TRABAJO COLABORATIVO III – CÁLCULO INTEGRAL

Por:

MARIO ANDRÉS MUNAR

JORGE ROSENDO CARDENAS

LUIS OSCAR RINCON GARCIA

Tutor:

HECTOR ENRIQUE MARIN

GRUPO COLABORATIVO No 100411_47

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

JULIO DE 2009

INTRODUCCIÓN

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo integral en la geometría se reduce

al cálculo de áreas entre curvas y el cálculo de volúmenes mediante sólidos de revolución.

El uso de la integral para construir resultados basados en áreas y volúmenes determinan los

bastos campos de aplicación del cálculo integral.

El desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva. El

cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a, b] nos llevó a

definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó

tomando el límite de la suma de Riemann cuando n---> . Todo esto fue para f(x)>0 en [a,

b].

Un sólido de revolución es un cuerpo descrito por el baricentro de ésta. Los sólidos

generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos, o rectas paralelas a los mismos,

se pueden obtener mediante ciertas ecuaciones, que dependen del giro de la región a

trabajar.

Este trabajo se basa en mostrar algunas de las aplicaciones del cálculo integral.

TRABAJO COLABORATIVO

1. El área encerrada por las curvas es:

Primero encontramos los puntos de corte:

Para lo cual encontramos las raíces:

La gráfica de la función 2, está por encima de la función uno en este intervalo, por lo

tanto el área es:

Respuesta: B

2. El área sombreada con color negro es:

De acuerdo a la gráfica y

El área está determinada por la expresión:

Respuesta A

3. El valor de la integral definida

Primero expresamos la integral como sigue:

Ahora hacemos el cambio de variable:

La integral queda como sigue:

Respuesta: A

4. El volumen del sólido de revolución generado por la ecuación , , el

eje , y el cual gira alrededor del eje y, es:

Como la región gira alrededor del eje y entonces el volumen queda definido:

Respuesta: C

5. La longitud del arco de la función entre los puntos (0, 0) y es:

Respuesta: A

6. La longitud de la línea entre los puntos A(5,10) y B(9,13) , es:

Primero definimos la ecuación:

Respuesta: D

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, mediante una fuerza impulsora f (x) = x2 + x

−1 dada en Newton. Los Julios de trabajo que se realizan con esa fuerza desde x = 2

hasta x = 4 , son:

Respuesta: A

8. La demanda de un producto está gobernada por la función D(x) = 1000 − 0.2x −

0.0003x2. ¿Cuál será el excedente del consumidor para un nivel de ventas de 500

unidades?

Respuesta: A

9. Una varilla de 20 centímetros de longitud presenta una densidad de ρ (x) = 12x2 −1. El

centro de masa es igual a:

Evaluando cada integral tenemos:

Por lo tanto el Centro de masa es:

Respuesta: B.

10. Hallar el área delimitada por las funciones y el eje . la

expresión para hallar dicha área y su valor son:

En la evaluación gráfica se observa que las funciones en este intervalo se cortan en .

Además, en el intervalo de , la función coseno está por encima del seno y en el

segundo intervalo , la función seno está por encima del coseno.

La expresión que determina el área es:

Al evaluar las funciones se obtiene:

Respuesta correcta: B

11. Al hallar la longitud de la función entre . La expresión para

hallar dicha longitud es:

funciony

x3

12 3

2

La expresión para hallar la longitud de la curva y su valor son:

b

ady

dy

dxL

2

1 Con 41 y

Pues, x se puede expresar como una función uniforme de la variable y.

La expresión, es: 4

1 3

14dyyL

3

1414

3

2

3

22

3

2

34

1

4

1

2

3

2

1

ydyyL

Respuesta: 1y2 (A)

12. Al determinar el volumen que se obtiene al rotar las funciones , alrededor

del eje y. La expresión para hallar dicho volumen y su valor son:

La gráfica que determina las funciones nombradas es:

Las funciones se cortan en los puntos

Dado que la región rota alrededor del eje Y tenemos que:

Por lo tanto la expresión que me determina el volumen es:

Respuesta Correcta: B

CONCLUSIONES

La integral en términos generales se planteó para encontrar el área bajo una curva.

Gracias al uso de la integral, se pueden calcular áreas entre curvas, utilizando la

integral de la diferencia de dos funciones.

El cálculo de volúmenes se basa en la integral que determina un región que gira

alrededor de algunos de los ejes coordenados o de una recta específica.

BIBLIOGRAFIA

Enciclopedia virtual WIKIPEDIA 2009.

RONDÓN DURAN, JORGE ELIÉCER Cálculo Integral Unidad de Ciencias

Básicas e ingeniería. Bogotá D.C. 2007

THOMAS FINNEY. Cálculo con Geometría Analítica Vol. I. Ed. Addison –Wesley

Iberoamericana. Wilmington, Delaware, E.U.A. 1987