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Cinemática de una Partícula

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniera Civil

Mg.: Fredy Miguel Loayza Cordero

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Es la descripción del movimiento de los cuerpos en el espacio tiempo por medios

matemáticos, sin tener en cuenta las causas que lo originan.

)(t r 

Para la descripción del movimiento de los cuerpos el observador debe definir un

sistema de referencia con relación al movimiento que esta analizando.

Denominaremos como partícula a un cuerpo físico ideal de extensión

despreciable.

 P 

Cinemática

Introducción

Un cuerpo estará en movimiento cuando su vector posición en un sistema de

referencia cambia con respecto al tiempo.

O O

 P 

)(   t t r 

r 

)(t  P 

)(   t t  P 

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1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula con componentes x, y, zes k  z  j yi xr    ˆˆˆ  

Donde las coordenadas x, y, z sonfunciones del tiempo:

x = f(t), y = g(t), z = h(t)

La magnitud del vector de posición será

222  z  y xr   

Movimiento curvilíneo

a) Coordenadas Cartesianas

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2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a   P’  en un intervalo detiempo t. El desplazamiento está dado por:

ˆˆ ˆ'r r r xi yj zk  

2 2 2( ) ( ) ( )r x y z  

Movimiento curvilíneo

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Movimiento curvilíneo3. Velocidad media.   Si una partícula se mueve de P a   P’  experimenta un

desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media será

Es un vector secante a la

trayectoria

ˆˆ ˆm

r x y z  v i j k  

t t t t  

ˆˆ ˆm

r x y z  v i j k  

t t t t  

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Movimiento curvilíneo4. Velocidad instantánea.  Se obtiene llevando al límite cuando   t    0, la

velocidad media y representando como derivada se tiene:

Es un vector tangente a la curva y tiene unamagnitud definida por

k v jviv

k  z j yi xk dt 

dz jdt 

dyidt 

dxv

dt 

r d 

t 

r v

 z y x

t 

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

lim0

222

 z  y x   vvvv  

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Movimiento curvilíneo5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas dela partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración

media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un

vector paralelo a  v y también

depende de la duración delintervalo de tiempo

Q P 

m

Q P 

v vva

t t t 

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6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media esdecir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantánea es un

vector que tiene misma

dirección que el cambio

instantáneo de la velocidad es

decir apunta hacia la concavidad

de la curva

0

2

2

limt 

v dva

t dt 

d dr d r  adt dt dt  

Movimiento curvilíneo

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),,(   t v x f  a 

La aceleración puede ser constante, o función de la posición,

velocidad de la partícula y del tiempo.

Aceleración

dt adv o

a) a=cte. b) a=f(t)

dt adv t )(

b) a=f(t)

dxavdv x)(

c) a=f(x)

)(va

vdvdx 

c) a=f(v)

)(

;va

dvdt  

Movimiento en 1-D

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El desplazamiento de un auto obligada a moverse a lo largo de una

recta esta dado por:

Determine la velocidad y la aceleración del auto

29255   t t  x  

Tarea 0

 x0

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Un elevador A es bajado por un cable que corre por una polea B. Si

el cable se desenrolla por el motor C con una velocidad constante

Vo el movimiento del elevador es

Determine la velocidad y la aceleración del elevador

22)(   bbt V  x o  

Tarea 1

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Un móvil se mueve en línea recta tal que su posición es

descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráficav-t  y a-t  para el intervalo de tiempo 0≤  t  ≤  30 s

Tarea 2

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Un carro de ensayos parte del reposo en x=0 y t=0 en y viaja a lo

largo de una línea recta. Acelerando a razón constante durante 2s,

posteriormente varia respecto al tiempo linealmente segúna(t)=(-2t+8) m/s2 (ver figura). Trazar las gráficas v-t  y s-t.

Tarea 3

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La aceleración de un bola que cae en el aire varia según

20005,081,9)(   vva  

Si la bola que cae desde el reposo. Determine la velocidad en

función de la altura considerando la referencia de la figura

0

y

Tarea 4

2/1]1[:     byeav Rta

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Tarea 5Un punto material que pende de un resorte se mueve con una

aceleración proporcional a su posición y de signo contrario.

Suponiendo que a(x)= -4x m/s2 y que su velocidad del punto es de2m/s hacia arriba cuando pasa por el origen .

a) Determinar la velocidad del punto en función de su posición.

b) Si el punto se halla en el origen en el instante t=1 s, determinar

su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

)22cos(2);22(44

)22(;12

:.

)()(

)(2)(

t dt 

dxvt  sen xa

t  sen x xv

 Rta

t t 

t  x

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Tarea 6

Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo

cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entrelos puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se

indica. Determine el desplazamiento  Δx del cuerpo durante los

dos últimos segundos antes de llegar a B.

Rpta.:v2 = -1.6x +273

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La gráfica v-s, que describe el movimiento de un motociclista que

se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir elgráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el

motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

Tarea 7

Rpta.: Para s = 60 m, t = 8,05 s

S = 120 m, t´= 12 s

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La aceleración de una partícula está  definida por la relación

a = -3v , con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que parat = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la

partícula viajará  antes de detenerse, (b) el tiempo necesario

para que la partícula se reduzca al 1% de su valor inicial

Tarea 8

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Un auto parte del reposo en S=0m y esta sujeto a una

aceleración como se muestra en la figura.a) Trace la grafica v→s.

b) Determine el tiempo requerido para recorrer 200 m

c) Trace la grafica v→t

Tarea 9

a, m/s2

s, m

12

300 450

a=-0,04s+24

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Tarea 10

La caja C está   siendo

levantada moviendo el

rodillo A hacia abajo con

una velocidad constante

de V  A =4m/s a lo largo de

la guía. Determine la

velocidad y la aceleraciónde la caja en el instante

en que s = 1 m . Cuando

el rodillo está en B la caja

se apoya sobre el piso.Rta.:

2 24 8C A x x m

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