10. Aplicaciones

Presentamos aplicaciones a cuatro problemas clasicos en economıa: lateorıa de competencia imperfecta entre firmas (monopolio y oligopolio),la provision de bienes publicos, el problema de implementacion o disenoinstitucional y la existencia del equilibrio Walrasiano en una economıa deintercambio.

Tres caracterısticas importantes que discutiremos a lo largo de esta sec-cion son: (1) Homogeneidad del bien producido. (2) Heterogeneidad de lasfirmas y (3) La existencia de restricciones de capacidad.

10.1. Oligopolio

En esta seccion suponemos que se produce un bien homogeneo, las firmasson heterogeneas y no hay restricciones de capacidad.

Tenemos n firmas que producen un bien homogeneo.

F : R → R denota la demanda agregada. Suponemos que satisface la leyde la demanda. La funcion inversa la denotamos por P : R→ R.

Cada firma tiene una funcion de costos creciente Ci : R+ → R+.

10.1.1. Cournot

El conjunto de estrategias de cada firma es el nivel de produccion qi.

El pago neto Πi(qi, q−i) = P (Q)qi−Ci(qi), donde Q es la oferta total quesuponemos se agota completamente en el mercado.

En un equilibrio de Nash (interior) (q∗1 , ..., q∗n) se cumple:

C ′i(q∗i )− P (Q∗) = P ′(Q∗)q∗i

Competencia es un caso particular de competencia a la Cournot dondela demanda agregada es perfectamente elastica. En este caso la demandaagregada inversa es completamente inelastica (el precio no responde a lascantidades vendidas). Observese entonces que, la diferencia entre costomarginal y el precio de equilibrio depende de:

1. La elasticidad de la demanda con respecto al precio (entre mas inelasti-ca mayor la diferencia).

2. El nivel de produccion q∗i de la firma.

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Las consideraciones anteriores las podemos resumir en la siguiente rela-

cion. Sea α∗i =q∗iQ la participacion del mercado de cada firma y definamos

el ındice de Lerner L como:

L (q∗) =

n∑i=1

α∗iP (Q∗)− C ′i(q∗i )

P (Q∗).

Esta es una medida ponderada de las desviaciones de competencia perfec-ta.

Definimos el ındice de Herfindhal H como:

H(α∗) =

n∑i=1

α∗2i

y la elasticidad de la demanda agregada inversa como λ como:

λ(Q) = −P ′(Q)Q

P.

Es facil demostrar que:

L (q∗) = λ(Q)H(α∗)

Nota tecnica 12 Observese que H(α∗) es un ındice de concentracion de mer-cado (su maximo lo alcanza cuando α∗i = 1). En conclusion, entre mas inelasticasea la funcion de demanda (o mas elastica sea la funcion de demanda inversa)y exista mayor concentracion de mercado, mayor es la desviacion del equilibriocompetitivo.

Nota tecnica 13 El resultado anterior se obtuvo bajo la hipotesis de homege-neidad del bien producido, mas no de las firmas que lo producen.

Nota tecnica 14 En el caso de un duopolio, si adicionalmente suponemos fir-mas homogeneas, costos marginales constantes y demanda agregada lineal, elequilibrio de Nash es una prediccion muy bien fundada pues es el unico resul-tado de la eliminacion iterativa de estrategias dominadas luego, es un equilibriode Nash y, ademas, es unico. Es decir, es un juego solucionable en estrategiasiterativamente no dominadas.

Ejemplo 31

Supongamos que J firmas identicas compiten en un mercado por un bienhomogeneo.

Vamos a suponer que sus costos marginales son constantes:

c(qj) = cqj (3)

donde c ≥ 0 y qj es el nivel de produccion de la firma j.

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Supongamos que la demanda agregada inversa es lineal y la podemos es-cribir como:

p = a− bJ∑j=1

qj (4)

donde a y b son positivos.

Por lo tanto, los beneficios de una firma j son:

Πj(q1, ...qJ) =

a− b J∑j=1

qj

qj − cqj . (5)

Es facil demostrar que el equilibrio de Nash (Cournot - Nash) de este juegoes:

q =a− c

b(J + 1). (6)

Esto implica que los valores de equilibrio de la demanda (oferta) agregada,precio y beneficios son respectivamente:

J∑j=1

qj =J (a− c)b(J + 1)

c < p = a− J a− c(J + 1)

< a

Πj =(a− c)2

b(J + 1)2

Observese que cuando J = 1 tenemos el caso de una firma monopolısta.

Cuando J →∞ obtenemos competencia perfecta.

10.1.2. Bertrand: Bienes homogeneos

En esta seccion consideramos el caso en el que el bien es homogeneo y lasfirmas son simetricas.

Consideremos el caso particular de la economıa anterior en el que las firmastienen costos marginales constantes e iguales entre si (firmas homogeneas)y mantenemos la hipotesis un bien homogeneo.

En el contexto del modelo anterior si las firmas compiten en precios en-tonces el equilibrio coincide con el equilibrio en competencia perfecta ytodas las firmas tienen beneficios cero.

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Para ver esto primero observese que si el menor precio ofertado es inferioral costo marginal este no puede ser un equilibrio de Nash. Ahora supongaque el menor precio oferta es estrictamente superior al costo marginal (yla funcion de demanda agregada es continua). Es facil de ver que existepor lo menos una firma que no esta atendiendo toda la demanda. O bienes una firma que no esta ofreciendo el menor precio o bien es una firma queesta ofreciendo el menor precio pero debe compartir el mercado con otraque tamben a ofrecido el menor precio. Es facil de ver que esta firma (queno atiende todo el mercado) tiene incentivos a desviarse (una reduccionsuficientemente pequena del precio mınimo ofertado por todas las firmasresulta en un aumento en su beneficio). Luego el precio de equilibrio debeser igual al costo marginal. Finalmente, no es difıcil verifica que si por lomenos dos firmas ofertan el costo marginal entonces este es un equilibriode Nash.

10.1.3. Bertrand: Bienes no homogeneos

Ahora relajemos unicamente el supuesto de bienes homogeneos. Suponga-mos que tenemos dos firmas simetricas que producen dos bienes diferen-ciados pero tiene los mismos costos marginales. Las funciones de costosson:

Ci(qi) = cqi

La funcion inversa de demanda de cada producto es de la forma:

Pi (q1, q2) = max0,M − qi − bqj, i, j = 1, 2 i 6= j

lo cual refleja que los productos son percibidos como distintos por losconsumidores y las demandas no son independientes.

Las funciones de demanda son:

Fi (p1, p2) = max0, M

1 + b− 1

1− b2pi +

b

1− b2pj

El parametro b refleja el grado de sustitucion entre los dos bienes.

El pago neto de cada jugador es:

πi (p1, p2) = (pi − c) max0, M

1 + b− 1

1− b2pi +

b

1− b2pj

Es facil demostrar que un equilibrio (interior) simetrico es:

p∗1 = p∗2 =M(1− b)

2− b+

c

2− b.

Cuando b ↑ 1 los bienes son menos heterogeneos y el resultado tiende alos precios de competencia perfecta.

Otro caso interesante para estudiar es cuando existen restricciones de ca-pacidad.

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10.1.4. Bertrand: Restricciones de capacidad

En esta seccion estudiamos los efectos de cierto tipo de mecanismos de se-siones y compensaciones en un mercado de commoddities. Este es un modeosimplificado del mercado del azucar o el aceite de palma en Colombia. Supon-gamos que n productores venden un producto homogeneo, costos de produccionson cero y existen dos mercados para el producto: un mercado interno y un mer-cado externo. En ambos la demanda es inelastica. Sea D la demanda interna porel bien (la demanda externa es residual, todo lo que no se venda internamentese vende en el mercado externo a un precio pE), θ(pM ) = mınpM1 , ...pMn donden es el numero de productores y pMi es el precio de venta que fija el productori en el mercado interno. Vamos a suponer que:

1. Ninguna firma es capaz de suplir la totalidad de la demanda interna (i.e.,existen restricciones de capacidad).

2. Las n−1 firmas mas pequenas (en capacidad) sı pueden suplir la totalidadde la demanda interna.

3. Las firmas que fijan el menor precio participan en el mercado proporcio-nalmente a su produccion.

Con estas hipotesis los beneficios de la firmas son:

πi = pE ×Qi, si pMi > θ(pM ) (7)

πi = θ(pM )× xiQi + pE × (1− xi)Qi, si pMi = θ(pM ) (8)

donde pE es el precio de exportacion, Qi es la produccion de la firma i y xi =D∑

j∈k:pMk

=θ(pM )Qj. Observese que por las hipotesis anteriores xi < 1. Ademas

xi es igual para todos los productores que fijan el menor precio.

Ejercicio 21 Demostrar que el equilibrio de Bertrand en este caso es θ(pM ) =pE

Ahora suponga que exitse la posibilidad de importar el bien a un precio pI >pE (debido a aranceles que buscan proteger el sector). Es claro que los arancelesno tiene ningun efecto sobre el equilibrio. Este sigue siendo θ(pM ) = pE .

Ahora suponga que los productores crean un mecanismo de sesiones y com-pensaciones que, utilizando las cantidades vendidas por cada productor (repor-tadas por estos y debidamente auditadas) y los precios de exportacion e im-portacion (publicamente disponibles), hacen las siguientes transferencias a cadaproductor:

(pI − pE)× xQi, si pMi > θ(pM ) (9)

(pI − pE)× (x− xi)Qi, si pMi = θ(pM ) (10)

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Despues de recibir las transferencias los beneficios de las empresas son, cuan-do xi < 1, son:

pQi, si pMi > θ(pM ) (11)

(θ(pM )− pI)× xiQi + pQi, si pMi = θ(pM ) (12)

donde p = pI DQ + pE × (1− DQ ) y Q es la capacidad total de produccion de

las firmas.Ahora vamos a demostrar que, si θ(pM ) = pI y todos los productores que

empatan en el menor precio pueden atender mas que la demanda interna (xi < 1,para todo i que fijan el menor precio) entonces este es un equilibrio de Nash.Ademas los beneficios de equilibrio son pQi para todas las firmas (vendan o nointernamente).

Para ver esto primero suponga que θ(pM ) < pI . En este caso las firmas conel menor precio ganan menos que pQi. Una de estas firmas subiendo el preciolograria un beneficio igual a pQi. Ahora suponga que θ(pM ) > pI . Por hipotesisninguna firma puede atender la totalidad del mercado. Escoja un productor deestos y cambie el precio pMi por θ(pM )− ε donde ε es suficientemente pequeno.Entonces su beneficio serıa (θ(pM )− pI − ε)Qi + pQi. Si no cambiara su precioel beneficios serıa pQi o (θ(pM )− pI)× xiQi + pQi. Ahora obsevese que si ε eslo suficientemente pequeno y teniendo en cuenta que xi < 1 entonces:

pQi (13)

< (θ(pM )− pI)× xiQi + pQi (14)

< (θ(pM )− pI − ε)×Qi + pQi (15)

luego existirian incentivos unilaterales a desviarse.En conclusion, θ(pM ) = pI es un candidato a equilibrio cuando la oferta

agregada de todos los que fijan el menor precio excede la demanda (es decir,cuando todos los que fijan el menor precio tienen xi < 1). Ahora mostremosque en efecto es un equilibrio. Vamos a mostrar dos cosas. Que aquellos queempatan en el menor precio no tiene incentivos unilaterales a desviarse y que lomismo sucede con aquellos que fijan un precio mayor al menor precio. Suponganque i es tal que pMi = θ(pM ). Si i cambia su precio por θ(pM ) − ε entonces subeneficio despues del mecanismo de compensacion es:

(θ(pM )− ε)×Qi + (pI − pE)(x− 1) (16)

= (θ(pM )− pI − ε+ p)×Qi (17)

= (−ε+ p)×Qi (18)

porque θ(pM ) = pI . Pero observese que este beneficio es menor que p×Qi, quees el beneficio antes de intentar desviarse de forma unilateral.

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De otra parte, si el productor fija un precio superior a θ(pM ) = pI entoncessus beneficios se mantiene iguales (no existen incentivo a desviarse).

Por ultimo supongamos que un productor que fija precios superiores al precioθ(pM ) = pI e intenta desviarse. Si este disminuye su precio hasta igualar elmenor precio, sus beneficios no cambian. Y si lo disminuye por debajo del preciopI sus beneficios disminuyen.

En resumen, el mecanismo de sesiones y compensaciones logra sostener unprecio interno mas alto que en ausencia del mecanismo y observacionalmente elresultado es como si actuaran como un monopolio.

10.1.5. Hotelling

Vease presentacion: Location Models: Examples

10.1.6. Cuantificacion del danos de practicas anticompetitivas

Esta seccion es preliminar pero da una buena idea de como utilizar la teorıade juegos para atacar un problema de teorıa de la competencia.9

La evaluacion cuantitativa de danos monetarios provenientes de presuntaspracticas no competitivas es una tarea central en las investigaciones sobre com-petencia. Para determinar una compensacion justa se requiere una estimaciondel dano. Para esto se requerirıa tener informacion sobre lo que hubiera sucedidoen un mundo paralelo en el que no hubieran existido practicas anticompetitivas.Dicho escenario es conocido como el contrafactual y dicha informacion no exis-te. Es por esto que es necesario utilizar algun modelo que permita reconstruir ydescribir el escenario contrafactual de la mejor forma. A pesar de la dificultadmetodologica para estimarlo con exactitud, distintos metodos economicos hansido desarrollados y utilizados en las cortes para poder cuantificarlo. El gradode complejidad de los modelos y su precision varıa, y se encuentra ıntimamenteligado a restricciones de informacion, tiempo y otros recursos (Komninos, Assi-makis; Oxera, 2010). Antes de presentar las principales tecnicas junto con susventajas y desventajas se definira el dano desde el punto de vista economico.Para lograr estimar el dano se debe definir una medida objetiva y rigurosa quepermita cuantificarlo monetariamente. Desde el punto de vista economico, elobjetivo es la cuantificacion del cambio en el bienestar del consumidor. Si seconsideran dos restricciones presupuestales (p0,m0) y (p1,m1) donde p es unvector de precios y m son los ingresos que enfrenta un consumidor en una si-tuacion inicial 0 y una posterior 1, una medida ideal del cambio en bienestarde pasar de la situacion 0 a la situacion 1 serıa la diferencia en las utilidadesindirectas, es decir v(p1,m1)− v(p0,m0) donde v(p,m) es la funcion de utilidadindirecta. No obstante la anterior medida de utilidad es slo ordinal y no permitetener una medida monetaria del cambio en bienestar. Si definimos u(q, p,m) co-mo el ingreso que el consumidor necesitara con los precios q para tener el mismobienestar que tendra con los precios p y el ingreso m, podemos medir moneta-riamente el cambio en bienestar como la diferencia u(q, p1,m1) − u(q, p0,m0).

9Con la colaboracion de Miguel Bernal.

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La cuestion pendiente es definir cules son los precios bases q, para lo que setiene dos opciones. Una alternativa es tomar los precios iniciales p0 como ba-se, en cuyo caso se calculara la variacion equivalente, que responde la siguientepregunta: Cunto es el cambio en ingreso necesario para alcanzar, con los preciosiniciales, el bienestar de la situacion posterior? En otras palabras, cunto es lomximo que un consumidor estara dispuesto a pagar para evitar el cambio deprecios:

V E = u(p0, p1,m1)− u(p0, p0,m0)

Si se toma como precios base los de la situacion posterior p1, se calculara lavariacin compensada que responde la pregunta: Cunto es el cambio en el ingresonecesario para alcanzar, con los precios posteriores, el bienestar de la situacioninicial Alternativamente, cunto se debe compensar al consumidor por el cambiode precios.

V C = u(p1, p1,m1)− u(p1, p0,m0)

La medida clsica de cambio en bienestar es el cambio en el excedente delconsumidor, que es el rea bajo la curva de la demanda Marshalliana x(p) entrelos precios p0 y p1:

∆EC =

∫ p1

p0x(t)dt (19)

Es importante notar que las tres medidas son tiles para cuantificar los cam-bios en el bienestar de los consumidores, pero tienen diferencias conceptuales.Sin embargo estn ntimamente relacionadas pues siempre tienen el mismo signo.Los bienes normales son aquellos cuya demanda aumenta cuando el ingreso delos consumidores aumenta. Para este tipo de bienes ante un incremento en pre-cios se tiene que las tres medidas se relacionan de la siguiente forma:

V C ≥ ∆EC ≥ V E

Teniendo en cuenta lo anterior, para el presente anlisis se definira el mundoobservado como la situacion 0 y el mundo contrafactual como la situacion 1.De esta manera se podra estimar monetariamente el cambio en el bienestar delconsumidor utilizando distintas metodologas que se presentarn en seguida. Enel mbito de prcticas anticompetitivas es importante sealar que una de las tcnicasms utilizadas es utilizar el sobrecosto resultante de la prctica anticompetitiva ymultiplicarlo por las unidades que se vendieron, que corresponde al rectngulo Ade la Ilustracion 1. Esta tcnica subestima el dao real, pues slo tiene en cuenta loque habran ahorrado quienes efectivamente adquirieron el producto, sin embargodesconoce que a un precio menor se hubiera vendido una mayor cantidad deproducto, que corresponde al tringulo B de la misma ilustracion. Por lo tantono se tendra en cuenta el dao para este grupo de consumidores. Las medidaspresentadas anteriormente s tienen en cuenta este dao.

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Existen mltiples modelos que pueden servir para determinar el escenario con-trafactual y estimar los daos. Sin embargo, la robustez de los modelos dependecrucialmente de la validez de los supuestos sobre los que se construye y qu tanrazonables son, dado el contexto particular. Se pueden clasificar los modelos devarias formas, sin embargo siguiendo a Komninos(2010) se plantean modelosbasados en 3 grandes categoras:

1. Comparaciones

2. Anlisis Financiero

3. Estructura de Mercado

Los mtodos basados en comparaciones se caracterizan por utilizar datos defuentes ajenas al periodo de la presunta infraccion. Cuando se cuenta con datosde corte transversal (todos de un mismo periodo de tiempo) se pueden ha-cer comparaciones con agentes en otros mercados geogrficos, otros productoscomparables en donde no hubo prcticas anticompetitivas para as construir uncontrafactual. Los modelos pueden tener en cuenta factores observables paracontrolar por diferencias entre los mercados para as aislar el efecto de la prcticaanticompetitiva, de lo contrario otros factores que coinciden con el periodo peroque no se tienen en cuenta a la hora de modelar pueden sesgar los resultados.La fortaleza de estas comparaciones transversales depende crucialmente en qutan parecidos y comparables son los mercados. La principal desventaja de estemtodo es que puede ser difcil encontrar un mercado alternativo comparable yde encontrarlo es posible que caractersticas no observadas sesguen los resulta-dos (Brander Ross, 2006). Otra opcion es realizar comparaciones en el tiempo,especficamente comparar el mismo mercado en un periodo en el que existi la pr-ctica anticompetitiva con otro periodo en el que no existi. En general se utilizandos tcnicas para utilizar los datos de un mercado en el tiempo, los pronsticosde series de tiempo y utilizar una variable indicadora. Para utilizar la variableindicadora se toman datos para todos los periodos en los que hay datos dis-ponibles, incluyendo periodos donde no existieron prcticas anticompetitivas. Seconstruye una variable indicadora It que toma el valor de 1 si en el periodo texistieron dichas prcticas y 0 de lo contrario y se estima un modelo en el queel precio en el periodo t , Pt es funcion de dicha variable y otras exgenas Xt:Pt = f(It, Xt). Suponiendo una relacion lineal, se tendra:

Pt = α+ βXt +t +γItXt + εt

Se estiman los parmetros con los datos y se estudia la significancia estadsticay la magnitud de los parmetros que acompaan a la variable indicadora y conesto se determina la magnitud del dao, pues se puede estimar el precio contra-factual. Esta tcnica presenta una dificultad, pues se debe decidir si el diferencialdel precio se asumir constante o no, lo que dificulta obtener una estimacion deldao. Alternativamente se puede estimar un modelo utilizando periodos en dndeno existieron prcticas anticompetitivas y as lograr descubrir los determinantesde los precios y luego utilizar ese modelo para predecir precios contrafactuales

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en el periodo de inters. En algunos casos ambas aproximaciones pueden arrojarlas mismas predicciones (McCrary Rubinfeld, 2014). Una desventaja de estosmodelos es que pueden existir tendencias estacionales y autocorrelacion tempo-ral que de no ser controlados pueden generar estimaciones sesgadas. Finalmente,cuando se tiene tanto el componente transversal como el temporal, se cuentacon datos panel que permite controlar por ms factores y tener estimacionesms precisas. La tcnica de diferencias en diferencias es un ejemplo de lo que sepuede hacer con estos datos. La mayor dificultad radica en que, en general, escomplejo adquirir datos de estas caractersticas. Por otra parte se encuentranlos mtodos basados en anlisis financieros. Estos modelos utilizan informacion deotras firmas e industrias para tener puntos de referencia sobre tasas de retornoy costos. Utilizando los costos de produccion, de capital, mrgenes de ganancia,rentabilidades entre otros, se puede estimar precios del escenario contrafactual.En general se usa el desempeo financiero de las firmas. Por ejemplo, un cambioen la rentabilidad de una firma demandante puede ser utilizado para estimar eldao causado. Igualmente resultados financieros excepcionales pueden proporcio-nar medidas cuantificables del beneficio por parte de las firmas que utilizaronprcticas anticompetitivas.

Otra tcnica utilizada para construir el precio contrafactual es analizando laestructura de costos de la firma, as se puede obtener un costo de produccion yal aplicarle un margen de referencia se puede establecer un precio contrafactual.Adems de las anteriores, en mercados desarrollados se puede utilizar datos sobrelos movimientos de las acciones y los bonos de una empresa como insumos enel anlisis. Una de las ventajas de estos mtodos es que los datos generalmentese encuentran disponibles, al menos en los estados financieros de las empresas.Algo que se debe tener en cuenta es que dicha informacion corresponde a laempresa como un todo, y es posible que las prcticas correspondan exclusivamentea un rea de la compaa. Adicionalmente existen varias desventajas de usar estosmtodos. En primer lugar, es difcil distinguir el efecto de factores ajenos a laprctica anticompetitiva que afectan el desempeo financiero de las empresas.Asimismo, los costos observados pueden ser engaosamente altos pues es posibleque existan ineficiencias en el proceso productivo como consecuencia de la faltade competencia, o que no se estn aprovechando totalmente las economas deescala al restringir los volmenes de produccion.

La tercera categora son los mtodos basados en la estructura de mercado yla teorıa. Ests metodologas se basan principalmente en la teora de la organiza-cion industrial, utilizando una combinacion entre modelos tericos y estimacionesempricas para as determinar un escenario contrafactual. El enfoque consiste enidentificar los modelos de organizacion industrial que mejor se ajustan al merca-do relevante. Existe un gran espectro de modelos que explican todo el rango decompetencia en un mercado, desde competencia perfecta hasta monopolio. Losmodelos utilizados para estimar el dao tambin estn en un rango que va desdetotalmente tericos hasta absolutamente empricos, sin embargo, en general seutiliza una combinacion de modelos tericos, supuestos y estimaciones empricasque permiten estimar y simular el mercado bajo diversas circunstancias. Unade las partes ms importantes para determinar el modelo a usar son las carac-

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tersticas del mercado y para determinar esto hay que tener en cuenta variascosas. Primero, es importante determinar si se compite en precios o cantidades.Si las firmas son tomadoras de precio, con pocas barreras de entrada y sali-da, y muchos participantes, se presenta un caso de competencia perfecta. Si lacompetencia es en precio, modelos de Bertrand, o competencia monopolsticapodran ser los adecuados. Si se compite en cantidades, modelos tipo Cournotson los adecuados. Cuando la localizacion de un producto es relevante, o comouna forma de modelar las diferencias en calidad de los productos, se puede usarel modelo Hotelling. Si los precios se determinan en subastas, se deben estudiarlos modelos de subastas relevantes para estudiar el tipo de competencia. Otracaracterstica relevante son los bienes, se debe utilizar modelos diferentes si losbienes son homogneos o diferenciados y si existe una diferenciacion horizontalo vertical. En la primera no existe un ordenamiento objetivo entre los bienes,mientras que en la segunda s. Asimismo el nmero de firmas y las barreras deentrada y salida pueden ser determinantes a la hora de definir la estructura demercado. Adems de los anteriores, otros factores como la estructura de costospueden ser relevantes. Todo lo anterior permite identificar cul es el modelo teri-co ms apropiado para el mercado en cuestion. En general, para estimar el dao,la primera y la tercera categora utilizan modelos economtricos. Dentro de stosmodelos existen dos grandes categoras, los modelos estructurales y los modelosen forma reducida. En los modelos estructurales se utiliza la teora econmica ysupuestos matemticos que explican cmo un conjunto de variables endgenas serelacionan a un conjunto de variables explicativas observables. Para hacer estose debe especificar en detalle todas las relaciones entre los agentes que llevana un resultado econmico final. Para lograr estimar estos modelos se deben uti-lizar supuestos estadsticos razonables sobre la distribucion de algunas de lasvariables (Reiss Wolak, 2007). Como su nombre lo dice, estos modelos desarro-llan minuciosamente toda la estructura de las relaciones econmicas por lo quees posible realizar algunos cambios para construir escenarios contrafactuales demanera robusta. Por su parte, los modelos en forma reducida son aquellos querelacionan las distintas variables pero slo en su resultado final, sin especificar endetalle la estructura que llev a este resultado. Lo modelos en forma reducida songeneralmente ms fciles de estimar que los estructurales de los cuales se derivan.Por ejemplo, en un modelo en forma reducida puede ser difcil distinguir entre lademanda y la oferta. En muchas ocasiones las estimaciones en forma reducidapueden ser muy tiles para responder preguntas relevantes. No obstante, sus re-laciones no se derivan de un conjunto de ecuaciones estructurales lo que puedegenerar el riesgo de producir resultados engaosos. Dada la complejidad de losmodelos estructurales, stos requieren una mayor cantidad de datos. En generalse prefiere utilizar modelos estructurales, sin embargo en muchas circunstan-cias no existe suficiente informacion para caracterizar la estructura subyacentede la complejidad de la interaccion entre agentes. En estos casos modelos enforma reducida pueden ser una alternativa confiable al usarlos correctamente(Rubinfeld, 2008). Si los consumidores pueden sustituir fcilmente los productosen cuestion, el ejercicio de poder de mercado tiene un efecto mucho menor, pueslos consumidores pueden adquirir otros productos cuyos precios y cantidades no

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hayan sido modificados. Es por esto que es fundamental estimar tanto las elasti-cidades propias como las cruzadas con otros productos para analizar los efectosen un mercado. Uno de los modelos estructurales ms utilizados para realizaresta tarea fue introducido por (Berry, Levinsohn, Pakes, 1995). Este modelobusca estimar tanto la demanda como la oferta en un mercado y caracterizarambos lados del mercado. Para estimarla se requieren datos desagregados decompras que permitan identificar las preferencias de los consumidores y a suvez calcular participaciones de mercado. Por el lado de la demanda las decisio-nes de los individuos se modelan como elecciones discretas entre un conjuntofinito de bienes. Con base en los precios, cantidades vendidas por localizaciony ao, las cantidades agregadas de estas (participaciones de mercado por pro-ducto) y caractersticas bsicas agregadas de los individuos como la distribuciondel ingreso, se estima la utilidad de los agentes, la demanda y las elasticidadescruzadas y con respecto a las caractersticas. Por el lado de la oferta se suponeque las firmas compiten en precios (Bertrand). Con base en las participacionesde mercado de cada producto se recuperan los costos marginales y el markup(medida de poder de mercado). Utilizando los datos observados del mercadodurante el periodo en que existi presuntamente un cartel se pueden estimar losmarkups y costos marginales. Estos permiten inferir el grado de competenciaimperfecta observado. Finalmente usando los costos marginales se pueden inferirlos precios del contrafactual bajo otras estructuras de mercado. Con los preciosde competencia perfecta se puede estimar las nuevas demandas y excedente delconsumidor entre el escenario observado y el de competencia perfecta.

Para ilustrar algunas de las ideas mencionadas sobre los modelos estructu-rales, a continuacion estudiamos un modelo de competencia a la Betrand conmiras a resolver un problema de cuantificacion del dano de una presunta practicaanticompetitiva.

Esta metodologa se basa en Nevo.

Considere i = 1, ..., N firmas en el mercado. Cada firma ofrece un conjuntoFj de productos diferenciados. Sea J el numero total de productos que seofrecen.

La demanda del producto j viene dada por

Qj = Q(p1, ..., pJ , Z;α), j = 1, ..., J (20)

donde Z es un vector de variables exogenas y α es un vector de parametrosque deben ser estimados.

Los beneficios de la firma i son:

Πi =∑j∈Fi

(pj −mc(Wj , β))Qj − Ci (21)

donde mc(Wj , β)) es el costo marginal de producir el bien j, Wj es unvector de variables exogenas, β es un vector de parametros que deben serestimados, Ci es el costo fijo. Observese que esta especificacion implicaque los costos marginales son constantes.

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Las condiciones de primer orden (en forma matricial) es:

p = mc+ Ω−1Q(p) (22)

donde Ω ≡ Θ ·∂Qr(p)/∂pj y Θ es una matriz de unos y ceros que obedecea varios tipos de competencia.

En particular Θ puede representar tres diferentes tipos de competencia:

1. Matriz identidad: Bertrand con firmas uni-producto.

2. Matriz con bloques de unos: Bertrand con firmas multi-producto.

3. Matriz de unos: Bertrand con firmas en colusion.

La especificacion econometrica se completa anadiendo un termino de errora la demanda y la ecuacion de fijacion de precios.

El modelo puede utilizarse para estimar que tipo de competencia es masapropiada entre un menu de posibilidades. Formalmente esto se puedehacer como sugieren algunos artıculos: Bresnahan (1987) y Gasami et.al(1992).

Tambien puede utilizarse para constuir escenarios contrafactuales: compe-tecia perfecta, colusion, etc.

El modelo de variaciones conjeturales es identico pero excepto que la ma-triz Θ no se supone de ceros y unos sino parametros generales (estosrepresentan una medida de poder de mercado). Usualmente se intepretancomo las conjeturas que las firmas tiene sobre el comportamiento de lasdemas.

Suponiendo que los parametros de la demanda estan identificados si setienen J productos entonces se necesitan por lo menos un vector Z dedimension J . Usualmente esto es difıcil cuando se tiene muchos productosdiferenciados.

Como una apliacion considere las siguientes funciones de demanda:

Qg1 = α10 + α11pg1 + α12p

g2 + α13p

c1 + α14p

c2 + Zγg + εg (23)

Qc1 = α20 + α21pg1 + α22p

g2 + α23p

c1 + α24p

c2 + Zγc + εc (24)

Qg1 y Qc1 son las cantidades demandadas.

Los precios p1 y p2 denotan respectivamente los precios.

Z es un grupo de controles macroeconmicos como el PIB per cpita, etc.

ε es el trmino de error economtrico.

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Entonces la condicion de orimer orden se puede escribir como:

[pg1 pc1] = [mcg1 mcc1] + [Qg1 Qc1]Ω−1 (25)

donde Ω es una matriz con las derivadas cruzadas:

Ωj,r = −∂Qr1(p)

∂pj1= −αrj , r, j ∈ g, c (26)

y los costos marginales se suponen que tiene una especificacion lineal.

Las estimaciones se realizan en 2 etapas:

1. Se estiman Qg1 y Qc1 por variables instrumentales

2. Se calculan mcg1 y mcc1 empleando los estimados de αjr y se estimanlos parmetros por mnimos cuadrados.

Algunas desventajas generales que aplican a cualquier metodologa sonproblemas inherentes a algunas prcticas anticompetitivas. Por ejemplo,los carteles son difciles de coordinar. Hacer trampa dentro de un mercadooligoplico cartelizado puede traer enormes beneficios, por lo que las fir-mas tienen incentivos a desviarse de los acuerdos pactados. Algunas vecesfactores externos en las condiciones de la demanda tambin pueden hacerdifcil la coordinacion dentro del cartel. De esta forma, los datos observadospueden no reflejar claramente una prctica anticompetitiva. Igualmente esimportante tener claro a quion se le est causando el dao. Las estructu-ras de las cadenas productivas hacen posible que entre el generador deldao y el consumidor final haya varios intermediarios que pueden afectarla direccion y el tamao del cambio en los precios. La estimacion del daoen los distintos niveles de acuerdo a la cadena de suministro es en generalcomplicada y requiere otros modelos, supuestos y especialmente muchosdatos .

10.1.7. Resumen

• Si las firmas producen un bien homogeneo en competencia oligo-polıstica a la Corunot, la desviacion de competencia perfecta dependede la elasticidad de la demanda agregada con respecto al precio (en-tre ms inelastica mas poder de mercado) y el nivel de produccion dela firma. Una medida de que tan distante esta el mercado de compe-tencia perfecta es el ındice de Lerner que es un promedio ponderadode las desviaciones relativas del precio de equilibrio en competenciaimperfecta del costo marginal (con respecto al precio de equilibrio)ponderado por la participacion de mercado de cada firma. Este sepuede expresar como el producto del ındice de Herfindahl y la elas-ticidad de la demanda inversa.

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• Cuando las firmas producen un bien homogeneo y ademas sus cos-tos marginales son constantes e iguales entre ellas, competencia ala Bertrand implica que el equilibrio de Nash simetrico coincide concompetencia perfecta. En presencia de restriciones de capacidad pue-de no existir un equilibrio.

• Si los costos marginales no son iguales, con restricciones de capacidadpuede no existir un equilibrio. Si las n− 1 firmas mas pequennas, enterminos de capacidad, no pueden atender la totalidad del mercado,no existe necesariamente un equilibrio.

• Si los bienes producidos son diferenciados pero los costos marginalesson constantes e iguales entre firmas, competencia a la Bertrand im-plica que el equilibrio se desvia de competencia perfecta. Entre masdiferenciados los bienes (menor sustitucion entre ellos) mas distantees el equilibrio de competencia perfecta.

10.2. Asignacion eficiente de bienes publicos

• Consideremos una comunidad de n individuos que debe determinarel nivel x de provision de un bien publico para ellos.

• Cada individuo determina su contribucion individual ci. La contri-bucion total C financia una cantidad x = C del bien publico.

• Cada individuo tiene una dotacion inicial wi de un bien privado.

• Las preferencias de los individuos son de la forma:

Ui : R+ × (−∞, wi]→ R

donde Ui es creciente en el primer argumento (consumo del bienpublico), decreciente en el segundo (contribucion individual) y es-trictamente concava.

• El problema de un planificador central es:

maxn∑i=1

αiUi

s.a

x ≤ C, x ≥ 0, wi ≥ ci.

• Suponiendo una solucion interior, es facil demostrar que la suma entreindividuos de las tasas marginales de sustitucion entre bienes publicosy privados es igual a la tasa marginal de transformacion (condicionde Bowen-Lindahl-Samuelson).

Ejercicio 22 Deducir la condicion anloga de Bowen-Lindahl-Samuelsoncuando la tecnologa para produccir el bien pblico es de la forma f(C) = xdonde f tiene las propiedades usuales.

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• Es facil demostrar que un mecanismo descentralizado en el cual losindividuos juegan un equlibrio de Nash es ineficiente.

• Una forma de reestablecer la eficiencia se basa en el concepto deequilibrio de Lindahl.

• (p∗i , c∗i , x∗) define un equilibrio de Lindahl para el problema en con-

sideracion si:

1. Maximizacion individual:

maxUi

p∗i x = ci

ci, x ≥ 0

2.n∑i=1

p∗i = 1

3.n∑i=1

c∗i = x

Ejercicio 23 Demostrar que todo equilibrio de Lindahl es eficiente.

• Un mecanismo descentralizado alterno que reestablece la eficiencia esel mecanismo de Walker.

• Consideremos el siguiente juego. Cada jugador tiene como espacio deestrategias puras al conjunto de los nmeros reale R. Las estrategiasde los agentes son mensajes. Si m es el mensaje conjunto de todoslos agentes la provision del bien publico se determina como:

x = ψ(m) = max

n∑i=1

mi

n, 0

donde m =

n∑i=1

mi.

• La contribucion que le corresponde a cada agente es:

ci =

(1

n+mi+1 −mi+2

)ψ(m)

donde los jugadores se indetifican modulo n (esto sugiere una inter-pretacion del juego en el que los agentes forman un crculo).

• Las funciones de pago son:

π(m1, ...,mn) = U(ψ(m),

(1

n+mi+1 −mi+2

)ψ(m)) (27)

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• Para determinar si este mecanismo esta bien definido es necesarioverificar que dado cualquier mensaje, la contribucion agregada essuficiente para producir ψ(m) del bien publico (ejercicio).

Ejercicio 24 Demostrar que (p∗i , c∗i , x∗) es un equilibrio de Lindahl sı y

solo si m∗ es un equilibrio de Nash donde: p∗i =(

1n +m∗i+1 −m∗i+2

),

x∗ = ψ(m∗) y c∗i = p∗i x∗.

10.3. Diseno de Mecanismos

• La teorıa del diseno de mecanismos es una teorıa dual de la teorıa dejuegos.

• Informalmente su principal problema es, dada una asignacion de re-cursos o resultado sobre el que un conjunto de agentes tiene preferen-cias, encontrar y estudiar el mecanismo (reglas de juego) tales quenuestra mejor prediccion del resultado de la interaccion de un con-junto de agentes (solucion del juego) sea la asignacion o resultadodado. Este se llama el problema de implementacion.

• El principal ejemplo que utilizaremos de un mecanismo son las subas-tas.

• Otros ejemplos importantes que estudiaremos son: el mecanismo deWalker introducido anteriormente, el mecanismo de Vickrey, Clarkey Grooves y el mecanismo de compensacion de Varian.

• En esta parte comenzaremos estudiando mecanismos de informacioncompleta.

10.3.1. Elementos basicos

• Sea I = 1, 2, ..., I un conjunto de agentes.

Definicion 27 (Mecanismos) Un mecanismo es (M ii∈I , F, Y ), don-de para cada agente i, M i es un conjunto de mensajes posibles del agentei, M =

∏M i es el conjunto de los mensajes posibles de todos los agentes,

Y es un espacio de resultados y F : M −→ Y es una regla de asignaciondel espacio de mensajes en los resultados.

• Suponemos que las preferencias de cada agente se pueden representarpor funciones de utilidad ui : Y −→ R y definimos Ui el conjuntode todas las funciones de utilidad posibles de cada agente. Cuandolos resultados son inciertos, restringimos el conjunto de utilidades aaquellas que tiene una representacion en forma de utilidad espera-da. Sea T ⊆

∏Ui. T se llama el espacio de tipos. Obsrvese que no

suponemos que T tiene una estructura de producto.

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• Mas adelante vamos a suponer que los agentes obervan t ∈ T lo cualles revela sus preferencias individuales y las de todos los demas. Poreso decimos que la estructura de informacion es una de informacioncompleta, por lo menos para los agentes aunque no lo sea para elcentro (disenador, o principal).

• La funcion de utilidad de cada agente es una funcion ui : Y −→R. Alternativamente, la funcion de utilidad de cada agente es: ui :M −→ R donde ui(m) = ui(F (m)).

Definicion 28 (Correspondencia de eleccion social) Una correspon-dencia (o regla) de eleccion social es una FS : T ⇒ 2Y .

• Intuitivamente, si el tipo de los agentes es t ∈ T un planificador buscaimplementar un resultado en FS(t).

• Tıpicamente vamos a estar interesados en correspondencias socialesque son eficientes o optimas en algun sentido.

Definicion 29 (Eficiencia ex-post) Una correspondencia FS es eficien-te ex-post si para todo t ∈ T , FS(t) es un conjunto de resultados eficientes(en el sentido de Pareto).

• Todo mecanismo define un conjunto de juegos estaticos de informa-cion completa. Para cada t ∈ T, t = (u1, ..., uI), seaGt = (I, (M i)i∈I , (u

i)i∈I).Suponemos que todos los juegos Gt son conocimiento comn de todoslos agentes.

• Obervese que ui dependen del tipo t. Cuanso sea necesario vamos ahacer explıcita la dependencia escribiendo uit y uit.

• La caracterstica fundamental de un mecanismo en un ambiente deinformacion completa es que cuando un agente es informado de su ti-po tambion es informado del tipo de todos los demas. Esto determinala forma de las estrategias de los agentes.

• Para que el problema de implementacin sea interesante, suponemosque el planificador central no es informado de ningun tipo.

Definicion 30 (Estrategia) Una estrategia para el jugador i es una fun-cion si : T →M i.

• Obseervese que la estrategia depende del tipo de todos los agentes.Esto es la caracterıstica fundamental del juego de informacion com-pleta inducido.

10.3.2. Conceptos de solucion

Definicion 31 (Dominancia) Una estrategia si domina debilmente a si

si:uit(F

(si (t) ,m−i

))≥ uit

(F

(si (t) ,m−i

))∀m−i ∈M−i and ∀t ∈ T con desigualdad estricta para algun t y m−i.

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• Una estrategia es debilmente dominante si domina debilmente a cual-quier otra estrategia.

Definicion 32 (Equilibrio en estrategias dominantes debilmente)Un equilibrio estrategias dominantes debilmente del mecanismo 〈M,F, Y 〉es una estrategia conjunta s =

(s1, ..., sI

), si : T −→ M i, tal para cada i,

si es una estrategia debilmente dominante.

Definicion 33 (Equilibrio ex-post o Nash) Un equilibrio ex-post delmecanismo 〈M,F, Y 〉 es una estrategia conjunta s =

(s1, ..., sI

), si : T −→

M i, tal que:uit (F s (t)) ≥ uit

(F (si

(t), s−i (t)

))∀i ∈ I,∀t ∈ T para todas las estrategias si : T −→M i.

• Este es un equilibrio de Nash del juego de informacion completa unavez revelada la informacion de todos los jugadores.

10.3.3. Implementacion

Definicion 34 (Implementacion) Una correspondencia social F s es im-plementable en estrategias dominates (debilmente) o estrategias ex-post, siexiste un mecanismo 〈M,F, Y 〉 y un equilibrio s tal que F (s) es consistentecon FS (i.e., F s es una seleccion de FS: Para todo t, F (s(t)) ∈ FS(t)).Si para todo equilibrio s del mecanismo, F (s(t)) ∈ FS(t) decimos que esfuertemente implementable. Decimos que la implementacion es completacuando todas las elecciones sociales de una correspondecia de eleccion sepueden obtener como un equilibrio de un mecanismo.

• Implementacion en estrategias dominantes tambien se denomina stra-tegy proof implementation.

• Dado t ∈ T , t = (u1, ..., uI) y y ∈ FS(t) decimos que t′ ∈ T , t′ =(u′1, ..., u′I) no aumenta los resultados preferibles a y con respecto at si para todo i:

y′ ∈ Y : ui(y′) ≤ ui(y) ⊆ y′ ∈ Y : u′i(y′) ≤ u′i(y) (28)

Definicion 35 (Monotonicidad de la funcion de eleccion social) Unafuncion de eleccion social es montona si se cumple la siguiente condicion.Sea t ∈ T , y y ∈ Y arbitrarios. Supongamos que t′ ∈ T no aumenta losresultados preferibles a y con respecto a t entonces y ∈ FS(t′).

Teorema 6 (Maskin (1977)) Si una funcion de eleccion social es fuer-temente y completamente implementable entonces es montona.

57

10.3.4. El problema del Rey Salomon

• El Rey Salomn debe decidir a quion entregarle un nio entre dos mu-jeres, A y B que lo reclaman como su hijo.

• Su objetivo es entregrselo a la veradera mam y amenaza com matarlosi no hay consenso entre la mujeres.

• Sea Y = a, b, c, que representan el nio se lo entregan a A, B o lomatan.

• El espacio es T = (uAα , uBα ), (uAβ , uBβ ) donde uA(a, α) > uA(b, α) >

uA(c, α) y uB(b, α) > uB(c, α) > uB(a, α). Las preferencias cuandoel tipo es β son anlogas. Por simplicidad escribimos T = α, β.Intutivamente el espacio de tipos indica si A es la verdadera madre(tipo α) o B es la verdadera madre (tipo β).

• Obsrvese que este es un problema de informacion completa: clara-mente cada mujer sabe quion es la verdadera madre. El que no sabees el Rey Salomn.

• La regla de eleccion social que desea implementar el Rey Salomn esFS(α) = a y FS(β) = b.

• Esta funcion de eleccion social no es montona. Luego, por el teore-ma de Maskin (1977) no es implementable (en un sentido fuerte ycompleto).

• Para ver esto sea t = α y y = a. Ahora obsrvese que t′ = β noaumenta los resultados preferibles a a con respecto a α (en el estadoα, a es el resultado preferible para A lo cual no cambia cuando elestado es β y, en el estado α, a es el peor resultado para B. Cuandoel estado es α los preferibles al resultado a disminuyen para B).Por lo tanto, monotonicidad implicara α ∈ FS(β) lo cual es unacontradiccion.

• Ms adelante veremos que un mecanismo dinmico s podra implemen-tar.

• Maskin (1977, 1999) prueba que si la funcion de eleccion social satis-face la propiedad de no existencia de poder de veto y hay tres o msindividuos, entonces es implementable.

Ejercicio 25 Competencia a la Bertrand y diseo de mecanismos (el mun-do real!). Considere un mercado oligopolista donde n empresas idnticas,con costos marginales iguales a cero, que producen un bien homgneo per-fectamente divisible, donde es prohibido la entrada de ms firmas, y supongaque compiten por suplir dos mercados. El mercado E tiene una demandainfinita al precio exgeno pE. En el mercado D las firmas enfrentan unademanda inelstica D. Piense en el mercado E como un mercado de expor-tacion y D como un mercado interno. El precio de importacion es exgenoe igual a pI adems pI > pE (es decir es mas caro importar que exportar yambos precios son exgenos para las firmas).

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La capacidad de produccion agregada de las firmas es Q, que suponemos essuperior a la demanda D interna. Denotamos por Qi = Q/n la capacidadde produccion de cada firma.

1. Suponga que las firmas compiten en precios a la Bertrand. Cual esel equilibrio de Nash en precios en el mercado D y cual es la par-ticpacion de cada firma en el mercado interno. Ayuda: El precio deequilibrio es unico y es uno de los precios ya introducidos arriba.Existen muchas participaciones que soportan el unico precio. Todasellas debe satisfacer una condicion de equilibrio agregado.

2. Cual es el beneficio de las firmas en este caso?

3. Sae x = D/Q y suponga que la firmas se ponen de acuerdo verbal-mente para vender en el mercado interno a un precio pI . Luego stassuplen la demanda del mercado D y el resto lo venden en el mercadoE. Suponiendo que este arreglo es sostenible, cul es el beneficio de lasfirmas en este caso? Es este arreglo estable (recuerde que en ausenciade un mecanismo coercitivo cada firma procurara maximizar su pro-pio beneficio)? Ayuda: Si el arreglo es sostenible las firmas venderiantodo su producto, promedio, al precio:

p = x× pI + (1− x)pE (29)

= pE +D

Q(pI − pE) (30)

4. Considere ahora el siguiente mecanismo. Suponga que un productori vende una proporcion xi de su produccion en el mercado nacionalal precio de importacion pI . Su beneficio πi antes de las cesiones ycompensaciones del mecanismo es (esta es la funcion de beneficios delas firmas en ausencia de mecanismo):

πi = pD × xiQi + pE × (1− xi)Qi (31)

donde pD es el precio de venta en el mercado interno. La compensa-cion neta del mecanismo, CM se define como:

CM = pI × (x− xi)Qi + pE × ((1− x)− (1− xi))Qi (32)

La logica de esta compensacion neta es que si el productor vende masque la proporcion x en el mercado interno, debe cederle al fondo queimplementa el mecanismo: pI × (xi − x)Qi y el fondo lo compen-sara con pE × ((1− x)− (1− xi))Qi.Por lo tanto, el beneficio del productor πi, post compensaciones ycesiones netas del mecanismo es:

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πi = πi + pI × (x− xi)Qi + pE × ((1− x)− (1− xi))Qi

y sustituyendo πi se obtiene:

πi = p×Qi

En conclusion, con este mecanismo, expost el productor es indiferentedel mercado en que venda y todas sus unidades se venden en promedioal precio p.

Suponiendo que la anterior descripcion del mercado constituye unequilibrio de Bertrand muestre que los beneficios y precios coincidencon el resultado en que las firmas acuerdan vender a ciertos preciosbajo el supuesto de que el arreglo entre ellas es sostenible (item (c)arriba).

El ejemplo siguiente demuestra que el mecanismo anterior en efectoimplementa el areglo colusivo discutido en este ejercicio.

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