1 PORTICOS ESTTICAMENTE DETERMINADOS1.1 DefinicinPorticos se puede definir como un conjunto de elementos estructurales unidos en sus extremos mediante juntas rigidas o pernos, ademas se cumple que los ejes de las vigas no esta alineado.Introduccin

Prtico es un sistema estructural de una sola planta con uno o varios vanos y constituido por barras rectas (vigas y pilares)

Viga: dintel

Pilar

Prtico doble empotradoTraslacionalHiperesttico!

Apoyos

2 vanos

Prtico simple ArticuladoIntraslacionalHiperesttico!

Prtico simple Articulado con vigas inclinadas Traslacional

Hiptesis de clculo.-

Los desplazamientos son muy pequeos respecto a las dimensiones de las barras del prtico (la geometra no cambia). El acortamiento de las barras debido a las flexiones es un infinitsimo de 2ordencomparado con otras deformaciones Es aplicable el principio de superposicin porque bajo cualquiera de las cargas el comportamiento es elstico-lineal. El efecto del esfuerzo cortante en los desplazamientos y giros es despreciable. El efecto de la deformacin axial es despreciable para los prticos que, por definicin, tienen un solo nivel.Equilibrio de nudos.-

barra i

Ni=Qj

Qi=Ni Mi=Mj

Qj=Ni Mj=Mi Nj = Qibarra j

Prticos isostticosPrticos biapoyados atirantados.-

La figura representa una estructura tipo prtico en la cual los nodos de los apoyos estn, a su vez, unidos entre s mediante un tirante, elemento que, por definicin, solo trabaja a traccin. Considrese el caso de una estructura como la mostrada en la figura:

P L

UA

Para analizar esta estructura, se retira de ella el tirante sustituyndolo por su efecto sobre la misma: es decir, por dos fuerzas F iguales y opuestas. La condicin obvia de compatibilidad es que el movimiento relativo entre los nodos de apoyo ha de ser igual al alargamiento del tirante sometido a las fuerzas F de traccin, alargamiento UA que est relacionado con la fuerza actuante mediante la expresin

F = E * UAL

P L

F F

FF

Para aplicar el Teorema de Reciprocidad se consideran dos estados: uno el estado real de cargas y otro un estado, denominado ficticio, en el que las cargas son dos fuerzas unidad, iguales y opuestas, actuando en los puntos A y B, tal como se indica en la figura.

PC L DCD

B FF B11A

ESTADO I (Real)ESTADO II (Ficticio)

mtodo del prtico: Mtodo para el anlisis de un armazn de muchos pisos de altura basado en la hiptesis de que se produzca un punto de inflexin en el punto central de todas las barras, y que la estructura acta como una serie de prticos independientes para los que las fuerzas laterales, que actan sobre cada nivel, se distribuyen de forma proporcional a la superficie de suelo que soporta cada elemento estructural1.2 Grado estticoSe define como grados de libertad el nmero mnimo de parmetros necesarios para describir de manera nica la figura deformada de la estructura. Estos parmetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los nudos de la estructura. Para el anlisis de estructuras podemos usar dos mtodos que varan de acuerdo con las incgnitas a resolver, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se encuentran deformaciones. En este curso solo analizremos estructuras reticulares donde un elemento queda totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus extremos ( mtodo de las deformaciones) o las fuerzas y momentos de sus extremos (mtodo de las fuerzas). Para estructuras estticamente determinadas el mtodo de las fuerzas resulta mas apropiado ya que las fuerzas como incgnitas quedaran resueltas al aplicar las ecuaciones estticas. En el caso de tener estructuras con grados de hiperestticidad altos resulta mas ventajoso usar el mtodo de las deformaciones, debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que nmero de fuerzas por determinar. En estos casos el grado de indeterminacin se mide por el nmero de grados de libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) y se denomina indeterminacin cinemtica de la estructura. Para un elemento tipo viga sin ninguna restriccin tendramos 6 grados de libertad libres, tres en cada extremo:

Si la viga se le colocan apoyos de tal manera que queda estticamente determinada y estable ella quedara con un grado de indeterminacin cinemtica de 3.

1.3 Estabilidad geomtricason instalaciones formadas por elementos prefabricados especficos, ligeros, mnimos, sencillos, resistentes y manejables para que al montarlos, con facilidad y rapidez, encajen a la perfeccin y doten al conjunto de una estabilidad y resistencia ptimas.Se trata de una sucesin de prticos paralelos de perfiles de aluminio extrusionado sobre placas de acero galvanizado ancladas al terreno.Algunos de estos prticos se arriostran con barras de acero galvanizado en diagonal y/o cables de acero en forma de cruces de San Andrs, tanto en los techos como en las fachadas, para tensar el conjunto y garantizar su estabilidad.La situacin de estos arriostraminetos depende de las dimensiones de la nave y es invariable, lo que muchas veces ocasiona un problema al coincidir con circulaciones o pasos previstos para el funcionamiento de la actividad que se desarrolle.Para solucionar esta coincidencia tan habitual existen los Prticos de estabilidad. Un refuerzo estructural de los 2 pilares entre los que hay el arriostramiento de fachada a sustituir, que consiste en introducir un perfil de hierro dentro de cada pilar hueco de aluminio y unirlos con una viga, tambin de hierro galvanizado, liberando as el espacio entre pilares.As vemos como una instalacin aparentemente rgida en su configuracin y distribucin es capaz de flexibilizarse con un sencillo recurso.1.4 Reacciones en los apoyosLos apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analticamente estas reacciones representan las incgnitas de un problema matemtico.Reacciones formada por una fuerza de direccin conocidaLos apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una direccin. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incgnita, que consiste en la magnitud de la reaccin y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la direccin conocida.Reacciones formada por una fuerza de direccin desconocidaLos apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslacin del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la rotacin del cuerpo alrededor de la conexin. En las reacciones de este grupo intervienen dos incgnitas que se representan generalmente por sus componentes x e y.Reacciones formada por una fuerza y un parEstas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizndolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incgnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par.Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinacin. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicar si la suposicin fue conecta o no1.5 prticos simples y compuestos

Bajo cargas simtricas no sufren desplazamientos horizontales. Si est sometido a una carga no simtrica puede desglosarse en lasuperposicin de un sistema simtrico y uno antimtrico.

PP/2

HH/2=

P/2

P/2

H/2+H/2

P/2

En el caso de cargas simtricas...Si el nmero de vanos es par

PPP

P/2

El nudo situado en el eje de simetra puede considerarse empotrado, siendo suficiente estudiar la parte de prtico a un lado del eje de simetra.Si el nmero de vanos es impar

PPP

M

U(M)(M)

Se estudia solamente la parte de prtico situado a un lado del eje de simetra, atribuyendo a los puntos de la estructura que estn en el eje giros y desplazamientos horizontales nulos.

En el caso de cargas antimtricas...

se estudia solamente una mitad del prtico, impidiendo al punto A el desplazamiento vertical y aplicando en este punto un momento M y una fuerza M/h de modo que el movimiento de A sea igual al que tiene A como extremo superior del pilar central sometido a un momento 2M; si el pilar central est empotrado:

1.5 Fuerzas internasIntroduccin

Hasta ahora se ha estudiado la parte del anlisis estructural denominada mecnica donde se determina la resultante y se averigua si esta en equilibrio o no. Si la resultante es nula el cuerpo esta en equilibrio esttico, condicin general de las estructuras; si la resultante es diferente de cero, se suman las fuerzas inerciales para obtener un equilibrio dinmico.

Por otra parte la rama denominada resistencia de materiales, establece las relaciones entre las cargas aplicadas y los efectos en el interior de los elementos estructurales1 partiendo de los principios de la mecnica.

Definicin

Para estudiar los efectos de las cargas aplicadas, es necesario conocer la magnitud de las fuerzas internas. Las fuerzas internas son las que estn en el interior de los elementos y son las que mantienen unidas todas las partes del cuerpo (Beer y Johnston, 1979; Singer y Pytel, 1982,).

Formas de estudio

La forma de obtener las fuerzas internas representa de forma global el procedimiento tpico del anlisis estructural, importante tener siempre en cuenta para cualquier estudio de un sistema estructural.

Primero se asla el elemento o miembro de una disposicin particular de elementos estructurales. Sobre este se indica todas las fuerzas aplicadas y reacciones que actan sobre l2. Esta indicacin de fuerzas se denomina diagrama de cuerpo libre del elemento.

Figura 1. Plano de corte perpendicular (Nota: Segn Resistencia de materiales. (p. 2), por Singer, F. y Pytel, A.1982. Mxico, D.F., Mxico: Harla, s.a. de c.v.)

1 Estos efectos en los elementos estructurales son los esfuerzos y las deformaciones que producen las cargas.2 Las reacciones se determinan por aplicacin de las ecuaciones de la esttica. En problemas hiperestticos, las ecuaciones de la esttica se complementa con consideraciones cinemticas.

En el punto en que se desee la magnitud del esfuerzo se hace pasar un plano de corte perpendicular al eje del cuerpo, y parte de ste, a uno u otro lado de la seccin, se separa completamente (vase Figura 1).

En la seccin que se investiga se determina el sistema de fuerzas internas necesario para mantener en equilibrio la parte aislada del elemento.

Una vez resuelto en forma apropiada el sistema de fuerzas que acta en la seccin, las frmulas establecidas permitirn determinar los esfuerzos en la seccin considerada.

Si se sabe la magnitud del esfuerzo mximo en una seccin, se podr especificar el material apropiado para ella; o, recprocamente, si se conocen las propiedades fsicas de un material, es posible seleccionar un elemento del tamao adecuado.

En algunos otros problemas, el conocimiento de la deformacin en una seccin arbitraria de un elemento, originada por las fuerzas internas, permitir predecir la deformacin de la estructura en conjunto y, por tanto, si fuera necesario, disear elementos que no se flexionen o comben excesivamente. (Popov, 1996)

Planos de estudio

El efecto interno depende de la eleccin y orientacin de la seccin a estudiar. En general se estudia el planoXY donde desaparecen tres componentes y queda P, V, M.

Si se orienta un plano de forma tal que se elimine el corte y la resultante sea perpendicular al plano, el efecto de tensin obtenido es el mximo; esta fuerza es la que en resistencia de materiales se estudia para que la estructura resista los efectos internos mximos a cualquier combinacin de cargas. Conseguir esta orientacin del plano es difcil de lograr, por lo tanto se analizan en planos colocados en la perpendicular al eje del elemento en cualquier seccin (Singer y Pytel, 1982).

Notacin y componentes

El primer subndice indica el plano sobre la que acta la fuerza y el segundo la direccin de cada una.

Figura 2. Componentes de fuerzas internas (Nota: Segn Resistencia de materiales. (p. 3), por Singer, F. yPytel, A. 1982. Mxico, D.F., Mxico: Harla, S.A. de C.V.)

Las componentes segn el esquema de la Figura 2 son:

Fuerza Axial (Pxx): realiza la accin de tirar y se representa por la fuerza de traccin (tendencia al alargamiento) y de compresin (tendencia a acortarlo). Se simboliza por P (vase Figura 2 y 3).

PPPP

(a)(b) Figura 3. Efecto de traccin (a) y compresin (b).

Fuerza Cortante (Pxy, Pxz): realiza la accin de deslizamiento de una porcin de la seccin respecto a la otra. Se simboliza por V (vase Figura 2 y 4).

V

VFigura 4. Fuerza cortante.

Momento flector (Mxy, Mxz): realiza la accin de curvar el cuerpo o flexionarlo respecto a los ejes Y o Z. Se simboliza por My o Mz (vase Figura 2 y 5).

MM

Figura 5. Momento de flexin.

Momento torsor (Mxx): realiza la torsin sobre el slido (vase Figura 2 y 6). Se simboliza por T o Mt (Singer y Pytel, 1982).

T

Figura 6. Momento de torsin

1.6 Diagrama de fuerzas internasPara el diseo de los sistemas de prtico es necesario la determinacin de las fuerzas internas: momento, cortante y fuerza axial; anteriormente se mostraron los diagramas de momento y fuerza cortante de una viga y se indicaron las convenciones tpicas empleadas para el dibujo de esos diagramas. Esta determinacin de las fuerzas internas es lo que se ha llamado tradicionalmente el anlisis de una estructura. Para el anlisis de un prtico es necesario hacer algunas simplificaciones a la estructura real. Un prtico tiene no solo dimensiones longitudinales, sino transversales, como el ancho y la altura de la seccin transversal y estos valores influyen en el anlisis de la estructura; sin embargo la determinacin difinitiva de las dimensiones de los elementos es el objetivo final del denominado diseo estructural. Este crculo vicioso lo rompe el diseador suponiendo inicialmente unas dimensiones, de acuerdo al tipo de estructura y a su conocimienmto basado en la experiencia que ha tenido con esas estructuras. Una vez supuestas unas dimensiones, el anlisis se hace con modelos matemticos pertinentes, previas algunas simplificaciones. La simplificacin ms comn, es analizar una estructura de dimensiones tericas en que los elementos no tienen secciones fisicas, sino parmetros asociados a ellas como el rea, el momento de inercia. Segn se muestra en la figura 6.11, la estructura terica para el anlisis es la punteada que corresponde a una idealizacin por el eje neutro de los elementos. El estudiante debe entonces distinguir claramente la diferencia entre la longitud real de la viga, la longitud libre y la longitud terica, que usa en los modelos matemticos empleados para el anlisis de la estructura.Al hacer esta idealizacin, secciones diferentes en la estructura como son el extremo de la viga y el extremo de la columna se juntan en un punto: el nudo rgido terico (ver figura). Esto produce dificultades al estudiante, para aplicar las condiciones de equilibrio de los elementos, pero que no son insuperables y que la gua del profesor y el estudio personal, le permitirn sobrepasar con xito.

Figura 6.11: diferencia entre luz libre y luz de clculo (terica)El conocimiento de las metodologas para dibujar los diagramas en los prticos es importante para que el estudiante pueda entender cmo se afecta el diseo no solo por la magnitud y posicin de las cargas, sino por las variaciones en las dimensiones de lassecciones transversales y vaya obteniendo criterios cualitativos y sentido de las magnitudes que le permitan criticar y usar de modo seguro la informacin obtenida mediante los modernos programas de computador; stos le permiten obtener rpida y eficientemente no solo las variaciones, sino los valores mximos y mnimos, que se emplearn posteriormente en el diseo de los elementos de las estructuras, que tambin ser hecho por programas de computador adicionales.Teniendo en cuenta que los prticos tienen elementos horizontales y verticales (en el caso de prticos rectangulares) es necesario definir algunas convenciones adicionales a las planteadas en las vigas, para evitar equvocos.

Figura 6.12: convenciones de las fuerzas internasSe usar como elemento auxiliar la denominada fibra positiva, que se dibuja grficamente en la parte inferior de las vigas y en el interior de los prticos, con el fin de evitar las confusiones comunes al manejar ecuaciones de equilibrio, segn se mostr en el caso de las vigas. Tambin aqu y en el resto del texto se dibujarn los momentos del lado de la fibra a tensin. Esta convencin, que no es universal, sobre todo en los textos de origen, se adopta con el fin de facilitarle al estudiante el diseo en concreto reforzado, en el cual se coloca el refuerzo del lado de tensin. En el tema adicional se presenta un ejemplo en el cual se muestra el proceso para obtener las fuerzas internas en un prtico y dibujar los diagramas de momento flector y cortante.

Figura 6.13: comparacin entre prticos estables e inestablesUna consideracin necesaria para el uso de un prtico en una construccin es garantizar su estabilidad bajo las cargas a que estar sometido; se debe tener una idea de la tipologa de su comportamiento (segn se mostr en figura anterior) y de cmo mejorar esa estabilidad en el caso de que no se tenga. En la figura se muestran algunos ejemplos de inestabilidad y cmo superarla.

1.7 Elementos, apoyos y cargas inclinadasCuando se modela una estructura se deben hacer definiciones a priori, es decir antes del anlisis de la misma. Estas definiciones incluyen la geometra, el tipo de material y las cargas actuantes. La definicin de la geometra incluye el especificar en cuales puntos y en qu grados de libertad (cada punto posee 6 grados de libertad) se conoce el valor del desplazamiento.DEFINICION: se llama APOYO a todo punto en el cual SE CONOCE el valor que toma uno o ms de sus grados de libertad. Atendiendo a la observacin 2 anterior tambin se puede decir que se llama apoyo a todo punto de desplazamiento conocido. Este valor puede ser nulo o distinto de cero. Cuando el valor es distinto de cero se dice que el apoyo tiene un DESPLAZAMIENTO PREFIJADO.Al especificar las condiciones a priori, deben tenerse en cuenta las siguientes consideraciones: En todo punto de una estructura, se conoce el desplazamiento o se conoce lacarga. Si se conoce el desplazamiento (apoyo) no se conoce la carga (reaccinde apoyo). Si en un punto no se conoce el desplazamiento, entonces se conocela carga (esta puede ser nula o no). Una estructura est isostticamente apoyada cuando se han impedido todos sus desplazamientos de cuerpo rgido y no ms que estos. Si la estructura es espacial, debern restringirse 6 grados de libertad. Si es un prtico plano o un emparrillado plano debern restringirse 3 grados de libertad. Ms adelante se tratan este tipo de estructuras con mayor detalle.

En la Tabla 1.3 se muestran algunos apoyos.En la Tabla 1.3 no se han incluido los denominados apoyos elsticos (resortes). Estos pueden restringir la traslacin o la rotacin de un punto de la estructura. Se entiende por apoyo elstico un punto donde el desplazamiento depende de la magnitud de la fuerza o reaccin.Los que restringen la traslacin, tienen asociada una fuerza (F = k u) cuya direccin coincide con el eje del resorte y es proporcional, a travs de su rigidez, al desplazamiento del extremo libre del resorte. Por lo tanto, desde el punto de vista de la estructura los resortes se comportan como los apoyos de 1ra especie, es decir representan una fuerza incgnita segn la direccin del resorte. En realidad, lo que se representa, es la fuerza interna que aparece o reemplaza la accin del resorte sobre la estructura. Si el resorte restringe la rotacin, lo har respecto de un eje, y en consecuencia el giro segn ese eje debe considerarse como incgnita. Desde el punto de vista de la estructura debe aplicarse un momento incgnita segn la direccin (dada por el vector que representa al giro que se rigidiza) en que acta el resorte. En este caso el momento es proporcional al giro (M = k_ _) :

2 CABLES

2.1 DefinicinPor su simplicidad, versatilidad, resistencia y economa, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniera. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino tambin los pequeos construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrcolas en los cultivos, los sistemas de interconexin elctrica, los cables para postensado en una obra de hormign, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de traccin, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexin se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresin se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometra que l adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a traccin del elemento.El tipo de geometra que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyeccin horizontal, adquieren una forma parablica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicacin de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este ltimo caso es el de las redes de energa. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parbola.Para el anlisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su longitud los esfuerzos solo sern axiales de traccin y siempre tangenciales a la curva del cable.

La forma de la catenaria se puede suponer parablica siempre y cuando sea pequea. (Qu tan pequea?, se justifica hacer un estudio de la flecha en funcin de la longitud cuando un cable est sometido a carga uniforme en proyeccin horizontal y compararla con la flecha para peso propio para poder sacar un lmite en esta relacin).

2.2 Partes de un cableDentro de una estructura flexible se puede distinguir las siguientes partes:

A-B: puntos de arranque del cableL: luz(distancia horizontal (m))f: flecha (distancia vertical, punto medio entre Ay B en (m))Angulo de inclinacin entre los puntos los puntos A y B

2.3 Funicularidad de las cargasLos cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometra tal que en cada punto de aplicacin de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable depender de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicacin.

Por qu se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con cables?Siempre la reaccin ser contraria a la accin ejercida por el cable, ley de accin y reaccin, por lo tanto solo se ejercern fuerzas, no momentos, en la misma direccin del ltimo tramo de los cables. Con la articulacin como apoyo se asegura que la reaccin tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su direccin.Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendramos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incgnitas. Note que la direccin de las reacciones depende de la geometra del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.

Si en el cable analizado, sus dos apoyos estn al mismo nivel, se puede solucionar el anlisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuacin que resulta de la geometra del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podra determinar la direccin de una de las reacciones y as la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuacin sera: y en ese caso las componentes de las fuerzas de reaccin se expresan en funcin de .

Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha.En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable aplicando el mtodo de los nudos, considerando cada punto de aplicacin de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el mtodo de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la reaccin. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo. A continuacin se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el mtodo de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incgnita por averiguar que corresponde a la traccin de este.

Se deja al lector efectuar este clculo por nudos.Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en funcin de la distancia vertical entre el cable y la lnea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha:

Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.

(Ecuacin 1)Cortando por m y realizando equilibrio en la seccin izquierda:

Donde representa los momentos de las cargas externas con respecto al punto m.Despejando Ay*X (Ecuacin 2)Igualando la ecuacin 1 por X con la ecuacin 2:

Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el extremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuacin no estn involucradas las reacciones verticales, solo las cargas externas.Esta ecuacin relaciona la componente horizontal de la tensin, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensin por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que acta en esa seccin si se considera el cable como una viga simplemente apoyada.En el caso de que el apoyo en B est por encima del apoyo A, la ecuacin

se conserva. (Realice equilibrio y despeje)

Para despejar H o Ym de esta relacin se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseo de estructuras con cables, el diseador tiene la opcin de fijar la flecha deseada o fijar la componente horizontal de la tensin, la cual permanece constante en toda la longitud.

EJERCICIO(Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posicin mostrada. Calcule tambin la flecha YB y la tensin mxima del cable.

Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones mximas sern aquellas cuya componente vertical sea mxima, esta se presentar siempre en los apoyos.Como una de las incgnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal.Aplicando el mtodo de los nudos podemos despejar Ay :Equilibrio en el nudo B

por equilibrio en A, TBAy=Ay=4kNsi tomamos momentos en C podemos expresar Ax en funcin de Ay conocida:

Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P:

Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal:Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E:

Aplicando de nuevo la ecuacin del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto:

La tensin mxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendr mayor reaccin que el apoyo A, por qu?

2.4 Teorema del cable

2.5 Cargas concentradas y distribuidasSe considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyeccin horizontal, caso de cables cuya relacin flecha/longitud es pequea. La forma que adquiere el cable es el de una parbola cuyo vrtice representa el punto mas bajo de este.Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parbola en el centro o considerarlo desde un extremo.

1. Desde el centro

Se encuentra la componente horizontal de la tensin en funcin de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en funcin de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:

Esta ecuacin define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posicin x, note que la ecuacin corresponde a una parbola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha mxima en C y considerando la simetra tenemos:, en esta ecuacin podemos observar que el momento mximo ejercido por la componente horizontal de la tensin en uno de los apoyos corresponde al momento mximo de una viga simplemente apoyada.Para encontrar el valor de la tensin en un punto determinado aplicamos equilibrio a la seccin indicada:

El ngulo de inclinacin del cable en cualquier punto es:

La tensin mxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

La tensin mnima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensin, H.

b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:

Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m:

Igualando Ay y despejando la H*ym

Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x est medida desde el extremo izquierdo.Para xm=L/2

Que corresponde al valor del momento mximo desarrollado en una viga horizontal con la misma carga w.La ecuacin que define la forma del cable es una parbola con origen en el extremo izquierdo:

Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en funcin de H, se deriva e iguala a cero:

Constituye la tangente en cualquier punto del cable

Para dy/dx=0 Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym.

Longitud del cable necesaria:

Expresando una longitud diferencial de cable en funcin de dx y dy tenemos:

Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:

Se conoce la expresin dy/dx

Reemplazando:

Integrando esta funcin se puede obtener la longitud del cable.

En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es:

dxHaciendo una sustitucin de variables:

, donde X es el valor de la proyeccin horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero.

En el libro Mecnica vectorial para ingenieros, esttica de Beer, Johnston y Eisenberg se plantea otra solucin para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solucin est en trminos de la flecha mxima y la distancia X desde el punto de flecha mxima a uno de los apoyos.

Ejemplo:

Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura mxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia ltima a traccin de 1800N/mm2, determinar el dimetro del cable mnimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable.Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podra determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por rea transversal y grafique versus altura del piln.

En este caso se pide tener una geometra tal del cable que produzca la mnima tensin posible. Las componentes verticales son mximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometra del cable.La componente horizontal de la tensin vara con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensin mnima se consigue con una flecha igual a la mxima posible, en este caso 30 metros.Reacciones verticales:

Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una seccin de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensin:

rea de cable mnima:

2.6 Peso propiosd2.7 CatenariaVamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compaas elctricas para llevar la corriente de alta tensin entre las centrales elctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Fsica y en las Matemticas.La curva que describe un cable que est fijo por sus dos extremos y no est sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundi al principio con la parbola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultneamente con Leibniz y Huygens.Formulacin discretaSea una cadena de bolitas metlicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estar, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.La condicin de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensin del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.Tx=Tcos0= Tcosi= Tcosi+1 =TcosN+1Dividiendo la segunda ecuacin por Tx tenemos la siguiente relacin entre el ngulo i y el ngulo i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensin del hilo, le denominaremos parmetro . La relacin de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

Catenaria simtricaConsideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que estn situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actan sobre una porcin s de cable que tiene como extremo el punto ms bajo A: el peso, la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s. La condicin de equilibrio se escribeTcos =T0Tsen = gsO bien,

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2 (1)Integrando esta ecuacin, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto ms bajo A de la curva) dy/dx=0.

Integrando de nuevo, con la condicin de que para x=a/2, y=-h.

Como la catenaria es simtrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

La ecuacin de la catenaria es, finalmente (2)La longitud de la catenaria es (3)Las figuras, son una superposicin de las imgenes generadas por los dos applets de esta pgina que muestran como la aproximacin discreta y continua coinciden cuando el parmetro es grande y difieren cuando es pequeo. El parmetro =mg/Tx es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensin del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

Ejemplo

En la figura, se muestra una catenaria simtrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria 1. Se resuelve la ecuacin trascendente (3)

2. Se representa la catenaria

3. Se calcula el mnimo o la "flecha" h

Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numrico la ecuacin trascendente, cuya solucin es =4.354, y a continuacin calculamos h=0.4Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos =1.478, y h=0.272.8 Ecuaciones fundamentalesSe lleva a cabo la deduccin paso a paso (en el texto consultado no se lleva a cabo as) del clculo de la curva, flecha, tensin y longitud de un cable parablico (el cual segn se demuestra forma una parbola con el eje vertical), que soporta una carga uniformemente repartida sobre su proyeccin horizontal, como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy tirantes, con su flecha muy pequea en comparacin con su luz, como, los de las lneas elctricas. Esta explicacin es til en la imparticin de materias tales como: Esttica, Diseo Mecnico, Instalaciones Mecnicas y Lneas de Transmisin, de la carrera de Ingeniero Mecnico electricista.DESARROLLO DEL TEMAConsideremos un cable que est suspendido entre dos puntos y soporta una carga que est uniformemente repartida sobre la proyeccin horizontal de la curva funicular (segn se ve en la figura siguiente), este cable adopta la forma de una parbola. Deduciremos las ecuaciones que nos dan la curva, la flecha, la tensin en los puntos de apoyo y la longitud del cable parablico, considerando que los puntos de los que est suspendido el mismo se, se hallan en el mismo plano horizontal.El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que soporta una carga que muy aproximadamente est uniformemente repartida en la direccin horizontal, ya que el peso del tablero est uniformemente repartido en esa direccin, y los pesos del cable y tirantes son pequeos en comparacin con el de aquel; y por lo tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequea en comparacin con la, luz) que no soporta una carga mas que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una lnea elctrica de transmisin, un alambre de telgrafo, etc.

En este caso la carga soportada por el cable (su peso) est repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es pequea, la proyeccin horizontal de un arco de curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por consiguiente la carga est con bastante aproximacin uniformemente repartida en la direccin horizontal.Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuacin de la curva asumida por el cable (la parbola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la tensin (T), etc. Con objeto de determinar la ecuacin de la parbola consideramos una parte AB del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen de coordenadas el punto ms bajo del cable A, y la tensin en este punto la designaremos por H. La tensin en un punto cualquiera B la designaremos por T. Esto supuesto, la porcin de cable AB est en equilibrio bajo la accin de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que acta en el punto medio D de la distancia entre A y C. Puesto que esas tres fuerzas estn en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consiguiente, la lnea de accin de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio son:FX = T cos - H = 0, ... (1)Fy = T sen - wx = 0 (2)Eliminando T en (1) y (2) tenemos:De (1) T= ..(3)De (2) T=..(4)Igualando (3) y (4)= Tan = ..(5)Pero de la figura Tan =Tan =(6)Luego, igualando 5 y 6=y = ..(7) ECUACIN DE LA CURVALa curva es, pues, una parbola con el vrtice en A y eje vertical.Eliminando de (1) y (2), tenemosDe 1) T Cos = H T2 Cos2 = H2 ..8)

De 2) T Sen = wx T2 Sen2 = w2x2.9)Sumando 8) y 9) tenemosT2Cos2 + T2Sen2 = H2+w2x2T2(Sen2+Cos2d) = H2+w2x2T= .(10)Al aplicar las ecuaciones que antecedente lo que nos interesa es la tensin en el punto de apoyo, por ser en este punto donde la tensin es mxima. Por consiguiente, si designamos por a la luz y por f el valor mximo de y (esto es, la flecha) de las ecuaciones (3) y (4) se deduce:Sustituyendo en (7) x = y y por f tenemosf = f = (11)En la ecuacin 10, sustituyendo x por a/2 , la tensin en el punto de apoyo "T" serT=.(12) Tensin en el punto de apoyoSustituyendo 11) en 12)T = T = T = .. (13) Tensin mxima en funcin de datos fcilmente medibles en el campo como son "a" y "f"Determinaremos ahora la longitud del cable en funcin de la luz a y de la flecha f.La longitud de un arco de una curva cualquiera, se obtiene por medio de la ecuacin.s = De la ecuacin 7)y= =

Por consiguiente, si designamos por "l" la longitud del cable, tenemos:l = 2La expresin exacta de l, obtenida de esta integral, contiene una funcin logartmica la cual es de difcil aplicacin. Puede obtenerse una expresin ms sencilla desarrollando la expresin contenida bajo el signo integral, la cual es de la forma

Para nuestro caso:= = 1 + - +.Sustituyendo H4 = y H2 = En la expresin anterior tenemos:l: 2l: 2l: 2l: 2l: a + l: a + l: aLa serie converge para valores de menores de 0.5; en la mayora de los casos, la relacin es mucho ms pequea y solo es necesario calcular los dos primeros trminos de la serie.

2.9 Traccin mximads2.10 Aplicaciones