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Nuevas herramientas para la enseñanza de la

Matemática

Funciones numéricas

y GeoGebra

Septiembre 2019

Índice general

1 Primera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introducción a GeoGebra 51.2 Funciones 101.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales y absolutos . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Simetrías y transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Segunda Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.0.1 Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.0.2 Funciones definidas a trozos: valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.0.3 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.0.4 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.0.5 Funciones logarítmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Tercera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Límites 313.1.1 Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Continuidad 363.2.1 Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Cuarta Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Derivada 394.1.1 Derivadas de funciones conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4 Funciones numéricas y GeoGebra

4.1.2 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Estudio y gráfico de funciones 42

5 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Funciones inversas 455.2 Derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas 465.2.1 Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.2 Función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Convexidad 48

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Libros 53


1. Primera Clase

1.1 Introducción a GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática que puede aplicarse en geometría, álgebray cálculo. Como sistema de geometría dinámica, permite construir figuras con puntos, vectores,segmentos, rectas y cónicas, entre otras, y también gráficas de funciones. Mediante la explicitaciónde fórmulas y coordenadas, ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático parahallar derivadas e integrales de funciones, e identificar puntos singulares como raíces o extremos,por ejemplo.

Este software se puede descargar en forma gratuita de www.geogebra.org.

La ventana de trabajo de GeoGebra

En la pantalla inicial de GeoGebra encontramos una Vista Gráfica, una numérica, llamadaVista Algebraica, y además, una Vista de Hoja de Cálculo. A continuación describimos algunoselementos de su interfaz básica:

Barra de menú: Contiene diferentes menús desplegables que facilitan el trabajo con archivosy determinan la configuración del programa. Los menús corresponden a Archivo, Edita, Vista,Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.Barra de herramientas: Contiene distintas opciones para realizar construcciones geométri-cas, información de la herramienta seleccionada, y los botones para deshacer y rehacer lasacciones realizadas.Ventana algebraica: Ofrece la información del proceso realizado, indicando los objetoslibres, dependientes y los auxiliares que también se podrán mostrar.Vista gráfica: Es la zona principal de GeoGebra , donde se ven y manipulan los gráficos.Hoja de cálculo: Ofrece funciones similares a las de Microsoft Excel.Campo de entrada: Permite introducir expresiones, además de las opciones para seleccionardistintas funciones, caracteres o comandos.


www.geogebra.org


La barra de menú está ubicada en el margen superior de la ventana de GeoGebra .Las solapas que allí aparecen se despliegan de la siguiente manera:

Comandos del menú Archivo:


Funciones numéricas y GeoGebra 7

Comandos del menú Edita:

Comandos del menú Vista:

Comandos del menú Opciones:

Comandos del menú Herramientas:



Comandos del menú Ventana:

Comandos del menú Ayuda:

A continuación mostramos los botones de la Barra de herramientas para graficar fácilmentediferentes elementos geométricos, como por ejemplo, puntos, rectas, segmentos, polígonos ycircunferencias, etc.



1.2 Funciones

1.2.1 Introducción

Dados dos conjuntos podemos establecer relaciones entre ellos. Por ejemplo:

el tipo de cambio minorista (pesos por dolar)la máxima precipitación mensual en La Plata, ver en www.smn.gob.ar/estadisticas,factores de riesgo de cada enfermedad.

Estas relaciones se pueden representar de distintas maneras. Una forma de hacerlo es mediantediagramas. A continuación se representan algunas relaciones entre un conjunto X y un conjunto Ydados:

YX X XYY

Una función f de X en Y es una relación tal que a cada elemento x de X le corresponde unúnico elemento y de Y ; la denotaremos como: f : X → Y .

Dada una función f : X →Y , llamamos dominio de f o Dom( f ) al conjunto X , codominio de fo Codom( f ) al conjunto Y , e imagen de f o Im( f ) al conjunto formado por todos los elementos ytales que y = f (x) para algún x en el conjunto X .

En este curso trabajaremos con funciones numéricas, es decir, aquellas en las que el dominio yel codominio son subconjuntos del conjunto de los números reales, el cual denotaremos por R. Eldominio natural de una función numérica será el conjunto de números reales más amplio en el cualpodemos definirla, es decir, realizar el cálculo f .

Si f es una función que al número x le hace corresponder el número y, escribimos f (x) = y parareferirnos a esta correspondencia. Decimos que la variable x es la variable independiente mientrasque y es la variable dependiente.

Veamos algunos ejemplos de funciones.

Consideremos X el conjunto formado por las personas en el aula e Y el conjunto de losnúmeros reales. Podemos definir f : X →Y como relación que asigna a cada persona su edad.En este caso:Dom( f ) = X , Codom( f ) = Y = R, e Im( f ) = { edades de las personas en el aula }, el cual esun subconjunto de R.

Pensemos en la población humana del mundo P a lo largo del tiempo t. Si bien es evidenteque en cada instante hay una determinada población, no hay en este caso una fórmula quevincule ambas cantidades. Sólo es posible conocer valores de P para ciertos valores de t; porejemplo, la tabla siguiente muestra algunos de esos valores:


www.smn.gob.ar/estadisticas


Año Población1900 16500000001910 17500000001920 18600000001930 20700000001940 23000000001950 25200000001960 3020000000

Ejercicios 1.1

1. Encontrar el dominio natural de las funciones f (x) =1

x−1y g(x) =

xx2−9

.

2. Encontrar la imagen de las funciones g(x) = x12 y h(x) = x− 3 considerando su dominio

natural.3. Encontrar el dominio natural y la imagen de las funciones f (x) = 1

x2 , g(x) = x2 + 1 y

h(x) =1x3 .

1.2.2 Representación de funciones

Una función puede expresarse de diferentes maneras. Las describimos mediante un ejemplo.

Si una librería vende libros por Internet al precio de 4 pesos por libro, más 3 pesos de gastosde envío, independientemente del número de libros comprados, tenemos la función querelaciona el número de libros con su precio. Estamos definiendo la función mediante ellenguaje coloquial.

Mediante una tabla de valores podemos resumir el costo de comprar entre 1 y 4 libros:

LIBROS COSTO1 72 113 154 19

También podemos usar una fórmula matemática que relacione los valores de la variableindependiente x, la cantidad de libros comprados, con los de la variable dependiente y, elcosto total. En este caso tenemos la función f (x) = 4x+3 cuyo dominio es N, el conjunto delos números naturales.

Para una representación más visual, podemos graficar los puntos del plano cartesiano(1,7), (2,11), (3,15), (4,19).



En esta última representación hemos tenido en cuenta que cada par de números reales (x,y) seidentifican de manera biunuívoca con un punto del plano cartesiano. Por tal razón, definimos elmismo como R2 = {(x, y)/x, y ∈ R}.

Llamamos a x abscisa y a y ordenada. Las coordenadas del origen son (0,0). El eje horizontalse llama eje x y el eje vertical eje y. Los dos ejes separan al plano cartesiano en cuatro cuadrantes.

El gráfico de una función numérica f : X → Y es el subconjunto de R2 dado por

Gra f ( f ) = {(x, f (x)) /x ∈ X}.

Observación: Las tablas de valores no son suficientes para graficar curvas. Consideremos lasiguiente tabla de valores:



x f (x)-1 21 2

Tenemos varias funciones que tienen por dominio a todo R y cumplen esto, como se puede veren el siguiente gráfico realizado en GeoGebra :

Ejercicios 1.2

1. Indicar cuáles de los siguientes gráficos representan gráficos de funciones:

2. Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominioe imagen de cada una de ellas.



3. Representar en GeoGebra la función dada en el ejemplo de la compra de libros, tomandocomo dominio el conjunto de los números reales.

4. Para cerrar un gallinero rectangular, se dispone de 30 m de alambre tejido. Expresar lasuperficie del gallinero en función de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 m, averiguarla superficie del gallinero. ¿Cuál es el ancho si se sabe que la superficie es de 44 m2? ¿Puedeser el ancho de 18 m?Responder las preguntas anteriores graficando la función en GeoGebra utilizando comodominio el conjunto de números reales.

5. Para la función f representada a continuación estimar, a partir de su gráfico, los valores quese indican: f (1), f (0), f (2), los valores de x tales que f (x) = 0, los valores de x tales quef (x) = 4:

6. Si queremos que una función tenga como dominio un intervalo en lugar de todos los números



reales, podemos ingresar en GeoGebra la expresión: Funcion[la función que deseamosgraficar, valor inicial, valor final].Graficar las siguientes funciones usando el comando nombrado anteriormente.

a) f (x) = 5x−3 con dominio [1,4].b) g(x) =−1 con dominio [−5,0].c) h(x) = x3 con dominio [−2,7].

7. Graficar con GeoGebra las funciones:a) f (x) =−2x+5b) g(x) = x2 +3x−10

c) h(x) =−2x+1

x+5

1.2.3 Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales y absolutos

Recordemos algunas definiciones...

Definición 1.2.1 Dada una función f : R 7−→ R, y dados a, b ∈ R tales que a < b, decimosque

f es creciente (respectivamente estrictamente creciente) en [a, b] si para todo par depuntos x,y ∈ [a, b] con x < y, se verifica que f (x)≤ f (y) (respectivamente f (x)< f (y)).f es decreciente (respectivamente estrictamente decreciente) en [a, b] si para todo par depuntos x,y ∈ [a, b] con x < y, se verifica que f (x)≥ f (y) (respectivamente f (x)> f (y)).f alcanza un máximo absoluto en x0 ∈ [a, b] si para todo x ∈ [a, b] se cumple quef (x)≤ f (x0).f alcanza un mínimo absoluto en x0 ∈ [a, b] si para todo x ∈ [a, b] se cumple quef (x)≥ f (x0).f alcanza un máximo local en x0 ∈ [a, b] si existe un subintervalo (x1, x2) de modo quex0 ∈ (x1, x2)⊂ [a,b] y tal que f (x)≤ f (x0) para todo x ∈ (x1, x2).f alcanza un mínimo local en x0 ∈ [a, b] si existe un subintervalo (x1, x2) de modo quex0 ∈ (x1, x2)⊂ [a,b] y tal que f (x)≥ f (x0) para todo x ∈ (x1, x2).

Ejercicios 1.3 En los siguientes ejercicios, graficar utilizando GeoGebra .

1. Determinar regiones de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales y absolutosde la función g(x) = 2x3−3x2−12x cuyo gráfico se muestra a continuación.



2. Idem el ejercico 1 anterior pero considerando como dominio el conjunto (−∞,0]3. Graficar la función del ejercicio 1 en GeoGebra . Marcar los puntos donde se alcanzan los

máximos y mínimos locales. Cambiar algunos de los coeficientes y analizar si se producencambios en los mínimos y máximos hallados anteriormente.

4. Determinar regiones de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:a) f (x) = 3x2 +5b) g(x) = x3 +4c) h(x) = 3x3 +4x2−5x

5. Determinar máximos y mínimos locales y absolutos de:a) f (x) = x2 + x+2b) g(x) = x4−2x2−8c) h(x) = 3x− x3

6. Determinar regiones de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales y absolutosde:

a) f (x) = x+4x

b) g(x) =x4 +1

x27. Analizar si las siguientes funciones tienen máximos locales o absolutos:

a) f (x) =−(x−1)2

b) g(x) = x3−3x8. Estudiar la monotonía, es decir las regiones de crecimiento y decrecimiento, de las siguientes

funciones:a) f (x) = x4− x3−2x2

b) g(x) = 2x3−15x2 +7x+2

1.2.4 Simetrías y transformacionesSe sabe que a partir de una función f podemos obtener otras funciones haciendo transformacio-

nes de ella. Estas transformaciones pueden ser:g(x) = f (x− c), es una traslación horizontal c unidades a la derecha si c > 0, o c unidadesa la izquierda si c < 0.h(x) = f (x)+ c, es una traslación vertical c unidades hacia arriba si c > 0, o c unidadeshacia abajo si c < 0.



d(x) = k f (x), con k > 0, es una dilatación.r(x) =− f (x), es una reflexión con respecto al eje x.

Dada una función f , también podemos encontrar simetrías en su gráfica. Decimos que:

f es simétrica respecto al eje y (o par) si f (x) = f (−x), para todo x ∈ Dom f .f es simétrica respecto al origen (o impar) si f (−x) =− f (x), para todo x ∈ Dom f .



Ejercicios 1.41. Indicar si existen simetrías en las siguientes funciones observando sus gráficos en GeoGe-

bra :a) f (x) = x4−3x2 +1b) g(x) = 2x3−3x2 +7c) h(x) = 4x3−3x+3d) k(x) = 2/x2

2. Comparar la gráfica de F(x) = x2 con:a) f (x) = x2 +5b) g(x) =−x2

c) h(x) = x2−2d) k(x) =−x2 +2

¿Qué puede observar?3. Comparar la gráfica de f (x) = x4 con:

a) f (x−5)b) f (x)−5c) f (−x)d) − f (x)e) f (2x)f ) 2 f (x)

¿Qué puede observar?4. Comparar la gráfica de F(x) = x3 con:

a) f (x) = 15 x3

b) g(x) =−18 x3

c) h(x) = 2x3

¿Qué puede observar?


2. Segunda Clase

2.0.1 Funciones polinómicas

Función lineal

Recordemos que una función f : X ⊂ R→ R es lineal si es de la forma f (x) = mx+b dondem y b ∈ R, m 6= 0.

Ejercicios 2.1

Graficar las siguientes funciones lineales en GeoGebra :

1. f (x) = x+2

2. g(x) =−12

x+4

3. h(x) = 3x+1

Hacia el gráfico de una función lineal

Dada una función f y x1 y x2 ∈ X , con x1 6= x2, es natural analizar cuánto y cómo cambia f (x)

con respecto al cambio de x entre x1 y x2. Es decir, estudiar f (x2)− f (x1) yf (x2)− f (x1)

x2− x1. A este

cociente se lo denomina razón de cambio promedio de f entre x1 y x2.



Observaciones:La razón de cambio de toda función lineal es constante y distinta de cero.Recíprocamente, si la razón de cambio de una función f es constante e igual al número m,entonces si m= 0, f es constante y f (x) = b. Si m 6= 0, f es lineal y de la forma f (x) =mx+b.Decimos que m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.Si bien el gráfico de toda función lineal es una recta, no toda recta es el gráfico de una funciónlineal (¿Qué ocurre con las rectas horizontales y verticales?)Para determinar una función lineal basta conocerla en dos valores de su variable independiente.Geométricamente, esto es equivalente a decir que por dos puntos distintos del plano pasa unaúnica recta, es decir, dados los puntos P0(x0,y0) y P1(x1,y1), P0 6= P1, la ecuación de la rectaque pasa por ellos está dada por

y− y0

x− x0=

y1− y0

x1− x0, si x0 6= x1.

En el caso anterior, si x1 = x0 se tiene la recta vertical de ecuación x = x0.Una recta también queda bien determinada conociendo un punto P0(x0,y0) perteneciente a larecta y su pendiente m.

Si P(x,y) es cualquier punto de la recta, tenemos que m =y− y0

x− x0, de donde la ecuación de la

recta queda determinada pory = m(x− x0)+ y0.

Dados dos puntos del plano P0(x0,y0) y P1(x1,y1), la distancia entre P0 y P1 es la longituddel segmento de recta que los une y está dada por

d(P0,P1) =√(x0− x1)2 +(y0− y1)2

Dadas las rectas cuyas ecuaciones son L : y = mx+b y L′ : y = m′x+b′ se tiene que

L es paralela a L′ si y sólo si m = m′.

L es perpendicular a L′ si y sólo si m.m′ =−1.



Ejercicios 2.21. Graficar las siguientes funciones lineales en GeoGebra :

a) f (x) = 3x−1b) g(x) =−1

2 x+2c) h(x) = 2x+1

2. Definir dos deslizadores en GeoGebra : a y b. Escribir en la barra de entrada la funciónlineal f (x) = ax+ b y observar cómo cambia la gráfica al modificar los valores de a y b.¿Qué puede observar?

3. Ubicar los puntos (1,3) y (2,8) en la vista gráfica de GeoGebra . Usando el comandoRecta que pasa por dos puntos hallar la ecuación de la recta que pasa por esos puntos.Verificar analíticamente que ésa es la función lineal asociada a la recta.

4. Graficar otro punto que no esté sobre la recta anterior. Usando el comando Recta paralelagraficar una recta que sea paralela a la anterior y que pase por el punto elegido.

5. Usando el comando Recta perpendicular graficar una recta que sea perpendicular a algunade las anteriores y que pase por un punto que esté fuera de la recta dada.

6. Graficar dos rectas que se corten en algún punto. Usando el comando Intersección de curvashallar las coordenadas del mismo. ¿Cómo son las pendientes de dos rectas para que seintersequen?

Función cuadráticaRecordemos que una función f : X ⊂ R→ R es cuadrática si es de la forma

f (x) = ax2 +bx+ c, con a,b,c ∈ R,y a 6= 0.

Ejercicios 2.3Graficar con GeoGebra las siguientes funciones:

1. f (x) = x2

2. g(x) =−2x2 +43. h(x) = 1

2 x2− x+14. j(x) = 2(x−7)2

5. k(x) = 3(x−1)(x+5)

Hacia el gráfico de una función cuadrática

Podemos deducir el gráfico de una función cuadrática cualquiera a partir del gráfico de y = x2.



f (x) = ax2 es una parábola que cumple las siguientes propiedades:• si a > 0, sus ramas se abren hacia arriba.• si a < 0, sus ramas se abren hacia abajo.• si 0 < a < 1, la amplitud es mayor que la de y = x2

• si a > 1, la amplitud es menor que la de y = x2

f (x) = ax2+c es una traslación vertical de y = ax2. La constante c es la ordenada al origen.f (x) = a(x−α)2 consiste en una traslación horizontal de α unidades a la derecha (respecti-vamente a la izquierda) si α > 0 (respectivamente si α < 0) de y = ax2.En general, toda función cuadrática f (x) = ax2 + bx+ c puede escribirse como f (x) =

a(x−α)2 +β donde α =− b2a

y β = c− b2

4a. El punto V (α,β ) se denomina vértice de la

parábola.La intersección de la parábola con el eje de las abscisas, si existe, está dada por las raíces x1y x2 que se calculan resolviendo la ecuación ax2 +bx+ c = 0.La abscisa del vértice de la parábola es igual a la semisuma de sus raíces . La recta verticalque pasa por dicho punto determina el eje de simetría de la parábola. Es decir, f (α− x) =f (α + x), para todo x ∈ R.La imagen de f es• el intervalo [β ,∞) si a > 0,• el intervalo (−∞,β ] si a < 0.

Recordemos que también se puede definir una parábola como una curva formada por los puntosdel plano que están a igual distancia de una recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo, llamadofoco, pero esta es una definición desde el punto de vista geométrico y no analítico, es decir, a partirdel estudio de una función cuadrática.

Ejercicios 2.41. Graficar en GeoGebra las siguientes funciones:

a) f (x) = x2−3b) g(x) = 2(x−1)2 +1c) h(x) =−x2 +2d) j(x) = 4(x−2)2 +5e) k(x) =−2(x+5)2 +8f ) l(x) =−4(x−1)2−1

2. Graficar en GeoGebra la recta y = −1 y el punto (0,1). Usando el comando Parábolagraficar la parábola cuyos puntos equidistan de la recta y el punto dados.

3. Usando un deslizador para a graficar g(x) = ax2 y ver cómo cambia la gráfica para losdistintos valores de a:

a) si a > 0,b) si a < 0.

4. Utilizando el comando Intersección de curvas hallar los puntos donde se intersecan lasgráficas de f y h del ejercicio 1.

5. Observar cómo cambia la gráfica de la función f (x) = a(x− h)2 + k usando deslizadorespara a, h y k.

Funciones Potenciales

Una función potencial de grado n ∈ N es de la forma f (x) = axn, a ∈ R, a 6= 0.

Hacia el gráfico de una función potencial



Las funciones potenciales verifican las siguientes propiedades:Pasan por el origen de coordenadas.Los gráficos de las funciones potenciales de grado par son simétricos con respecto al eje y.Los gráficos de las funciones potenciales de grado impar son simétricos con respecto alorigen de coordenadas.Al aumentar el valor del exponente las gráficas se aplanan más, cerca del origen de coordena-das.Las funciones potenciales f (x) = axn, a > 0 y n ∈ N par,• decrecen para valores de x≤ 0 y crecen para valores de x≥ 0, con lo cual presentan un

mínimo absoluto en x = 0, y además• cuando x crece tomando valores positivos muy grandes o decrece tomando valores

negativos muy pequeños, las funciones toman valores positivos muy grandes.◦ La expresión “cuando x crece tomando valores positivos muy grandes, la función

toma valores positivos muy grandes”, se puede escribir

lı́mx→+∞

f (x) = +∞

◦ La expresión “cuando x decrece tomando valores negativos muy pequeños, lafunción toma valores positivos muy grandes”, se puede escribir

lı́mx→−∞

f (x) = +∞

Las funciones potenciales f (x) = axn, a > 0 y n ∈ N impar• Crecen para todo valor de x. No tienen máximo ni mínimo.• Cuando x crece tomando valores positivos muy grandes (respectivamente decrece

tomando valores negativos muy pequeños), las funciones toman valores positivos muygrandes (respectivamente negativos muy pequeños)◦ La expresión “cuando x decrece tomando valores negativos muy pequeños, la

función decrece tomando valores negativos muy pequeños, se puede escribir

lı́mx→−∞

f (x) =−∞

Ejercicios 2.51. Usando deslizadores analizar cómo cambia la gráfica de axn para distintos valores reales de

a y naturales de n. Observar qué sucede cuando:a) a > 0.b) a < 0.c) n es par.d) n es impar.

2. Observar las gráficas de f (x) = x2, g(x) = x8 y h(x) = x24 a medida que el exponenteaumenta. ¿Qué ocurre con las gráficas?

3. Observar las gráficas de f (x) = x3, g(x) = x11 y h(x) = x27 a medida que el exponenteaumenta. ¿Qué sucede con las gráficas?

4. Observar las gráficas de f (x) = x4, g(x) = 0,5x4 y h(x) = 0,01x4 a medida que el coeficientea disminuye. ¿Qué sucede con las gráficas?

5. Observar las gráficas de f (x) = x3, g(x) = 5x3 y h(x) = 17x3 a medida que el coeficiente degrado 3 aumenta. ¿Qué sucede con las gráficas?

6. ¿Qué conclusiones podemos sacar de estos últimos incisos?7. Estudiar las gráficas anteriores cuando x se hace muy grande en valor absoluto.



Funciones PolinómicasUna función polinómica es una suma de funciones potenciales; es decir, es de la forma

f (x) = anxn +an−1xn−1 + .....+a2x2 +a1x+a0

donde ai ∈R, para i = 0, ...,n, an 6= 0, y n ∈N se llama grado de la función polinómica. Los núme-ros ai se llaman coeficientes, siendo an el coeficiente principal. Anteriormente hemos estudiadoalgunas funciones polinómicas para algunos valores de n, por ejemplo:

Grado cero: f (x) = a (función constante).Grado uno: f (x) = ax+b (función lineal).Grado dos : f (x) = ax2 +bx+ c (función cuadrática).

Ejercicios 2.61. Graficar en GeoGebra las siguientes funciones polinómicas:

a) f (x) = x4−3x2

b) g(x) = x3−2c) h(x) =−x5 +2x4−1d) k(x) =−2x2 +4x−1e) j(x) = x7 +5x5 +6xf ) l(x) = x9 + x3 +3x

Hallar sus raíces y estudiar el comportamiento en el infinito.2. Hallar, usando el comando Intersección de curvas, los puntos donde algunas de las gráficas

del inciso anterior se intersecan.3. Seleccionar alguna de las gráficas del primer ejercicio. Usando el comando Traslación,

trasladarla a otro lugar del plano. ¿Cómo queda la expresión de la función asociada a estaúltima gráfica? ¿Sigue siendo una función polinómica?

4. Definir deslizadores en GeoGebra para cambiar los valores de los coeficientes de lafunción polinómica f (x) = ax4 +bx3 + cx2 +dx+ e y comparar las diferentes gráficas.

5. Dada f (x) = x4−2x3−3x2 +3x+4, cacular:a) la imagen para x0 = 2.b) la ordenada en el origen.c) el valor de x0 para que la imagen valga −2.d) x0 tal que f (x0) = 1.



2.0.2 Funciones definidas a trozos: valor absolutoEl valor absoluto de un número real x está definido por

|x|={

x si x≥ 0,−x si x < 0

podemos entonces definir la función valor absoluto abs : R→ R como

abs(x) = |x| .

Éste es un ejemplo de una función definida a trozos o por sentencias, en la cual cada trozo esuna función lineal.

Ejercicios 2.71. Utilizando el comando Función de GeoGebra graficar las siguientes funciones a trozos.

En cada caso determinar regiones de crecimiento y de decrecimiento.a) f (x) = |2x+5|

b) g(x) =|1+ x|+ |1− x|

2c) h(x) = |3x−1|+2d) j(x) = |4x−5|+ |2x+1|e) k(x) = 4|12 x−6|

2. Graficar nuevamente algunas de las funciones del ejercicio anterior usando el comandoAbs(x).

3. Graficar las siguientes funciones:a) f (x) = |x|b) g(x) = |x−3|c) h(x) = |x+2|d) i(x) = |x+2|−4e) j(x) =−|x+2|−2f ) k(x) = 4|x+−3|+1

Comparar las distintas gráficas y explicar qué transformaciones fueron utilizadas.

2.0.3 Funciones racionalesLlamamos función racional a aquellas que son de la forma f (x)= p(x)

q(x) , con p(x),q(x) polinomios,donde Dom ( f ) = {x ∈ R : q(x) 6= 0}.

Una función racional muy simple es f (x) = 1x , cuya gráfica mostramos a continuación.



Ejercicios 2.8

1. Teniendo en cuenta las simetrías y transformaciones graficar en GeoGebra las siguientesfunciones:

a) f (x) = 23x2

b) g(x) = 23x2 +4

c) h(x) =1

x−3

d) i(x) =−x+4x−2

e) j(x) =x

x−22. Hallar el dominio de las siguientes funciones y graficarlas:

a) f (x) =x−2

x

b) g(x) =x2−16x−4

c) h(x) =x−2x2−4

d) k(x) =−12x

3. Graficar la función f (x) =1

x−a+b, donde a y b son dos deslizadores. Hallar el dominio y

la imagen de la función. ¿Qué sucede al cambiar los valores de a y b?

2.0.4 Funciones trigonométricas

Recordemos las gráficas de las funciones trigonométricas:



Ejercicios 2.91. Usando deslizadores para A y B analizar las gráficas de:

a) f (x) = Asenx+Bb) g(x) = Acosx+Bc) h(x) = A tanx+B

2. Usando deslizadores para a y b analizar las gráficas de:a) f (x) = sen(ax)b) g(x) = sen(x−b)



c) h(x) = sen(a(x−b))3. Verificar las siguientes igualdades comparando las gráficas de las funciones asociadas con

GeoGebra :senx = cos(x− π

2 )cosx = sen(x+ π

2 )tanx = tan(x+π)

2.0.5 Funciones logarítmicas y exponencialesLa función logaritmo natural de x, que denotaremos ln(x), se define como el área bajo la

curva y =1x

entre 1 y x si x > 1, y como menos el área bajo la curva y =1x

entre 1 y x si 0 < x < 1.

En particular, ln(1) = 0. Definimos el número e como el número tal que el área bajo la curva

y =1x

entre 1 y e da 1.

Así ln(x)> 0 si x > 1 y ln(x)< 0 si 0 < x < 1. Hemos mostrado una presentación geométricadel logaritmo.

Algunas de las propiedades que cumple la función logaritmo son:ln(ab) = ln(a)+ ln(b), a, b > 0.ln(a/b) = ln(a)− ln(b), a, b > 0.ln(ab) = b. ln(a), a > 0.

Ejercicios 2.10

1. Graficar la función g(x) =1x

en GeoGebra . Usando el comando Analizador de funcioneshallar el área bajo la curva en los siguientes intervalos:

a) 1≤ x≤ 3b) 1≤ x≤ 6c) 1≤ x≤ ed) 1≤ x≤ 1e) 0,5≤ x≤ 1

2. A partir de los resultados hallados en el ejercicio anterior encontrar los valores de:a) ln(3)b) ln(6)c) ln(e)



d) ln(1)e) ln(0,5)

3. Graficar en GeoGebra la función f (x) = ln(x). Verificar los resultados hallados en elinciso anterior.

4. Graficar en GeoGebra las funciones f (x) = ln(x2) y g(x) = 2ln(x). Verificar que ambasfunciones coinciden para los valores positivos de x .

La función exponencial con base e se define como la función inversa de f (x) = ln(x) y ladenotamos por f−1(x) = exp(x).

Observación: ver en el Apéndice la definición de función inversa.

Algunas propiedades que cumple la función exponencial son:exp(a)> 0exp(a+b) = exp(a).exp(b)exp(a−b) = exp(a)/exp(b)(exp(a))b = exp(a.b)exp(0) = 1exp(1) = e

para a y b dos números reales.A partir de las propiedades anteriores podemos definir en general exp(x) = ex.

Ejercicios 2.111. Usando GeoGebra graficar la función f (x) = exp(x).2. Usando la función anterior evaluar f (1), f (0) y f (−1).3. Verificar que las gráficas de g(x) = (exp(x))2 y h(x) = exp(2x) son iguales.4. Graficar en GeoGebra la función f (x) = exp(x). Después ingresar en el Campo de entrada

el comando Refleja [f(x),y=x] para reflejar la gráfica de la función exponencial con respectoa la recta y=x. ¿Qué puede observar?

Así como definimos la función exponencial con base e, también se pueden construir de maneraanáloga funciones exponenciales con otras bases.

Para a > 0, definimos ax = ex lna, estas funciones se denominan exponenciales generales yposeen inversas. Las funciones inversas de las exponenciales generales son aquellas que cumplen

f (x) = ax = y ⇐⇒ f−1(y) = x,

es decir, son las funciones logarítmicas en base a,

ax = y ⇐⇒ loga y = x.

Ejercicios 2.121. Graficar en GeoGebra las funciones:

a) f (x) = 2x

b) g(x) = 4x

c) h(x) = 1x

d) k(x) = (12)

x

e) l(x) = (14)

x

2. ¿Cómo es la gráfica de f (x) = ax sia) a > 1?b) 0 < a < 1?



Estudiar estos casos usando un deslizador para a.3. Graficar en GeoGebra la función f (x) = lnx

lna para distintos valores de a > 0. Compararestas gráficas con las realizadas en el ejercicio anterior, observando qué tipo de simetríaexiste. Aplicando la definición de función inversa, puede deducir alguna expresión para elcambio de base de logaritmo?


3. Tercera Clase

3.1 LímitesRecordemos que escribimos

lı́mx→x0

f (x) = L

si podemos acercar los valores de f (x) a L tanto como deseamos, tomando a x lo suficientementecerca de x0 pero distinto de x0.

Veamos en un ejemplo cómo interpretar gráficamente la idea de límite.Sea f (x) = 3x+1 definida en el conjunto de los números reales. Podemos acercarnos a x = 1

tanto como queremos y ver que lı́mx→1

f (x) = 4.

¿Qué sucede si cambiamos el valor de f en x = 1?



Definamos las funciones

g(x) ={

3x+1 si x 6= 1−1 si x = 1

y h(x) = 3x+1 con Dom(h)=R−{1}, cuyas gráficas mostramos

a continuación:

Figura 3.1: Gráficos de g y h

En ambos casos se cumple que lı́mx→1

g(x) = lı́mx→1

h(x) = 4. Es decir, el valor del límite de f en x0

no depende de cómo definimos f (x0), sino de los valores de la función en un entorno de x0.

Ejercicios 3.11. Calcular, si existen, los siguientes límites

a) lı́mx→1

x2−1x−1

b) lı́mx→0

√x2 +1−1

x2. Verificar los resultados anteriores resolviendo los límites en GeoGebra .

Decimos que lı́mx→x+0

f (x) = L1 si f (x) se acerca a L1 tanto como queramos cuando x se acerca a

x0, con x > x0. Análogamente, lı́mx→x−0

f (x) = L2 si f (x) se acerca a L2 tanto como queramos cuando

x se acerca a x0, con x < x0. Estos límites se denominan límites laterales.

Observaciones:lı́m

x→x0f (x) = L ⇐⇒ lı́m

x→x+0f (x) = lı́m

x→x−0f (x) = L.

Sea f una función definida a ambos lados de x0, excepto quizás en x0. Entonces, lı́mx→x0

f (x) =

+∞ significa que los valores de f pueden hacerse arbitrariamente grandes, tomando a xsuficientemente cerca de x0 pero x 6= x0. Análogamente, se puede definir lı́m

x→x0f (x) =−∞.

En el caso anterior, sabemos que el límite de f cuando x se acerca a x0 no existe, peroobtenemos un comportamiento para la función cerca de x0.Si lı́m

x→x0f (x) =±∞ o alguno de los límites laterales de f cuando x se acerca a x0 no existe

pero se hace muy grande en valor absoluto, decimos que la recta x = x0 es una asíntotavertical de f .



Ejercicios 3.21. Calcular en GeoGebra los límites laterales de

a) f (x) =1x

en x0 = 0.

b) g(x) =−2

x−3en x0 = 3.

c) h(x) =1

x2−1en x0 = 1 y x0 =−1.

d) t(x) ={

0 si x < 01 si x≥ 0

en x0 = 0.

2. Dada la función

f (x) =

x2 si x < 0−x si 0≤ x≤ 34 si x > 3

Graficar en GeoGebra , calcular los siguientes límites y corroborar con la gráfica propues-ta:

a) lı́mx→0+

f (x)

b) lı́mx→0−

f (x)

c) lı́mx→3+

f (x)

d) lı́mx→3−

f (x)

3. Sea F(x) = x2−1|x−1| , hallar lı́m

x→1F(x).

3.1.1 Álgebra de límites

Supongamos que existen lı́mx→x0

f (x) y lı́mx→x0

g(x), entonces

lı́mx→x0

f (x)+g(x) = lı́mx→x0

f (x)+ lı́mx→x0

g(x).

lı́mx→x0

f (x)−g(x) = lı́mx→x0

f (x)− lı́mx→x0

g(x).

lı́mx→x0

f (x).g(x) = lı́mx→x0

f (x). lı́mx→x0

g(x).

lı́mx→x0

f (x)g(x)

=lı́m

x→x0f (x)

lı́mx→x0

g(x), si lı́m

x→x0g(x) 6= 0 .

lı́mx→x0

k f (x) = k lı́mx→x0

f (x), k ∈ R.

Ejercicios 3.31. Demostrar con un ejemplo gráfico que lı́m

x→x0( f (x)+g(x)) puede existir aunque lı́m

x→x0f (x) y

lı́mx→x0

g(x) no existan.

2. Calcular los siguientes límites:

a) lı́mx→−3

x2− x−12x+3

.

b) lı́mx→−3

x2− x+12x+3

.

c) lı́mx→0

x.1x.



d) lı́mx→0

x.1x2 .

e) lı́mx→0

x2.1x.

3.1.2 Límites en el infinito

Hay varios tipos de comportamientos de las funciones cuando tomamos valores de x cada vezmás grandes o cada vez más chicos, pero grandes en valor absoluto. Formalmente, vamos a estudiar:

lı́mx→∞

f (x).

1. Límites finitos en el infinito.Se dice que una función tiene límite b cuando x tiende a +∞, si los valores de la función seacercan a b cuando x toma valores muy grandes.Formalmente,

lı́mx→+∞

f (x) = b.

Gráficamente,

De forma análoga se define el límite de f cuando x tiende a −∞.En estos casos decimos que la recta y = b es una asíntota horizontal de f .

2. Límites infinitos en el infinito.Supongamos que cuando x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor.Formalmente,

lı́mx→+∞

f (x) = +∞.

Gráficamente,



En este caso sabemos que el límite anterior no existe, pero obtenemos un comportamiento dela función para valores grandes de la variable independiente.

Veamos algunos ejemplos:1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a +∞ siempre

es +∞ ó −∞, dependiendo del signo del coeficiente principal y la paridad del grado delpolinomio.Por ejemplo:

lı́mx→+∞

(3x5−5x7 +4x−3) = lı́mx→+∞

x7(3x2 −5+

4x6 −

3x7 ) =−∞

El signo del coeficiente de x7 es negativo, por esta razón lı́mx→+∞

f (x) = −∞ siendo f (x) =

3x5−5x7 +4x−32. Si queremos calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x se hace grande en

valor absoluto, nos encontraremos con una indeterminación. Para resolverla basta recordar lasiguiente regla:Si tenemos

lı́mx→+∞

p(x)q(x)

,

los resultados posibles son:±∞ si grado de p(x)> grado de q(x).0 si grado de p(x)< grado de q(x).ab si grado de p(x) = grado de q(x), donde a y b son los coeficientes principales de p yq, respectivamente.

3. Sea ax, a > 0. Para calcular los límites cuando x se hace grande en valor absoluto usamos ladefinición de la función exponencial general para obtener

lı́mx→+∞

ax = lı́mx→+∞

ex lna.

El resultado del límite será:+∞, si a > 10, si 0 < a < 1.

Observación: La resolución de límites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos mismos casos,puesto que:

lı́mx→−∞

f (x) = lı́mx→+∞

f (−x)



Ejercicios 3.41. Calcular los siguientes límites y utilizar GeoGebra para verificar los resultados (para la

palabra infinito en GeoGebra alcanza con escribir inf):a) lı́m

x→+∞

3x2−2x−5x−4

b) lı́mx→+∞

−x+x2+1x3+3−4x

c) lı́mx→+∞

(2k−12

)3xpara k ∈ {1,2,3}

d) lı́mx→−∞

(2k−12

)3xpara k ∈ {1,2,3}

2. Graficar en GeoGebra las funciones anteriores y observar el comportamiento que tienenen infinito. Relacionarlo con los resultados obtenidos en el ejercicio anterior.

3.2 Continuidad

Recordemos que una función f es continua en x0 si

lı́mx→x0

f (x) = f (x0).

Es decir, existen f (x0), lı́mx→x0

f (x), y además coinciden.

Decimos que f es continua en el intervalo [a,b] si es continua en todo número de dicho intervalo.En el cálculo de límites en los extremos del intervalo dado, se considerarán los límites lateralesque correspondan. Es importante destacar que una función continua tiene la propiedad de que uncambio pequeño en x produce un cambio pequeño en los valores de f .

Observación: La suma, resta y productos de funciones continuas en x0 son continuas en x0.El cociente de dos funciones continuas en x0, f (x)

g(x) también es continuo en aquellos x0 tales queg(x0) 6= 0.

3.2.1 Tipos de discontinuidadesSi se cumple que no existe lı́m

x→x0f (x) decimos que f tiene una discontinuidad esencial en x0. Si

existe lı́mx→x0

f (x) pero no coincide con f (x0) o no existe f (x0), decimos que la discontinuidad de f

es evitable.



Observación: ¿Qué tipo de discontinuidades tienen las funciones g y h graficadas en la figura(3.1)?

Ejercicios 3.51. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados graficando en

GeoGebra . En los casos de discontinuidad, clasificarla.

a) f (x) =x2−9x−3

en x0 = 3.

b) g(x) =sen(x)

xen x0 = 0.

c) h(x) = e−1/x2en x0 = 0.

d) j(x) =1

(x−1)2 en x0 = 1.

e) p(x) =

x2− x−6x−3

si x 6= 3

3 si x = 3en x0 = 3.

f ) q(x) =

x2− x−6x−3

si x 6= 3

5 si x = 3en x0 = 3.

2. Sea f (x) =

cx+1 si x≤ 3

cx2−1 si x > 3

Usando deslizadores, aproximar gráficamente una constante c tal que f (x) resulte continuaen R. Luego, hallar analíticamente dicha constante.

3.2.2 Propiedades de las funciones continuas

Las funciones continuas cumplen propiedades importantes, bajo ciertas condiciones. Recorde-mos las más relevantes.

Teorema 3.2.1 — Teorema de los valores intermedios. Sea f una función continua en [a,b]y c un número entre f (a) y f (b), entonces hay un valor ξ ∈ [a,b] tal que f (ξ ) = c.

Un caso particular y útil de este teorema es el siguiente

Teorema 3.2.2 — Teorema de Bolzano. Sea f continua en [a,b]. Supongamos que f (a) y f (b)tienen distinto signo. Entonces hay un valor ξ ∈ [a,b] en el cual f se anula, es decir f (ξ ) = 0.

También tenemos un resultado sobre la existencia de extremos absolutos, según enunciamos acontinuación

Teorema 3.2.3 — Teorema de Weierstrass. Sea f continua en [a,b]. Entonces f alcanza suvalor máximo y su valor mínimo en [a.b].

Ejercicios 3.6Resolver los ejercicios analíticamente y verificar los resultados graficando en GeoGebra .

1. Dada f (x) = 2x+3 definida en [0,4] y c = 3. Hallar ξ tal que f (ξ ) = c.



2. Dada g(x) =−3x2 +1 definida en [−4,0] y c =−2. Hallar ξ tal que g(ξ ) = c.3. Dada h(x) = 2x+3 definida en [−2,2]. Hallar ξ tal que h(ξ ) = 0.4. Dada j(x) =−3x2 +1 definida en [−2,0] y c = 0. Hallar ξ tal que j(ξ ) = c.

5. Sea k(x) =1x

definida en [−4,−1]. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de k en eseintervalo.

6. Sea l(x) =1x

definida en [1,4]. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de l en ese intervalo.

7. Sea m(x) = x, definida en [−2,2]. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de m en eseintervalo.


4. Cuarta Clase

4.1 Derivada

Sea f una función definida en un subconjunto del conjunto de números reales y sea x0 unnúmero del dominio de f , llamamos derivada de f en x0, al siguiente límite

lı́mh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h,

siempre que dicho límite exista. A la derivada de f en x0 la denotaremos f ′(x0).f (x0+h)− f (x0)

h se denomina cociente incremental (o cociente de Newton).Tal como vimos para funciones lineales, el cociente incremental no es más que la razón decambio promedio de f en el intervalo de extremos x0 y x0 +h.f ′(x0) también se dice razón de cambio instantánea.Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f enel punto (x0, f (x0)).

Dado que para conocer la derivada de una función en un punto es necesario calcular un límite, laderivada existirá sólo cuando los límites laterales existan y sean iguales. A dichos límites lateralesse los denomina derivadas laterales y se denotan

f ′+(x) = lı́mh→0+

f (x0 +h)− f (x0)

h, f ′−(x) = lı́m

h→0−

f (x0 +h)− f (x0)

h.

Observación: Si calculamos las derivadas laterales de la función f (x) = |x| en x0 = 0, veremosfácilmente que f ′+(0) = 1 y f ′−(0) = −1, de donde podemos concluir que f no es derivable enx0 = 0. ¿Cómo podemos interpretar este resultado geométricamente?



[h]

4.1.1 Derivadas de funciones conocidasVamos a recordar las derivadas de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas.(xa)′ = axa−1, definida para x > 0, a ∈ R.(exp(x))′ = exp(x)

(ln(x))′ =1x

(sen(x))′ = cos(x)(cos(x))′ =−sen(x)

Propiedad: Si f es derivable en x0, entonces f es continua en x0.

Ejercicios 4.1Hallar las pendientes de las rectas tangentes a las funciones dadas en los puntos indicados.

Graficar en GeoGebra la función y la recta tangente utilizando el comando Tangente[Puntosobre la Función, Función ].

1. f (x) = 2x2 en (1,2).

2. g(x) =1x

en (1,1).

3. j(x) =√

x en (1,1).

4. h(x) =1√x

en (x0,y0), con x0 > 0.

5. p(x) = ex en (x0,y0), con y0 > 0.Sugerencia: en los dos últimos ejercicios utilizar un deslizador para x0.

4.1.2 Reglas de derivaciónRecordemos varias reglas que nos permiten encontrar las derivadas para sumas, productos y

cocientes de funciones, suponiendo que dichas derivadas existen.

Sean f y g funciones derivables en x0.1. Si c es una constante, (c f )′ = c f ′.

2. ( f +g)′ = f ′+g′

3. ( f −g)′ = f ′−g′



4. ( f .g)′ = f ′.g+ f .g′

5.(

fg

)′=

f ′.g− f .g′

g2 , para aquellos valores de x tales que g(x) 6= 0.

Ejercicios 4.2Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Verificar los cálculos utilizando el comando

de GeoGebra Derivada[Función a la cual queremos calcular la derivada].1. f (x) = (x3−

√x)(x2 +2x)

2. g(x) =1

x√

x

3. h(x) =x4(x+1)

x−1

4. j(x) =1

1+ 1x+1

4.1.3 Regla de la cadenaSean f y g dos funciones tales que f está definida en el conjunto Im(g). Podemos construir una

nueva función, llamada composición de g con f haciendo

( f ◦g)(x) = f (g(x)).

Además, si f y g son funciones derivables, la función compuesta f ◦g tiene derivada dada por

( f ◦g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x).

Esta regla de derivación para la composición de funciones es lo que se conoce como Regla de lacadena.

Ejercicios 4.31. En cada caso hallar f ◦ g y g ◦ f , su dominio natural, calcular su derivada y verificar en

GeoGebra los resultados obtenidos.a) f (x) =

1x

, g(x) = x2 +1.

b) f (x) =x

1− x3 , g(x) = x2.

c) f (x) = ln(x), g(x) =1

2x2 . .

2. Considerar las funciones f (x) =1x

y g(x) =√

x. Hallar la expresión y el dominio naturalde las siguientes funciones:

a) (g◦ f )(x)b) ( f ◦g)(x)c) ( f ◦ f )(x)

Ejercicios 4.4Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

1. f (x) =sen(2x)

x2. f (x) = ax



3. f (x) = 5sen(2x)4. f (x) = loga x5. f (x) = ln(x2 +1)

6. f (x) =exp(x)

x7. f (x) = x ln(x)8. f (x) = tan(x)

9. f (x) = cscx =1

senx10. f (x) = secx =

1cosx

11. f (x) = cotx =1

tanx12. f (x) = sec(x2 +1)

Verificar en GeoGebra los resultados obtenidos.

4.2 Estudio y gráfico de funciones

Recordemos el siguiente resultado para estudiar las regiones de crecimiento y decrecimiento defunciones derivables:

Teorema 4.2.1 — Criterio de derivada primera. Sea f una función continua en un intervalo[a,b] y derivable en el intervalo (a,b). Entonces:

Si f ′(x)> 0 en (a,b), entonces f (x) es estrictamente creciente en (a,b).Si f ′(x)< 0 en (a,b), entonces f (x) es estrictamente decreciente en (a,b)

Ejercicios 4.5 1. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientesfunciones:

a) f (x) = x2−4b) g(x) = x3 +2xc) h(x) = ex

d) j(x) = x3−5x2

e) p(x) = e−x2

Evaluar la derivada de estas funciones en algunos puntos del dominio.2. Graficar en una ventana de GeoGebra la función f (x) = x3+x. ¿Cuáles son sus intervalos

de crecimiento y decrecimiento? En la misma ventana graficar la función f ′(x). ¿Qué signotiene la derivada? ¿Cómo podemos relacionar esto con el comportamiento de la función?

3. La recíproca del teorema anterior no es cierta. Una función puede ser creciente en un intervalosin que su derivada sea estrictamente positiva. Analizar qué ocurre con la función f (x) = x3.

El criterio mencionado anteriormente resulta una herramienta útil para el problema de encontrarextremos locales de funciones derivables. Conociendo los intervalos de crecimiento y decrecimientode una función f podemos hallar sus extremos locales, ya que, si sabemos que existen un intervalo(a,m) donde f es decreciente y un intervalo (m,b) donde f es creciente, entonces la función f (x)alcanza un mínimo local en x = m.



De modo análogo podemos reconocer un máximo local. Luego, si f es derivable, encontramoslas regiones de crecimiento y de decrecimiento de la función estudiando el signo de f ′.

Ejercicios 4.61. Hallar los mínimos y máximos locales de la función f (x) = ex− x3 a partir de su gráfica

realizada en GeoGebra .2. Calcular la derivada de f (x). Evaluar f ′(x) en los puntos donde se alcanzan los extremos.

¿Qué se puede observar?

A continuación enunciamos un resultado importante para hallar extremos locales de funcionesderivables, el cual establece una condición necesaria para la existencia de los mismos.

Teorema 4.2.2 Supongamos que f es una función derivable en un valor c en el cual alcanza unextremo local, entonces f ′(c) = 0.

Ejercicios 4.71. Graficar la función f (x) = x3− 2x. ¿Tiene extremos locales? Analizar sus intervalos de

crecimiento y decrecimiento.2. Calcular f ′(x) y hallar los puntos donde la derivada se anula. ¿Se puede relacionar esto con

el inciso anterior?3. El recíproco del Teorema 4.2.2 no es cierto. Analizar qué ocurre con la función f (x) = x3.4. Hallar los extremos de las siguientes funciones:

a) f (x) = x4− x3 +2b) g(x) = x ln(x)c) h(x) = e−x2

d) j(x) = sen(x).5. Explicitar analíticamente en cada caso, si es posible:

Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados.Regiones de crecimiento y de decrecimiento.Extremos locales y absolutos.Asíntotas horizontales y verticales. Luego graficar en GeoGebra y comparar con losresultados obtenidos.

a) f (x) =x

x2 +1b) f (x) = x− tan(x)c) f (x) = ln(x2 +1)



d) f (x) = ex2

e) f (x) = xx

f ) f (x) = sen2(x)

g) f (x) =x2

(x+1)12

h) f (x) = xe1x

i) f (x) = cos(x)+ xj) f (x) = x3−2x2 +1k) f (x) = x2−|x|


5. Apéndice

5.1 Funciones inversasDada una función f : X→Y , bajo ciertas condiciones se puede definir una función que g :Y→X

que cumplef (x) = y ⇐⇒ g(y) = x

A esta función g la llamamos función inversa de f y la denotamos g = f−1.Veamos algunas condiciones que nos aseguran la existencia de la función inversa.

Teorema 5.1.1 Sea f una función estrictamente creciente. Entonces existe la función inversa.

Teorema 5.1.2 Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y supongamos quef (a) = α , f (b) = β y f estrictamente creciente. Entonces la función inversa está definida en elintervalo cerrado [α,β ].

Observación: La gráfica de f y de f−1 son simétricas con respecto a la recta y = x.

Teorema 5.1.3 Sean a,b ∈ R tales que a < b. Sea f una función derivable en el intervalo (a,b)tal que f ′(x)> 0 para todo x ∈ (a,b). Entonces la función inversa f−1 es derivable y(

f−1)′(y) = 1

f ′(x) =1

f ′( f−1(y))

Observación: Si sabemos que la derivada de f−1 existe, podemos usar la regla de la cadena paracalcularla:

f ( f−1(y)) = y⇒ f ′( f−1(y)).( f−1)′(y) = 1⇒ ( f−1(y))′ =1

f ′( f−1(y))



5.2 Derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas

5.2.1 Función senoRecordemos la gráfica de la función seno.

Aquí hemos considerado el intervalo [−π

2 ,π

2 ] como dominio de la función seno, en donde escreciente, es decir, su derivada es positiva. Luego,

sen : [−π

2 ,π

2 ]→ [−1,1]

Allí la función admite inversa, la cual llamamos arcoseno y escribimos arcsen.

arcsen(y) = x⇔ sen(x) = y

arcsen : [−1,1]→ [−π

2 ,π

2 ]

Su gráfica es la siguiente:

Veamos cuál es su derivada:

(arcsen (y))′ =1

(sen(x))′=

1cos(x)

=1√

1− sen2(x)=

1√1− y2

.

Observemos la simetría de la función seno y su inversa respecto de la recta y = x.



5.2.2 Función tangente

Veamos ahora cómo encontrar la función inversa de la función tangente. Para ello consideremosla función f (x) = tan(x) definida en el intervalo (−π

2 ,π

2 ), cuya gráfica es:

Sabemos que

f ′(x) =1

cos2(x)> 0

por lo que la función es estrictamente creciente y admite inversa, la cual llamamos arcotangente yescribimos arctan.

f−1 = arctan : R→ (−π

2 ,π

2 )

Su gráfica es:



Veamos cuál es su derivada:

(arc tg (y))′ =1

(tg(x))′=

11

cos2(x)

=1

1+ tg2(x)=

11+ y2

Ejercicios 5.1 Dar condiciones para que la función coseno tenga inversa. Calcular la derivada deesta nueva función, la cual llamamos arcocoseno y escribimos arccos.

5.3 Convexidad

Recordemos que una función f es convexa en un intervalo I si, para todos a y b∈ I, el segmentoque une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) queda por encima de la gráfica de f .

Equivalentemente, f es convexa en I si, para todos a y b ∈ I con a < b, se tiene que

f (b)− f (a)b−a

>f (x)− f (a)

x−a,

para todo x ∈ (a,b).Análogamente, se dice que f es cóncava en un intervalo I si, para todos a y b ∈ I, el segmento

que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) queda por debajo de la gráfica de f .



De manera equivalente, f es cóncava en I si para todos a y b ∈ I con a < b, se tiene que

f (b)− f (a)b−a

<f (x)− f (a)

x−a,

para todo x ∈ (a,b). Estudiemos ahora la convexidad de funciones que tienen derivadas.Sea f una función convexa en I y sean a y b ∈ I tales que a < b. Observando la gráfica de f

tenemos que la pendiente de la recta tangente en (a, f (a)) es menor que la pendiente de la rectatangente en el punto (b, f (b)). Razonando de manera análoga, vemos que esto sucede para todox ∈ (a,b). De esto deducimos que si f es derivable en el punto a, entonces la gráfica de f queda porencima de la recta tangente que pasa por el punto (a, f (a)), excepto en el punto (a, f (a)) dondeson coincidentes. Esto ocurre también, para los puntos b > a, tales que f es derivable en b, luegof ′(a)< f ′(b); es decir, f ′ es estrictamente creciente.

En el gráfico anterior vemos que las pendientes de las rectas tangentes pasan de tomar valoresnegativos a valores positivos; es decir, f ′ crece. Luego podemos establecer que

f ′′(x)> 0 en (a, b)⇒ f ′(x) crece estrictamente en (a, b)⇒ f es convexa en (a, b).Un razonamiento análogo puede hacerse cuando f es cóncava.



Si cambiamos la hipótesis de que f ′′(x) > 0 por f ′′(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), resulta que lagráfica de la función es cóncava hacia abajo en (a, b).

Ejercicios 5.2

1. Graficar en GeoGebra la función f (x) = 3x− x3 y hallar los intervalos I en donde lafunción es cóncava y donde es convexa.

2. Crear en GeoGebra un deslizador que se mueva desde −5 hasta 10 y que sólo tomenúmeros enteros. Después, graficar la función g(x) = xa. Marcar un punto en el gráfico,su recta tangente y verificar en qué partes del dominio la recta tangente queda por debajode la curva y en qué partes queda por encima de la curva, para los diferentes valores de a.Encontrar una relación con a.

3. Calcular en GeoGebra las derivadas y derivadas segundas de las dos funciones de losejercicios anteriores y verificar los intervalos en donde estas funciones son cóncavas y dondeson convexas.

Llamamos puntos de inflexión de f a los puntos del dominio de f donde cambia la convexidadde f , es decir, cambia el crecimiento de f ′, si f es derivable. Luego, los posibles puntos de inflexiónson aquellos puntos donde f ′′ = 0, si f ′ es derivable.

Observación: Esta última es una condición necesaria para puntos de inflexión. Es decir, podemosencontrar valores de x que satisfagan f ′′(x) = 0 y que x no sea punto de inflexión, como se muestraen el gráfico siguiente para f y g:



Ejercicios 5.31. Encontrar, si existen, los puntos de inflexión de las funciones del ejercicio anterior.2. Encontrar, si existen, los puntos de inflexión de las tres funciones graficadas arriba.

a) f (x) = 12 x2.

b) g(x) =−12 x2.

c) h(x) = x3.


Bibliografía

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Leithold, L.; El Cálculo, con Geometría Analítica, 7ma. edición, Oxford University Press,1994.

Sadosky, M., Guber, R.; Elementos de cálculo diferencial e integral, Librería Editorial Alsina,2004.

Spivak, M.; Cálculo Infinitesimal, Editorial Reverté S.A., 1996.

Stewart, J.; Cálculo de una variable trascendentes tempranas, International Thomson Editores,2001.


Responsables: Dra. Claudia B. Ruscitti

Dra. Marcela Zuccalli

Lic. Ma. Mercedes Olea

Contacto: [email protected]

www.mate.unlp.edu.ar/nuher

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