10041235_trabajo_ fase 1 - estadística descriptiva

7/25/2019 10041235_Trabajo_ Fase 1 - estadística descriptiva

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Desarrollo Fase 1 Trabajo Colaborativo

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMER ORDEN

Presentado or:

Rene Ortega: 87532662

Carlos Alberto Acosta 12751548

Marco Pantoja

Astrid Muo! 1"61774#16Rosalba $oa%ui $oa%ui 34&321&818

!r"o:

1""412'35

T"tor:

(lber )ernando Ca*elo

UNI#ERSIDAD NACIONAL A$IERTA % A DISTANCIA

&UNAD'

$unio de 2"16

Página | 1



Objetivos

(l +rinci+al objeti,o de este docu*ento- es obtener una cali.icaci/n- +or su desarrollo& 0

redacci/n en el curso (cuaciones di.erenciales& Pro+iciar el desarrollo de abilidades +ara *odelar situaciones reales en tr*inos de ecuaciones

di.erenciales ntroducir al estudiante en el anlisis de las soluciones de ecuaciones siste*as de ecuaciones

di.erenciales de +ri*er ni,el *+le*entar las ecuaciones di.erenciales de +ri*er ni,el en +roble*as de .sica& Asi*ilar los conce+tos bsicos de la introducci/n a las ecuaciones di.erenciales de +ri*er ni,el

Introd"((i)n:

Página | 2



(l +resente trabajo colaborati,o se ,alidara la te*tica ,ista en la +ri*era unidad del curso ecuacionesdi.erenciales co*+rendiendo el desarrollo de ejercicios- en 2 +artes- una donde se genera la soluci/n anlisis- de las ecuaciones di.erenciales de +ri*er ni,el- la segunda donde se a+lican *ucasecuaciones en la soluci/n de +roble*as reales- unidos con la .sica- donde en uno de estos se e,ala lasoluci/n generan correcciones- *ientras %ue en el segundo se genera la a+licaci/n de las ecuaciones

dando una soluci/n&

Desarrollo de la a(tividad

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a distribuci/n de +untos- se escogi/- +or cada uno de los integrantes del gru+o- e la siguiente *anera&

Est"diante Te*+ti(a I:

Introd"((i)n a las

e("a(iones

di,eren(iales

Te*+ti(a II:

E("a(iones

di,eren(iales

ri*er Orden Carlos A(osta A A

Astrid M"-o. $ $

Mar(o Pantoja C C

Rene Orte/a D D

Rosalba 0oa"2 E E

Te*+ti(a: introducci/n a las ecuaciones di.erenciales

ndi%ue el orden de la ecuaci/n di.erencial estable!ca si la ecuaci/n es lineal o no lineal- justi.i%ue sures+uesta&

a3 X

2senx−(cosx )=senx

dy

dx

(s una ecuaci/n de segundo orden es lineal&

X 2

senx−(cosx )=senx dy

dx

x2

senx

senx

−(c0 sx ) ysenx

dy

dx

x2−(ctgx)

dy

dx

dy

dx = x2

− (ctgx ) y

dy

dx+(ctgx ) y= x

2

(s una ecuaci/n de segundo orden es lineal&

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b3 y

dy

dx +(senx ) y3=e

x+1

(cuaci/n de +ri*er orden a %ue solo a+arece la +ri*era deri,ada de res+ecto a 9

i,idiendo la ecuaci/n en - obtene*os

;e identi.ica co*o ecuaci/n e +ri*er orden- ,alidando solo una deri,ada de 0 res+ecto a <

;i esta se di,ide en 0- se obtiene

dy

dx+ y

2senx=

e x+1 y

;e ,alida co*o ecuaci/n no lineal- a %ue se obtienen tr*inos no lineales res+ecto a 0 = y2

>

(3d

2 y

d x2+

dy

dx+ y=cos( x+ y)

(cuaci/n di.erencial ordinaria signi.ica %ue si una ecuaci/n solo contiene deri,adas ordinarias deuna o *s ,ariables de+endientes con res+ecto a una sola ,ariable inde+endiente- entonces se dice%ue es una ecuaci/n di.erencial ordinaria&

Clasi,i(a(i)n se/4n s" orden

E("a(i)n di,eren(ial de se/"ndo orden 5el orden lo da la *+s alta derivada6

d2 y

d x2

Clasi,i(a(i)n se/4n la linealidad o no linealidad

(cuaci/n di.erencial no lineal7 la .unci/n de =9> => no sola*ente de =9>

d3d

2r

du2=√1+(

dr

du )2

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Clasi,i(a(i)n se/4n s" orden: (cuaci/n di.erencial de segundo orden- (l orden lo da la *s

alta deri,adad

2r

du2

Clasi,i(a(i)n se/4n si es lineal o no lineal: (cuaci/n di.erencial ?O ?(A a causa del

tr*ino ( dr

du )2

e3 = 2 @ 1> 6 B "

( y2−1 ) dx+6 xdy=0

6 xdy=( y2−1 ) d x

y

(¿¿ 2−1)6 x

dx

dy=−¿

dx

dy =

− y2−1

6 x y

'

=

− y2+1

6 x

(sta ecuaci/n es di.erencial ordinaria de +ri*er orden- +or%ue la deter*inaci/n *s alta es y'

es

ecuaci/n di.erencial ordinaria no lineal +or%ue la ,ariable de+endiente 0 tiene segundo grado = y2¿ &

Te*+ti(a: e("a(iones di,eren(iales de ri*er orden

a6 Resuel,a la siguiente ecuaci/n di.erencial +or el *todo de ,ariables se+arables:

e− y+e

−2 x− y=e x

y dy

dx

1

ey+

e−2 x

e y =e

x y

dy

dx

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1+e−2 x

e y =e

x y

dy

dx

(1+e−2 x )

e x

dx= y e y

dy

∫ 1+e−2 x

e x

dx=∫ y e y

d y

e− x

(¿+e−3 x )dx=∫ y e

ydy

∫¿

∫e− x

dx+∫ e−3 x

dx=∫ y e y

dy

−e− x−

1

3 e

−3 x+c= y e y−∫e

ydy

−e x−

1

3 e

−3 x+c= y e y−e

y

−e− x−13

e−3 x+c=e y ( y−1 )

y=u

dy=du

y=∫e y

dy=e y

b6 Deter*ine si la e("a(i)n dada es e8a(ta7 si lo es res"elva3

(1−lnx ) dy=(1+lnx+ y

x )dx

(9+resi/n de una ecuaci/n di.erencial e9acta

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M ( x , y )dx+ N ( x , y ) dy=0

a*os .or*a a la ecuaci/n&

−1−lnx−

y

x ¿ dx+(1−lnx )dy=

0

;e asigna ter*ino M

M ( x , y )=−1−lnx− y

x

;e asigna ter*ino ?

N ( x , y )=1−lnx

Co*+roba*os:∂ M

∂ y =

∂ N

∂ x

∂ M

∂ Y =

−1

X ∂ M

∂ X =

−1

X

ado %ue las deri,adas +arciales son iguales- es e9acta&

ace*os: ∂ f ∂ x

=−1−lnx− y x

F ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx+g ( y )

ntegrando a*bos lados&

F ( x , y )=∫(−1−lnx− y

x )dx+g( y )

F ( x , y )=− x− xlnx+ x− ylnx+g( y )

eri,a*os a . res+ecto a 0B∂

∂ y∫ M ( x , y ) dx+g ' ( y )= N ( x , y )

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Re*+la!a*osB∂

∂ y (− x− xlnx+ x− ylnx )+g' ( y )= N ( x , y )

guala*osB∂ f

∂ y a ?

−lnx+g' ( y)=1−lnx

ntegrando a*bos lados con res+ecto a

g' ( y)=1

g ( y )= y

Re*+la!a*os en la .unci/n&

F ( x , y )=− x− xlnx+ x− ylnx+g( y )

F ( x , y )= y− xlnx− ylnx

F ( x , y )= y (1−lnx )− xlnx

(6 Resol,er la siguiente ecuaci/n di.erencial allando el .actor integrante:

6 xy dx+ (4 y+9 x2 )dy=0

;i tene*os

M [ x , y ]=6 xy

N [ x , y ]=(4 y+9 x2)

es+eja*os

∂

∂ y M [ x , y ]=6 x

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∂

∂ x N [ x , y ]=18 x

)actor integrante

∂ N ∂ x

− ∂ M ∂ y

=∂ x−∂ y M ( x , y )

=18 x−6 x6 xy

=12 x6 xy

= 2 y

dμ

dx=

18 x−6 x

4 y+9 x2 μ

alla*os el .actor integrante

μ [ x ]=e∫ 2

y dy es+eja*os μ [ x ]=e

2 yϵ =e¿ y

2

entonces

μ [ x ]= y2

)actor integrante

6 x y3

dx+(4 y3+9 x

2 y

2 ) dy=0

∂

∂ y M ( x , y )=18 x y

2

∂∂ y

M ( x , y )=18 x y2

es+eja*os

∂ f

∂ x 6 x y

3f [ x . y ]=6 y

3∫ xdx=3 x2 y

3+g ( y ) existela funcion f ( x , y )

talque ∂ f

∂ y=4 y

3+9 x2 y

2

∂ f

∂ y=9 x

2 y

2+g ´ ( y)

eri,a*os gD

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g ´ [ y ]=4 y3=g ( y )= y

4

f =( x , y )3 x2 y

3+ y4

remplaamos g ( x ) enla funcion f ( x , y )

3 x2 y3+ y4=c solucion

d6 Resuel,a la ecuaci/n di.erencial ( y2+ yx ) dx− x2dy=0

Sol"(i)n:

i,idiendo +or x2dx +asando el tr*ino dy /dx al otro lado de la igualdad:

dy

dx=

y2+ yx

x2

;e identi.ica %ue si se ace la res+ecti,a di,isi/n- %uedan di.erentes +otencias del tr*ino y / x - aciendo el ca*bio de ,ariable:

u= x

y !

dy

dx=u+ x ( du

dx )u+ x ( du

dx )=u2+u

;e di,ide todo +or x - se organi!a los tr*inos& a ecuaci/n resultante es .cil*ente

resuelta +or se+araci/n de ,ariables- de tal *anera %ue integrando %ueda:

∫ du

u2 =∫ dx

x

es+ejando u obtene*os u ( x ) - +ara obtener y ( x ) - nos de,ol,e*os en el ca*bio de

,ariable reali!ado anterior*ente- +or lo %ue y [ x ]= x∗u [ x ]

As obtene*os la soluci/n a la ecuaci/n di.erencial- donde c es una constante +roducto de la

integraci/n- (sta constante estar deter*inada +or condiciones iniciales&

u= −1

ln [ x ]+c" y=

− x

ln [ x ]+c

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e6 Resuel,a el siguiente ejercicio de ,alor inicial&

( x2+2 y2 ) dx

dy− xy=0 y (−1 )=1

( x2+2 y2 ) dx= xy d y

Ca*bio de ,ariable

y=ux dy=udx+ xdu u= y

x

udx+ xd u

( x2+2u2 x2) dx= x . u . x ¿

x2dx+2u

2 x

2dx− x

2u2

dx− x3

u d u

x2dx (1+2u

2−u2 )= x

3u d u

x2

x3 dx=

u du

1+u2

ntegrando a a*bos lados&

∫ 1

x dx=∫ u

1+u2 du

ln| x|∗c1=1

2 ln|1+u

2|+# 2

2 ln| x|+$ =1

2 ln

|1+

y2

x

2

|A+licando e a a*bos lados

e2 ln| x|+$ =e

ln|1+ y2

x2|

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%x=1+ y

2

x2

% = x

2+ y2

x2

x

% = x

2+ y2

x3

Ealores niciales0 =F1>B1

1−¿¿¿3¿

% =(−1)2+(1)2

¿

−¿2 x3− x

2

&uego−2 x= x

2+ y2

x2 −2 x3= x2+ y2 y='√ ¿

Actividad Colaborativa.

Punto G1;e +lantea una situaci/n +roble*a el gru+o de reali!ar los a+ortes res+ecti,os en el .oro colaborati,ocon el .in de reconocer las caractersticas del +roble*a %ue se a +lanteado buscar el *todo desoluci/n *s a+ro+iado segn las ecuaciones di.erenciales de +ri*er orden:Hn +aracaidista cuo +eso es de 75 Ig =incluendo su e%ui+o> se deja caer de un a,i/n %ue se *antienea una altura de 4""" * arriba de la su+er.icie cae acia la tierra bajo la in.luencia de la gra,edad dela resistencia del aire& ;u+onga*os %ue la resistencia del aire es +ro+orcional a la ,elocidad del +aracaidista en cada instante- con constante de +ro+orcionalidad 15 IJseg con el +aracadas cerrado-

1"5 IJseg con el +aracadas abierto& ;i el +aracadas se abre al *inuto del lan!a*iento- allar elinstante a+ro9i*ado en el %ue el +aracaidista llega al +iso& KCul es su ,elocidad en ese instanteL=Considere la gra,edad co*o B#-81J2>Punto G2

e .or*a colaborati,a deben e,aluar anali!ar toda la soluci/n a la situaci/n +lantea- si consideran%ue todo el +roceso res+uesta se encuentra de *anera correcta- deben reali!ar a+ortes en cuanto a +rocedi*iento .altante ./r*ulas utili!adas- resaltando en otro color los a+ortes e9tras a la soluci/n& ;i

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el gru+o considera %ue el +roceso Jo res+uesta se encuentra incorrecto- deben reali!ar la obser,aci/n correcci/n al error o errores encontrados resaltando en otro color la correcci/n a+ortes e9tras a lasoluci/n&;ituaci/n soluci/n +lanteada:En"n(iado:

Hn objeto de *asa 3 Ig se libera desde el re+oso a 5"" * sobre el +iso se le +er*ite caer bajo lain.luencia de la gra,edad& ;u+onga %ue la .uer!a gra,itacional es constante- con B#-81 2 %ue la.uer!a debida a la resistencia del aire es +ro+orcional a la ,elocidad del objeto con constante de +ro+orcionalidad B3 & eter*inar el *o*ento en el %ue el objeto gol+ear el suelo&

Sol"(i)n a eval"ar:

Al reali!ar el diagra*a de .uer!as- nos da*os cuenta %ue a dos .uer!as actuando sobre el objeto& Hna.uer!a constante debida al e*+uje acia abajo de la gra,edad una .uer!a debida a la resistencia delaire %ue es +ro+orcional a la ,elocidad de objeto- actuando en .or*a o+uesta al *o,i*iento del objeto&

Por lo tanto- el *o,i*iento del objeto se reali!ar a lo largo de un eje ,ertical& (legi*os co*o origenel +unto desde donde el objeto .ue lan!ado inicial*ente& e.ini*os = > la distancia %ue a cado elobjeto asta el instante &

as .uer!as %ue actan sobre el objeto a lo largo de este eje son:

(l +eso- 1 B B donde es la aceleraci/n de la gra,edad&

a .uer!a de gra,edad es: F 1=mg

)uer!a debida a la resistencia del aire- 2 B @ = > con "

)uer!a debida a la resistencia del aire- F 2=−() (t ) ]

e esta *anera- la .uer!a neta %ue acta sobre el siste*a es B = >

A+licando la segunda le de ?eNton tene*os:

m dx

dt =mg−()

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A+licando la segunda le de ?eNton tene*os:

m d)

dt =mg−()

E8li(a(i)n de la (orre((i)n:

(l *o*ento es el +roducto de la *asa su ,elocidad:

p (t )=m) (t )

e *odo %ue se +uede e9+resar la le de neNton co*o:

(1 ) m d)

dt =ma= F ( x ,t , ) )

(sto nos +er*ite considerar =1> co*o una ecuaci/n de +ri*er orden&

Al resol,er la ecuaci/n anterior +or el *todo de ,ariables se+arables- +ode*os colegir %ue:

x=mg

( +$

m

( e

−(t

m

E("a(i)n 1

Co*o ) (0 )=)0 - %ue es una de las condiciones iniciales del +roble*a =cuando el tie*+o es cero el

objeto tiene una ,elocidad inicial>- el ,alor de la constante se alla ree*+la!ando en la ecuaci/n

anterior t =0 ! )=)0

x0=mg

( −$

m

(

e donde:

$ =g−)0

(

m E("a(i)n 9

Ree*+la!ando la ecuaci/n 2 en la ecuaci/n 1 se deduce %ue la ecuaci/n de la ,elocidad:

x (t )=mg

( +()

0−

mg

( )e−(t

m

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Co*o e*os considerado %ue x0=0 cuando t =0 - deter*ina*os la ecuaci/n del *o,i*iento

integrando x (t ) - res+ecto al tie*+o&

) ( t )=∫ mg( dt +()0−mg( )∫e

−(t

m dt

) ( t )=mg

( t −

m

( ()0−

mg

( )e−(t

m +#

Ree*+la!ando +or los ,alores iniciales B " B ":

0=−m

( ()0−mg

( )+#

e donde:

# =m

( ()0−mg

( ) E("a(i)n

Ree*+la!ando la ecuaci/n 4 en la ecuaci/n 3 tene*os:

x (t )=mg

g

t −m

( ()0−

mg

( )e−(t

m +m

( ()0−

mg

( )e donde la ecuaci/n del *o,i*iento es:

x (t )=mg

g t +

m

( ()0−mg

( ) (1−e

−(t

m )

Corre((i)n:

a ecuaci/n del *o,i*iento es:

x (t )=mg

g t +

mg

( ()0−

mg

( )(1−e

−(t

m )

Htili!ando este *odelo con )0 B "- B 3- B 3 B #-81 ree*+la!ando en la ecuaci/n de

*o,i*iento- obtene*os:

Página | 16



x (t )=3(9,81)

3 t +

3

3 (0−3 (9,81)3 )(1−e

−3 t

3 )

Corre((i)n:

x (t )=(3)(9,81)

3t −

(3 )2

(9,81)

(3 )2(1−e

−3t

3 )

(ntonces:

x (t )=9,81 t −9,81 (1−e−t )

Co*o el objeto se libera a 5"" * sobre el +iso- +ode*os deter*inar el *o*ento en %ue el objeto

gol+ea el suelo aciendo x (t )=500

des+ejando & As- escribi*os:

500=9,81t +9,81+9,81e−t

O lo %ue es lo *is*o:

t +e−t =

490,19

9,81

t +e−t =49,968

Co*o esta lti*a ecuaci/n no se +uede resol,er de *anera e9+lcita en tr*inos de & Podra tratar dea+ro9i*arse *ediante el *todo de a+ro9i*aci/n de ?eNton- +ero en este caso- no es necesario&

Co*oe−t

ser *u +e%ueo +ara cercano a 51-#7(e−51,97

*10−22 )

si*+le*ente ignora*os eltr*ino @ obtene*os co*o a+ro9i*aci/n:

B 4#-#68 s

Correcci/n:

500=(9,81 )t −9,81+(9,81)e−t

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O lo %ue es lo *is*o:

t +e−t =

509,81

9,81

t +e−t =51,97

Co*o e−t

ser *u +e%ueo +ara cercano a 51-#7 (e−51,97*10

−22 ) si*+le*ente ignora*os el

tr*ino @ obtene*os co*o a+ro9i*aci/n:

B 51-#7 segundos

Conclusiones:

• as ecuaciones di.erenciales constituen- uno de los *s +oderosos- instru*entos- +ara la

soluci/n de +roble*as dado a su .acilidad de *oldearse- +ara +oder desarrollar- las ./r*ulas

adecuadas&• (l desarrollo de las di.erentes ecuaciones di.erenciales nos +er*ite conocer *uco sobre el uso

%ue se les +uede dar en el desarrollo de di.erentes +roble*ticas del *undo actual&• (l do*inio de los *todos nu*ricos nos *uestra c/*o se +uede ad%uirir ca+acidades

abilidades +ara la reali!aci/n de +rocesos de resol,er algunos +roble*as +resentes en laingeniera&

Página | 18



ibliogra.a:

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http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022




http://julioprofe.net/






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