10 reinaldo montañez

7/21/2019 10 Reinaldo Montaez

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Encuentro de Topologa

Simposio de Topologa Carlos Javier RuizSalguero

Topos geomtricos a partir de espacios Acompactos

Jos Reinaldo Montaez Puentes

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departmento de Matemticas

Bogot, Enero 25 de 2012

Reinaldo Montaez Topos geomtricos a partir de espaciosAcompactos
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SeaMun monoide topolgico. Olvidando la topologa sobreM

pero reteniendo su estructura algebraica se determina un topos

demconjuntos que notamosEM.

DefinicinUn topos geomtrico es un topos equivalente a uno de la forma

EM.

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Haciendo uso de topologas finales se determina el funtor

T :EMTop

definido porT(X) =X yT(f) =f

Nota

En particular, siMes un monoide topolgico conmutativo las

acciones quedan continuas con respecto a la topologa del

producto tensorial.

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Topos geomtricos a partir de espaciosA-Compactos

DefinicinUn espacio topolgicoWse diceA-Compacto si sus

subespacios abiertos son compactos.

Proposicin

SeaWun espacioA-Compacto. Si[W, W]Toptiene la topologacompacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoidetopolgico.

Corolario

SeaWun espacioA-Compacto. Entonces,EW(Top)es untopos-topolgico y un topos geomtrico.



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Proposicin


Corolario



E d T l
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Proposicin


Corolario



E t d T l
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Ejemplo

Ejemplo

Sea Wun espacio topolgico, con la topologa de los comple-

mentarios finitos. Entonces W es A-Compacto. Por lo tanto

si [W, W]Top tiene la topologa compacta abierta , entonces([W, W]Top, , )es un monoide topolgico.


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Topos geomtricos asociados a espacios mtricos

compactos

Sea (W, d) un espacio mtrico compacto. En [W, W]Topconsideremos la mtrica definida por

D(f, g) :=sup{d(f(x), g(x))|xW}

No necesariamente el monoide de endomorfismos deW resultatopolgico con respecto a la topologa inducida por D. Sin em-

bargo una restriccin sobre dichos endomorfismos produce el

resultado deseado.

Recordemos que una funcin f : W W es una contraccinsi existe un nmero real con 0 1 tal que para todosx, yWse tiene que

d(f(x), f(y)) (d(x, y))


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compactos

Puesto que la funcin identidad es una contraccin y la com-

puesta de contracciones es una contraccin, se determina el

monoide de los endomorfismos deWque son contracciones, el

que notamos[W, W]c.

Proposicin

SeaWun espacio mtrico compacto,[W, W]ces un monoide

topolgico con respecto a la topologa inducida por la mtricaD.


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compactos

Puesto que la funcin identidad es una contraccin y la com-

puesta de contracciones es una contraccin, se determina el

monoide de los endomorfismos deWque son contracciones, el

que notamos[W, W]c.

Proposicin

SeaWun espacio mtrico compacto,[W, W]ces un monoidetopolgico con respecto a la topologa inducida por la mtrica

D.


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Observacin

Notemos conEW(Top)cel topos geomtrico determinado por elmonoide[W, W]c.De nuevo, se determina un funtor de la categora Topen

EW(Top)c. Un espacio topolgicoXse interpreta en el topos

EW(Top)ccomo elm-conjunto[W, X]Topcon la accin dada porcomposicin y una funcin continua en Topda lugar, por

composicin, a unam-aplicacin enEW(Top)c. Puesto que[W, W]ccontiene a las funciones constantes, tambin, en estecasoEW(Top)ccontiene como subcategora reflexiva a lacategoraEW(Top).




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Bibliografa

J. Admeck, H. Herrlich, G. Strecker.

Abstract and Concrete Categories.

John Wiley and Sons Inc, New York, 1990.

J. Montaez, C. Ruiz.

Elevadores y Coelevadores de estructura.

Boletin de Matemticas, Nueva serie. 2004.

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