1

EQUACIONS DE 1r I 2n GRAU I SISTEMES D’EQUACIONS

1. Conceptes d’equació i solució

Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiques separades pel signe igual ( ). Les

igualtats algebraiques poden ser de dos tipus:

Identitat: la igualtat és certa per a qualsevol valor de les lletres.

Exemple:

Equació: la igualtat només és certa per a alguns valors de les lletres.

Exemple: (només és certa si o bé )

Els valors de la incògnita que fan certa la igualtat els anomenem solucions de l’equació. Resoldre una equació

és trobar-ne la solució o solucions (pot tenir-ne més d’una, com a l’exemple anterior).

2. Elements d’una equació

Membres: són cadascuna de les expressions algebraiques separades pel signe igual. L’expressió situada a

l’esquerra de l’igual l’anomenem primer membre, i la situada a la dreta, segon membre.

Termes: són els sumands dels membres. Si està format per un sol nombre, l’anomenem terme

independent.

Incògnites: són les lletres que tenen valors desconeguts.

Grau: és l’exponent més gran de la incògnita (després d’haver fet les operacions que s’indiquen a

l’equació).

3. Equacions de primer grau. Mètode de resolució.

Per a resoldre una equació de primer grau seguirem els següents passos:

1r Treure denominadors: per a fer-ho, calculem el m.c.m. de tots els denominadors de les fraccions, i

escrivim tots els termes de l’equació amb aquest denominador, fent variar els numeradors en

conseqüència. Quan totes les fraccions tinguin el mateix denominador, els podem eliminar.

2n Treure parèntesis: per a fer-ho, apliquem la propietat distributiva.

3r Transposar termes: escriurem els termes amb incògnita a una banda de l’igual, i els termes sense

incògnites (nombres) a l’altra, recordant que quan un terme canvia de banda, també canvia de signe.

4t Agrupar termes semblants: sumem o restem les incògnites d’una banda, i els nombres de l’altra.

5è Aïllar la incògnita: el nombre que multiplica la incògnita passa a l’altra banda de l’igual dividint el nombre

que hi ha.

6è Fer la divisió (si és exacta) o simplificar la fracció, i requadrar la solució.

Per a saber si una equació està ben resolta, podem comprovar la solució que hem trobat, substituint la

incògnita pel valor que hem trobat i fem les operacions en tots dos membres. Si la solució és correcta, la

igualtat es compleix.

2

Vegem-ho amb un exemple. Resoldrem l’equació

( )

1r

Treure denominadors

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2n

Treure parèntesis

( )

3r

Transposar termes

4t

Agrupar termes

5è

Aïllar la incògnita

6è

Fer la divisió o simplificar la fracció, i requadrar la solució.

Comprovem la solució:

( )

4. Equacions de segon grau

Una equació de segon grau amb una incògnita és una igualtat algebraica que podem expressar de la forma

, amb i nombres reals, i .

Si i són nombres diferents de zero, direm que l’equació és completa.

Si un dels dos, o , és igual a zero, direm que l’equació és incompleta.

4.1 Equacions de segon grau completes

Per a resoldre una equació de segon grau completa hem d’expressar-la de la forma ,

per a poder aplicar la fórmula de resolució.

Si l’equació no té aquesta forma farem les operacions indicades per a aconseguir-ho (treure

denominadors, treure parèntesis, transposar termes i agrupar termes semblants).

Quan tinguem l’equació expressada de la forma , aplicarem la fórmula de resolució:

√

El signe indica que poden existir dues solucions (tantes com el grau de l’equació):

√

i

√

Escrivim i per a distingir dues solucions diferents.

3

Com a exemple resoldrem l’equació ( )

1r

Expressem l’equació de la forma necessària:

a) Treure denominadors ( ) ( )

( ) ( )

b) Treure parèntesis ( ) ( )

c) Transposar termes

d) Agrupar termes semblants

2n

Apliquem la fórmula √

En el nostre cas, i

( ) √( ) ( )

√

√

Per tant, les solucions són

i

Comprovem les solucions trobades:

( )

( )

( )

( )

( )

4

4.2 Equacions de segon grau incompletes

Hi ha tres tipus d’equacions de segon grau incompletes:

1) . Equacions del tipus

Aquest tipus d’equacions només tenen una solució, .

Exemple:

2) . Equacions del tipus

En aquest tipus d’equacions aïllem , per a després fer l’arrel quadrada:

√

Exemple:

√ {

√

√

3) . Equacions del tipus

En aquest tipus d’equacions traiem factor comú i resolem l’equació factoritzada, igualant cada

factor a zero i resolent l’equació de primer grau que en resulta:

( )

Exemple:

( )

4.3 Nombre de solucions d’una equació de segon grau

Una equació de segon grau pot tenir dues, una o cap solucions. Podem saber el nombre sense haver de

resoldre l’equació, trobant el valor del discriminant.

El discriminant, que escriurem , és el radicand de l’arrel que apareix a la fórmula de resolució de

l’equació: . Així, podem escriure la fórmula √

, i el nombre de solucions dependrà,

clarament, del signe de :

Si , si és positiu, l’equació tindrà dues solucions:

√

i

√

Si , l’equació tindrà una única solució:

√

Si , l’equació no té cap solució, ja que no podem calcular l’arrel quadrada d’un

nombre negatiu.

5

5. Equacions lineals

Una equació de primer grau la denominem equació lineal.

Una equació lineal amb dues incògnites és una equació lineal que podem expressar de la forma

, on i són les incògnites, i , i són nombres coneguts.

Una solució d’una equació lineal amb dues incògnites és una parella de valors, un per a cada incògnita, que

fan certa la igualtat.

Una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions: tots els punts de la recta que representa

l’equació.

Exemple:

Per a trobar les solucions d’aquesta equació lineal la dibuixarem. Per a dibuixar la recta que la representa

hem d’aïllar la incògnita , i fer una taula de valors donant a la incògnita els valors que vulguem.

Calculem la que correspon a cada valor de , dibuixem els punts obtinguts, i els unim formant així la

recta solució de l’equació.

Punt ( )

( ) ( ) ( )

Les solucions de l’equació lineal són tots els

punts que pertanyen a la recta dibuixada.

6. Sistemes d’equacions lineals

Dues equacions lineals per a les quals busquem una solució comuna formen un sistema d’equacions lineals:

}

La solució del sistema és qualsevol parella de nombres que verifiquin totes dues equacions alhora. Resoldre un

sistema és trobar-ne la solució.

6.1 Classificació de sistemes d’equacions lineals

Donat el sistema d’equacions

} , en funció del nombre de solucions, pot ser:

Sistema Compatible Determinat (SCD)

El sistema té una única solució. En aquest cas,

Gràficament, les rectes es tallen en un punt, que té per

coordenades la solució del sistema.

Sistema Compatible Indeterminat (SCI)

El sistema té infinites solucions. En aquest cas,

Gràficament, les dues rectes són coincidents.

6

Sistema Incompatible (SI)

El sistema no té solució. En aquest cas,

Gràficament, les dues rectes són paral·leles.

6.2 Mètodes de resolució de sistemes d’equacions

Hi ha quatre mètodes de resolució de sistemes d’equacions: substitució, igualació, reducció i gràfic.

6.2.1 Mètode de substitució

Aquest mètode consisteix en aïllar UNA de les dues incògnites en UNA de les dues equacions, i

substituir-la en l’altra equació. Després resoldrem l’equació de primer grau obtinguda per a trobar

el valor d’una de les incògnites, i amb aquest valor trobarem el de l’altra incògnita.

Exemple: Resoldrem el sistema

} aplicant el mètode de substitució.

1r Aïllem una incògnita en una equació. Escollirem la incògnita i l’equació que ens resulti

més fàcil d’aïllar. En aquest cas, la de la primera equació:

}

}

2n Substituïm l’expressió obtinguda en l’altra equació:

} ( )

3r Resolem l’equació de primer grau que hem obtingut:

( )

4t Calculem el valor de l’altra incògnita, substituint el valor obtingut en qualsevol de les

equacions.

}

5è Comprovem la solució:

}

}

}

Per tant, i és la solució del sistema.

6.2.2 Mètode d’igualació

Aquest mètode consisteix en aïllar UNA de les dues incògnites en les DUES equacions, i igualar les

expressions obtingudes. Després resoldrem l’equació de primer grau obtinguda per a trobar el

valor d’una de les incògnites, i amb aquest valor trobarem el valor de l’altra incògnita.

Exemple: Resoldrem el sistema

} aplicant el mètode d’igualació.

1r Aïllem la mateixa incògnita en les dues equacions. Escollirem la incògnita que sigui més

fàcil d’aïllar en les dues equacions. En aquest cas, la incògnita .

7

2n Igualem les expressions obtingudes:

3r Resolem l’equació de primer grau que ha resultat:

4t Calculem el valor de l’altra incògnita, substituint el valor obtingut en qualsevol de les

equacions:

}

5è Comprovem la solució:

}

}

}

Per tant, i és la solució del sistema.

6.2.3 Mètode de reducció

Aquest mètode consisteix en fer les transformacions necessàries en les equacions per a

aconseguir que una de les dues incògnites aparegui en les dues equacions amb els coeficients

oposats. Després sumarem les dues equacions i obtindrem una equació de primer grau amb una

sola incògnita. Resoldrem l’equació de primer grau obtinguda per a trobar el valor d’una de les

incògnites, i amb aquest valor trobarem el de l’altra incògnita.

Exemple: Resoldrem el sistema

} aplicant el mètode de reducció.

1r En aquest cas multiplicare, la primera equació per :

2n Sumem les equacions obtingudes:

}

3r Resolem l’equació de primer grau que ha resultat:

4t Calculem el valor de l’altra incògnita, substituint el valor obtingut en qualsevol de les

equacions:

}

5è Comprovem la solució:

}

}

}

Per tant, i és la solució del sistema.

+

8

6.2.4 Mètode gràfic

Aquest mètode consisteix en dibuixar les dues rectes del sistema en els mateixos eixos de

coordenades. Les coordenades ( ) del punt de tall de les dues rectes és la solució del sistema.

Per a dibuixar cada recta, aïllarem la incògnita en les dues equacions i construirem dues taules

de valors, una per a cada equació (i per tant, una per a cada recta).

Exemple: Resoldrem el sistema

} aplicant el mètode gràfic.

Punt ( )

Punt ( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

( )

( )

Dibuixem els punts obtinguts i els unim per dibuixar cada recta. Per a dibuixar una recta, només

ens calen dos punts. El tercer el fem servir per a assegurar-nos d’haver dibuixat la recta

correctament:

El punt de tall de les dues rectes, ( ) ( ), és la solució del sistema.

Comprovem la solució:

}

}

}

Per tant, i és la solució del sistema.

𝒙

𝒚