Cálculo Diferencial e

Integral de Funciones de

más de una Variable

APUNTES Y EJERCICIOS

Derivadas Parciales

Universidad Tecnológica de Chile

SEDE CALAMA

Guía de Apuntes y Ejercicios

Funciones de más de una Variable Página 1

DERIVADAS PARCIALES

Funciones de Varias Variables: Una función de valor real,

, de es una regla para obtener un nuevo número,

que se escribe como , a partir de los valores de

una secuencia de variables independientes . La

función se llama una función de valor real de dos variables

si hay dos variables independientes,

una función de valor real de tres

variables si hay tres variables

independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, las funciones de varias

variables se pueden representar en forma numérica (por medio

de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de

una formula), y en forma gráfica (como se indica).

Derivadas Parciales: La derivada parcial de respecto a es su derivada

respecto a , cuando los demás variables se consideran constantes. En forma

parecida, la derivada parcial de respecto a es su derivada respecto a ,

cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras

variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como

,

, y así

sucesivamente. Se usa el símbolo (en lugar de ) para recordarnos que hay más

de una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

Interpretación:

es la razón de cambio de a medida que cambia , cuando permanece

constante.

es la razón de cambio de a medida que cambia , cuando permanece

constante.

Ejemplo: Calcular las primeras derivadas parciales de la función

Solución: Tratando como constante una variable y derivando respecto a la otra

resulta:

Guía de Apuntes y Ejercicios

Funciones de más de una Variable Página 2

Derivadas parciales de orden superior: Si está una función de e , entonces:

se define como

se define como

se define como

se define como

La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como , , , y

respectivamente. Las últimas dos se llaman derivadas mixtas y estarán siempre

iguales cuando todas las derivadas de primer y segundo orden están continuas.

Interpretación geometrica de derivadas

parciales: Si está una función de e , el

proceso de tomar la derivada parcial y

evaluarla a es nada más que tomar

constante a y calcular la razón de

cambio de en el punto . Entonces, la

derivada parcial es la pendiente de la recta

tangente en el punto donde e , a lo

largo del plano que pasa por . (Ver la

figura.)

Ejemplo: Calcular las segundas derivadas parciales de la función

Solución: Calcular la primera derivada,

, y luego tenemos:

EJERCICIOS

I. Calcular las primeras derivadas de las siguientes funciones:

1.

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3.

Guía de Apuntes y Ejercicios

Funciones de más de una Variable Página 3

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9.

10. El área de un triángulo viene dada por

. Si .Calcular:

a) La razón de cambio de con respecto a ,cuando y son constantes.

Resp.

b) La razón de cambio de con respecto a ,cuando y son constantes.

Resp.

c) La razón de cambio de con respecto a ,cuando y son constantes.

Resp.

II. Calcular las primeras derivadas parciales de con respecto a las variables

independientes e .

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3.

4.

5.

6.

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Funciones de más de una Variable Página 4

7. Considerando e como variables independientes, Calcular

cuando

.

Resp.

III. Calcular todas las segundas derivadas parciales de .

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5.

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