejos que los del hidrgeno, como elsodio y dems metales alcalinos. Por otra parte, nuevos estudios sobre los espectros del hidrgeno, de rayos X y sobre el efecto fotoelctrico, efecto Zeemann (EfectoZeemann o desdoblamiento en otras varias de las rayas del espectro luminoso, por la accin de un campo magntico intenso) y otros aspectos de carcter qumico, obligaron a admitir que no eran suficientes los siete grados de energa de los electronesque implicaban los siete pisos o niveles establecidos definitivamente por Bohr.Lo cual obligaba a asignar a los electrones, diferentes distancias al ncleo, aundentro de un mismo piso; y nuevos movimientos, aparte el circular establecido ya en los modelos atmicos de Perrin y de Rutherford. En efecto; hacia 1916, el tomose nos apareca como un edificio de estructura ms fina que la del modelo de Bohr,que borraba parte del brusco cambio de energa de un piso a otro, gracias a la labor de Sommerfeld, que asign a los electrones del tomo no slo rbitas circulares, sinoelpticas de distintas excentricidades, tamaos y nmeros en cada piso. Adems, en conexin con la excentricidad de las rbitas, en un mismo piso o nivel, estableci subniveles de energa o subpisos dentro de cada piso, a excepcin del piso 1 o K que segua siendo sencillo, esto es, sin subniveles. Sommerfeld estudi la velocidad y la energa del electrn en las rbitas elpticas, y para la energa lleg a una frmula igual a la dBohr. El electrn al describir una rbita elptica, con el ncleo en uno de sus focos,se mueve desde lugares lejanos del ncleo a otros prximos a l: con lo cual vara la distancia del electrn al ncleo y la atraccin electrosttica de ste sobre el electrn; y tambin la velocidad, y por tanto la masa del electrn que describe una rbita elptica.43

Objeciones al modelo de Bohr-Sommerfeld a) Imposibilidad de su comprobacin directa y omisin de los principios fundamentales de la mecnica. Diversas objeciones hansido presentadas al modelo, a pesar de su aparente perfeccin arquitectnica. Unas proceden de la imposibilidad de comprobar con tcnicas experimentales directas, laconstitucin interna del tomo; esto es, posicin, nmero y movimientos de los electrones. Examen no logrado hasta hoy y que no puede afirmarse que se logre en el futuro. El mtodo experimental nos ofrece fenmenos cuya ligazn con las partculas materiales (electrones en este caso) slo puede explicarse cimentndose en postulados basadosen los principios de la mecnica clsica parcialmente sustituidos, como hizo Bohr,por las nuevas aportaciones de las mecnicas modernas; o bien, norma seguida actualmente, basndose en una Micromecnica que ha abandonado los principios clsicos, paraadoptar en su totalidad los derivados de las nuevas mecnicas cuntica y ondulatorio. b) Otras objeciones. 1 El modelo de Bohr-Sommerfeld, tampoco explica por qu nogasta energa el electrn que gira en su rbita estacionaria, y por qu no cae finalmente sobre el ncleo. 2 No demuestra por qu la emisin de las radiaciones ha de producirse al caer el electrn: pudiera producirse antes o despus de la cada. Asimismo, no explica por qu la frecuencia de la radiacin depende slo de la diferencia de energas delos dos niveles entre los cuales se produce la cada, sin tener en cuenta la velocidad del electrn. 3 Deja por explicar satisfactoriamente las propiedadesmagnticas, la intensidad de las rayas de los espectros y ciertos datos espectrales que requieren slo ligeras diferencias entre electrones. 4 Tampoco explica ciertos valores de valencia de algunos tomos; ni por qu el enlace covalente entre dos tomos se establece segn direcciones determinadas.44

1.4 TEORA CUNTICA La teora o mecnica cuntica es una de las ramas principales de la Fsica y uno de los ms grandes avances del siglo XX en el conocimiento humano. Explica el comportamiento de la materia y de la energa. Su aplicacin ha hecho posible eldescubrimiento y desarrollo de muchas tecnologas, como por ejemplo los transistores, componentes profusamente utilizados en casi todos los aparatos que tengan alguna parte funcional electrnica. La teora cuntica describe, en su visin ms ortodoxa,cmo en cualquier sistema fsico y por tanto, en todo el universo existe una diversamultiplicidad de estados, los cuales habiendo sido descritos mediante ecuacionesmatemticas por los fsicos, son denominados estados cunticos. De esta forma la mecnica cuntica puede explicar la existencia del tomo y desvelar los misterios de la estructura atmica, tal como hoy son entendidos; fenmenos que no puede explicar debidamente la fsica clsica o ms propiamente la mecnica clsica. De forma especfica, se considera tambin mecnica cuntica, a la parte de ella misma que no incorpora la relatividad en su formalismo, tan slo como aadido mediante la teora de perturbaciones.3 Laparte de la mecnica cuntica que s incorpora elementos relativistas de manera formaly con diversos problemas, es la mecnica cuntica relativista o ya, de forma ms exacta y potente, la teora cuntica de campos (que incluye a su vez a la electrodinmicacuntica, cromodinmica cuntica y teora electrodbil dentro del modelo estndar)4 y ms genralmente, la teora cuntica de campos en espacio-tiempo curvo. La nica interaccin queno se ha podido cuantificar ha sido la interaccin gravitatoria. La teora o mecnicacuntica es el fundamento de los estudios del tomo, su ncleo y las partculas elementales (siendo necesario el enfoque relativista).1.4.1 PRINCIPIO DE DUALIDAD. POSTULADO DE DE BROGLIE En 1924 Louis De Broglie proporcion una solucin a este acertijo. De Broglie razon como sigue: si las ondas luminosas se pueden comportar como un rayo de partculas (fotones), entonces quizs laspartculas como los electrones pueden poseer45

propiedades ondulatorias. De acuerdo con De Broglie, un electrn enlazado a un ncleo se comporta como onda estacionaria. Las ondas estacionarias se pueden generarpulsando, por ejemplo, una cuerda de una guitarra Figura 15. Las ondas se describen como estacionarias porque no se desplazan a lo largo de la cuerda. Algunos puntos de la cuerda, llamados nodos, no se mueven en absoluto, esto es, la amplitud de la onda en estos puntos es cero. En cada extremo hay un nodo, y puede haber otros entre ellos. A mayor frecuencia de la vibracin, menor es la longitud de la onda estacionaria y mayor el nmero de nodos. De Broglie argument que si el electrn se comporta en realidad como una onda estacionaria en el tomo de hidrgeno, entonces la longitud de onda debe caber exactamente en la circunferencia de la rbita Figura 16. De lo contrario, la onda se cancela en forma parcial a s misma en cadacircunvolucin sucesiva; eventualmente la amplitud de la onda se reducir a cero, yla onda no existira.Figura 22: Ondas estacionarias generadas por las cuerdas de una guitarra.Figura 23: Orbita descrita por una onda de un electrn.La relacin entre la circunferencia de una rbita permitida (2r) y la longitud de onda () del electrn est dada por46

2r = n donde r es el radio de la rbita, es la longitud de la onda del electrn, y n =1, 2, 3, ... Dado que n es un entero, se deduce que r slo puede tener ciertos valores a medida que n aumenta de 1 a 2 a 3 y as en forma sucesiva. Y como la energadel electrn depende del tamao de la rbita (o del valor de r), su valor debe estarcuantizado. El razonamiento de De Broglie condujo a la conclusin de que las ondasse pueden comportar como partculas y stas pueden exhibir propiedades ondulatorias. De Broglie dedujo que las propiedades corpusculares y ondulatorias estn relacionadas por la expresin: = h/mu donde , m y u son la longitud de onda asociada con una partcula en movimiento, su masa y su velocidad, respectivamente. La ecuacin implica que una partcula en movimiento puede ser tratada como una onda, y una onda puede exhibir las propiedades de una partcula.Ejemplo: Calclese la longitud de onda-de la partcula en los siguientes dos casos:a) el servicio ms rpido en el tenis es de unas 140 millas por hora o 62 m/s. Calclese la longitud de la onda asociada con una pelota de tenis de 6.0 X 102kg que viaja a esta velocidad. b) Calclese la longitud de la onda asociadacon un electrn que se mueve a 62 m/s.Respuesta: a) Utilizando la ecuacin se escribe = h / mu = 6.63 x 10-34 J s/ 6.0 x10-2 kg x 62 m/s El factor de conversin es 1 J = 1 kg m2/s2 por lo que = 1.8 X 10-34m47

sta es una longitud de onda demasiado pequea, dado que el tamao del tomo en s es delorden de 1 X l0 -10 m. Por esta razn, las propiedades ondulatorias de la mencionada pelota de tenis no se pueden detectar con ningn dispositivo existente. b) En este caso = h/mu = 6.63 x 10-34 J s/ 9.1095 x 10-31 kg x 62 m/s donde 9.1095 X 10-31 kg es la masa de un electrn. Procediendo como en el inciso a se = 1.2 x 10-5m = 1.2 x 10-5x(1 x 109 nm/1 m) = 1.2 x 104nm Una longitud de onda de 1.2 X 104nm cae dentro de la regin del infrarrojo. El ejemplo anterior muestra que a pesarde que la ecuacin de De Broglie se puede aplicar a diversos sistemas, las propiedades ondulatorias se vuelven observables slo en objetos submicroscpicos. Esta distincin se manifiesta en virtud de la pequeez de h, la constante de Planck, que aparece en el numerador de la ecuacin. Poco despus de que De Brope desarroll su ecuacin, Clinton Davisson y De Lester Germer en Estados Unidos, y G. P. Thomson en Inglaterra demostraron que en efecto los electrones poseen propiedades ondulatorias.Pasando un haz de electrones se obtuvo un conjunto de anillos concntricos en unapantalla similar al patrn observado cuando se utilizaron los rayos X (que son ondas).48

1.4.2 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG Al xito espectacular inicial de lateora de Bohr siguieron una serie de desacuerdos. Por ejemplo, la proposicin de Bohr no pudo explicar los espectros de emisin de los tomos con ms de un electrn, tales como los tomos de helio y de litio. La teora tampoco pudo explicar la aparicin delneas adicionales en el espectro de emisin de hidrgeno que se observan cuando se aplica un campo magntico. Surgi otro problema con el descubrimiento del comportamiento ondulatorio de los electrones. Cmo se poda precisar la posicin de una onda? Se puede hablar de amplitud en cierto punto de la onda, pero no se puede definir sulugar preciso porque una onda se extiende en el espacio. Una de las consecuencias ms importantes de la naturaleza dual de la materia es el principio de incertidumbre, el cual fue formulado por el fsico alemn Werner Heissenberg. El principio deincertidumbre de Heisenberg establece que es imposible conocer simultneamente elmomento (p, definido como el producto de la masa por la velocidad) y la posicin(x) de una partcula con certidumbre. Expresado en forma matemtica, se escribe xp h/4donde x y p son las incertidumbres en las mediciones de posicin y momentum, respectivamente. La ecuacin anterior expresa que si se realiza la medicin del momentum deuna partcula con mayor precisin (esto es, si p se hace una cantidad pequea), el conocimiento de la posicin se har correspondientemente menos preciso (esto es, x se har mayor). De modo similar, si la posicin de una partcula se conoce con precisin, entonces la medicin de su momentum debe ser menos exacta. Aplicando el principio deincertidumbre de Heisenberg al tomo de hidrgeno, se puede ver que en realidad el electrn no viaja en una trayectoria bien definida, como Bohr pens. Si as fuera, se podran determinar con precisin tanto la posicin del electrn (a partir del radio de larbita) como su momentum (a partir de su energa cintica) al mismo tiempo, violandoel principio de incertidumbre. Sin duda, Bohr hizo una contribucin significativapara la comprensin de los tomos y su sugerencia de que la energa de un electrn en untomo est cuantizada permanece inalterada. Pero su teora no proporciona una descripcin completa del comportamiento electrnico en los tomos. Cuando los cientficos se dieron cuenta de49

esto, empezaron a buscar una ecuacin fundamental que pudiera describir el comportamiento y la energa de partculas submicroscpicas en general, una ecuacin anloga a lasleyes de movimiento de Newton para los objetos macroscpicos.1.4.3 ECUACIN DE ONDA DE SCHRDINGER En 1926 Erwin Schrdinger utilizando una tcnica matemtica complicada, formul la tan buscada ecuacin. La ecuacin de Schrdinger inici unanueva era para la Fsica y la Qumica, porque abri un nuevo campo, la mecnica cuntica(tambin llamada mecnica ondulatoria). El desarrollo de la teora cuntica de 1913 fueel tiempo en que Bohr present su anlisis del tomo de hidrgeno a 1926 se refiere ahora como "la vieja teora cuntica". Aunque esta ecuacin diferencial era continua y proporcionaba soluciones para todos los puntos del espacio, las soluciones permitidas de la ecuacin estaban restringidas por ciertas condiciones expresadas por ecuaciones matemticas llamadas funciones propias o eigenfunciones (del alemn eigen, 'propio'). As, la ecuacin de onda de Schrdinger slo tena determinadas soluciones discretas; estas soluciones eran expresiones matemticas en las que los nmeros cunticos aparecan como50

parmetros (los nmeros cunticos son nmeros enteros introducidos en la fsica de partculas para indicar las magnitudes de determinadas cantidades caractersticas de las partculas o sistemas). La ecuacin de Schrdinger se resolvi para el tomo de hidrgeno y dio resultados que encajaban sustancialmente con la teora cuntica anterior. Adems, tena solucin para el tomo de helio, que la teora anterior no haba logrado explicar de forma adecuada, y tambin en este caso concordaba con los datos experimentales. Lassoluciones de la ecuacin de Schrdinger tambin indicaban que no poda haber dos electrones que tuvieran sus cuatro nmeros cunticos iguales, esto es, que estuvieran enel mismo estado energtico. Esta regla, que ya haba sido establecida empricamente por Wolfgang Pauli en 1925, se conoce como principio de exclusin. Ahora, para aplicar el carcter ondulatorio del electrn, se define una funcin de ondas, , y utilizandola ecuacin de ondas de Schrdinger, que matemticamente es una ecuacin diferencial desegundo grado, es decir, una ecuacin en la cual intervienen derivadas segundas de la funcin :A resolver la ecuacin diferencial, sede parmetros, que se corresponden conel modelo atmico de Bohr. La ecuacinrminados valores permitidos (los mismosde Bohr).51

obtiene que la funcin: depende de una serielos nmeros cunticos, tal y como se define enslo se plasmar cuando esos parmetros tomen detevalores que se indicaron para el modelo

Por otro lado, el cuadrado de la funcin de ondas2, corresponde a la probabilidad deencontrar al electrn en una regin determinada, con lo cual se est introduciendo enel modelo el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por ello, en este modeloaparece el concepto de orbital regin del espacio en la que hay una mxima probabilidad de encontrar al electrn. No debe confundirse el concepto de orbital con el de rbita, que corresponde al modelo de Bohr: una rbita es una trayectoria perfectamente definida que sigue el electrn, y por tanto es un concepto muy alejado de la mecnica probabilstica.1.4.3.1 SIGNIFICADO FSICO DE LA FUNCIN 2 La ecuacin de Schrdinger requiere clculos avanzados para ser resuelta. Sin embargo, es importante destacar que esta ecuacin incorpora ambos comportamientos, en trminos de masa m, y ondulatorio, en trminos deuna funcin de onda (psi), que depende de la posicin del sistema en el espacio (como la de un electrn en un tomo). La funcin de onda en s misma no tiene significado fsico real directo. Sin embargo el cuadrado de la funcin de la onda, 2, est relacionado con la probabilidad de encontrar al electrn en cierta regin del espacio. Se puede pensar en 2, como la probabilidad por unidad de volumen de tal manera que el producto de 2 por un pequeo volumen (llamado elemento de volumen) da la probabilidad de encontrar el electrn dentro de ese volumen. (La razn de especificar un pequeovolumen es que 2 vara de una regin del espacio a otra, pero su valor se puede considerar constante dentro de un pequeo volumen.) La probabilidad total de localizaral electrn en un volumen dado (por ejemplo alrededor del ncleo del tomo) est entonces dada por la suma de todos los productos de 2 y el volumen correspondiente de los elementos. La idea de relacionar 2 con la nocin de la probabilidad, proviene deuna analoga de la teora ondulatoria. De acuerdo con la teora ondulatoria, la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, o 2. El lugar ms favorecido para encontrar un fotn es donde la intensidad es mayor, esto es, donde el valor de 2 es mximo. Se sigui un argumento similar para asociar 2 con laposibilidad de encontrar un electrn en las regiones que rodean al ncleo.52

Aplicacin de la ecuacin de Schrdinger al tomo de hidrgeno: Para ver cmo cambi la mecncuntica la visin del tomo, se analiza el tomo ms sencillo, el de hidrgeno, con un protn y un electrn. Cuando se resuelve la ecuacin de Schrdinger para el tomo de hidrgeno,proporciona dos tipos de valiosa informacin: especifica los posibles estados energticos que el electrn puede ocupar e identifica las correspondientes funciones deonda () del electrn asociadas con cada estado energtico. Estos estados energticos yfunciones de onda se caracterizan por un conjunto de nmeros cunticos. Recurdese que la probabilidad de encontrar un electrn en una regin est dada por el cuadrado dela funcin de onda, Por lo cual, una vez que se conocen los valores de y las energas, se puede calcular 2 y construir una visin completa del tomo de hidrgeno. Esta informacin acerca del tomo de hidrgeno es til pero no suficiente. El mundo de las sustancias qumicas y de las reacciones implica sistemas considerablemente ms complejosque el sencillo tomo de hidrgeno. Sin embargo, resulta que la ecuacin de Schrdingerno se puede resolver con exactitud para tomos que tengan ms de un electrn. Aun en el caso del helio, que slo tiene dos electrones, las matemticas resultan demasiadocomplejas para ser manejadas. Parecera, por lo tanto, que la ecuacin de Schrdingersufre de las mismas limitaciones que la teora atmica original de Bohr; en la prctica slo se puede aplicar al tomo de hidrgeno. A pesar de todo, la situacin no es desesperada. Los qumicos y los fsicos han aprendido a darle la vuelta a este tipo de dificultades utilizando mtodos de aproximacin. Por ejemplo, a pesar de que el comportamiento de los electrones en tomos polielectrnicos (esto es, tomos que contienen dos o ms electrones), no es el mismo que en el tomo de hidrgeno. Se supone que la diferencia probablemente no sea demasiado grande. Basndose en esta suposicin, se pueden usar las energas y las funciones de onda obtenidas para el tomo de hidrgeno como una buena aproximacin del comportamiento de los electrones en tomos ms complejos.De hecho, se ha encontrado que este enfoque proporciona una buena descripcin delcomportamiento de los electrones con tomos complejos. Dado que el tomo de hidrgenosirve como punto de partida o modelo para todos los otros tomos, se necesita unaidea clara de la descripcin mecnica cuntica de este53

sistema. La solucin de la ecuacin de Schrdinger muestra que las energas que un electrn puede poseer en el tomo de hidrgeno estn dadas por la misma expresin obtenida porBohr. Ambas teoras, la de Bohr y la de la mecnica cuntica, por tanto, muestran quela energa de un electrn en el tomo de hidrgeno est cuantizada. Difieren, sin embargo,en la descripcin del comportamiento de los electrones con respecto al ncleo. Comoel electrn no tiene una posicin bien definida en el tomo, se encuentra convenienteutilizar trminos como densidad electrnica, nube de carga electrnica o simplementenube de carga para representar el concepto de probabilidad (estos trminos tienenen esencia el mismo significado). Bsicamente, la densidad electrnica proporciona la probabilidad de que un electrn se encuentre en una regin particular en un tomo. Las regiones con alta densidad electrnica representan una probabilidad alta de localizar al electrn, mientras que lo contrario es vlido para regiones de baja densidad electrnica. Para distinguir la descripcin mecnico-cuntica del modelo de Bohr, seremplaza "rbita" con el trmino orbital u orbital atmico. Un orbital se puede pensarcomo la funcin de onda () de un electrn. El cuadrado de la funcin de onda 2, definela distribucin de la densidad electrnica en el espacio alrededor del ncleo. Cuandose dice que un electrn est en cierto orbital, se quiere decir que la distribucin de la densidad electrnica o la probabilidad de localizar al electrn en el espacio est descrita por el cuadrado de la funcin de onda asociada con ese orbital. Un orbital atmico en consecuencia tiene una energa caracterstica, as como una distribucin caracterstica de la densidad electrnica.1.4.3.2 NMEROS CUNTICOS Y ORBITALES ATMICOS Mientras que en el modelo de Bohr se hablaba de rbitas definidas en el modelo de Schrdinger slo podemos hablar de las distribuciones probables para un electrn con cierto nivel de energa. As para un electrnen el estado fundamental la probabilidad de la distribucin se refleja en la siguiente figura, dnde la intensidad del color rojo indica una mayor probabilidad de encontrar al electrn en esa regin, o lo que es lo mismo una mayor densidad electrnica.54

De la resolucin de la ecuacin de onda de Schrdinger se obtiene una serie de funciones de onda ( probabilidades de distribucin de los electrones) para los diferentesniveles energticos que se denominan orbitales atmicos. La figura anterior representa el orbital de mnima energa del tomo de hidrgeno con 2.18 x 1018 J (la misma que tena la rbita ms cercana al ncleo del modelo de Bohr). Mientras que el modelo de Bohrutilizaba un nmero cuntico(n) para definir una rbita el modelo de Schrdinger utiliza tres nmeros cunticos para describir un orbital: n, l y ml . A continuacin vemos las caractersticas de estos nmeros: Nmero cuntico principal n Toma valores enteros: 1,2,3... A mayor n ms lejos se encuentra del ncleo la regin de mayor densidad electrnica. A mayor n el electrn tiene mayor energa y se encuentra menos atado al ncleo. Nmerocuntico del momento angular azimutal :Depende de n y toma valores enteros de 0 a (n-1) . As para n=1 slo hay un valor posible 0.