CALCULO INTEGRAL

APORTE INDIVIDUAL FASE 3

PRESENTADO POR:INGRID CAROLINA PAEZ PEDRAZA

CODIGO1.012.358.451

GRUPO: 23

PRESENTADO A:

NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES

BOGOTA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

2014

1. f ( x )=x2+2 g (x )=1−x

A=∫0

1

( f (x )−g (x))dx=∫0

1

(x2+2−(1−x ))dx=∫0

1

(x2+1+x )dx=[ x3

3+x+

x2

2 ]0

1

¿ 13

3+1+ 12

2=11

6

La siguiente gráfica ilustra la región:

2. f ( x )= (x−1 )2=x2−2x+1 g ( x )=−x+3

Los límites de integración se hallan calculando los puntos de corte entre estas dos gráficas. Para esto las igualamos:

x2−2 x+1=−x+3

x2−x−2=0

( x−2 ) ( x+1 )=0

Entonces, los límites de integración son x=−1 y x=2

A=∫−1

2

( f ( x )−g(x ))dx=∫−1

2

(x2−2 x+1−(−x+3))dx=∫−1

2

(x2−x−2)dx

¿ [ x3

3−x2

2−2x ]

−1

2

=23

3−

22

2−2 (2 )−

(−1 )3

3+

(−1 )2

2+2 (−1 )=−9

2=−4.5

La siguiente gráfica ilustra la región:

3. la función y=2√x entre x=3 y x=8 serepresenta en lasiguiente imagen :

Al hacerla rotar alrededor del eje x se obtiene la siguiente superficie:

Cuya área se calcula como:

A=2π∫a

b

f (x)√1+( f ' ( x ))2dx

Donde f' ( x )=2( 1

2√x )= 1

√x

A=2π∫3

8

2√x √1+( 1

√x )2

dx=4 π∫3

8

√x (1+ 1x )dx=4 π∫

3

8

√ x+1dx=4 π [ 23

( x+1 )3/2]3

8

¿ 8π3

[ (8+1 )3 /2−(3+1 )3/2 ]=8π3

[ (9 )3 /2− (4 )3 /2 ]=8π3

(27−8 )=152π3

4. Longitud de y= x3

6+ 1

2 x entre x=1 y x=3

La longitud de una curva se calcula como:

L=∫a

b

f ( x ) √1+ ( f ' ( x ) )2dx

Donde f ' ( x )= x2

2−

1

2 x2 =x4−1

2 x2 ,luego ( f ' ( x ) )2= (x4−1 )2

4 x4 =x8−2 x4+1

4 x 4

L=∫1

3

( x3

6+ 1

2 x )√1+ x8−2 x4+1

4 x4dx=∫

1

3

( x3

6+ 1

2x )√ x8+2 x4+1

4 x4dx

L=[ (x8+12 x4−9 )√x4+ 1x4 +2

72 (x4+1 ) ]1

3

¿(38+12(3)4−9)√34+ 1

34 +2

72(34+1)−

(18+12 (1 )4−9 ) √14+ 114 +2

72 (14+1 )=104

9

La siguiente gráfica ilustra la longitud calculada:

5. f ( x )=x y g ( x )=0.5x2

La región limitada entre estas dos funciones es:

El volumen del sólido de revolución generado al rotar esta región alrededor del eje x es:

V=π∫a

b

[R ( x )2−r ( x )2 ]dx

Donde R ( x )=x yr ( x )=0.5 x2

Y los límites de integración se hallan igualando las dos funciones:

x=0.5 x2

Entonces: x=0 y x=2

V=π∫0

2

[ x2−0.25 x4 ] dx=π [ x3

3−

0.25 x5

5 ]0

2

=π [ 23

3−

0.25 (2 )5

5 ]=1615π

6.f ( x )=x y g ( x )=0.5x2

La región limitada entre estas dos funciones es:

Donde R ( x )=1+x y r ( x )=( x−1 )2=x2−2 x+1

Y los límites de integración se hallan igualando las dos funciones:

1+x=x2−2 x+1

x2=3 x

Entonces: x=0 y x=3

V=π∫0

3

[(1+ x)2−( x−1 ) 4 ]dx=π∫0

3

[(x2+2x+1)−( x4−4 x3+6x2−4 x+1)]dx

π∫0

3

[−x4+4 x3−5 x2+6 x ] dx=π [−x5

5+x 4−

5x3

3+3x2]

0

3

¿ π [−35

5+34−

5(3)3

3+3 (3)2]=72

5π

La siguiente imagen muestra el sólido de revolución: