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8/11/2019 1 Pruebas Anteriores Estadística Descriptiva (2)

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVARecopilación de problemas de pruebas y controles anteriores

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 1 Una compañía internacional ha perfeccionado un producto de consumo especialmenteapropiado para países en desarrollo. La firma desea fabricar su producto en los países quehaya un millón o más de hogares con ingresos anuales de $400 o más. Se recolectan datosiniciales en cinco países para determinar cuales de ellos, si los hay, cumplen los requisitosmínimos. La investigación inicial revela los datos que se dan luego. ¿Qué país o países sedeberán recomendar para que se instale la firma? Justifique su respuesta.

PAIS MEDIA$

MEDIANA$

MODA$

VARIANZA$

Nº DEHOGARES

A 500 137 125 5625 5000000B 435 159 147 2704 6000000C 403 402 348 100 2000000D 415 390 360 400 2000000E 417 410 408 324 1900000

SoluciónLa condición impuesta por la compañía para instalarse en un país es una condición decantidad de hogares que tienen ciertos ingresos. No es una condición sobre el ingresomedio o sobre el ingreso más repetido o sobre la variabilidad de los ingresos.Así, el país en el que con claridad debe instalarse la compañía es el país C porque tiene 2millones de habitantes con una mediana para los ingresos de $ 402. Esto quiere decir que la

mitad de los hogares (1 millón) gana $402 ó más-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 2 La siguiente figura muestra la distribución defrecuencias acumuladas de una variable estadística X .a) Calcule su media y desviación estándar.b) ¿Qué porcentaje de los valores de X están en

el intervalo [ ]S X S X +− , ? X es el promedioS es la desviación estándar (con n )

SoluciónDel dibujo se puede reconstruir la tabla de frecuencias que aparece más abajo. A partir deesa tabla se pueden hacer los cálculos.a) X =12.65

S =5,03b) [ ] ]68.17;62.7[, =+− S X S X

Usando percentiles se tiene que el porcentaje de datos acumulados hasta 17.68 esi = ((17,68-17)*16/3+80)*100/100 = 83.63%El porcentaje de datos acumulados hasta 7.62 esi = ((7,62-5)*9/3+12)*100/100 = 19.86%



Luego, en el intervalo [ ] ]68.17;62.7[, =+− S X S X hay 83.63%-19.86% = 63.77%de los valores de X

Intervalo Xi ni Ni ni(xi-12,65)^2[2 - 5[ 3,50 12 12 1004,67[5 - 8[ 6,5 9 21 340,4025

[8 - 11[ 9,5 11 32 109,1475[11 - 14[ 12,5 22 54 0,495[14 - 17[ 15,5 26 80 211,185[17 - 20[ 18,5 16 96 547,56[20 - 23[ 21,5 4 100 313,29

100 25,2675

media 12,65varianza 25,27

desv estándar 5,03 % acumulado Diferencia de %X-S 7,62 19,86

X+S 17,68 83,63 63,77-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 3La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias del tiempo en minutos queuna muestra de operarios de una fábrica demora en armar cierto producto:

Tiempo Número de operarios

10 – 20 720 – 30 1530 – 40 19

40 – 50 9a) Se ha decidido enviar a un curso de capacitación al 21% de los operarios más lentos

en el tiempo de armado. ¿Si un operario demoró 37 minutos, será enviado al curso?

b) ¿Si se sabe que el tiempo de armado del producto disminuyó en 15%, cuál era eltiempo de armado promedio anterior?

c) Identifique la variable medida e indique su tipo.Solución Para resolver este problema se requiere conocer:

• Tablas de frecuencias• Percentiles• Transformación de datos• Medias o promedios• Clasificación de variables estadísticas

a) La tabla de frecuencia con los datos necesarios es

Tiempo i X in i f i N iF

10 – 20 15 7 0.14 7 0.1420 – 30 25 15 0.30 22 0.4430 – 40 35 19 0.38 41 0.8240 – 50 45 9 0.18 50 1

Total 50 1



El tiempo a partir del cual están el 21% de los operarios más lentos correspondeal percentil 79. Este número se encuentra en el intervalo 30-40 y se calcula como

79P = 1019

227910050

30 ×

−×

+ = 39.21 minutos.

Entonces, el 21% de los operarios más lentos demora más de 39.21 minutos. Portanto, un operario que se demora 37 minutos en armar el producto no necesita serenviado a capacitación.

b) El tiempo promedio de armado de los trabajadores está dado por

X =n

X nk

iii∑

= 1 = (7(15)+15(25)+19(35)+9(45))/50= 31 minutos.

Si X es el tiempo de armado actual e Y el tiempo de armado anterior, entonces larelación entre estos tiempos es Y X 85.0= . Los promedios sufren la mismatransformación lineal, entonces Y X 85.0= Luego, el tiempo promedio de armadoanterior era de,

47.3685.0 / 3185.0 / === X Y minutos.

c) Variable: Tiempo de armado de un producto en minutos

Tipo: Cuantitativa continua

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 4.

A causa de una recesión económica los precios actuales de tres artículos son A=$50.35,B=$5,48 y C=$0,03. Antes de la recesión los precios tenían las siguientes características:

Artículo Promedio Desviación estándar

A $45,20 $3,432

B $5,31 $0,574

C $0,02 $0,003

¿Qué artículo ha sido más afectado por la recesión?. Justifique su respuesta

Solución Para resolver este problema se requiere conocer:

• El concepto de promedio y desviación estándar• Variación relativa.

Una forma de analizar el efecto de la recesión es hacer una comparación de la variación enel precio con la desviación estándar.

Variación =anteriorestándardesviación

anteriorpromedioactualprecio −

Artículo A: Variación = (50.35-45.20)/3.432 = 1.5

Artículo B: Variación = (5.48-5.31)/0.574 = 0.3

Artículo C: Variación = (0.03-0.02)/0.003 = 3.3



El artículo más afectado por la recesión es el artículo C porque su precio ha sufrido lamayor variación relativa disminuyendo 3.3 veces su desviación estándar.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 5

La siguiente figura, llamada diagrama de “caja y bigote”, presenta el comportamiento de larentabilidad de cuatro acciones, VTR, CAS, ACS y TEL, durante los últimos 10 meses.¿En qué acción sería razonable invertir? ¿Por qué?

MaxMinMean+SDMean-SDMean

Diagrama de Caja y Bigote

ACCION

R e n

t a b i l i d a

d ( % )

2

4

6

8

10

12

14

16

18

VTR CAS ACS TEL

Max = rentabilidad máxima. Min = rentabilidad mínima.Mean = rentabilidad media. SD = desviación estándar.

SoluciónEste problema no tiene respuesta única.Un inversor arriesgado invertiría en las acciones CAS porque tienen mayor rentabilidad

promedio aunque poseen mayor variabilidad (riesgo)Un inversor conservador invertiría en las acciones ACS, la segunda en rentabilidad media,pero más segura (las de menor variabilidad).-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 6 La siguiente tabla muestra los volúmenes enviados al exterior y los retornos generados porlas exportaciones de productos del mar, en el período enero-junio de 1997 y 1998, segúninformó la Sociedad Nacional de Pesca.

EXPORTACIONES PESQUERAS

Toneladas

Ene !un Ene !un

"illones de US#

Ene !un Ene !unProducto $%%& $%%' $%%& $%%'

HarinaAceiteCongeladosConservasFresco refrigeradoAlgasOtros

445.59077.79679.26622.35617.59822.216

1.966

352.34039.13367.94520.22117.33116.075

1.194

171,521,9

267,547,982,732,9

7,7

145,510,1

248,758,380,325,5

5,1Totales 666.788 514.239 632,1 573,5



¿En qué porcentaje varió, entre 1997 y 1998, el precio promedio por tonelada, de los dosprincipales productos de exportación de este sector?SoluciónBasados en los volúmenes y en los retornos, los dos principales productos de exportaciónde este sector son Harina y Congelados. Los precios promedio por tonelada descendieron

en 6,8% y 7,8% respectivamente. Los detalles de los cálculos aparecen en la siguientetabla.

Toneladas Millones de USD USD/Tonelada Variación %Producto Ene-Jun Ene Jun Ene Jun Ene Jun

1998 1997 1998 1997 1998 1997Harina 445590 352340 171,5 145,5 384,88 412,95 -6,8Congelados 79266 67945 267,5 248,7 3374,71 3660,31 -7,8-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 7La siguiente tabla corresponde a la distribución de las ventas diarias (en miles de pesos) deun grupo de empleados de una tienda que tiene dos sucursales.

Sucursal 1 Sucursal 2Ventas Frecuencia Ventas Frecuencia

200 – 300 6 200 -300 4300 – 400 15 300 - 400 12400 – 500 13 400 - 500 18500 – 600 9 500 - 600 13

a) Represente estos datos en un gráfico de barras conjunto para ambas sucursales.b) Calcule la media y la desviación estándar de las ventas diarias para cada sucursal.c) Usando b), compare las ventas diarias de ambas sucursales.d) Obtenga la media y la desviación estándar de las ventas diarias totales de la tienda.

e) Estime las ventas diarias totales de la tienda.Solucióna) Se presentan dos soluciones. La más natural es la primera.

b)

SUCURSAL 1 SUCURSAL 2i X in i X in

250 6 250 4

350 15 350 12450 13 450 18

550 9 550 13n 43 47

Media 408,140 435,106Desv Estándar 97,008 92,204

VENTAS POR SUCURSAL

0

5

10

15

20

200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600

Ventas (miles de $)

F r e c u e n c

i a

Sucursal 1

Sucursal 2

VENTAS POR SUCURSAL

0

5

10

15

20

25

30

35

200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600

Vantas (miles de $)

F r e c u e n c

i a

Sucursal 2

Sucursal 1



c) El promedio de ventas por empleado es mayor en la Sucursal 2 que en la Sucursal 1(435,106>408,140)La variabilidad en las ventas de los empleados es similar en ambas sucursales(34,19)

d)Media total 422,222Varianza Dentro 8935,840343Varianza Entre 181,443608Varianza Total 9117,283951Des. Est Total 95,484470

e) Ventas totales = 422,222*(43+47)=38000 (miles de $)-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 8 Un editor de libros necesita rapidez en el manejo de las pruebas de página de los libros queestá por editar. Estas pruebas se tienen que enviar a los autores para una revisión final de lacomposición, los errores tipográficos y otros aspectos. Dado que en los programas depublicación muy ajustados la rapidez es esencial, el editor está considerando utilizar unServicio expreso de entregas. Los últimos 90 envíos de pruebas se distribuyeronaleatoriamente entre tres Servicios distintos y se registró el número de horas que requiriócada entrega. Los resultados aparecen en la siguiente tabla

Servicio n Media Mediana Desv. Est Min Max Q1 Q31 30 40.07 40.00 4.53 32 50 37.75 42.50

2 30 37.17 36.00 7.25 24 55 31.75 41.503 30 44.60 45.50 13.55 20 74 34.00 50.50

a) ¿Qué Servicio debería escoger el editor para enviar las pruebas de página?b) ¿Alguno de los tiempos de entrega mínimos y máximos observados puede ser

considerado un valor atípico?Respuestaa) El editor debería escoger el Servicio que demora menos tiempo en la entrega

En este caso, el Servicio 2 tiene el tiempo medio de entrega menor (37.17hrs.). También la mediana del tiempo de entrega es menor en el Servicio 2(36 hrs.).Desde el punto de vista de la variabilidad de los tiempos de entrega, el Servicio 1es más conveniente porque tiene la menor desviación estándar (4.53hrs.), el menorrango (18 hrs.) y el menor RIC (4,75). Sin embargo, el Servicio 1 tiene menor Q1(31.75 hrs.) y menor Q3 (41,50 hrs.) lo que hace que la “caja” en el diagrama de“caja y bigote” esté más a la izquierda que en los otros Servicios. En definitiva, eleditor debería escoger el Servicio 2.

b) Se necesita calcular el RIC y las barreras interiores que aparecen en la siguientetabla.

Servicio Min Max Q1 Q3 RIC BII BSI

1 32,00 50,00 37,75 42,50 4,75 30,625 49,632 24,00 55,00 31,75 41,50 9,75 17,125 56,13



13 QQ RIC −=

RIC Q BII 5.11 −=

RIC Q BSI 5.13 += .

Se observa que todos los valores mínimos y máximos se encuentran entre BII y BSI ,excepto el máximo de 50 hrs. observado en el Servicio 1. Por tanto, sólo este valor puedeser considerado como candidato a valor atípico.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 9 La siguiente tabla resume la información entregada por 3 supermercadosrespecto al precio de los 50 artículos más consumidos por las familias chilenas.

SUPERMERCADO1 SUPERMERCADO2 SUPERMERCADO3289= X 15750=∑ i X 16500=∑ i X

S = 60 ∑ = 50862502i X 2424.0=CV

n = 50 n = 50 n = 50

a) Compare los precios cobrados por los supermercados por estos 50 productos.b) ¿Cuál es el promedio y la varianza total de los precios de los 50 productos,

considerando los tres supermercados en conjunto?Respuestaa) En promedio, el Supermercado 3 cobra más que los otros por estos 50 productos

(330>315>289)La variabilidad en los precios de estos 50 artículos es menor en el Supermercado 2(50<60<80)

b) Se requiere calcular medias y varianzas de los precios para cada Supermercado

Supermercado 1 Supermercado 2 Supermercado 3Media i X 289 315 330Desv.Est iS 60 50 80

Varianza 2iS 3600 2500 6400

in 50 50 50

Luego, se requiere usar las formulas para medidas totales a partir de una muestraestratificada.

Media Total:T

r r T n

X n X n X

++=

...11 =505050

330503155028950++

×+×+×

= 311,33

Varianza dentro:T

r

j j j

n

S n∑= 1

2

= 67,4166505050

640050250050360050=

++

×+×+×

3 20,00 74,00 34,00 50,50 16,5 9,25 75,25



Varianza entre:T

r

jT j j

n

X X n∑=

−

1

2)(

=

505050)33,311330(50)33,311315(50)33,311289(50 222

++

−×+−×+−×

= = 89,286

Varianza Total:T

r

jT j j

T

r

j j j

T n

X X n

n

S n

S

∑∑==

−

+= 1

2

1

2

2

)(

= 89,28667,4166 + = 56,4453

Nota: 1. La desviación estándar total resulta ser 73,6656,4453 ==T S

2. Los resultados se muestran en la siguiente tabla

Media Total 311,33Varianza Dentro 4166,67Varianza Entre 286,89Varianza Total 4453,56Des Est Total 66,73

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 10Se tiene la siguiente información relativa a los ingresos percibidos por tres grupos sociales

GRUPO SOCIALA B C

n 25 45 30

X 300 500 600CV 0,35 0,35 0,35

a) Calcule el CV (coeficiente de variación) de los ingresos totales.b) Si todos los ingresos se reajustan en un 20%, calcule el nuevo CV de cada grupo social y

el CV de los ingresos totales. ¿Qué concluye?Solucióna) Como CV= X S / , entonces la varianza de cada grupo es 22 )( CV X S = . Estas se

muestran en la siguiente tablaGRUPO SOCIAL

A B Cn 25 45 30 X 300 500 600CV 0,35 0,35 0,35

2S 11025 30625 44100

Para calcular el T CV total se requieren la media y la varianza totales dadas por

T

r r T n

X n X n X

++=

...11 = 480100

)600(30)500(45)300(35=

++



T

r

jT j j

T

r

j j j

T n

X X n

n

S n

S

∑∑==

−

+= 1

2

1

2

2

)(

+++

=100

)44100(30)30625(45)11025(25

100)480600(30)480500(45)480300(25 222 −+−+−

+ = 29767.5+12600 = 42367.5

Entonces, 833671.2055.42367 ==T S y el coeficiente de variación total es

T T T X S CV / = = 4288.0480 / 833671.205 ≈ b) En este caso se trata de una transformación lineal de datos del tipo ii bxa y += , con

0=a y 2.1=b Las nuevas medias son X Y 2.1= y las nuevas desviaciones estándar x y S S 2.1=

Por tanto, al hacer la división de la nueva desviación estándar con el nuevo promedio,el factor 1.2 se cancela y en consecuencia se obtiene el mismo CV por grupo y elmismo CV total.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 11Suponga que los datos de dos muestras son

Muestra 1: 18 19 21 25Muestra 2: 14 17 18 19 19 20 20 20 21 21 22

a) Encuentre el rango de cada muestrab) Encuentre la media y la desviación estándar de cada muestra.c) Use los cálculos de la parte b) para comentar las diferencias y/o similitudes en las dos

muestras.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pregunta 12La gerencia de un banco, preocupada por el servicio al cliente, desea estimar, entre otrascosas, el número medio de clientes que atiende por hora uno de sus cajeros (el señor XX).Para tal efecto, durante una semana observará la variable de interés.a) Identifique claramente la población bajo estudio.b) Identifique la muestra. ¿Cuál es el tamaño de esta muestra?c) Identifique la variable relevante a su estudio. Clasifique esta variable.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pregunta 13Los resultados de la muestra del Problema 12 fueron procesados en Excel, obteniendo laplanilla siguiente:



a) Interprete, en términos del problema, el valor de la mediana.b) Interprete, en términos del problema, el valor de la desviación estándar.c) Dibuje aproximadamente la forma del polígono de frecuencias.d) ¿Existe algún valor atípico? Justifique.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 14La siguiente tabla muestra las características demográficas y de servicio social de 7ancianos de un asilo.

(I)Edad

(II)Visitas al médicoen el último año

(III)Ingreso mensual$

(IV)Género

74818377767979

87

1145

137

2347243416361963235819682683

MMFMFFM

Suponga que usted es un trabajador social en una agencia que ofrece servicios de asistenciaa los 7 ancianos. Se le pide proporcionar algunas estadísticas descriptivas para los archivosde la agencia a partir de la tabla anterior.a) Calcule el promedio X y la desviación estándar S de las edades (columna I)b) ¿Qué porcentaje de las edades está en el intervalo ];[ S X S X +− ?c) Calcule e interprete la mediana de los ingresos mensuales (columna III)d) Represente gráficamente el género de los ancianos (columna IV)e) Compare el número de visitas al médico en el último año de hombres (M) y

mujeres (F)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 15

Columna1

Media 18,0662514Error típico 0,63419484Mediana 18,5376324

Moda #N/ADesviación estánd 4,01100037Varianza de la mue 16,088124Curtosis 3,9007229Coeficiente de asi -1,25431505Rango 22,4714626Mínimo 3Máximo 25,4714626Suma 722,650055Cuartil 1 16,1859537Cuartil 2 18,5376324Cuartil 3 20,4492272



Los siguientes datos corresponden a la rentabilidad diaria de una carpeta de acciones

0,9 0,8 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,5 -0,1 -0,8a) Determine 1Q , 2Q , RIC y las barreras interiores y exteriores del método de

Tukey para determinar si existen datos atípicos ¿Si los hubiera, cuáles son?b) Grafique estos datos mostrando las barreras e identificando claramente allí los

valores atípicos si los hubieraSolucióna) Los datos ordenados de menor a mayor son

-0,8 -0,1 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,8 0,8 0,9

La posición de 1Q es 0,375,24 / )1( =+n Entonces, 5,01 =Q

La posición de 2Q es 0,65,52 / )1( =+n Entonces, 6,02 =Q

La posición de 3Q es 0,85,74 / )1(3 =+n Entonces, 8,03 =Q

3,05,08,013 =−=−= QQ RIC

4,0)3,0(35,031 −=−=−= RIC Q BIE

05,0)3,0(5,15,05,11 =−=−= RIC Q BII

25,1)3,0(5,18,05,13 =+=+= RIC Q BSI

70,1)3,0(0,38,00,33 =+=+= RIC Q BSE

Sólo el dato -0,8 es atípico porque es menor que 4,0−= BIE b)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 16La siguiente tabla muestra las características demográficas y de servicio social de 7ancianos de un asilo.

Edad Visitas al médico en el último año Ingreso mensual $ Género74818377767979

87

1145

137

2347243416361963235819682683

MMFMFFM

a) Determine cuál de las variables, edad o ingresos, permite predecir mejor el númerode visitas al médico el último año.

b) Encuentre una recta de regresión que permita predecir el número de visitas al

médico el último año.Solución



a) La correlación entre la Edad y el Número de Visitas es 0,454

La correlación entre Ingreso y el Número de Visitas es-0,455Las correlaciones son similares en magnitud. Da lo mismo usar Edad o Ingresospara predecir el Número de Visitas al médico. Se escoge Ingresos.

b) Visitas=16,783-0,004*Ingresos

Problema 17 Se mide el tiempo de secado de 55 superficies de 1 metro cuadrado cada una utilizando lapintura A y 70 superficies de 1 metro cuadrado cada una utilizando la pintura B. Lassalidas Excel que se anexan muestran las estadísticas para el tiempo de secado de dos tiposde pintura.

a) Compare los tiempos de secado de las pinturas A y B utilizando medidas detendencia central y de dispersión.

b) Utilice los resultados obtenidos para determinar si existe la posibilidad de observarvalores atípicos en alguna de las dos muestras.

c) ¿Qué pintura utilizaría usted? Explique.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 18 Los siguientes resultados corresponden a las ventas diarias de unarticulo en tres supermercados de la región. En cada caso, ¿qué medida de tendencia

central es más adecuada para describir la centralidad de las ventas. Justifique su respuesta.Supermercado A: 2, 3, 5, 7, 22

INGRESOS

2800260024002200200018001600 V I S I T A S

14

12

10

8

6

4

2

Pintura A Pintura B

Media 54,8381818 Media 59,7257143Error típico 3,6137788 Error típico 2,12941218Mediana 51,3 Mediana 61,55Moda #N/A Moda 81,2Desviación estánda 26,8005009 Desviación estánd 17,8159405Varianza de la mue 718,266848 Varianza de la mu 317,407735Curtosis -0,88600324 Curtosis -0,47529562Coeficiente de asim 0,13375375 Coeficiente de asi -0,32597859Rango 104,9 Rango 78,5Mínimo 3 Mínimo 15,5Máximo 107,9 Máximo 94Suma 3016,1 Suma 4180,8Cuenta 55 Cuenta 70cuartil 1 34,15 cuartil 1 46,725cuartil 3 76,1 cuartil 3 73,525



Supermercado B: 2, 4, 6, 18, 28, 34Supermercado C: 2, 6, 18, 54, 162

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 19 Calcule la media, mediana, desviación estándar y rango percentilusando el siguiente histograma

Problema 20La empresa ILUMINA está realizando un estudio de la duración de las ampolletas queproduce para uso doméstico. A causa de un “virus” en su red, la empresa sólo pudorecuperar parte de los datos. Estos aparecen en la siguiente tabla con varias celdasperdidas.

Duraciónhoras ia i X in i f i N iF

0,04050-80 28

80-100 6255

120-150 0,8250,100

≥ 200 15TOTAL 200

a) Repare” la tabla.b) Calcule la media, moda y mediana de la duración de las ampolletas.c) Calcule la desviación estándar.d) ¿Qué tiempo de garantía se debe dar si no se quiere reemplazar más del 15% de las

ampolletas?----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 21La siguiente tabla presenta los resultados del proceso de admisión a una Escuela deGraduados de cierta Universidad

Programa Hombres MujeresPostulantes Aceptados % Postulantes Aceptados %



ABCDEF

825560325417191373

62633733286

10825

593375393341

82683435347

a) Represente en un gráfico adecuado el número de postulantes ¿qué concluye?b) Represente en un gráfico adecuado el porcentaje de aceptados ¿qué concluye?c) Compare el porcentaje total de hombres aceptados con el porcentaje total de

mujeres aceptadas en esa Escuela de Graduados ¿qué concluye?----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 22Gale Marrs, gerente de personal de la compañía Baxter Richfield sospecha que lostrabajadores de más edad pierden más días de trabajo al año por enfermedad que lostrabajadores jóvenes. Gale elige al azar los registros de 10 empleados de 40 años o más yde 10 empleados de menos de 40 años. Los datos obtenidos se procesaron en Excel y enSPSS y corresponden al número de días laborales en los que el respectivo trabajador estuvoausente el último año. A continuación se entregan las salidas de interés:

menos de 40 40 o más menos de 40 40 o más

() *')( $% "edia $'+* (*+($& ($ Error t,pico *+-)*-*&'( -+'%.$.'*($- *- "ediana $.+- (// $. "oda 0N1A 0N1A% ) 2es3iación est4ndar $$+(/-.-** $&+*(%/%/)$/ / 5arian6a de la muestra $(-+-....' **-+%----.(/ $( Curtosis (+$%&)-% $+)'%'*..)(( .* Coe7iciente de asimetr,a /+%$))/(%. $+/*-$*&*.$* (- Ran8o )( .*

",nimo / /"49imo )( .*Suma $'* (*(Cuenta $/ $/

Días ausentes



a) Analice las salidas entregadas y, fundamentado en estas salidas, presente un informeque considere los aspectos más importantes observados respecto al número de días deausencias por motivo de enfermedad en estos dos grupos de trabajadores. (Su informeno debe contener más de 25 líneas.)Respuesta

Se esperaría que un trabajador menor de 40 años se ausente aproximadamente 17,3días. La mitad de este grupo se ausenta 16,5 días o menos aproximadamente.

Se esperaría que un trabajador de 40 años o más se ausente aproximadamente 23,2días laborales. La mitad de estos se ausentan a los más 20 días laborales.

La distribución de los trabajadores menores de 40 años es asimétrica con valores entre0 y 24 días aproximadamente, salvo por la presencia de un dato atípico (42) queproduce un coeficiente de asimetría positivo y hace crecer la dispersión de este grupo.Sin este dato atípico la distribución seria asimétrica negativa y la dispersión menor.

La distribución de los trabajadores de 40 años o más es asimétrica con valores entre 0

y 63 días, se observa claramente sesgo hacia la derecha (este resultado se confirma conel coeficiente de asimetría obtenido).

La dispersión es diferente en ambos grupos, siendo mayor en el grupo de trabajadoresde 40 años o más. En este sentido la ocurrencia de observaciones mayores a 24 díasausentes es probable en el grupo de trabajadores de 40 años o más e improbable en elgrupo de menos de 40 años.

b) Gale ha pedido calcular la mediana de cada grupo, después de eliminar valoresatípicos detectados por medio de los diagramas de caja. Obtenga estos nuevos valoresde medianas y decida si estos valores producen cambios de importancia en lo yaobservado.Respuesta



Mediana (menores de 40 años) = 15Mediana (40 años o mas) = 20El cambio en la mediana de menores de 40 años es menor. No hay cambios deimportancia asociados a este valor de mediana.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 23El chef en jefe del restaurante Parisien acaba de recibir dos docenas de tomates de unproveedor pero todavía no los acepta. Sabe por la factura que el peso promedio de untomate es 7.5 onzas, pero insiste en que todos tengan un peso uniforme. Aceptará lostomates sólo si el peso promedio es 7.5 onzas y la desviación estándar es menor que 0,5onzas. Los pesos de los tomates son los siguientes6.3 7.2 7.3 8.1 7.8 6.8 7.5 7.8 7.2 7.5 8.1 8.28.0 7.4 7.6 7.7 7.6 7.4 7.5 8.2 7.4 7.6 6.2 7.4a) Calcule la media X y la desviación estándar S del peso de los tomatesb) ¿Cuál debería ser la decisión del chef y por qué?

c) ¿Qué porcentaje de los tomates recibidos tiene un peso en el intervalo];[ S X S X +−

d) Usando c) da una interpretación de la desviación estándar S en términos del peso delos tomates.

Solucióna) La media y la desviación estándar son 7,49166667 ≈ 7,5 y 0,5032533 ≈ 0,5b) La decisión del chef debería ser aceptar la partida de tomates puesto que se

cumplen sus exigencias en cuanto a la media y en cuanto a la desviación estándardel peso de los tomates.

c) El intervalo es ];[ S X S X +− = [7,5- 0,5 ; 7,5+0,5]= [7,0 ; 8,0]

Aquí hay 17 pesos de tomates lo que corresponde al (17/24)*100=71% de ellosd) El 71% de los tomates tiene un peso alrededor de la media de 7,5 onzas y no másallá de una desviación estándar.

Problema 24Para los datos del problema 24 haga lo siguiente:

a) Calcula e interpreta la mediana en términos del peso de los tomates.b) Presenta los datos en una tabla de frecuencia de 5 intervalosc) Usando b) presenta gráficamente los datos.d) Calcula el sesgo y decide cuál de las tres medidas del centro, media, mediana o

moda, es más apropiada para representar el peso de los tomates Justifica turespuesta.

Solucióna) La mediana es 7,5 e indica que el 50% de los tomates tiene un peso menor que 7,5

onzas y el otro 50% de ellos tiene un peso superior a 7,5 onzasb)

Intervalo Amplitud i X in i f i N iF [6,2 – 6,6[ 0,4 6,4 2 0,083[6,6 – 7,0[ 0,4 6,8 1 0,042[7,0 – 7,4[ 0,4 7,2 3 0,125

[7,4 – 7,8[ 0,4 7,6 11 0,458[7,8 – 8,2] 0,4 8,0 7 0,292



24

c)

d) 050,05033,0)5,74917,7(3)(3

−=−

=−

=S

Mediana X P La mediana es más adecuado debida al sesgo negativo. Sin embargo, con undecimal, la media es igual a la mediana.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 25Una compañía de seguros califica los modelos de automóviles en base a la cantidad deaccidentes en carretera y en base a los montos de las pérdidas debidas a estos accidentes.Un índice de de calificación de 100 se considera normal. Un índice menor que 100 esmejor porque estos índices están asociados a autos más seguros. A continuación sepresentan las calificaciones de una muestra de 20 automóviles medianos y de una muestra

de 20 automóviles pequeños. También se presentan algunas salidas del programa SPSS.

Mediano 81 91 93 127 68 81 60 51 58 7591 93 127 68 81 60 51 58 75 91

Pequeño 73 100 127 100 124 103 119 108 109 113108 118 103 120 102 122 96 133 80 140

a) Para cada muestra, calcule el porcentaje de autos con índice menor o igual a 100.Compare estos porcentajes. ¿Qué concluye?RespuestaAuto Mediano: 16 de 20 corresponde a un 80% de los autos en la muestraAuto Pequeño: 5 de 20 corresponde a un 25% de los autos en la muestra

El porcentaje de autos con índice menor o igual a 100 es mayor para los autosmedianos que para los autos pequeños. Por tanto, esta muestra sugiere que los autosmedianos son más seguros.

b) Interprete la mediana de las calificaciones, para cada tipo de auto. ¿Qué concluye?RespuestaEl 50% de los autos medianos tiene un índice de calificación menor o igual a 81,5El 50% de los autos pequeños tiene un índice de calificación menor o igual a 108,5

0

2

4

6

8

10

12

[6,2 - 6,6[ [6,6 - 7,0[ [7,0 - 7,4[ [7,4 - 7,8[ [7,8 - 8,2]



La mediana indica que en la muestra los autos medianos tienden a tener índicesmenores que los autos pequeños. Por tanto, la mediana también sugiere que los autosmedianos son más seguros que los pequeños.

c) Para cada uno de los conjuntos de datos, ¿qué tipo de sesgo pareciera apreciarse en los

respectivos diagramas de caja? ¿Se confirma cada posible sesgo, con la ubicaciónrelativa de la media y la mediana? Explique.

RespuestaAuto Media Mediana Diferencia Asimetría Asimetría

(media-mediana) Fisher PearsonPequeño 109,90 108,50 1,40>0 -0,410 0,250Mediano 85,75 81,50 4,25>0 0,571 0,593

Para los datos de seguridad automotriz los valores para el coeficiente de asimetríaestán cercanos a 0 (alrededor de ± 0.5). Por esto, la asimetría que se observa en losgráficos es leve aunque un poco más marcada para los autos medianos. En este grupoel 60% de los índices están por debajo de la media de 85,75 (12 de 20 es un 60%). Enlos autos pequeños, 11 de 20 ó un 55% de ellos tiene un índice está abajo de la media.

Lo anterior sería confirmado por SPSS si este programa usara el coeficiente de asimetría de Pearson dado por S Mediana X P / )(3 −= .En cambio, SPSS usa el coeficiente de asimetría de Fisher con la formula einterpretaciones siguientes.

• (g1 = 0): Se acepta que la distribución es Simétrica, es decir, existeaproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Estevalor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que soncercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).

• (g1 > 0): La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden areunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media.

• (g1 < 0): La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden areunir más en la parte derecha de la media.

El índice de Fisher es mucho más sensible a valores atípicos debido a que trabaja conel cubo de las desviaciones. En los datos para autos pequeños el que tiene índice 73(aunque no es atípico) hace que ese coeficiente resulte levemente negativo.

d) ¿Cuál de los dos conjuntos de datos presenta una mayor variabilidad? Justifique surespuesta.Respuesta En las salidas SPSS se observa que la varianza y los rangos sonmenores para los autos pequeños que para los autos de tamaño mediano. Por tanto, haymayor variabilidad en los índices de seguridad de los autos de tamaño mediano.

e) ¿Qué porcentaje de autos pequeños en la muestra tiene una calificación entre 81,6 y132,4?



RespuestaEn la tabla de percentiles, se observa que el 10% de los autos pequeños tiene unacalificación menor o igual 81,6 y que el 90% de ellos tiene una calificación menor o igualque 132,4.Por tanto, el 80% de los autos pequeños en la muestra tiene una calificación entre 81,6 y

132,4

Salidas SPSS para el Problema 25Percentiles

73,3500 81,6000 100,5000 108,5000 121,5000 132,4000 139,650051,3500 58,2000 69,7500 81,5000 98,2500 126,2000 127,9500

101,0000 108,5000 121,000071,5000 81,5000 96,5000

tipopequeñomedianopequeñomediano

indice

indice

Promedioponderado(definición 1)

Bisagras de Tukey

5 10 25 50 75 90 95Percentiles

Descriptivos

109,9000 3,68060102,1964

117,6036

110,2778108,5000

270,93716,46016

73,00140,00

67,0021,00-,410 ,512,389 ,992

85,7500 4,8061875,6906

95,8094

85,333381,5000461,987

21,4938851,00

128,0077,0028,50

,571 ,512-,103 ,992

MediaLímite inferiorLímite superior

Intervalo de confianzapara la media al 95%

Media recortada al 5%MedianaVarianzaDesv. típ.MínimoMáximoRangoAmplitud intercuartilAsimetríaCurtosisMedia

Límite inferiorLímite superior

Intervalo de confianzapara la media al 95%

Media recortada al 5%MedianaVarianza

Desv. típ.MínimoMáximoRangoAmplitud intercuartilAsimetríaCurtosis

tipopequeño

mediano

indiceEstadístico Error típ.



Problema 26

Sea 1 2, ,..., n x x x una muestra. Se define ii

x y

x= para 1, 2,...,i n= . Demuestre que

a) 1 y =

b) 2

100

)()(

=

xCV yVar , donde %100)( ×=

x

S xCV

Respuestas

a) y =n

yn

i i∑ = 1 =n

x xn

i i∑ = 1 /

= 111 1 ==

∑ = x xn

x

x

n

i i

b) =)( yVar n

y yn

i i∑ =−

12)(

=n

y yn

i i∑ =−

12)(

=n

x x

xn

x x n

i i

n

i i ∑∑ ==−

=−

12

21

2 )(1)1 / (

= 22

1 xS

x

= 2

2

2

2

100100

x

S x =2

100)(

xCV

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 27Un conjunto de datos consiste de dos grupos de observaciones:

1 21 1, , , , ,n n x x y yK K .Denote por pt al promedio de todas estas observaciones.

a) Encuentre una relación entre pt y los promedios:

pequeño mediano

tipo

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

i n d i c e



1

11

1 n

ii

x xn =

= ∑ ,2

12

1 n

ii

y yn =

= ∑ .

Respuesta

i i x y pt

n

+=∑ ∑

, con21

nnn +=

1 1 2 2 / / i in x n n y n pt

n

+=

∑ ∑

1 21

n n pt x y

n n= +

b) Suponga que 11, 1, 2,...,i x i n= = y que 20, 1, 2,...,i y i n= = . Interprete el promedio pt de todas las observaciones como una proporción (o porcentaje).RespuestaComo 21 ,,2,1,0 e ,,2,1,1 ni yni x ii

KK ==== , entonces

nn

nnn pt 121 01 =

+=

En consecuencia, pt corresponde a la proporción de “unos” en el conjunto de todas lasobservaciones.

Problema 28La distribución de frecuencia siguiente muestra los precios de 30 acciones del Dow Jones(The Wall Street Journal, 16 de enero del 2006).

Precio por acción :recuencia#(/ a */ '#*/ a )/ .#)/ a -/ .#-/ a ./ *#./ a '/ )#'/ a &/ *#&/ a %/ $

a. Calcule la desviación estándar del precio en dólares, por acción.b. Encuentre el valor de la mediana del precio por acción. Interprete en el contexto del

problemac. Grafique adecuadamente estos datos. Explique la asimetría.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 29En un estudio sobre suscriptores Business Week de Estados Unidos se recogen dato de unamuestra de 2.888 suscriptores. Cincuenta y nueve por ciento de los encuestados señalarontener un ingreso anual de 85.000 dólares o más y 40% indicaron poseer una tarjeta decrédito de American Express.

a. ¿Cuál es la población de interés en este estudio?b. ¿Es el ingreso anual una variable cualitativa o cuantitativa? ¿Por qué?c. ¿Es la posesión de una tarjeta de crédito de American Express una variable

cuantitativa o cualitativa? ¿Por qué?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Problema 30Las siguientes tablas presentan estadísticas descriptivas correspondientes a los retornos dedos acciones diferentes A y B durante los últimos 100 días.

a. Establezca la población de estudio, la variable en estudio y el tipo de variable.b. ¿En qué acción A o B conviene invertir? Presente su justificación más abajo

comentando alguna medida de tendencia central y alguna medida de dispersión.Medidas de tendencia central:Medidas de dispersión:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 31La distribución de frecuencia siguiente muestra los precios de 30 acciones del Dow Jones(The Wall Street Journal, 16 de enero del 2006).

Precio por acción :recuencia#(/ a */ '#*/ a )/ .#)/ a -/ .#-/ a ./ *#./ a '/ )#'/ a &/ *

#&/ a %/ $

a) Calcule la desviación estándar del precio en dólares, por acción.b) Encuentre el valor de la mediana del precio por acción. Interprete en el contexto del

problemac) Grafique adecuadamente estos datos. Explique la asimetría.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 32En un estudio sobre suscriptores Business Week de Estados Unidos se recogen dato de unamuestra de 2.888 suscriptores. Cincuenta y nueve por ciento de los encuestados señalarontener un ingreso anual de 85.000 dólares o más y 40% indicaron poseer una tarjeta decrédito de American Express.a) ¿Cuál es la población de interés en este estudio?



b) ¿Es el ingreso anual una variable cualitativa o cuantitativa? ¿Por qué?c) ¿Es la posesión de una tarjeta de crédito de American Express una variable

cuantitativa o cualitativa? ¿Por qué?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 33

Suponga que en un estudio se está describiendo y tratando de comparar los salarios de losobreros de la construcción de dos países. Se obtienen los resultados correspondientes:

Salarios anuales País A País BPromedio 2684 bolivares 42000 pesosDesviación estándar 650 bolivares 8900 pesos

Utilice estos resultados para concluir en qué país la dispersión de los salarios es menor.Utilice una medida estadística adecuada.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 34Una asociación de comercio busca información acerca de las utilidades mensuales en pesosde pequeñas empresas por sus ventas en local e internet. Para esto, se contó con datos de18 pequeña empresas. Se midió la utilidad mensual en millones de pesos (1 ≡ $1.000.000).Se procesaron los datos en SPSS obteniendo:

a. ¿Son las ventas en local más homogéneas que las ventas en internet?Respuesta

. = √ 6,3823,8333 100 = 65,90%

. = 15,9088,5556 100 = 46,62%

b. Usando los resultados de SPSS, calcule el promedio y la varianza de las ventas porempresa.



Respuesta

SPSS utiliza: = ∑ = ∑

Ocupando las sumas:

= ∑ !!

" = 69 # 164

18 = 12,94

c. También se obtuvo el siguiente diagrama de dispersión entre las dos variables venta delocal vs Venta por Internet.

A simple vista ¿se puede sugerir alguna relación entre las utilidades de una empresapor ventas en local o internet? ¿Por qué? RespuestaA simple vista no se puede observar exactamente alguna relación. (puedencomentar también una muy leve (baja) relación positiva)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 36 Antes de una recesión económica los precios de tres acciones transadas en la Bolsa deComercio tenían las siguientes características en USD.

Acción Valor promedio Desviación estándarAceros 180,80 13,72BankT 21,20 2,27Fish 0,08 0,01

Después de la recesión los precios de las tres acciones fueron respectivamente:

Acción PrecioAceros 160,34BankT 20,5Fish 0,04

¿Qué acción fue más afectada por la recesión? Justifique su respuesta.Respuesta



La forma de analizar el efecto de la recesión con la información disponible es hacer unacomparación relativa de la variación en el precio de una acción con su propia desviaciónestándar lo que es equivalente a una estandarización de la variación.

$ &' (')* = - /

. " /

$ &' (')* 7( & : = 160,34 180,8013,;2 < 1,49

$ &' (')* *>? = 20,50 21,202,2; < 0,31

$ &' (')* @':A = 0,04 0,080,01 < 4,00

La acción más afectada en su valor es la acción Fish porque disminuyó 4 veces su desviaciónestándar respecto al valor medio que tenía antes de la recesión (variación atípica)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 37 Los datos correspondientes a los retornos de dos acciones diferentes (A y B) durante 100son analizados descriptivamente en SPSS. Estos resultados se muestran a continuación:

a. Establezca la población de estudio, la variable en estudio y el tipo de variable.b. Si el riesgo es medido por la variabilidad de los retornos, mas heterogéneos los datos

mayor riesgo ¿En qué acción hay menor riesgo? Justifique usando una medida relativade dispersión.

c. Determine la asimetría de los datos en cada una de las muestras. Justifique surespuesta.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 38 Los salarios (u.m) de un grupo de 74 empleados hombres y 46 empleados mujeres seanalizan en estudio hecho por una revista importante. Son procesados en SPSS, losresultados gráficos, se muestran a continuación:



a. Son verdaderas o falas las siguientes afirmaciones:El cuartil 1 de los salarios de los hombres es mayor en las mujeres …………………..La mediana en las mujeres es menor en los hombres …………………..Mayor dispersión se puede observar en los salarios de los hombres …………………..El salario más alto de los hombres es 90 unidades monetarias ..………………...

b. Si los salarios versus edad son graficados mediante un diagrama de dispersión:

¿Qué puede concluir de la forma y el grado de la relación?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Recopilado por José Tapia CaroDocente de la Facultad de Ingeniería y CienciasUniversidad Adolfo Ibañez

1 pruebas anteriores estadística descriptiva (2)

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