100410_116_tracol_3 (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. Código 100410

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TRABAJO COLABORATIVO 3

CALCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO A:

OSCAR JAVIER GRACIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD ZIPAQUIRA

MAYO DE 2015

INTRODUCCIÓN

Por medio del presente trabajo se pretende dar solución a los 10 ejercicios que corresponden a la fase 3 del trabajo colaborativo de la asignatura Cálculo Diferencias que son problemas que contiene situaciones relacionadas con los temas de derivada de una función y sus aplicaciones.


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EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y=x2−2 x−3 para x=1

Se reemplaza el valor de x en la ecuación:


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y= (1 )2−2 (1 )−3

y=1−2−3

y=−4

Ya se tiene el valor de la coordenada o sea el punto de tangencia (abscisa y la ordenada)

y=−4 (ordenada)

x=1(abscisa)

Ahora para hallar la ecuación de la recta tangente, se deriva la variable y respecto de la variable x:

Se toma la función:

y=x2−2 x−3

dydx

=2x−2derivadadeducidade :

Derivada de X2

y 2x2−1

y '=2x

Derivada de -2x

y=−2x

y '=−2

Derivada de -3

y=−3

y '=0

Ahora se halla la pendiente de la recta tangente mT:

mT=f' ( x )=2 (1 )−2

mT=0


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Para hallar la ecuación de la recta tangente se emplea el modelo punto pendiente, teniendo en cuenta los puntos de tangencia (x1, y1= 1,-4) y la pendiente de la recta mT= 0:

y− y1=m (x−x1 )

y− (−4 )=m (x−1 )

y− (−4 )=0

y=4

2. si f ( x )=x4− 1

x 4−ln 4 halle el valor de f ' (1 ) .

Solución:

Derivamos la función:

f ( x )=x 4−x−4−ln 4

f ' ( x )=4 x3+4 x−5−0} f ' ( x )=4 x3+ 4

x5

f ' (1 )=4 (1)3+ 4

(1)5

f ' (1 )=4 (1)+ 41

f ' (1 )=4+4

f ' (1 )=8

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

3. f ( x )=sen2(2 x)

Solución:

Aplicamos regla de la cadena:

f '( x)=2 sen (2x )∗cos (2 x )∗(2)

f '( x)=4 sen (2x ) cos (2 x )


5

4. f (x )= ln x7

ln x3

Solución:

Aplicamos propiedad de logaritmos:

f ( x )=7 lnx3 lnx

Simplificamos:

f ( x )=73

Ahora derivamos la función:

f ' ( x )=0

5. f ( x )= x

ex

Solución:

Aplicamos la regla de la derivada de un cociente:

f ( x )=(1 ) ex−x ex

(ex )2

f ( x )= ex−x ex

e2 x

f ( x )= ex (1−x)e2x

f ( x )=1−xex

6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2 sen(2 x )

Derivamos la función:

f ' (x)=2∗sen (2 x )


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Sabemos que según la tabla de derivadas para el (senx)’ = cosx, hacemos la respectiva derivación

f ' (x)=2∗(2 cos (2x ))

f ' ( x )=4∗cos (2 x )

Obtendríamos la primera derivada.

Derivamos por segunda vez partiendo de 4∗cos (2 x ), mirando que para el cos2x = -2sen (2x).

f ' ' ( x )=4∗cos (2x )

Remplazamos.

f ' ' ( x )=4∗(−2 sen (2 x ))

f ' ' ( x )=−8 sen (2x )

Obtendríamos la segunda derivada.

Derivamos por tercera vez siguiendo el mismo procedimiento anterior. Sen2x = cos2x

f ³ ( x )=−8 sen (2x )

f 3 (x )=−8∗(2 cos (2 x ))

f ³ ( x )=−16 cos (2 x )

A si obtendríamos la tercera derivada.

7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex lnx

Solución:

Derivamos por primera vez aplicando la regla del producto:

f ' (x)=ex lnx+ 1xe x

f ' (x)=ex (lnx+ 1x )

Derivamos por segunda vez aplicando nuevamente la regla del producto:


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f' ' ( x )=ex (lnx+ 1

x )+ex ( 1x−

1

x2 )f' ' ( x )=ex (lnx+ 1

x+

1x−

1

x2 )f' ' ( x )=ex (lnx+ 2

x−

1

x2 )8. Usando L’Hopital hallar el límite de: lim

x→2

x2+2x−8x2−x−2

Solución:

limx→2

ddx

(x2+2x−8 )

ddx

(x2−x−2 )

limx→2

2 x+22 x−1

¿2(2)+22(2)−1

¿ 4+24−1

¿ 63

¿2

9. De la curva f ( x )=x2−x . Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

Derivamos con respecto a x e igualamos a cero:

f ' (x)=2x−1=0

2 x−1=0

2 x=1

x=12


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Ahora remplazamos en la función:

f ( 12 )=(1

2 )2

−12

f ( 12 )=1

4−1

2

f ( 12 )=−1

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b. Los puntos de inflexión si los hay.

Solución:

Tomamos la primera derivada y derivamos nuevamente:

f ' (x)=2x−1

f ' '( x)=2

La segunda derivada es una función constante por lo tanto no hay puntos de inflexión.

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo? Formula del costo total del pedido C(x)

Cr (x )=100000000x

+100 x+50

Problema de optimización.

La x del denominador la pasamos al numerador y se nos presenta un cambio de signo en el exponente.

Cr (x )=100000000x−1+100 x+50

Derivamos la función.

Al exponente le restamos -1 y por esta razón nos queda menos 2.

Cr ´ ( x )=−100000000x−2+100

Ahora hallamos los puntos críticos tomamos la derivada. La prima de x y la igualamos a o

Cr ´ ( x )=0


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−100000000 x−2+100=0

Reescribimos la ecuación de la siguiente forma para que el exponente quede positivo.

100−100000000

x2=0

Ahora la fracción que esta negativa la pasamos al otro lado para volverla positiva.

100=100000000x ²

Pasamos la x al otro lado y nos quedaría.

100 x2=100000000

Despejamos x2.

x2=100000000100

Nos quedaría.

x2=1000000

Para despejar x sacamos raíz cuadrada a ambos lados sabiendo que al lado derecho quedaría con más o menos.

√ x ²=¿±√1000000¿

Solucionamos.

x=±1000

Y como nos pide la cantidad mínima de bultos eliminaríamos el signo menos.

x=1000

El pedido de bultos para solicitar con el mínimo de costo a la fábrica es de 1000.

CONCLUSIONES


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Una vez terminada la fase 3 del trabajo colaborativo se determinó la variedad de opciones que nos brinda el cálculo diferencial para resolver problemas que contienen temas ligados a la derivación de funciones y sus aplicaciones, se observó que las técnicas usadas requieren un dominio del algebra básica y de las funciones trigonométricas.

BIBLIOGRAFÍA

Duran, j. e. (2010). Módulo cálculo diferencial. (t. e. escuela de ciencias básicas, ed.) Bogotá d.c.: universidad nacional abierta y a distancia. Recuperado el 26 de febrero de 2015.

Julioprofe. (16 de diciembre de 2013). YouTube. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=etjzsdcmpge&feature=youtu.be

León, f. m. (13 de junio de 2012). YouTube. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=5z-p5souhgm

https://www.youtube.com/watch?v=5z-p5souhgm

https://www.youtube.com/watch?v=etjzsdcmpge&feature=youtu.be

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