ANLISIS PROBABILSTICO DE LA ESTABILIDAD DE MUROS DE CONTENCIN

Jaime Rodrguez Urquiza

Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniera en Obras Civiles jrodrigu@userena.cl

Luis Lemus Mondaca

Geotecnia Ambiental Ltda. llemus@geotecniaambiental.cl

RESUMEN

En este trabajo se presenta una metodologa probabilstica para el anlisis de la estabilidad externa de muros de contencin mediante el mtodo de Simulacin de Monte Carlo (SMC). El objetivo es determinar en trminos cuantitativos la fiabilidad del diseo, a travs del concepto de probabilidad de falla del sistema. El modelo computacional fue desarrollado en rutinas de Visual Basic 6.0. Como ejemplo de aplicacin se desarrolla el anlisis de estabilidad de un muro de contencin tipo Cantilever.

1. INTRODUCCIN. Para un ingeniero tener herramientas para cuantificar la incertidumbre de los modelos que desarrolla resulta de mucha utilidad, debido a que esto le permitira seleccionar, en base a su experiencia o en base a la normativa vigente, los diversos factores de seguridad que utilizar en su proyecto. Dentro de los problemas de ingeniera ms desarrollados, tanto por los ingenieros geotcnicos como estructurales, se encuentra el anlisis y diseo de estructuras de contencin, en los cuales la mayor dificultad radica en determinar la estabilidad que el muro presenta a una posible falla (Centeno, 2002).

Para determinar la estabilidad de un muro de contencin es necesario determinar los factores de seguridad al deslizamiento y al volcamiento de la estructura, para los casos estticos y ssmicos. Dichos factores estn relacionados con la geometra del muro de contencin, las cargas, los empujes estticos y ssmicos solicitantes, las propiedades mecnicas de los suelos, etc.; pero estos factores de seguridad no permiten cuantificar el efecto de la incertidumbre ( o variabilidad) de las variables utilizadas en los resultados del anlisis y el diseo final.

Un ejemplo muy importante de lo anterior se refiere a, los parmetros propios del suelo. Los suelos son muy variables en sus propiedades y pocas veces son homogneos en estado natural. Una de las principales fuentes de heterogeneidad es la variabilidad inherente espacial de los suelos, esta variacin de las propiedades desde un punto a otro en el espacio se debe a las diferentes condiciones de depositacin y a los diferentes estados tensionales debido al historial de cargas (Elkateb y Chalaturnyk 2003).

En este trabajo se presenta una metodologa para el anlisis de muros de contencin tomando en cuenta la variabilidad inherente de los parmetros de resistencia al corte, utilizando el modelo de Mohr Coulomb como ley constitutiva de los suelos, asumiendo adems que solo el ngulo de friccin interna del suelo de relleno se comporta como una variable estocstica, ya que de acuerdo a un anlisis de sensibilidad de la estabilidad es la variable ms influyente en el anlisis.

2. METODOLOGA DE ANLISIS Y MODELO MATEMTICO. Para el anlisis de la estabilidad de un muro de contencin, se asume un comportamiento de equilibrio lmite, en el cual se genera un mecanismo de falla en el suelo o en la misma estructura. Para evitar este tipo de falla en el diseo se estudia el estado inmediatamente anterior a la falla y no el colapso total del muro. Se asume adems que el muro de contencin clasifica como una estructura rgida segn su

interaccin suelo - estructura, donde no se presentan deformaciones considerables ante las solicitaciones del suelo retenido. Tambin se realiza el anlisis en una condicin de talud estable, que supone que el suelo es homogneo y se genera una presin del suelo de acuerdo a las teoras de Rankine y Coulomb, en donde las presiones del suelo (estticas) se asumen con una distribucin en forma triangular. Para el anlisis ssmico del muro de contencin se realiza el clculo de empujes utilizando los mtodos de Coulomb y Mononobe Okabe , para los casos estticos y ssmicos respectivamente.

El modelo probabilstico requiere de amplias bases de datos asociadas a los parmetros de resistencia de los suelos. En el ejemplo de este trabajo se asume que el material de relleno detrs del muro estar conformado por uno del tipo arena limosa y por lo tanto, al asumir que el ngulo

de friccin interna del suelo de relleno () se comporta como una variable estocstica, entonces se incorporan bases de datos disponibles de arenas limosas (Caldern, 2004), en las cuales las distribuciones de probabilidad que poseen un mejor ajuste al comportamiento de la variable son las distribuciones Normal y Lognormal, distribuciones bi-paramtricas que quedan definidas mediante la media y la varianza (o desviacin estndar).

A continuacin se resumen los valores de las medias, desviaciones estndar y coeficientes de variacin para los ajustes de probabilidad asociadas al ngulo de friccin de interna para grados de compactacin del 80%, 90% y 95% referidos al ensayo Proctor modificado.

%GC(PM)

Distribucin

Normal

Distribucin

Lognormal

() ()cv

(%) ()

cv

(%)

80 31,30 3,42 10,91 31,12 1,11 3,57

90 34,35 4,22 12,29 34,19 1,13 3,30

95 36,96 4,22 11,42 36,71 1,12 3,05

Tabla 1. Resumen de distribuciones de ajuste para las bases de datos arenas limosas. GC:

Grado de compactacin con respecto a la DMCS del Ensayo Proctor Modificado.

Para llevar a cabo el anlisis probabilstico de la estabilidad del muro de contencin, el enfoque

propuesto corresponde a la Simulacin de Monte Carlo (SMC), aunque costoso

computacionalmente, es una forma adecuada para capturar los efectos de la variabilidad inherente

de los parmetros de resistencia de los suelos (Popescu et al, 1998). La simulacin se lleva a

cabo mediante el Software de diseo y anlisis de muros de contencin mediante simulacin de

Monte Carlo v.2 (Gonzlez y Lemus 2010), con rutinas en lenguaje de Visual Basic 6.0. Las

variables de salida del modelo corresponden a los factores de seguridad esttico y ssmico al

deslizamiento y al volcamiento, stas podrn cuantificar la estabilidad del muro en trminos de

fiabilidad, adems se podr verificar la probabilidad de falla del sistema, asociada a las

distribuciones de probabilidad de los factores de seguridad resultantes.

La simulacin se basa en la generacin de nmeros pseudoaleatorios, estos se obtienen a travs

de un algoritmo congruencial (Garca et al, 2006) o la rutina Randomize incluida en Visual Basic

6.0. Es posible generar un mximo de 30.000 corridas. Las variables aleatorias se obtienen a

travs del mtodo de Box-Mller (Box y Mller 1958), que se describe en la ecuacin (5), que se

utiliza para generar variables aleatorias estndar normales.

El anlisis genera un vector X de dimensin n, nXXXXX ....,,,, 321 , el cual representa un set de

variables aleatorias. Para una corrida, cada variable aleatoria normal estndar permite calcular los

factores de seguridad: FSEDi , FSEVi , FSSDi y FSSVi . Finalmente, se realiza un anlisis

estadstico de estas variables asociado al nmero de corridas consideradas. Para una condicin

de equilibrio fsica se debe verificar que la media de cada factor de seguridad debe ser mayor a la

unidad (FSi >1). La inestabilidad del sistema se asocia al concepto de probabilidad de falla (PF),

que se calcula utilizando la distribucin de probabilidad normal estndar.

)1( iFSPPF (1)

Para determinar la fiabilidad del muro (Fm) se utiliza la siguiente definicin:

PFFm 1 (2)

Para resumir el proceso de simulacin, se puede describir en los siguientes pasos:

1. Generacin de nmeros pseudoaleatorios de distribucin Uniforme: Se obtienen nmeros pseudoaleatorios a travs de un algoritmo congruencial, que consiste en generar nmeros provenientes de una distribucin Uniforme entre 0 y 1 mediante la siguiente frmula recursiva.

mbxax ii mod1 (3)

m

xU ii

(4)

El procedimiento para generar la corriente de nmeros pseudoaleatorios es el siguiente:

a). Se escoge un nmero semilla cualquiera, preferentemente menor que 1000.

b). Se elige el mdulo m representando por un nmero primo grande.

c). Se selecciona un coeficiente a que termine en 01, 21, 41, 61 u 81.

d). Se escoge un trmino independiente b que termine en 1, 3, 5, 7 9.

e). Para el primer nmero pseudoaleatorios, correspondiente a 0x se calcula 0x nmero

semilla y bxa i .

f). Se calcula el valor de mbxa i mod , donde Amod(B) es el residuo de la divisin entre A y B.

g). Se divide el valor encontrado en el paso 6 entre el mdulo m obteniendo el primer

nmero pseudoaleatorios comprendido entre 0 y 1.

h). Se utiliza el valor de mbxa i mod obtenido en el paso 6 como valor ix y se procede a calcular el segundo nmero repitiendo los pasos e y g.

i). Se repite el procedimiento segn el nmero de corridas n, para obtener los nmeros

aleatorios que se necesiten en la simulacin.

2. Generacin de nmeros pseudoaleatorios de distribucin Normal Estndar y Log normal con el Mtodo de Box-Mller:

211

211

21ln2

2cos1ln2

UsenUY

UUX (5)

2

11 YXNN

(6)

Donde:

: Media de la distribucin de la base de datos.

: Desviacin estndar de la distribucin de la base de datos.

NNyYX 11, : Variables aleatorias con distribucin Normal (0,1) o Lognormal con media igual a e0.5

y varianza igual a (e-1)e.

21,UU : Nmeros pseudoaleatorios independientes de distribucin Uniforme (0,1).

3. Obtencin de las variables de salida y su anlisis estadstico: A partir de los nmeros con distribucin Normal y Log normal del paso 2 se obtienen nmeros aleatorios Normales y Log normales con la media y la varianza deseadas los cuales son sometidos a anlisis estadsticos que permiten confirmar las hiptesis distribucionales, entre otras propiedades.

4. Clculo de la probabilidad de falla y fiabilidad del muro de contencin.

Cabe destacar que el nmero mximo de corridas que acepta el programa es de 30.000

repeticiones, el cual supera con holgura el nmero ptimo de corridas para la simulacin, que se

encuentra dentro del orden de 4.000 a 10.000 corridas, segn un anlisis de estabilidad de la

variable a simular (Gonzlez y Lemus, 2010).

3. PRESENTACIN Y DISCUSIN DE RESULTADOS. Como ejemplo de aplicacin se realiza el estudio de la estabilidad de un muro de contencin tipo Cantilever (Figura N1) con suelo de relleno arena limosa. Se aplica la simulacin de Monte Carlo utilizando el software desarrollado.

Figura N1. Ejemplo de muro de contencin Cantilever con suelo de relleno arena limosa.

Consideraciones en el modelo simulado

La Simulacin se realiza considerando solamente el ngulo de friccin como variable estocstica

(variable simulada) y los dems parmetros se mantienen invariantes. Se analizan 3 casos para

diferentes grados de compactacin (80%, 90% y 95%), para las distribuciones Normal y

Suelo de Relleno:

Arena Limosa

t = 2,0 [t/m3]

c = 0,0 [t/m2]

= Parmetro Simulado

Zona Ssmica III

B = 0

i = 0

cs = 0,5 A0 /g

Suelo de Apoyo:

= 35

t = 2,0 [t/m3]

c = 0,0 [t/m2]

Lognormal. El nmero ptimo de corridas ser de 10.000 repeticiones (nmero ptimo de corridas

para la estabilizacin de la variable de salida). Para la zonificacin ssmica se utiliza la ltima

versin y modificaciones de la Norma Chilena NCh 433 Diseo ssmico de edificios.

A continuacin se muestra los resultados obtenidos:

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

75 80 85 90 95 100

Grado de Compactacin (%)

Empuje esttico Empuje ssmico

Em

pu

jes

La

ter

ale

s [T

on

/ml]

Figura 2. Variacin de empujes laterales segn %GC.

Figura 3. Variacin de los factores de seguridad estticos segn %GC.

Figura 4. Variacin factores de seguridad ssmicos segn %GC.

Se puede apreciar en las figuras 3 y 4, que para el caso ssmico al deslizamiento se tiene un

mayor riesgo de falla al estar ms cercano al valor 1,0, no as en los factores FSED, FSEV y

FSSV. Adems, para un anlisis determinista se puede ver la influencia del grado de

compactacin en los factores de seguridad.

En el ejemplo de aplicacin se puede apreciar la influencia de la variabilidad del ngulo de friccin

interna en el FSSD, el cual, si bien es mayor a 1,0, ste posee una desviacin estndar entre

0,067 y 0,10, generando una probabilidad de falla de un 5,35% y un 10,40% para las

distribuciones Normal y Lognormal respectivamente. El Manual de Carreteras, (Direccin de

Vialidad, 2008) define un diseo adecuado cuando el FSSD>1,10. Dada esta situacin, se

optimiza el diseo y la estabilidad del muro, aumentando el grado de compactacin del suelo de

relleno hasta un 95% DMCS, obteniendo una probabilidad de falla de 0,09% y 0,29% para las

distribuciones Normal y Lognormal respectivamente, luego se calcula la fiabilidad del muro con la

ecuacin (2), obtenindose una fiabilidad de un 99,91% y un 99,71% para las distribuciones

Normal y Lognormal.

En la figura 12 se puede distinguir la variacin que se genera en la fiabilidad del muro, debido al

mejoramiento del suelo de relleno desde un 80%GC a un 95%GC, en este ltimo caso, se reduce

considerablemente el riesgo de falla al deslizamiento producto de que la fiabilidad es muy cercana

un 100%. A continuacin se muestran los histogramas para los factores de seguridad estimados.

Junto a estos histogramas se incluye la curva de la distribucin ajustada.

0,81 0,89 0,97 1,05 1,13 1,21 1,29 1,37

FSSD

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Fre

cuen

cia

= 1,108

= 0,067

_____ Distrib. Normal

Figura 5. Histograma de FSSD utilizando distribucin Normal con suelo de relleno GC 80%.

0,81 0,92 1,02 1,12 1,23 1,33 1,43

FSSD

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Fre

cuen

cia

= 1,107

= 0,085

- - - - Distrib. Log Normal

Figura 6. Histograma de FSSD utilizando distribucin Lognormal con suelo de relleno GC 80%.

0,87 0,97 1,06 1,16 1,25 1,35 1,44

FSSD

0

200

400

600

800

1000

1200

Fre

cuen

cia

= 1,196

= 0,085

Distrib. Normal

Figura 7. Histograma de FSSD utilizando distribucin Normal con suelo de relleno GC 90%.

0,81 0,90 0,99 1,08 1,18 1,27 1,36 1,45 1,54

FSSD

0

200

400

600

800

1000

Fre

cuen

cia

= 1,198

= 0,100

- - - - Distrib. Lognormal

Figura 8. Histograma de FSSD utilizando distribucin Lognormal con suelo de relleno GC 90%.

0,95 1,04 1,14 1,23 1,33 1,43 1,52

FSSD

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Fre

cuen

cia

= 1,269

= 0,085

_____ Distrib. Normal

Figura 9. Histograma de FSSD utilizando distribucin Normal con suelo de relleno GC 95%.

0,86 0,98 1,10 1,22 1,35 1,47 1,59

FSSD

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Fre

cuen

cia

= 1,270

= 0,098

- - - - Distrib. Lognormal

Figura 10. Histograma de FSSD utilizando distribucin Lognormal con suelo de relleno GC 95%.

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

75 80 85 90 95 100

Grado de Compactacin (%)

Pro

b.

de

fall

a

Distrib. Normal

Distrib. Lognormal

Figura 11. Probabilidad de falla al deslizamiento caso ssmico dado el %GC.

88,0%

90,0%

92,0%

94,0%

96,0%

98,0%

100,0%

75 80 85 90 95 100

Grado de Compactacin (%)

Distrib. Normal

Distrib. Lognormal

Fia

bil

ida

d d

el m

uro

Figura 12. Fiabilidad del muro dado el %GC.

4. CONCLUSIONES. La variabilidad de los parmetros inherentes del suelo, en este caso en

particular, el ngulo de friccin interna, influye directamente en el clculo de los empujes de suelos

estticos y ssmicos, y en la misma medida en la estabilidad del muro de contencin, por lo que se

supone que tambin influiran en los esfuerzos internos de los elementos estructurales del muro.

Para un anlisis determinista, en el ejemplo de aplicacin desarrollado se puede agregar que a

medida que el grado de compactacin del relleno aumenta, los empujes estticos y ssmicos

disminuyen; para tramos de compactacin de 80% a 90% y de 90% a 95%, la reduccin de los

empujes es de un 13% para el caso esttico y de un 7,5% para el caso ssmico, respectivamente.

Se pudo cuantificar la fiabilidad a la estabilidad del diseo del muro para los 3 casos estudiados,

en donde se aprecia que con un aumento del grado de compactacin hasta un 95% se logra

reducir, para este caso, el riesgo de falla por deslizamiento debido a la accin ssmica. Si no se

logra mejorar la fiabilidad del muro hasta un 100%, se debe optimizar el diseo geomtrico del

muro y se recomienda realizarlo mediante algn software de anlisis de muros de contencin, con

el fin de disminuir el tiempo de clculo.

Las distribuciones de ajuste definidas para los factores de seguridad indican que la distribucin

Lognormal presenta una mayor variabilidad que la distribucin normal, segn los valores de

desviacin estndar obtenidos. Los valores medios de ambas distribuciones se acercan bastantes

entre s.

Se recomienda para trabajos futuros, en esta misma lnea de investigacin, incluir adems otros

parmetros como variables estocsticas (cohesin, densidad natural del relleno y parmetros

geotcnicos del suelo de fundacin), ya que nos permitira acercarnos a un comportamiento ms

representativo del sistema, esto asociado a diseos ms confiables en esta materia.

5. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen el apoyo brindado en la realizacin de esta investigacin al Departamento de Ingeniera en Obras Civiles y a la Universidad de La Serena, La Serena, Chile. 6. REFERENCIAS

Box, G.E., Mller, M.E. (1958). A Note on the Generation of Random Normal Deviates, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 29, N2, pp. 610-611.

Caldern, R. (2004). Determinacin de Parmetros de Resistencia al Corte en Arenas Limosas y Propuesta de Implementacin de Equipo de Compresin Triaxial, Memoria de Ttulo, Departamento de Ingeniera en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile.

Centeno, R.R. (2002). Simulacin de Monte Carlo y su aplicacin a la Ingeniera Geotcnica, VXII Seminario Venezolano de Geotecnia, Caracas, Venezuela.

Direccin de Vialidad: Manual de Carreteras (2008) - Volumen N3: Instrucciones y Criterios de Diseo, Versin digital Consolidada, Marzo 2008. Chile.

Elkateb T., Chalaturnyk R.K. (2003). An overview of soil heterogeneity: quantification and implications on geotechnical fields problems. Canadian Geotechnical Journal 40, p. 1-15.

Garca, E., Garca, H., Crdenas, L. (2006). Simulacin y anlisis de sistemas con Promodel, 1 edicin. Pearson Educacin Prentice Hall, Mxico.

Gonzlez, J., Lemus, L. (2010). Actualizacin del software de diseo y anlisis de muros de contencin mediante simulacin de Monte Carlo, Memoria de Ttulo, Departamento de Ingeniera en obras civiles, Universidad de La Serena. La Serena. Chile.

INN-Chile, Instituto Nacional de Normalizacin (1996). Norma Chilena NCh 433 Of. 96 Diseo ssmico de edificios. Chile.

Popescu, R., Prevost, J.H., Deodatis, G. (1998). Spatial variability of soil properties: two case studies. Geotechnical earthquake engineering and soil dynamics, Geotechnical special publication n 75, ASCE, Seattle. p. 568-579.