________________________________________________________________________________

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 1

GRUPO 100412_45

ELIZABETH CABALLERO CC. 1116992731

RAMIRO RIVEROS PEREZ

CC.74082764

NELSON YESID MASMELA

CC.

DEYBER PINZON BERNAL

CC.

TUTOR

RAMIRO PEÑA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD YOPAL CASANARE

ABRIL 2016

________________________________________________________________________________

INTRODUCCION

En el presente documento conoceremos y analizaremos conceptos básicos de una

ecuación diferencial; descubriremos como conocer y diferenciar una ecuación de

acuerdo a su tipo, orden y linealidad; veremos la importancia de conocer y

manejar los distintos métodos para dar solución a las mismas.

Pondremos a prueba nuestro conocimiento de derivadas e integración con el fin de

poder determinar y hallar ecuaciones diferenciales de primer orden.

________________________________________________________________________________

OBJETIVOS

Objetivo general

Resolver y analizar ecuaciones diferenciales de primer orden

Objetivos específicos

Conocer la clasificación de una ecuación diferencial

Analizar las propiedades y características de una ecuación lineal

Determinar si una ecuación diferencial es exacta

________________________________________________________________________________

DESARROLLO ACTIVIDAD

Temática 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la

ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta.

ECUACIÓN

OBSERVACIONES: ORDEN DE

ECUACIÓN, LINEAL O NO

LINEAL Y JUSTIFICACIÓN

ESTUDIANTE

A. 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥 Ecuación de primer orden, lineal

NELSON MASMELA

B. 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦3 = 𝑒𝑥 + 1 Es una Ecuación de 1er orden, es

una ecuación No lineal, ya que cumple con condición estar

acompañado con funciones de x el único problema es que el coeficiente 𝑦 que acompaña a

dy/dx no es un coeficiente que depende de x, por lo cual hace

que la función sea una ecuación no lineal.

ELIZABETH

CABALLERO

C. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 +𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) Es una ecuación de 2do orden, es

una ecuación Lineal, porque la

variable dependiente es de 1er grado, los coeficientes son constantes y cumple con la

condición que sus coeficientes solo dependen de x.

ELIZABETH

CABALLERO

D. 𝑑2 𝑟

𝑑𝑢2 = √1 + (𝑑𝑟

𝑑𝑢)

segundo orden, no lineal porque el diferencial esta elevado al

cuadrado

NELSON YESID

MASMELA

E. (𝑦2 − 1)𝑑𝑥 + 6 𝑥𝑑𝑦 = 0 Esta ecuación lineal es ordinaria de primer orden, pues se deja a y como la variable dependiente y se

divide por dx.

RAMIRO RIVEROS

________________________________________________________________________________

Temática 2: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables

separables (Nelson Yesid Masmela)

𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥 −𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥 𝑒−𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑒−𝑦(1 + 𝑒−2𝑥 ) = 𝑒𝑥 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

1 + 𝑒−2𝑥

𝑒𝑥𝑑𝑥 =

𝑦

𝑒−𝑦𝑑𝑦

∫(𝑒−𝑥 + 𝑒−3𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦

Primera integral Segunda integral Tercera integral (por partes)

𝑣 = −𝑥

𝑑𝑣 = −𝑑𝑥

𝑢 = −3𝑥

𝑑𝑢 = −3𝑑𝑥

𝑢 = 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑒𝑦

− ∫ 𝑒𝑣𝑑𝑣 −1

3∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑦𝑒𝑦 − ∫ 𝑒𝑦𝑑𝑦

−𝑒−𝑥 −1

3𝑒−3𝑥 + 𝑐 = 𝑦𝑒𝑦 − 𝑒𝑦

−𝑒−𝑥 (1 + 𝑒−2𝑥 ) + 𝑐 = 𝑒𝑦(𝑦 − 1)

𝑦 = −(1 + 𝑒−2𝑥 ) + 𝑐

𝑒𝑥 𝑒𝑦+ 1

________________________________________________________________________________

B. Determine si la ecuación dada es exacta, si lo es resuélvala (Elizabeth

Caballero)

(1 − lnx) dy = (1 + lnx +y

x) dx

Es exacta si dM

dy=

dN

dx

M(− (1 + lnx +y

x)) dx + N(1 − lnx) dy = 0

dM

dy= −1 − 𝑙𝑛𝑥 −

y

x

dN

dx= 1 − 𝑙𝑛𝑥

dM

dy= −1 − 𝑙𝑛𝑥 −

0

x

dN

dx= 1 − 𝑙𝑛0

dM

dy= −𝒍𝒏

dN

dx= −𝒍𝒏

𝜕(1 − ln 𝑥)

𝜕𝑥= −

1

𝑥=

𝜕 (−1 − ln 𝑥 −𝑦

𝑥)

𝜕𝑦

Es una ecuación exacta

f(x, y) M(x, y)dx = (−1 − 𝑙𝑛𝑥 −y

x) 𝑑𝑥

A partir de la función integramos

f−𝑥𝑑𝑥 + −𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 +− y

x 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

f−𝑥−𝑙𝑛𝑥𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)

f𝑙𝑛𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)

Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)

𝑁 =df

dy

(1 − lnx) =dfdy

𝑙𝑛𝑥 + 𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦)

(1 − lnx) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) ́

________________________________________________________________________________

Despejamos𝑔(𝑦)´𝑔(𝑥)´ = 1

g(y)’ (1 − lnx) dy + 𝑙𝑛𝑥

g(y)’ 1d𝑦 − lnx dy +𝑙𝑛𝑥

g(y)’ 𝑦 − lnxy + 𝑙𝑛𝑥

g(y)’ 𝑦

𝑹/ F= 𝑔(𝑦) +g (y)’ = 𝒍 𝒏𝒙 − 𝒚 𝒍𝒏𝒙 + 𝒚

C. Resuelva la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 − 9𝑥 2)𝑑𝑦 = 0

𝜕(6𝑥𝑦)

𝜕𝑦= 6𝑥

𝜕(4𝑦 − 9𝑥 2)

𝜕𝑥= 18𝑥

Las derivadas parciales no son iguales

Procedemos a hallar el factor integrante

𝑀𝑥 − 𝑁𝑦

𝑀𝑥𝑦

=18𝑥 − 6𝑥

6𝑥𝑦=

12𝑥

6𝑥𝑦=

2

𝑦

𝜇𝑥 = 𝑒∫

2

𝑦𝑑𝑦

= 𝑒2 ln 𝑦 = 𝑒 ln 𝑦2= 𝑦2

𝑦2(6𝑥𝑦𝑑𝑥) + 𝑦2(4𝑦 − 9𝑥 2)𝑑𝑦 = 0

6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 − 9𝑥 2𝑦2)𝑑𝑦 = 0

∫ 6𝑥𝑦3𝑑𝑥 = 3𝑥 2𝑦3

𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥 2𝑦3 + ℎ(𝑦)

−9𝑥 2𝑦2 + ℎ′(𝑥) = 4𝑦3 − 9𝑥 2𝑦2

ℎ′(𝑥) = 4𝑦3

________________________________________________________________________________

Integrando

ℎ(𝑥) = 𝑦4

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2𝑦3 + 𝑦4 + 𝑐

E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial (Ramiro Riveros)

(𝑥 2 + 2𝑦2)𝑑𝑥

𝑑𝑦− 𝑥𝑦 = 0

𝑦(−1) = 1

Respuesta

Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Ramiro Riveros Pérez

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN

MATEMÁTICA

RAZON O EXPLICACION

Despejemos dy/dx para verificar si es

homogénea:

Se remplaza en la ecuación y=ay y x=ax

Luego, la ecuación diferencial es

homogénea; dividimos entrex2:

Ahora:

Se deriva con respecto a:

________________________________________________________________________________

Se separa las variables:

Integrando:

Resolvemos:

Se remplaza en la integral:

Se reemplaza (**) en (*):

ln|1 + 𝑧2| = 2 ln|𝑥| + 𝐶 → ln|1 + 𝑧2| = 𝑙𝑛|𝑥2| + 𝐶

𝑒ln |1+𝑧2| = 𝑒ln|𝑥2|+𝑐 → 1 + 𝑧2 = 𝑒𝑐𝑥2

1 + 𝑧2 = 𝐶𝑥2

Entonces:

𝑧 =𝑦

𝑥

1 + (𝑦

𝑥)

2

= 𝑐𝑥2

𝑦2

𝑥2= 𝑐𝑥2 − 1

𝑦2 = 𝑥2(𝑐𝑥2 − 1)

𝑦 = ±𝑥√𝑐𝑥2 − 1

Reemplazamos y resolvemos:

1 = (1) √𝑐(1)2 − 1 1 = 𝑐 − 1

𝑐 = 2

Hallando el valor de la contaste

𝑦 = 𝑥√𝑐𝑥2 − 1 Ecuación diferencial.

________________________________________________________________________________

Elizabeth Caballero Ramiro Riveros

Nelson Masmela Deyber Pinzon

EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN PLANTEADA

Enunciado 1:

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una

solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que

entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

𝑉(0) = 1000𝐿

𝐶𝑒 = 𝐾𝑔 𝐿⁄ (𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)

𝑉𝐸 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)

𝑉𝑠 = 6𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ (𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎)

𝑥(0) = 𝑂(𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑚𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒)

𝑄(𝑡) = 1 2⁄ 𝐾𝑔 𝐿⁄

𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑉𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡

Debido a que el volumen es constante el caudal de entrada y de salida es el mismo

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑄𝑒𝑐𝑒 = 6𝐿

𝑚𝑖𝑛× 1

𝑘𝑔

𝐿= 6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛

La salida de sal que sale por minuto seria

𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑄𝑠𝑐(𝑡) = 6𝐿

𝑚𝑖𝑛 𝑐(𝑡) = 6 𝑐(𝑡) 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛

________________________________________________________________________________

La fórmula general para hallar la cantidad de soluto en un tiempo nos quedaría.

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑉𝐸 . 𝐶𝑒 − 𝑉𝑠

𝑄(𝑡)

(𝑉𝐸 − 𝑉𝑠)𝑡 + 𝑉0

Reemplazamos los valores conocidos

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 6(1) −

6𝑄(𝑡)

(6 − 6)𝑡 + 1000

Resolvemos

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 6 −

6𝑄(𝑡)

(0)𝑡 + 1000

Quedaría la ecuación diferencial

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 6 −

6𝑄(𝑡)

1000

Organizamos dejando a Q de un lado de la ecuación

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

6𝑄(𝑡)

1000= 6

Simplificamos

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

3𝑄(𝑡)

500= 6

Utilizamos método de factor integrante

𝑒∫1

500𝑑𝑥 = 𝑒∫

𝑡

500

Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante

𝑒𝑡

500 (𝑑𝑄

𝑑𝑡) + 𝑒

𝑡

500 (3𝑄

500) = 𝑒

𝑡

500 (6)

Derivamos

________________________________________________________________________________

𝑑

𝑑𝑡(𝑒

𝑡

500 𝑄) = 6. 𝑒𝑡

500

Integramos con respecto a t ambos lados

(𝑒𝑡

500 𝑄) = ∫ 6. 𝑒𝑡

500 𝑑𝑡

Resolvemos

(𝑒𝑡

500 𝑄) = 6. 𝑒𝑡

500 (500) + 𝑐

Reescribimos

(𝑒𝑡

500 𝑄) = 3000. 𝑒𝑡

500 + 𝑐

Multiplicamos a ambos lados por 𝑒−𝑡

500

𝑄(𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒−𝑡

500

Reemplazamos los valores de 𝑄(0)𝑌 𝑡(0)

𝑄(𝑡) = 3000 + 𝑐. 𝑒0

500

Hallamos el valor de c.

𝑄(0) = 3000 + 𝑐.1

0 = 3000 + 𝑐

𝑐 = −3000

Reemplazamos el valor de c en la ecuación.

𝑄(𝑡) = 3000 − 3000(𝑒−𝑡

500 )

Hallamos el valor de t despejando la ecuación y sustituyendo los valores de 𝑄(𝑡)

________________________________________________________________________________

1

2= 3000 − 3000 (𝑒

−𝑡

500 )

Ahora t es

𝑡 = −500 ln (5999

6000) ≈ 0,083

RAZON O EXPLICACION

Respuesta: Cuando t valga 0,083 min, entonces en el tanque habrá una

concentración de 1⁄2 Kg⁄L de sal.

De esta manera deducimos la ecuación diferencial

𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡=

6 − 6𝑐(𝑡)

1000

𝑐′ = (1 − 𝑐)3

500

1

1 − 𝑐𝑑𝑐 =

3

500𝑑𝑡

∫1

1 − 𝑐𝑑𝑐 = ∫

3

500𝑑𝑡

− ln(1 − 𝑐) =3

500𝑡 + 𝑘

𝑒− ln(1−𝑐) = 𝑒(

3

500𝑡+𝑘)

1 − 𝑐 = 𝑒3

500𝑡𝑒𝑘

𝑐 = 𝑘′𝑒−

3

500𝑡

− 1

𝑐(𝑡) = 1 − 𝑘 ′𝑒−3

500𝑡

𝑘′ = 0

________________________________________________________________________________

Porque 𝑐(0) = 0

Entonces

𝑐(𝑡) = 1 − 𝑒−−3

500𝑡

Como 𝑐(𝑡) =1

2

1

2= 1 − 𝑒−−

3

500𝑡

𝑒−3

500𝑡 =

1

2

−3

500𝑡 = ln

1

2

𝑡 = −500

3ln

1

2

𝑡 = 115,52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Enunciado 2:

Un objeto de masa 3 Kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con 𝑔=9,81 𝑚𝑠2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es

proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 𝑏=3 𝑁𝑠𝑚.

Determinar el momento en el que el objeto golpeará el suelo.

Solución a evaluar:

Datos:

M=3kg

Reposo= 500 m

g=9,81 m/s2

b=3 Ns/m

________________________________________________________________________________

Al realizar el diagrama de fuerzas, nos damos cuenta que hay dos fuerzas

actuando sobre el objeto. Una fuerza constante debida al empuje hacia abajo de la

gravedad y una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la

velocidad del objeto, actuando en forma opuesta al movimiento del objeto. Por lo

tanto, el movimiento del objeto se realizará a lo largo de un eje vertical.

Elegimos como origen el punto desde donde el objeto fue lanzado inicialmente. Definimos (𝑡) la distancia que ha caído el objeto hasta el instante 𝑡.

Las fuerzas que actúan sobre el objeto a lo largo de este eje son: El peso, 𝐹1=𝑊=𝑚𝑔 donde 𝑔 es la aceleración de la gravedad.

Fuerza debida a la resistencia del aire, 𝐹2=−𝑏 (𝑡) con 𝑏>0

De esta manera, la fuerza neta 𝐹 que actúa sobre el sistema es

𝑭=𝒎𝒈+𝒃𝒗(𝒕)

Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

Al resolver la ecuación anterior por el método de variables separables, podemos

colegir que

Como

________________________________________________________________________________

(0)=𝑣0 , que es una de las condiciones iniciales del problema (cuando el tiempo es cero el objeto tiene una velocidad inicial), el valor de la constante 𝑘 se halla

reemplazando en la ecuación anterior 𝑡=0 ; 𝑣=𝑣0

De donde

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 se deduce que la ecuación de la

velocidad

Como hemos considerado que 𝑥0=0 cuando 𝑡=0, determinamos la ecuación del

movimiento integrando (𝑡), respecto al tiempo.

Reemplazando por los valores iniciales 𝑥=0 𝑠𝑖𝑡=0

De donde

Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 3 tenemos

De donde la ecuación del movimiento es

Utilizando este modelo con 𝑣0=0, 𝑚=3, 𝑏=3 𝑦𝑔=9,81 y reemplazando en la

ecuación de movimiento, obtenemos

________________________________________________________________________________

Entonces

Como el objeto se libera a 500 m sobre el piso, podemos determinar el momento en que el objeto golpea el suelo haciendo (𝑡)=500, y despejando 𝑡. Así,

escribimos

O lo que es lo mismo

Como esta última ecuación no se puede resolver de manera explícita en términos

de 𝑡. Podría tratar de aproximarse 𝑡 mediante el método de aproximación de

Newton, pero en este caso, no es necesario. Como 𝑒−𝑡 será muy pequeño para 𝑡

cercano a 51,97 (𝑒−51,97≈10−22) simplemente ignoramos el término 𝑒−𝑡 y

obtenemos como aproximación 𝑡=49,968 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝐹𝑇 = 𝐹1 − 𝐹2

𝐹𝑇 = 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)la formula el rozamiento es negativo ya que es contraía a la fuerza de

gravedad.

𝑚. 𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡)el diferencial

𝑑𝑥

𝑑𝑡 esta mal expresado porque la aceleración no debe ser en

función de la distancia sino de la velocidad.

1

𝑚(𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡) =

1

𝑚(𝑚𝑔 − 𝑏 𝑣(𝑡))

𝑑𝑣 = (𝑔 − (𝑏 𝑣(𝑡))/𝑚) 𝑑𝑡

𝑑𝑣/ (𝑔 − 𝑏 𝑣

𝑚) = 𝑑𝑡

Integramos

∫1

(𝑔− 𝑏 𝑣

𝑚)

. 𝑑𝑣 → 1

𝑔∫

1

(1− 𝑏 𝑣

𝑚.𝑔)

. 𝑑𝑣

𝑢 = 1 − (𝑏

𝑚𝑔𝑣)

________________________________________________________________________________

𝑑𝑢 =𝑏

𝑚𝑔𝑑𝑣

−𝑚𝑔

𝑏∫

1

𝑢. 𝑑𝑢 = 𝑔 ∫ 𝑑𝑡 → ln (1 −

𝑏

𝑚𝑔𝑣)= (

−𝑏

𝑚) 𝑡 + 𝑘 →

−b

𝑚𝑡 + 𝑘

1 −𝑏

𝑚𝑔v = k 𝑒

−𝑏

𝑚𝑡 → 𝑣 =

𝑚𝑔

𝑏− 𝑘

𝑚𝑔

𝑏𝑒

−𝑏

𝑚𝑡

𝑣0 =𝑚𝑔

𝑏− 𝑘

𝑚𝑔

𝑏= ,

Despejamos k

k = 1 −𝑏

𝑚𝑔𝑣𝑜

𝑣 =𝑚𝑔

𝑏− 𝑘

𝑚𝑔

𝑏𝑒

−𝑏

𝑚𝑡

X(t)= ∫ 𝑣. 𝑑𝑡 = ∫𝑚𝑔

𝑏𝑑𝑡 −

𝑚𝑔

𝑏𝑑𝑡 ∫ 𝑒

−𝑏

𝑚𝑡

𝑑𝑡

𝑥 =𝑚𝑔

𝑏𝑡 −

𝑚2

𝑏2𝑔 𝑒

−𝑏

𝑚𝑡

𝑥 =𝑚𝑔

𝑏𝑡 −

𝑚2

𝑏2𝑔 𝑒

−𝑏

𝑚𝑡

𝑥 = 9.8𝑡 + 9.8 𝑒−𝑡

500

9.8= 𝑡 + 𝑒−𝑡

51.02 = 𝑡 + 𝑒−𝑡

El objeto golpeara el piso en 51.02 segundos

________________________________________________________________________________

CONCLUSIONES

Con el desarrollo del presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el

método o caso que se debe utilizar para dar la solución general a una ecuación

diferencial de primero orden.

En la resolución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y

terminologías de las ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicando

diferentes casos en la resolución de los problemas analizando propiedades y

características de una ecuación lineal.

Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en

todos los estudios de ingeniería y otras áreas.

Se reconocieron los diferentes casos de solución de las ED de primer orden.

Se plantearon métodos situación y solución a ED de primer orden.

________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIA

1. MANUAL EDITOR DE ECUACIONES, Microsoft Word, Universidad

tecnológica de Chile, INACAP SEDE VIRTUAL, www.inacap.cl.

2. García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial

Patria. 2-30. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11

017467

3. Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales

ordinarias: ejercicios y problemas resueltos.

Delta Publicaciones. 1-4. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923.

4. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción.

Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105

84022