Unidad Teoría de conjuntos • Números reales

y operaciones • Sucesiones • Probabilidad Regresión y correlación

Puente Golden G a t e HIHHHHflH Eurotúne

Puente Pumarejo

Plataforma petrolífera

Taipei 101 i Petronas Kuala Sears Jin Mao JFC HongiCitic Plaza Shung Hing Empire State Central Taipei, Taiwan : Lumpur, Chicago, USA Shanghai, Kong \ Cantón, Shenzheng NY, USA Plaza Hong

508 m Malasia 452 ni 442,3 m China 420,5 m 413,8 m : China China 381 m Kong 374 m 391,1 m 384 m

Las megacons+rucciones son edificaciones que rebasan lími+es convencionales o normales, pues transforman su en+orno de una manera incomparable.

£or\ innovadoras obras de arqui+ec+ura, an+iguas o produc+o de la ingeniería moderna, que dejan huella en la his+oria de la humanidad. Es+as obras reciben

el nombre de maravillas arquitectónicas.

Una fábula....

Para levantar unas torres gemelas se contrata a dos com­pañías especializadas en construir rascacielos: Aquiles S.A. y Tortuga Inc. La primera es una empresa destacada a nivel mundial por construir rápidamente edificios altos, mientras la segunda es un poco despaciosa, pero es una compañía fuer­te y constante que siempre cumple sus compromisos. Cada empresa se responsabiliza de levantar una torre.

Se contrata primero a Tortuga Inc. para construir la torre norte, que toma gran ventaja. Después comienza Aquiles S.A., que recorre en poco tiempo la distancia que los separaba ¡nicialmente, pero al llegar allí descubre que Tortuga Inc. ha levantado otra parte del edifi­cio. Las dos compañías siguen construyendo cada una a su ritmo. De este modo, la empresa Aquiles S.A., por más veloz que sea, no va a alcanzar a Tortuga Inc., ya que esta siempre va a estar por delante de ellos.

Tanto las partes levantadas por Aquiles S.A. como las construidas por Tortuga Inc. conforman conjuntos de números, conjuntos que, si observamos bien, tienen infinitos elementos a pesar de ser, a la vez, subconjuntos de otros conjuntos numéricos más grandes.

Responde en tu cuaderno.

1 , ¿Cuál crees que es el edificio más alto de Colombia?, ¿cuánto mide?

/»>) 2 . De los puentes que están en la imagen hay uno ubicado en Colombia, ¿cuál es? ¿En qué ciudad queda?

S 3 , Si el Eurotúnel tiene un radio de 3,2 m, ¿cuál es su perímetro?

S 4 , ¿Cuál edificio tiene una altura de 45 dam?

/;.!< 5. Averigua cuáles son actualmente las torres gemelas más altas.

/•))) 6 , Comenta con tus compañeros, ¿qué pasó con los edificios de la imagen?

7. ¿Crees que el razonamiento que acabas de leer es correcto?

f 8. Si comienzas a correr detrás de un amigo que va caminando y salió antes que tú, ¿lo alcanzarías?

}>») 9 . ¿Conoces varias clases de conjuntos infinitos? ¿Cuáles?

10 , ¿Puedes nombrar todos los números que existen entre el cero y el uno?

Teoría de conjuntos Existen tres formas diferentes para representar conjuntos: extensión, diagrama de Venn y com­prensión.

Extensión Diagrama de Venn Comprensión

A = { 2 , 4 , ó, 8 , 1 0 . . . }

Situación 2

8 = { 1 , 4 , 9 , 2 6 . . . }

E = {Taipei 1 0 1 , Torres Petronas,

Torre Sears,

Torre Jin Mao}

B

O O f / J É

tfimíL

1/ •

E = {x G edificios altos / x = cinco más altos}

Operaciones entre conjuntos

/ Unión

A U B = { X / X G A V X G B }

/ Diferencia

A - 8 = { X / X 6 A A X ^ B }

A

/ Intersección

A n 8 = { x / x G A A x e 8 }

A

/ Diferencia simétrica

A A B = { X / ( X G A A X £ ' B ) V X G B A X G ' A ) }

/ Complemento

A C = {x / x G A , A , x G" 8}

O TALLGR Teoría de conjuntos O o ° 1, Representa por comprens ión el con jun to resultante.

A = { x / x es múl t ip lo de 5 } , 8 = {x / x es múl t ip lo de 3 }

a . A u 8 d . A c

b . A n 8 . e . 8 - A

c. A - 8 f. A A 8

Para resolver estos ejercicios debemos tener en cuenta las definiciones de las operaciones entre conjuntos:

a . A u 8 = {x G x = 5n v x = 3 n , Vn e R }

b . A n B = {x G R ' / x = 5n A x = 3 n , Vn G R }

c. A - 8 = {x € R * / x = 5n A X í t 3 n , Vn G R }

d. A c = ( x G R» / x * 5 n , Vn G R }

e . 8 - A = (x G R» / x = 3n A X * 5 n , Vn G R }

f. A A 8 = {x G R» / (x = 3n A x * 5n ) v (x 3n A X = 5 n ) , Vn G

? 2 . Representa por comprens ión el con jun to resultante.

A = { x / x G Z } , B = { X / X G Z " }

d . A c

e . 8 - A

f. ec

a . A u 8

b . A n B

c. A - B

/,!)> 3 . Representa por extensión.

A = { x G Z / 3 < x < 1 0 } , B

a . A u 8

b . A n 8

c. A - B

f 4 , Representa por comprens ión .

A = { x G R / x = 2 n , Vn G R } , B

a . A u 6

b . A n B

c. A - B

/.o; 5 , Representa por extensión.

A = {x / x es v o c a l } , 8 = { x / x es consonan te }

a . A u B d . A c

b . A n B e . B - A

c. A - B f. B c

{ X G Z / 6 < X < 1 2 }

d . A A 8

e . B - A

f. B c

{x G R / x = 3 n , Vn G

d. A c

e . B - A

f. B c

/"» 6 , Representa por extensión el conjunto resultante.

A = {x G RI x 2 + 7x - 8 = 0 } , 8 = {x e RI 2x + 5 = 0 }

a . A u B d. A c

b. A n B e. 8 - A

c. A - B f. B c

Y 7. Representa por comprensión el conjunto resultante.

A = { X G R / | X + 1| < 12} , 8 = { X G R / | X - 4 | > 2 }

o. A u B d. A c

b. A n B e. 8 - A

c. A - B f. B c

*7 8 , Representa por comprensión el conjunto resultante.

A = {x G R'f senx = cosx}, B = {x G R*/ tanx < 1}

a . A u B d. A c

b. A n 8 e. B - A

c. A - 8 f. B c

T 9. Representa por comprensión el conjunto resultante.

A = { y e R ' / y = 4x, Vx G R}, B = {y G R«/ / < 100}

a . A u B d. A c

b. A n B e. B - A

c. A - 8 f. B c

S 1 0 . Utiliza un diagrama de Venn para representar:

a. A u B c f. ( A u B ) c

b. A n B c g. A u ( B u C )

c. A c n B c h. ( A u B ) u C

d. (A n B ) c i. A u ( B n C )

e. A c n B c ¡. (AnB)nC

Con+eo de los elementos de un conjun+o Ahora, si definimos n(A) como el número de elementos

del conjunto A, entonces tenemos:

n(A u B ) = n(A) + n(B) - n(A n B)

n ( A - B ) = n ( A ) - n ( A n B )

n(A u B u C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n 8) - n(A n C) - n ( B n C ) + n ( A n B n C )

n(A A 8) = n(A) + n(8) - 2n(A n 8)

Ejemplo:

A = {estudiantes de filosofía}, n(A) = 20 n(A u 8 ) = n(A) + n(B) - n(A n B) n ( A u 6 ) = 2 0 + 12 - 8 n(A u 8) = 24

8 = {estudiantes de estadística}, n(8) = 12 n(A A 8) = n(A) + n(B) - 2n(A n 8) n(A A 8) = 2 0 + 1 2 - 2 ( 8 ) n(A A 8) = 1 ó

A n B = {estudiantes de filosofía y estadística}, teoría de conjuntos, que es la base n(AnB) = 8 n(A-B) = n(A) -n(AnB) n(A - 8) = 20 - 8 n ( A - 8) = 12

Halla n(A u 8) , n(A A 8) y n(A — 8) de acuerdo con lo anterior, en los siguientes ejercicios.

Rincón de ta historia

George Cantor (San Petersburgo, 1845 a 1918) fue un mate­mático alemán, inven­tor con Dedekind de la

teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas.

1 1 . En grado décimo se han inscrito a las prácticas deportivas los siguientes estu­diantes: fútbol, 28 estudiantes; bas­quetbol, 20 estudiantes; atletismo, 22 estudiantes; fútbol y basquetbol, 12 estu­diantes; fútbol y atletismo, 12 estudian­tes; atletismo y basquetbol, 4 estudian­tes; y en los tres deportes tres estudiantes. ¿Cuál es el número de estudiantes del curso?

12. En una empresa 18 trabajadores son únicamente diurnos y 12 únicamente nocturnos. Si el total de trabajadores es de 36, ¿cuántos de ellos trabajan en ambos tumos?

r 13. S ¡ A = { x G

8 = { x G

Calcula:

a . n(A)

b. n(B)

c. n ( A n B )

x 2 + 2x - 15 = 0 } y

x 2 - 25 = 0 }

d . n ( A - 8 )

e . n(A A 8)

f. n(A u B)

f 14. En la oficina colombiana de la multi­nacional Brands Inc. hay 36 emplea­dos que hablan inglés, 28 hablan francés y 1 2 dominan ambos idiomas. ¿Cuántos hablan únicamente inglés? ¿Cuántos hablan únicamente francés? ¿Cuántos hablan un solo idioma?

15. Martín halló los divisores de 15: { 1 , 3 , 5, 15} , Alejo los de l 8: { 1 , 2 , 3, ó, 9, 1 8 } , ¿cuál es el número de elementos de la diferencia simétrica de los dos conjuntos?

16. Lanza un dado y a partir de los seis re­sultados posibles define los conjuntos: A = { 2 , 4 , 6 } y B = { 5 , ó } , que se determinan como el número obtenido es par y el número obtenido es ma­yor que cuatro respectivamente. Ahora halla:

a . n(A)

b. n(8)

c. n{AnB)

d . n(A - 8)

e . n(A A 8)

f. n ( A u 8 )

Descriptor de desempeño: / Identificar la notación, representación y operaciones entre conjuntos.

Pensamiento numérico-variacíonal

Números reales Una de las primeras megaconstrucciones en la historia de la humanidad fue el P a r t e n ó n , situado en la A c r ó p o l i s ateniense. Se c o m e n z ó a construir en el 447 a.C.

El partenon tiene 8 columnas en los frentes y 1 7 en los cos­

tados (en la parte llamada peristasis), de orden d ó r i c o y cla­

sificadas como exteriores, de 10,43 m de altura, 1,26 m de

d i á m e t r o en la base. La r e l a c i ó n entre las partes, el techo y las

columnas, corresponde a - ^ , esta cantidad corresponde al famoso n ú m e r o á u r e o .

El conjunto de los n ú m e r o s reales se define como la u n i ó n de los conjuntos de nú

meros racionales e irracionales. IR =

pueden representarse como el cociente de dos n ú m e r o s enteros, por ejemplo:

u I ) . Los n ú m e r o s racionales son aquellos que 3 21 4 ' 2

1,26, etc. Los n ú m e r o s irracionales son aquellos que NO pueden representarse como el

cociente de dos n ú m e r o s enteros, como V5 = 2 ,236. . . ; 7r =3 ,1 41 59265. . . , etc.

N ú m e r o s naturales

8, 17

N ú m e r o s reales

N ú m e r o s enteros

- 4 4 7

N ú m e r o s racionales

10,43; 1,26

N ú m e r o s irracionales

1 + V5

Q TALLGR Números reales, subconjuntos O o °

/»)) 1. Indica a c u á l subconjunto (racional o irracional) de los n ú m e r o s reales pertenece cada n ú m e r o .

2 ci • — 3

b. V7 f.

C 8 g-

d. N / T T + y h .

7T

3

h . ^ 1 024

i. k. 373 V3

- 2

7_ i . A

^8_

V3

Todos los números reales pueden ser representados • en la recta numérica, veamos:

<—l 1 1 1 1 « i 1 — •

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

habías que... el número áureo se encuentra presente también en muchos elementos

y fenómenos de la naturaleza, como en la relación de la cantidad de abejas macho y hembra

en un panal, la relación entre la distancia entre las espiras del interior de un caracol, la disposición

de los pétalos de las flores, la distancia entre las espirales de una p i n a , y aparece recurrentemente

en la anatomía de los seres humanos.

? 2 . Representa en la recta numérica los siguientes números reales.

2 x = —

3

H—I—I—I—I—I—I—• •—I—I—I—\ - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

x = V3 2 + 2 2 = V9 + 4 = VÍ3

a. 3 1 i i 1 i i i i 1 1

5 1

- 4 i

i i

-2 1

-1 i

0 i

i i

2 i

3 1

4 1

5

b. 7 b. 5

i i i 1 i i i i I i i i i i i i i l l i 1 i i 1 i i i i 1 i 1 1 i •

¡ - i 0 1 2

c. - 7 4 i 1 1 i i 1 i i I i I i \ l

-8 1

- 7 1

-6 i

- 5 -4 i

- 3 2 1

-1 _! ) i

i i

3 A 1

5 i

6 1

7 1

8

r ? ó

V I •

7 i 1 1 i 1 1 i 1 1 1 1 1 i i i i i 1 1 i 1 I i 1 i

- 2 1 1 i 1 1 i

- i 1 1 1 1 1 i

0 i i i i 1 1 i 1 1 ! 1

r w

2 3 8

—¿ —t— 1

—H--H--H-- 3

—H--H-•H— r -H--H~ HH -f—f-

-1 -H— —H--H-

0 •H- —H--H-•H—

1 -H-- H - —H

2 -H-- H - —H •++ •HH —H- 4

L-

SL — I — l — h

01 — I — h — l — h H—I—I—h

o 9 -

- + - 1 — I — I — I — I — I -

0L-- l — l — \ — \ -

9L~ - l — l — i — >

z i - *>s

z H h H 1 h

0 —I— H 1 h

z-H •

e 9

L-

L 0 l -

£1 ¿l

£ Z L 0 L— 3— E-< 1 1 1 i - e — 1 1 1 •

C£ 9Z OZ SL OL 9 0 S~ 0 l ~ 9 L ~ 0Z~ SZ~ C£~ < l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l I I l l l l l l l l l l l l l i i i i i i i i i i i i i >

La solución real de una ecuación de cualquier grado es un subconjunto de los números reales. Veamos:

Hallemos el conjunto S = {xG R / x + 3 = 5} . Despejamos la ecuación: x + 3 - 3 = 5 - 3

x = 2. Por tanto, S = { 2 } , que es un subconjunto de los reales. S c I l.

Halla el conjunto solución de:

a. Q = - X G R / X - - = 12 4

f. A = { x G R / x 2 - - 1 6 = 0 }

b. T = { X G R / X = 2 X - 1 } g. C = { X G R / X 3 - - 2x 2 + 3x - 4 = 0

c. R = {xeR/|x| = 4 } h. H = {xel/e" =

d. U = { x e R / x 2 + 8 x - 2 = 0} i. Z = { x G R / 7 x = 256}

e. P = { X G R / ( X - 4 ) ( X + 2) = 0 }

Al ser subconjun+os cumplen fodas las operaciones en+re conjuntos.

4. Halla:

a . O U T

b. P n A

c. (Z u S) n C

d. A A C

e. Z - T

f. P u A u C

g. Z n ( C u U )

h. (Z A A) - C

5. Tienes el siguiente subconjunto de los números reales S = { 2 , — 5 , 7 } , ¿de qué forma lo puedes representar gráfica y analíticamente?

De forma gráfica tenemos:

C

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Y de forma analítica podemos hacer: (x — 2) = 0 A (x — ( — 7 ) ) = 0 A (x — 5) = 0.

Por tanto; (x — 2)(x + 7)(x — 5) = 0. Con lo que obtenemos x 3 — 39x + 70 = 0.

En forma de conjunto es: S = {x G IR / x 3 — 39x + 70 = 0 } .

Representa de forma gráfica y analítica:

a. 8 = { 1 2 , -3 , 8 , - 1 } b. C = { 0 } c. D 72 i

2 '2

Los subconjuntos de los números reales no son únicamente puntos dentro de la recta numérica, también pueden ser conjuntos infinitos de puntos definidos

mediante intervalos. Veamos:

Encontremos las soluciones para el conjunto {x 6 |R / x < 5}

Las soluciones las podemos dar de dos maneras:

Gráficamente

T Intervalo

H — I — l — l — l — l — l — l — h H — l — h >

l (-00, 5)

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Como se toman los x menores, la flecha va para'la izquierda.

Ten en cuenta la tabla para expresar las respuestas.

Intervalo abierto >, < o ( ) No se incluyen los extremos

Intervalo cerrado >, < • [ ] Se incluyen los extremos

6. Encuentra la solución para los siguien­tes conjuntos, expresa la respuesta en intervalo y gráficamente.

a . { x e R / x > 3 }

b. ( x G R / x > 25 }

C. { x G | R / x < - 4 }

d . {x-e R / x < - 2 }

e. { x e R / x > 8 }

7*. Encuentra el conjunto y el intervalo so­lución de las siguientes gráficas.

< — i — y \—i— i—m—h H — •

H 1 1 — h H—I 1—I—I—fr-CI. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

•* 1 1 T I 1 1 1 1 1 1 1 1 • b. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

4—I 1 1 1 ^ I 1 1 — I 1—I 1 — • C. - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Descriptor de desempeño: / Identificar y representar en la recta los números reales.

d . - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

• f 8. Determina el conjunto y la solución grá­fica de cada uno de los intervalos.

a . (—oo, —8)

b. [ - 3 , oo)

c. [7, oo)

d . (-oo, y2]

e. (-oo, - % )

f. (-oo, - 2 ) U (2 , 8)

g . (-oo, - 1 ] U [ 1 , oo)

h . (-oo, - 4 ] U (2 , oo)

i. R

Pensamiento numérico - variacional

• Propiedades de los números reai.es

Propiedades Sumó

Clausurativa

Modulat iva

Conmutativa

Asociativa

Invertiva

si a e R A b e IR,

entonces a + b £ R

si a e R,

entonces Va e R ' 3 0 / a + 0 = a

si a e R A b e R,

entonces a + b = b + a

s i o G l A b e l A c e l ,

Multiplicación

si a G R A b e R,

entonces a x b e R

si a e R,

entonces Va e R-31 / a x 1 =

si a e R A b e R,

entonces a x b = b x a

s i o e l A b e l A c e l , entonces a + (b + c) = (a + b) + c entonces a x (b x c) = (a x b) x c

Va e R ' 8 ( - a ) / o + ( -a) = 0 : R-e| - 1 / a x | -

Distributiva con Va , b, c 6 R

respecto a la suma a 4 - ( b + c ) = a - ^ b + a - H c

Potencia

a • a = a

cf a n

Va, b, c, e R a x ( b + c ) = a x b + a

a m - b " = ( a - b ) ^

a° = 1

Recuerda que la resta es la suma con los inversos aditivos, y la división es la mul­tiplicación con los inversos multiplicativos. Mientras que la radicación es la misma potenciación, siendo los exponen-fes los inversos multiplicativos de los originales.

O TALLGR Propiedades de los números rea •f 1. En cada uno de los ejercicios indica la propiedad usada.

o

a . (7 + x ) + 4 = 7 + (x + 4)

b. 787 + 0 = 787

c. - + 72 = 2 .1642. . . 4

, x 75 75 x a . — + — = — + -

3 2 2 3

e. 2> + (-2*) = 0

f. eiB + 274x" = 274x" + e"

g . 3 + 77 i 77

• + v *JJ

= 3

h . 3 x ( - i r ) = ( - T V ) x 3

i , 4 x (x + 72) = 4x + 472

|, e x—^ = 1 e 2

k , 7 7 x ( x + 2) = 7 7 x x + 7 7 x 2

0 + + 0 7T

x VÍ23 , m , , x = 1 VÍ23 x

n. (Vó + x) + y = Vó + (x + y)

7T r. g +

. 3 V2 _ n. - ^ = x — = 1 V2 3

( ^ X < / 5 ) X | = 7 T X ( ^ V 5 X | J

= 0

s. ^ 3 2 x 1 = ^32

t, 4 x (x x y) = (4 x y) x 3

u. ^ + 2 r ] + 34 = ^ | + ( 2 «-+34 )

^ 2 ^ 2

7T 7T p. — + 0 = —

3 3

+ e j + V2 = | + (e + V2)

v. TV x e = 8,5397

98 . 98 w . — x 1 = — 7 7

r 2. Resuelve las operaciones utilizando propiedades de los exponentes.

a. 7 x 3

( 1 \ 5

b.

v °> )

í, 2x4A° X I

I X o-b

X b-a

F. (7z) 101

\99

c. 4 3 • x3

d.

(7z) y

g. y3 • 2- 3

h. -3

i- / a • y3

k. 2 7 3

3^ I. ZL

43 5 2

"Z' 3. Resuelve las ecuaciones mostrando explícitamente la propiedad empleada.

a. 2x 2 = 8

b. 5 V x ~ - ó 5 = 12

g. 127 = 8

h. aVx+ — = b 2

m . — = 12

T n. 4 X = 64

c. - = 12 x v 3

d. — + 12 = 24 3

e. xV3 — = 9 5

24 3/ 2

= 38

i.

i. 715^37 =

k. x 4 =12

7̂ /5 V8

1. 2 3x 2 = 7 3 - 1 2

n. —x'

0 , X4

12 3 = 2 3 - V 8

q. 71 — X 3

Además de la radicación exis+e o+ra operación inversa a la po+encia den+ro de los números reales, es llamada logarifmación y se define de la siguien+e manera:

log g b = c O ac = b.Y cumple las siguien+es propiedades:

log (b X c) = log b + log c

4 . Resuelve:

a . l o g 3 81

b. l og , 2 1 4 4

c. l o g 5 3 125

d . l og 4 25ó

e. l o g 7 2 4 3

f. l o g 1 6 4

g . l o g 1 2 8 2

h - ^Oioo ooo 1 0

i. l o g 3 ( 2 7 x 8 1 )

j . I o g 4 ( l ó x l 0 2 4 )

k. b g 1 0 ( 100 x 1 0 0 0 )

I. l o g 6 ( l 2 9 6 x 2 1 6 )

m. l o g 6 4 ( 4 x 2 )

n. b g í l 1 ) — x — 4 16

log, > c, log b — log c

log a bc

— c log g b

log r b log, b • \ogr g

ñ. l og . r 6 2 5 )

o« l o g 2

l 25 J

í 2 0 4 8 1

p . l o g 3

q . l o g 4

r. l o g ,

s. l o g 4

32

Í729) 9 ,

Í 256 ) ( 64

Í 2 4 0 1 4 9 J

2 5 6 ' 4 0 9 6

t. l o g 4 8

u. l o g 2 7 ( 2 4 3)

v. l o g 2 5 3 125

w . l o g 3 2 2 5 6

x. I o g 1 0 0 1 0 0 0

y, l o g l 6 1 0 2 4

f 5 . Un r e c t á n g u l o tiene 20 m 2 de á rea y 18

m de pe r íme t ro . ¿Cuá les son sus dimen­

siones? En cada paso aclara la propie­

dad de los n ú m e r o s reales usada.

S 6. ¿ C u á l e s son los tres n ú m e r o s enteros

consecutivos cuya suma es 399?

S 7. ¿ C u á l es el n ú m e r o al cual hay que

elevar el n ú m e r o ocho para obtener

512?

S 8. E n c r i p t a c i ó n es la t é c n i c a utilizada pa­

ra codificar la i n f o r m a c i ó n de forma

que no pueda ser comprendida por

alguien no autorizado y para ello se

utilizan claves generadas con n ú m e r o s

primos (aquellos que solo son divisi­

bles por sí mismos y por la unidad).

Dinos si el n ú m e r o 323 sirve para tal

p r o p ó s i t o . Halla un n ú m e r o mayor que

mil que pueda ser utilizado para crear

una clave.

S 9. Un cuadrado tiene 1 024 m 2 de á r e a ,

¿ c u á l es el lado de un cubo que tenga

esa misma á r e a en sus seis caras?

S 10, El belio es una unidad que mide la

intensidad del sonido. Es una escala

l o g a r í t m i c a en base 10, lo que quiere

decir que un aumento de un belio es

un aumento de diez veces en magni­

tud. ¿ C u á n t a s veces es m á s intenso

un sonido de doce belios que uno de

ocho belios?

s í f 1 1 , Si el volumen de una esfera es volumen

de una esfera es —7rr3 y el de un cilin-3 7

dro es nr2h. ¿ C u á l objeto tiene mayor

volumen, una esfera de 32 cm de ra­

dio o un cilindro de 1 2 cm de largo y

20 cm de radio?

20 cm

12 cm

f 12. ¿ C u á l debe ser el largo del cilindro para

tener el mismo volumen de la esfera?

y 13. Si la densidad de un objeto se define

como su masa dividida entre su volu­

men, ¿ c u á l es la densidad promedio

de un edificio de base cuadrada de 40

m de lado, altura 200 m y 1 8 000 to­

neladas?

^ ^ 1 4 . ¿ C u á l es el á r e a total de un hexaedro,

t a m b i é n conocido como cubo cuyo vo­

lumen es 1 728 m3?

V = 1 728 m=

Descriptor de desempeño: / Reconocer y aplicar las propiedades de los números reales.

Pensamiento numérico - variacional

Operaciones con números reales n a — »

La Plaza de San Pedro se encuentra en la ciudad del Vaticano, dentro de Roma, es una de las más grandes del mundo y el centro del catolicismo mundial.

La plaza es una gran explanada trapezoidal que se ensancha lateralmente mediante dos pasajes, en for­ma elíptica. Sus medidas son extraordinarias: tiene 33 dam, rodeada por 4 hileras formadas por 284 colum­nas y 88 pilastres. Observa los números que componen la medida y determinemos el perímetro de esta plaza.

Observa que para hallar el perímetro debemos encontrar la medida de x y y. x es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 1 5 dam y 3 dam, por tanto,

x = V3 2 + 1 5 2 = V234 = ^ 9 - 2 6 = 3V26.

Ahora, y es la mitad de media circunferencia de radio 9 dam, por tanto,

y = (2TT • r) 2 = (2TT • 9) V 2 = 1 8TT + 2 = 9TT

Entonces, el perímetro de la Plaza de San Pedro es:

P = 22 + 3V2ó + 9-7T + 1 6 + 9-7T + 3V2ó = (reunimos términos semejantes)

(22 + 1 ó) + (3 + 3V2ó + 3V26) + (9TT + 9TT) = 38 + óV2ó 1 8TT decámetros

Clave matemática

Los números reales presentan todas las operaciones que conocemos: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, logaritmación y radicación.

Ten en cuenta que cuando queremos sumar números racionales e irracionales muchas veces debemos echar mano del álgebra

en la reducción de términos semejantes.

O TALLGR Operaciones con números realesO o °

'f 1, Realiza las operaciones, analiza y guíate con los ejemplos.

a. — + 2V3 + 3 -5V3 = •̂ + 3J + ( 2 - 5 ) V 3 , agrupando términos semejantes.

21 3%/3, esta expresión no puede reducirse más, ya que no posee términos

5 semejantes.

b. V 7 x V 5 , como el índice del radical es el mismo, podemos realizar el producto V35.

c, y/V2 x^¡25, como los índices de la raíz son diferentes no podemos hacer nada.

rm2

, 2 , , debemos recordar la relación que existe entre raíces y potencias.

3/49 e. , al desarrollar nos queda:

2' 4

, | + ( V3)(75)-lvT5

9* V3 _ ] _ 2 3 +

h . (V2-v /T3) + (5</Í3 + -</2)- +12V13

¡2V8)3

• 1. ^UV3-

V3 12

Ic • 7 + V2 l 5 J V

1. % 1 2 + ^ 7 7T

- 9

V5 + 1 V7

r.

r 3. Un rad iote lescopio ha detectado una señal de rad io muy extraña, c a d a V7 segundos envía una o n d a con una f re­cuenc ia de 10 hertzios mayor que la anter ior. Si la pr imera señal tenía una intens idad de 20 hertzios, ¿cuántos segundos han p a s a d o si la intens idad actua l es de 420 hertzios?

m . V2

S 4 .

3 7 2

q . —x—¡= 5 V3

( V 3 - 4 ) x

(V3 + 4)

^27 V4 </Í6 X^/243

Los admin i s t radores del edi f ic io A v i a n -ca han o r g a n i z a d o una maratón de escaleras entre los e m p l e a d o s d e las distintas of ic inas. La distancia tota l de la maratón es de 30V2 kilómetros y en c a d a recor r ido del edi f ic io se cubren 2V3 kilómetros. ¿Cuántas veces d e b e n recorrer el edi f ic io los part ic ipantes?

^ 5 . Las d imens iones de la pirámide de Keops son: 230,347 m de lado y una al tura de 146,61 m. ¿Cuál es su v o l u ­men?

$¡64 5VT2 t. —— X •

u . (VÍ3)2 + óVT3 - 1 2

y 2. Los últimos c inco pisos del Cent ra l Pla­za de H o n g Kong t ienen siete of ic inas c a d a u n o , mientras que los 5 3 restan­tes t ienen en p r o m e d i o diez of ic inas c a d a uno . Si en el edi f ic io t r a b a j a n 6 200 e m p l e a d o s , ¿cuántos t r a b a j a n en c a d a of ic ina?

/.D) 6. Representa la siguiente operación usando la recta de los números reales: (5 — 2) x 3.

En primer lugar ubicamos la primera cantidad, en este caso cinco (5).

A

Luego, a partir del punto cinco representas el siguiente valor (—2).

A -r-2

C

El resultado es la distancia desde el origen hasta el punto de llegada.

A w C C

Por último, esta distancia la representamos tres veces desde el origen.

A

-1

m i M M Representa en la recta de los números reales (12 — 7) x 2.

/,))) 7. Representa.

a. 4 x 3 - 1 2

b. V 2 + V 3

c. 3 21 4 + 3

x 3

d. V 5 x 4

e. 1 31 5 + 5

] __ 31 (5 5

x 2

x 5

8. Un avión recorre 1 2 m a la izquierda, luego 9 m a la derecha y otra vez 1 3 m a la derecha. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de origen? Haz su representación analítica.

9. Un explorador camina 1 2 m a la de­recha luego gira 180°. Y camina a la izquierda el doble de la distancia an­terior. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida? Represéntalo analíticamente también.

10. Una rana salta un metro a la derecha y luego hace un salto en la misma di ­rección tres veces más largo que el anterior. Después se devuelve dando 1 ó pasos de 0,5 m cada uno. ¿Dónde quedó? Represéntalo analíticamente.

Descriptor de desempeño: / Diferenciar y aplicar las operaciones de los números reales según el caso.

Pensamiento numérico-variacional

Sucesiones

Clave matemática' S S S S M M I M M M I I H M N & M N M M

Una sucesión es un subconjunto de los números reales que presenta la forma: a,, a 2 , a 3 ,

a . . . . ,a 4 ' n '

En la cual cada uno de los términos a n tiene un consecuente a r Además, tiene por ca­racterística que relaciona a cada elemento de los números naturales con un elemento de los números reales: S = {R**^- IR}.

Se expresan siempre con una fórmula que representa el término general. Dicha fórmula tiene siempre forma de función, por ejemplo: Sn = 3" — 1, en donde el valor del término enésimo se obtiene al reemplazar n por el número natural correspondiente.

Clases de sucesiones

Aritmética Geométrica

Una sucesión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene sumándole una cantidad fija llamada razón, denomi­nada con r, al término anterior. Por ejem­plo: S = { 4 , 9, 14, 19 . . . } , en donde: S 1 = 4 , S 2 = 9 , S 3 = 1 4 , S 4 = 1 9 . . .

En general:

Sn = S1 + (n — 1 )r, en donde, r es la ra­zón de la sucesión.

Una sucesión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multipli­cando una cantidad fija llamada razón, denominada q, al término anterior. Por ejemplo: S = { 2 , ó, 18, 5 4 . . . } , en don­de: S, = 2 , S 2 = 6 , S3= 18, S 4 = 5 4 . . .

Sn = S 1 (q n - 1 ) r , en donde q es la razón de la sucesión.

O TALLGR Sucesiones O o o

iT 1. Halla los cinco primeros términos de la sucesión, o la fórmula para el término enésimo, según corresponda.

c 8n + l c l n

o. Sn = —r e. Sn = -

b- S = {f'Y'f'ir'-} I f« S = { - 3 , - l , l , 3 , . . . }

c S = {14'H'-} ^ 9- S = { 2 1 , 1 8 , 15, 12, . . . }

3 7" d . S„ = 4 n - - h. S = - r -

5 3 2 n

n. S= {73,273,473,...}

k. S VnTT

i. s = \l,L,^ 13 12 6 12

m . S = - 5 r ' n 3

ñ. S = 3n -125

>. S = { - 3 + V5,2 + V5,7 + V5,...}

p- s-=lfH q. S =

3 7 11 15 5 ' 5 ' 5 ' 5 "

2. Mi padre aceptó la siguiente propues­ta: un amigo le va a dar $ 100 000 a mi padre por muy poco a cambio, mi padre debe darle el primer día $ 1, el segundo día $ 2, el tercer día $ 4, el cuarto día $ 8 y así sucesivamente cada día el doble de lo anterior, con la única condición de que el trato debe durar un mes exacto. Responde.

a. ¿Quién ha sido el mejor nego­ciante?

b. ¿Cuánto dinero pagó mi padre el último día?

c. ¿Y en total?

d. Expresa dicha situación como una sucesión.

3 . En una de las famosas "pirámides" de ahorradores los promotores están re-clutando "inversionistas", según el si­guiente modelo: un cliente debe invertir $ 100 000 para comprar un formu­lario que lo compromete a conseguir otros siete inversionistas, una vez los haya conseguido la empresa le pagará $ 500 000. Si sabemos que en la pri­mera ronda se consiguieron diez inver­sionistas, al cabo de cuatro rondas:

a. ¿Cuántos inversionistas habrá en total?

b. ¿Cuál habrá sido la ganancia de los promotores?

c. ¿Existe forma de representar el nú­mero de ahorradores en una ron­da determinada?

S 4 . Las bacterias se reproducen dividién­dose en dos. Si el tiempo de repro­ducción de una especie determinada de bacteria es de 30 minutos y en un cultivo se tiene una de ellas:

a. ¿Cuántas habrá en cuatro horas?

b. ¿En seis horas?

c. ¿Cómo lo representarías en forma de sucesión?

^ 5. Vamos a comprobar el poder del chis­me. Dos personas inventan un chisme sobre Natalia París y deciden propa­garlo, así que cada uno lo cuenta a tres personas más, y cada una de es­tas personas lo cuenta a otras tres per­sonas y así sucesivamente. Calcula al cabo de cuántas "rondas de chisme" se enteran:

a . Bogotá: ó 250 000 habitantes.

b. Colombia: 43 000 000 de habi­tantes.

c. El mundo entero: ó 000 000 000 de habitantes.

Represéntalo en forma de sucesión.

y 6. Car los Alberto acaba de abr i r una cuen­ta en Facebook, el pr imer día no tiene ningún a m i g o , al segundo día consigue tres amigos , y cada día después del pr i ­mero cada uno de sus amigos le pre­senta tres personas más. Responde.

a . ¿Cuántos amigos tendrá al c a b o de diez días?

b. ¿Y al c a b o de 15 días?

c. ¿Y después de un mes?

S 7, Ana María es he rmana de Car los A l ­berto y el la también a c a b a de crear su cuenta en Facebook , pero a di ferencia de su h e r m a n o el la solo cons igue tres nuevos amigos al día. ¿Cuántos a m i ­gos tendrá al décimo, d e c i m o q u i n t o y trigésimo días?

/ " 8 . El costo de la v ida en el país subió un 1 % en el mes de enero, y a partir de d icho mes ha subido un 1 % mensual . Representa el e n u n c i a d o c o m o una su­cesión y dinos cuánto ha a u m e n t a d o el costo de vida después de un año.

y 9 , Cuenta la leyenda que al inventor del juego del ajedrez le promet ie ron dar le un g r a n o de t r igo por el pr imer c u a d r o , dos por el segundo, cuat ro por el terce­ro y así sucesivamente, c a d a cuadro le representa el d o b l e de t r igo del c u a d r o anterior. Si el tab le ro de ajedrez t iene 64 cuadros , ¿cuánto le d ieron por el último cuadro? Y, ¿en total?

y 10 . En la época en que los europeos l lega­ron a América la viruela no se había visto en este continente por lo que los nativos no habían desarrol lado defensas contra el la, por esta razón la tasa de morta l i ­dad fue muy elevada. Si cada indígena enfermo infectaba a otros dos antes de morir al mes de infectado, ¿cuántos in­dígenas murieron a los cinco meses?

V 1 1 . Una abe ja reina sale con 2 5 obreras a comenza r una nueva c o l m e n a . Des­pués de construi r la y adecuar la c o ­mienza a c o l o c a r huevos para p o b l a r la c o l m e n a . Si nacen 35 obreras nue­vas c a d a día, ¿cuántas obreras habrá al c a b o de tres meses?

r 1 2 . En una campaña para la reconstruc­ción de un hospital logran que la gente se comprometa llevando siete ladrillos cada persona. Si cuando la campaña comenzó las directivas del hospital te­nían ya 340 ladrillos, expresa dicha situación en forma de sucesión.

f 13, Cada 35 minutos caen tres litros de agua por un desagüe de la ciudad. Si en el pozo había originalmente 200 li­tros de agua, expresa dicha situación en forma de serie y calcula la cantidad de agua a los 1 40 minutos.

S 14. De una montaña se desprende un pe­dazo de roca con una velocidad de 30 m/s. Si cada segundo su velocidad es 35 m/s mayor que el segundo anterior, expresa dicha situación como sucesión y halla la velocidad a los 25 segundos.

y 15, Cuatro amigos deciden hacer un ex­perimento y compran cuatro conejos, formando dos parejas. Si cada pareja procrea ocho crías cada tres meses, ¿cuántas crías procrean al cabo de 24 meses?

y 16. En un acelerador de partículas se logra dividir los núcleos cada 15 segundos, si de cada núcleo original se obtienen tres y al comienzo había 340 núcleos, ¿cuántos núcleos habrá al cabo de diez minutos?

S 17. En una bóveda de un banco hay alma­cenados 4 500 millones de pesos. Si cada día se retiran $ 2 500 000, expre­sa dicha situación como sucesión y cal­cula el dinero existente a los 25 días.

18. Representa analíticamente la siguiente sucesión.

3_ 'X

1 [ i 0

0 1 '2 '3

1 i ! ._„j-2 - 3

Representa analíticamente.

5ÍX

C

8

A

D

0 1

Descriptor de desempeño: / Determinar e identificar los términos y clases de sucesiones con números reales.

Pensamiento numérico-vañacional

• Sucesiones acotadas y no acotadas

Vamos a suponer que Aquiles S.A. le hubiese dado 1 0 m de ventaja a la compañía Tortuga Inc. y construyera edificios el doble de rápido que ella.

Distancia parcial construida por

Aquiles S.A.

Distancia total construida por

Aquiles S.A.

Distancia parcial construida por

Tortuga Inc.

Distancia entre el punto de partida

de Aquiles S.A. y Tortuga Inc.

Distancia que los separa

0 0 0 10 10

10 10 5 15 5

5 15 2,5 17,5 2,5

2,5 17,5 1,25 18,75 1,25

1,25 18,75 0,625 19,375 0,625

0,625 19,375 0,3125 19,6875 0,3125

0,3125 19,6875 0,15625 19,84375 0,15625

0,15625 19,84375 0,078125 19,921875 0,078125

0,078125 19,921875 0,0390625 19,9609375 0,0390625

0,0390625 19,9609375 0,01953125 19,98046875 0,01953125

0,01953125 19,98046875 0,009765625 19,99034375 0,009765625

Aunque Aquiles S.A. y Tortuga Inc. se encuentran cada vez más cerca de llegar a 20 m, de la forma que contemplamos el problema ninguno de los dos los alcanzará; por tanto, 20 es la cota superior de los dos conjuntos numéricos, mientras que las cotas inferiores son cero y diez para Aquiles S.A. y Tortuga Inc., respectivamente.

Clave matemática*

Sea Cs = {x e IR1/ x < b } , entonces, decimos que b es una cota superior del conjunto C. De forma análoga si O = {x 6 R*/x > a } , entonces, decimos que a es una cota inferior del conjunto C. De la misma forma una sucesión puede tener cotas superior o inferior a ambas simultáneamente o ninguna.

I

No importa qué tan cercano a b sea el valor que tome x, siempre habrá infinitos números separando a x de b. Para que un subconjunto de los números reales

o una sucesión sean acotados deben tener cota superior e inferior.

O TALLGR Sucesiones acotadas y no acotadas O o

*,))) 1, Representa en la recta numérica cada conjunto.

a . $ = { 6 4 , 3 2 , 1 6 , 8 , 4 , 2 , 1 , . . . } e . S = { 8 1 , 108, 11 7, 120, 121, . . . }

b. S.= { 4 ; 6; 7; 7,5; 7,75,. . . } f. S = { 4 , 8, 1 2, 1 6, 20, . . . }

c. S = { 2 0 , 12, 8, 6, 5,. . . } g. S = { 1 ; 1,1; 1,11; 1,111; 1,1111,.. .}

d. S = { 6 2 5 , 1 2 5 , 2 5 , 5 , 1,...} . _ . 3 7 15 31 63

1 2 4 8 1 ó 32

? 2 . Representa cada uno de los conjuntos anteriores por comprensión.

a . S = { } e . S = {

b. S = { } f. S = {

c. S = { } g. S = {

d. S = { } h. S = {

1 3 . Responde si los siguientes conjuntos son acotados o no y por qué. n + 1 a . U x G R / x = — , Vn e Z

b. T = {x G R / x = Vñ, Vn G Z }

C. S = {y G R I - y/2, < y < ir}

d. M = \x e

e . T = {w G IR / w = = 2", Vn G Z }

f. U = {x / X = 3 X (n + 2) , Vn G Z }

9- K = \x e l / x = n 2 + 1 , V n G z j L n 2 - l J

N = {z G R 1 x = = - 4 < z + 8 < 10}

r( 4, Observa en la tabla la columna de la distancia total construida por Aquiles, dicha co­lumna contiene la suma de todos los elementos de la sucesión, esta columna recibe el nombre de ser ie . Con base en la información anterior, calcula la suma de cada una de las siguientes series:

10 10 a. ^ n + 1 g.

n=l

n=l

1

5 _ 3

d. X^nT2

12

5 1 i . y -

t í " íoo 2

i- 1^ n=l e

5

e. Y — n=l n!

L—t nn n=l Z

k. £ n n=-5

I. ¿ 3 n 2

n=0

Se sabe por la ley de desintegración radiactiva que el número de núcleos de un elemento radiactivo se reduce una cuarta parte cada minuto que pasa. Si al comienzo de un experi­mento se tienen mil núcleos de uno de dichos elementos, represente en forma de conjunto esta situación.

S 6. Don Luis tiene cuatro hijos, el mayor de ellos tiene 30 años, mientras el me­nor, diez. Determina la cota superior e inferior de dicho conjunto.

f 7. Las matrículas en el colegio "Mis ale­gres amiguitos" se calculan de la si­guiente manera: $ 75 000 + $ 5 000 por estrato, siendo los estratos de uno a seis. Calcula la cota superior e infe­rior de este conjunto.

i i

-f 8 . La relación con mi novia se ha ido de­teriorando con el tiempo, ya que duran­te la primera semana nos llamábamos cada media hora, durante la segunda

hablábamos cada hora, en el transcurso de la tercera semana nos llamábamos cada dos horas. Un día ella me dijo que cuando dejáramos de hablarnos por lo menos una vez al día mejor terminába­mos. ¿Cuánto tiempo duramos de no­vios? Representa gráficamente el con­junto solución del problema.

f 9, Francisco estudia en el extranjero, por esta razón su padre comenzó girándole $1 000 000 mensuales, pero este ritmo solo lo aguantó durante el primer año. En el segundo año la cantidad girada disminuyó a $ 500 000 mensuales; el tercer año a $ 250 000 y así sucesi­vamente. El padre de Francisco le dijo que cuando el monto fuera inferior a $ 50 000 dejaría de enviarle giros. ¿Des­pués de cuánto tiempo se acabaron los giros? ¿Cuál fue el total girado?

10. Determina a partir de la tabla compa­rativa de los metros construidos por Aquiles S.A. y Tortuga Inc. lo siguiente:

a . ¿Cuáles son los términos de la su­cesión definida por la velocidad de construcción de Aquiles?

b. Identifica si es una sucesión arit­mética o geométrica.

c. Calcula su término enésimo.

' ? 11. Responde, con base en la tabla com­parativa de los metros construidos por Aquiles S.A. y Tortuga Inc., cuáles son los términos de la sucesión definida por la velocidad de construcción de Tortuga. Identifica si es una sucesión aritmética o geométrica. Calcula su término enésimo.

S 12, Calcula el término enésimo de la su­cesión del problema número 10.

S 13. Calcula el término enésimo de la su­cesión del problema número 1 1.

Descriptor de desempeño: / Diferenciar y desarrollar las clases de sucesiones, y calcular su término general.

Pensamiento aleatorio

• Nociones y concepto de probabilidad El gerente de una agencia de viajes se da cuenta del gran atractivo que tienen las megacons-trucciones sobre sus clientes, por esto decide que la mejor forma de aprovechar esta situación es crear un juego de cartas coleccionables donde cada una va a reseñar los datos más importantes de un edificio.

El juego se va a componer de doce cartas para coleccionar y se va a obsequiar una por cada viaje con la agencia, así que cuando el cliente compra su boleto sabe que le va a salir una de las doce megaconstrucciones, pero no tiene certeza de cuál hasta no haberla recibido y destapado.

Clave matemática

Experimento aleatorio: un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

a . De antemano se conocen todos los resultados posibles del experimento.

b . Es imposible predecir cuál de dichos resultados va a ocurrir, antes de realizar el experimento.

C. El experimento puede repetirse indefinidamente en condiciones similares.

Espacio muestral: el espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se nombra con la letra S.

Evento: un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se nombra con las letras A, 8, C. . .

Probabilidad de un evento: se denota como P(A) y consiste en el cociente entre el número de resultados favorables y el número total de resultados.

Número de elementos de E P(E):

Número de elementos de S

O TALLGR Nociones y concepto de probabilidadO o o

}»)) 1. Determina el espacio muestral de los experimentos aleatorios.

a . Lanzamiento de dos monedas.

b . Saca una carta de una baraja y anota su color.

c. Saca una carta de una baraja y anota su palo o pinta.

d. Lanzamiento de dos dados.

e. Lanza dos dados y anota la suma de los puntos obtenidos.

f. Escoge al azar el número de cami­seta de un jugador de un equipo de fútbol (numerado de 1 a 11).

g. Cuenta el número de casas aleda­ñas a una casa escogida al azar.

h. Cuenta el número de minutos trans­curridos entre dos llamadas conse­cutivas a una central telefónica.

i. Anota el nombre del operador al que va a llamar un cliente en un local de venta de minutos.

j . Cuenta el número de automóviles que pasan por una calle en un mi­nuto.

k. Escoge al azar un piso del Empire State.

I, Anota el sexo de una persona es­cogida al azar.

m, Selecciona un número de dos dí­gitos en una rifa.

n. Cuenta el número de días que llue­ve en una semana.

ñ. Escoge al azar uno de los países de Suramérica.

o . Escoge una de las megaconstruc-ciones del comienzo del capítulo.

y 1. K partir de cada uno de los espacios muéstrales del ejercicio anterior, expre­sa los siguientes eventos en forma de conjunto y calcula su probabil idad.

o, Se obtiene una sola cara.

b. La carta sacada es roja.

c. La carta sacada es una carta de tréboles.

d. Uno de los dados muestra un 5.

e . La suma de los dos dados es 7.

f. El número escogido es el número 7.

S 3. En los siguientes ejercicios encontrarás la probabil idad de un evento dado y el número de elementos de su espa­cio muestral relacionado, calcula el número de maneras posibles en que puede ocurrir dicho evento.

a . La probabil idad de obtener 5 al

momento de lanzar dos dados es

de — y el número de resultados

posibles al lanzarlos es 36. ¿De

cuántas formas puedes sacar 5?

b . La probabilidad de escoger una car­

ta roja en una baraja es de 0,5 si el

número total de cartas de la baraja

es de 52, ¿cuántas cartas rojas po­

demos sacar de dicha baraja?

c. La probabil idad de obtener dos o

más caras al momento de lanzar

tres monedas es de —. ¿De cuán-2

tas maneras posibles puedes obte­

ner dos o más caras?

d. En una urna hay un total de doce

bolas de colores. Si la probabil i­

dad de sacar al azar una bola roja

es de —, ¿cuántas bolas rojas hay 3

en dicha urna?

e . Un comité está compuesto por nue­

ve personas, al escoger al azar a

cualquiera de ellas la probabilidad 2

de que sea hombre es —, ¿cuán-3

tos hombres forman parte de dicho

comité?

f. En las torres Petronas de Malasia

hay 1 024 oficinas, si la probabil i­

dad de que en una de esas oficinas

se hable español es de 0,0625,

¿en cuántas oficinas se encuen­

tran trabajadores hispanos?

4 . Los siguientes equipos han clasifica­do a los cuadrangulares semifinales: E = {Equidad, Santa Fe, Cali, Medellín, América, Chicó, Millonarios, Tolima}, dinos cuál es la probabilidad de que el campeón no sea un equipo bogotano?

f 5. Si tienes el siguiente conjunto: A = { 3 , 4, 7, 9, 1 0 } . Y el subconjun­to 8 = { 3 , 9 } , dinos P(B) = ?

f 6. En el ejercicio anterior, ¿cuál es la pro­babilidad de sacar 3, 9 ó 10?

r'( 7, Si E = {Torres Petronas, Empire State, torre Sears} entonces a partir de dicho espacio muestral determina la proba­bilidad de seleccionar las Torres Petro­nas o el Empire State?

1 8 . Veamos la localización de algunos de los edificios más altos:

A = {USA, China, USA, USA, China}. ¿Cuál es la probabil idad de que uno de ellos se encuentre en China?

? 9 . En el experimento de lanzar cuatro mo­nedas simultáneamente obtenemos el siguiente espacio muestral:

A = { (c , c, c, c) , (c, c, c, s), (c, c, s, c) , (c, c, s, s), (c, s, c, c) , (c, s, c, s), (c, s, s, c) , (c, s, s, s), (s, c, c, c) , (s, c, c, s), (s, c, s, c ) , (s, c, s, s), (s, s, c, c) , (s, s, c, s), (s, s, s, c ) , (s, s, s, s)}.

¿Cuál es la probabil idad de obtener al menos dos caras?

10. Los siguientes son los nombres de los estudiantes de preescolar:

A = {María, Juan, Pedro, Martha, Lau­ra, Vanessa, Julián, Patricia, Manuel} , ¿cuál es la probabil idad de que uno de ellos sea niña?

11. La lista de nominados al Grammy la­tino por mejor álbum es: S = {Jagua­res, Juanes, Juan Luis Guerra, Shaki-ra} , ¿cuál es la probabil idad de que lo ganen Shakira o Juanes?

12. Si tomamos los números dígitos como espacio muestral determina un evento que tenga una probabil idad de 0,5.

13, Una licitación para producir un do­

cumental sobre la vida de Francisco

de Paula Santander nos ofrece el si­

guiente espacio muestral: S = {TV Az­

teca (México), Televisa (México), TVE

(España), Caracol (Colombia), RCN

(Colombia)}. Determina dos eventos

diferentes que tengan probabil idad de 2 5 '

? 1 4 . Si el signo de Aries va desde el 21 de

marzo hasta el 20 de abril, si sabemos

que una persona ha nacido en marzo,

¿cuál es la probabilidad de que su sig­

no zodiacal sea Aries?

f 16, Dentro de un TransMilenio Luis ha con­tado a las personas para no aburrirse, y vio que de 65 personas que había en el bus 20 tenían uniforme de colegio. ¿Cuál es la probabilidad de que en di­cho vehículo se encontraran personas sin uniforme?

*? 15. Durante su visita a un zoológico An-

dreita vio los siguientes animales:

S = {elefante, león, oso, t igre}, men­

ciona un evento que tenga como pro­

babilidad 0,5.

17. Al levantarse Juan Pablo analiza las opciones que tiene para ir al colegio, si camina se demorará 30 minutos, si va en bicicleta el tiempo será de 20 minutos y si coge buseta se demora­rá 10 minutos. ¿Si al evento de gas­tar 10 minutos lo denominamos E = { 1 0 } , ¿cómo representarías el espa­cio muestral?

Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar conceptos básicos de la probabilidad.

• Probabilidad y teoría de conjuntos

Los conceptos fundamentales de la probabil idad también tienen aplicación en la teoría de conjuntos y existe una íntima relación con las técnicas de conteo de los elementos de distintos conjuntos. Veamos:

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

P(A - B) = P(A) - P(A n B)

P(A u 8 u C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A n B) - P(A n C) - P(B n C ) + P ( A n B n C )

P(A A B) = P(A) + P(B) - 2P(A n B)

•• . . : . ' ',„.!•(•.. i ; I,Í: :

O TALLGR Probabilidad y teoría de conjuntos O o °

Llamémoslos conjuntos A, B, C y D, respectivamente:

P(A) = — = 25% P(B) = — = 30% P(C) = — = 75% P(D) = — = 70% v ' 20 v ; 20 v ; 20 1 ; 20

Si ahora queremos conocer la probabil idad de que un edificio mida más de 400 m o tenga más de 90 pisos tenemos:

P(AuB)^P(A) + P(B)-P(AnB)

P(AUB) = 0 , 2 5 + 0 , 3 0 - 0 , 1 5 = 0,4

/,.).> 1. ¿Cuál es la probabil idad de que uno /»» 2 . ¿Cuál es la probabil idad de que uno de los 20 edificios más altos del mun- de los 20 edificios más altos del mun­do tenga más de 90 pisos o mida me- do tenga menos de 90 pisos o mida nos de 400 m? menos de 400 m?

Rincón de ta historia

La probabil idad nació con los juegos de azar. A los algebristas del Renacimiento, en el siglo XVI, como Pacioli, Cardano o Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas sobre los juegos de azar y de las apuestas.

i/f 3 . A = {estudiantes de filosofía}, n(A) = 20

8 = {estudiantes de estadística}, n(B) = 12

A n 8 = {estudiantes de filosofía y es­tadística}, n(A n 8) = 8

Halla P(A), P(8) y P(A n 8)

Gráfica los conjuntos, teniendo en cuen­ta la información presentada.

En grado décimo se han inscrito los siguientes estudiantes a las prácticas deportivas: fútbol, 28 estudiantes; bas­quetbol, 20 estudiantes; atletismo, 22 estudiantes; fútbol y basquetbol, 12 estudiantes; fútbol y atletismo, 12 es­tudiantes; atletismo y basquetbol, 4 es­tudiantes; y en los tres deportes 3 es­tudiantes. Calcula la probabil idad de que al escoger un estudiante de grado décimo este practique un deporte de conjunto.

S 5 . En un sindicato de trabajadores 1 8 son únicamente diurnos y 12 solamente nocturnos. Si el total de trabajadores es de 36, calcula la probabilidad de que un trabajador labore en ambos turnos.

f b. La oficina colombiana de la multina­cional Brands Inc. tiene 36 empleados que hablan inglés, 28 hablan francés y 12 hablan ambos idiomas. ¿Cuál es la probabil idad de que un empleado únicamente hable inglés? ¿Cuál es la probabil idad de que únicamente ha­ble francés? ¿Cuál es la probabil idad de que hable ambos idiomas?

f 7. Si a Martín le han encargado encon­trar los divisores de 15 y halló los nú­meros { 1 , 3, 5, 15} y a Alejo le enco­mendaron encontrar los divisores de 1 8 y halló los números { 1 , 2, 3, 6, 9, 18} . Calcula si se escoge un número al azar de los dos conjuntos, ¿cuál es la probabil idad de que dicho número sea divisor de 1 5 como de 1 8?

y 8 . En un curso de biología avanzada 30 estudiantes son creacionistas única­mente y 18 son evolucionistas. Si de estos últimos 8 también son creacio­nistas y A es el conjunto de estudiantes creacionistas y 8 el conjunto de estu­diantes evolucionistas, halla la proba­bilidad de que un estudiante evolucio­nista también sea creacionista.

43

S 9. Lanza un d a d o y a part i r de los seis re­sultados posibles def ine los siguientes con juntos : A = { 2 , 4, 6 } y 8 = { 5 , 6 } , que se dete rminan c o m o el número o b t e n i d o es par y el número o b t e n i d o es mayor que c u a t r o , respect ivamente. Dete rmina:

11. Si del con jun to de edif icios más altos del m u n d o se escoge uno al azar, cuál es la p r o b a b i l i d a d de (observa el l ista­d o de la página 4 6 ) :

a . P(A)

b. P(8)

c. P ( A n 8 ) =

y 10. Un lote de 150 torni l los está c o m ­puesto de la s iguiente f o r m a : 70 son de a c e r o , 15 son de una aleación de acero y níquel, mientras que el resto está compues to únicamente por ní­q u e l . Si escogemos un torn i l lo al azar, ca lcu la la p r o b a b i l i d a d de que d i c h o torn i l lo tenga únicamente níquel.

a . Encontrarse en USA

b. M e d i r más de 4 0 0 m

c. Estar en Asia

el. Estar local i zado en Ch ina

y 12. En un curso de 35 estudiantes se hizo un estudio para determinar el peso de cada uno, y estos fueron los resultados.

6 0 64 63 5 4 6 0 6 9 5 6 6 7

6 5 6 2 63 61 6 0 62 5 7 64

5 9 62 63 64 5 6 61 63 6 7

6 0 5 7 63 5 9 61 6 0 65 5 7

5 5 62 63

Si se escoge un estudiante al azar, cuál es la p r o b a b i l i d a d de q u e :

a . Pese más de 6 5 kg

Pese menos de 6 2 kg

c. Pese entre 6 4 y 6 9 kg

d. Pese entre 5 7 y 62 Kg

e . Pese exactamente 6 8 kg

t Pese 5 6 kg

y 13, En los grandes rascacielos hay trabaja- 6. En un campo de cultivo se siembra dores de todo el mundo; por ejemplo, en el Empire State el 25% de los em­pleados hablan solo e s p a ñ o l , mientras que el 30% habla ú n i c a m e n t e i ng lés y el 18% hablan a l e m á n . El 12% habla e s p a ñ o l e i n g l é s , el 9% ing lés y ale­m á n , y el 4% e s p a ñ o l y a l e m á n . ¿ C u á l es el porcentaje de trabajadores que domina los tres idiomas?

}>»> 14. De un lote de repuestos para televisor el 30% sirven para LCD y CRT, 40% solo para LCD y 30% solo para CRT, representa esta s i t u a c i ó n utilizando un diagrama de Venn.

arroz y ma íz con las siguientes proba­bilidades 50% arroz y 60% ma íz . Gra-f í c a l o en un diagrama de Venn.

y 17. ¿ C u á l es la probabilidad de que al es­coger una h e c t á r e a al azar esta tenga de los dos tipos de cultivo?

y 18. En una granja hay 65% de animales que andan y 60% de animales que na­dan. Si escojo un animal al azar, ¿ c u á l es la probabilidad de que este sea un pato (anda y nada)?

y 15. De acuerdo con los datos del ejercicio anterior, ¿ c u á l es la probabilidad de que al coger un repuesto al azar este sirva para un televisor CRT?

Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar conceptos de probabilidad y teoría de conjuntos. 45

Pensamiento aleatorio

Regresión y correlación La lista muestra los 20 edificios más altos del mundo en el 2008.

Edificio Pisos Altura

Año de construcción Puesto Edificio Ciudad M M Año de construcción

1 Taipei 101 Taipei 101 509 m 2004

2 Shanghai World Financial Center Shanghai 101 492 m 2008

3 Torres Petronas Kuala Lumpur 88 452 m 1998

4 Sears Tower Chicago 108 442 m 1974

5 Jin Mao Shanghai 88 421 m 1998 1 ó 2 International Finance Centre Hong Kong 88 415 m 2003

7 CITIC Plaza Guangzhou 80 391 m 1997

8 Shun Hing Square Shenzhen 69 384 m 1996

9 Empire State Building Nueva York 102 381 m 1931

10 Central Plaza -

Hong Kong 78 374 m 1992

11 Bank of China Tower Hong Kong 72 367 m 1990

12 Bank of America Tower Nueva York 54 360 m 2008

13 Emirates Office Tower Dubai 54 355 m 2000

14 Tuntex Sky Tower Kaohsiung 85 348 m 1997

15 Aon Center Chicago 83 346 m 1973

r~uT The Center Hong Kong 73 346 m 1998

17 John Hancock Center Chicago 100 344 m 1969

18 Rose Rotana : Dubai 72 333 m 2007

19 Shimao International Plaza Shanghai 60 333 m 2006

20 Minsheng Bank Building Wuhan 68 331 m 2007

¿Habrá alguna relación entre el número de pisos y la altura?

Para responder la pregunta, tracemos un gráfico de relación (llamado diagrama de dispersión) donde x será el número de pisos y y la altura. Por ejemplo, para el primer edificio, el punto co­rrespondiente en el gráfico es (1 0 1 , 509).

Observa que muchos puntos

se a g l o m e r a n ; al aumenta r

la longi tud a u m e n t a n los p i ­

sos de los edif ic ios. La recta

roja se acerca bastante a

la mayoría de los puntos,

podríamos predeci r que un

edif ic io de 4 5 0 m, debe te ­

ner 110 pisos. Esta recta re­

cibe el nombre de recta de

regresión l ineal .

5 5 0 T

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Pisos

La regres ión y los análisis de correlación nos muestran cómo determinar tanto la natu ra ­leza c o m o la fuerza de una relación entre dos var iables. La relación entre estas var iables es una ecuación l ineal en este caso.

Regresión lineal Pendiente positiva

Regresión lineal Pendiente positiva No hay relación

La ecuación por ser l ineal t iene la f o r m a y = mx + b. Para encont rar m y b ut i l izamos las fórmulas:

y ¡ ( x - x ) ( y - y ) J2y m = , b =

E(*-*) 2

m x , x , y , es la media de x y y, n es el número

de datos .

Ca lcu lemos m y b para la recta de regresión que re lac iona la al tura con el número de pisos de los 2 0 edif ic ios más altos.

m = 10 2 5 6 , 2 = 2 Q 7 4 fa _ 7 7 2 4 - ( 2 , 0 7 4 x 1 624) _ 7 7 2 4 - 3 3 6 8 , 1 7 ^ 2 ] ? Q

4 9 4 5 , 2 2 0 2 0

Luego, la recta de regresión l ineal es y = 2 , 0 7 4 x + 21 7,8.

O TALL6R Regresión y correlaciono o

1» Con la recta de regresión podemos hacer algunas predicciones, por ejemplo, si desea­mos saber qué longitud debe tener un edificio de 200 pisos, reemplazo x por 200 en la ecuación, quedando y = 2 ,074(200) + 21 7,8 = 632,6 m. Determina la longitud de un edificio que tenga el siguiente número de pisos:

a . 150 c. 198 e . 300

b. 250 d . 425 f . 264

~y 2» Con la distribución de frecuencia, construye un diagrama de dispersión y encuentra la recta de regresión lineal.

X 12 41 93 147 204 264 373 509 773

Y 930 815 632 487 370 265 147 76 17

S 3 . Los datos de la tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de 12 hombres adultos.

X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178

Y 50 61 54 57 63 59 61 72 66 72 84 82

Elabora un diagrama de dispersión y encuentra la recta de regresión lineal. Según lo anterior, ¿cuál es el peso que debe tener un hombre que mida 1 90 cm?

y 4 . La siguiente tabla relaciona el número de años de estudio y el salario mensual de diez personas.

Años de estudio

8 7 12 16 9 14 20 23 21

Ingreso mensual (miles de 460 460 580 000 650 460 500 1 250 1 600 1 490 650

pesos)

Elabora un diagrama de dispersión así como la recta de regresión lineal y a partir de ella calcula cuál será el ingreso de alguien que tenga dos doctorados (25 años de estudio).

Existe una forma de medir el grado de certeza que nos brinda la rec+a de regresión lineal y se llama coeficiente de correlación, £e calcula de la siguiente manera:

s, 2 Donde ü~2 es la varianza de la variable y, y Qe2 = i V(Y-Yf

n-2 r es muy

cercano a I decimos que el modelo representa fielmente la realidad, si está muy cerca de 0 decimos que el modelo no representa la realidad y se recomienda no usarlo.

y 5, José es un b i b l i ó f i l o (amante de los libros) y ha anotado todos los libros que ha l e ído con el n ú m e r o de p á g i n a s que tiene cada uno y el tiempo que ha demorado l e y é n d o l o s .

N.° de p á g i n a s 230 320 180 237 442 105 98 189

Tiempo d í a s 27 35 20 21 56 17 8 17

¿Exist irá alguna r e l a c i ó n significativa entre n ú m e r o de p á g i n a s y tiempo? ¿ C u á n t o de­m o r a r á leyendo un libro de 1 400 p á g i n a s ?

y 6. John Mario entra a un casino todas las noches durante una semana y relaciona el dinero gastado y el tiempo pasado en el casino.

Dinero 25 000 12 000 35 000 18 000 5 000

Tiempo en minutos 45 30 30 25 15

¿Existe alguna r e l a c i ó n evidente entre las dos variables? Si es así dinos c u á n t o tiempo p a s a r á en el casino si al entrar llega con $ 50 000.

y 7, En una experiencia realizada en clase de f ís ica del colegio se recogieron datos sobre la altura desde la que se lanza un objeto y el tiempo que se demora en llegar al piso, obteniendo los siguientes datos.

Altura m 2 5 10 15 20 50 120 150 200 1 0 0 0

Segundos 0,63 1 1,41 1,73 2 3,16 4,89 5,47 6,32 14,14

Halla la recta de r e g r e s i ó n lineal y dinos si es representativa de los valores consignados.

y 8 . Los siguientes datos se han obtenido de la historia en Colombia cada vez que se ha realizado un censo de p o b l a c i ó n .

A ñ o 1800 1825 1843 1864 1898 1918 1964 1993

P o b l a c i ó n miles 821,6 1 2 2 1 1 6 3 4 2 327 4 172 6 120 18 338 37 422

¿ C u á l es la recta de r e g r e s i ó n lineal de esos datos? ¿Es representativa?

y '). La tabla siguiente muestra la pob lac i ón y t a m a ñ o de los diez países más poblados del mundo.

País

Población millones

T a m a ñ o (miles km2)

U - LS 3 "O m n o

~o o o

~5) c o

CO

147 142

O) Z

133

9 596 3 287 9 826 1919 8 511 803 144 17 075 923 377

¿Existe una r e l a c i ó n lineal entre el t a m a ñ o de un país y su p o b l a c i ó n ? ¿ C u á l es el nivel de certeza de dicha c o r r e l a c i ó n ?

Descriptor de desempeño: / Establecer el nivel de relación de dos variables diferentes utilizando la regresión lineal y el índice de correlación.

Aprendamos a manejar la calculadora científica Muchas veces hemos necesitado usar la calculadora para resolver un sinnúmero de ope­raciones y cálculos, y por no conocer bien su funcionamiento hemos tenido dificultades. A continuación veremos cómo utilizar la calculadora para que sea de gran utilidad en lugar de un dolor de cabeza.

Primero veamos cómo podemos realizar operaciones con números fraccionarios, para ello

utilizamos la tecla ; por ejemplo, si queremos realizar: ^ + — digitamos la siguiente

secuencia de teclas: d/c S-VAR S-SUM d/c

•^3 ^ 2 ^1 a b / c

Como todos sabemos la secuencia de las operaciones aritméticas es la siguiente:

1. Potencias, logaritmos y raíces

2. Multiplicaciones y divisiones

3. Sumas y restas

Para poder alterar este orden podemos utilizar los signos de agrupación que son los parén­

tesis. Veamos:

Realicemos 2 + 4. Si efectuamos las operaciones sin utilizar paréntesis obtendríamos el

resultado equivocado: | | 3,333333, que obvia­

mente no es la respuesta esperada; pero si usamos los paréntesis como se indica

S-VAR 2 ) ^ 3

% 2, que es la respuesta rea

Elevemos un número al cuadrado 75 2 , 7 X 2

% 5 625.

Podemos calcular también otras potencias, por ejemplo: 3, 46; procedemos con el siguien­

te cálculo: • O H %

1 544,804416.

Continuemos, ahora, calculando raíces cuadradas. Calculemos V456 digitando la siguien­

te secuencia de teclas: 1 I 21,35.

a — •

Pero la raíz c u a d r a d a n o es la única raíz q u e le p o d e m o s c a l c u l a r a u n n ú m e r o ; p o r e j e m -

pío , c a l c u l e m o s y/32 d i g i t e m o s : 5 SHIFT f—• 3

S-VAR 2

% 2 . 2 .

P r o c e d a m o s a h o r a c o n el cá l cu lo d e l o g a r i t m o s n a t u r a l e s ; InóO, e* e

In .... 6

Rnd 0

4 , 0 9 4 . . .

También p o d e m o s c a l c u l a r l o g a r i t m o s b a s e 1 0 ; l o g 1 0 4 5 0 , .

2 , 6 5 3 2 . . .

ResueIve Ias o p e r a c i o n e s u t i l i z a n d o tu c a l c u l a d o r a ,

4 — j - f f l — 2~j P«l d x b

8 3

b . 5 6 3 !

c. 4 , 6 7 í 2,62 1 0 , 5

I n 5 3

i l o g 1 0 2 7 ...̂ f 1 j-..

g . 7 , 6 7 x 1 2 , 3 4

h . 111

4 0 _

!l 2!

~ j k í 4 4 I 8 4- 4- ~t -I i

¿ 5 :

10' Rnd log 0

_J — ~ 4 _

! • • 1 '• i í~ _L—L

J i L

j :

I — I : :

i — — r — 1 ~ - j — — — i —

Matemática

Ataques terroristas El terrorismo no es más que otra manifestación de la guerra, y el desarrollo de algunas ramas de las matemáticas ha estado ín­timamente ligado a las necesidades bélicas de distintos periodos históricos. En la Antigüedad, Arquímedes desarrolló para su ami­go y protector, el rey Hieron II, diversos ingenios mecánicos que resultaron de gran utilidad, al menos en un primer momento, en la defensa de Siracusa, atacada por las legiones romanas de Mar­celo, como describe Plutarco en su obra "Vidas paralelas".

Los atentados del 11 de septiembre de 2001 fueron ataques suicidas que implicaron el secuestro de cuatro aviones de pasajeros por parte de 19 miembros de la red terroris­ta Al-Qaeda. Se dividieron en cuatro grupos de secuestradores, cada uno de ellos con un piloto que se encargaría de dirigir el avión. Los dos primeros aviones fueron el vuelo 11 de American Airlines y el vuelo 175 de Uni­ted Airlines, que fueron estrellados contra las Torres Gemelas del World Trade Center, acción que las derrumbó en las dos horas siguientes. El tercer avión secuestrado fue el vuelo 77 de American Airlines, que impactó contra la esquina del Pentágono en Virginia. El cuarto avión, que habría sido el Vuelo 93 de United Airlines, no alcanzó ningún objetivo, ya que los pasajeros y tripulantes

intentaron recuperar el control, por lo que se estrelló en un campo abierto, en Shanksviüe, Pensilvania.

Aparte de los 19 secuestradores, se confirmó la muerte de 2 973 personas y unas 24 conti­núan desaparecidas. Este atentado se caracterizó por el empleo de aviones como armamento, lo que creó una situación de temor mayor en el mundo occidental y originó el comienzo a la guerra contra el terrorismo.

Competencias ciudadanas

Convivencia y paz Analizo críticamente las decisiones, acciones y puntos de vista, que llevan a desencadenar actos terroristas.

Participación y responsabilidad democrática Participación y responsabilidad democrática: tomo postura y doy mi punto de vista frente a las diferentes situaciones relacionadas con actos terroristas de gru­pos al margen de la ley en mi país.

52

Matemática ciudadana Actividades ¡

Realiza una consulta para dete rminar los atentados terroristas más recientes.

C o m e n t a con tus compañeros el efecto que tuv ieron estos atentados a nivel m u n ­d i a l .

M e n c i o n a a lgunos atentados terroristas ocur r idos en C o l o m b i a , ¿por qué crees que pasa esto?

Una simulación del m o m e n t o previo al i m p a c t o fue la s iguiente:

=« iillilllll II 111111 i mili, su tu

mmmmmmm llliiiiilllimmuitilllillllllli ni nuil ni if f iiiiiTtHiiiiiiiiiiii

lllllllfllllllllillflllltlllltlt fülllif illlllllllf illltlllü

Zona de impacto

Determina el ángulo de inclinación del avión con la hor i zonta l .

Si c a d a ala del avión medía a p r o x i m a d a m e n t e 8 m, determina el área de la ci rcunferencia i m p a c t a d a .

C o m e n t a y anal iza el f u n c i o n a m i e n t o de la máquina de defensa de Arquímedes.

C o n base en la t a b l a .

Atentado Ciudad Número de víctimas

M e t r o M a d r i d 192

Red del met ro Londres 5 6

Palacio de Justicia Bogotá 100

C l u b El N o g a l Bogotá 3 6

O k l a h o m a Center O k l a h o m a 168

Realiza un d i a g r a m a de barras y un d i a g r a m a circular. Investiga el año en q u e ocurrió c a d a uno de estos atentados .

Prueba de unidad Contesta a partir de la siguiente gráfica:

A _ _ _ _ 8

C

1 . El área sombreada representa: A n B n C

B. ( A u C ) n ( 8 n C ) n ( A u 8) (A-C)n(A- 8) (8 - A) n (8 - C) u (C-A)n(C-B) (AnB) n(B nC) n ( C n A ) n (A - 8)

Si A = {Edificios con acero en su estruc­tura} , B F= {Edificios con hormigón en su estructura} y C = {Edificios con alumi­nio en su estructura}, la parte sombrea­da representa:

Edificios construidos con los tres ma­teriales. Edificios construidos con dos de los tres materiales. Edificios construidos con otros mate­riales.

5, Edificios construidos con un material. Sobre la diferencia simétrica de conjun­tos podemos afirmar:

Es el complemento de la intersec­ción. Es el complemento de la unión. Es una operación conmutativa. Carece de elementos.

« Si 8 = { x e l / x + 3 < 5 } y A n C = { x e I / 0 < x < 2 } , entonces: A . A = {x G E / x > 8 } B. A = { x G E / x - 3 < 0 }

A= { x e R / x - 12 > - 1 2 } D. A = {xeR/óx< 12}

5. Si A = {x G R / x = 2n, Vn E R } y 8 = {x e R I x = 3n, Vn e R } , entonces: A . A n 8 = { x G l / x = 5n, Vn E R }

Ar\B — {xeR/x — ón, Vn £ R } C. A n 8 = {x E R / x = n, Vn E R} D. A n 8 = { x e R / x = n 5 , Vn e R } Para despejar la siguiente ecuación: 4x = 1 2, usamos la:

Propiedad modulativa. Propiedad invertiva. Propiedad asociativa. Popiedad distributiva.

Contesta las preguntas de la 7 a la 10 a part i r de la s iguiente información: "Los lemmings son pequeños roedores que habitan generalmente cerca del Artico. Los lemmings del norte de Noruega tienen ci­clos pobladonales de cuatro años, en los cuales pasan de un estallido poblacional a un estado cercano a la extinción, donde únicamente sobrevive un porcentaje muy pequeño de los individuos".

7. La palabra porcentaje hace referencia a: El número exacto de individuos. La proporción de individuos.

C. Cien individuos. D. Grupos de 100 individuos.

Prueba de unidad

Si K = {lemmings que sobreviven} y H = {machos que sobreviven}, pode­mos afirmar que:

H u K = 0

B. HnK=0

( H u K ) = ( H n K)

K — H = {hembras que sobreviven}

La r e l a c i ó n correcta entre H y K es:

K c H

H c K

HczK

10. En el momento de crecimiento de la po­b l a c i ó n cada hembra en promedio tiene cuatro hijas para la g e n e r a c i ó n siguien­te, dicha s u c e s i ó n se puede representar:

S = ^ ( 4 " )

S = S, 4

n 1

S = S1 + 4n n I

S = S, x 4 n 1

Observa la siguiente s u c e s i ó n :

_L _L 1 5 4 ' 1 8 ' ó " "

Es una s u c e s i ó n a r i t m é t i c a .

Es una s u c e s i ó n g e o m é t r i c a .

C, No se puede determinar.

No es una s u c e s i ó n .

Al comienzo de una partida de ajedrez hay 20 movimientos posibles, si 1 ó de ellos son movimientos de p e ó n , ¿cuál es la pro­babilidad de que la primera pieza jugada en una partida de ajedrez sea un p e ó n ?

0,8

1,25

16

4

En la Universidad Externado de Colom­bia hay 2 500 estudiantes de b i o l o g í a y 4 800 de ciencia p o l í t i c a . Si en total se encuentran 6 600 estudiantes en el cam-pus, ¿ c u á n t o s toman los dos cursos?

300

800

C. 700

D. 6 600

Si tenemos A = {x € 1 / 3 < x < 12} entonces dicho conjunto:

Tiene cota inferior.

Es acotado.

Es no acotado.

Tiene cota superior.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A O O O O O O O O O O O O O O B C cOOOOOOOOOOOOOO D C