100401_29_trabajo no.3

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METODOS NUMERICOS

FASE III

Actividad Colaborativa Parte 3 (teórica)

Código Del Cr!o" #$$%$#

&r'o"

Por

PAO*A &ON+A*E+ ORTI+ COD" ,,-,,$-,$.

/OR&E E*IECER CARDONA Código" %%0331ERME+ FERNANDO MARTINE+

TUTOR"

/OSE A2E* 2ARRERA

UNIERSIDAD NACIONA* A2IERTA 4 A DISTANCIAESCUE*A DE CIENCIAS 25SICAS TECNO*O&6A E IN&ENIER6AS

PRO&RAMA DE IN&ENIER6A E*ECTR7NICACA*I MA4O de $#,

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TRA2A/O No- 3-

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Soluciones deecuaciones

diferenciales

Metodo deintegracion de Euler

Es un procedimiento deintegracion numerica para

solucionar ecuacionesdiferenciales ordinarias apartir de un valor inicial

Metodo de Runge

Es un conjunto demetodos interactivo para

la aproximacion desoluciones de ecuaciones

Metodos Mutilpasos

es un metodo que utilizalos valores de varios

pasos calculados con losmetodos anteriores paraobtener los valores de

yn+1

Primero una ecuaciondiferencial es aquella

ecuacion queintervienen una o masfunciones se resuelven

asi!

# Realice 8 9a'a co8ce'tal de lo! 9:todo! iterativo! e9'leado! e8 la !olció8 deecacio8e! di;ere8ciale! de valor i8icial-

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- Pla8tee < !olcio8e do! e=ercicio! !obre Di;ere8ciació8 N9:rica e>'lica8do 'a!o a'a!o el 'rocedi9ie8to tili?ado-

Resolución:

a) Primer ejercicio.

Úsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás !entradaspara estimar la primera deri"ada de:

f ( x )=0.1 x3−0.5 x en

x=1.5

#tili$ando un tama%o de paso ∆ x=0.2

Repetir los cálculos usando ∆ x=0.1

Solció8"

&ótese 'ue la deri"ada se puede calcular directamente como:

f ' ( x )=0.3 x2−0.5

( e"aluando tenemos:

f ' (1.5)=0.3 (1.5 )2−0.5=0.175

Para ∆ x=0.2 se puede usar la función para estimar:

x i−1=1.3 y i−1=−0.4303

x i=1.5

y i=−0.4125

x i+1=1.7 y i+1=−0.3587

stos datos se pueden utili$ar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:

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Y ' (1.5 )=

−0.3587−(−0.4125 )0.2

=0.269

er=|0.175−0.2690.175 |∙ 100 ≈ 53.71

*a Diferencia Di"idida Hacia Atrás será:

Y ' (1.5 )=

−0.4125− (−0.4303 )0.2

=0.089

er=|0.175−0.0890.175 |∙ 100 ≈ 49.14

*a Diferencia Di"idida !entral será:

Y ' (1.5 )=

−0.3587−(−0.4303 )0.4

=0.179

er=|0.175−0.179

0.175 |∙ 100 ≈ 2.29

Para ∆ x=0.1 :

x i−1=1.4 y i−1=−0.4256

x i=1.5 y i=−0.4125

xi+1=1.6 y i+1=−0.3904

stos datos se pueden utili$ar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:

Y ' (1.5 )=

−0.3904−(−0.4125 )0.1

=0.221

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er=|0.175−0.2210.175 |∙ 100 ≈ 26.29

*a Diferencia Di"idida Hacia Atrás será:

Y ' (1.5 )=

−0.4125− (−0.4256 )0.1

=0.131

er=|0.175−0.1310.175 |∙ 100 ≈ 25.14

*a Diferencia Di"idida !entral será:

Y ' (1.5 )=

−0.3904−(−0.4256 )0.2

=0.176

er=|0.175−0.1760.175 |∙100 ≈ 0.57

Análisis:

n los dos casos la diferencia di"idida central +a resultado más acercada en comparación conlas diferencias di"ididas +acia adelante +acia atrás as- mismo al +acer más pe'ue%o delta dee'uis, el resultado es más preciso reducindose el error de un /01 2caso más alejado) a un3./41 2caso más preciso).

b) Seg8do e=ercicio"

stimar la primera tercera deri"ada usando aproximaciones de diferencias finitas centradas

de:

f ( x )=0.01 x4 en x=2

#tili$ando un tama%o de paso ∆ x=0.5

Repetir los cálculos usando ∆ x=0.25

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Solció8"

&ótese 'ue la primera deri"ada se puede calcular directamente como:

f ' ( x )=0.04 x3

*a se5unda deri"ada será:f ' ' ( x )=0.12 x2

( la tercera deri"ada será:f ' ' ' ( x )=0.24 x

( e"aluando tenemos:

f ' (2 )=0.04 (2 )3=0.32

f ' ' ' (2 )=0.24 (2 )=0.48

Para ∆ x=0.5 :

x i−2=1.0 y i−2=0.010000

x i−1=1.5 y i−1=0.050625

x i=2.0 y i=0.160000

x i+1=2.5 y i+1=0.390625

x i+2=3.0 y i+2=0.810000

*a Diferencia Di"idida !entral para la primera deri"ada será:

Y ' (2 )=

0.390625−0.0506251

=0.34

er=|0.32−0.340.32 |∙100 ≈ 6.25

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*a Diferencia Di"idida !entral para la tercera deri"ada será:

Y ' ' ' (2 )=

0.810000−2 (0.390625 )+2 (0.050625 )−0.0100000.25

=0.48

er=|0.48−0.480.48 |∙100=0.0

Para ∆ x=0.25 :

xi−2=

1.5 yi−2=

0.050625

xi−1=1.75 y i−1=0.093789

x i=2.0 y i=0.160000

x i+1=2.25 y i+1=0.256289

x i+2=2.5 y i+2=0.390625

*a Diferencia Di"idida !entral para la primera deri"ada será:

Y ' (2 )=0.256289−0.093789

0.5 =0.325

er=|0.32−0.3250.32 |∙ 100 ≈ 1.56

*a Diferencia Di"idida !entral para la tercera deri"ada será:

Y ' ' ' (2 )=

0.390625−2 (0.256289 )+2 (0.093789 )−0.050625

0.03125

=0.48

er=|0.48−0.480.48 |∙100=0.0

A8@li!i!"

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n este se5undo ejemplo se calcula la primera tercera deri"ada respecti"amente, mediante elmtodo de diferenciación numrica. s importante tener en cuenta 'ue se +a resuelto unejercicio 'ue se puede deri"ar de la forma como se +acer en el cálculo diferencial, con elpropósito de corro6orar resultados anali$ar errores porcentuales 'ue terminan confirmando'ue entre menor sea el delta de e'uis utili$ado, más precisión +a6rá as- mismo la diferenciadi"idida central tiene 5ran precisión a la +ora de estimar deri"adas.

n muc+os casos no es posi6le calcular deri"adas usando el cálculo diferencial por lo cual esfundamental tener dominio de los mtodos numricos.

3- Solcio8e el !igie8te e=ercicio tili?a8do la Regla del Tra'ecio la Regla de Si9'!o8#B3 < la Regla de Si9'!o8 3B.- Co9'are lo! re!ltado! < aga 8 'eeo a8@li!i!-

(Dividie8do e8 i8tervalo!)

∫0

1 x

2 x+1dx∫

0

43

√ x e x

dx

∆ x=b−a

n ∆ x=

b−an

∆ x=1−0

5 ∆ x=

4−05

∆ x=1

5=0.2 ∆ x=

4

5=0.8

Para la primera inte5ral reali$amos el procedimiento as-.

X 0=0

→ f ( x0 )=

0

2 (0 )+1=0

X 1=0.2→ f ( x1 )=

0.2

2 (0.2 )+1=0.142857

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X 2=0.4 → f ( x2)=

0.4

2 (0.4 )+1=0.222222

X 3=0.6 → f ( x3 )= 0.6

2 (0.6 )+1=0.272727

X 4=0.8 → f ( x4 )=

0.8

2 (0.8 )+1=0.307692

X 5=1→ f ( x5)=

1

2 (1)+1=0.333333

*a inte5ral definida ser-a i5ual a la sumatoria de Delta de x so6re 7 de la suma de las funcionesen forma pro5resi"a as-:

∆ x

2 ( f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+2 f ( x5 ) )

0.333333

0+2(0.142857)+2(0.222222)+2(0.272727)+2 (0.307692 )+(¿)

∆ x2 ¿

0+0.285714+0.4444440.2

2(¿+0.545454+0.615384+0.333333 )

0.1 (2.224329 )=0.2224329

∫0

1 x

2 x+1dx ≈ 0.2224329

Para la se5unda inte5ral ser-a as-:

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X 0=0 → f ( x0 )=3√ 0 e0=0

X 1=0.8→ f ( x1 )=

3

√ 0.8 e0.8=1.212016

X 2=1.6→ f ( x2 )=

3

√ 0 e0=1.993117

X 3=2.4 → f ( x3 )=

3√ 0 e0=2.979700

X 4=3.2

→ f ( x4 )=3

√ 0e

0

=4.281843

X 5=4 → f ( x5 )=3√ 0 e0=6.022072

∆ x

2 ( f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+ f ( x5 ))

∆ x

2 (0+2(1.212016)+2(1.993717)+2(2.979700)+2 ( 4.281843 )+6.022072 )

0.8

2 (2.424032+3.987434+5.9594+8.563686+6.022072 )

0.4 (26.956624 )=10.7826496

∫0

43

√ x e x dx ≈ 10.7826496

%- Solcio8e el !igie8te e=ercicio tili?a8do la I8tegració8 de Ro9berg- U!a8do!eg9e8to! de lo8gitd # #B < #B%-

∫0

1

e x²

dx

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- Solcio8e el !igie8te e=ercicio tili?a8do la I8tegració8 de Ro9berg- U!a8do!eg9e8to! de lo8gitd # G H < #B.-

∫1

2

e x

ln x dx

Re!olció8"

l si5uiente es'uema representa la forma de solucionar este ejercicio usando el mtodo deRom6er5:

Figra #

Integral a trabajar:

∫1

2

e x

ln x dx

Segmentos (valores de h):

1,1

2, 1

4 ,

1

8

Nivel #"

Tra'ecio I 1 Seg9e8to de lo8gitd #"

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I 1=h

2 [f ( a )+ f ( b ) ]

Por lo tanto:

I 1=1

2[ (e1 ln 1 )+( e2 ln 2 ) ]=1

2[ 0+5.121703 ] ≈ 2.560852

Tra'ecio I 2 !eg9e8to! de lo8gitd #B"

A partir de este se5mento se de6e aplicar la fórmula:

I n=h

2 [f ( a )+2∑ j=1n−1

f ( a+ jh )+ f ( b )]Para este caso 'ueda as-:

I 2=

12

2 [ (e1 ln1 )+2∑ j=11

f (1+1( 12 ))+(e2 ln2 )]"aluando las funciones ejecutando la sumatoria:

I 2 ≈ 1

4 [0+2( f ( 32 ))+5.121703]Di"idiendo, e"aluando la función en l-mites sustituendo en la sumatoria:

I 2 ≈ 1

4 [0+2(e3

2ln( 32 ))+5.121703]

"aluando la función de la sumatoria multiplicando por 7:

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14/34

I 2 ≈ 1

4[3.634337+5.121703 ]

8umando:

I 2 ≈ 1

4 [ 8.756040 ]

Re!ltado" I

2≈ 2.189010

Tra'ecio I 3 Seg9e8to de lo8gitd #B%"

Aplicando la fórmula:

I n=h

2 [f ( a )+2∑ j=1n−1

f ( a+ jh )+ f ( b )]8e tiene:

I 3=

1

4

2 [ (e1 ln1 )+2∑ j=13

f (1+ j( 14 ))+( e2 ln 2)]fectuando di"isión, e"aluando la función en los extremos ejecutando la sumatoria:

I 3 ≈ 1

8 {0+2[ f ( 54 )+ f ( 32 )+ f ( 74 )]+5.121703}8ustituendo en las respecti"as funciones de la sumatoria:

I 3 ≈ 1

8 {2[(e5

4ln ( 54 ))+(e

3

2ln ( 32 ))+(e

7

4ln ( 74 ))]+5.121703}

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"aluando las funciones dentro de la sumatoria:

I 3 ≈ 1

8{2 [ 0.778848+1.817169+3.220367 ]+5.121703 }

8umando las funciones e"aluadas dentro de la sumatoria, multiplicando el resultado por 7:

I 3 ≈ 1

8{11.632765+5.121703 }

8umando:

I 3 ≈ 1

8{16.754469 }

Re!ltado I 3 ≈ 2.094309

Tra'ecio I 4 Seg9e8to de lo8gitd #B."

Aplicando la fórmula:

I n=h

2 [f ( a )+2∑ j=1n−1

f ( a+ jh )+ f ( b )]8e tiene:

∫1

2

e x

ln x dx

I 4=

1

8

2 [ (e1 ln1 )+2∑ j=17

f (1+ j( 18 ))+( e2 ln 2 )]fectuando di"isión, e"aluando la función en los extremos ejecutando la sumatoria:

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I 4 ≈ 1

16

{0+2

[f

(9

8

)+ f

(5

4

)+ f

(11

8

)+ f

(3

2

)+ f

(13

8

)+f

(7

4

)+ f

(15

8

)]+5.121703

}8ustituendo en las respecti"as funciones de la sumatoria:

I 4 ≈ 1

16 {2[(e9

8ln( 98 ))+(e

5

4ln( 54 ))+(e

11

8ln(118 ))+(e

3

2ln( 32 ))+(e

13

8ln ( 138 ))+(e

7

4ln ( 74 ))+(e

15

8ln( 158 ))]+5.

"aluando las funciones dentro de la sumatoria:

I 4 ≈

1

16 {2 [ 0.362797+0.778848+1.259509+1.817169+2.465612+3.220367+4.099043 ]+5.121703 }

8umando las funciones e"aluadas dentro de la sumatoria, multiplicando el resultado por 7:

I 4 ≈ 1

16 {28.006689+5.121703 }

8umando:

I 4 ≈ 1

16{33.128392 }

Re!ltado" I 4 ≈2.070525

As- las cosas se +a completado el ni"el 9 se puede pasar los ni"eles 7, 0 :

Nivel # Nivel Nivel 3 Nivel %

2.560852 4

3 (2.189010 )−

1

3(2.560

16

15 (2.062742 )− 1

15 (2.0650

64

63(2.062587 )−

1

63(2.062.189010

4

3 (2.094309 )−

1

3(2.189

2.094309

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4

3 (2.070525 )−

1

3(2.094

1615

(2.062597 )− 115

(2.06272.070525

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A8@li!i! del re!ltado"

A continuación se presenta el resultado o6tenido con la reconocida +erramienta ;olframAlp+a:

Figra

8e conclue 'ue la inte5ración de Rom6er5 utili$ando cuatro ni"eles, es mu efecti"a, dado 'ue

el resultado 'ue arroja el soft

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dy

dx=2 x+ y−3

Ecuación a trabajar.

dx (2 x+ y−3 )+dy (−1)=0 Expresando en forma diferencial.

∂ M

∂ y =1≠0=

∂ N

∂ x

Comprobado ue la ecuación diferencial no

es exacta.

∂ M

∂ y −

∂ N

∂ x

N =

1−0−1

=−1

!aso previa a hallar el factor integrante.

e∫−1 dx

=e− x

"actor integrante

dy (e− x )=dx (2 x+ y−3 ) (e− x ) #gregando el factor integrante a laecuación.

dy (e− x )=2 x ( e− x ) ( dx )−3 (e− x ) (dx )+ y ( e− x) (dx ) $rabajando la ecuación al lado derecho.

dy (e− x )− y (e− x) dx= (2 x−3 ) (e− x) dx %estando y (dx ) (e− x) a ambos lados de la

igualdad & factori'ando al lado derecho.

dy

dx (e− x )− y ( e− x)=(2 x−3 ) (e− x ) ividiendo a ambos lados de la igualdad

entresdx

.

( y ∙e− x) ' =(2 x−3 ) ( e− x ) %eexpresando el lado i'uierdo de formaconveniente.

y ∙ e− x=∫ (2 x−3 ) (e− x ) dx #plicando integral indefinida a ambos lados

de la igualdad.

y ∙ e− x=2 (− x−1 ) e− x+3 e− x+C Integrando.

y ∙ e− x=2 (− x−1 ) e− x+3 e− x+C Integrando.

y=2 (− x−1 )+3+e x C ividiendo entre e− x

a ambos lados del

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igual.

y=e x C −2 x+1 Solución general.

1=e2C −2 (2 )+1Sustitu&endo

y (2 )=1 en la solución

general.

C = 4

e2=0.5413411329

espejando C.

y (2 )=e2 (0.541341 )−2 (2 )+1≈0.9999999997≈ Comprobación

=6teniendo y (2.3 ) :

y (2.3 )=e2.3 (0.541341 )−2 (2.3 )+1≈1.79943523

Solció8 !a8do el 9:todo de Eler 9e=orado"

8e de6en utili$ar las si5uientes ecuaciones:

a. cuación de uler de primer orden:

yn+1= yn+h( f ( xn , y n ))

6. cuación de uler mejorado:

yn+1= yn+hf ( xn , yn )+ f ( xn+1, yn+1 )

2

!on x

0=2 , y0=1 , f ( xn , yn )=2 xn+ yn−3 , h=0.1

*bteniendo y1 con la ecuación de uler de primer orden

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y1=1+0.1 [2 (2 )+(1 )−3 ]=1+0.1 (2 )=1.2

=6teniendo x1 :

x1= x0+h=2+0.1=2.1

Reempla$ando en la ecuación de uler mejorado:

y1=1+(0.1 ) [2 (2 )+(1 )−3 ]+[2 (2.1 )+ (1.2 )−3 ]

2 =1+(0.1 )

2+2.42 =1.22


y2=1.22+0.1 [2 (2.1 )+(1.22 )−3 ]=1+0.1 (2.42 )=1.242

=6teniendo x2 :

x2= x

1+h=2.1+0.1=2.2


y2=1.22+(0.1)

[2 (2.1 )+(1.22)−3 ]+[2 (2.2 )+ (1.242 )−3 ]2

=1.22+(0.1) 2.42+2.642

2=1.4731


y3=1.4731+0.1 [2 (2.2 )+(1.4731 )−3 ]=1.4731+0.1 (2.8731 )=1.76041

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=6teniendo x3 :

x3= x2+h=2.2+0.1=2.3


y3=1.4731+(0.1 ) [2 (2.2 )+(1.4731 )−3 ]+ [2 (2.3 )+(1.76041 )−3 ]

2 =1.4731+(0.1 )

2.8731+3.360412

=1.7847

Re!ltado"

y (2.3 )≈1.7847755

De acuerdo a los cálculos anteriores se puede or5ani$ar una ta6la con la información o6tenida:

xn yn alor real Error ab!olto Error relativo

2.0 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.00

2.1 1.2200000 1.2206837 0.0006837 0.06

2.2 1.4731000 1.4856110 0.0125110 0.84

2.3 1.7847755 1.7994352 0.0146597 0.81

A8@li!i!"

*os resultados de la ta6la dan fe de lo 6ueno 'ue es este mtodo, dado 'ue los errores enporcentaje están por de6ajo del 91.

0- Utili?ar el M:todo de R8geJKtta 'ara a'ro>i9ar

y (0.5 )

Dada la si5uiente ecuación diferencial:

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y' =2 xy

y (0 )=1

Re!olció8"

Re!olvie8do la ecació8 di;ere8cial de la ;or9a tradicio8al"

dy

dx=2 xy

Ecuación a trabajar.

1

y dy=2 xdx

Expresando en forma diferencial+ para aplicar m,todo de separación

de variables.

∫ 1 y

dy=∫ 2 xdx #plicando antiderivada a ambos lados de la igualdad.

∫ 1 y

dy=∫ 2 xdx #plicando antiderivada a ambos lados de la igualdad.

ln y= x2+C 1 %esolviendo la integra indefinida.

y=e x2+C 1 espejando &.

y=e x2

C Simplificando (resultado).

1=e02

C espejando C usando y (0 )=1

C =1 -alor de C

y=e x2

Solución !articular.

y=e(0.5 )2

≈ 1.284025 Evaluando y (0.5 )

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Solció8 !a8do el 9:todo de R8geJKtta de carto orde8"

8e de6en utili$ar las si5uientes ecuaciones:

cuación para determinar y i+1 :

yi+1= yi+1

6h( k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )

Dónde:

k 1=f ( x , y )

k 2=f ( x+ 12 h , y+12 h k 1)

k 3=f ( x+ 12 h , y+ 12 h k 2)

k 4=f ( x+h , y +h k 3 )

Para este ejercicio se define h=0.1

*bteniendo y2 :

>alores iniciales:

i=1 , x1=0 , y1=1

=6teniendo "alores de :

k 1=f ( x , y )=2 (0 ) (1 )=0

k 2=f ( x+ 12 h , y+12 h k 1)=2 [0+0.5 (0.1) ] [1+0.5 (0.1 ) (0 ) ]=2 (0.05) (1 )=0.1

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k 3=f ( x+ 12 h , y+ 12 h k 2)=2 [0+0.5 (0.1 ) ] [1+0.5 (0.1 ) (0.1 ) ]=2 (0.05 ) (1.005 )=0.1005

k 4= f ( x+h , y +h k 3 )=2 [0+0.1 ] [1+(0.1 ) (0.1005 ) ]=2 (0.1 ) (1.01005 )=0.20201

8ustituendo en la ecuación para determinar y2 :

y2=1+

1

6(0.1) [0+2 (0.1 )+2 (0.1005 )+0.20201 ]=1+ 1

60(0.60301 ) ≈1.010050

*bteniendo

y3:

>alores iniciales:

i=2 , x2=0.1 , y2=1.010050


k 1=f ( x , y )=2 (0.1 ) (1.010050 )=0.20201

k 2=f ( x+

1

2h , y+1

2 h k

1)=2 [0.1+0.5 (0.1 ) ] [1.010050+0.5 (0.1 ) (0.20201 ) ]=2 (0.15 ) (1.020151 )=0.306045

k 3=f ( x+ 12 h , y+ 12 h k 2)=2 [0.1+0.5 (0.1) ] [1.010050+0.5 (0.1) (0.306045 ) ]=2 (0.15) (1.025352 )=0.30760

k 4= f ( x+h , y +h k 3 )=2 [0.1+0.1 ] [1.010050+(0.1 ) (0.307606 ) ]=2 (0.2 ) (1.040811 )=0.416324


y3=1+

1

6(0.1) [0.20201+2 (0.306045 )+2 (0.307606 )+0.416324 ]=1+ 1

60(1.845636 )≈ 1.030761

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*bteniendo y

4 :

>alores iniciales:

i=3 , x3=0.2 , y3=1.030761


k 1=f ( x , y )=2 (0.2 ) (1.030761 )=0.412304

k 2

=f

( x+

1

2h , y+

1

2h k

1

)=2

[0.2+0.5 (0.1)

] [1.030761+0.5 (0.1) (0.412304 )

]=2 (0.25) (1.051376 )=0.52568

k 3=f ( x+ 12 h , y+ 12 h k 2)=2 [0.2+0.5 (0.1 ) ] [1.030761+0.5 (0.1 ) (0.525688 ) ]=2 (0.25 ) (1.057045 )=0.52852

k 4= f ( x+h , y +h k 3 )=2 [0.2+0.1 ] [1.030761+(0.1 ) (0.528523 ) ]=2 (0.3 ) (1.083613 )=0.650168

8ustituendo en la ecuación para determinar y

4 :

y4=1+1

6 ( 0.1 ) [0.412304+2 (0.525688 )+2 ( 0.528523 )+0.650168 ]=1+ 1

60(3.170894 )≈ 1.052848

*bteniendo y5 :

>alores iniciales:

i=4 , x4=0.3 , y4=1.052848


k 1=f ( x , y )=2 (0.3 ) (1.052848 )=0.631709

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k 2=f ( x+ 12 h , y+12 h k 1)=2 [0.3+0.5 (0.1 ) ] [1.052848+0.5 (0.1 ) (0.631709 ) ]=2 (0.35 ) (1.084433 )=0.75910

k 3=f ( x+

1

2 h , y+1

2 h k 2)=2 [0.3+0.5 (0.1 ) ] [1.052848+0.5 (0.1 ) (0.759103 ) ]=2 (0.35 ) (1.090803 )=0.76356

k 4= f ( x+h , y +h k 3 )=2 [0.3+0.1 ] [1.052848+(0.1 ) (0.763562 ) ]=2 (0.4 ) (1.129204 )=0.903363


y5=1+1

6(0.1 ) [0.631709+2 (0.759103 )+2 (0.763562 )+0.903363 ]=1+ 1

60(4.580402 ) ≈ 1.076340

*bteniendo y6 :

>alores iniciales:

i=5 , x5=0.4 , y5=1.076340


k 1=f ( x , y )=2 (0.4 ) (1.076340 )=0.861072

k 2=f ( x+ 12 h , y+12 h k 1)=2 [0.4+0.5 (0.1 ) ] [ 1.076340+0.5 (0.1 ) (0.861072 ) ]=2 (0.45 ) (1.119394 )=1.00745

k 3=f ( x+ 12 h , y+ 12 h k 2)=2 [0.4+0.5 (0.1 ) ] [ 1.076340+0.5 (0.1 ) (1.007455 ) ]=2 (0.45 ) (1.126713 )=1.01404

k 4=f ( x+h , y +h k 3 )=2 [ 0.4+0.1 ] [1.076340+ (0.1 ) (1.014042 ) ]=2 (0.5 ) (1.177744 )=1.177744


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y6=1+1

6( 0.1 ) [0.861072+2 (1.007455 )+2 (1.014042 )+1.177744 ]=1+ 1

60 ( 6.081810 )≈ 1.101364

Re!ltado"

y (0.5 )≈1.128064

De acuerdo a los cálculos anteriores se puede or5ani$ar una ta6la con la información o6tenida:

x i y i alor real Error ab!olto Error relativo

0.0 1.000000 1.000000 0.000000 0.00

0.1 1.010050 1.010050 0.000000 0.06

0.2 1.030761 1.040811 0.010050 0.97

0.3 1.052848 1.094174 0.041326 3.78

0.4 1.076340 1.173511 0.097171 8.28

0.5 1.128064 1.284025 0.155961 12.15

#n/lisis:

!uando se utili$a un h mu pe'ue%o con este mtodo, al aproximarse al "alor 6uscado el error

aumenta, de5radándose as- el resultado utilicemos entonces un h=0.5 para lle5ar a la

solución en un solo paso:

*bteniendo y2 :

>alores iniciales:

i=1

,

x1=0

,

y1=1


k 1=f ( x , y )=2 (0 ) (1 )=0

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k 2=f ( x+ 12 h , y+12 h k 1)=2 [0+0.5 (0.5 ) ] [1+0.5 (0.5 ) (0 ) ]=2 (0.25 ) (1 )=0.5

k 3=f ( x+

1

2 h , y+1

2 h k 2)=2 [0+0.5 (0.5) ] [1+0.5 (0.5) (0.5 ) ]=2 (0.25) (1.125 )=0.5625

k 4= f ( x+h , y +h k 3 )=2 [0+0.5 ] [1+ (0.5 ) (0.5625 ) ]=2 (0.5 ) (1.28125 )=1.28125


y2=1+1

6(0.5 ) [0+2 (0.5 )+2 (0.5625 )+1.28125 ]=1+ 0.5

6 (3.40625 )≈ 1.283854

As- las cosas:

y (0.5)≈ 1.283854

x i y i alor real Error ab!olto Error relativo

0.0 1.000000 1.000000 0.000000 0.00

0.5 1.283854 1.284025 0.000171 0.01

#n resultado muc+o más preciso con menos esfuer$o.

.- 1allar la !olció8 a'ro>i9ada e 'ro'orcio8a el M:todo de Ada9! L 2a!;ort de!eg8do tercer < carto orde8 'ara la ecació8-

y,

¿(4−2 x)

y ² 29)?9 "?3.9 @9,7

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l primer punto a iterar será y2 , el "alor de y0 se o6tiene de las condiciones iniciales del

sistema y1 lo conse5uimos aplicando Run5eBCutta de cuarto orden.

y¨ = f ( t , y ) , y (t 0 )= y0

yn+1= yn+h

6 (k 1+2 k 2+2 k 3+k 4 )

Dondek

1=f (t n, y n )

k 1=h∗f ( x0 , y 0 )=0.2000

k 2=h∗f ( x0+ 12 h , y 0+ 12 k 1) ? 3.9/43

k 3=h∗f

( x

0+

1

2h , y

0+

1

2k

2

) ? 3.900

k 4=h∗f ( x0+h , y 0+k 3 )=0.1330 y0=1

y1= y0+1

6( 0.2000+2 (0.1570 )+2 (0.1633 )+(0.1330 ) )=1.1623

8e5unda iteración

8olución mtodo de se5undo orden aplicado:

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yn+1= yn+h

2(3 f n−f n−1)

yn+1= yn+ h2(3 (4−2 xn)

yn2 − 4−2 x

n−1

yn−12 )

y2= yn+h

2((12−6 x1)

y12 −

4−2 x0 y0

2 )

y2=1.1623+ 0.12( (12−6∗1.1)(1.1623)² −

4−2∗11²

)

3.9973

y2=1.1623+0.05 ¿ B7)? 9.777

con el mismo procedimiento se lo5ra

y3=1.3462

Etodo de tercer orden aplicado

yn+1= yn+ h

12(23 f n−16 f n−1+5 f n−2)

Para iterar y3 se de6en tener los "alores de y0 'ue lo conocemos como "alor inicial

y1 , y 2 se calcula con Run5eBCutta de cuarto orden.

y1=1.1623 ; y 2=1.2765

!on estos "alores se calcula y3 , a partir de x0 , x1 , x2

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y3= y2+ h

12(23

(4−2 x2)

y22 −16

(4−2 x1)

y12 +5

(4−2 x0)

y02 )

y3=1.3704

Etodo de cuarto orden aplicado será

yn+1= yn+ h

24(55 f n−59 f n−1+37 f n−2−9 f n−3)

8e procede como en el caso anterior, el primer iterado será y4 , para esto se necesitan los

"alores de y0 , y1 , y2, y3 , entonces aplicamos las iteraciones con x0 , x1 , x2 , x3 a partir de

esta fórmula.

y1 ? 9.970

y2 ? 9.74/

y3 ? 9.074

yn+1= yn+ h

24(55 f n−59 f n−1+37 f n−2−9 f n−3)

y4= y3+ h

24(55

(4−2 x3 ) y

3

2 −59

( 4−2 x2 ) y

2

2 +37

( 4−2 x1 ) y

1

2 −9

(4−2 x0)

y0

2 )¿

y4=1.4245

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CONC*USIONES

#urante el desarrollo de esta actividad utilizamos diferentes m$todos para iterar y

aproximar encontrando resultados en los cuales existen m$todos m%s e&caces que

otros tal es el caso del m$todo Runge'(utta el cual es m%s aproximado que el

m$todo Euler bas%ndonos en el error que ofrece el m$todo ante la soluci)n del

problema real*

El m$todo Runge'(utta es de un solo paso el cual se preocupa de solo lo que pasa

en el paso anterior si se utiliza m%s informaci)n para agregar al sistemas en

ecuaciones no lineales podemos tener una mejor aproximaci)n con un porcentaje de

error m+nimo ante la respuesta real para esto se utilizan los m$todos multipaso

como el de ,dams'-as.fort. o m$todos expl+citos*

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2I2*IO&RAF6A

uc+eli !+a"es, !. G. 27390). 011210 3,todos 4um,ricos. Pasto: #ni"ersidad &acional A6ierta a Distancia #&AD.

Etodo de uler. 2739/, ul 7). Gn 5iipedia+ la enciclopedia libre. Retrie"ed from+ttps:IIes.

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