10 clase sismica unidad iii

8/17/2019 10 Clase Sismica Unidad III

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INGENIERIA SISMORRESISTENTE Ingº ANITA ALVA SARMIENTO

UNIDAD III

RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD Y

CRITERIOS ESTRUCTURALES SISMORESISTENTES


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RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOSGRADOS DE LIBERTAD

1.0 INTRODUCCION:

Muchas veces es complejo elegir entre el análisis dinámico plano o

tridimensional ya que análisis dinámico tridimensional, requerirá laevaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de

métodos sofisticados como el de los elementos finitos.


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Estos métodos nos ayudan a resolver las ecuaciones

diferenciales de movimiento existentes por cada grado de

libertad, es una herramienta poderosa, sin embargo sumodelación e interpretación de resultados no es sencilla y sólo se

justificaría su uso en obras de gran magnitud.

En una estructura tridimensional xyz, tipo edificios, es útil y

suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual

acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el

plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres gradosde libertad por piso, dos traslaciones horizontales (u x,u y) y una

rotación vertical (r z).


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A estos grados de libertad se los conoce como desplazamientos

maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se

concentran en un nudo denominado maestro, al cual están

conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se

los denomina dependientes y tienen los grados de libertad

opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones

horizontales (r x, r y) y una traslación vertical (u y).


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Una estructura de varios niveles (como la que se muestra a

continuación), se puede idealizar como un pórtico de varios niveles

con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está

concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente

inextensibles pero lateralmente flexibles.

La respuesta dinámica del sistema está representada por el

desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de

libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número

de masas.

La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de

las vibraciones de cada masa.

2.0 ECUACION DEL MOVIMIENTO:


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Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y

puede ser representado por un sistema simple del mismo

periodo.

La Figura también nos muestra tres modos de un sistema aporticado de

tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja)

es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortosson llamados modos armónicos (frecuencias altas).

Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad

considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa ungrado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada

una:


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ESTRUCTURA DE VARIOS NIVELES


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Las fuerzas de inercia de la ecuación anterior son:

En su forma matricial tenemos:

O en su forma más simplificada:


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Donde: Vector de fuerzas de inercia.

Matriz de la masa

Vector de aceleraciones.

Las fuerzas de la ecuación anterior, dependen de los

desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez

pueden expresarse como:


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En su forma matricial tenemos:

O en su forma más simplificada:

Donde:

Vector de fuerzas elásticas

Matriz de rigidez

Vector de desplazamientos


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De manera similar , las fuerzas de amortiguamiento pueden

expresarse como:

Donde:

Vector de fuerzas de amortiguamiento

Matriz de amortiguamiento

Vector de velocidades

Sustituyendo estas ecuaciones en las de equilibrio dinámico tenemos:


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3.0 RESPUESTA DINAMICA: ANALISIS MODAL

Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios

grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisismodal.

Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo,

modelando cada uno de ellos como un sistema de un simple grado

de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir

simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente

para obtener la respuesta total.

El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales,

numéricos o métodos iterativos


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4.0 METODO MATRICIAL:

Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la

frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma

modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios

grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas

modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzasexternas y el amortiguamiento es considerado cero.

Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio

dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n de éstasecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración

libre no amortiguada como:


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La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras siguientes

consisten en un sistema no amortiguado en uno de sus modos de

vibración natural puede describirse matemáticamente por:


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Donde forma de la deformada o amplitud relativa de

movimiento, no varia con el tiempo es descrita por una función

armónica: el tiempo, y la variación del desplazamiento con eltiempo es descrita por una función armónica:

Donde A n y B n son constantes de integración que pueden ser

calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las

ecuaciones anteriores se tiene:


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Donde son desconocidos. Sustituyendo esta forma de

en la ecuación da:

Esta expresión es una representación de la ecuación de

eigenvalores ; la cual tiene una solución no trivial sólo si el

determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las

frecuencias naturales ω n (escalar) y los modos ϕn (vector) deben

satisfacer la siguiente ecuación:


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El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en

(ω n)2, las raíces del cual son los eigenvalores. Sustituyendo éstos en

la ecuación de eigenvalores se obtienen los eigenvalores para cada

modo.


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A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales

correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a

partir de una curva de respuesta apropiada.

4.01. Matriz modal y espectral:

Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial.

El modo natural o eigenvector ϕn correspondiente a la frecuencia natural ω n

tiene elementos.. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse

o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:


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Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ω n2 pueden

ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω 2, la cual es conocida como

matriz espectral.

Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación anterior, la cual

puede ser reescrita como:


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Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar estaecuación en una ecuación matricial simple:

Esta ecuación presenta en forma compacta las ecuaciones

relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.


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4.02. Ortogonalidad de los nodos:

Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias

naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguientecondición de ortogonalidad. Cuando ω n≠ω r (entiéndase que ω r

también es una frecuencia natural).

La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima

frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuación anterior,

multiplicados por ϕr T, la transpuesta de ϕr , da:


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Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia naturaly el modo que satisface la ecuación principal; de esta manera

La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación, es

igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuación;

de esta forma:


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Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de

masa y rigidez. Restando las dos ecuaciones anteriores se tiene:

Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con

distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales

implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

Donde los elementos de la diagonal son:


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Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la

diagonal de K y M son positivos, y están relacionados por:

4.03. Normalización de los modos:

Si el vector {φn } es un modo natural, cualquier vector proporcional es

en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuación:

Algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales

para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes envarios grados de libertad. A este proceso se le llama normalización.


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Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal

forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es más

ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elementocorrespondiente a algún grado de libertad en particular sea la

unidad.

En teoría y programas computacionales es común normalizar los

modos de tal manera que m n tenga valores unitarios:


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Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes

de la matriz modal normalizada están dados por:

ϕ jn= Componente para el nudo j , de la forma modal normalizada

asociada al modo n .

m jj = Masa concentrada en el nudo j .

u jn = Componente, para el nudo j , del eigenvector asociado con el

nudo n .


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4.04. Factor de participación:

Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no

dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a laecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad.

El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad

esta definida en forma matricial por:

[P] = vector de coeficientes de participación para todos los modosconsiderados

{1} = vector unitario.


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Para un sistema en especifico, los factores de participación tienen

las propiedades de:

P n = Factor de participación asociado con el modo n .

ϕ1n = Componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector

asociado con el modo n

La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:


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donde [ D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.

[V ] = matriz diagonal de velocidad espectral.

[ A] = matriz diagonal de aceleración espectral.

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por

la segunda ley de Newton:

El vector de fuerzas cortantes en la base esta dada por:


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5. METODO NUMERICO:

Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar

métodos numéricos. Para un modo de vibración dado el factor de

participación está definido por:

M i = masa correspondiente al nivel i .

ϕi = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado.

M = masa modal = ΣM i · ϕi 2

Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura.


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La masa efectiva está definida por:

De forma similar el peso efectivo es definido por:

donde W i = pesocorrespondiente al nivel i

La aceleración pico en el nudo estádefinida por:


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El desplazamiento máximo en el nudo está definido por:

La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton:

La cortante basal esta dada por:


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La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse

mediante la distribución de la cortante basal del modo siguiente:

Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:


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5. METODO ITERATIVO:

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el

análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema

estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre

piso rígidas.

Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el

resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los

nudos.

La rigidez de un nivel en particular esta dada por:


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La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre

piso, utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas

iterativas, a continuación se presenta una adaptación del métodode Holzer.

El modelo dinámico que cuando un nudo alcanza su desplazamiento

lateral máximo u i , la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo

está dada por:


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La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la

rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento

en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza deinercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado

por:

Donde k i· Δ i = fuerza cortante total en el nivel i .

Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se

tiene:


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• La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma

modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir

del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante

en términos de la frecuencia natural, en cada nivel.

• Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia

abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso.

• Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el

desplazamiento (deriva) de cada piso.

• Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte

superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.

• Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva formamodal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma

modal corregida con la inicial.

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