1004 capÍtulo 14 integración múltiple
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1004 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en formarectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides ypétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen
En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares de un punto están rela-cionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente.
y
y
Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figu-ra 14.24.
Solución
a) La región R es un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadaspolares como
b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos deradios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como
Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares
como el mostrado en la figura 14.25.Figura 14.25
a)Figura 14.24
b)
Sector polar.
sen
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1005
Para definir una integral doble de una función continua en coordenadaspolares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de y
y las rectas y En lugar de hacer una partición de R en rectángulospequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone unared o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, comose muestra en la figura 14.26. Los sectores polares Ri que se encuentran completamentedentro de R forman una partición polar interna cuya norma es la longitud de ladiagonal más larga en los n sectores polares.
Considerar un sector polar específico como se muestra en la figura 14.27. Se puedemostrar (ver ejercicio 75) que el área de es
Área de .
donde y Esto implica que el volumen del sólido de alturasobre es aproximadamente
y se tiene
La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos ,r sen )r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano r ,como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares corresponden a los rectángu-los y el área de es Por tanto, el lado derecho de la ecuación correspon-de a la integral doble
A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir
Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8.
Figura 14.26
Figura 14.27
Figura 14.28
sen
sen
sen
sen
sen
sen
1006 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Si es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretar-se como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ y la región R. Cuando se usa la integralen el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando.
La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples y regiones -simples,como se muestra en la figura 14.29.
Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos y Evaluar la integral
Solución Los límites o cotas polares son y como se muestraen la figura 14.30. Además, y Por tanto, se tiene
Figura 14.30
g1
g2=
=
Límites o cotas variables para r:0 g1( ) r g2( )
Límites o cotas fijas para :
0
2
Figura 14.29
r = r1
h1
r = r2
h2
r
Límites o cotas fijas para r:r1 r r2
0 h1(r) h2(r)Límites o cotas variables para :
0
2
TEOREMA 14.3 CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR
Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, y) (r cos , r sen ) que satis-facen las condiciones 0 g1( ) r g2( ), , donde 0 ( ) 2 . Sig1 y g2 son continuas en [ , ] y f es continua en R, entonces
Volumen de un sector paraboloideEn la exploración de la página 997se pidió resumir los diferentesmétodos hasta ahora estudiadospara calcular el volumen del sólidolimitado o acotado por el parabo-loide
y el plano xy. Ahora se conoce unmétodo más. Utilizarlo para encon-trar el volumen del sólido.
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1007
En el ejemplo 2, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fór-mula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir
lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen.
Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada supe-riormente por el hemisferio
Hemisferio que forma la superficie superior.
e inferiormente por la región circular R dada por
Región circular que forma la superficie inferior.
como se muestra en la figura 14.31.
Solución En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas
y que En coordenadas polares, las cotas son
y
con altura Por consiguiente, el volumen V está dado por
y
x
z
R: x2 + y2 4
Superficie: 16 x2 y2z =
44
4
Figura 14.31
Todo sistema algebraico por computadora que calcula integralesdobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadaspolares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambiaal usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por compu-tadora para evaluar
se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3.
Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble
puede usarse para calcular el área de una región en el plano.
Para ver la ventaja de lascoordenadas polares en el ejemplo 3,hay que tratar de evaluar la integral ite-rada rectangular correspondiente
1008 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de
Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es r-simple y los límites son los siguientes.
Límites o cotas fijas para .
Límites o cotas variables para r.
Por tanto, el área de un pétalo es
Así, el área total es
Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarsemediante
Si se obtiene
lo cual concuerda con el teorema 10.13.Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar
han sido de la forma
en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede sim-plificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra enel ejemplo siguiente.
Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral e inferior-mente por el eje polar, entre y
Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son
y
Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue.
r 3
0 r 3 cos 36 6
Figura 14.32
sen
Figura 14.33
94
6
61 cos 6 d 9
416
sen 66
6
34
.
92
6
6cos2 3 d
6
6
r2
2
3 cos 3
0d
13
AR
dA6
6
3 cos 3
0r dr d
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1009
En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral. Decir si serían más convenientes coordenadas rec-
tangulares o polares para evaluar la integral.
1. 2.
3. 4.
En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares paradescribir la región mostrada.
5. 6.
7. 8.
En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble y dibujar la región R.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando acoordenadas polares.
17. 18.
21. 22.
23. 24.
En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integralesiteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadaspolares. Evaluar la integral iterada resultante.
27.
28.
En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para es-cribir y evaluar la integral doble
29.30.
31.
32.
Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble encoordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado oacotado por las gráficas de las ecuaciones.
33.34.35.36.37. Interior al hemisferio e interior al cilindro
38. Interior al hemisferio y exterior al cilindro
9. 10.0
sen
0r2 dr d
0
cos
0r dr d
19. 20.1
0
x x2
x x2x2 y2 dy dx
2
2
4 x2
0x2 y2 dy dx
sensen
25.
26.2
0
4 x2
0sen x2 y2 dy dx
1
1
1 x2
0cos x2 y2 dy dx
primer octante
sen sen
A-48 Soluciones de los ejercicios impares
Soluciones de los ejercicios impares A-49