1° pc ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES 2012

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

(FIEE)

CURSO: Ecuaciones Diferenciales PROFESOR: Castro Vidal Raúl Pedro INTEGRANTES DE GRUPO:

Camilo Alegre, Ziller Pinedo Castillo, Ernesto Ramírez Uyeno, Alberto León Piñares, Lindo Rafaile Solano, Wilmán


PROBLEMA 1: Resuelva los siguientes problemas


PROBLEMA 2:

Un reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial, Ao, de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente.

Resolución:

Sea X (t) la cantidad del material del isótopo restante después de un tiempo t. Además siendo A0 la cantidad del isotopo inicial; entonces X (0) = A0; por otro

lado dxdt es la velocidad a la que se desintegra el isotopo en un tiempo t.

Así el problema queda formulado de la siguiente ecuación diferencial.

dxdt = kx ………………………… (Ecuación 1)

Dónde: k es la constante de proporcionalidad junto con las condiciones.


La ecuación 1 es una E.D lineal homogénea cuya solución es una ecuación diferencial de variable separable cuya solución es:

X (t) = cekt ………………………… (Ecuación 2)

Hay otra condición que en 15 años el isotopo se desintegra un 0.043 % de la cantidad inicial; entonces:

X (15) =A0(0.99957)

Usaremos la condiciónX (0) = A0, para encontrar C.

X (0) = cek (0 )

A0=C

La ecuación 2 quedara:

X (t) = A0 ekt ………………………… (Ecuación 3)

Para hallar k nos valdremos de la condición X (15) =A0(0.99957). Ahora trabajaremos en la ecuación 3:

X (15) = A0 ek 15

A0(0.99957). = A0 ek 15

Ln (0.99957) = ln (ek 15)

ln(0.99957)15

= K

K = -2.8672 x 10−5

La ecuación 3 quedara así:

X (t) = A0 et (−2.8672 x10−5 ) ……………………… (Ecuación 4)

La vida media o periodo medio de una sustancia es el tiempo necesario para que se desintegre a la mitad de átomos de esa sustancia.


X (Tmedio ) = A0

2

En la ecuación 4:

X (Tmedio ) = A0 eTmedio (−2.8672 x10

−5 )

A0

2 = A0 e

Tmedio (−2.8672 x10−5 )

Ln (12) = Ln (eTmedio (−2.8672 x10

−5 ))

ln(12)

−2.8672x 10−5 = T medio

T medio = 24175.05 años

PROBLEMA 3:

Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm3 y que inyectan 1 cm3/min. De agua destilada con 0.3 mgr/cm3 de concentración de medicamentos. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia de medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0.05 mgr/ cm3?

Resolución:

Si designamos por x(t) la cantidad de medicamentos presente en el órgano en el instante t, tenemos x(0) = 0 y nuestra ecuación es:


x = 0.3 −x150

Tenemos entonces la ecuación lineal:

x −x150 = 0.3

Cuya solución es:

x (t )=45−45e−t150

Queremos encontrar t tal que: x( t)150

=0.05= 5100

Entonces:

x ( t )=7510

=7.5 => 45−45e−t150 = 7.5

=> e−t150=¿

37.545

=> −1150 t = ln (

37.545 )

=>t=−150 ln(37.545 )

PROBLEMA 4:

Resuelva los siguientes problemas:

4.1 Problema 1

Un marcapasos cardiaco (fig3.24), esta formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador S esta en P, el capacitor se carga; cuando esta en Q se descarga y manda un estimulo eléctrico al corazón.


En este intervalo el voltaje E que se aplica al corazón esta determinado por dEdt

=−1RC

E,t1 <t < t2, en donde R y C son constates. Determine E(t), cuando

E(t) = 0 (Naturalmente, la abertura y cierre del interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales)

Resolución:

Separando variables:

dEdt

=−1RC

E⟹ dEE

=−1RC

dt

Integrando miembro a miembro

∫ dEE

=−1RC∫ dt⟹ LnE=−1

RC.t+K

⟹eLnE=e−1RC

.t+K

⟹ E=K 1 . e−tRC ……………………………………………( I )

Por problema de valor inicial E(t) = 0.

E (t 1 )=Eo⟹ Eo=K1 . e−t 1RC=

K1

et1RC

⟹K1=Eo . et 1RC

Reemplazando en (I)

E=Eo . et1RC . e

−tRC

∴E=Eo . e−(t−t1 )

RC


4.2Problema 2

Se utiliza un termo eléctrico de agua para calentar agua de un suministro que circula a 10° C. El nivel de calentamiento del termo se coloca al máximo mientras varias personas se duchan sucesivamente. Si, al máximo nivel, el calentador utiliza 5 Kw de electricidad por segundo, y el agua de la ducha fluye continuamente a 8 l/min ¿Cuál es la temperatura del agua que sale del calentador? Se supone que la temperatura del agua en el calentador es siempre la misma (estado estacionario) y que el calentador es 100% eficiente (esta perfectamente aislado y toda la energía se utiliza para calentar el agua).

Resolución:

Cabe recordar primero que:

Q=mc (t e−t ref )

es la cantidad de calor que hay que suministrar a un cuerpo de calor específico (o capacidad calorífica específica) c y de masa m para que su temperatura varíe de t ref at e

Nuestro recipiente de control de volumen es el termo eléctrico. El flujo de energía que entra en el calentador proviene de dos fuentes: el calor del agua de la cañería que entra en el calentador y la corriente eléctrica. El flujo de energía que sale del calentador es el causado por el agua que ha sido calentada en el mismo. Para calcular el flujo de calor aportado por el agua de la cañería fijamos una temperatura de referencia en el calentador, t ref , de modo que el calor que debe aportar el agua de la cañería para que la temperatura del agua en el termo varíe de la temperatura de entrada, t e=10℃, a t ref es Q=mc (t e−t ref ). El signo − se debe a que estamos hablando del calor que aporta el agua de la cañería al termo, la opuesta de la que deberíamos aportar al agua de la cañería para que su temperatura pasara de t e a t ref . Por lo tanto, el


flujo de energía de entrada será Q=mc (t e−t ref )+ 5Kw/s donde m˙ es el flujo de masa de agua que entra medido en unidades masa/tiempo y c el calor específico del agua, 4190J/(kgr· o C). De la misma forma el flujo de salida será el flujo de calor necesario (que aporta el calentador) para que el agua que sale pase de t refa t e. Ahora bien, la temperatura de salida es la del calentador:t e. Por lo tanto Q=mc (t e−t ref ) Finalmente estamos suponiendo que el estado del agua en el calentador es estacionario:

dQ/dt= 0. La ecuación del balance de energía queda:

0 = Q=mc (t e−t ref ) + 5Kw/s − Q=mc (t e−t ref )= Q=mc (t e−t ref ) + 5Kw/h

Se debe observar que en todo este proceso estamos haciendo una suposición muy importante: la capacidad calorífica del agua permanece constante. En general la capacidad calorífica de una sustancia puede variar con la presión y la temperatura a la que se encuentra dicha sustancia; si bien, para pequeños cambios de presión y temperatura se puede considerar constante.

De la ecuación anterior obtenemos que T = t e +5/cm˙ Ahora lo que hay que hacer es homogeneizar las unidades. Hemos descrito el valor de c en J/(kgr ℃ ); así que debemos escribir todo en este sistema de unidades:

m = pQ= 1 kgr/l · 8 l/min = 8 kgr/min (p densidad del agua).

cm˙ = (4190J/kgr ℃)(8 kgr/min )= 33520J/min ℃

5 Kw/h = (5x1000 J/seg)(60seg/ min )= 300000 J/min

Entonces:


∴T=10℃+(300000J /min)/(33520 J /min℃)=18 ,9℃

PROBLEMA 5:

Con todo el rigor y fundamento matemático demuestre que:

Sean a y b: R→Rfunciones continuas tales que a(t) ≥ c > 0 para todo t∈ Ry

limt →∞

b(t )=0.

Demuestre que todas las soluciones de la ecuación diferencial.

x '=−a (t ) x+b ( t )

Tienden a cero cuando t→∞. (Indicación: Use la regla de L’ HOSPITAL en el segundo término de la fórmula de variación de las constantes).

Solución:

Primero se resuelve la ecuación homogénea, x '=−a (t ) x, obteniendo:

x (t )=C e−∫

t 0

t

a ( s) ds, c∈R .

Variando la constante, es decir, asumiendo C=C (t) se concluye que la ecuación general de la ecuación lineal x '=−a (t ) x+b (t ) es:

x (t )=x 0e−∫

t 0

t

a ( s )ds+(∫

t 0

t

b (s ) e∫t0

t

a (t ) dtds)e

−∫t 0

t

a ( s) ds,

Donde hemos asumido x (t 0 )=x 0 con t0 y x0 arbitrarios. Se estudia en primer lugar el límite al infinito del primer término de la solución:

0≤ limt→∞

∣ x 0e−∫

t 0

t

a ( s )ds∣≤ ∣ x0 ∣ lim

t→∞e−∫

t0

t

cds

=∣ x 0 ∣ limt→∞

e−c ( t−t0 )=0

Para el segundo término obetenemos:


limt →∞

∫t0

t

b ( s )e∫t 0

t

a ( t )dtds

e∫t 0

t

a ( s )ds=lim

t →∞

b (t )e∫t 0

t

a ( s )ds

a (t)e∫t 0

t

a ( s) ds=lim

t→∞

b( t)a( t)

=0

Ya que limt →∞

b (t )=0 y ∣1

a( t)∣≤ 1

c pata todo t∈ R. Se ha utilizado la regla de L’

Hospital y el teorema fundamentla del cálculo para resolver la eventual indeterminación en el límite anterior.

Resolver:

a) (4 x3 y3+ 1x )dx+(3 x4 y2− 1

y )dy=0Resolución:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria exacta porque:

δMδy

= δNδx

=12x3 y2

Entonces se puede resolver reemplazando en la siguiente integral:

∫a

x

M (u , y )du+∫b

y

N ( a , v ) dv=C

Reemplazando:

∫a

x

(4 u3 y3+ 1u)du+∫

b

y

(3a4 v2−1v)dv=C

Integrando:

4 y3x4

4+ lnx−4 y3

a4

4−lna+3a4 y3

3−lny−3a4 b

3

3+lnb=C

Por lo tanto la solución sería:


y3 x4+lnx−lny=k

b) y '+ y= y2 (cosx−senx )

Resolución:

Primero dividimos a la ecuación entre y2:

y−2 dydx

+ y−1=cosx−senx

Esta ecuación tenemos que pasarla a una ecuación diferencial lineal, para esto hacemos un cambio de variable:

w= y−1 ;dwdx

=− y−2 dydx

;−dwdx

= y−2 dydx

Entonces:

−dwdx

+w=cosx−senx

dwdx

−w=senx−cosx

Ahora que ya es una lineal utilizamos el factor integrante:

w=e x [∫ ( senx−cosx )e− xdx+C ]

Integramos:

w=e x[−12 e− x ( senx+cosx )−12e−x ( senx−cosx )+C]

w=e x[−12 e− x(2cosx)+C ]w=−cosx+exC


Finalmente como: w= y−1

y= 1

−cosx+exC

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