1 nÚmeros reales - iesmigueldecervantes.es · en p2, el factor 2 está un número par de veces (es...
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Unidad 1. Números reales 1
Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de Z a Q
■ Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles esnecesario el conjunto de los números racionales, Q.
a) –5x = 60 b)–7x = 22 c) 2x + 1 = 15
d)6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6
Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).
Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).
El paso de Q a Á
■ Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 9 = 0 b)5x2 – 15 = 0 c) x2 – 3x – 4 = 0
d)2x2 – 5x + 1 = 0 e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0
a) x2 – 9 = 0 8 x = ±3
b) 5x2 – 15 = 0 8 x2 = 3 8 x = ±
c) x2 – 3x – 4 = 0 8 x = = =
d) 2x2 – 5x + 1 = 0 8 x = = =
e) 7x2 – 7x = 0 8 x2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2x2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –32
5 + √—17
—4
5 – √—17
—4
5 ± √—17
45 ± √25 – 8
4
4
–1
3 ± 52
3 ± √9 + 162
√3
NÚMEROS REALES1
Números irracionales
■ Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es: = . Eleva
al cuadrado y llega a una contradicción.
Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:
= 8 2 = 8 p2 = 2q2
En p2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplirla igualdad.
Suponiendo que = llegamos a una contradicción:
“p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2”.
Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.
■ Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
= 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0
F = =
Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F = .√5 + 1
2
1 + √—5
—2
1 – √—5
—(negativo)2
1 ± √1 + 42
1F – 1
F1
F – 1
F
1
√2
pq
√2
p2
q2pq
√2
√2
pq
√2√2
Unidad 1. Números reales2
Página 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:
; 5; –2; 4,5; 7,)3; – ; ; ;
2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nú-mero puede estar en más de una casilla.
Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES, N 5; √—64
ENTEROS, Z 5; –2; √—64;
3√—–27
RACIONALES, Q 5; –2; 4,5; 7,)3;
3√—–27; √
—64
REALES, Á √—3; 5; –2; 4,5; 7,
)3; –
3√—6; √
—64;
3√—–27
NO REALES √—–8
NATURALES, NENTEROS, ZRACIONALES, QREALES, ÁNO REALES
Á Q
Z N
4,5
–25
7,)3√
—3
√—–8 √
—64 = 8
–3√
—6
3√—–27 = –3
Á Q
Z N
√–83√–27√64
3√6√3
Unidad 1. Números reales 3
1UNIDAD
Página 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1) b) [4, +@) c) (3, 9] d) (–@, 0)
4. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x / –2 Ì x < 5} b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (–@, 0) « (3, +@) d) (–@, 1) « (1, +@)
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1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11| b) |π| c) |– |
d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |
g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c)
d) 0 e) |3 – π| = π – 3
f) |3 – | = 3 – g) |1 – | = – 1
h) | – | = – i) |7 – | = – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) |x| Ì 5 c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| Ì 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)
√50√50√2√3√3√2
√2√2√2√2
√5
√50√3√2√2
√2
√5
a)
c)
b)
d)0 1
0 5–2 –2 0 5 7
0 3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–1 0
0 96
0
0
4
Unidad 1. Números reales4
Página 31
1. Simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = b) =
c) = y2 d) = =
e) = = = f ) = =
2. ¿Cuál es mayor, o ?
Reducimos a índice común:
= ; =
Por tanto, es mayor .
3. Reduce a índice común:
a) y b) y
a) = ; = b) = ;
4. Simplifica:
a) ( )8b) c)
a) ( )8 = k b) = c) = x
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5. Reduce:
a) · b) · c) · · d) ·
a) · =
b) · =
c) · · =
d) · = = = 212√2512√21712√(23)3 · (22)4
12√4412√83
8√278√28√228√24
6√356√36√34
15√2815√2315√25
3√44√8
8√24√2√2
6√33√9
5√23√2
6√x63√x215√x108√k
3√(√—x )6
5√3√—x10√√
—
√—k
9√132650
9√132651
3√51
36√a1418
√a736√a1512
√a5
9√132 6503√51
18√a712√a5
4√31
12√28561
3√13
12√29791
4√31
3√134√31
√38√348√81
3√43√229√269√64
√26√236√8
5√y10
3√x212√x84√x3
12√x9
8√819√64
6√8
5√y1012√x812√x9
Unidad 1. Números reales 5
1UNIDAD
6. Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b) 6
=
c) 6
= 6
= d) 4
= 4
= 4
7. Reduce:
a) b) c) d
a) = b) 6
= =
c) 10
= = d) 4
= = 3
8. Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2
b) + –
c) + – –
d) – + +
e) –
a) 10
b) 3 + 5 – = 7
c) + – – = + – – =
= 3 + 5 – – 2 = 5
d) – + + = 3 – 5 + 2 + 2 = 5 – 3
e) – = 5 – 3 = 2√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a
√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33
√2√2√2√2√2
√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18
√2√2√2√2
√x
√18a√50a
√8√12√50√27
√8√2√50√18
√2√25 · 2√9 · 2
√x√x√x
4√34√ 36
3210√8
10√23√ 28
25
3√326√34√ 36
326√3√ 34
33
4√729
√3
5√16
√2
√93√3
3√32
√3
√ ab c
1c√ a
b c5√ a3 b5 ca2 b6 c6
6√a–1√ 1a√ a3
a4
6√a b√a3 b3
a2 b2√x–2√ 1x2√ x3
x5
4√a3 · b5 · c
√a · b3 · c3
6√a3
3√a2
√a · b3√a · b
5√x3√x
Unidad 1. Números reales6
Página 33
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i ) j )
a) =
b) = =
c) = =
d) = =
e) = = =
f) = = = =
g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = = 3√105
2 3√1010
2 3√2 · 52 · 5
23√22 · 52
23√100
3√62
3 3√66
3 3√2 · 32 · 3
33√22 · 32
33√36
3√2510
3√52
101
23√5
23√23 · 5
13√40
2 3√55
23√52
23√25
2√23
4√26
4
3√2
4
√2 · 32
4
√18
3√210
3
5√2
3
√2 · 52
3
√50
√aa2
1
a √a
1
√a3
√213
√7
√3√73
3 3√22
33√22
33√4
5√77
5
√7
23√100
33√36
13√40
23√25
4
√18
3
√50
1
√a3
7√ 3
33√4
5
√7
Unidad 1. Números reales 7
1UNIDAD
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) + + h) +
a) = = – 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f ) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
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1. Halla:
a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1
e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e –1/4
i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(
2√—x
x – y
√—x + √
—y + √
—x – √
—y
x – y
5√—3
2√2
√22
√—2 – 1
1
√—2 + 1
1√22
√630 + 12√
—6
6
18 + 12 + 12√—6
6
(3√—2 + 2√
—3 )2
18 – 12
2√—3 + √
—5
7
2√—3 + √
—5
12 – 5
2√—3 + √
—5
(2√—3 – √
—5 ) (2√
—3 + √
—5 )
x + y + 2 √—x y
x – y(√
—x + √
—y) (√
—x + √
—y)
(√—x – √
—y ) (√
—x – √
—y )
√a(a – 1) (√
—a + 1)
(a – 1)
(a – 1) (√—a + 1)
(√—a – 1) (√
—a + 1)
x√—x – x√
—y + y√
—x – y√
—y
x – y(x + y) (√
—x – √
—y )
x – y(x + y) (√
—x – √
—y )
(√—x + √
—y ) (√
—x – √
—y )
√2√
—2 – 1
2 – 1
√—2 – 1
(√—2 + 1) (√
—2 – 1)
1
√—x + √
—y
1
√—x – √
—y
1
√—2 + 1
1
√—2 – 1
1
√2
3√—2 + 2√
—3
3√—2 – 2√
—3
1
2√—3 – √
—5
√—x + √
—y
√—x – √
—y
a – 1
√—a – 1
x + y
√—x + √
—y
1
√—2 + 1
Unidad 1. Números reales8
a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2
c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1
e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 72 = 2
g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –
i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2 j) log6 = log6 6–3 = –3
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000
d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,…
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,…
c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000
4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,…
d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
–2 < log10 0,084 < –1 8 log10 0,084 = –1,…
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log9 60 < 2 8 log9 60 = 1,…
f) ln e = 1
3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200
c) log100 200 d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.
a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200
c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40log 40log 100
log 200log 100
log 200log 5
log 1500log 2
8
)1216(
14
Unidad 1. Números reales 9
1UNIDAD
4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:
a) log5 b) log5
a) log5
3
= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,27
b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1
5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5
ln y = ln 8 y =
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1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-ciones:
a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.
b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.
c) Juana gana 19 000 € al año.
a) |Error absoluto| < 0,05 m2
|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%
b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas
|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%
c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar lacantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de eu-ros”), entonces:
|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 € |E.R.| < < 0,027 = 2,7%
— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:
|E.A.| < 0,5 € |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%0,5
19 000
0,519
0,537
0,0596,4
e2x
5e2x
5
32
32
5√A3
B2
– 0,83
13
13√A2
25B
5√A3
B2
3 A2√25B
Unidad 1. Números reales10
Página 39
2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = ((8 · 105) : (2 · 10–4)) · 5 · 1011 =
= (4 · 109) · 5 · 1011 = 20 · 1020 = 2 · 1021
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 48,6 · 10–7 + 0,93 · 10–7 – 6 · 10–7 =
= 43,53 · 10–7 = 4,353 · 10–6
3. Opera con la calculadora:
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6)
b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) ≈ 5,85 · 1012
b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9 = 2,37 · 10–10
Página 41
LENGUAJE MATEMÁTICO
1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:
2. Expresa simbólicamente estas relaciones:
a) 13 es un número natural.
b) – 4 es un número entero.
c) 0,43 es un número racional.
N
M'N – M (M « N) – (M » N)
M – NM » N M « NN N
NU
N
M M M
M
M
M
Unidad 1. Números reales 11
1UNIDAD
d) π es un número real.
e) Todos los enteros son racionales.
f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales.
a) 13 é Nb) –4 é Zc) 0,43 é Qd) π é Áe) Z å Qf) [3, 4] å Á
3. Designa simbólicamente estos conjuntos:
a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza Z y el inter-valo abierto (–5, 7)).
b) Los números irracionales (utiliza Á y Q).
c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.
d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de
p se designa p•).
a) {x é Z / x é (–5, 7)}
b) Á – Qc) {x é Q / 2 < x Ì 3}
d) {x / x = 2•
o x = 3•}
4. Traduce:
a) {x éZ /x Ó – 4}
b) {x éN /x > 5}
c) {x éN /1 < x Ì 9}
d) {x éZ /–2 Ì x < 7}
a) Números enteros mayores o iguales que –4.
b) Números naturales mayores que 5.
c) Números naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.
d) Números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 7.
5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) � [0, 1]?
Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).
Unidad 1. Números reales12
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Números racionales e irracionales
1 Expresa como fracción cada decimal y opera:
0,)12 – 5,
)6 – 0,23
)+ 3,1
☛ Recuerda que 5,6)
= ; 0,23)
= .
– – + = – = –2,6)78
2 Demuestra que el producto 4,0)9 · 1,3
)9 es un decimal exacto.
☛ Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.
4,0)9 = = = 4,1 1,3
)9 = = = 1,4
4,0)9 · 1,3
)9 = 4,1 · 1,4 = 5,74
3 Calcula: a) b)
a) = = 1,)3 b) = = 0,
)6
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) y b) 0,52)6 y 0,
)526
c) 4,)89 y 2 d) –2,098 y –2,1
a) b) 0,52)6 c) 4,
)89 d) –2,098
5 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales:
0 1 DB
H
GECA
F 2 3
1
2
√2
√6
√214099
23
4√ 943
16√ 9
1,)3√ 3
√1,)7
12690
139 – 1390
36990
409 – 4090
442165
3110
2190
519
1299
23 – 290
56 – 59
PARA PRACTICAR
Unidad 1. Números reales 13
1UNIDAD
En el triángulo OAB, = 1, = 1 y = = . Por tanto, el
punto D representa a . ¿Qué números representan los puntos F y H ?
Justifica tu respuesta.
F representa , pues = = = =
H representa , pues = = =
6 ¿Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico?
a = b = c = d = –
Potencias
7 Halla sin calculadora: ( – )–2 ( – )–1+ 4
( )–2· (– )–1
+ 4 = ( )2 · (– ) + 4 = – 4 + 4 = 0
8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b)
c) d)
☛ Mira el problema resuelto número 2 c).
a) = b) = =
c) = = d) = a2 c8
b6c7 a5 ca3 b4 b2
1768
128 · 3
32 · 52 · 2–3
23 · 33 · 22 · 52
8027
24 · 533
34 · 24 · 3–2
5–1 · 3552
36 · 25 · 52
36 · 26 · 5
a–3 b–4 c7
a–5 b2 c–1152 · 8–1
63 · 102
34 · 16 · 9–1
5–1 · 3536 · 25 · 52
93 · 43 · 5
94
43
49
34
79
13
34
32
17
57
47
27
m es un segmentocualquiera
m
m
mm
mm
mm
a b cd
10
√6√(√—5 )2 + 12OGOH√6
√3√(√—2 )2 + 12√—OD2 + —DC 2OCOF√3
√2
√2√12 + 12OAABOB
Unidad 1. Números reales14
1
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:
a) · b) c)
a) a2/5 · a1/2 = a9/10 =
b) = x1/6 =
c) a–3/4 =
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c)
d) e) f)
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1
11 Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (–32)1/5 c) ( )4
a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 · · (– )3b) (– )4
· ( )–1·
c) d)
a) 22 · · = =
b) · · = =
c) = = =
d) = – = –3400
352 · 24
32 · 52
–2 · 3 · 5 · 23 · 53
18125
2 · 32
5353 · 29 · 34
32 · 52 · 28 · 54(–5)3 · (–23)3 · (–32)2
32 · 52 · (22 · 5)4
9256
32
28123
32
2124
–92
–32
2(–3)3
2313
(–30)–1 · 152
103(–5)3 (–8)3 (–9)2
152 · 204
18
29
12
32
13
8√21
√2
3√0,133√21212√ 1
4
4√543√735√25
3√0,0013√84√0,25
4√6253√343
5√32
4√a–3
6√xx2/3
x1/2
10√a9
14√—a3
3√—x2
√—x
√a5√a2
Unidad 1. Números reales 15
1UNIDAD
13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a)
b) 161/4 · ·
a) = a–7/4 =
b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto enlas falsas:
a) = 1 b) (3–2)–3 ( )2= 1
c) = d) ( )–2– (–3)–2 =
a) Falsa. =
b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )2 = 36 · ( )2 = 36 · = = 1
c) Verdadera. = = =
= + =
d) Verdadera. ( )–2– (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = =
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 2–1
b) (0,25)–1/2 = 2
a) (0,125)1/3 = ( )1/3= ( )1/3
= ( )1/3= = 2–1
b) (0,25)–1/2 = ( )–1/2= ( )–1/2
= ( )–1/2= (22)1/2 = 21
22
14
25100
12
123
18
1251 000
809
81 – 19
19
132
1(–3)2
13
815
15
13
(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 – 1/5)
(1/32) – (1/52)1/3 – 1/5
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
36
36136
133
127
a4
b4a2 · b–2
a–2 · b2
809
13
815
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
127
a2 · b–2
a–2 · b2
14√a7
a3/4 · a–1
a · a1/2
16√
—4
3 1√ 4
4√—a3 · a–1
a√—a
Unidad 1. Números reales16
Página 46
Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raíz:
a) 2 b) 4 c)
d) e) 2 f)
a) = b) 3
= = =
c) = d) 3
= 3
e) = = = f ) 3
= 3
= 3
17 Saca de la raíz el factor que puedas:
a) b) 4 c)
d) e) f)
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2a e) = f ) =
g) h) = 2 i) =
18 Simplifica:
a) b) c)
a)6
= 6
= 6
= ( )3/6= ( )1/2
=
b) 8
= 8
= 8
= ( )4/8= ( )1/2
=
c) 4
= 4
= ( )2/4= ( )1/2
= = √52
√5
√4
54
54√ 52
42√ 2516
√15
15
15√( 2 )410√ 24
104√ 1610000
√ 310
310
310√( 3 )310√ 33
103√ 271000
4 9√1 + —16
8√0,00166√0,027
5√a12√25a
16 · 9√a2 + 1√4 (a2 + 1)√1
a4a
√1316√13
36√5b
5a4√53 · a2
24 · b
3√a23√23 · a5
√10√23 · 53√2√2√233√23√24
a a√— + —9 16
√4a2 + 416√ a3
1 1√— + —4 9
125a2√ 16b
3√8a5
√1 000√83√16
√ 325√ 3
52√3 · 553√8√234√264√24 · 22
√ 35√33 · 52
53 · 32√ 32x√22 · 3x
x2 · 23
3√163√243√42√ 43
4
3√243√3 · 23
3√1515
4√43 25√ 9
35
3x√ 82x
3 1√ 4
3√3
Unidad 1. Números reales 17
1UNIDAD
19 Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c)
d) e) f) :
a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3
d) = = · = ·
e) 4
= = =
f ) : = : = 1
20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:
a) , , b) ,
c) , d) , ,
a) , , ; = <
b) , ; <
c) , ; <
d) , , ; < <
21 Realiza la operación y simplifica, si es posible:
a) 4 · 5 b) 2 · c) ·
d) ( )2e) ( )3
f) :
a) 20 = 20 = 20 = 180
b) 2 = 2 = 6
c) = =
d) ( )2 = = 2 = 2
e) ( )3 = = = 22 = 4
f ) : = 2 : = 23√3
3√33√3
3√23 · 3
√2√2√256√2156√25
3√183√2 · 323√24 · 323√22 · 3
12√ 1
4√ 28
√ 12√ 9
2√ 4 · 273 · 8
√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6
3√33√24
6√323√12
1√ 8√2
27√ 8
4√ 3√6√27
4√726√100
3√912√10000
12√6 56112√373 248
5√104√6
20√1000020√7 776
√63√4
6√166√216
3√3√24√4
12√6412√81
12√64
6√1003√9
4√725√10
4√6
3√4√6√23√3
4√4
√5√54√528√54
3√24
3
2√2
3
√23√ 34
26
4√y√24√y
4√224√22 · y12√26 · y3
3√223√33 · 22√36√333√3
3√23 · 3
4√258√625
4 81√ 64
12√64y3
3√–1086√27
3√24
Unidad 1. Números reales18
22 Efectúa y simplifica, si es posible:
a) · b) · ·
c) 3
d) :
☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, res-pectivamente.
a) = b) · · =
c) ( 6 )3 = ( 6 )3 = 6
= =
d) : = : =
23 Expresa con una única raíz:
a) b) c) ( · ) :
a) =
b) = =
c) 20
= = a
24 Racionaliza los denominadores y simplifica:
a) b) c)
d) e)
a) = = =
b) =
c) =
d) = = =
e) = = = 88 √8
√8
3√—8 + 6√
—8 – √
—8
√—8
√—23 · 32 + 3√
—25 – √
—23
√—23
3 – √32
3 (3 – √3 ) 2 · 3
9 – 3√36
3 (3 – √3 ) 9 – 3
2 – √22
(√2 – 1) √—2
2
3√42
3√22
2
√63
2√63 · 2
2√3
3√2
2√3
√2 · 32
√—72 + 3√
—32 – √
—8
√—8
3
3 + √—3
√—2 – 1
√—2
23√2
2√3
√18
20√a20√a21√a15 · a16
a10
12√12812√2712√24 · 23
6√212√4
√a5√a44√a3
3√24√
—8
4√3√—4
6√36√226√22 · 3√3
√—22
3√√—22 · 3
14
122√ 1
212√ 124√ 25
29
√a√a1
3√a
3√a6√108
6√22 · 33
√3√—4
3√2√—3)6√
—32
√—8
(√a
3 1√ a
3√a√33√2
Unidad 1. Números reales 19
1UNIDAD
25 Calcula y simplifica:
a) 5 + 6 – 7 +
b) + 2 – –
c) + – –
d) ( + ) ( – 1)
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20
c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2
26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 +
c) 7 – 2 +
a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + =
c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)27 Efectúa y simplifica:
a) ( + )2 – ( – )2
b) ( + )2 c) ( – ) ( + )
d) (2 – 3 )2 e) ( – 1) ( + 1)
a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –1
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) = √3√3
√10√10
√10√3√10√12
√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3
√3√2√2√2√5
√6√5√6√5√2√5√6
√2√3√2√3
3√3a1065
3√3a5
3√3a3√3a
3√3a5
3√3a43√34 · a
√ 25
–5345√ 2
529√ 2
5125√ 2
5√ 23
32 · 513√ 2 · 32
53√ 25
3√23√2
3√23√2
3√23√2
3√2 · 333√2 · 533√24
3√—3a5
3√3a43√81a
8√ 4513
18√125
2√ 5
3√23√54
3√2503√16
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
√6√5√6√5√6√5
3√23√2
3√23√2
3√2
√5√5√5√5√5
√6√3√2
√24√45√54√125
3√250215
3√543√2
3√16
√8032
√20√45√125
Unidad 1. Números reales20
28 Racionaliza y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = = =
= =
b) = = = = 1 +
c) = = = –
d) = = 3 ( + 2) = 3 + 6
e) = = = 2 – 3
f ) = = =
= = =
29 Efectúa y simplifica:
a) – b) –
a) = = + 5
b) = =
= = –2√352√
—7 (–2√
—5 )
2
(√—7 – √
—5 + √
—7 – √
—5 )(√
—7 – √
—5 – √
—7 – √
—5 )
7 – 5
(√—7 – √
—5 )2 – (√
—7 + √
—5 )2
(√—7 + √
—5 )(√
—7 – √
—5 )
√2√33√
—3 + 3√
—2 – 2√
—3 + 2√
—2
3 – 2
3(√—3 + √
—2 ) – 2(√
—3 – √
—2 )
(√—3 – √
—2 )(√
—3 + √
—2 )
√—7 + √
—5
√—7 – √
—5
√—7 – √
—5
√—7 + √
—5
2
√—3 + √
—2
3
√—3 – √
—2
√223√2
2327√
—2 – 4√
—2
23
9√—2 · 32 – 4√
—2
239√
—18 – 6√
—6 + 6√
—6 – 4√
—2
27 – 4
(3 √—6 + 2√
—2 ) (3 √
—3 – 2)
(3√—3 + 2) (3√
—3 – 2)
√511(2√5 – 3)
11
11(2√5 – 3)20 – 9
11(2√5 – 3)2(√
—5 + 3)(2√
—5 – 3)
√5√53 (√5 + 2)
5 – 4
3 (√5 + 2)(√5 – 2)(√
—5 + 2)
√3 + √—5
4
√3 + √—5
– 4
√3 + √—5
2 (3 – 5)
(√—3 + √
—5 )
2(√—3 + √
—5 )(√—
3 + √—5 )
√66
6 + √66
(2√3 + √—2 ) √
—3
2√3 · √—3
2√3 + √—2
2√3
2√3 + √—2
√22 · 3
√6 – 13
2 (√6 – 1)3 · 2
2√6 – 23 · 2
(2√—3 – √
—2 ) √
—2
3√2 · √—2
2√3 – √—2
3√2
2√3 – √—2
√2 · 32
3√—6 + 2√
—2
3√—3 + 2
11
2√—5 + 3
3
√—5 – 2
1
2(√—3 – √
—5 )
2√—3 + √
—2
√—12
2√—3 – √
—2
√—18
Unidad 1. Números reales 21
1UNIDAD
Página 47
Notación científica y errores30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas.
Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra delerror relativo cometidos.
a)
b)
c)
a) 1,41 · 102 |Error absoluto| < 0,005 · 102 = 0,5
|Error relativo| < < 0,00355
b) –1,58 · 105 |Error absoluto| < 0,005 · 105 = 5 · 102
|Error relativo| < < 3,16 · 10–3
c) –2,65 · 106 |Error absoluto| < 0,005 · 106 = 5 · 103
|Error relativo| < < 1,89 · 10–3
31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa anotación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011
b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013
b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9
32 Efectúa:
–7,268 · 10–12
33 Expresa en notación científica y calcula:
= 150(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4
104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5
60 0003 · 0,000024
1002 · 72 000 000 · 0,00025
2 · 10–7 – 3 · 10–5
4 · 106 + 105
5 · 103
2,65 · 106
5 · 102
1,58 · 105
0,5141
5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102
8,2 · 10–3 – 2 · 10–4
(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)9,2 · 106
(3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108
4,32 · 103
Unidad 1. Números reales22
34 Considera los números:
A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105
Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una
cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
= 7,93 · 10–3
|E.A.| < 0,005 · 10–3 = 5 · 10–6
|E.R.| < 6,31 · 10–4
35 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula
( + C ) · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota
del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
( + C ) · D = 2,75 · 106
|E.A.| 0,005 · 106 = 5 · 103
|E.R.| < 1,82 · 10–3
Intervalos y valor absoluto
36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos:
a) x es menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x está comprendido entre –5 y 1.
d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.
a) x < –5; (–@, –5)
b) 3 Ì x ; [3, +@)
c) –5 < x < 1; (–5, 1)
d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]
–5 0
0 3
–5 0 1
–2 0
AB
AB
B + CA
B + CA
Unidad 1. Números reales 23
1UNIDAD
37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 Ì x Ì 2 b) 5 < x c) x Ó –2
d) –2 Ì x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f) –3 Ì x
a) [–3, 2] b) (5, +@)
c) [–2, +@) d) [–2, )e) (4; 4,1) f ) [–3, +@)
38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-tervalos:
a) [–2, 7] b) [13, +@) c) (–@, 0)
d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)
a) –2 Ì x Ì 7 b) x Ó 13 c) x < 0
d) –3 < x Ì 0 e) Ì x < 6 f ) 0 < x < +@
39 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A � B) e (I � J):
a) A = [–3, 2] B = [0, 5] b) I = [2, +@) J = (0, 10)
a) [0, 2] b) [2, 10)
40 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:
a) x < 3 o x Ó 5 b) x > 0 y x < 4
c) x Ì –1 o x > 1 d) x < 3 y x Ó –2
☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-cribe: (–@, 3)� [5, +@)
a) (–@, 3) « [5, +@) b) (0, 4)
c) (–@, –1] « (1, +@) d) [–2, 3)
41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de es-tas expresiones:
a) |x| < 7 b) |x| Ó 5 c) |2x| < 8
d) |x – 1| Ì 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| Ó 1
a) (–7, 7) b) [–@, –5] « [5, +@] c) (–4, 4)
d) [–5, 7] e) (–11, 7) f) (–@, 4] « [6, +@)
32
32
Unidad 1. Números reales24
–3 20
0
4 4,1 5
–2
–3
5
–2 0
0
3/2
42 Averigua qué valores de x cumplen:
a) |x – 2| = 5 b)|x – 4| Ì 7 c) |x + 3| Ó 6
a) 7 y –3
b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11]
c) x Ì –9 y x Ó 3; (–@, –9] « [3, +@)
43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raíz en cada caso:
a) b) c)
d) e) f)
a) x – 4 Ó 0 ò x Ó 4; [4, +@)
b) 2x + 1 Ó 0 ò 2x Ó –1 ò x Ó – ; [– , +@)c) –x Ó 0 ò x Ì 0; (–@, 0]
d) 3 – 2x Ó 0 ò 3 Ó 2x ò x Ì ; (–@, ]e) –x – 1 Ó 0 ò –1 Ó x; (–@, –1]
f ) 1 + Ó 0 ò 2 + x Ó 0 ò x Ó –2; [–2, +@)
44 Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3 b)5 y 11 c) –3 y –9 d)–3 y 4
a) |7 – 3| = 4
b) |11 – 5| = 6
c) |–9 – (–3)| = |–9 +3| = |– 6| = 6
d) |4 – (–3)| = 7
45 Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] � [2, 5) b) [–1, 3) � (0, 3]
c) (1, 6] � [2, 7) d) [–1, 3) � (0, 4)
a) (1, 6] « [2, 5) = (1, 6]
b) [–1, 3) « (0, 3] = [–1, 3]
c) (1, 6] » [2, 7) = [2, 6]
d) [–1, 3) » (0, 4) = (0, 3)
x2
32
32
12
12
x√1 + —2
√–x – 1√3 – 2x
√–x√2x + 1√x – 4
Unidad 1. Números reales 25
1UNIDAD
Página 48
46 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) Centro –1 y radio 2
b) Centro 2,5 y radio 2,01
c) Centro 2 y radio 1/3
a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1)
b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)
c) (2 – , 2 + ) = ( , )47 Describe como entornos los siguientes intervalos:
a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)
a) C = = ; R = 2 – =
Entorno de centro y radio .
b) C = = 2,1 ; R = 2,9 – 2,1 = 0,8
Entorno de centro 2,1 y radio 0,8
c) C = = –1 ; R = 0,2 – (–1) = 1,2
Entorno de centro –1 y radio 1,2.
d) C = = –3,4 ; R = –2,8 – (–3,4) = 0,6
Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.
48 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:
a) |a| < b equivale a –b < a < b
b) |–a| = –|a|
c) |a + b| = |a| + |b|
d) |a · b| = |a| · |b|
a) Verdadera (siempre que b > 0).
b) Falsa; pues |–a| Ó 0 y –|a| Ì 0. (Solo sería cierta para a = 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.
En general, |a + b| Ì |a| + |b|.
d) Verdadera.
–4 + (–2,8)2
–2,2 + 0,22
1,3 + 2,92
32
12
32
12
12
–1 + 22
73
53
13
13
Unidad 1. Números reales26
Logaritmos
49 Calcula:
a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2 d) log 3
e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) logπ 1
a) log2 210 = 10 b) log 10–3 = –3 c) log2 2–6 = –6
d) log√
—3
( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =
g) log1/2 ( )–1/2= – h) 0
50 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2
b) log2 + log3 – log2 1
a) 6 – 2 – 2 – =
b) –5 – 3 – 0 = –8
51 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx 125 = 3 b) logx = –2
a) x3 = 125; x = 5 b) x–2 = ; x = 3
52 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log 3x = 2 b) log x2 = –2 c) 7x = 115 d) 5–x = 3
a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x =
c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683log 3
log 5
log 115
log 7
110
2log 3
19
19
32
12
127
132
√214
12
12
32
12
√3
2
√2√8√3
√3
164
Unidad 1. Números reales 27
1UNIDAD
53 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.
a) log b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)
d) log3 42,9 e) log5 1,95 f ) log2 0,034
a) 1,085
b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 8 e26,161 ≈ 2,3 · 1011
c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 8 e–9,54 ≈ 7,2 · 10–5
d) 3,42 8 33,42 ≈ 42,9
e) 0,41 8 50,41 ≈ 1,95
f) –4,88 8 2–4,88 ≈ 0,034
54 Calcula la base de cada caso:
a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2 c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2
☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-pejar x.
En c) , x –2 = 0,04 ï = .
a) x2 = 8 x = b) x1/2 = 2 8 x = 4
c) x–2 = 0,04 8 x = 5 d) x–1/2 = 4 8 x =
55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:
a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9
c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6
e) ln x = 4 ln 2 – ln 25
☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
a) ln x = ln (17 · 13) ò x = 17 · 13 = 221
b) log x = log ò x = = 4
c) ln x = ln 53 ò x = 53 = 125
d) log x = log ò x =
e) ln x = ln 24 – ln
ln x = ln 16 – ln 5
ln x = ln ò x = 165
165
√25
253
12 · 2562
369
369
12
116
12
14
4100
1
x2
√148
Unidad 1. Números reales28
56 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;0,3; 0,03; 0,003.
log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477
log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477
log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477
log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523
log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523
log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523
57 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log 0,1 k2 c) log d) (log k)1/2
a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4
b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8
c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8
d) (14,4)1/2 = = 3,79
58 Sabiendo que ln k = 0,45, calcula el valor de:
a) ln b) ln c) ln
a) ln = ln k – ln e = 0,45 – 1 = –0,55
b) ln = ln k = · 0,45 = 0,15
c) ln = 2 ln e – ln k = 2 – 0,45 = 1,55
59 Calcula x para que se cumpla:
a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172
a) log x2,7 = log 19 ò 2,7 log x = log 19 ò log x = = 0,47
x = 100,47 = 2,98
b) 70,5 = 3x ò x = = 0,88
c) log 32 + x = log 172 ò (2 + x) log 3 = log 172 ò 2 + x =
x = – 2 = 2,685log 172
log 3
log 172
log 3
70,5
3
log 19
2,7
e2
k
13
13
3√k
ke
e2
k3√kk
e
√14,4
13
13
3 1√ kk
100
Unidad 1. Números reales 29
1UNIDAD
60 Si log k = x, escribe en función de x:
a) log k2 b) log c) log
a) 2 log k = 2x b) log k – log 100 = x – 2 c) log 10k = (1 + x)
61 Comprueba que = – (siendo a ? 1).
= = –
Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y podamos simplificar.
Página 49
62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo número entero es racional.
b)Hay números irracionales que son enteros.
c) Todo número irracional es real.
d)Todos los números decimales son racionales.
e) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.
f) Los números racionales llenan la recta.
a) V b) F c) V
d) F e) V f ) F
63 ¿Qué relación existe entre a y b en los siguientes casos?:
a) log a = 1 + log b
b) log a + log = 0
a) log a – log b = 1 8 log = 1 8 = 10 8 a = 10b
b) log a · = 0 8 = 100 8 = 1 8 a = bab
ab)1
b(
ab
ab
1b
CUESTIONES TEÓRICAS
16
–1/2 log a
3 log a
– log a + 1/2 log a
3 log a
16
1log — + log √—a
alog a3
12
12
√10kk
100
Unidad 1. Números reales30
64 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:
a) log m + log n = log (m + n)
b) log m – log n =
c) log m – log n = log
d) log x2 = log x + log x
e) log (a2 – b2) = log (a + b) + log (a – b)
a) Falso. log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n)
b) Falso. log m – log n = log ( ) ?
c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.
d) Verdadero. log x2 = log (x · x) = log x + log x
e) Verdadero. log (a2 – b2) = log [(a + b ) · (a – b )] = log (a + b ) + log (a – b )
65 Si n ≠ 0 es natural, determina para qué valores de n estos números perte-necen a Z:
a) b) c) n – 5 d)n + e)
a) n par.
b) n = 1 o n = 3.
c) n cualquier natural.
d) Ninguno.
e) n cuadrado perfecto.
66 Di cuál es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calcula-dora:
a) log 348 b) log2 58 c) log 0,03
a) 100 < 348 < 1 000 8 2 < log 348 < 3 8 log 348 = 2,…
b) 25 < 58 < 26 8 5 < log2 58 < 6 8 log2 58 = 5,…
c) 0,01 < 0,03 < 0,1 8 –2 < log 0,03 < –1 8 log 0,03 = –1,…
√n12
3n
n2
PARA PROFUNDIZAR
log mlog n
mn
mn
log mlog n
Unidad 1. Números reales 31
1UNIDAD
67 Sean m y n dos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de m yn en cada uno de estos casos?
a) m · n > 0 y m + n < 0
b)m · n < 0 y m – n > 0
c) m · n < 0 y m – n < 0
a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0
68 Si x éN y x > 1, ordena estos números:
; x ; ; – ;
– < < < < x
69 Ordena de menor a mayor los números a, a2, , , si a > 1 y si 0 < a < 1.
Si a > 1 8 < < a < a2
Si 0 < a < 1 8 a2 < a < <
AUTOEVALUACIÓN
1. Dados los números:
– ; ; ; ; ; ; 1,0)7
a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen.
b)Ordena de menor a mayor los reales.
c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]?
a) N: Z: ;
Q: ; ; – ; 1,0)7 Á: ; ; – ; 1,0
)7; ;
b) < – < < 1,0)7 < <
c) – ; ; 1,0)7
π3
5845
5117
5√23π3
5845
3√–8
5√23π3
5845
3√–85117
5845
3√–85117
3√–85117
5117
5√233√–84√–3
π3
5117
5845
1a
√a
√a1a
√a1a
1x
1x + 1
–1x + 1
1x
1–x – 1
1x
1x
1x + 1
Unidad 1. Números reales32
2. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x / –3 Ì x < 1}
b) [4, +@)
c) [–1, 4) � (4, 10]
d) (–@, 5) � (–1, +@)
3. Expresa en forma de intervalo en cada caso:
a) |x| Ó 8 b)|x – 4| < 5
a) (–@, –8] « [8, +@)
b) (–1, 9)
4. Multiplica y simplifica: ·
Reducimos a índice común:
· = = 3a
5. Reduce: – + – 2
= = 5 ; = = 3 ; = = 2
– + – 2 = 5 – 3 + 2 – 2 = 2
6. Escribe como potencia y simplifica.
· : (a )
= = a = a ; = = a–
; a = a · a–
= a
(a · a–
) : a = a– –
= a– 11
3012
23
45
12
23
45
12
124√a–2
233√a–23√1/a2
45
121515√a12
3√5√—a12
4√a–2)3 1√a2
3√5√—a12(
3√23√2
3√23√2
3√23√2
3√163√54
3√250
3√23√243√16
3√23√33 · 2
3√543√2
3√53 · 23√250
3√23√16
3√543√250
6√2ab46√2 · 36 · a7 · b46√18a3b26√(9a2b)2
6√18a3b23√9a2b
–1 4 9
–3 0 1a)
0 4b)
–1 0 5d)
–1 0 4 10c)
Unidad 1. Números reales 33
1UNIDAD
7. Efectúa, racionalizando previamente.
–
= = =
= =
– =
8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x:
a) log3 x = – b) ln = –1 c) logx 125 = 3
a) x = 3–
8 x = 0,76
b) = e –1 8 x = 3 · e –1 = 1,10
c) x 3 = 125 8 x = 5
9. Aplica las propiedades de los logaritmos y halla A.
log A = 2 log 3 + 0,5 log 4 – 3 log 2
log A = log 8 A = =
10. Calcula x en cada caso.
a) 2,5x = 0,0087
b)e–x = 425
a) x log 2,5 = log 0,0087 8 x = = –5,18
b) –x ln e = ln 425 8 x = –ln 425 = –6,05
log 0,0087log 2,5
94
9 · 28
32 · 40,5
23
x3
14
x3
14
2√—3 + 3√
—2 – 6
6
6 + 2√—3
6
4√—3 + 3√
—2
6
6 + 2√—3
6
2(3 + √—3 )
32 – (√—3 )2
2
3 – √—3
4√—3 + 3√
—2
6
4√—3 + √
—18
6
(4 + √—6 )√
—3
2√—3√
—3
4 + √—6
2√—3
2
3 – √—3
4 + √—6
2√—3
Unidad 1. Números reales34
Unidad 3. Álgebra 1
Página 69
REFLEXIONA Y RESUELVE
Puñado de almendras
Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis, aun almacén de frutos secos.
Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:
— Coged las que queráis.
Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada vez,se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9 veces,cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Además, cadapadre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.
Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.
• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?
• ¿Y el de Juan?
• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?
• 2.° caso: 15 Ò 3
(x + y) (x – y) = 45
Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almendras) ysu hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).
• 3.er caso: 45 Ò 1
(x + y) (x – y) = 45
Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22puñados de 22 almendras (484 almendras).
Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2puñados.
Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo, 7puñados.
Sumando: 2x = 46 8 x = 23Restando: 2y = 44 8 y = 22
°¢£
x + y = 45x – y = 1
Sumando: 2x = 18 8 x = 9Restando: 2y = 12 8 y = 6
°¢£
x + y = 15x – y = 3
ÁLGEBRA3
Por tanto:
• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras
Sin necesidad del álgebra
Un galgo persigue a una liebre.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre.
¿Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?
Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.
Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.
Cada 2 · 3 saltos de galgo y 3 · 3 de liebre se acerca 3 u el galgo.
… …
Cada 2 · 90 saltos de galgo y 3 · 90 de liebre se acerca 90 u el galgo.
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:
2 · 90 = 180 saltos el galgo
3 · 90 = 270 saltos la liebre
De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.
Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.
Página 71
1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3
b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x
c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
Unidad 3. Álgebra2
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x3 – 9x2 + 24x – 20)
x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3(x – 2)2 (x – 5)
b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x5 – 3x4 – 3x3 – 5x2 + 2x + 8)
x2 + x + 2 = 0 8 x =
no tiene solución
x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x (x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x + 2)
c)x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
x2 + 1 = 0 8 x2 = –1 8 no tiene solución
Así, x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 = (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.
a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).
b) Hacemos la división:
x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 x2 + x + 1
–x4 – x3 – x2 x2 + 3x + 4
3x3 + 7x2 + 7x + 4
–3x3 – 3x2 – 3x
4x2 + 4x + 4
–4x2 – 4x – 4
0
1 6 9 0 –1 –6 –9–1 –1 –5 –4 4 –3 9
1 5 4 –4 3 –9 0–3 –3 –6 6 –6 9
1 2 –2 2 –3 0–3 –3 3 –3 3
1 –1 1 –1 01 1 0 1
1 0 1 0
–1 ± √1 – 82
1 –3 –3 –5 2 81 1 –2 –5 –10 –8
1 –2 –5 –10 –8 0–1 –1 3 2 8
1 –3 –2 –8 04 4 4 8
1 1 2 0
1 –9 24 –202 2 –14 20
1 –7 10 02 2 –10
1 –5 0
Unidad 3. Álgebra 3
3UNIDAD
Los polinomios x2 + x + 1 y x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuacionesx2 + x + 1 = 0 y x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto:
x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 = (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4)
3. Intenta factorizar 6x4 + 7x3 + 6x2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que – y son raíces suyas.
El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Teniendo en cuenta el dato adicional (que – y son raíces), procedemos así:
Por tanto:
6x4 + 7x3 + 6x2 – 1 = (x + ) (x – ) 6(x2 + x + 1) = (2x + 1) (3x – 1) (x2 + x + 1)
Página 73
1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas si-guientes, y súmalas:
–
mín.c.m. = x (x + 1)
Reducimos a común denominador:
= =
=
– = – = – = –
Las sumamos:
+ – = + + =
= = –x2 + 8x + 5x2 + x
x2 + 8x + 7 + x –2 –2x2 –xx2 + x
–2x2 – xx (x + 1)
x – 2x (x + 1)
x2 + 8x + 7x (x + 1)
2x + 1x + 1
x – 2x2 + x
x + 7x
2x2 – xx (x + 1)
2x2 + xx (x + 1)
(2x + 1)xx (x + 1)
2x + 1x + 1
x – 2x (x + 1)
x – 2x2 + x
x2 + 8x + 7x (x + 1)
(x + 7) (x + 1)x (x + 1)
x + 7x
°§¢§£
x = xx2 + x = x (x + 1)x + 1 = x + 1
2x + 1x + 1
x – 2x2 + x
x + 7x
13
12
6 7 6 0 –1 6x2 + 6x + 6 = 0–1/2 –3 –2 –2 1 6(x2 + x + 1) = 0
6 4 4 –2 0–1 ±√1 – 4
____
1/3 2 2 2 x = __________ no tiene solución6 6 6 0
2
13
12
13
12
Unidad 3. Álgebra4
2. Efectúa: + –
+ – = + – =
= + – =
= =
= =
Página 74
3. Efectúa estas operaciones:
a) · b) :
a) · = =
= =
b) : = · = =
= =
4. Calcula:
a) : · b) ·
a) : ( · ) = : = · =
= = =
=
b) · = = = =
= = = x2 – 1(x2 + 1) (x2 – 1)x2 + 1
x4 – 1x2 + 1
x4(x4 – 1)x4(x2 + 1)
x8 – x4
x6 + x4(x4 – x2) (x4 + x2)
(x2 + 1)x4x4 + x2
x4x4 – x2
x2 + 1
6x2 + 15x + 6x3 – x2
3(2x2 + 4x + x + 2)x3 – x2
3(2x + 1) (x + 2)x2(x – 1)
3(2x + 1)(x – 1)x
x + 2x
(x – 1)x3(2x + 1)
x + 2x
x2x + 1
x – 13
x + 2x
x4 + x2
x4x4 – x2
x2 + 1)x2x + 1
x – 13(x + 2
x
x3 + 3x2 – 7x + 152x2 – x – 6
x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 152x2 + 3x – 4x – 6
(x2 – 2x + 3) (x + 5)(x – 2) (2x + 3)
x + 52x + 3
x2 – 2x + 3x – 2
2x + 3x + 5
x2 – 2x + 3x – 2
2x3 – x2 + 9x2 + 3x – 10
2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9x2 + 5x – 2x – 10
(x2 – 2x + 3) (2x +3)(x – 2) (x + 5)
2x + 3x + 5
x2 – 2x + 3x – 2
2x + 3x + 5
x2 – 2x + 3x – 2
2x + 3x + 5
x2 – 2x + 3x – 2
x2 – 3x + 1x2 – 1
1 + 2x2 – 2x – x2 – xx2 – 1
1 + 2x (x –1) – x (x + 1)(x – 1) (x + 1)
x (x + 1)(x – 1) (x + 1)
2x(x –1)(x – 1) (x + 1)
1(x – 1) (x + 1)
xx – 1
2xx + 1
1(x – 1) (x + 1)
xx – 1
2xx + 1
1x2 – 1
xx – 1
2xx + 1
1x2 – 1
Unidad 3. Álgebra 5
3UNIDAD
Página 75
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x4 – 8x2 – 9 = 0
a) x2 = = 2 y –2
b) x2 = = 3 y –3
2. Resuelve:
a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 – x2 – 2 = 0
a) x2 = =
No tiene solución.
b) x4 – x2 – 2 = 0
x2 = = =
Hay dos soluciones: x1 = – ; x2 =
Página 76
3. Resuelve:
a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x
d) 2 – = x e) – 1 =
a) 1 – x =
1 + x2 – 2x = 2x – 3; x2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale)
No tiene solución.
b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8
x – 26 = 8
x2 + 676 – 52x = 64 (x + 7)
x2 + 676 – 52x = 64x + 448
x2 – 116x + 228 = 0; x =
x = 114
114
2 8 (no vale)
116 ± 1122
√x + 7
√x + 7
√2x – 3
√8 – 2x√3x + 3√x
√x√x + 7√2x – 3√2x – 3
√2√2
x2 = –1 8 No vale
x2 = 2 8 x = ± √2––1 ± 3
21 ± √9
21 ± √1 + 8
2
–1 8 (no vale)
–9 8 (no vale)–10 ± 8
2–10 ± √100 – 36
2
9 8 x = ±3–1 8 (no vale)
8 ± 102
8 ± √64 + 362
4 8 x = ±2–3 8 (no vale)
1 ± 72
1 ± √1 + 482
Unidad 3. Álgebra6
c) = x – 2; x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4
x = =
x = 4
d) 2 – x = ; 4 + x2 – 4x = x ; x2 – 5x + 4 = 0
x =
x = 1
e) – 1 =
3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2
5x – 6 = 2
25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x)
25x2 – 52x + 4 = 0
x =
Así, x = 2.
4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/hen línea recta hasta P, y hemos caminado a 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total,99 minutos (99/60 horas).
¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?
—AP2 = x2 + 9 = t
—PC = 6 – x = ( – t )
t =
t = – +
+ = 9960
6 – x5
√x2 + 94
9960
6 – x5
√x2 + 94
9960
6 – x5
√x2 + 94
3 km
6 km
x
A
PB
ARENA
MAR
C
x = 2
x = 0,08 8 no vale52 ± 48
50
√8 – 2x
√8 – 2x
√8 – 2x√3x + 3
4 8 (no vale)
1
√x
4
1 8 (no vale)5 ± 3
25 ± √25 – 16
2
√x
Unidad 3. Álgebra 7
3UNIDAD
°§§§¢§§§£
°§§§¢§§§£
= – + 9960
6 – x5
√x2 + 94
°§¢§£
15 + 12 (6 – x) = 99
15 + 72 – 12x = 99
15 = 12x + 27
225 (x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x
225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x
81x2 – 648x + 1 296 = 0
x2 – 8x + 16 = 0
x = = 4
Así, la distancia de B a P es de 4 km.
Página 77
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + = b) + = 4 c) + =
a) 10 (x + 3) + 10x = 3x (x + 3)
10x + 30 + 10x = 3x2 + 9x
0 = 3x2 – 11x – 30
x = =
x1 = 5,489; x2 = –1,822
b) 12 (x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2)
12x – 24 + 2x2 + 2x = 12x2 – 24x
0 = 10x2 – 38x + 24
0 = 5x2 – 19x + 12; x = =
x1 = 3; x2 =
c) 4x + 4 = 3x2; 0 = 3x2 – 4x – 4
x = =
x1 = 2; x2 = –23
2
–2/3
4 ± 86
45
3
4/5
19 ± 1110
5,489
–1,822
11 ± 21,936
34
1x2
1x
2(x + 1)3(x – 2)
4x
310
1x + 3
1x
82
√x2 + 9
√x2 + 9
√x2 + 9
Unidad 3. Álgebra8
6. Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) – =
a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3 (x2 – 1)
x2 + x + 2x2 – 2x = 3x2 – 3
x = 3
b) 10 (x + 3) + 2x (x + 2) = 3 (x2 + 5x + 6)
10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18
0 = x2 + x – 12
x = = =
x1 = 3; x2 = –4
c) 35 (x + 3) (x + 1) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)
35 (x2 + 4x + 3) – 35 (x2 + 1) = 26 (x2 – 1)
35x2 + 140x + 105 – 35x2 – 35 = 26x2 – 26
26x2 – 140x – 96 = 0
x = = =
x1 = 6; x2 =
Página 79
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x 2 =
c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801
a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =
b) 34 – x2= 3–2; 4 – x2 = –2; x2 = 6; x = ±
x1 = ; x2 = – √6√6
√6
–13
4x – 1
2x + 2
19
–813
6
–8/13
70 ± 8626
70 ± √702 – 4 · 13 · (–48)26
3
–4
–1 ± 72
–1 ± √1 + 482
2635
x2 + 1x2 – 1
x + 3x – 1
32
xx + 3
5x + 2
2xx + 1
xx – 1
Unidad 3. Álgebra 9
3UNIDAD
c) = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186
log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186
x = 4 + = 11,54
d) 7x + 2 = 78; x = 6
8. Resuelve:
a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x – 1 =
c) 2 log x – log(x + 6) = 3log 2 d) 4 log2 (x2 + 1) = log2 625
a) 3x + 3x · 9 = 30
3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1
b) 5 · 5x + 5x + =
5x · = ; x = 0
c) log = log 8
x2 = 8x + 48; x2 – 8x – 48 = 0; x = =
x = 12
d) log2 (x2 + 1)4 = log2 54; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x = ±2
x1 = 2; x2 = –2
Página 81
1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x2 – 9 = 2x – 1; x2 – 2x – 8 = 0
°¢£
y = 2x – 1y = x2 – 9
x = 2y + 1
√—x + y – √
—x – y = 2
°¢£
1 1 1— + — = 1 – —x y xyxy = 6
°§¢§£
2x – y – 1 = 0
x2 – 7 = y + 2°¢£
12
–4 (no vale)
8 ± 162
x2
x + 6
315
315
315
5x
5
315
log 186log 2
22x – 2
2x + 2
Unidad 3. Álgebra10
x = = =
x1 = 4; y1 = 7
x2 = –2; y2 = –5
b)
y = 5 – x
x (5 – x) = 6; 5x – x2 = 6; x2 – 5x + 6 = 0
x1 = 2; y1 = 3
x2 = 3; y2 = 2
c) x = 2y + 1
– = 2; = 2 +
3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 ; 2y – 4 = 4 ; y – 2 = 2
y2 + 4 – 4y = 4y + 4; y2 – 8y = 0
y = 8 8 x = 17
y = 0 (no vale)
x = 17; y = 8
2. Resuelve:
a) b) c)
a) y = 1 – x; x2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21
x2 + x – x2 + 1 + x2 – 2x = 21; x2 – x – 20 = 0
x = = =
x1 = –4; y1 = 5
x2 = 5; y2 = –4
b) x = 27 + y
log = 1
10y = 27 + y; 9y = 27; y = 3
= 10; x = 10y; x = 30
x = 30; y = 3
xy
xy
5 8 y = –4
–4 8 y = 51 ± 9
21 ± √1 + 80
2
log (x2 + y) – log (x – 2y) = 1
5x + 1 = 25 y + 1
°¢£
x – y = 27
log x – 1 = log y °¢£
x2 + x y + y2 = 21
x + y = 1
°¢£
√y + 1√y + 1√y + 1
√y + 1√3y + 1√y + 1√3y + 1
x = 2
x = 3
°¢£
y + x = xy – 1xy = 6
4
–22 ± 6
22 ± √4 + 32
2
Unidad 3. Álgebra 11
3UNIDAD
°§¢§£
c) log = 1
5x + 1 = 52y + 2
x = 2y + 1
4y2 + 1 + 4y + y = 20y + 10 – 20y
4y2 + 5y – 9 = 0
y = = =
x1 = 3; y1 = 1
x2 = ; y2 =
Página 82
1. Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
c) d)
x = –1
y = 4
z = 4
°§¢§£
x = –1
y = 4
z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4
°§¢§£
3x = –3
5y = 20
2x + y – z = –2
c)
x = 4
y = –3
z = 0
°§§¢§§£
–6y = — = – 3
2–4y
x = — = 43
z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0
°§¢§£
3x + 4y = 0
2y = –6
5x + y – z = 17
b)
x = 7
y = 2
z = 11
°§§¢§§£
x = 7
y =2x – 8
= 23
z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11
°§¢§£
x = 7
2x – 3y = 8
3x + y – z = 12
a)
y = 4x – z = 11
y – z = 7
°§¢§£
3x = –35y = 20
2x + y – z = –2
°§¢§£
3x + 4y = 02y = –6
5x + y – z = 17
°§¢§£
x = 72x – 3y = 83x + y – z = 12
°§¢§£
–94
–72
–9/4 8 x = –7/2
1 8 x = 3–5 ± 13
8–5 ± √25 + 144
8
°¢£
x2 + y = 10x – 20yx + 1 = 2y + 2
x2 + yx – 2y
Unidad 3. Álgebra12
°§¢§£
2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a)
b)
c)
d)
x = 3
y = 4
z = 9
°§§¢§§£
x = 9 = 33
y =8
= 42
z = 4x + y – 7 = 9
°§¢§£
4x + y – z = 7
2y = 8
3x = 9
d)
x = 15
y = 2
z = 1
°§§¢§§£
z = 1
y =5 + z
= 23
x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15
°§¢§£
x – 5y + 3z = 8
3y – z = 5
4z = 4
c)
x = –1
y = –2
z = –2
°§§¢§§£
y = –10 = –25
x =–5 – y
= –13
z = x + 2y + 3 = –2
°§¢§£
x + 2y – z = –3
3x + y = –5
5y = –10
b)
x = 1
y = –5
z = 4
°§¢§£
y = –5
z = 4
x = 1
°§¢§£
y = –5
2z = 8
3x = 3
a)
4x + y – z = 72y = 8
3x = 9
°§¢§£
x – 5y + 3z = 83y – z = 5
4z = 4
°§¢§£
x + 2y – z = –33x + y = –5
5y = –10
°§¢§£
y = –52z = 8
3x = 3
°§¢§£
x = 8
y = 4
z = –3
°§¢§£
y = 4
z = y – 7 = 4 – 7 = –3
x = 11 + z = 11 – 3 = 8
°§¢§£
y = 4
x – z = 11
y – z = 7
d)
Unidad 3. Álgebra 13
3UNIDAD
Página 83
3. Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
4. Resuelve:
a)
b)
x = 1
y = –1
z = 0
°§§¢§§£
x = 1
z =–1 + x
= 05
y = 1 – 2x + 2z = –1
°§¢§£
24x = 242x + y – 2z = 1–x + 5z = –1
2 · 1.a + 3.a
2.a
3.a : 2
°§¢§£
13x – 5z = 132x + y – 2z = 1
–2x + 10z = –2
1.a + 4 · 2.a
2.a
3.a – 3 · 2.a
°§¢§£
5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1
a)
2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13
°§¢§£
5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1
°§¢§£
x = 4
y = 2
z = –3
°§§¢§§£
x = 20 = 45
y =14 – 2x
= 23
z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3
°§¢§£
2x + 3y = 14x – 2y + z = –3
5x = 20
1.a
2.a
3.a + 1.a
°§¢§£
2x + 3y = 14x – 2y + z = –3
3x – 3y = 6
1.a
2.a
3.a + 2.a
°§¢§£
2x + 3y = 14x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9
b)
x = 1
y = –2
z = 3
°§¢§£
x = 1z = 4 – x = 3y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2
°§¢§£
x + y + z = 2x + z = 4x = 1
°§¢§£
x + y + z = 22x + 2z = 82x = 2
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
°§¢§£
x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0
a)
2x + 3y = 14x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9
°§¢§£
x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0
°§¢§£
Unidad 3. Álgebra14
Página 84
5. Intenta resolver por el método de Gauss:
a) b)
c) d)
Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradictorias (si 2x – y es igual a 1, no pue-de ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible.
Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funciónde x:
(2.a) 8 y = 2x – 1
(1.a) 8 z = –2 – y – x = –2 – (2x – 1) – x = –2 – 2x + 1 – x = –3x – 1
Soluciones :
Para cada valor de x, se obtiene una solución del sistema. Por ejemplo:
Para x = 0 8 Para x = –2 8x = –2y = –5z = 5
°§¢§£
x = 0y = –1z = –1
°§¢§£
y = 2x – 1
z = –3x – 1
°¢£
x + y + z = –22x – y = 10 = 0
°§¢§£
1.a
2.a
3.a – 2.a
x + y + z = –22x – y = 12x – y = 1
°§¢§£
1.a
2.a + 1.a
3.a
x + y + z = –2x – 2y – z = 3
2x – y – z = 1
°§¢§£
b)
x + y + z = –22x – y = 12x – y = 0
°§¢§£
1.a
2.a + 1.a
3.a
x + y + z = –2x – 2y – z = 3
2x – y – z = 0
°§¢§£
a)
x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1
°§¢§£
x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2
°§¢§£
x + y + z = –2x – 2y – z = 3
2x – y – z = 1
°§¢§£
x + y + z = –2x – 2y – z = 3
2x – y – z = 0
°§¢§£
x = 2
y = 15
z = –1
°§§¢§§£
x = 25x – 13
z = ––––––––– = –13
2x + 4z + 1 1y = ––––––––––– = —
5 5
°§¢§£
2x – 5y + 4z = –12x = 45x – 3z = 13
1.a
2.a – 1.a
3.a
°§¢§£
2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13
b)
Unidad 3. Álgebra 15
3UNIDAD
Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en función de z :
Soluciones :
Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solución del sistema. Por ejem-plo:
Para z = 0 8 x = 3, y = –2
Para z = 4 8 x = –1, y = 6
Página 85
1. Resuelve estas inecuaciones:
a) 3x – 2 Ì 10 b) x – 2 > 1
c) 2x + 5 Ó 6 d) 3x + 1 Ì 15
a) 3x – 2 Ì 10 8 3x Ì 12 8 x Ì 4 b) x – 2 > 1 8 x > 3
Soluciones : {x / x Ì 4} = (–@, 4] Soluciones : {x / x > 3} = (3, +@)
c) 2x + 5 Ó 6 8 2x Ó 1 8 x Ó d) 3x + 1 Ì 15 8 3x Ì 14 8 x Ì
Soluciones : x / x Ó = , +@ Soluciones : x / x Ì = –@, ]143(°
¢£
143
°¢£)1
2[°¢£
12
°¢£
143
12
x = 3 – z
y = –2 + 2z
°¢£
x + z = 3 8 x = 3 – z
x + y – z = 1 8 y = 1 – x + z = 1 – (3 – z) + z = –2 + 2z
°¢£
La segunda ecuación no dice nada. Noes una ecuación. Por tanto, solo quedandos ecuaciones, la 1.a y la 3.a.
x + 4z = 30x + 0z = 0x + y – 4z = 1
°§¢§£
1.a
2.a – 3 · 1.a
3.a
x + 4z = 33x + 3z = 9x + y – 4z = 1
°§¢§£
1.a
2.a + 3.a
3.a
x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – 4z = 1
°§¢§£
d)
La segunda ecuación es absurda. Nopuede ser 0 = 1.Por tanto, el sistema no tiene solución.
x – y + 4z = 30x + 0z = 1x + y – z = 2
°§¢§£
1.a
2.a – 3 · 1.a
3.a
x – y + 4z = 33x + 3z = 10x + y – z = 2
°§¢§£
1.a
2.a + 3.a
3.a
x – y + 4z = 32x – y + 4z = 8x + y – z = 2
°§¢§£
c)
Unidad 3. Álgebra16
2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:
a) b)
Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en elejercicio anterior.
a) Soluciones : {x / 3 < x Ì 4} = (3, 4]
b) Soluciones : x / Ì x Ì = ,
Página 86
3. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 Ó 0
c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 Ì 0
a) x2 – 3x – 4 < 0 8 intervalo (–1, 4)
b) x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@ , –1] « [4, +@)
c) x2 + 7 < 0 8 No tiene solución
d) x2 – 4 Ì 0
La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje X en el intervalo (–2, 2); y cor-ta al eje X en x = –2 y en x = 2.
Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].
y = x2 + 7
4
8
2 4
12
–2
Y
X
y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4–2
–2
Y
X
]143
12[°
¢£
143
12
°¢£
1x Ó —
214
x Ì —3
°§§¢§§£
x Ì 4
x > 3
°¢£
2x + 5 Ó 63x + 1 Ì 15
°¢£
3x – 2 Ì 10x – 2 > 1
°¢£
Unidad 3. Álgebra 17
3UNIDAD
4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
b)
a) 2x – 7 > 5 8 2x > 12 8 x > 6 8 (6, +@)
x2 – 3x – 4 Ó 0 8 (–@, –1] « [4, +@)
Solución: (6, +@)
• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Verapartado d) del ejercicio anterior).
• Las soluciones de la segunda inecuación son:
x – 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@)
• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Portanto, el sistema no tiene solución.
Página 87
LENGUAJE MATEMÁTICO
1. De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?
a) (x – 3)(x – 2)x = x3 – 5x2 + 6x
b) (x – 3)(x – 2)x = x3
c) am · an = am + n
d) = x2 + 2x + 1 –
Comprueba, en ellas, que la igualdad es cierta para cualesquiera valores de lasvariables (haz la comprobación para varios números).
Son identidades a), c) y d).
3x – 2
x3 – 3x – 5x – 2
°¢£
x2 – 4 Ì 0
x – 4 > 1
b)
y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4–2
–2
Y
X
x2 – 4 Ì 0
x – 4 > 1°¢£
x2 – 3x – 4 Ó 0
2x – 7 > 5°¢£
Unidad 3. Álgebra18
2. Resuelve, paso a paso, la ecuación
(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 36
y explica en cada paso por qué la ecuación que se obtiene es equivalente a la quehabía.
Cuando el paso consista en obtener una expresión idéntica a otra, señala cuáles la expresión transformada, cuál es la obtenida y qué operación permite pa-sar de la una a la otra.
(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 36
x4 – 6x3 + 9x2 = x4 – 6x3 + 36
En el primer miembro se ha efectuado la multiplicación:
(x2 – 6x + 9)x2 = x4 – 6x3 + 9x2.
Ha convenido ponerlo en forma polinómica para poder simplificar en el segundo miembro.
9x2 = 36
Esta ecuación es equivalente a la anterior porque se han simplificado algunos térmi-nos de ambos miembros.
x2 = 36 : 9 = 4
Ecuación equivalente, por haber dividido los dos miembros por 9.
x = ±2
Unidad 3. Álgebra 19
3UNIDAD
Página 92
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Factorización
1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:
a) x3 – 2x2 – x + 2 b)x4 – 5x2 + 4
c) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 d)x5 – 7x4 + 10x3 – x2 + 7x – 10
e) 6x4 – 5x3 – 23x2 + 20x – 4 f ) x5 – 16x
g) 4x2 – 25 h)4x2 + 4x + 1
a) (x + 1) (x – 1) (x – 2) 8 Raíces: –1, 1, 2
b) (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) 8 Raíces: 1, –1, 2, –2
c) (x – 1) (x + 2) (4x – 10) 8 Raíces: 1, –2,
d) (x – 1) (x – 2) (x – 5) (x2 + x + 1) 8 Raíces: 1, 2, 5
e) (x + 2) (x – 2) (2x – 1) (3x – 1) 8 Raíces: –2, 2, ,
f ) x (x – 2) (x + 2) (x2 + 4) 8 Raíces: 0, 2, –2
g) (2x + 5) (2x –5) 8 Raíces: , –
h) (2x + 1)2 8 Raíz: –
2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el máx.c.d. [A(x), B (x)] y elmín.c.m. [A(x), B(x)]:
a) A(x) = x2 + x – 12; B(x) = x3 – 9x
b)A(x) = x3 + x2 – x – 1; B(x) = x3 – x
c) A(x) = x6 – x2; B(x) = x3 – x2 + x – 1
a) A (x) = (x – 3) (x + 4); B (x) = x (x – 3) (x + 3)
máx.c.d. = (x – 3)
mín.c.m. = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)
b) A (x) = (x – 1) (x + 1)2; B (x) = x (x – 1) (x + 1)
máx.c.d. = (x – 1) (x + 1)
mín.c.m. = x (x – 1) (x + 1)2
12
52
52
13
12
104
PARA PRACTICAR
Unidad 3. Álgebra20
c) A (x) = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1); B (x) = (x – 1) (x2 + 1)
máx.c.d. = (x – 1) (x2 + 1)
mín.c.m. = x2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
3 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente:
a) x3 – 7x – 6 = 0
b)2x3 – 3x2 – 9x + 10 = 0
c) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0
d)3x3 – 10x2 + 9x – 2 = 0
e) x5 – 16x = 0
f ) x3 – 3x2 + 2x = 0
g) x3 – x2 + 4x – 4 = 0
a) x1 = –1; x2 = –2; x3 = 3
b) x1 = 1; x2 = –2; x3 =
c) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2; x4 = 3
52
Unidad 3. Álgebra 21
3UNIDAD
1 0 –7 –6
–1 –1 1 6
1 –1 –6 0
–2 –2 6
1 –3 0
3 3
1 0
2 –3 –9 10
1 2 –1 –10
2 –1 –10 0
–2 –4 10
2 –5 0
1 –5 5 5 –6
1 1 –4 1 6
1 –4 1 6 0
–1 –1 5 –6
1 –5 6 0
2 2 –6
1 –3 0
3 3
1 0
d) x1 = 1; x2 = 2; x3 =
e) x (x4 – 16) = 0; x (x2 – 4) (x2 + 4) = 0
x1 = 0; x2 = 2; x3 = –2
f) x (x2 – 3x + 2) = 0; x (x – 1) (x – 2) = 0
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2
g) x = 1
Fracciones algebraicas
4 Simplifica las fracciones:
a) b)
a) =
b) =
5 Opera y simplifica el resultado:
a) : b) ·
c) – – d) – : 1 +
e) 1 – · : 1
x + 2)x + 3x + 2
x + 1x + 2(
)xx + 2()x
x + 2x + 1
x(xx2 – 3x + 2
xx – 1
xx – 2
(x – 2)2
x2 – 1x2 + 2x – 3
(x – 2)3(a + 1)2
a2 – 13a + 3
12a – 12
3x2 + 4x + 1x2 + 2x
(x – 2) (x + 1) (3x + 1)x (x – 2) (x + 2)
– (3 + x)x
(3 – x) (3 + x)x (x – 3)
3x3 – 2x2 – 7x – 2x3 – 4x
9 – x2
x2 – 3x
13
Unidad 3. Álgebra22
3 –10 9 –2
1 3 –7 2
3 –7 2 0
2 6 –2
3 –1 0
1 –1 4 –4
1 1 0 4
1 0 4 0
3 –2 –7 –2
2 6 8 2
3 4 1 0
–1 –3 –1
3 1 0
a) =
b) =
c) = = 0
d) : = · =
= =
e) · (x + 2) =
6 Demuestra las siguientes identidades:
a) + – 1) =
b) : = 1
c) – : – = 2x – 5
a) ( ) · ( ) = ( ) · ( ) = ( ) · =
b) : = = 1
c) ( ) : ( ) =
= : =
= : = = 2x – 5
Ecuaciones de primer y segundo grado
7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solución,dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única. Identi-fica cada caso y resuelve las que sean posible:
(2x – 5) (x – 3) (x – 2)(x – 3) (x – 2)
1(x – 3) (x – 2)
(2x – 5)(x – 3) (x – 2)
x – 2 – x + 3(x – 3) (x – 2)
(x – 2 + x – 3) (x – 2 – x + 3)(x – 3) (x – 2)
(x – 2) – (x – 3)(x – 3) (x – 2)
(x – 2)2 – (x – 3)2
(x – 3) (x – 2)
(a + 1) (a – 2)(a – 2) (a + 1)
(a + 1)2
(a – 2) (a + 1)(a + 1) (a – 1)(a – 2) (a – 1)
1x
1 – xx
11 – x
1 – xx
1 + x(1 – x) (1 + x)
1 – xx
1 – x + 2x1 – x2
)1x – 2
1x – 3()x – 3
x – 2x – 2x – 3(
a2 + 2a + 1a2 – a – 2
a2 – 1a2 – 3a + 2
1x
1x()2x
1 – x21
1 + x(
1x + 2
x2 + 4 + 4x – x2 – 4x – 3(x + 2)2
3x + 22x (x + 1)
3x + 2x (2x + 2)
x + 22x + 2
3x + 2x (x + 2)
x + 2 + xx + 2
(x + 1) (x + 2) – x2
x (x + 2)
x2 – x – x2 + 2x – x(x – 2) (x – 1)
x (x – 1) – x (x – 2) – x(x – 2) (x – 1)
x + 3(x – 2) (x + 1)
(x + 3) (x – 1) (x – 2)2
(x – 2)3 (x + 1) (x – 1)
14
3 (a + 1) (a + 1) (a – 1)12 (a – 1) (a + 1)2
Unidad 3. Álgebra 23
3UNIDAD
a) = x –
b) x + – 1 = x
c) – = –
d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2
e) (5x – 3)2 – 5x(4x – 5) = 5x(x – 1)
f) – = –
a) 2x + 2 = 4x – 2x – 3; 5 = 0
No tiene solución.
b) 3x + 3 – x – 3 = 2x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
c) – = –
2x – 8 – 8x = –2x – 8 – 4x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
d) 0,2x + 0,6 – 0,25 (x2 + 1 – 2x ) = 1,25x – (0,25x2 + 4 + 2x)
0,2x + 0,6 – 0,25x2 – 0,25 + 0,5x = 1,25x – 0,25x2 – 4 – 2x
1,45x = –4,35
x = –3
e) 25x2 + 9 – 30x – 20x2 + 25x = 5x2 – 5x ; 9 = 0
No tiene solución.
f) 4x + 2 – 7 (x2 – x – 2) = 7x – 14 – 7 (x2 + 4 – 4x)
4x + 2 – 7x2 + 7x + 14 = 7x – 14 – 7x2 – 28 + 28x
58 = 24x
x =
8 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + (x – 2)2 =
b) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x
c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9
d) – 22
– = – x – 14
18
x + 18)x
2(32
x2 + 22
x2 – 13
2912
8 + 4x16
x2 + 1 – 2x16
8 + 8x16
x2 + 1 + 2x16
(x – 2)2
2x – 2
2(x + 1) (x – 2)
22x + 1
7
2 + x4
(x – 1)2
161 + x
2(x + 1)2
16
23
3 – x3
2x + 34
x + 12
Unidad 3. Álgebra24
e) + = + 1
f) 0,3)x2 – x – 1,3
)= 0
☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás solucionesenteras.
a) 2x2 – 2 + 6 (x2 + 4 – 4x) = 3x2 + 6
2x2 – 2 + 6x2 + 24 – 24x = 3x2 + 6
5x2 – 24x + 16 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
b) 0,5 (x2 + 1 – 2x) – 0,25 (x2 + 1 + 2x) = 4 – x
0,5x2 + 0,5 – x – 0,25x2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x
0,25x2 – 0,5x – 3,75 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
x = =
x1 = –3; x2 = 5
c) 0,25x2 – 1 = x2 + 1 + 2x – 9
0 = 0,75x2 + 2x – 7
x = =
x1 = 2; x2 = –
d) ( + 4 – 2x) – = –
3x2 + 48 – 24x – x – 1 = 1 – 2x + 2; 3x2 – 23x + 44 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
e) 4x (x – 3) + 2x (x + 2) = 9x2 + 4 – 12x + 8
4x2 – 12x + 2x2 + 4x = 9x2 + 4 – 12x + 8
0 = 3x2 – 4x + 12 8 No tiene solución.
113
411/3
23 ± 16
2x – 28
18
x + 18
x2
432
143
2–70/15 = –14/3
–2 ± 51,5
5–3
2 ± 82
45
4
4/5
24 ± 1610
(3x – 2)2
8x(x + 2)
4x(x – 3)
2
Unidad 3. Álgebra 25
3UNIDAD
f) – – = 0 8 x2 – 3x – 4 = 0
x = = =
x1 = 4, x2 = –1
Página 93
9 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-mula general y comprueba las soluciones:
☛ Recuerda: ax2 + c = 0 se resuelve despejando x. ax 2 + bx = 0 se resuelve sa-cando factor común e igualando a cero cada factor.
a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20
b) – =
c) – = –
d) (x – a)2 + x(x + b) = 8b2 – x(2a – b) + a2
a) x2 + 1 + 2x – x2 – 4 + 4x = x2 + 9 + 6x + x2 – 20
0 = 2x2 – 8; x2 = 4
x1 = –2; x2 = 2
b) 6x2 – 12x + 30 – 3x2 – 9x = 2x2 – 8x + 30
x2 – 13x = 0
x1 = 0; x2 = 13
c) 6x + 2 – 15x2 – 9 = 3x2 – 3 – 2x – 4
0 = 18x2 – 8x ; 2x (9x – 4) = 0
x1 = 0; x2 =
d) x2 + a2 – 2ax + x2 + bx = 8b2 – 2ax + bx + a2
2x2 = 8b2; x2 = 4b2; x = ±2b
x1 = 2b; x2 = –2b
49
x + 23
x2 – 12
5x2 + 32
3x + 13
x2 – 4x + 156
x2 + 3x4
x2 – 2x + 52
4–1
3 ± 52
3 ± √9 + 162
43
3x3
x2
3
Unidad 3. Álgebra26
Ecuaciones bicuadradas
10 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas y comprueba las soluciones:
a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b) x4 + 3x2 – 4 = 0
c) x4 + 3x2 + 2 = 0 d)x4 – 9x2 + 8 = 0
a) x2 = = =
x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1
b) x2 = = =
x1 = 1; x2 = –1
c) x2 = = = 8 No tiene solución
d) x2 = = =
x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 ; x4 = –2
11 Resuelve:
a) (x2 – 2)2 = 1
b) + x4 – 2 – x2 =
a) (x2 – 2)2 = 1 8 x4 – 4x2 + 4 = 1
x4 – 4x2 + 3 = 0
x2 = = =
x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1
b) 3x4 – 1 + 2x4 – 4 – x2 = x4 – 5
4x4 – x2 = 0
x2 (4x2 – 1) = 0
x1 = 0; x2 = ; x3 = – 12
12
x2 = 0
4x2 – 1 = 0
√3√3
31
4 ± 22
4 ± √16 – 122
x2 – 54)1
2(12
3x4 – 14
√2√2
81
9 ± 72
9 ± √81 – 322
–1–2
–3 ± 12
–3 ± √9 – 82
1–4 (no vale)
–3 ± 52
–3 ± √9 + 162
41
5 ± 32
5 ± √25 – 162
Unidad 3. Álgebra 27
3UNIDAD
Ecuaciones con radicales
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
a) = 3 + 2x b) x + = 1
c) + x = 0 d) + = 0
a) 5x + 6 = 9 + 4x2 + 12x ; 0 = 4x2 + 7x + 3
x = = =
x1 = –1; x2 = –
b) 7 – 3x = 1 + x2 – 2x ; 0 = x2 + x – 6
x = = =
x = –3
c) 2 – 5x = 3x2; 0 = 3x2 + 5x – 2
x = = =
x = –2
d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale)
No tiene solución.
13 Resuelve:
a) + = 4 b) = c) + = 3
a) 5x – 6 = 16 + 2x – 8
3x – 22 = –8
9x2 + 484 – 132x = 64 · 2x ; 9x2 – 260x + 484 = 0
x = =
x = 2
b) =
63x + 9 = 25x2 + 49 – 70x ; 0 = 25x2 – 133x + 40
x = =
x = 5
58/25 (no vale)
133 ± 11750
25x2 + 49 – 70x36
7x + 14
484/18 = 242/9 (no vale)2
260 ± 22418
√2x
√2x
√x + 1√x – 25x – 7
67x + 1√ 4
√5x – 6√2x
1/3 (no vale)–2
–5 ± 76
–5 ± √25 + 246
2 (no vale)–3
–1 ± 52
–1 ± √1 + 242
34
–1–3/4
–7 ± 18
–7 ± √49 – 488
√x – 5√2x + 3√3√2 – 5x
√7 – 3x√5x + 6
Unidad 3. Álgebra28
c) Aislamos un radical: = 3 –
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
x – 2 = 9 – 6 + x + 1 8 6 = 12 8 = 2
Repetimos el proceso: x + 1 = 4 8
Comprobamos la solución, + = 3, vemos que es válida.
Ecuaciones con la x en el denominador
14 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:
a) + 3x = b) + = 1
c) = –
☛ Ten en cuenta que 2 – x = –(x – 2).
d) – = + e) + = 1 +
f ) + = x
a) 2x + 4 + 6x2 = 5x2 + 6x
x2 – 4x + 4 = 0; x = 2
b) 8 (x – 6) + (12 – x) (x + 6) = x2 – 36
8x – 48 + 12x + 72 – x2 – 6x = x2 – 36
0 = 2x2 – 14x – 60
0 = x2 – 7x – 30
x = =
x1 = 10; x2 = –3
c) (x – 2)2 = x2 + (x – 1)2
x2 + 4 – 4x = x2 + x2 + 1 – 2x
0 = x2 + 2x – 3
x = =
x = –3
1 (no vale)–3
–2 ± 42
–2 ± √4 + 122
10–3
7 ± 132
√2√2x
x
√2
2x + 3x2
x + 1x
3x + 1x3
x + 66 – x
x6
12
xx – 6
x – 12 – x
x2
(x – 1) (x – 2)x – 2x – 1
12 – xx – 6
8x + 6
5x + 62
x + 2x
√3 + 1√3 – 2
x = 3
√x + 1√x + 1√x + 1
√x + 1√x – 2
Unidad 3. Álgebra 29
3UNIDAD
d) 6x – 3 (x – 6) = x (x – 6) – 6 (x + 6)
6x – 3x + 18 = x2 – 6x – 6x – 36
0 = x2 – 15x – 54
x = =
x1 = –3; x2 = 18
e) 3x + 1 + x2 (x + 1) = x3 + 2x2 + 3x
3x + 1 + x3 + x2 = x3 + 2x2 + 3x
0 = x2 – 1
x1 = 1; x2 = –1
f) x2 + 2 = 2x2; 2 = x2
x1 = ; x2 = –
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
15 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 3x =
☛ Expresa como potencia de base 3.
b) 2x · 2x + 1 = 8
☛ Multiplica el primer miembro.
c) 5 · 7 –x = 35
☛ Divide los dos miembros por 5.
d) (0,5)x = 16
☛ 0,5 es una potencia de base 2.
e) =
f ) 21/x = 16
g) = 81
h) x
=
i ) 2x · 5x = 0,1
☛ Recuerda que 2x · 5x = (2 · 5)x.
8125)2
5(
33x – 2
3x + 3
149
√7x
3√9
3√9
√2√2
18–3
15 ± 212
Unidad 3. Álgebra30
a) 3x = 32/3 ò x =
b) 22x + 1 = 23 ò x = 1
c) 7–x = 7 ò x = –1
d) 2–x = 24 ò x = –4
e) 7x/2 = 7–2 ò x = –4
f) 21/x = 24 ò x =
g) 33x – 2 – x – 3 = 34 ò x =
h) ( )x = ( )3 ò x = 3
i) 10x = 10–1 ò x = –1
Página 94
16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:
a) = 27 b) ex – 9 =
c) 2x · 3x = 81 d) = 1
a) = 27 8 = ex 8 ln = ln ex
x = ln = ln 1 – ln 27 = 0 – ln 27 8 x ≈ –3,296
b) ex – 9 = 8 ln ex – 9 = ln
x – 9 = ln 73 8 x = 9 + 8 x ≈ 11,145
c) 6x = 81; x log 6 = log 81
x = ≈ 2,453
d) = 1; ( )x = 3; x log = log 3
x = ≈ –2,710log 3log 2 – log 3
23
23
2x
3x · 3
log 81log 6
ln 732
12
√73√73
127
127
127
1ex
2x
3x + 1
√731
e x
25
25
92
14
23
Unidad 3. Álgebra 31
3UNIDAD
17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:
a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 =
c) 81 + x + 23x – 1 = d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0
e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0
a) 2x + = 3
z = 2x 8 z + = 3; z2 + 2 = 3z
z2 – 3z + 2 = 0; z = = =
2x = 2 8 x1 = 1; 2x = 1 8 x2 = 0
b) 2 · 2x + = ; 4 · 2x + 2x = 5; 2x = 1
x = 0
c) 23 + 3x + 23x – 1 =
8 · (2x)3 + = 8 2x = z 8 128z3 + 8z3 = 17
(128 + 8) (z )3 = 17; (z )3 = = 8 z = = 8 2x =
x = –1
d) (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
2x = = =
x1 = 0; x2 = 2
e) (3x)2 – 3x – 6 = 0; 3x = = =
x = 1
f) 7 · (7x)2 – 50 · 7x + 7 = 0; 7x = =
x1 = –1; x2 = 1
71/7
50 ± 4814
3–2 (no vale)
1 ± 52
1 ± √1 + 242
41
5 ± 32
5 ± √25 – 162
12
12
1√—8
18
17136
1716
(2x)3
2
1716
52
2x
2
21
3 ± 12
3 ± √9 – 82
2z
22x
1716
52
Unidad 3. Álgebra32
18 Resuelve las ecuaciones:
a) log (x2 + 1) – log (x2 – 1) = log
b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)
c) 2ln (x – 3) = ln x – ln 4
d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1
a) log = log
12x2 + 12 = 13x2 – 13; 25 = x2
x1 = –5; x2 = 5
b) ln (x2 – 2x – 3) = ln (3x – 3)
x2 – 2x – 3 = 3x – 3; x2 – 5x = 0
x = 5 (x = 0 no vale)
c) ln (x – 3)2 = ln
x2 + 9 – 6x =
4x2 + 36 – 24x = x ; 4x2 – 25x + 36 = 0
x = =
x = 4
d) log = 1
x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x
x = 7
19 Resuelve las ecuaciones:
a) log (x + 9) = 2 + log x b) log + log = 1
c) 2(log x)2 + 7 log x – 9 = 0 d) log (x2 – 7x + 110) = 2
☛ Haz log x = y.
e) log (x2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
a) log = 2
x + 9 = 100x ; 9 = 99x ; x = =
x = 111
111
999
x + 9x
√x√3x + 5
x + 3x – 6
49/4 (no vale)
25 ± 78
x4
x4
1312
x2 + 1x2 – 1
1312
Unidad 3. Álgebra 33
3UNIDAD
b) = 1; 3x2 + 5x – 100 = 0
x = =
x = 5
c) log x = = =
d) x2 – 7x + 110 = 100; x2 – 7x + 10 = 0
x = = =
x1 = 2; x2 = 5
e) log = 1
x2 + 3x + 36 = 10x + 30; x2 – 7x + 6 = 0
x = = =
x1 = 1; x2 = 6
f) ln x + ln 2x + ln 4x = 3
ln (x · 2x · 4x) = 3
ln(8x3) = 3 8 8x3 = e3 8 x3 =
x = 3
= = 8 x =
Sistemas de ecuaciones
20 Resuelve:
a) b)
c) d)
☛ Suma las dos ecuaciones.
(x + y) (x – y) = 73x – 4y = 0
°¢£
x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0x2 – y2 – 5x + 5y + 2 = 0
°¢£
1 1 5— + — = —x y 62x + 3y = 2
°§¢§£
x · y = 15x 5— = —y 3
°§¢§£
e2
e2√ e3
8
e3
8
61
7 ± 52
7 ± √49 – 242
x2 + 3x + 36x + 3
52
7 ± 32
7 ± √49 – 402
1; x1 = 10–18/4 = –9/2; x2 = 10–9/2
–7 ± 114
–7 ± √49 + 724
5–40/6 (no vale)
–5 ± 356
log (x (3x + 5))2
Unidad 3. Álgebra34
a) x =
= 15; y2 = 9
x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3
b) 6y + 6x = 5xy 4 – 4x + 6x =
y = 6x + 12 = 10x – 10x2
10x2 – 4x + 12 = 0
5x2 – 2x + 6 = 0
No tiene solución.
c) 2x2 – 10x + 12 = 0; x2 – 5x + 6 = 0
x = = =
x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0
–x2 + y2 + 5x – 5y – 2 = 0
2y2 – 10y + 8 = 0
y2 – 5y + 4 = 0
y = = =
x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1
d) x =
· = 7
y2 = 9; y = ±3
x1 = 4, y1 = 3; x2 = –4, y2 = –3
21 Resuelve:
a)
b)
c)
d) √—x + y + 2 = x + 1
2x – y = 5
°¢£
√—3 (x + y) + x = 12
2x – y = 6
°¢£
2√—x + 1 = y + 1
2x – 3y = 1
°¢£
y2 – 2y + 1 = x
√—x + y = 5
°¢£
y3
7y3
4y3
41
5 ± 32
5 ± √25 – 162
32
5 ± 12
5 ± √25 – 242
2 – 2x3
5x (2 – 2x)3
y = 3 8 x = 5
y = –3 8 x = –55y2
3
5y3
Unidad 3. Álgebra 35
3UNIDAD
°§¢§£
a) x = (5 – y )2
y2 – 2y + 1 = 25 + y2 – 10y
8y = 24; y = 3; x = 4
x = 4; y = 3
b) 4x + 4 = y2 + 1 + 2y ; x =
x = =
y2 + 2y – 3 = 2 + 6y
y2 – 4y – 5 = 0
y = = =
x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5
c) y = 2x – 6
= 12 – x
9x – 18 = 144 + x2 – 24x
0 = x2 – 33x + 162
x = =
x = 6; y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)
d) y = 2x – 5
= x – 1
3x – 5 = x2 + 1 – 2x
0 = x2 – 5x + 6
x = = =
x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1
22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b)
a) y – x = 1
2x + 2y = 12
y = 1 + x 8 2x + 21 + x = 12 8 2x + 2 · 2x = 12 8
8 3 · 2x = 12 8 2x = 4 8 x = 2 8 y = 1 + 2 = 3
x = 2; y = 3
5x · 5y = 1
5x : 5y = 25
°¢£
y – x = 1
2x + 2y = 12°¢£
3 8 y = 1
2 8 y = –15 ± 1
25 ± √25 – 24
2
√3x – 5
27 8 y = 48 (no vale)
6 8 y = 633 ± 21
2
√3 (3x – 6)
5 8 x = 8
–1 8 x = –14 ± 6
24 ± √16 + 20
2
2 + 6y4
1 + 3y2
y2 + 2y – 34
Unidad 3. Álgebra36
b) 5x · 5y = 1
5x : 5y = 25
2x = 2 8 x = 1
1 + y = 0 8 y = –1
23 Resuelve:
a) b)
c) d)
e) f )
a) 2 log x = 2
x = 10; y = 100
b) log2 x + 3 log2 y = 5 log2 x + 3 log2 y = 5
2 log2 x – log2 y = 3 6 log2 x – 3 log2 y = 9
7 log2 x = 14
x = 4; y = 2
c) 2 log x + log y = 2 4 log x + 2 log y = 4
log x – 2 log y = 6 log x – 2 log y = 6
5 log x = 10 8 log x = 2
x = 100
y =
d) log = 1; = 10; x = 10y
100y2 – y2 = 11; 99y2 = 11; y2 = 8 y = ±
x = ; y =
(y = – no vale)13
13
103
13
19
xy
xy
1100
ln x – ln y = 2
ln x + ln y = 4°¢£
x – y = 25
log y = log x – 1°¢£
x2 – y2 = 11
log x – log y = 1
°¢£
log (x2y) = 2
log x = 6 + log y2
°¢£
log2 x + 3log2 y = 5x2
log2 — = 3y
°§¢§£
log x + log y = 3
log x – log y = –1°¢£
°¢£
5x + y = 50 8 x + y = 0
5x – y = 52 8 x – y = 2
Unidad 3. Álgebra 37
3UNIDAD
°§¢§£
e) x = 25 + y y = 0,1x
log = –1 0,9x = 25
x = ; y =
Restando a la 2.a ecuación la 1.a, queda:
2 ln y = 2 8 ln y = 1 8 y = e
Solución: x = e3; y = e
Método de Gauss
24 Resuelve por el método de Gauss:
a)
b) x + y + z = 3
2x – y + z = 2x – y + z = 1
°§¢§£
x – y – z = –10x + 2y + z = 11
2x – y + z = 8
°§¢§£
Sumando las dos ecuaciones, queda:2 ln x = 6 8 ln x = 3 8 x = e3
°¢£
ln x – ln y = 2ln x + ln y = 4
f)
259
2509
yx
Unidad 3. Álgebra38
°§¢§£
x = 1y = 1z = 1
°§¢§£
x = 15 – 3x
z = ——— = 12
y = 3 – x – z = 1
°§¢§£
x + y + z = 33x + 2z = 5–x = –1
1.a
2.a
3.a – 2.a
°§¢§£
x + y + z = 33x +2z = 52x +2z = 4
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
°§¢§£
x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1
b)
x = 0 y = 1 z = 9
°§¢§£
x = 0 y = 1 z = –1 + 10 = 9
°§¢§£
x – y – z = –102x + y = 17x = 0
1.a
2.a
3.a + 2 · 2.a
°§¢§£
x – y – z = –102x + y = 13x – 2y = –2
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
°§¢§£
x – y – z = –10x + 2y + z = 11
2x – y + z = 8
a)
25 Resuelve aplicando el método de Gauss:
a) b)
Página 95
26 Resuelve por el método de Gauss:
a)
b)
x = 6
y = –2
–5z = ––––
2
ا§§∞§§§±
–5z = ——
213 – 2z
x = ———— = 63
y = 9 – x + 2z = 9 – 6 – 5 = –2
ا∞§±
x + y – 2z = 93x + 2z = 13
2z = –5
1.a
2.a
3.a – 2.a
ا∞§±
x + y – 2z = 93x + 2z = 133x + 4z = 8
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
ا∞§±
x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1
a)
2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0
°§¢§£
x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1
°§¢§£
x = 1y = –2z = 3
°§¢§£
69z = ––– = 3
23
y = 7 – 3z = 7 – 9 = –2
x = 2 – y – z = 2 + 2 – 3 = 1
°§¢§£
x + y + z = 2y + 3z = 7
23z = 69
1.a
2.a
3.a + 6 · 2.a
°§¢§£
x + y + z = 2y + 3z = 7
– 6y + 5z = 27
1.a
2.a – 2 · 1.a
3.a – 1.a
°§¢§£
x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29
b)
x = 9y = 6z = 3
°§¢§£
x = 9z = x – 6 = 3y = 18 – x – z = 6
°§¢§£
x + y + z =18x – z = 6
2x =18
1.a
2.a
3.a + 2.a
°§¢§£
x + y + z = 18x – z = 6x + z = 12
1.a
2.a
3.a : 3
°§¢§£
x + y + z =18x – z = 63x + 3z =36
1.a
2.a
3.a + 2 · 1.a
°§¢§£
x + y + z =18x – z = 6x – 2y + z = 0
a)
x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11
x – 5y + 6z = 29
°§¢§£
x + y + z = 18x – z = 6
x – 2y + z = 0
°§¢§£
Unidad 3. Álgebra 39
3UNIDAD
27 Resuelve aplicando el método de Gauss:
a) b)
c) d)
e) f)
☛ Encontrarás sistemas compatibles (determinados e indeterminados) y siste-mas incompatibles.
ا∞§±
x + y + 3z = 2–x – 5z = –5–x – 5z = –5
1.a
2.a – 3 · 1.a
3.a + 1.a
ا∞§±
x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1
–2x – y – 8z = –7
c)
Las ecuaciones 2.a y 3.a dicen cosas contradicto-rias.El sistema es incompatible, no tiene solución.
ا∞§±
x + 2y + z = 3x + 3z = 4x + 3z = 4/6
1.a
2.a : 2
3.a : 6
ا∞§±
x + 2y + z = 32x + 6z = 86x + 18z = 4
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
ا∞§±
x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1
b)
x =
y =
z = 2
°§§¢§§£
1y = —
2
x = 1 + =
z = + = 2
°§§¢§§£
x – y = 1–2y = –1
x + y – z = 0
1.a
2.a + 3 · 1.a
3.a
ا∞§±
x – y = 1–3x + y = –4
x + y – z = 0
1.a
2.a – 5 · 3.a
3.a
ا∞§±
x – y = 12x + 6y – 5z = –4x + y – z = 0
a)
–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2
°§¢§£
x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1
°§¢§£
2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2
–5x + 3y + 5z = –1
°§¢§£
x + y + 3z = 22x + 3y + 4z = 1
–2x – y – 8z = –7
°§¢§£
x + 2y + z = 3x – 2y + 5z = 55x – 2y + 17z = 1
°§¢§£
x – y = 12x + 6y – 5z = –4
x + y – z = 0
°§¢§£
x = 0y = 0z = 0
ا∞§±
2x – 3y + z = 07x = 06x – 2y = 0
1.a
2.a + 2 · 1.a
3.a + 1.a
ا∞§±
2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0
b)
Unidad 3. Álgebra40
32
12
12
32
3212
Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función de z:
Solución : x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z
Solución: x = 2, y = , z =
Las ecuaciones 2.a y 3.a obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sis-tema es incompatible.
Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamoslas soluciones en función del parámetro y:
Solución : x = 1 – 3y, z = 3 – 7y
Inecuaciones
28 Resuelve estas inecuaciones:
a) 5(2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0
d) 9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 Ó 0 f ) x2 – 2x – 15 Ì 0
a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1
(–1, +@)
b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x
(–@, 1)
x – 12
8 –2(1 – 3y) + z = 1 – y 8 z = 3 – 7y°¢£
–2x + z = 1 – y
x = 1 – 3y
ا∞§±
–2x + y + z = 1x + 3y = 1x + 3y = 1
1.a
2.a + 1.a
3.a – 1.a
ا∞§±
–2x + y + z = 13x + 2y – z = 0–x + 4y + z = 2
f)
ا∞§±
x + y + z = 33y + 2z = 83y + 2z = –2
1.a
2.a + 1.a
3.a – 1.a
ا∞§±
x + y + z = 3–x + 2y + z = 5x + 4y + 3z = 1
e)
32
12
°§§¢§§£
x = 25x – 9 1
y = ———– = —2 2
3z = 2x – y – 2 = —
2
°§§¢§§£
2x – y – z = 2–x = –25x – 2y = 9
1.a
2.a – 2 · 1.a
3.a + 5 · 1.a
ا∞§±
2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2
–5x + 3y + 5z = –1
d)
8 (5 – 5z) + y = 2 – 3z 8 y = 2z – 3
8 x = 5 – 5z
°¢£
x + y = 2 – 3z
–x = –5 + 5z
Unidad 3. Álgebra 41
3UNIDAD
c) x (x + 5) < 0
(–5, 0)
d) (–@, – ) « ( , +@)e) = =
(–@, –4] « [–2, +@)
f) = =
[–3, 5]
29 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
c) d)
☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemasno tiene solución.
a) (–4, 1) b) (4, +@)
c)(17, +@)
d)No tiene solución.
30 Resuelve:
a) x2 – 7x + 6 Ì 0 b) x2 – 7x + 6 > 0
c) (x + 1) x2 (x – 3) > 0 d) x(x2 + 3) < 0
a) = =
[1, 6]
b) (–@, 1) « (6, +@)
c) (3, +@)
(–@, –1) « (3, +@)
(–@, –1)
d) (–@, 0)
°¢£
x < –1x < 3
°¢£
x + 1 < 0x – 3 < 0
°¢£
x > –1x > 3
°¢£
x + 1 > 0x – 3 > 0
6
17 ± 5
27 ± √49 – 24
2
°§§¢§§£
3x > —
21
x < – —5
°§¢§£
x > 1719
x > —5
°§¢§£
5x > –—
3x > 4
°¢£
x < 1x > –4
2x – 3 > 05x + 1 < 0
°¢£
5 – x < –1216 – 2x < 3x – 3
°¢£
3x – 2 > –75 – x < 1
°¢£
4x – 3 < 1x + 6 > 2
°¢£
5
–32 ± 8
22 ± √4 + 60
2
–2
–4–6 ± 2
2–6 ± √36 – 32
2
23
23
Unidad 3. Álgebra42
°§§¢§§£
31 Resuelve estas inecuaciones:
a) > 0 b) Ó 0 c) < 0 d) < 0
a) x – 3 > 0 8 (3, +@)
b) 3x + 5 Ó 0; x Ó – 8 [– , +@)c) x + 4 < 0; x < –4 8 (–@, –4)
d) 8 Ö
8 (–2, 3)
32 Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?
x al 8% 0,08x
(28 000 – x) al 6% 0,06 (28 000 – x)
0,08x = 0,06 (28 000 – x) + 200; 0,08x = 1 680 – 0,06x + 200 8 x = 13 428,57 €
Colocó 13 428,57 € al 8% y 14 571,43 € al 6%.
33 Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos.Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo.¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?
Entre los dos 8 1500 litros en 1,2 horas
+ = (en 1 hora)
=
2,4t + 1,2 = t2 + t
t2 – 1,4t – 1,2 = 0
t = =
El primero tardaría 3 horas, y el segundo, 2 horas.
2
–0,6 ¡Imposible!1,4 ± 2,6
2
t (t + 1)1,2t (t + 1)
1,2 (t + t + 1)1,2t (t + 1)
11,2
1t
1t + 1
°¢£
1.° 8 t + 12.° 8 t
1 añoÄÄ8
1 añoÄÄ8
PARA RESOLVER
°¢£
x < 3x > –2
°¢£
x – 3 < 0x + 2 > 0
°¢£
x > 3x < –2
°¢£
x – 3 > 0x + 2 < 0
53
53
x – 3x + 2
x2
x + 43x + 5x2 + 1
2x – 3
Unidad 3. Álgebra 43
3UNIDAD
34 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino almercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio,aumenta en 0,45 € el precio de la docena.
¿Cuántas docenas tenía al principio?
☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de lasque quedan.
Tenía x docenas 8 €/docena
Le quedan x – 4 docenas 8 ( + 0,45) €/docena
( + 0,45) (x – 4) = 36
(36 + 0,45x) (x – 4) = 36x
36x – 144 + 0,45x2 – 1,8x = 36x
0,45x2 – 1,8x – 144 = 0
x = 20 (x = –16 no vale) ò Tenía 20 docenas.
35 Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Dese-cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo so-bre el precio de compra, por 147 €.
¿Cuántos kilogramos compró?
☛ Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de costede las que quedan.
Compró x kg 8 €/kg
Vende (x – 20) kg 8 ( + 0,40) €/kg
( + 0,40) (x – 20) = 147
(125 + 0,40x) (x – 20) = 147x
125x – 2 500 + 0,40x2 – 8x = 147x
0,40x2 – 30x – 2 500 = 0
x = 125 (x = –50 no vale)
Compró 125 kg.
125x
125x
125x
36x
36x
36x
Unidad 3. Álgebra44
36 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por el totalde las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invitan, de-biendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigos son?
Número de amigos 8 x 8 €/consumición
(x – 2) ( + 0,80) = 6
(x – 2) (6 + 0,80x) = 6x
6x + 0,80x2 – 12 – 1,6x = 6x
0,80x2 – 1,6x – 12 = 0
x = 5 (x = –3 no vale)
Son 5 amigos.
37 El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las di-mensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.
4x = 40; x = 10 m
b2 + (3b – 10)2 = 102 8 b2 + 9b2 + 100 – 60b = 100 8 10b2 – 60b = 0 8
8 b (10b – 60) = 0 8 b = 0, b = 6
Base: 18 m; Altura: 6 m
38 El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se in-crementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufrióun descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes de enerosuperó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la exposiciónen enero?
Enero Febrero Marzo
x 1,12x 0,88 · 1,12x = 0,9856x
x = 0,9856x + 36 ò x = 2 500 personas
–12%ÄÄ8+12%ÄÄ8
3b – 10
3b
b
10
6x
6x
Unidad 3. Álgebra 45
3UNIDAD
Página 96
39 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m2. Calcula el lado.
h2 + ( )2 = l2
h2 = l2 – = ; h =
Área = = 50
l2 = 8 l = = 10,75 m
40 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos debaldosas:
Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera eltipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación?
Superficie: 12x = 10 (x + 40)
12x = 10x + 400
2x = 400
x = 200 baldosas
200 · 12 = 2 400 dm2 = 24 m
41 En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si seinvierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor.Calcula el número inicial.
· 8 30x + x = 31x
· 8 10x + 3x = 13x
El número es el 93.
3xU
xD
xU
3xD
°¢£
n.° baldosas A 8 xn.° baldosas B 8 x + 40
3 dm
4 dm 5 dm
2 dmA
B
√200
√√—3
200
√3
√3l2
4
√3 l2
3l 2
4l 2
4
l2
Unidad 3. Álgebra46
l l
l
h
31x = 13x + 54
18x = 54
x = 3°§¢§£
42 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafete-ría de la esquina?
—No sé, nunca me he fijado.
—Pero hombre..., lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos herma-nas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado?
—Algo más de 14 euros.
—El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos mí-os. ¿Cuánto pagaste?
—Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.
¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?
6x > 14 8 x > 2,)3
8x < 20 8 x < 2,5
Entre 2,34 y 2,50 €.
43 Resuelve:
a) 3x4 – 75x2 = 0 b) = x + 2
c) – = 2 d) + =
e) x · (x + 1) · (x – 2) · x – = 0
f) (x2 – 9) ( + 3) = 0 g) ( – x + 2)x = 0
a) 3x2 (x2 – 25) = 0
x1 = 0; x2 = 5; x3 = –5
b) 4x + 5 = x2 + 4 + 4x ; 1 = x2
x1 = 1; x2 = –1
c) 2x – 3 = 4 + x – 5 + 4
x – 2 = 4
x2 + 4 – 4x = 16 (x – 5)
x2 + 4 – 4x = 16x – 80
x2 – 20x + 84 = 0
x = =
x1 = 6; x2 = 14
14
620 ± 8
2
√x – 5
√x – 5
x = 1
x = –1
√x√x
)12(
310
x5(x + 3)
1x + 2
√x – 5√2x – 3
√4x + 5
Unidad 3. Álgebra 47
3UNIDAD
d) =
10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18
0 = x2 + x – 12
x = =
x1 = 3; x2 = –4
e) x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2; x4 =
f) x1 = 3; x2 = –3
g) x = 0
= x – 2
x1 = 0; x2 = 4 (x = 1 no vale)
44 Resuelve:
a) | | = 4 b) |x2 – 1| = 3
a)
45 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despe-jar la incógnita:
a) + = 0 b) – = 0 c) – = 0
d) – = 0 e) – – = 0
a) = 0 ò x = –3
= ò x =
b) = 0 ò x4 = = ò x1 = ; x2 =
c) x3 – 2 = 0 ò x = 3√2
–23
23
24
341681
81x4 – 168 · 81x3
–53
–53√ 125
2727x3 + 125
45x2
1x3 + x2
xx + 1
x + 1x2
5x3
22
5x
1x2
x2
281x3
x8
259x2
3x5
x1 = 2x2 = –2
°¢£
x2 – 1 = 3 ò x2 = 4 ò x = ±2x2 – 1 = –3 ò x2 = –2 (no vale)
b)
x1 = 11x2 = –5
°§§¢§§£
x – 3–––––– = 4 ò x – 3 = 8 ò x = 11
2x – 3
–––––– = –4 ò x – 3 = –8 ò x = –52
x – 32
√x
12
3
–4–1 ± 7
2
3 (x2 + 5x + 6)10 (x + 2) (x + 3)
10 (x + 3) + 2x (x + 2)10 (x + 2) (x + 3)
Unidad 3. Álgebra48
d) 4 – 25x4 = 0 ò x4 =
x = ±4
= ± = ±
x1 = ; x2 =
e) (x + 1) (x + 1) – x · x2 – 1 = 0
x2 + 2x + 1 – x3 – 1 = 0
–x3 + x2 + 2x = 0
–x (x2 – x – 2) = 0
x1 = 0, x2 = –1, x3 = 2
46 Resuelve:
a) b)
c)
a) x = 8 – y
– = 8 – = 8
8 8 + 2y – 2 = 8 – 2y 8 2y – 8 = –2y 8
8 4y = 8 8 16y2 = 64y 8 16y2 – 64y = 0 8
8 16y (y – 4) = 0
x1 = 8, y1 = 0; x2 = 4, y2 = 4
b) x = –5 – y
= – 1
= – 1
2y – 10 = 2y – 5 + 1 – 2
2 = 6
= 3
2y – 5 = 9
x = –12; y = 7
c) x1 = –3, y1 = 1; x2 = 2, y2 = 5
√2y – 5
√2y – 5
√2y – 5
√2y – 5√2y – 10
√3y – 5 – y√4y – 10 – 2y
y = 0 8 x = 8
y = 4 8 x = 4
√y
√y√16y
√8 – 2y√2y√8√2y√8 – 2y√8
(x + 3) (y – 5) = 0
(x – 2) (y – 1) = 0°¢£
√—4y + 2x = √
—3y + x – 1
y + x = –5
°¢£
√—x + y – √
—x – y = √
—2y
x + y = 8
°¢£
–√105
√105
√105√ 2
5√ 425
425
Unidad 3. Álgebra 49
3UNIDAD
47 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) |x – 5| = 3x – 1
b) |x + 2| = |x – 6|
c) |x2 – 3x + 1| = 1
d) |x2 – x| = |1 – x2|
a) x – 5 = 3x – 1 ò –2x = 4; x = –2 (no vale)
5 – x = 3x – 1 ò 6 = 4x ; x =
b) x + 2 = x – 6 ò Imposible
x + 2 = 6 – x ò 2x = 4 ò x = 2
c) x2 – 3x + 1 = 1 ò x2 – 3x = 0 ò x (x – 3) = 0
x2 – 3x + 1 = –1 ò x2 – 3x + 2 = 0
x = = =
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3
d) x2 – x = 1 – x2 ò 2x2 – x – 1 = 0
x2 – x = x2 – 1 ò x = 1
x = = =
x1 = ; x2 = 1
48 Resuelve por tanteo:
a) 2x = x3
b) ln x = –x
a) 2x = x3; x ≈ 1,37
b) x ≈ 0,57
49 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una so-lución en el intervalo indicado:
a) x3 – x – 2 = 0 en [1, 2]
b) 3x3 + x2 – 3 = 0 en [0, 1]
a) x ≈ 1,52
b) x ≈ 0,90
–12
1
–1/21 ± 3
41 ± √1 + 8
4
2
13 ± 1
23 ± √9 – 8
2
32
Unidad 3. Álgebra50
50 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre trespersonas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la ter-cera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos.
¿Cómo lo hacemos?
Llamamos x a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, yz a los que recibe la tercera. Así, tenemos que:
Solución: x = 120 € recibe la 1.a; y = 100 € recibe la 2.a; z = 110 € recibe la 3.a.
51 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenases una unidad mayor que la suma de las otras dos.
Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades.¿Cuál es ese número?
Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las uni-dades. Así, el número es:
x y z 8 100x + 10y + z
Tenemos que:
Solución: El número es el 142.
x = 1y = 4z = 2
°§¢§£
x = 1z = 3 – x = 2y = 7 – x – z = 7 – 1 – 2 = 4
°§¢§£
x + y + z = 7x + z = 3
2x = 2
1.a
2.a
3.a + 2.a
°§¢§£
x + y + z = 7x + z = 3x – z = –1
1.a
2.a : 2
3.a
°§¢§£
x + y + z = 72x + 2z = 6x – z = –1
1.a
2.a + 1.a
3.a
°§¢§£
x + y + z = 7x – y + z = –1x – z = –1
°§¢§£
x + y + z = 7x – y + z = –1
99x – 99z = –99
°§¢§£
x + y + z = 7y = x + z + 1100z + 10y + x = 100x + 10y + z + 99
°§¢§£
x = 120y = x – 20 = 100z = 330 – x – y = 110
°§¢§£
x + y + z = 330x – y = 20
2x = 240
1.a
2.a
3.a + 2.a
°§¢§£
x + y + z = 330x – y = 20x + y = 220
1.a
2.a
3.a : 3
°§¢§£
x + y + z = 330x – y = 20
3x + 3y = 660
1.a
2.a
3.a + 2 · 1.a
°§¢§£
x + y + z = 330x – y = 20x + y –2z = 0
°§§¢§§£
x + y + z = 330
x = y + 20
x + yz = –––––––
2
Unidad 3. Álgebra 51
3UNIDAD
Página 97
52 ¿Qué valores ha de tomar el parámetro k para que x2 – 6x + k = 0 no ten-ga soluciones reales?
36 – 4k < 0; 36 < 4k ; 9 < k ; k > 9
53 Halla m para que al dividir el polinomio
2x4 + 9x3 + 2x2 – 6x + m
entre x + 4, el resto sea igual a 12.
m – 8 = 12 ò m = 20
54 Escribe un polinomio de grado 4 que solo tenga por raíces 0 y 1.
Por ejemplo: P (x) = x3 (x – 1); Q (x ) = x2 (x – 1)
55 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución:
La primera y la tercera ecuación son contradictorias.
56 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores:
a) 3, –3, y – b) 5; 0,3 y –2
c) 0, y 0,7 d) 0, 1, –1 y
a) (x – 3) (x + 3) (x – ) (x + ) = (x2 – 9) (x2 – 7) = x4 – 16x2 + 63
b) (x – 5) (x – 0,3) (x + 2) = x3 – 3,3x2 – 9,1x + 3
c) x x – (x – 0,7) = x (x – 0,5) (x – 0,7) = x3 – 1,2x2 + 0,35x
d) x (x – 1) (x + 1) x – = x4 – x3 – x2 + x13
13)1
3()1
2(
√7√7
13
12
√7√7
x + y – z = 32x – y + z = 5x + y – z = 2
°§¢§£
CUESTIONES TEÓRICAS
Unidad 3. Álgebra52
2 9 2 –6 m
–4 –8 –4 8 –8
2 1 –2 2 m – 8
57 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x:
a) abx2 – (a + b)x + 1 = 0
☛ Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado per-fecto:
a2 + b2 – 2ab = (a – b)2
b) (x – a)2 – 2x (x + a) – 4a2 = 0
c) ax2 + bx + b – a = 0
d) (a + b)x2 + bx – a = 0
a) x = = =
= =
x1 = ; x2 =
b) x2 + a2 – 2ax – 2x2 – 2ax – 4a2 = 0
x2 + 4ax + 3a2 = 0
x = = = =
=
x1 = –a; x2 = –3a
c) x = = =
= =
x1 = –1; x2 = a – ba
–b + 2a – b 2a – 2b a – b—––––––––– = ––––––– = –––––
2a 2a a
–b – 2a + b—––––––––– = –1
2a
–b ± √(2a – b )2
2a
–b ± √b2 – 4ab + 4a2
2a–b ± √b2 – 4a (b – a)
2a
–4a + 2a –2a—––––––– = ––––– = –a
2 2
–4a – 2a –6a—––––––– = ––––– = –3a
2 2
–4a ± 2a2
–4a ± √4a2
2–4a ± √16a2 – 12a2
2
1b
1a
a + b + a – b 2a 1—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab ba + b – a + b 2b 1—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab a
a + b ± (a – b )2ab
a + b ± √a2 + b2 + 2ab – 4ab2ab
a + b ± √(a + b )2 – 4ab2ab
PARA PROFUNDIZAR
Unidad 3. Álgebra 53
3UNIDAD
d) x = = = =
=
x1 = –1; x2 =
58 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x4 – 4x2 < 0 b) x3 – x2 – 6x < 0
c) > 0 d) < 0
a) x2 (x2 – 4) < 0 ò x2 – 4 < 0 b) x (x2 – x – 6) < 0
x ? 0 x (x – 3) (x + 2) < 0
(–2, 0) « (0, 2) (–@, –2) « (0, 3)
c) (–2, 2) d) x ? 1; (1, +@)
59 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacarde cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporciónalcohol-agua sea de 3 a 5?
alcohol alcohol alcohol
La proporción de alcohol es:
x + (12 – x) · = · 12
+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3
Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.
92
24 – 2x5
3x10
38
25
310
38
25
310
3 alcohol7 agua
x cazos
V1
2 alcohol3 agua
(12 – x) cazos
V2
3 alcohol5 agua
12 cazos
°¢£
x ? 34 – x2 > 0
–2(x – 1)3
4 – x2
(x – 3)2
aa + b
–b + 2a + b a—––––––––– = –––––––
2(a + b) a + b–b – 2a – b –(2a + 2b)—––––––––– = —––––––––– = –1
2(a + b) 2(a + b)
–b ± (2a + b)2 (a + b)
–b ± √b2 + 4a2 + 4ab2 (a + b)
–b ± √b2 + 4a (a + b)2 (a + b)
Unidad 3. Álgebra54
AUTOEVALUACIÓN
1. Resuelve factorizando previamente.
3x5 + x4 – 9x3 – 9x2 – 2x = 0
3x5 + x4 – 9x3 – 9x2 – 2x = 0
x (3x4 + x3 – 9x2 – 9x – 2) = 0
3x2 + 4x + 1 = 0 8 x = = =
La ecuación factorizada queda así:
x (x + 1)2 · x + (x – 2) = 0
Las soluciones son: x1 = 0; x2 = –1; x3 = – ; x4 = 2
2. Opera y simplifica el resultado.
– :
– : = : =
= : =
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x4 – 3x2 + 2 = 0 b) – x = x + 6
c) = – d)3x – 1 =
e) 22x – 6 · 2x + 8 = 0 f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1)
g) |3x + 1| = |x – 3|
1
√3
43
xx + 2
3xx2 – 4
√8 + 2x
13(x + 1)
x (x – 1)(x + 1)(x – 1)3x
(x2 – x2 + x)(x – 1)3x (x2 – 1)
3xx – 1
x2 – x (x – 1)x2 – 1
3xx – 1)x
x + 1x2
x2 – 1(
3xx – 1)x
x + 1x2
x2 – 1(
13
)13(
–11
– —3
–4 ± 26
–4 ± √16 – 126
3 1 –9 –9 –2
–1 –3 2 7 2
3 –2 –7 –2 0
2 6 8 2
3 4 1 0
Unidad 3. Álgebra 55
3UNIDAD
a) x4 – 3x2 + 2 = 0
Hacemos el cambio y = x2.
y2 – 3y + 2 = 0 8 y = = =
y = 2 8 x = ±
y = 1 8 x = ±
Las soluciones son: x1 = ; x2 = – ; x3 = 1; x4 = –1
b) – x = x + 6 8 = 2x + 6
Elevamos al cuadrado ambos miembros.
( )2 = (2x + 6)2 8 8 + 2x = 4x2 + 36 + 24x 8 4x2 + 22x + 28 = 0 8 2x2
+ 11x + 14 = 0
x = = =
Comprobada sobre la ecuación inicial, el resultado – resulta ser no válido.
Por tanto, la solución de la ecuación es x = –2.
c) = – 8 = 8
8 9x = 3x2 – 6x – 4x2 + 16 8 x2 + 15x – 16 = 0 8
8 x = = =
Soluciones: x1 = 1; x2 = –16
d) 3x – 1 = 8 3x – 1 = 3–1/2 8 x – 1 = – 8 x =
e) 22x – 6 · 2x + 8 = 0 8 (2x )2 – 6 · 2x + 8 = 0
Hacemos el cambio y = 2x, con lo que obtenemos:
y2 – 6y + 8 = 0 8 y = = =
y = 4 8 2x = 4 8 2x = 22 8 x = 2
y = 2 8 2x = 2 8 2x = 21 8 x = 1
Soluciones: x1 = 1; x2 = 2
4
2
6 ± 22
6 ± √36 – 322
12
12
1
√3
1
–16
–15 ± 172
–15 ± √225 + 644
3x (x – 2) – 4(x2 – 4)3(x2 – 4)
9x3(x2 – 4)
43
xx + 2
3xx2 – 4
72
–27
– —2
–11 ± 34
–11 ± √121 – 1124
√8 + 2x
√8 + 2x√8 + 2x
√2√2
1
–1√y
√—2
–√—2
√y
2
1
3 ± 12
3 ± √9 – 82
Unidad 3. Álgebra56
f) ln x + ln 4 = 2 ln (x + 1) 8 ln 4x = ln (x + 1)2 8 4x = (x + 1)2 8
8 x2 – 2x + 1 = 0 8 (x – 1)2 = 0 8 x = 1
Solución: x = 1
g) |3x + 1| = |x – 3|
Soluciones: x1 = –2; x2 =
4. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) b)
a)
Hacemos el cambio 3x = z:
z2 – 6z + 9 = 0 8 z = = 3
3x = 3 8 x = 1
x = 1 8 y = 2
Solución: x = 1; y = 2
b)
14z = –14 8 z = –1
–y + z = –3 8 –y – 1 = –3 8 y = 2
x + 2y + 2z = 3 8 x + 4 – 2 = 3 8 x = 1
Solución: x = 1; y = 2; z = –1
5. Resuelve:
a) x(x – 1) – 2(x + 2) < x(x + 1) b) Ó 0
a) x (x – 1) – 2(x + 2) < x (x + 1) 8 x2 – x – 2x – 4 < x2 + x 8
8 –4x – 4 < 0 8 4x > –4 8 x > –1
Solución: x é (–1, +@)
x2 + 2x + 1x + 3
°§¢§£
x + 2y + 2z = 3
–y + z = –3
14z = –143.ª + 7 · 2.ªÄÄÄÄ8
°§¢§£
x + 2y + 2z = 3
–y + z = –3
7y + 7z = 7
2.ª – 1.ªÄÄÄÄ83.ª + 2 · 1.ªÄÄÄÄ8
°§¢§£
x + 2y + 2z = 3
x + y + 3z = 0
–2x + 3y + 3z = 1
6 ± √36 – 362
y = 2x
32x – 6 · 3x = –9
°¢£
y – 2x = 0
3y – 6 · 3x = –9
x + 2y + 2z = 3
x + y + 3z = 0
–2x + 3y + 3z = 1
°§¢§£
y – 2x = 0
3y – 6 · 3x = –9
°¢£
12
3x + 1 = x – 3 8 2x = –4 8 x = –2
3x + 1 = –(x – 3) 8 4x = 2 8 x = 1/2
Unidad 3. Álgebra 57
3UNIDAD
b) Ó 0
Para que un cociente sea positivo, el numerador y el denominador han de serlo.
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, (x + 1)2 Ó 0 para cualquier valor de x.
Para x = –3, la ecuación no tiene solución, ya que el denominador ha de ser cero.
Veamos dónde es x + 3 positivo.
x + 3 > 0 8 x > –3
Solución: x é (–3, +@)
6. La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas esuna unidad mayor que la suma de las otras dos.
Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades. ¿Cuáles ese número?
Supongamos que el número es xyz.
xyz = z + 10y + 100x
zyx = x + 10y + 100z
Con los datos que tenemos, el sistema que se plantea es:
8
2z = 4 8
–x + z = 1 8 –x + 2 = 1 8
El número buscado es el 142.
x = 1
z = 2°¢£
x + z = 3
–x + z = 1
y = 4
°§¢§£
x + y + z = 7
2y + z = 8
–x + y + z = 1
1.ª + 2.ªÄÄÄÄ8
°§¢§£
x + y + z = 7
–x + y – z = 1
–99x + y + 99z = 99
°§¢§£
x + y + z = 7
y = x + z + 1
x + 10y + 100z = 99 + z + 10y + 100x
x2 + 2x + 1x + 3
Unidad 3. Álgebra58
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 63
Página 128
1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en lapágina siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270°?
a) 2π b) = 57° 17' 44,8"
c) · = 90° d) · 2π = 3
Página 129
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30° b) 72° c) 90°
d) 127° e) 200° f ) 300°
Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal.
Por ejemplo: 30° = 30 · rad = rad ≈ 0,52 rad
a) · 30° = rad ≈ 0,52 rad
b) · 72° = rad ≈ 1,26 rad
c) · 90° = rad ≈ 1,57 rad
d) · 127° ≈ 2,22 rad
e) · 200° = rad ≈ 3,49 rad
f) · 300° = rad ≈ 5,24 rad5π3
2π360°
10π9
2π360°
2π360°
π2
2π360°
2π5
2π360°
π6
2π360°
π6
π180
π2
270°360°
π2
360°2π
360°2π
π2
FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS5
3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad
d) rad e) 3,5 rad f) π rad
a) · 2 = 114° 35' 29,6" b) · 0,83 = 47° 33' 19,8"
c) · = 36° d) · = 150°
e) · 3,5 = 200° 32' 6,8" f) · π = 180°
4. Completa la siguiente tabla y añade las razones trigonométricas (seno, cosenoy tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado:
La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.
Página 133
1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (a – b) = cos (a + (–b)) = cos a cos (–b) – sen a sen (–b) =
= cos a cos b – sen a (–sen b) = cos a cos b + sen a sen b
2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:
tg (a + b) =
tg (a – b) = tg (a + (–b)) = (*)= =
(*) Como 8 tg (–a) = – tg a°¢£
sen (–a) = –sen acos (–a) = cos a
tg a – tg b1 + tg a tg b
tg a + (– tg b)1 – tg a (– tg b)
tg a + tg (–b)1 – tg a tg (–b)
tg a + tg b1 – tg a tg b
360°2π
360°2π
5π6
360°2π
π5
360°2π
360°2π
360°2π
5π6
π5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas64
GRADOS
RADIANES
0°
π4
π2
3π
30° 60° 90° 135° 150°
GRADOS
RADIANES
210°
π4
3π5
3π7
4
225° 270° 330° 360°
3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes fórmulas:
sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
tg (a – b) = = (*)=
= =
(*) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b.
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Cal-cula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,utilizando las fórmulas (I) y (II).
• sen 12° = 0,2
cos 12° = = = 0,98
tg 12° = = 0,2
• sen 37° = 0,6
cos 37° = = = 0,8
tg 37° = = 0,75
• 49° = 12° + 37°, luego:
sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
tg 49° = tg (12° + 37°) = = = 1,12
(Podría calcularse tg 49° = ).• 25° = 37° – 12°, luego:
sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° =
= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428
cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° =
= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904
tg 25° = tg (37° – 12°) = = = 0,4780,75 – 0,2
1 + 0,75 · 0,2tg 37° – tg 12°
1 + tg 37° tg 12°
sen 49°cos 49°
0,2 + 0,751 – 0,2 · 0,75
tg 12° + tg 37°1 – tg 12° tg 37°
0,60,8
√1 – 0,36√1 – sen2 37°
0,20,98
√1 – 0,04√1 – sen2 12°
tg a – tg b1 + tg a tg b
sen a cos b cos a sen b—————— – ——————cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b
—————— + ——————cos a cos b cos a cos b
sen a cos b – cos a sen bcos a cos b + sen a sen b
sen (a – b)cos (a – b)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 65
5UNIDAD
5. Demuestra la siguiente igualdad:
=
= =
= = =
6. Demuestra las tres fórmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo a = b en las fór-mulas (I).
sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a
tg 2a = tg (a + a) = =
7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.
sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = 2 · · =
cos 60° = cos (2 · 30°) = cos2 30° – sen2 30° = ( )2 – ( )2 = – = =
tg 60° = tg (2 · 30°) = = = = =
8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.
sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = 2 · · = 1
cos 90° = cos (2 · 45°) = cos2 45° – sen2 45° = ( )2 – ( )2 = 0
tg 90° = tg (2 · 45°) = = 8 No existe.
9. Demuestra que:
=
= = = 1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
1 – cos a1 + cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
2 · 11 – 1
2 tg 45°1 – tg2 45°
√22
√22
√22
√22
√32 · √
—3/3
2/3
2 · √—3/3
1 – 3/9
2 · √—3/3
1 – (√—3/3)2
2 tg 30°1 – tg2 30°
12
24
14
34
12
√32
√32
√32
12
2 tg a1 – tg2 a
tg a + tg a1 – tg a tg a
1tg a
cos a
sen a
2 cos a cos b
2 sen a cos b
cos a cos b – sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b
sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b – cos a sen b
cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)
1tg a
cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas66
Página 134
10. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmu-las IV.1, IV.2 y IV.3.
• cos a = cos (2 · ) = cos2 – sen2
Por la igualdad fundamental:
cos2 + sen2 = 1 8 1 = cos2 + sen2
De aquí:
a) Sumando ambas igualdades:
1 + cos a = 2 cos2 8 cos2 = 8 cos = ±
b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):
1 – cos a = 2 sen2 8 sen2 = 8 sen = ±
• Por último:
tg = = =
11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razonestrigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
• cos 78° = 0,2
sen 78° = = = 0,98
tg 78° = = 4,9
• sen 39° = sen = = = 0,63
cos 39° = cos = = = 0,77
tg 39° = tg = = = 0,82√1 – 0,2
1 + 0,2√1 – cos 78°
1 + cos 78°78°2
√1 + 0,2
2√1 + cos 78°
278°2
√1 – 0,2
2√1 – cos 78°
278°2
0,980,2
√1 – 0,22√1 – cos2 78°
√1 – cos a1 + cos a
±√1 – cos a2
±√1 + cos a2
sen a/2cos a/2
a2
√1 – cos a2
a2
1 – cos a2
a2
a2
√1 + cos a2
a2
1 + cos a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 67
5UNIDAD
12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.
• cos 60° = 0,5
• sen 30° = sen = = 0,5
cos 30° = cos = = 0,866
tg 30° = tg = = 0,577
13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.
• cos 90° = 0
• sen 45° = sen = = =
cos 45° = cos = =
tg 45° = tg = = = 1
14. Demuestra que 2tg a · sen2 + sen a = tg a.
2 tg a · sen2 + sen a = 2 tg a · + sen a =
= (1 – cos a) + sen a = sen a ( + 1) =
= sen a ( ) = sen a · =
= = tg a
15. Demuestra que = tg2 .
= =
= = = tg2 a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
a2
2sen a – sen 2a2sen a + sen 2a
sen acos a
1cos a
1 – cos a + cos acos a
1 – cos acos a
sen acos a
1 – cos a2
a2
a2
√1√1 – 0
1 + 090°2
√22√1 + 0
290°2
√22√1
2√1 – 0
290°2
√1 – 0,5
1 + 0,560°2
√1 + 0,5
260°2
√1 – 0,5
260°2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas68
Página 135
16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:
• Expresa en función de a y b :
cos (a + b) = .......... cos (a – b) = ..........
• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.
• Sustituye en las expresiones anteriores:
8 a = b =
• cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b (1)
Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a sen b (2)
• Llamando 8 a = , b = (al resolver el sistema)
• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:
(1) 8 cos A + cos B = 2 cos cos
(2) 8 cos A – cos B = –2 sen sen
17. Transforma en producto y calcula:
a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°
a) sen 75° – sen 15° = 2 cos sen =
= 2 cos 45° sen 30° = 2 · · =
b) cos 75° + cos 15° = 2 cos cos =
= 2 cos 45° cos 30° = 2 · · =
c) cos 75° – cos 15° = –2 sen sen =
= –2 sen 45° cos 30° = –2 · · = –√62
√32
√22
75° – 15°2
75° + 15°2
√62
√32
√22
75° – 15°2
75° + 15°2
√22
12
√22
75° – 15°2
75° + 15°2
A – B2
A + B2
A – B2
A + B2
A – B2
A + B2
°¢£
a + b = A
a – b = B
A – B
2A + B
2
°¢£
a + b = Aa – b = B
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 69
5UNIDAD
18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-ción y simplifica el resultado:
= = = tg 3a
Página 137
1. Resuelve estas ecuaciones:
a) 2cos2 x + cos x – 1 = 0 b) 2sen2 x – 1 = 0
c) tg2 x – tg x = 0 d) 2sen2 x + 3cos x = 3
a) cos x = = =
Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).
b) 2 sen2 x – 1 = 0 8 sen2 x = 8 sen x = ± = ±
• Si sen x = 8 x1 = 45°, x2 = 135°
• Si sen x = – 8 x3 = –45° = 315°, x4 = 225°
Todas las soluciones son válidas.
c) tg2 x – tg x = 0 8 tg x (tg x – 1) = 0
Todas las soluciones son válidas.
d) 2 sen2 x + 3 cos x = 3 (*)8 2 (1 – cos2 x ) + 3 cos x = 3
(*) Como sen2 x + cos2 x = 1 8 sen2 x = 1 – cos2 x
2 – 2 cos2 x + 3 cos x = 3 8 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0
cos x = = =
Entonces: • Si cos x = 1 8 x1 = 0°
• Si cos x = 8 x2 = 60°, x3 = –60° = 300°
Las tres soluciones son válidas.
12
11/2
3 ± 14
3 ± √9 – 84
tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°tg x = 1 8 x3 = 45°, x4 = 225°
√22
√22
√22
1
√2
12
1/2 8 x1 = 60°, x2 = 300°
–1 8 x3 = 180°–1 ± 3
4–1 ± √1 + 8
4
2 sen 3a
2 cos 3a
4a + 2a 4a – 2a2 sen ——–—— cos —–———
2 2
4a + 2a 4a – 2a2 cos ——–—— cos —–———
2 2
sen 4a + sen 2a
cos 4a + cos 2a
sen 4a + sen 2a
cos 4a + cos 2a
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas70
2. Resuelve:
a) 4cos 2x + 3 cos x = 1 b) tg 2x + 2cos x = 0
c) cos (x/2) – cos x = 1 d) 2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0
a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 8 4 (cos2 x – sen2 x ) + 3 cos x = 1 8
8 4 (cos2 x – (1 – cos2 x)) + 3 cos x = 1 8 4 (2 cos2 x – 1) + 3 cos x = 1 8
8 8 cos2 x – 4 + 3 cos x = 1 ò 8 cos2 x + 3 cos x – 5 = 0 8
8 cos x = = =
• Si cos x = 0,625 8 x1 = 51° 19' 4,13", x2 = –51° 19' 4,13"
• Si cos x = –1 8 x3 = 180°
Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.
b) tg 2x + 2 cos x = 0 8 + 2 cos x = 0 8
8 + cos x = 0 8 + cos x = 0 8
8 + cos x = 0 8 sen x cos x + cos x (cos2 x – sen2 x) = 0 8
8 cos x (sen x + cos2 x – sen2 x) = 0 8 cos x (sen x + 1 – sen2 x – sen2 x) 8
8 cos x (1 + sen x – 2 sen2 x) = 0 8
8cos x = 0
1 + sen x – 2 sen2 x = 0 8 sen x = =
• Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
• Si sen x = – 8 x3 = 210°, x4 = 330° = –30°
• Si sen x = 1 8 x5 = 90° = x1
Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.
c) cos – cos x = 1 8 – cos x = 1 8
8 – cos x = 1 8 = 1 + cos x 8
8 1 + cos x = 1 + cos2 x + 2 cos x 8 cos2 x + cos x = 0 8 cos x (cos x + 1) = 0
• Si cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
• Si cos x = –1 8 x3 = 180°
Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son:
x1 = 90° y x3 = 180°
√1 – cos x√1 + cos x
√1 + cos x
2√2
x
2√2
12
–1/21
–1 ± √1 + 8–4
sen x cos x
cos2 x – sen2 x
sen x/cos x
1 – (sen2 x/cos2 x)
tg x
1 – tg2 x
2 tg x
1 – tg2 x
10/16 = 5/8 = 0,625–1
–3 ± 1316
–3 ± √9 + 16016
√2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 71
5UNIDAD
°¢£
d) 2 sen x cos2 x – 6 sen3 x = 0 8 2 sen x (cos2 x – 3 sen2 x) = 0 8
8 2 sen x (cos2 x + sen2 x – 4 sen2 x) = 0 8 2 sen x (1 – 4 sen2 x) = 0
• Si sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
• Si sen2 x = 8 sen x = ± ò x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°
Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.
3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuaciónsen 3x – sen x = 0.
sen 3x – sen x = 0 8 2 cos sen = 0 8 2 cos 2x sen x = 0 8
8
• Si cos 2x = 0 8
• Si sen x = 0 ò x5 = 0°, x6 = 180°
Comprobamos que las seis soluciones son válidas.
4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen (π – x) = cos – x + cos π
b) sen – x + sen x = 0
a) sen (π – x) = sen x
cos ( – x) = –sen x Entonces, la ecuación queda:
cos π = –1
sen x = –sen x – 1 8 2 sen x = –1 8 sen x =
Si sen x = 8 x1 = rad, x2 = rad
Al comprobar vemos:
x1 = 8 sen (π – x) = sen (π – ) = sen =
cos ( – x) = cos ( – ) = cos = cos = 12
π3
2π6
7π6
3π2
3π2
–12
–π6
7π6
7π6
11π6
7π6
–12
–12
3π2
√2)π4(
)3π2(
2x = 90° 8 x1 = 45°
2x = 270° 8 x2 = 135°
2x = 90° + 360° 8 x3 = 225°
2x = 270° + 360° 8 x4 = 315°
°§§¢§§£
cos 2x = 0
sen x = 0
°¢£
3x – x2
3x + x2
12
14
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas72
°§§¢§§£
Luego la solución es válida, pues:
sen (π – x) = = cos ( – x) + cos π = + (–1)
x2 = 8 sen (π – x) = sen (π – ) = sen ( ) = –
cos ( – x) = cos ( – ) = cos ( ) = cos ( ) =
Luego también es válida esta solución, pues:
sen (π – x) = = cos ( – x) + cos π = + (–1)
Por tanto, las dos soluciones son válidas: x1 = rad y x2 = rad
b) sen ( – x) = sen cos x – cos sen x = cos x – sen x
Luego la ecuación queda:
cos x – sen x + sen x = 0 8 cos x + sen x = 0 8
8 cos x + sen x = 0 8 cos x = –sen x 8 x1 = rad, x2 = rad
Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.
5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
a) tg x = – b) sen x = cos x
c) sen2 x = 1 d) sen x = tg x
a) x = 120° + k · 360° o bien x = 300° + k · 360°
Las dos soluciones quedan recogidas en:
x = 120° + k · 180° = + k π rad con k é Z
b) x = + k π rad con k é Z
c) Si sen x = 1 8 x = + 2k π rad
Si sen x = –1 8 x = + 2k π rad
d) En ese caso debe ocurrir que:
O bien sen x = 0 8 x = k π rad
O bien cos x = 1 8 x = 2k π rad
3π2
π2
π4
2π3
√3
7π4
3π4
√22
√22
√2√22
√22
√22
√22
π4
π4
π4
11π6
7π6
12
3π2
–12
12
–π3
–2π6
11π6
3π2
3π2
12
–5π6
11π6
11π6
12
3π2
–12
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 73
5UNIDAD
°§§¢§§£
8 x = + k π rad con k é Zπ
2
°¢£
8 x = k π rad con k é Z
Página 142
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Grados y radianes
1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) b) c)
d) e) f)
* Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que: π radianes = 180°.
a) 30° b) 120° c) 240°
d) 225° e) 210° f) 810°
2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) 1,5 b)3,2
c) 5 d)2,75
a) · 1,5 = 85° 56' 37" b) · 3,2 = 183° 20' 47"
c) · 5 = 286° 28' 44" d) · 2,75 = 157° 33' 48"
3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en fun-ción de π y en forma decimal.
a) 40° b)108° c) 135°
d)240° e) 270° f) 126°
* Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14...
a) = ≈ 0,7 rad
a) · 40° = ≈ 0,7 rad b) · 108° = ≈ 1,88 rad
c) · 135° = ≈ 2,36 rad d) · 240° = ≈ 4,19 rad
e) · 270° = ≈ 4,71 rad f) · 126° = ≈ 2,2 rad7π10
2π360°
3π2
2π360°
4π3
2π360°
3π4
2π360°
3π5
2π360°
2π9
2π360°
2π9
40π180
360°2π
360°2π
360°2π
360°2π
9π2
7π6
5π4
4π3
2π3
π6
PARA PRACTICAR
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas74
4 Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora:
a) 5 cos – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π
b)5 tg π + 3 cos – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π
c) sen – 4sen + 3sen π – sen
Comprueba el resultado obtenido utilizando la calculadora.
a) 5 · 0 – 1 + 2 · (–1) – 0 + 1 = –2
b) 5 · 0 + 3 · 0 – 2 · 0 + (–1) – 2 · 0 = –1
c) · 1 – 4(–1) + 3 · 0 – · 1 = 3
5 Prueba que:
a) 4 sen + cos + cos π = 2
b)2 sen + 4 sen – 2 sen = 3
a) 4 sen + cos + cos π = 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2
b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3
6 Halla el valor exacto de cada una de estas expresiones sin utilizar la calcu-ladora:
a) sen + sen + sen π
b) cos π – cos 0 + cos – cos
c) sen – cos + tg + tg
Comprueba los resultados con la calculadora.
a) + 1 + 0 =
b) –1 – 1 + 0 – 0 = –2
c) – – + + – = + + 1 – = 5√3
3)1
3
1
2
1
2(√3)√3
3(√3)√3
2(√3
2
√2 + 2
2
√2
2
11π6
4π3
7π6
2π3
3π2
π2
π2
π4
12
√32
√3π2
π6
2π3
√3
√22
√212
π4
√2π6
π2
π6
2π3
√3
π4
√2π6
5
3
2
3
π2
5
3
3π2
π2
2
3
3π2
π2
3π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 75
5UNIDAD
7 Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora:
a) sen + cos – sen
b)cos + tg – tg
c) cos + sen – cos – 2 sen
Comprueba los resultados con la calculadora.
a) – + – – – = –
b) + – = +
c) · + – · – 2 · = + – 1 – 3 = –2
8 En cada caso halla, en radianes, dos valores para el ángulo a tales que:
a) sen a = 0,32 b)cos a = 0,58
c) tg a = –1,5 d)sen a = –0,63
a) a1 = 0,33; a2 = 2,82 b) a1 = 0,95; a2 = 5,33
c) a1 = –0,98; a2 = 2,16 d) a1 = –0,68; a2 = 3,82
9 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientesángulos:
a) 2 rad b)3,5 rad c) 5 rad
* Ten en cuenta que:
≈ 1,57; π ≈ 3,14; ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28
a) 2.° cuadrante b) 3.er cuadrante c) 4.° cuadrante
Fórmulas trigonométricas
10 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que 75° = 30° + 45°.
sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° =
= · + · = √
—2 + √
—6
4√22
√32
√22
12
3π2
π2
1
2
3
2
√3
2√3
√2
2√2
1
2
√3
2√3
2√3
3
1
2
√3
3√3
1
2
√2
2)√2
2()√2
2(√2
2
π3
√3π4
√2π6
π6
√3
7π6
4π3
5π3
7π4
3π4
5π4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas76
cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° =
= · – · =
tg 75° = tg (30° + 45°) = = = =
= = = =
= = 2 +
NOTA: También podemos resolverlo como sigue:
tg 75° = = = = =
= = 2 +
11 Sabiendo que sen x = y que < x < π, calcula, sin hallar previamente el
valor de x:
a) sen 2x b) tg c) sen x +
d) cos x – e) cos f ) tg x +
* Calcula cos x y tg x y después aplica las fórmulas.
cos x = – = – = – (Negativo, por ser del 2.° cuadrante).
tg x = = –
a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · (– ) = –
b) tg = = = = 3
Signo positivo, pues si x é2.° cuadrante, entonces é1.er cuadrante.
c) sen (x + ) = sen x cos + cos x sen =
= · + (– ) · = 3√
—3 – 4
10
12
45
√32
35
π6
π6
π6
x
2
√ 9/5
1/5√ 1 – (–4/5)
1 + (–4/5)√ 1 – cos x
1 + cos x
x
2
2425
45
35
34
sen x
cos x
45
9√1 – —25
√1 – sen2 x
)π4(x
2)π3(
)π6(x
2
π2
3
5
√38 + 4√
—3
4
2 + 6 + 2√—12
4
(√—2 + √
—6 )2
6 – 2
√—2 + √
—6
√—6 – √
—2
sen 75°cos 75°
√312 + 6√
—3
6
9 + 3 + 6√—3
6
(3 + √—3 )2
9 – 3
3 + √—3
3 – √—3
(√—3 + 3)/3
(√—3 – 3)/3
√—3/3 + 1
1 – √—3/3
tg 30° + tg 45°1 – tg 30° tg 45°
√—6 – √
—2
4√22
12
√22
√32
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 77
5UNIDAD
d) cos (x – ) = cos x cos + sen x sen =
= (– ) · + · =
e) cos(*)= = = = =
(*) Signo positivo, porque é1.er cuadrante.
f ) tg (x + ) = = = =
Página 143
12 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-rando:
a) 15° = 45° – 30° b)15° =
a) sen 15° = sen (45° – 30°) = sen 45° cos 30° – cos 45° sen 30° =
= · – · = = 0,258819
cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =
= · + · = = 0,965926
tg 15° = = = =
= = 2 – = 0,267949
b) sen 15° = sen = = = =
= = 0,258819
cos 15° = cos = = = = 0,9659258
tg 15° = = = 0,26794910,2588190,9659258
√2 – √—3
√2 + √—3
√ 2 + √—3
4√ 1 + √—3/2
2√1 + cos 30°
230°2
√2 – √—3
2
√ 2 – √—3
4√ 1 – √—3/2
2√1 – cos 30°
230°2
√38 – 4√
—3
4
6 + 2 – 2√—12
6 – 2
√—6 – √
—2
√—6 + √
—2
sen 15°cos 15°
√—6 + √
—2
412
√22
√32
√22
√—6 – √
—2
412
√22
√32
√22
30°
2
17
1 – 3/41 + 3/4
–3/4 + 11 – (–3/4) · 1
tg x + tg π/41 – tg x tg π/4
π4
x
2
√1010√ 1
10√ 1/5
2√ 1 – 4/5
2√ 1 + cos x
2x
2
3√—3 – 4
10
√32
35
12
45
π3
π3
π3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas78
13 Sabiendo que sen x = 2/3 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula:
a) sen 2x b) tg c) cos (30° – x)
sen x = cos x, tg x > 0
x é1.er cuadrante
8
é1.er cuadrante 8
• cos x = = 1 – =
• tg x = =
a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 · · =
b) tg = = = =
= = =
c) cos (30° – x) = cos 30° cos x + sen 30° sen x = · + · =
= + =
14 Si tg a = – 4/3 y 90° < a < 180°, calcula:
a) sen – a b)cos 180° –
90° < a < 180° 8
Además, é1.er cuadrante
• tg a = –
• = tg2 a + 1 = + 1 = 8 cos2 a = 8 cos a = –
• sen a = = = =
a) sen ( – a) = sen cos a – cos sen a = 1 · (– ) – 0 · = –35
45
35
π2
π2
π2
45√ 16
25
9√1 – —25
√1 – cos2 a
35
925
259
169
1
cos2 a
43
a2
sen a > 0
cos a < 0
°¢£
)a2()π
2(
3√15 + 515
13
√155
23
12
2√55
√32
√9 – 4√—5√ 45 – 20√
—5
5√ 25 + 4 · 5 – 20√—5
25 – 4 · 5
√ 5 – 2√—5
5 + 2√—5√ 1 – 2√
—5/5
1 + 2√—5/5√ 1 – cos x
1 + cos x
x
2
4√59
√53
23
2√55
2/3
√5/3
√53
49
√1 – sen2 x
sen x/2 > 0
cos x/2 > 0
tg x/2 > 0
°§¢§£
x
2
23
x
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 79
5UNIDAD
°§§¢§§£
°§§¢§§£
b) cos (180° – ) = cos 180° cos + sen 180° sen = –cos =
= – = – = – =
= – = – = –
15 Sabemos que cos x = – y sen x < 0.
Sin hallar el valor de x, calcula:
a) sen x b)cos (π + x) c) cos 2x
d) tg e) sen – x f ) cos π –
8 x é3.er cuadrante ò é2.° cuadrante
a) sen x = – = – = – = –
b) cos (π + x) = cos π cos x – sen π sen x = –cos x =
c) cos 2x = cos2 x – sen2 x = – = =
d) tg = – = – = =
e) sen ( – x) = sen cos x – cos sen x = cos x = –
f) cos (π – ) = cos π cos + sen π sen = –cos =
= – (– ) = = =
16 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.
41° = 78° – 37°
• sen 78° = = = 0,98
• cos 37° = = = 0,8√1 – 0,62√1 – sen2 37°
√1 – 0,22√1 – cos2 78°
√88√ 1
8√ 1 – 3/4
2√ 1 + cos x
2
x
2x
2x
2x
2
34
π2
π2
π2
√7√ 7
1√ 1 + 3/4
1 – 3/4√ 1 – cos x
1 + cos x
x
2
18
216
716
916
34
√74√ 7
16
9√1 – —16
√1 – cos2 x
x
2
°¢£
cos x = –3/4
sen x < 0
)x
2()π2(x
2
3
4
√55√ 1
5√ 2
10
√5 – 3
10√1 + (–3/5)
2√ 1 + cos a2
a2
a2
a2
a2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas80
Ahora, ya podemos calcular:
• sen 41° = sen (78° – 37°) = sen 78° cos 37° – cos 78° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
• cos 41° = cos (78° – 37°) = cos 78° cos 37° + sen 78° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
• tg 41° = = = 0,8877
17 Si tg (a + b) = 4 y tg a = –2, halla tg 2b.
tg (a + b) = 8 4 = 8
8 4 + 8 tg b = –2 + tg b 8 7 tg b = –6 8
8 tg b = –
Luego:
tg 2b = = = = = –
Ecuaciones trigonométricas
18 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0 b)sen2 x – sen x = 0
c) 2 cos2 x – cos x = 0
* b) y c) son ecuaciones de 2.º grado incompletas.
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 014243
cos2 x
cos2 x = 0 8 cos x = 0 8
Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2kπ
Lo que podemos expresar como:
x = 90° + k · 180° = + k π con k éZπ2
3π2
π2
x1 = 90°
x2 = 270°°¢£
√3
8413
–12 · 497 · 13
–12/713/49
2 · (–6/7)1 – 36/49
2 tg b1 – tg2 b
67
–2 + tg b1 + 2 tg b
tg a + tg b1 – tg a tg b
0,6640,748
sen 41°cos 41°
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 81
5UNIDAD
°¢£
8 2 cos2 x – cos2 x = 0
°§§¢§§£
con k éZ
b) sen x (sen x – 1) = 0 8
8sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
sen x = 1 8 x3 = 90°
Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 90° + k · 360° = + 2k π
O, de otra forma:
x1 = k π = k · 180°
x3 = + 2k π = 90° + k · 360°
(x1 así incluye las soluciones x1 y x2 anteriores)
c) cos x (2 cos x – ) = 0 8
8cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = 8 x3 = 30°, x4 = 330°
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π
NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como unasola de la siguiente forma:
x = 90° + k · 180° = + k π
19 Resuelve:
a) sen2 x – cos2 x = 1 b) cos2 x – sen2 x = 0
c) 2cos2 x + sen x = 1 d) 3 tg2 x – tg x = 0
a) (1 – cos2 x) – cos2 x = 1 8 1 – 2 cos2 x = 1 8 cos2 x = 0 8
8 cos x = 0 8 x1 = 90°
x2 = 270°°¢£
√3
π2
11π6
π6
3π2
π2
√32
√3
π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas82
°§§¢§§£
con k éZ
°§¢§£
°§¢§£
con k éZ
°¢£
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
O, lo que es lo mismo:
x = 90° + k · 180° = + k π con k éZ
b) (1 – sen2 x) – sen2 x = 0 8 1 – 2 sen2 x = 0 8
8 sen2 x = 8 sen x = ±
• Si sen x = 8 x1 = 45°, x2 = 135°
• Si sen x = – 8 x3 = 225°, x4 = 315°
Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:
x1 = 45° + k · 360° = + 2k π
x2 = 135° + k · 360° = + 2k π
x3 = 225° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
O, lo que es lo mismo:
x = 45° + k · 90° = + k · con k éZ
c) 2 (1 – sen2 x) + sen x = 1 8 2 – 2 sen2 x + sen x = 1 8
8 2 sen2 x – sen x – 1 = 0 8
8 sen x = = =
Las tres soluciones son válidas, es decir:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π
x3 = 330° + k · 360° = + 2k π11π6
7π6
π2
1 8 x1 = 90°–1/2 8 x2 = 210°, x3 = 330°
1 ± 34
1 ± √1 + 84
π2
π4
7π4
5π4
3π4
π4
√22
√22
√22
12
π2
3π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 83
5UNIDAD
°§§¢§§£
con k éZ
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
d) tg x (3 tg x – ) = 0 8
8tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
tg x = 8 x3 = 30°, x4 = 210°
Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que lascuatro son válidas.
Entonces:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π
x4 = 210° + k · 360° = + 2k π
Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatroanteriores:
x1 = k · 180° = k π y x2 = 30° + k · 180° = + k π con k éZ
20 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen – x + cos – x =
b)sen 2x – 2 cos2 x = 0
* Desarrolla sen 2x y saca factor común.
c) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0
* Desarrolla cos 2x y sustituye cos2 x = 1 – sen2 x.
d)sen + x – sen x = 0
a) sen cos x – cos sen x + cos cos x + sen sen x =
cos x – sen x + cos x + sen x =
cos x + cos x = 8 cos x =
Comprobamos y vemos que:
x1 8 sen ( – ) + cos ( – ) = sen (– ) + cos 0 = + 1 =
x2 8 sen ( – ) + cos ( – ) = sen (– ) + cos (– ) = 1 – = 12
12
4π3
3π3
5π3
π3
5π3
π6
12
–12
π6
π3
π3
π3
π6
x1 = π/3x2 = 5π/3
12
12
12
12
12
√32
12
√32
12
12
π3
π3
π6
π6
√2)π4(
1
2)π3()π
6(
π6
7π6
π6
√33
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas84
°§¢§£
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
Son válidas las dos soluciones. Luego:
x1 = + 2k π = 60° + k · 360°
x2 = + 2k π = 300° + k · 360°
b) 2 sen x cos x – 2 cos2 x = 0 8 2 cos x (sen x – cos x) = 0 8
8
Comprobamos las soluciones. Todas son válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π
x4 = 225° + k · 360° = + 2k π
También podríamos expresarlas como:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 45° + k · 180° = + k π
c) cos2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 1 – sen2 x – sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8
8 1 – 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 8
8 sen x = = =
Comprobamos que las dos soluciones son válidas.
Luego:
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π
d) sen cos x + cos sen x – sen x = 0
cos x + sen x – sen x = 0√2√22
√22
√2π4
π4
5 π6
π6
1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150°–2 8 ¡Imposible¡, pues |sen x | Ì 1
–3 ± 54
–3 ± √9 + 164
π4
π2
5π4
π4
3π2
π2
cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
sen x = cos x 8 x3 = 45°, x4 = 225°
°¢£
5π3
π3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 85
5UNIDAD
°§§¢§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
cos x – sen x = 0 8 cos x – sen x = 0 8
8 cos x = sen x 8 x1 = , x2 =
Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego:
x1 = + 2k π = 45° + k · 360°
x2 = + 2k π = 225° + k · 360°
Podemos agrupar las dos soluciones en:
x = + k π = 45° + k · 180° con k éZ
21 Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
* Al hacer sen2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada.
Haz cos2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.
b)4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0
* Divide por cos2 x y obtendrás una ecuación con tg x.
c) cos2 + cos x – = 0
d) tg2 + 1 = cos x
e) 2 sen2 + cos 2x = 0
a) 4 (1 – cos2 x ) cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
4 cos2 x – 4 cos4 x + 2 cos2 x – 2 = 0
4 cos4 x – 6 cos2 x + 2 = 0 8 2 cos4 x – 3 cos2 x + 1 = 0
Sea cos2 x = z 8 cos4 x = z2
Así:
2z2 – 3z + 1 = 0 8 z = =
z1 = 1 8 cos x = ±1
z2 = 8 cos x = ±x3 = 45°, x4 = 315°x5 = 135°, x6 = 225°
√22
12
x1 = 0°x2 = 180°
3 ± 14
3 ± √9 – 84
x
2
x
2
1
2
x
2
π4
5π4
π4
5π4
π4
√22
√22
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas86
°§§¢§§£
con k éZ
Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
x5 = 135° + k · 360° = + 2k π
x6 = 225° + k · 360° = + 2k π
O, agrupando las soluciones:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 45° + k · 90° = + k
b) Dividiendo por cos2 x :
+ – = 0 8 4 tg2 x + tg x – 3 = 0 8
8 tg x = = =
Las cuatro soluciones son válidas:
x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π
x2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈ + 2k π
x3 = 135° + k · 360° = + 2k π
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π
O, lo que es lo mismo:
x1 = 36° 52' 11,6" + k · 180° ≈ + k π
x2 = 135° + k · 180° = + k π3π4
π5
7π5
3π5
6π5
π5
–1 ± 78
–1 ± √1 + 488
3 cos2 x
cos2 x
sen x cos x
cos2 x
4 sen2 x
cos2 x
π2
π4
7π4
3π4
5π4
π4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 87
5UNIDAD
°§§§§§§§§¢§§§§§§§§£
con k éZ
°§¢§£
con k éZ
8
–1 8 x3 = 135°
x4 = 315°°¢£
x1 = 36° 52' 11,6"
x2 = 216° 52' 11,6"°¢£
34
°§§§¢§§§£
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
c) + cos x – = 0 8 1 + cos x + 2 cos x – 1 = 0 8
8 3 cos x = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
Agrupando las soluciones:
x = 90° + k · 180° = + k π con k éZ
d) + 1 = cos x 8 1 – cos x + 1 + cos x = cos x + cos2 x 8
8 2 = cos x + cos2 x 8 cos2 x + cos x – 2 = 0 8
8 cos x = =
Luego: x = k · 360° = 2k π con k éZ
e) 2 · + cos2 x – sen2 x = 0 8
8 1 – cos x + cos2 x – (1 – cos2 x) = 0 8
8 1 – cos x + cos2 x – 1 + cos2 x = 0 8 2 cos2 x – cos x = 0 8
8 cos x (2 cos x – 1) = 0 8
Se comprueba que son válidas todas. Por tanto:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 60° + k · 360° = + 2k π
x4 = 300° + k · 360° = + 2k π
Agrupando las soluciones quedaría:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 60° + k · 360° = + 2k π
x3 = 300° + k · 360° = + 2k π5π3
π3
π2
5π3
π3
3π2
π2
cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = 1/2 8 x3 = 60°, x4 = 300°
°¢£
1 – cos x
2
1 8 x = 0°–2 8 ¡Imposible!, pues |cos x | Ì 1
–1 ± 32
–1 ± √1 + 82
1 – cos x
1 + cos x
π2
3π2
π2
12
1 + cos x
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas88
°§§¢§§£
con k éZ°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
Identidades trigonométricas
22 Demuestra que:
=
* Aplica las fórmulas de sen (a + b) y sen (a – b).
Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica.
= (*)=
= =
(*) Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b.
23 Prueba que 2 tg x cos2 – sen x = tg x.
* Sustituye cos2 = .
Como cos = ± 8 cos2 =
Y sustituyendo en la expresión:
2 tg x cos2 – sen x = 2 · – sen x =
= (*)=
= = = tg x
(*) Sacando factor común.
24 Demuestra que:
cos x + – cos x + = cos x
* Desarrolla y sustituye las razones de y .2π3
π3
)2π3()π
3(
sen x
cos x
sen x [1 + cos x – cos x]cos x
sen x (1 + cos x) – sen x cos x
cos x
1 + cos x
2sen x
cos x
x
2
1 + cos x
2x
2√ 1 + cos x
2x
2
1 + cos x
2
x
2
x
2
tg a + tg btg a – tg b
sen a cos b cos a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bsen a cos b cos a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
sen a cos b + cos a sen bsen a cos b – cos a sen b
sen (a + b)sen (a – b)
tg a + tg btg a – tg b
sen (a + b)
sen (a – b)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 89
5UNIDAD
cos (x + ) – cos (x + ) =
= [cos x cos – sen x sen ] – [cos x cos – sen x sen ] =
= [(cos x) – (sen x) ] – [(cos x) (– ) – (sen x) ] =
= cos x – sen x + cos x + sen x = cos x
25 Demuestra que:
cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) = cos b
* Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor co-
mún.
cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) =
= cos a (cos a cos b + sen a sen b) + sen a (sen a cos b – cos a sen b) =
= cos2 a cos b + cos a sen a sen b + sen2 a cos b – sen a cos a sen b =
= cos2 a cos b + sen2 a cos b(*)= cos b (cos2 a + sen2 a) = cos b · 1 = cos b
(*) Extraemos factor común.
Página 144
26 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm.
Halla el ángulo central en grados y en radianes.
Como la circunferencia completa (100,53 cm) son 2π rad, entonces:
= 8 a = = 1,25 rad
a = · 1,25 = 71° 37' 11"360°2π
20 · 2π100,53
2πa
100,5320
16 cm
20 cm
a
PARA RESOLVER
√32
12
√32
12
√32
12
√32
12
2π3
2π3
π3
π3
2π3
π3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas90
27 En una determinada circunferencia, a un arco de 12 cm de longitud le co-rresponde un ángulo de 2,5 radianes.
¿Cuál es el radio de esa circunferencia?
= 8 R = = 4,8 cm
28 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2π tal que sus razones
trigonométricas coincidan con las de .
0 < a < 2π
= 8 = 2π + ò a =
29 Demuestra:
=
= (*)=
= =
30 Simplifica la expresión:
Calcula su valor para a = .
= =
Por tanto, si a = ò = = = 2
√—2
2 · (— )2
√—2
—2
2 cos asen a
sen 2a1 – cos2 a
π4
2 cos asen a
2 sen a cos asen2 a
sen 2a1 – cos2 a
π4
sen 2a1 – cos2 a
1 + tg a tg b1 – tg a tg b
cos a cos b sen a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b
——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
cos a cos b + sen a sen bcos a cos b – sen a sen b
cos (a – b)cos (a + b)
1 + tg a tg b1 – tg a tg b
cos (a – b)
cos (a + b)
3π
43π
411π
48π + 3π
411π
4
11π4
2,5 rad
12 cm
12
2,5
12 cm
R cm
2,5 rad
1 rad
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 91
5UNIDAD
(*) Dividimos numerador ydenominador entre:
cos a cos b
31 Prueba que:
= tg2
= = =
= = tg2
32 Simplifica:
* Al desarrollar el numerador, obtendrás una diferencia de cuadrados.
=
= =
= =
= = =
= = 1
33 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) cos 2x + 3 sen x = 2
b) tg 2x · tg x = 1
c) cos x cos 2x + 2 cos2 x = 0
d)2 sen x = tg 2x
e) sen + cos x – 1 = 0
f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x
g) tg – x + tg x = 1
a) cos2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 8 1 – sen2 x – sen2 x + 3 sen x = 2 8
8 2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0 8
8 sen x = = 1 8 x1 = 90°1/2 8 x1 = 30°, x2 = 150°
3 ± 14
3 ± √9 – 84
)π4(
x
2√3
cos2 a – sen2 acos2 a – sen2 a
2 · 1/2 cos2 a – 2 · 1/2 sen2 acos2 a – sen2 a
2 · [(√—2/2)2 cos2 a – (√—
2/2)2 sen2 a]cos2 a – sen2 a
2 (cos2 45° cos2 a – sen2 45° sen2 a)
cos2 a – sen2 a
2 (cos 45° cos a – sen 45° sen a) (cos 45° cos a + sen 45° sen a)
cos2 a – sen2 a
2 cos (45° + a) cos (45° – a)cos 2a
2cos (45° + a) cos (45° – a)
cos 2a
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
a2
2sen a – sen 2a2sen a + sen 2a
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas92
Las tres soluciones son válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 30° + k · 360° = + 2k π
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π
b) · tg x = 1 8 2 tg2 x = 1 – tg2 x 8 tg2 x = 8
8 tg x = ± 8
Las cuatro soluciones son válidas:
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π
Agrupando:
x1 = 30° + k · 180° = + k π
x2 = 150° + k · 180° = + k π
c) cos x (cos2 x – sen2 x) + 2 cos2 x = 0 8
8 cos x (cos2 x – 1 + cos2 x) + 2 cos2 x = 0 8
8 2 cos3 x – cos x + 2 cos2 x = 0 8 cos x (2 cos2 x + 2 cos x – 1) = 0 8
8 cos x = 0 8 x1 = 90°, x2 = 270°
cos x = = =
= ≈ –1,366 8 ¡Imposible!, pues |cos x | ≤ –1≈ 0,366 8 x3 = 68° 31' 51,1", x4 = 291° 28' 8,9"
–1 ± √—3
2
–2 ± 2√—3
4–2 ± √4 + 8
4
5π6
π6
11π6
5π6
7π6
π6
x1 = 30°, x2 = 210°
x3 = 150°, x4 = 330°
°¢£
√33
13
2 tg x
1 – tg2 x
5π6
π6
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 93
5UNIDAD
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
Las soluciones son todas válidas:
x1 = 90° + k · 360° = + 2k π
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π
x3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π
x4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π
Agrupadas, serían:
x1 = 90° + k · 180° = + k π
x2 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π
x3 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π
d) 2 sen x = 8 2 sen x – 2 sen x tg2 x = 2 tg x 8
8 sen x – sen x = 8
8 sen x cos2 x – sen x sen2 x = sen x cos x 8
8 sen x (cos2 x – sen2 x – cos x) = 0 8
8 sen x (cos2 x – 1 + cos2 x – cos x) = 0 8
8 sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
2 cos2 x – cos x – 1 = 0° 8 cos x = =
=
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π
x4 = 120° + k · 360° = + 2k π
Que, agrupando soluciones, quedaría:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π4π3
2π3
2π3
4π3
1 8 x3 = 0° = x1–1/2 8 x4 = 240°, x5 = 120°
1 ± √1 + 84
sen x
cos x
sen2 x
cos2 x
2 tg x
1 – tg2 x
π2
3π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas94
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
°§§§¢§§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
°§¢§£
e) + cos x – 1 = 0 8 = (1 – cos x)2 8
8 3 – 3 cos x = 2 (1 + cos2 x – 2 cos x) 8 2 cos2 x – cos x – 1 = 0 8
8 cos x = = =
Al comprobar, vemos que las tres soluciones son válidas:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π
f ) 2 sen x cos x cos x = 6 sen3 x 8 2 sen cos2 x = 6 sen3 x 8
8 2 sen x (1 – sen2 x) = 6 sen3 x 8 2 sen x – 2 sen3 x = 6 sen3 x 8
8 sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
sen2 x = 8 sen x = ± 8
Comprobamos que todas las soluciones son válidas.
Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 30° + k · 90° = + k ·
g) + tg x = 1 8 + tg x = 1 8
8 1 + tg x + tg x – tg2 x = 1 – tg x 8 tg2 x – 3 tg x = 0 8
8 tg x (tg x – 3) = 0 8
8
Las cuatro soluciones son válidas:
x1 = k · 360° = 2k π
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π
x3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π
x4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ + 2k π7π5
2π5
tg x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 180°
tg x = 3 8 x3 = 71° 33' 54,2", x4 = 251° 33' 54,2"
°¢£
1 + tg x
1 – tg xtg (π/4) + tg x
1 – tg (π/4) tg x
π2
π6
x3 = 30°, x4 = 150°x5 = 210°, x6 = 330°
12
14
4π3
2π3
1 8 x1 = 0°–1/2 8 x2 = 120°, x3 = 240°
1 ± 34
1 ± √1 + 84
3 – 3 cos x
2√ 1 – cos x
2√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 95
5UNIDAD
°§§§¢§§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
°§§§§¢§§§§£
con k éZ
O, lo que es lo mismo:
x1 = k · 180° = k π
x2 = 71° 33' 54,2" + k · 180° ≈ + k π
34 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen 3x – sen x = cos 2x
b) = 1
c) =
d)sen 3x – cos 3x = sen x – cos x
* Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos en productos.
a) 2 cos sen = cos 2x
2 cos 2x sen x = cos 2x 8 2 sen x = 1 8 sen x = 8 x1 = 30°, x2 = 150°
Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego:
x1 = 30° + k · 360° = + 2k π
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π
b) = 1 8 = 1 8 = 1 8
8 = 1 8 2 sen 2x = 1 8 sen 2x = 8
2x = 30° 8 x1 = 15° + k · 360° = + 2k π
82x = 150° 8 x2 = 75° + k · 360° = + 2k π
2x = 390° 8 x3 = 195° + k · 360° = + 2k π
2x = 510° 8 x4 = 255° + k · 360° = + 2k π
Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas.
17π12
13π12
5π12
π12
12
2 sen 2x cos 2x
cos 2x
sen (2 · 2x)cos 2x
sen 4x
cos 2x
2 sen 4x cos x
2 cos 2x cos x
5π6
π6
12
3x – x2
3x + x2
√3sen 3x + sen x
cos 3x + cos x
sen 5x + sen 3x
cos x + cos 3x
2π5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas96
°§§¢§§£
con k éZ
°§§¢§§£
con k éZ
°§§§§§¢§§§§§£
°§§§§§¢§§§§§£
con k éZ
c) = = – = 8 tg x = – 8
Ambas soluciones son válidas. Luego:
x1 = 150° + k · 360° = + 2k π
x2 = 330° + k · 360° = + 2k π
d) sen 3x – sen x = cos 3x – cos x 8
8 2 cos 2x sen x = –2 sen 2x sen x 8 (dividimos entre 2 sen x )
8 cos 2x = –sen 2x 8 = –1 8 tg 2x = –1 8
2x = 315° 8 x1 = 157,5° + k · 360°
82x = 135° 8 x2 = 67,5° + k · 360°
2x = 675° 8 x3 = 337,5° + k · 360°
2x = 495° 8 x4 = 247,5° + k · 360°
Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas:
x = 67,5° + k · 90° con k éZ
35 a) Demuestra que: sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x
b)Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.
* a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla.
b) Sustituye sen 3x por el resultado anterior.
a) sen 3x = sen (2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x =
= 2 sen x cos x cos x + (cos2 x – sen2 x) sen x =
= 2 sen x cos2 x + sen x cos2 x – sen3 x = 3 sen x cos2 x – sen3 x
b) sen 3x – 2 sen x = 0 8 por el resultado del apartado anterior:
3 sen x cos2 x – sen3 x – 2 sen x = 0 8 3 sen x (1 – sen2 x) – sen3 x – 2 sen x = 0 8
8 3 sen x – 3 sen3 x – sen3 x – 2 sen x = 0 8
8 4 sen3 x – sen x = 0 8 sen x (4 sen2 x – 1) = 0 8
8
Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como:
con k éZ
°§¢§£
x1 = k · 180° = k πx2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k πx3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π
sen x = 0 8 x1 = 0°, x2 = 150°
sen x = ±1/2 8 x3 = 30°, x4 = 150°, x5 = 210°, x6 = 330°
°¢£
sen 2x
cos 2x
11π6
5π6
x1 = 150°
x2 = 330°
°¢£
√33
√31
tg x
cos x
–sen x
2 sen 2x cos x
–2 sen 2x sen x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 97
5UNIDAD
°§§¢§§£
con k éZ
°§§§¢§§§£
°§§§¢§§§£
con k éZ
36 Demuestra las siguientes igualdades:
a) cos (a + b) · cos (a – b) = cos2 a – sen2 b
b) sen2 – sen2 = sen a · sen b
c) cos2 – cos2 = sen a · sen b
a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b – sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) =
= cos2 a cos2 b – sen2 a sen2 b =
= cos2 a (1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) · sen2 b =
= cos2 a – cos2 a sen2 b – sen2 b + cos2 a sen2 b =
= cos2 a – sen2 b
b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego pode-mos factorizarlo como una suma por una diferencia:
[sen ( ) + sen ( )] · [sen ( ) – sen ( )] (*)=
= [2 sen cos ] · [2 cos sen ] =
= 4 · · · =
= =
= = = sen a sen b
(*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que:
+ = a y – = b
c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora:
+ = a y – = –b
cos2 ( ) – cos2 ( ) =
= [cos ( ) + cos ( )] · [cos ( ) – cos ( )] =
= [2 cos cos ] · [–2 sen sen ] = [2 cos cos ] · [2 sen sen ] =b2
a2
b2
a2
–b2
a2
–b2
a2
a + b2
a – b2
a + b2
a – b2
a + b2
a – b2
a + b2
a – b2
a + b2
a – b2
a – b2
a + b2
a – b2
a + b2
√sen2 a · sen2 b√(1 – cos2 a) (1 – cos2 b)
√(1 – cos a) (1 + cos b) (1 + cos a) (1 – cos b)
√ 1 – cos b2√ 1 + cos a
2√ 1 + cos b2√ 1 – cos a
2
b2
a2
b2
a2
a – b2
a + b2
a – b2
a + b2
)a + b2()a – b
2()a – b
2()a + b2(
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas98
= 4 · · · =
= = = sen a sen b
NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior co-mo sigue:
cos2 ( ) – cos2 ( ) = 1 – sen2 ( ) – 1 + sen2 ( ) =
= sen2 ( ) – sen2 ( ) (*)= sen a sen b
(*) Por el apartado b).
37 Simplifica la expresión: sen a · cos 2a – cos a · sen 2a
sen a (cos2 a – sen2 a) – cos a · 2 sen a cos a =
= sen a cos2 a – sen3 a – 2 sen a cos2 a =
= –sen a cos2 a – sen3 a = –sen a (cos2 a + sen2 a) = –sen a
38 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:
a)
b)
* Haz cos2 y = 1 – sen2 y y cos2 x = 1 – sen2 x.
c)
a) De la segunda ecuación:
2 cos sen =
Como:
x + y = 120° 8 2 cos 60° sen = 8 2 · sen = 8
8 sen = 8 = 30° 8 x – y = 60°
Así: x + y = 120°
x – y = 60°
2x = 180° 8 x = 90° 8 y = 30°
Luego la solución es: (90°, 30°)
x – y2
12
x – y2
12
x – y2
12
12
x – y2
12
x – y2
x + y2
sen x + cos y = 1
x + y = 90°
°¢£
sen2 x + cos2 y = 1
cos2 x – sen2 y = 1
°¢£
x + y = 120°1
sen x – sen y = —2
°§¢§£
a – b2
a + b2
a + b2
a – b2
a + b2
a – b2
√sen2 a · sen2 b√(1 – cos2 a) (1 – cos2 b)
√ 1 – cos b2√ 1 – cos a
2√ 1 + cos b2√ 1 + cos a
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 99
5UNIDAD
b) Como
El sistema queda:
8
(Sumando ambas igualdades) 8 –2 sen2 y = 0 8 sen y = 0 8 y = 0°
Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene:
cos2 x – 0 = 1 8 cos2 x = 1 =
Luego la solución es: (0°, 0°)
c) x + y = 90° 8 complementarios 8 sen x = cos y
Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:
cos y + cos y = 1 8 2 cos y = 1 8 cos y = 8 y = 60° 8
8 x = 90° – y = 90° – 60° = 30°
Luego la solución es: (30°, 60°)
39 Justifica que para cualquier ángulo a se verifica:
cos – a = sen a + cos a
Desarrollamos la primera parte de la igualdad:
· cos ( – a) = (cos cos a + sen sen a) =
= ( cos a + sen a) =
= · (cos a + sen a) = (cos a + sen a) =
= cos a + sen a
40 Expresa sen 4a y cos 4a en función de sen a y cos a.
• sen 4a = sen (2 · 2a) = 2 sen a cos 2a = 2 · 2 sen a cos a · (cos2 a – sen2 a) =
= 4 (sen a cos3 a – sen3 a cos a)
• cos 4a = cos (2 · 2a) = cos2 2a – sen2 2a =
= (cos2 a – sen2 a)2 – (2 sen a cos a)2 =
= cos4 a + sen4 a – 2 cos2 a sen2 a – 4 sen2 a cos2 a =
= cos4 a + sen4 a – 6 sen2 a cos2 a
22
√22
√2
√22
√22
√2
π4
π4
√2π4
√2
)π4(√2
12
cos x = 1 8 x = 0°
cos x = – 1 8 x = 180° é 2.º cuadrante
°¢£
°¢£
sen2 x – sen2 y = 0
–sen2 x – sen2 y = 0
°¢£
sen2 x + 1 – sen2 y = 1
1 – sen2 x – sen2 y = 1
°¢£
cos2 y = 1 – sen2 y
cos2 x = 1 – sen2 x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas100
Página 145
41 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos quemiden π/5 y 4π/5 radianes?
+ = = π 8 son suplementarios, luego:
sen = sen (π – ) = sen
cos = –cos ; tg = – tg
42 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo a:
a) sen (π – a); cos (π – a); tg (π – a)
b) sen (π + a); cos (π + a); tg (π + a)
c) sen (2π – a); cos (2π – a); tg (2π – a)
a) 8 tg (π – a) = – tg a
b) 8 tg (π + a) = tg a
c) 8 tg (2π – a) = – tg a
43 Expresa A(x) en función de sen x y cos x:
a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)
b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)
c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)
a) A (x) = sen (–x) – sen (π – x) = –sen x – sen x = –2 sen x
b) A (x) = cos (–x) + cos (π + x) = cos x + (–cos x) = 0
c) A (x) = sen (π + x) + cos (2 π – x) = –sen x + cos x
sen (2π – a) = –sen acos (2π – a) = cos a
°¢£
sen (π + a) = –sen acos (π + a) = –cos a
°¢£
sen (π – a) = sen acos (π – a) = –cos a
°¢£
4π5
π5
4π5
π5
4π5
4π5
π5
5π5
4π5
π5
CUESTIONES TEÓRICAS
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 101
5UNIDAD
44 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x , dan-do a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráfica-mente.
45 Representa las funciones:
a) y = cos x + b)y = sen x +
c) y = cos – x d)y = sen – x
a) 1
0
–1
b) 1
0
–1
π 2π–π 5π—4
π—4
π—2
3π—4
3π—2
7π—4
7π–— 4
3π–— 2
3π–— 4
π– — 4
π– — 2
5π–— 4
π 2π–π 5π—4
π—4
π—2
3π—4
3π—2
7π—4
7π–— 4
3π–— 2
3π–— 4
π– — 4
5π–— 4
π– — 2
)π2()π
2()π
2()π2(
PARA PROFUNDIZAR
1
0
–1
π 2π 9π—4
5π—4
π—4
π—2
3π—4
3π—2
7π—4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas102
x 0
y = cos 2x 1 0 – – – –1 – – – 12
√22
√32
√32
√22
12
√22
√32
2π
35π8
7π12
π2
5π12
3π8
π3
π4
π8
π12
π 2π
0 1 –1 0 0√32
√22
7π8
5π4
11π
127π8
3π4
46 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:
a) b) c)
a) Despejando en la segunda ecuación:
entonces:
sen x = = =
Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:
sen x + sen y = 8 + sen y = 8
8 sen y = –
Elevamos al cuadrado:
sen2 y = 3 + (2 cos y – cos2 y) – 2
sen2 y + cos2 y – 2 cos y – 3 = –2
1 – 2 cos y – 3 = –2
–2 (1 + cos y) = –2
Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado:
(1 + cos y)2 = 3 (2 cos y – cos2 y) 8
8 1 + cos2 y + 2 cos y = 6 cos y – 3 cos2 y 8
8 4 cos2 y – 4 cos y + 1 = 0 8 cos y = = 8 y = 60°12
4 ± √16 – 168
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√3 (2 cos y – cos2 y)
√2 cos y – cos2 y√3
√3√2 cos y – cos2 y√3
√2 cos y – cos2 y√1 – 1 – cos2 y + 2 cos y√1 – (1 – cos y)2
°¢£
cos x = 1 – cos y (*)
Como sen x = √1 – cos2 x
cos (x + y) = 1/2
sen (x – y) = 1/2
°¢£
sen2 x + cos2 y = 3/4
cos2 x – sen2 y = 1/4
°¢£
sen x + sen y = √—3
cos x + cos y = 1
°¢£
d) 1
0
–1
c) 1
0
–1
π 2π–π 5π—4
π—4
π—2
3π—4
3π—2
7π—4
7π–— 4
3π–— 2
3π–— 4
π– — 4
π– — 2
5π–— 4
π 2π–π 5π—4
π—4
π—2
3π—4
3π—2
7π—4
7π–— 4
3π–— 2
3π–— 4
π– — 4
π– — 2
5π–— 4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 103
5UNIDAD
Sustituyendo en (*), se tiene:
cos x = 1 – = 8 x = 60°
b) sen2 x + cos2 y =
cos2 x – sen2 y =
sen2 x + cos2 x + cos2 y – sen2 y = 1 8 1 + cos2 y – sen2 y = 1 8
8 2 cos2 y = 1 8 cos2 y = 8 cos y = 8 y = 45°
(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante).
Sustituyendo en la primera ecuación:
sen2 x + cos2 y = 8 sen2 x + = 8
8 sen2 x = – 8 sen2 x = 8 sen x = ±
Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así:
sen x = 8 x = 30°
Luego la solución es: (30°, 45°)
c)
8
Teniendo esto en cuenta:
cos (x + y) = 8 x + y = 60°
sen (x – y) = 8 x – y = 30° (Sumamos ambas ecuaciones)
2x = 90° 8 x = 45°
Sustituyendo en la primera ecuación y despejando:
y = 60° – x = 60° – 45° = 15°
La solución es, por tanto: (45°, 15°)
12
12
x + y é1.er cuadrante
x – y é1.er cuadrante
°¢£
°§¢§£
Como x, y é1.er cuadrante
y además cos (x + y) > 0
sen (x – y) > 0
12
12
14
12
34
34
12
34
√22
12
14
34
12
12
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas104
°§§¢§§£
Sumando:
47 Demuestra que:
a) sen x = b) cos x = c) tg x =
a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:
= = =
= = (1 + cos x) =
= = =
= = = sen x
b) = = = = cos x
c) = = =
= = =
= · =
= =
= · = · sen x = tg x1
cos x√sen2 x
1cos x
√1 – cos2 x1
cos x√(1 + cos x) (1 – cos x)
1cos x
1 – cos x√(1 + cos x )2—1 + cos x
1cos x
√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x
cos x
2√ 1 – cos x
1 + cos x
2 cos x
1 + cos x
2√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x – 1 + cos x
1 + cos x
2√ 1 – cos x
1 + cos x
1 – 1 – cos x
1 + cos x
2 tg (x/2)1 – tg2 (x/2)
2 cos x
2
1 + cos x – 1 + cos x—–––––––––––––————
1 + cos x
1 + cos x + 1 – cos x—–––––––––––––————
1 + cos x
1 – cos x1 – —————
1 + cos x
1 – cos x1 + —————
1 + cos x
1 – tg2 (x/2)
1 + tg2 (x/2)
√sen2 x√1 – cos2 x
√(1 + cos x) (1 – cos x)1 – cos x√(1 + cos x )2—1 + cos x
√1 – cos x
1 + cos x
2√ 1 – cos x
1 + cos x
2
1 + cos x
2√1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x + 1 – cos x
1 + cos x
2√ 1 – cos x
1 + cos x
1 + 1 – cos x
1 + cos x
2 tg (x/2)1 + tg2 (x/2)
2 tg x/2
1 – tg2 x/2
1 – tg2 x/2
1 + tg2 x/2
2 tg x/2
1 + tg2 x/2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 105
5UNIDAD
AUTOEVALUACIÓN
1. Expresa en grados: rad, rad, 2 rad.
rad = 135° rad = 450° 2 rad = 114° 35' 30''
2. Expresa en radianes dando el resultado en función de π y como número de-cimal:
a) 60° b) 225° c) 330°
a) 60° = rad = 1,05 rad
b) 225° = rad = 3,93 rad
c) 330° = rad = 5,76 rad
3. En una circunferencia de 16 cm de diámetro dibujamos un ángulo de 3 rad.¿Qué longitud tendrá el arco correspondiente?
l = 8 · 3 = 24 cm
4. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo:
a) y = cos x b) y = cos 2x c) y = 2cos x
Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica: (5π/6, ...), (4π/3, ...),(–π/4, ...).
La gráfica corresponde a la b) y = cos 2x. Su periodo es π.
–1
1
π2π—3
3π—4
π—6
π—4
π—3
π—2
5π—6
5π—4
4π—3
7π—6
8 cm
11π6
5π4
π3
5π2
3π4
5π2
3π4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas106
, … 8 y = cos 2 · = 8 ,
, … 8 y = cos 2 · = – 8 , –
– , … 8 y = cos 2 · – = 0 8 – , 0
5. Si cos a = – y a < π, halla:
a) sen 2a b) cos (π + a) c) tg d) sen – a
cos a = – a < π 8 sen2 a = 1 – –2
= 8 sen a =
a) sen 2a = 2 sen a cos a = 2 – = –
b) cos (π + a) = –cos a =
c) tg = = =
d) sen – a = sen cos a – cos sen a = – – · =
= – – =
6. Demuestra cada una de estas igualdades:
a) tg 2a =
b)sen (a + b) · sen (a – b) = sen2 a – sen2 b
a) tg 2a = = = =
b) sen (a + b) · sen (a – b) =
= (sen a cos b + cos a sen b) (sen a cos b – cos a sen b) =
= sen2 a cos2 b – cos2 a sen2 b = sen2 a (1 – sen2 b) – (1 – sen2 a) sen2 b =
= sen2 a – sen2 a sen2 b – sen2 b + sen2 a sen2 b = sen2 a – sen2 b
2tg a1 – tg2 a
2sen a cos a——
cos2 a
sen2 a1 – —
cos2 a
2sen a cos acos2 a – sen2 a
sen 2acos 2a
2 tg a1 – tg2 a
–1 – 3√5
8
√45
8
1
8
√15
4
√3
2)1
4(1
2
π6
π6)π
6(
5√ 3
1 – (–1/4)√ 1 + (–1/4)
1 – cos a√1 + cos aa2
1
4
√15
8)√15
4()1
4(
√15
4
15
16)1
4(1
4
)π6(a
2
1
4
)π4()π
4()π4(
)1
2
4π3(1
2
4π3)4π
3()1
2
5π6(1
2
5π6)5π
6(
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 107
5UNIDAD
7. Resuelve:
a) cos 2x – cos + x = 1 b)2tg x cos2 – sen x = 1
a) cos 2x – cos + x = 1
cos2 x – sen2 x – (–sen x) = 1 8 1 – sen2 x – sen2 x + sen x – 1 = 0
–2sen2 x + sen x = 0 8 sen x (–2sen x + 1) = 0
Soluciones:
x1 = 360°k; x2 = 180° + 360°k; x3 = 30° + 360°k; x4 = 150° + 360°k, con k éZ
b) 2tg x cos2 – sen x = 1 8 2tg x – sen x = 1 8
8 tg x + tg x cos x – sen x = 1 8
8 tg x + cos x – sen x = 1 8
8 tg x = 1 con k éZ
8. Simplifica:
a) b) 1 + tg2
a) = = = tg 45° = 1
b) 1 + tg2 = 1 + = =
= = = 22sen2 asen2 a
2sen2 a1 – cos2 a
)2
1 + cos a(sen2 a1 – cos a)1 – cos a
1 + cos a(sen2 a1 – cos a)a
2(sen2 a1 – cos a
sen 45°
cos 45°
60° + 30° 60° – 30°2sen— cos—
2 2
60° + 30° 60° – 30°2cos— cos—
2 2
sen 60° + sen 30°
cos 60° + cos 30°
)a2(sen2 a
1 – cos asen 60° + sen 30°
cos 60° + cos 30°
°¢£
x1 = 45° + 360°k
x2 = 225° + 360°k
sen x
cos x
1 + cos x
2
x
2
)π2(
x
2)π2(
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas108
sen x = 0
sen x = x = 30°
x = 150°
1
2
x = 0°
x = 180°
ANOTACIONES
ANOTACIONES
ANOTACIONES
Unidad 6. Números complejos 1
Página 147
REFLEXIONA Y RESUELVE
Extraer fuera de la raíz
■ Saca fuera de la raíz:
a) b)
a) = = 4 b) = 10
Potencias de
■ Calcula las sucesivas potencias de :
a) ( )3 = ( )2( ) = … b) ( )4 c) ( )5
a) ( )3 = ( )2( ) = (–1) · = –
b) ( )4 = ( )2( )2 = (–1) · (–1) = 1
c) ( )5 = ( )4 · = 1 · =
¿Cómo se maneja k · ?
■ Simplifica.
a) –2 + 11 – 8 –
b)5 + 2 – 10 + 3
c) 8 + – –
a) –2 + 11 – 8 – = 0 · = 0
b) 5 + 2 – 10 + 3 = 0
c) 8 + – – = + – – = √–1385
√–1)510
310
410
8010(√–1
12
√–1310
√–125
√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–112
√–1310
√–125
√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1
√–1
√–1√–100√–1√–1 · 16√–16
√–100√–16
NÚMEROS COMPLEJOS6
Expresiones del tipo a + b ·
■ Simplifica las siguientes sumas:
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 )
b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 )
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 ) = –1 – 5
b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 ) = –3 –
■ Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 )
b)8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 )
a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 ) = 6 – 12 – 24 – 42 = –18 – 54
b) 8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 ) = 40 – 24 – 12 + 8 = 28 – 16
Multiplicaciones
■ Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (4 – 3 ) · b) (5 + 2 ) · 8
c) (5 + 2 )(7 – 3 ) d) (5 + 2 )(5 – 2 )
a) (4 – 3 ) · = 4 – 3( )2 = 4 – 3 (–1) = 3 + 4
b) (5 + 2 ) · 8 = 40 + 16( )2 = –16 + 40
c) (5 + 2 )(7 – 3 ) = 35 – 15 + 14 – 6( )2 = 35 + 6 – = 41 –
d) (5 + 2 )(5 – 2 ) = 25 – 10 + 10 – 4( )2 = 25 + 4 = 29
Ecuaciones de segundo grado
■ Resuelve:
a) x2 + 10x + 29 = 0 b)x2 + 9 = 0
a) x2 + 10x + 29 = 0 8 x = = = =
= –5 ± 2
b) x2 + 9 = 0 8 x2 = –9 8 x = ± = ±3x1 = 3√
—–1
x2 = –3√—–1
√–1√–9
x1 = –5 + 2√—–1
x2 = –5 – 2√—–1
√–1
–10 ± 4 √–12
–10 ± √–162
–10 ± √100 – 1162
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√1√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1√–1√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1
Unidad 6. Números complejos2
Página 149
1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles sonreales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i
• Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
• Representación:
2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) z2 + 4 = 0 b) z2 + 6z + 10 = 0
c) 3z2 + 27 = 0 d) 3z2 – 27 = 0
a) z = = = ± 2i
z1 = 2i, z2 = –2i
b) z = = =
= = –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i
–3 + i
–3 – i
–6 ± 2i2
–6 ± √–42
–6 ± √36 – 402
2i
–2i
± 4i2
± √–162
i— + — i12
54
5 – 3i
4i
–5i
7–7–1 – i
√—3i
1
√3
√354
12
√354
12
Unidad 6. Números complejos 3
6UNIDAD
c) z2 = –9 8 z = ± = ±3i
z1 = –3i, z2 = 3i
d) z2 = 9 8 z = ±3
z1 = –3, z2 = 3
3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i b) 5 + 2i c) –1 – 2i d) –2 + 3i
e) 5 f) 0 g) 2i h) –5i
a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–3 3
3i
–3i
√–9
Unidad 6. Números complejos4
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i5i
–5i
2i
–2i
0
5–5
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i
Unidad 6. Números complejos 5
6UNIDAD
4. Sabemos que i2 = –1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.
i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1
i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:
in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r = 1c · i r = 1 · i r = i r
Por tanto, in = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.
Página 151
1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i)
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)
c) (3 + 2i) (4 – 2i)
d) (2 + 3i) (5 – 6i)
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i)
f) g) h)
i ) j ) k)
l ) 6 – 3 5 + i m)
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i – 5 – 4i + 3 – 2i = –9i
c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i + 8i – 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i
d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i + 15i – 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i
e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i + 2i2 + 3 – 2i ) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =
= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i – 5i – 15i2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i
f ) = = = = = i
g) = = = = =
= – i1310
–110
–1 – 13i10
3 – 13i – 49 + 1
3 – i – 12i + 4i2
9 – i2(1 – 4i) (3 – i)(3 + i) (3 – i)
1 – 4i3 + i
20i20
20i16 + 4
8 + 4i + 16i + 8i2
16 – 4i2(2 + 4i) (4 + 2i)(4 – 2i) (4 + 2i)
2 + 4i4 – 2i
12
(–3i)2 (1 – 2i)2 + 2i)2
5(4 – 2i
i1 + 5i3 + 4i
5 + i–2 – i
4 + 4i–3 + 5i
1 – 4i3 + i
2 + 4i4 – 2i
12
Unidad 6. Números complejos6
h) = = = =
= = – i = – i
i) = = = = =
= + i
j) = = = =
= = + i
k) = = = –4i – 2 = –2 – 4i
l) 6 – 3 (5 + i) = 6 – 15 + i = –9 + i
m) = = = =
= = = =
= = + i = + i
2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:
a) 2 + i y 2 – i b) –3i y 3i c) 1 + 2i y 3 – 4i
(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).
a) [x – (2 + i)] [x – (2 – i)] =
= [(x – 2) – i] [(x – 2) + i] = (x – 2)2 – ( i )2 =
= x2 – 4x + 4 – 3i2 = x2 – 4x + 4 + 3 = x2 – 4x + 7
b) [x – (–3i)] [x – 3i] = [x + 3i] [x – 3i] = x2 – 9i2 = x2 + 9
c) [x – (1 + 2i )] [x – (3 – 4i )] = [(x – 1) – 2i ] [(x – 3) + 4i ] =
= (x – 1) (x – 3) + 4 (x – 1) i – 2 (x – 3) i – 8i2 =
= x2 – 4x + 3 + (4x – 4 – 2x + 6) i + 8 = x2 – 4x + 11 + (2x + 2) i =
= x2 – 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )
√3√3√3
√3√3
√3√3
274
94
548
188
18 + 54i8
–18 + 54i + 364 + 4
–18 + 18i + 36i – 36i2
4 – 4i2(–9 + 18i) (2 – 2i)(2 + 2i) (2 – 2i)
–9 + 18i(2 + 2i)
–9 (1 – 2i)(2 + 2i)
9i2 (1 – 2i)(2 + 2i)
(–3i)2 (1 – 2i)(2 + 2i)
65
65
25
–4i + 2i2
1(4 – 2i) (–i)
i (–i)4 – 2i
i
1125
2325
23 + 11i25
3 + 11i + 209 + 16
3 – 4i + 15i – 20i2
9 – 16i2(1 + 5i) (3 – 4i)(3 + 4i) (3 – 4i)
1 + 5i3 + 4i
35
–115
–11 + 3i5
–10 + 3i – 15
–10 + 5i – 2i + i2
4 + 1(5 + i) (–2 + i)(–2 – i) (–2 + i)
5 + i–2 – i
1617
417
3234
834
8 – 32i34
–12 – 32i + 209 + 25
–12 – 20i – 12i – 20i2
9 – 25i2(4 + 4i) (–3 – 5i)(–3 + 5i) (–3 – 5i)
4 + 4i–3 + 5i
Unidad 6. Números complejos 7
6UNIDAD
3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea imaginario puro?
(25 – xi)2 = 625 + x2i2 – 50xi = (625 – x2) – 50xi
Para que sea imaginario puro:
625 – x2 = 0 8 x2 = 625 8 x = ± = ±25
Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25
4. Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.
z1 + z2 = 5 + 7i
Página 153
1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) 1 + i b) + i c) –1 + i
d) 5 – 12i e) 3i f) –5
a) 1 + i = 260° b) + i = 230° c) –1 + i = 135°
d) 5 – 12i = 13292° 37' e) 3i = 390° f) –5 = 5
2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5(π/6) rad b) 2135º c) 2495º
d) 3240º e) 5180º f) 490º
a) 5(π/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + i
b) 2135° = 2(cos 135° + i sen 135°) = 2 (– + i ) = – + i√2√2√22
√22
52
5√32
12
√32
π6
π6
√2√3√3
√3√3
7i
i
5i
z1 + z2
z1
z2
1 2 3 4 5
√625
Unidad 6. Números complejos8
c) 2495° = 2135° = – + i
d) 3240° = 3(cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i
e) 5180° = –5
f) 490° = 4i
3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z = ra .
Opuesto: –z = r180° + a Conjugado: –z = r360° – a
4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo:
z = 8(cos 30º + i sen 30º)
z = 830° = 8 (cos 30° + i sen 30°) = 8 ( + i ) = + i = 4 + 4i
5. Sean los números complejos z1 = 460º y z2 = 3210º.
a) Expresa z1 y z2 en forma binómica.
b) Halla z1 · z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.
c) Compara los módulos y los argumentos de z1 · z2 y z2/z1 con los de z1y z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.
a) z1 = 460° = 4 (cos 60° + i sen 60°) = 4 ( + i ) = 2 + 2 i
z2 = 3210° = 3 (cos 210° + i sen 210°) = 3 (– – i ) = – – i
b) z1 · z2= (2 + 2 i ) (– – i ) =
= –3 – 3i – 9i – 3 i2 = –3 – 12i + 3 = –12i = 12270°
= = =
= = = = ( )150°
c) z1 · z2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270°
= = ( )210° – 60°
= ( )150°
34
34
3210°
460°
z2
z1
34
–6√—3 + 6i16
–3√—3 + 6i – 3√
—3
4 + 12–3√
—3 – 3i + 9i + 3√
—3i2
4 – 12i2
3√—3 3(–—–— – — i) (2 – 2√
—3i)
2 2
(2 + 2√—3i)(2 – 2√
—3i)
3√—3 3(–—–— – — i)2 2
(2 + 2√—3i)
z2
z1
√3√3√3√3
32
3√32
√3
32
3√32
12
√32
√3√32
12
√382
8√32
12
√32
3√32
32
√32
12
√2√2
Unidad 6. Números complejos 9
6UNIDAD
Página 155
1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
a) 1150º · 530º b) 645º : 315º c) 210º · 140º · 370º
d) 5(2π/3)rad : 160º e) (1 – i)5f ) (3 + 2i) + (–3 + 2i)
a) 1150° · 530° = 5180° = –5
b) 645° : 315° = 230° = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2 ( + i ) = + i
c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6 (cos 120° + i sen 120°) = 6 (– + i ) = –3 + 3 i
d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5 (cos 60° + i sen 60°) =
= 5 ( + i ) = + i
e) (1 – i )5= (2300°)5 = 321500° = 3260° = 32 (cos 60° + i sen 60°) =
= 32 ( + i ) = 16 + 16 i
f) 4i = 490º
2. Compara los resultados en cada caso:
a) (230°)3, (2150°)
3, (2270°)3
b) (260°)4, (2150°)
4, (2270°)4, (2330°)
4
a) (230º)3 = 23
3 · 30º = 890º
(2150º)3 = 23
3 · 150º = 8450º = 890º
(2270º)3 = 83 · 270º = 8810º = 890º
b) (260º)4 = 24
4 · 60º = 16240º
(2150º)4 = 16600º = 16240º
(2270º)4 = 161080º = 160º
(2330º)4 = 161320º = 16240º
3. Dados los complejos z = 545º , w = 215º , t = 4i, obtén en forma polar:
a) z · t, b) c) d)
z = 545° w = 215° t = 4i = 490°
z · w3
tz3
w · t2z
w2
√3√32
12
√3
5√32
52
√32
12
√3√32
12
√312
√32
√3
Unidad 6. Números complejos10
a) z · w = 1060°
b) = = = ( )15°
c) = = ( )–60°
= ( )300°
d) = = 100° = 10
4. Expresa cos 3a y sen 3a en función de sen a y cos a utilizando la fórmulade Moivre. Ten en cuenta que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(1a)3 = 1 (cos a + i sen a)3 =
= cos3 a + i 3 cos2 a sen a + 3i2 cos a sen2 a + i3 sen3 a =
= cos3 a + 3 cos2 a sen a i – 3 cos a sen2 a – i sen3 a =
= (cos3 a – 3 cos a sen2 a) + (3 cos2 a sen a – sen3 a) i
Por otra parte: (1a)3 = 13a = cos 3a + i sen 3a
Por tanto: cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a
sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a
Página 157
1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
= = 1(360° · k )/6 = 160° · k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
10° = 1 160° = + i 1120° = – + i
1180° = –1 1240° = – – i 1300° = – i
Representación:
1
√32
12
√32
12
√32
12
√32
12
6√10°6√1
545° · 845°
490°
z · w3
t
12532
12532
125135°
215° · 16180°
z3
w · t2
54
545°
430°
z430º
zw2
Unidad 6. Números complejos 11
6UNIDAD
2. Resuelve la ecuación z3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.
z3 + 27 = 0 8 z = = = 3(180° + 360° n )/3 = 360° + 120° n ; n = 0, 1, 2
z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 (– – i ) = – – i
3. Calcula:
a) b) c) d)
a) = = 1(270° + 360° k)/3; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i 1210° = – – i 1330° = + i
b) = = 2(120° + 360° k)/4 = 230° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + i
2120° = 2 (– + i ) = –1 + i
2210° = 2 (– – i ) = –1 – i
2300° = 2 ( – i ) = – i√312
√32
√3√32
12
√3√32
12
√312
√32
4√16120°4√–8 + 8√
—3 i
12
√32
12
√32
3√1270°3√–i
–2 + 2i√—1 + √—3i
√–254√–8 + 8√
—3i
3√–i
z1
z2
z3
–3
3√32
32
√32
12
3√32
32
√32
12
3√27180°3√–27
Unidad 6. Números complejos12
c) = = 5(180° + 360° k)/2 = 590° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i
d)3
=3
= = (75° + 360° k)/3 = 25° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°
4. Resuelve las ecuaciones:
a) z4 + 1 = 0
b) z6 + 64 = 0
a) z4 + 1 = 0 8 z = = = 1(180° + 360° k)/2 = 145° + 90° k; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
145° = + i ; 1135° = – + i ; 1225° = – – i ; 1315° = – i
b) z6 + 64 = 0 8 z = = = 2(180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + 1 290° = 2i
2150° = 2 (– + i ) = – + i 2210° = 2 (– – i ) = – – i
2270° = –2i 2330° = 2 ( – i ) = – i
5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo sonlos resultados de las siguientes operaciones:
z · w, z/w, z2, z3
z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1
(z · w )6 = z6 · w6 = 1 · 1 = 1 8 z · w es raíz sexta de 1.
( )6 = = = 1 8 es raíz sexta de 1.
z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1 8 z2 es raíz sexta de 1.
z3 = (z3)6 = z18 = z16 · z2 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1 8 z3 es raíz sexta de 1.
zw
11
z6
w6zw
√312
√32
√312
√32
√312
√32
√312
√32
6√64180°6√–64
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
4√1180°4√–1
6√26√2
6√2
6√26√2
3√√—275°√√
—8135°260°√ –2 + 2i
1 + √—3 i
√25180°√–25
Unidad 6. Números complejos 13
6UNIDAD
6. El número 4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla lasotras tres raíces cuartas de z.
4 + 3i = 536° 52'
Las otras tres raíces cuartas de z serán:
536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i
536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i
536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i
7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
a) b) c)
d) e) f )
a) = = 3(180° + 360° k)/2 = 390° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son:
390° = 3i ; 3270° = –3i
b) = = 3(180° + 360° k)/3 = 360° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 ( + i ) = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3300° = 3 (cos 300° + i sen 300°) = 3 ( – i ) = – i
z1
z2
z3
–3
3√32
32
√32
12
3√32
32
√32
12
3√27180°3√–27
–3i
3i
√9180°√–9
3√8i5 32√ i
3 1 – i√ 1 + i
3√2 – 2i3√–27
3√–9
Unidad 6. Números complejos14
c) = = (315° + 360° k)/3 = 105° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 105° = –0,37 + 1,37i
z2 = 225° = (– – i ) = –1 – i
z3 = 345° = 1,37 – 0,37i
d)3
= 3
= = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i
1210° = – – i
1330° = – i
e)5
= 5
= = = 2(90° + 360° k)/5 = 218° + 72° k; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
z1 = 218° = 1,9 + 0,6i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i
z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i
z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i
f) = = 2(90º + 360º k)/3 = 230º + 120º k; k = 0, 1, 2
Las tres son:
z1 = 230º
z2 = 2150º
z3 = 2270º
z1z2
z3
3√890°3√8i
z1
z2
z3
z4 z5
5√3290°5√32i√ – 32 (–i)
i (– i)√ –32i
1210° 1330°
i
12
√32
12
√32
3√1270°√√—2315°
√—245°√ 1 – i
1 + i
√2
√22
√22
√2√2
√2
√2√23√√
—8315°
3√2 – 2i
Unidad 6. Números complejos 15
6UNIDAD
z1
z2
i
–i
z3
–1
1
Página 158
LENGUAJE MATEMÁTICO1. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:
Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejoscuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas.
a) Re z = 3 b) –1 Ì Im z < 3 c) |z| = 3 d) |z| > 2 e) Arg z = 90°
2. Representa:
a) Re z = –3 b) Im z = 0 c) 3 < Re z ≤ 5 d) |z|≥ 4 e) Arg z = 180°
a) b)
c) d)
e)
a) c) d) e)b)
Unidad 6. Números complejos16
Página 162
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Números complejos en forma binómica
1 Calcula:
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b)3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)
c) –2i – (4 – i)5i d)(4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i + 4i – 2i2 – 2 + 3i + 2i – 3i2 =
= 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i
b) 3 + 2i (–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i + 2i2 – 5 + 4i = 3 – 2i – 2 – 5 + 4i = –4 + 2i
c) –2i – (4 – i)5i = –2i – 20i + 5i2 = –22i – 5 = –5 – 22i
d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2 = 16 – (3i)2 – 16 – 9i2 + 24i =
= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i
2 Calcula en forma binómica:
a) b)
c) (1 – i) d) +
a) = = = =
= = = 3 + 6i
b) = = = =
= = = = – i
c) (1 – i ) = = = =
= = = + i2313
1513
15 + 23i13
21 + 14i + 9i – 69 + 4
(7 + 3i ) (3 + 2i )(3 – 2i ) (3 + 2i )
7 + 3i3 – 2i
2 – 2i + 5i + 53 – 2i
2 + 5i3 – 2i
720
920
9 – 7i20
18 – 14i40
12 + 4i – 18i + 636 + 4
(–2 + 3i ) (–6 – 2i )(–6 + 2i ) (–6 – 2i )
–2 + 3i–6 + 2i
–2 + 3i–4 + 4i – 2i – 2
–2 + 3i(4 + 2i ) (–1 + i )
24 + 48i8
36 + 36i + 12i – 124 + 4
(18 + 6i ) (2 + 2i )(2 – 2i ) (2 + 2i )
18 + 6i2 – 2i
12 – 6i + 12i – 6i2
2 – 2i(3 + 3i ) (4 – 2i )
2 – 2i
–3 – 2i1 + 3i
1 + i2 – i
2 + 5i3 – 2i
–2 + 3i(4 + 2i) (–1 + i)
(3 + 3i) (4 – 2i)2 – 2i
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Números complejos 17
6UNIDAD
d) + = + =
= + = + =
= = = + i
3 Dados los números complejos z = 1 – 3i, w = –3 + 2i, t = –2i, calcula:
a) zwt b)zt – w(t + z) c) t
d) e) w f)
z = 1 – 3i; w = –3 + 2i; t = –2i
a) zwt = (1 – 3i) (–3 + 2i) (–2i) = (–3 + 2i + 9i – 6i2)(–2i) =
= (3 + 11i) (–2i) = –6i – 22i2 = 22 – 6i
b) zt – w (t + z) = (1 – 3i) (–2i) – (–3 + 2i) (–2i + 1 – 3i) =
= (–2i + 6i2) – (–3 + 2i) (1 – 5i) = (–6 – 2i) – (–3 + 2i) (1 – 5i) =
= (–6 – 2i) – (–3 + 15i + 2i – 10i2) = (–6 – 2i) – (7 + 17i) = –13 – 19i
c) t = (–2i) = = =
= = = – + i
d) = = = =
= = – – i
e) w = (–3 + 2i) = (–3 + 2i) =
= – 3i (–3 + 2i) = –5 + i + 9i – 6i2 = 1 + i
f) = = =
= = + i = –10 + i22
–202
–8 – 6i – 12 + 8i2
1 – 6i + 9i2 – (–3 + 2i)(–4)2
(1 – 3i)2 – (–3 + 2i) (–2i)2
2z2 – wt2
2
373
103)5
3(3 – 9i + 2
33(1 – 3i) + i (–2i)
33z + it
3
413
613
–6 – 4i9 + 4
2(–3 – 2i)(–3)2 – (2i)2
2 – 6i + 6i–3 + 2i
2(1 – 3i) – 3(–2i)–3 + 2i
2z – 3tw
95
75
–14 + 18i10
4 + 12i + 6i + 18i2
1 + 9
(4 + 6i)(1 + 3i)12 – (3i)2
6i – 4i2
1 – 3i–3 + 2i1 – 3i
wz
z2 – wt2
23z + it
32z – 3t
w
wz
1310
–710
–7 + 13i10
2 + 6i – 9 + 7i10
–9 + 7i10
1 + 3i5
–3 + 9i – 2i – 61 + 9
2 + i + 2i – 14 + 1
(–3 – 2i ) (1 – 3i )(1 + 3i ) (1 – 3i )
(1 + i ) (2 + i )(2 – i ) (2 + i )
–3 – 2i1 + 3i
1 + i2 – i
Unidad 6. Números complejos18
4 Calcula:
a) i37 b) i126 c) i–7 d) i64 e) i–216
a) i37 = i1 = i b) i126 = i2 = –1
c) i–7 = = = i d) i64 = i0 = 1
e) i–216 = = = = 1
5 Dado el número complejo z = – + i, prueba que:
a) 1 + z + z2 = 0 b) = z2
a) z2 = (– + i)2 = + i 2 – i = – – i =
= – – i = – – i
1 + z + z2 = 1 + (– + i) + (– + i) = 1 – + i – – i = 0
b) = = = = =
= = = = – – i
z2 = – – i (lo habíamos calculado en a)
Por tanto: = z2
Igualdad de números complejos
6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i.
(2 + mi ) + (n + 5i ) = 7 – 2i
(2 + n) + (m + 5) i = 7 – 2i 8 n = 5m = –7
°¢£
2 + n = 7m + 5 = –2
°¢£
1z
√32
12
√32
12
–1 – √3 i2
2 (–1 – √3 i )4
2 (–1 – √3 i )1 + 3
2 (–1 – √3 i )(–1 + √
—3 i) (–1 – √
—3 i)
2
–1 + √—3 i
1
–1 + √—3 i
———–—2
1
1 √—3
–— + — i2 2
1z
√32
12
√32
12
√32
12
√32
12
√32
12
√32
24
√32
34
14
√32
34
14
√32
12
1z
√32
12
11
1i0
1i216
1–i
1i7
Unidad 6. Números complejos 19
6UNIDAD
7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i.
= = = =
= ( ) + ( ) i = 2 – i 8
Por tanto, k = 3.
8 Calcula a y b de modo que se verifique:
(a + bi)2 = 3 + 4i
☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.
(a + bi )2 = 3 + 4i
a2 + bi2 + 2abi = 3 + 4i
a2 – b2 + 2abi = 3 + 4i 8
b = =
a2 – ( )2 = 3 8 a2 – = 3 8 a4 – 4 = 3a2 8 a4 – 3a2 – 4 = 0
a2 = =
a = –2 8 b = –1
a = 2 8 b = 1
9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi, halla a y b para que su producto seaigual a 8 + 4i.
(2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai + abi2 = 8 + 4i
6 – 2bi – 3ai – ab = 8 + 4i
(6 – ab) + (–2b – 3a) i = 8 + 4i
b = 4 + 3a–2
6 – ab = 8–2b – 3a = 4
°¢£
a2 = 4 8 a = ±2a2 = –1 (no vale)
3 ± 52
3 ± √9 + 162
4a2
2a
2a
42a
a2 – b2 = 32ab = 4
°¢£
1 – k2
k + 12
(k + 1) + (1 – k) i2
k – ki + i + 11 + 1
(k + i ) (1 – i )(1 + i ) (1 – i )
k + i1 + i
k + i1 + i
Unidad 6. Números complejos20
°§§¢§§£
= 2 8 k = 3
= –1 8 k = 31 – k2
k + 12
6 – a ( ) = 8 8 6 + = 8
= 2 8 4a + 3a2 = 4 8 3a2 + 4a – 4 = 0
a = =
10 Calcula el valor de a y b para que se verifique:
a – 3i =
a – 3i =
(a – 3i ) (5 – 3i ) = 2 + bi
5a – 3ai – 15i – 9 = 2 + bi
(5a – 9) + (–3a – 15) i = 2 + bi
11 Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea un número:
a) Imaginario puro. b) Real.
(3 – 6i ) (4 + bi ) = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i
a) 12 + 6b = 0 8 b = –2
b) 3b – 24 = 0 8 b = 8
12 Determina a para que (a – 2i)2 sea un número imaginario puro.
(a – 2i )2 = a2 + 4i2 – 4ai = (a2 – 4) – 4ai
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
a2 – 4 = 0 8 a = ±2 8 a1 = –2, a2 = 2
13 Calcula x para que el resultado del producto (x + 2 + ix) (x – i) sea un nú-mero real.
(x + 2 + ix ) (x – i ) = x2 – xi + 2x – 2i + x2i – xi2 =
= x2 – xi + 2x – 2i + ix2 + x = (x2 + 3x) + (x2 – x – 2)i
Para que sea real, ha de ser:
x2 – x – 2 = 0 8 x = = x1 = –1x2 = 2
1 ± 32
1 ± √1 + 82
a = 11/5b = –108/5
°¢£
5a – 9 = 2–3a – 15 = b
2 + bi5 – 3i
2 + bi5 – 3i
–4 ± 86
–4 ± √16 + 486
4a + 3a2
2
4a + 3a2
24 + 3a
–2
Unidad 6. Números complejos 21
6UNIDAD
a = = 8 b = –3
a = = –2 8 b = 1–126
23
46
Números complejos en forma polar
14 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Ex-présalos en forma polar.
a) 1 – i b)–1 + i c) + i d) – – i
e) – 4 f ) 2i g) – i h)2 + 2 i
a) 1 – i = 315°
Opuesto: –1 + i = 135°
Conjugado: 1 + i = 45°
b) –1 + i = 135°
Opuesto: 1 – i = 315°
Conjugado: –1 – i = 225°
c) + i = 230°
Opuesto: – – i = 2210°
Conjugado: – i = 2330°
d) – – i = 2210°
Opuesto: + i = 230°
Conjugado: – + i = 2150°
e) –4 = 4180°
Opuesto: 4 = 40°
Conjugado: –4 = 4180°
f) 2i = 290°
Opuesto: –2i = 2270°
Conjugado: –2i = 2270°
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√334
√3√3
Unidad 6. Números complejos22
1 – i
–1 + i 1 + i
–1 – i
–1 + i
1 – i
√—3 + i
√—3 – i√
—3 – i–
√—3 + i
√—3 – i–
√—3 + i–
4–4
2i
–2i
g) – i = ( )270°
Opuesto: i = ( )90°
Conjugado: i = ( )90°
h) 2 + 2 i = 60°
Opuesto: –2 – 2 i = 240°
Conjugado: 2 – 2 i = 300°
15 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 245º b)3(π/6) c) 180º d)170º
e) 1(π/2) f) 5270º g) 1150º h)4100º
a) 245° = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 2 ( + i ) = + i
b) 3(π/6) = 3 (cos + i sen ) = 3 ( + i ) = + i
c) 180° = (cos 180° + i sen 180°) = (–1 + i · 0) = –
d) 170° = 17
e) 1(π/2) = cos + i sen = i
f ) 5270° = –5i
g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = – + i = – + i
h) 4100° = 4 (cos 100° + i sen 100°) = 4 (–0,17 + i · 0,98) = –0,69 + 3,94i
12
√32
12
√32
π2
π2
√2√2√2√2
32
3√32
12
√32
π6
π6
√2√2√22
√22
√2
√14√3
√14√3
√14√3
34
34
34
34
34
34
Unidad 6. Números complejos 23
6UNIDAD
3i/4
–3i/4
2 + 2 3i√—
–2 – 2 3i√—
2 – 2 3i√—
16 Dados los números complejos:
z1 = 2270°, z2 = 4120°; z3 = 3315°
calcula:
a) z1 · z2 b) z2 · z3 c) z1 · z3
d) e) f)
g) z12 h) z
23 i) z
34
a) z1 · z2 = 830º b) z2 · z3 = 1275º c) z1 · z3 = 6225º
d) = 1,545º e) = 2–150º = 2210º f) = 1,5105º
g) z12 = 4180º h) z2
3 = 640º i) z34 = 81180º
17 Expresa en forma polar y calcula:
a) (–1 – i)5 b) 4
c)
d) e) (–2 + 2i)6f ) (3 – 4i)3
a) (–1 – i )5 = ( 225°)5 = 4 1125° = 4 45° = 4 ( + i) = 4 + 4i
b) = = (300° + 360° n)/4 = 75° + 90° n ; n = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
75° 165° 255° 345°
c) = = (360° k)/4 = 2 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2 0° = 2 2 90° = 2 i 2 180° = –2 2 270° = –2 i
d) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
e) (–2 + 2i )6 = (4150°)6 = 4 096900° = 4 096180° = –4 096
f) (3 – 4i )3 = (5306° 52')3 = 125920° 36' = 125200° 36'
√3
√3√3
3√890°3√8i
√2√2√2√2√2√2√2√2
√24√264√640°
4√64
4√24√2
4√24√2
4√24√2
4√2300°
4√1 – √—3 i
√22
√22
√2√2√2√2
√33√8i
6√64√1 – √—3 i
z1 · z3
z2
z2
z1
z3
z1
z1 · z3
z2
z2
z1
z3
z1
Unidad 6. Números complejos24
18 Calcula y representa gráficamente el resultado:
a) 3
b)
a) ( )3 = ( )3 = (( )285°
)3 = ( )855°
= ( )135°
=
= (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i ) = + i
b)3
= 3
= 3
= =
= = ( )(71° 34' + 360° k)/3
= 6
23° 51' + 120° k; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
6
23° 51'= 0,785 + 0,347i
6
143° 51'= –0,693 + 0,56i
6
263° 51'= –0,092 – 0,853i
19 Calcula y representa las soluciones:
a) b) c)
a)3√——4 – 4 i = = 2(300° + 360° k)/3 = 2100° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2100° = –0,35 + 1,97i
2220° = –1,53 – 1,26i
2340° = 1,88 – 0,68i
2
2 2
3√8300°√3
3√8i4√–16
3√4 – 4√—3 i
√ 25
√ 25
√ 25
√ 25
6√103√5
3 √—10√(—)5 71° 34'
3 1 3√— + — i5 5√1 + 3i
5√ (1 + i ) (2 + i )(2 – i ) (2 + i )√ 1 + i
2 – i
14
–14
√22
√22
√24
√24
√24
√24
√22
√2315°
230°
1 – i
√3 + i
3 1 + i√ 2 – i)1 – i
√—3 + i
(
Unidad 6. Números complejos 25
6UNIDAD
1
i
–1
–— + —i14
14
b) = = 2(180° + 360° k)/4 = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i
c) = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
230° = + i 2150° = – + i 2270° = –2i
Página 163
20 Calcula pasando a forma polar:
a) (1 + i )5b) (–1 – i )6 ( – i) c)
d) e) f)
g) h)
a) (1 + i )5 = (260°)5 = 32300° = 32 (cos 300° + i sen 300°) =
= 32 ( – i ) = 16 – 16 i
b) (–1 – i )6 ( – i ) = (2240°)6 (2330°) = (641440°) (2330°) =
= (640°) (2330°) = 128330° = 128 (cos 330° + i sen 330°) =
= 128 ( + i ) = 64 – 64i
c) = = (120° + 360° k)/4 = 30° + 90° k =
= 30° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
30° = + i 120° = – + i
210° = – – i 300° = – i√62
√22
√2√22
√62
√2
√62
√22
√2√22
√62
√2
√2
4√224√44√4120°
4√–2 + 2√—3 i
√3–12
√32
√3√3
√3√32
12
√3
2 – 2i√ –3 + 3i
3√–i
√–1 – i6√–648
(1 – i)5
4√–2 + 2√—3 i√3√3√3
2 2
2√3√3
3√890°3√8i
2 2
2 2√2√2√2√2
√2√2√2√2
4√16180°4√–16
Unidad 6. Números complejos26
d) = = = = ( )–135°
= ( )225°
=
= 225° = (cos 225° + i sen 225°) = (– – i) = –1 – i
e) = = (180° + 360° k)/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i
2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i
f ) = = (225° + 360° k)/2 = 112° 30' + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son:
112° 30' = –0,46 + 1,1i 292° 30' = 0,46 – 1,1i
g) = = 1(270° + 360° k)/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
190° = i 1210° = – – i 1330° = – i
h) = = ( )180°
= ( )(180° + 360° k)/2
=
= ( )90° + 180° k
; k = 0, 1
Las dos raíces son:
( )90°
= i ( )270°
= – i
21 Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado –z en cada uno deestos casos:
a) z = 1 – i b) z = –2 – 2i c) z = –2 + 2i
a) z = 1 – i = 2300°; –z = –1 + i = 2120°; –z = 1 + i = 260°
b) z = –2 – 2i = 2 225°; –z = 2 + 2i = 2 45°; –z = –2 + 2i = 2 135°
c) z = –2 + 2i = 4150°; –z = 2 – 2i = 4330°; –z = –2 – 2i = 4210°√3√3√3
√2√2√2
√3√3√3
√3√3
√ 23√ 2
3√ 23√ 2
3
√ 23
√ 23
23√ 2√
—2315°
3√—2135°
√ 2 – 2i–3 + 3i
12
√32
12
√32
3√1270°3√–i
4√24√2
4√24√2√√
—2225°√–1 – i
√3√3
√3√3
6√266√64180°6√–64
√22
√22
√2√2√2
2
√2
8
4√2
80°
4√—2135°
80°
4√—21575°
80°
(√—2315°)5
8(1 – i )5
Unidad 6. Números complejos 27
6UNIDAD
22 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-guientes raíces:
a) b) c)
a) = = 1(90° + 360° k)/5 = 118° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
118° 190° 1162° 1234° 1306°
Representación del polígono (pentágono):
b) = = 1(180° + 360° k)/6 = 130° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
130° 190° 1150° 1210° 1270° 1330°
Representación del polígono (hexágono):
c) = = (30° + 360° k)/4 = 7° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
7° 30' 97° 30' 187° 30' 277° 30'
Representación del polígono (cuadrado):
√—2
√2√2√2√2
√24√224√430°
4√2√—3 + 2i
1
6√1180°6√–1
1
5√190°5√i
4√2√—3 + 2i
6√–15√i
Unidad 6. Números complejos28
Ecuaciones y sistemas en Ç23 Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-
mica:
a) z2 + 4 = 0 b)z2 + z + 4 = 0
c) z2 + 3z + 7 = 0 d)z2 – z + 1 = 0
a) z2 + 4 = 0 8 z2 = –4 8 z = ± = ±2i
z1 = –2i, z2 = 2i
b) z2 + z + 4 = 0 8 z = = =
z1 = – – i, z2 = – + i
c) z2 + 3z + 7 = 0 8 z = = =
z1 = – – i, z2 = – + i
d) z2 – z + 1 = 0 8 z = = =
z1 = – i, z2 = + i
24 Resuelve las ecuaciones:
a) z5 + 32 = 0 b) iz3 – 27 = 0
c) z3 + 8i = 0 d) iz4 + 4 = 0
a) z5 + 32 = 0 8 z5 = –32
z = = = 2(180° + 360° k)/5 = 236° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
236° 2108° 2180° 2252° 2324°
b) iz3 – 27 = 0 8 z3 + 27i = 0 8 z3 = –27i
z = = = 3(270° + 360° k)/3 = 390° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
390° 3210° 3330°
c) z3 + 8i = 0 8 z = = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
290° = 2i 2210° = – – i 2330° = – i√3√3
3√8270°3√–8i
3√27270°3√–27i
5√32180°5√–32
√32
12
√32
12
1 ± √3 i2
1 ± √–32
1 ± √1 – 42
√192
32
√192
32
–3 ± √19 i2
–3 ± √–192
–3 ± √9 – 282
√152
12
√152
12
–1 ± √15 i2
–1 ± √–152
–1 ± √1 – 162
√–4
Unidad 6. Números complejos 29
6UNIDAD
d) iz4 + 4 = 0 8 z4 – 4i = 0 8 z4 = 4i
z = = = (90° + 360° k)/4 = 22° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
22° 30' = 1,3 + 0,5i 112° 30' = –0,5 + 1,3i
202° 30' = –1,3 – 0,5i 292° 30' = 0,5 – 1,3i
25 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç :
a) z2 + 4i = 0 b) z2 – 2z + 5 = 0
c) 2z2 + 10 = 0 d) z4 + 13z2 + 36 = 0
a) z2 + 4i = 0 8 z2 = –4i 8 z = = 8 z = 2(270° + 360° k )/2; k = 0,1
z1 = 2135°, z2 = 2315°
b) z2 – 2z + 5 = 0 8 z = = = = 1 ± 2i
z1 = 1 – 2i, z2 = 1 + 2i
c) 2z2 + 10 = 0 8 2z2 = –10 8 z2 = –5 8 z = ± i
z1 = – i, z2 = i
d) z4 + 13z2 + 36 = 0
z2 = t
t2 + 13t + 36 = 0
t = =
z2 = –4 8 z = ±2i
z2 = –9 8 z = ±3i
Las soluciones son: 2i = 290º; –2i = 2270º; 3i = 390º; –3i = 3270º
26 Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) z4 – 1 = 0 b) z4 + 16 = 0 c) z4 – 8z = 0
a) z4 – 1 = 0 8 z4 = 1 8 z = = = 1360° k/4 = 190° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
10° = 1 190° = i 1180° = –1 1270° = –i
b) z4 + 16 = 0 8 z4 = –16 8 z = = = 2(180° + 360° k)/4 =
= 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
4√16180°4√–16
4√10°4√1
t = –4
t = –9
–13 ± 52
–13 ± √169 – 1442
√5√5
√5
2 ± 4i2
2 ± √–162
2 ± √4 – 202
√4270°√–4i
√2√2
√2√2
√2√24√490°
4√4i
Unidad 6. Números complejos30
Las cuatro raíces son:
245° = + i 2135° = – + i
2225° = – – i 2315° = – i
c) z4 – 8z = 0 8 z (z3 – 8) = 0
= = 2(360° k)/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2
Las soluciones de la ecuación son:
0 20° = 2 2120° = –1 + i 2240° = –1 – i
27 Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos siste-mas de ecuaciones:
a) b)
a) Sumando miembro a miembro:
Solución : z = –2 + 3i; w = 1 – i
b) Multiplicamos por –2 la 2.a ecuación y sumamos:
(1 – 2i )z = –8 – 9i 8 z = = 2 – 5i
w = = = 3i
Solución : z = 2 – 5i; w = 3i
28 Calcula m para que el número complejo 3 – mi tenga el mismo módulo
que 2 + i.
|3 – mi| = = 5 8 9 + m2 = 25 8 m2 = 16
|2 + i| = 5 m = ±4
Hay dos posibilidades: m = –4 y m = 4
√5√5
√9 + m2√9 + m2
√5√5
PARA RESOLVER
6i2
2 + i – (2 – 5i)2
–8 – 9i1 – 2i
°¢£
z + 2w = 2 + i
–2iz – 2w = –10 – 10i
°¢£
z + 2w = 2 + i
iz + w = 5 + 5i
2z = –4 + 6i 8 z = –2 + 3i
w = (–1 + 2i) – (–2 + 3i) = 1 – i
°¢£
z + w = –1 + 2i
z – w = –3 + 4i
z + 2w = 2 + i
iz + w = 5 + 5i°¢£
z + w = –1 + 2i
z – w = –3 + 4i°¢£
√3√3
3√80°3√8
z = 0z =
3√—8
√2√2√2√2
√2√2√2√2
Unidad 6. Números complejos 31
6UNIDAD
°§¢§£
29 Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus ar-gumentos π/3, y la suma de sus módulos 8.
☛Llámalos ra y sb y escribe las ecuaciones que los relacionan:
= 30º (0º es el argumento del cociente, a – b = 0º); r + s = 8 y a + b = .
= 3
r + s = 8
a + b =
a – b = 0°
Hallamos sus módulos:
= 3
r + s = 8
Hallamos sus argumentos:
a + b =
a – b = 0
Los números serán: 6π/6 y 2π/6
30 El producto de dos números complejos es 290° y el cubo del primero divi-dido por el otro es (1/2)0°. Hállalos.
Llamamos a los números: z = ra y w = sb
ra · sb = 290°
= ( )0°
r · 2r3 = 2 8 r4 = 1 8 r =
8 4a = 90° + 360° k 8
8 a = , k = 0, 1, 2, 3
b = 90° – a
90° + 360°k
4
°¢£
a + b = 90°
3a – b = 0°
1 8 s = 2 · 13 = 2
–1 (no vale)
°¢£
r · s = 2
s = 2r3
°§¢§£
r · s = 2
r3 1— = —s 2
1r3/s = —
2
3a – b = 90°
12
(ra)3
sb
r · s = 2
a + b = 90°
π3
rs
π3
rs
π3
rasb
Unidad 6. Números complejos32
°§¢§£
°§¢§£
r = 3s
3s + s = 8; 4s = 8; s = 2; r = 6
a = b; 2b = ; b = ; a = π6
π6
π3
Hay cuatro soluciones:
z1 = 122° 30' 8 w1 = 2z13 = 2 · 167° 30' = 267° 30'
z2 = 1112° 30' 8 w2 = 2337° 30'
z3 = 1202° 30' 8 w3 = 2607° 30' = 2247° 30'
z4 = 1292° 30' 8 w4 = 2877° 30' = 2157° 30'
31 El producto de dos números complejos es –8 y el primero es igual al cua-drado del segundo. Calcúlalos.
w3 = –8
w = = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Hay tres soluciones:
w1 = 260° 8 z1 = 4120°
w2 = 2180° 8 z2 = 40° = 4
w3 = 2300° 8 z3 = 4600° = 4240°
32 De dos números complejos sabemos que:
• Tienen el mismo módulo, igual a 2.
• Sus argumentos suman 17π/6.
• El primero es opuesto del segundo.
¿Cuáles son esos números?
Llamamos a los números: z = ra y w = sb
Tenemos que:
r = s = 2
a + b = 8 2a = + π 8 a = π 8 b = π – π = π
Por tanto, los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien 111π/12 y 223π /12
33 Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 130º · 145º.
130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75°
130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = ( + i) ( + i) =
= + i + i – = + i
Por tanto:
cos 75° = sen 75° = √—6 + √
—2
4√
—6 – √
—2
4
√—6 + √
—2
4√
—6 – √
—2
4√24
√24
√64
√64
√22
√22
12
√32
1112
2312
2312
17π6
17π6
3√8180°3√–8
°¢£
z · w = –8z = w2
Unidad 6. Números complejos 33
6UNIDAD
°§¢§£
34 Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de 30ºmediante el cociente 145º : 130º.
145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15°
= = = =
= = = + i
Por tanto:
cos 15° = sen 15° =
35 ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente ?
= = + i
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
= 0 8 x2 – 4 = 0
36 Halla, en función de x, el módulo de z = .
Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.
|z| = | | = = 1
O bien:
z = = = = + i
|z| = = = =
= = = 1
37 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir
esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.
☛ Para que a + bi esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b.
= = = + i3x + 8
254x – 6
254x + 3xi + 8i – 6
16 + 9(x + 2i ) (4 + 3i )(4 – 3i ) (4 + 3i )
x + 2i4 – 3i
x + 2i4 – 3i
√1√ (1 + x2)2
(1 + x2)2
√ x4 + 2x2 + 1(1 + x2)2√ 1 + x4 – 2x2 + 4x2
(1 + x2)21 – x2 2x√(— )2 + (—)21 + x2 1 + x2
2x1 + x2
1 – x2
1 + x21 – x2 + 2xi
1 + x2(1 + xi ) + (1 + xi )(1 – xi ) (1 + xi )
1 + xi1 – xi
√1 + x2
√1 + x2
1 + xi1 – xi
1 + xi1 – xi
x = 2x = –2
x2 – 4x2 + 1
–5xx2 + 1
x2 – 4x2 + 1
(x – 4i) (x – i )(x + i ) (x – i )
x – 4ix + i
x – 4ix + i
√—6 – √
—2
4√
—6 + √
—2
4
√—6 + √
—2
4√
—6 + √
—2
4√
—6 – √
—2 i + √
—6 i + √
—2
3 + 1
(√—2 + i √
—2 ) (√—
3 – i )(√—
3 + i ) (√—3 – i )
√—2 + i √
—2
√—3 + i
√—2/2 + i (√
—2/2)
√—3/2 + i (1/2)
cos 45° + i sen 45°cos 30° + i sen 30°
145°
130°
Unidad 6. Números complejos34
Ha de ser:
= 8 4x – 6 = 3x + 8 ò x = 14
Página 164
38 Halla dos números complejos conjugados cuya suma es 8 y la suma de susmódulos es 10.
Como |z| = |–z| ò |z| = 5
Si llamamos:
z = a + bi 8 –z = a – bi
z + –z = a + bi + a – bi = 2a = 8 8 a = 4
|z|=|–z| = = = 5 8 16 + b2 = 25 8
8 b2 = 9 8 b = ± = ±3
Hay dos soluciones:
z1 = 4 + 3i 8 –z1 = 4 – 3i
z2 = 4 – 3i 8 –z2 = 4 + 3i
39 La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2,y el producto de ambos es un número real. Hállalos.
Llamamos z = a + bi y w = c + di
Tenemos que:
z · w = (2 + bi ) (1 + di ) = 2 + 2di + bi + bdi2 = (2 – bd) + (2d + b)i
Para que z · w sea un número real, ha de ser 2d + b = 0.
Por tanto, Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i
40 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar y
calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos.
= = (225° + 360° k)/3 = 75° + 120° k
Las tres raíces son:
z1 = 75° z2 = 195° z3 = 315°√2√2√2
√2√23√√
—8225°
3√–2 – 2i
3√–2 – 2i
d = –1b = 2
°¢£
b + d = 1b + 2d = 0
a + c = 3b + d = 1
°¢£
z + w = 3 + ia = 2 8 c = 1
°¢£
√9
√16 + b2√a2 + b2
°¢£
z + –z = 8|z| + |–z| = 10
3x + 825
4x – 625
Unidad 6. Números complejos 35
6UNIDAD
Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:
l2 = ( )2 + ( )2 – 2 · · cos 120° = 2 + 2 – 4 (– ) = 4 + 2 = 6
l =
41 Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equiláte-ro. Compruébalo.
¿Determinan el mismo triángulo los afijos de , o ? Representa
gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido.
• = = 2(90° + 360° k)/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 230° z2 = 2150° z3 = 2270°
Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triánguloque determinan es equilátero.
• = = 2(270° + 360° k)/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 290° z2 = 2210° z3 = 2330°
• = = 2360° k/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 20° z2 = 2120° z3 = 2240°
• = = 2(180° + 360° k)/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z1 = 260° z2 = 2180° z3 = 2300°
3√8180°3√–8
3√80°3√8
3√8270°3√–8i
3√890°3√8i
3√–83√8
3√–8 i
√6
12
√2√2√2√2
√—2
120°
z1
l
z2
z3
Unidad 6. Números complejos36
• Representación:
42 ¿Pueden ser z1 = 2 + i, z2 = –2 + i, z3 = –1 – 2i y z4 = 1 – 2i, las raíces de unnúmero complejo? Justifica tu respuesta.
No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre ca-da dos de ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como ve-mos en la representación gráfica:
43 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos he-xágonos:
• 1.er hexágono:
z1 = 20° = 2 z2 = 260° = 1 + i z3 = 2120° = –1 + i
z4 = 2180° = –2 z5 = 2240° = –1 – i z6 = 2300° = 1 – i
• 2.° hexágono:
z1 = 230° = + i z2 = 290° = 2i z3 = 2150° = – + i
z4 = 2210° = – – i z5 = 2270° = –2i z6 = 2330° = – i√3√3
√3√3
√3√3
√3√3
22
1
i
3√–83√8
3√–8i3√8i
z1z2
z3
z1
z2 z3
z1
z2
z3
z1
z2
z3
Unidad 6. Números complejos 37
6UNIDAD
44 ¿Pueden ser las raíces de un número complejo, z , los números 228º, 2100º,2172º, 2244º y 2316º? En caso afirmativo, halla z.
☛ Comprueba si el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono re-gular.
28° + 72° = 100° 100° + 72° = 172°
172° + 72° = 244° 244° + 72° = 316°
Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quin-ta cualquiera de ellas:
z = (228°)5 = 32140°
45 El número complejo 340º es vértice de un pentágono regular. Halla los otrosvértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices.
☛ Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 172º .
Los otros vértices serán:
3112° 3184° 3256° 3328°
El número será:
z = (340°)5 = 243
46 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i. Halla z y lasotras raíces cúbicas.
☛ Ten en cuenta que si = 1 + i 8 z = (1 + i)3.
1 + i = 45°
Las otras raíces cúbicas son:
45° + 120° = 165° 165° + 120° = 285°
Hallamos z :
z = (1 + i )3 = ( 45°)3 = 135° = (cos 135° + i sen 135°) =
= (– + i ) = –2 + 2i
47 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 1 – i.
☛ Mira el ejercicio resuelto 1 de la página 151.
[x – (1 + i )] [x – (1 – i )] = x2 – (1 – i )x – (1 + i )x + (1 + i ) (1 – i ) =
= x2 – (1 – i + 1 + i )x + (1 – i2) =
= x2 – 2x + 2 = 0
√22
√22
√8
√8√8√2
√2√2√2√2
√2
3√z
Unidad 6. Números complejos38
48 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) 5i y –5i b) 2 – 3i y 2 + 3i
a) (x – 5i ) (x + 5i ) = 0
x2 – 25i2 = 0
x2 + 25 = 0
b) [x – (2 – 3i )] [x – (2 + 3i )] = [(x – 2) + 3i ] [(x – 2) – 3i ] =
= (x – 2)2 – (3i2) = x2 – 4x + 4 – 9i2 =
= x2 – 4x + 13 = 0
49 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b)
a) Multiplicamos por –i la primera ecuación:
w = = = = –1 + 2i
z = –1 + 2i – w = –1 + 2i + 1 –2i = 0
Solución : z = 0; w = –1 + 2i
b) Multiplicamos por i la primera ecuación:
z = = = = 2 – i
w = z – 5 + 3i = 2 – i – 5 + 3i = –3 + 2i
Solución : z = 2 – i; w = –3 + 2i
Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos
50 Representa.
a) Re z = 2 b) Im z = 1 c) Re z Ì 0
d)–1 Ì Im z Ì 3 e) –2 < Re z < 5 f) |z| Ì 3
g) Arg z = 45° h)0° Ì Arg z Ì 90°
16 – 8i8
(6 + 2i)(2 – 2i)4 – 4i2
6 + 2i2 + 2i
Sumamos miembro a miembro:
zi + (2 +i)z = 5i + 3 + 3 – 3i 8 (2 + 2i)z = 6 + 2i
°¢£
zi – wi = 5i + 3
(2 + i)z + wi = 3 – 3i
–5 + 10i5
(3 + 4i)(1 + 2i)12 – 2i2
3 + 4i1 – 2i
Sumamos miembro a miembro:
–iw + (1 – i)w = i + 2 + 1 + 3i 8 (1 – 2i)w = 3 + 4i
°¢£
–iz – iw = i + 2
iz + (1 – i)w = 1 + 3i
z – w = 5 – 3i
(2 + i )z + iw = 3 – 3i°¢£
z + w = –1 + 2i
iz + (1 – i)w = 1 + 3i°¢£
Unidad 6. Números complejos 39
6UNIDAD
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
51 Representa los números complejos z tales que z + –z = –3.
☛ Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condiciónque obtienes.
Llamamos z = x + iy
Entonces: –z = x – iy
Así:
z + –z = x + iy + x – iy = 2x = –3 8 x = – 32
45°
–2 5
3
3
–1
3
0
2
1
Unidad 6. Números complejos40
Representación:
52 Representa los números complejos que verifican:
a) –z = –z b) |z + –z| = 3 c) |z – –z| = 4
a) z = x + iy 8 –z = x – iy
–z = –z 8 x – iy = –x – iy 8 2x = 0 8 x = 0 (es el eje imaginario)
Representación:
b) z + –z = x + iy + x – iy = 2x
|z + –z| = |2x| = 3
Representación:
c) z – –z = x + iy – z + iy = 2yi
|z – –z| = |2yi| = |2y| = 4
Representación:2
–2
2y = 4 8 y = 22y = –4 8 y = –2
1 2–1–2
x = —32x = – —3
2
2x = 3 8 x = 3/22x = –3 8 x = –3/2
1–1x = 0
1–1–2
x = – —32
Unidad 6. Números complejos 41
6UNIDAD
53 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya re-presentación gráfica es la siguiente:
☛ En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigual-dades.
a) Re z = –3 b) Im z = 2
c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2
e) f) |z| = 3
Página 165
54 ¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0?
No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos).
55 Si z = ra , ¿qué relación tienen con z los números ra + 180º y r360º – a ?
ra + 180° = –z (opuesto de z)
r360° – a = –z (conjugado de z)
56 Comprueba que:
a) –—–z + w = –z + –w b) –—–z · w = –z · –w c)—kz = k –z, con k éÁ
z = a + bi = ra 8 –z = a – bi = r360° – a
w = c + di = r'b 8 –w = c – di = r'360° – b
a) z + w = (a + c) + (b + d ) i 8 —z + w = (a + c) – (b + d ) i
–z + –w = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d ) i = —z + w
CUESTIONES TEÓRICAS
–3 < Re z < 2–2 < Im z < 3
°¢£
–3 1
1
3
1
2a) b) c)
d) e) f)
–1 1
1
2
2–3
3
–2
Unidad 6. Números complejos42
b) x · w = (r · r')a + b 8 —z · w = (r · r')360° – (a + b)
–z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b = (r · r')360° – (a + b) = —z · w
c) kz = ka + kbi 8 —kz = ka – kbi
k –z = ka – kbi = —kz
57 Demuestra que:
| | =
= = ( )–a
= ( )360° – a
8 | | = =
58 El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real?
Acláralo con un ejemplo.
Sí. Por ejemplo:
z = i, w = i
z · w = i · i = i2 = –1 é Á
59 Representa el número complejo z = 4 – 3i. Multiplícalo por i y comprue-ba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de90º.
iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i
60 ¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto?
Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es:
180° + a
90°
4 – 3i
3 + 4i
1
|z|
1r
1z
1r
1r
10°
ra
1z
1|z|
1z
Unidad 6. Números complejos 43
6UNIDAD
61 ¿Qué condición debe cumplir un número complejo z = a + bi para que –z = ?
☛ Halla , e iguala a a – bi.
= = = = a – bi
= a = a2 + b2 8 a2 + b2 = 1 (módulo 1)
= –b Ha de tener módulo 1.
62 Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de
sus vértices en el punto ( , ). Halla los otros vértices y la longitud de su
lado.
El punto ( , ) corresponde al afijo del número complejo z = + i = 245°.
Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°:
z2 = 2117° = –0,91 + 1,78i z3 = 2189° = –1,97 – 0,31i
z4 = 2261° = –0,31 – 1,97i z5 = 2333° = 1,78 – 0,91i
Los otros tres vértices serán:
(–0,91; 1,78) (–1,97; –0,31) (–0,31; –1,97) (1,78; –0,91)
Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:
l2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72°
l2 = 4 + 4 – 4 · 0,31
l2 = 8 – 1,24
l2 = 6,76
l = 2,6 unidades
2
2
l
72°
√2√2√2√2
√2√2
PARA PROFUNDIZAR
–ba2 + b2
aa
aa2 + b2
a – bia2 + b2
a – bi(a + bi ) (a – bi )
1a + bi
1z
1z
1z
Unidad 6. Números complejos44
°§§¢§§£
63 Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de unode ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo yel argumento de cada uno?
ra · r'b = (r · r')a + b = 8180° 8
= = ( )3a – b
= 20° 8
Así:
a + 3a = 180° 8 4a = 180° 8
Por tanto: z = 245°, w = 4135°
64 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráfi-camente el resultado que obtengas:
a) 3π/3 b) 2i c) –1 + i
¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número com-plejo y de su inverso?
a) = = ( )–π/3
= ( )5π/3
b) = = i = ( )270°
2i
–1/2i
12
–12
–i2
12i
π/3
3π/3
(1/3–π/3) –π/3
13
13
10°
3π/3
13π/3
a = 45°b = 135°
°¢£
°¢£
a + b = 180°3a = b
r = 2r' = 4
°¢£
°¢£
r · r' = 8r3 = 2r'
r3
r'
r 33a
r'b
(ra)3
r'b
r · r' = 8a + b = 180°
°¢£
°§§¢§§£
z = raw = r'b–8 = 8180°2 = 20°
Unidad 6. Números complejos 45
6UNIDAD
°§§¢§§£
= 2
3a – b = 0°
r3
r'
°§§¢§§£
r' =
r' = r3
2
8r
= 8 16 = r4 8r3
28r
c) –1 + i = 135°
= = ( )–135°
= ( )225°
= – – i
Si z = ra, entonces = ( )360° – a
65 Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determi-na en cada caso?
a) |z – (1 + i)| = 5 b) |z – (5 + 2i)| = 3
a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
66 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afi-jos estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.
|z – (1 + i )| = 3
2
5
(5, 2)
3
1 (1, 1)
1
5
1r
1z
–1 + i
1–1 + i———
12
12
1
√2
1
√2
10°
√2135°
1–1 + i
√2
Unidad 6. Números complejos46
AUTOEVALUACIÓN
1. Efectúa.
= = =
= = =
= = – + i
2. Calcula z y expresa los resultados en forma binómica.
=
z = 4
Pasamos numerador y denominador a forma polar:
– + i
i 8 90°
z = 4
= ( 60°)4 = 4240° 8 z = 4 (cos 240° + i sen 240°)
z = 4 – – i = –2 – 2 i
3. Halla a y b para que se verifique la igualdad:
5(a – 2i) = (3 + i)(b – i)
5a – 10i = 3b – i2 – 3i + bi 8 5a – 10i = 3b + 1 + (–3 + b)i
Igualando las componentes 8 b = –7, a = –4°¢£
5a = 3b + 1
–10 = –3 + b°¢£
√3)√32
12(
√2)2150°
√290°(
√2√2
r = √(–√—3)2 + 12 = 21
tg a = –— 8 a = 150°√
—3
√3
)–√—3 + i
√—2 i(
–√—3 + i
√—2 i
4√z
3710
1910
–19 + 37i10
–6 + 13i2 – 2i + 39i9 – i2
(2 – 13i )(–3 – i )(–3 + i )(–3 – i )
5 – 12i – 3 – i–3 + i
9 + 4i2 – 12i – (2 – i + 2i – i2)–3 + i
(3 – 2i )2 – (1 + i )(2 – i )–3 + i
(3 – 2i)2 – (1 + i)(2 – i)–3 + i
Unidad 6. Números complejos 47
6UNIDAD
–√—3
1
4. Resuelve la ecuación: z2 – 10z + 29 = 0
z = =
Soluciones: z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i
5. Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de sea igual a 2.
= = = = + i
Módulo = = 2 8 = 2 8 = 4 8
8 x2 + 4 = 8 8 x2 = 4 Hay dos soluciones: x1 = 2, x2 = –2
6. Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de4 – 4i.
z =
Expresamos 4 – 4i en forma polar:
4 – 4i = 8330°
z = =
En el triángulo AOB conocemos dos lados, = = 2, y el ángulo comprendi-do, 120°. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, :
2 = 22 + 22 – 2 · 2 · 2 · cos 120° = 12 8 = = 2 u√3√12ABAB
ABOBOA
A = z1
C = z2
O
B = z3
z1 = 2110°
z2 = 2230°
z3 = 2350°
330° + 360°k3
3√83√8330°
√3
°§¢§£
r = √(4√—3)2 + (–4)2 = 81
tg a = –— 8 a = 330°√
—3
√3
3√4√—3 – 4i
√3
x1 = 2
x2 = –2
x2 + 42
x2 + 4√ 2
x – 2 x + 2√(—)2 + (—)22 2
x + 22
x – 22
x – 2 + (x + 2)i1 + 1
x + 2i2 + xi + 2i1 – i2
(x + 2i)(1 + i)(1 – i)(1 + i)
x + 2i1 – i
x + 2i1 – i
z1 = 5 + 2i
z2 = 5 – 2i
10 ± 4i2
10 ± √–162
Unidad 6. Números complejos48
7. Representa gráficamente.
a) 1 Ì Im z Ì 5 b)|z| = 3 c) z + z– = –4
a)
b)
c) a + bi + a – bi = –4 8 2a = –4 8 a = –2
8. Halla dos números complejos tales que su cociente sea 2150° y su producto1890°.
= 2150° 8 = 2; a – b = 150°
ra · sb = 1890° 8 r · s = 18; a + b = 90°
Resolvemos los sistemas:
Obtenemos:
Los números son 6120° y 3330°. Otra posible solución es: 6300° y 3150°.
a = 120°
b = –30° = 330°
°¢£
r = 6
s = 3°¢£
a – b = 150°
a + b = 90°
°¢£
r/s = 2
r · s = 18°¢£
rs
rasb
1–2
3
3
5
1
Unidad 6. Números complejos 49
6UNIDAD
9. Demuestra que |z · z–| = |z|2.
z · z– = (a + bi )(a – bi ) = a2 – b2i2 = a2 + b2
|z| = 8|z · z–| = |z|2
10. Calcula cos 120° y sen 120° a partir del producto 190° · 130°.
190° · 130° = 1(cos 90° + i sen 90°) · 1(cos 30° + i sen 30°) =
= i · + i = – + i
190° · 130° = 1120° = 1(cos 120° + i sen 120°) = – + i 8
8 cos 120° = – ; sen 120° =
11. Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i mediante un giro de 30º con centro en el origen.
Multipicamos por 130° = 1(cos 30° + i sen 30°).
z = (2 + 3i ) · 130° = (2 + 3i ) + i
z = + i2 + i + i
z = + i2 + 3√3
22√3 – 3
2
3√32
32
√3
)12
√32(
√32
12
√32
12
√32
12)1
2√32(
°¢£
|z · z–| = √(a2 + b2)2 = a2 + b2
|z|2 = (√a2 + b2)2 = a2 + b2√a2 + b2
°¢£
z = a + bi
z– = a – bi
Unidad 6. Números complejos50
2 + 3i
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 1
Página 187
REFLEXIONA Y RESUELVE
Punto medio de un segmento
Toma los puntos P(2, 5), Q(10, 3) y represéntalos en el plano:
■ Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordena-das. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?
M (6, 4)
■ Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7)
b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
a) M' (7, 4)
b) M'' (5, 3)
Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener lascoordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisumade las coordenadas de sus extremos.
P (2, 5)
Q (10, 3)
Q'
Q"
P"P'
M" M'
M
P (2, 5)
Q (10, 3)
GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS8
Ecuaciones de la recta
■ Comprueba que las ecuaciones:
corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a tlos valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; com-probarás que todos están sobre la misma recta).
Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
— Despeja t en la primera ecuación.
— Sustituye su valor en la segunda.
— Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
8 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8
8 y = x +143
–13
–x + 143
x – 23
°§¢§£
x – 2t = —
3
t = 4 – y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)(11, 1)
Y
Xr
t –2
(x, y ) (–4, 6)
–1
(–1, 5)
0
(2, 4)
1
(5, 3)
2
(8, 2)
3
(11, 1)
x = 2 + 3t
y = 4 – t°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos2
Distancias en el plano
■ Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.
d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5
■ Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras).
d (P, Q ) = = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo decatetos 3 y 4.
■ Halla, también, la distancia entre:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0)
b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)
Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la dis-tancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas.
a) d (P', Q' ) = = = 13
b) d (P", Q" ) = = = 5
d (A, B ) = , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
d (A, B ) = | |8AB
√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)
2
√25√42 + 32
√169√52 + 122
√32 + 42
Q'
Q''P'
P''
Q(5, 7)
s
rP(2, 3)
P (2, 3)
Q (5, 7)
s
r
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 3
8UNIDAD
Página 189
1. Halla las coordenadas de y , siendo M (7, –5) y N (–2, –11).
= (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
= (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).
8 = 8 A, B y C están alineados.
3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas
A (1, 7) B (–3, 4) C (k, 5)
estén alineados.
8 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =
Página 190
4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
d) Obtén un punto A de PQ tal que / = 2/3.
e) Obtén un punto B de PQ tal que / = 1/5.
a) M ( , ) = ( , 4)
8 P' (13, –11)
c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Q' (–2, 19)
°§§¢§§£
x' + 8—––––– = 3 8 x' = –2
2y' + (–1)
—–––––––– = 9 8 y' = 192
Así:
°§§¢§§£
3 + x—––––– = 8 8 x = 13
29 + y
—––––– = –1 8 y = –112
b)
112
9 + ( –1)2
3 + 82
8PQ
8PB
8AQ
8PA
–53
–31
–4k + 3
°¢£
8AB = (–4, –3)8BC = (k + 3, 1)
–1428
–36
°¢£
8PQ = (–3, –14)8QR = (6, 28)
8NM
8MN
8NM
8MN
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos4
P' (x, y)
Q (8, 1)
P (3, 9)
Q
P
Q'
d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
= 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
A (5, 5)
e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
= 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
B (4, 7)
Página 193
1. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la rectaque pasa por A y B, siendo:
a) A(–1, –1), B (3, 3) b)A(0, 4), B (6, 0)
c) A(3, 5), B (–1, 5) d)A(3, 5), B (3, 2)
a) A (–1, –1); B (3, 3) 8 = (4, 4)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: x – y = 0 Explícita: y = x
b) A (0, 4); B (6, 0) 8 = (6, –4)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: –4x – 6y + 24 = 0 Explícita: y = x + 4
c) A (3, 5); B (–1, 5) 8 = (–4, 0)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: y – 5 = 0 Explícita: y = 5
d) A (3, 5); B (3, 2) 8 = (0, –3)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: x – 3 = 0 Explícita: No existe, pues se trata de unarecta vertical de ecuación x = 3.
y – 5–3
x – 30
x = 3
y = 5 – 3l°¢£
8AB
y – 50
x – 3–4
x = 3 – 4ly = 5
°¢£
8AB
–46
y – 4–4
x6
x = 6ly = 4 – 4l
°¢£
8AB
y – 34
x – 34
x = 3 + 4ly = 3 + 4l
°¢£
8AB
°¢£
x – 3 = 1 8 x = 4
y – 9 = –2 8 y = 7
15
8PQ1
5
8PB
°§§¢§§£
2x – 3 = —(8 – x) 8 x = 5
32
y – 9 = —(–1 – y) 8 y = 53
23
8AQ2
3
8PA
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 5
8UNIDAD
2. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = 2x + 3.
y = 2x + 3
• Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección:
8 = (1, 2)
• Implícita: 2x – y + 3 = 0
• Paramétricas:
• Continua: =
3. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : 2x – 3y + 6 = 0.
b)Comprueba que es perpendicular a (2, –3).
c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r.
d)Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (1, m) es paraleloa (m es la pendiente de r).
a) r : 2x – 3y + 6 = 0
— Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P (0, 2)
— Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q (–3, 0)
b) = (–3, –2)
2 (2, –3) ï · (2, –3) = 0
(–3, –2) · (2, –3) = (–3) · 2 + (–2) · (–3) = –6 + 6 = 0
c) r :
d) Despejamos y en la ecuación de r :
2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 x + 2 = y
Explícita: y = x + 2
m = 8 (1, m ) = 1,
El vector 1, es paralelo a si sus coordenadas son proporcionales:
(–3, –2) = l 1, 8 l = –3
Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.
)23(
8PQ)2
3()2
3(23
23
23
x = –3ly = 2 – 2l
°¢£
8PQ
8PQ
8PQ
8PQ
8PQ
y – 32
x – 01
x = ly = 3 + 2l
°¢£
8AB
°¢£
Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A (0, 3)
Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B (1, 5)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos6
Página 194
1. Halla la recta del haz de centro P(–3, 5) que pasa por (8, 4).
Hemos de hallar la recta que pasa por P (–3, 5) y Q (8, 4).
= (11, –1)
r : =
2. Los haces de rectas cuyos centros son P(4, 0) y Q(–6, 4) tienen una recta encomún. ¿Cuál es?
Es la recta que pasa por P (4, 0) y Q (–6, 4).
= (–10, 4)
r : =
3. Las rectas r : 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz.¿Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4?
• El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos:
3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = –
x = –y – 4 = – 4 = –
El centro del haz es el punto P – , – .
• Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4:
y = + 4 x + 8 32x – 8y + 7 = 0
Página 197
1. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P(4, –3) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.
r :
r: 8 Vector dirección de r : r = (–5, 2)8v
x = 2 – 5t
y = 4 + 2t
°¢£
x = 2 – 5t
y = 4 + 2t°¢£
)138(19
8
)198
138(
138
198
198
8 x = –y – 4
°¢£
3x – 5y – 7 = 0
x + y + 4 = 0
y – 04
x – 4–10
8PQ
y – 5–1
x + 311
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
8UNIDAD
• Recta paralela a r que pasa por P.
P (4, –3) s = r = (–5, 2)
s :
• Recta perpendicular a r que pasa por P.
P (4, –3) l = (2, 5)
l :
2. La pendiente de r es 3/5. Halla:
a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r.
b)La pendiente de una recta perpendicular a la recta r.
c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r.
a) mr = 8 = (5, 3) es paralelo a r.
b) – = mr 8 m = –
c) m = – 8 = (–3, 5) es perpendicular a r.
3. s: . Halla:
a) Ecuación continua de una recta, r1, perpendicular a s que pase por P1(5, –3).
b)Ecuación implícita de r2 paralela a s que pase por P2(0, 4).
c) Ecuación explícita de r3 perpendicular a s que pase por P3(–3, 0).
s : 8 P (5, 0) é s ; s = (–1, 3)
a) El vector dirección de r1 es r1= (3, 1). P1(5, –3) é r1.
r1: =
b) El vector dirección de r2 es el mismo que el de s : r2= (–1, 3).
P2(0, 4) é r2.
r2: = 8 3x = –y + 4 8 3x + y – 4 = 0y – 4
3x – 0–1
8v
y + 31
x – 53
8v
8v
x = 5 – t
y = 3t
°¢£
x = 5 – t
y = 3t°¢£
8w
53
53
1m
8v
35
x = 4 + 2t
y = –3 + 5t
°¢£
8v
x = 4 – 5t
y = –3 + 2t
°¢£
8v
8v
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos8
c) El vector dirección de r3 es el mismo que el de r1: r3= (3, 1).
P3(–3, 0) é r3.
r3: = 8 y = x + 1
4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(–3, 4) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.
r : 5x – 2y + 3 = 0
r : 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = x +
La pendiente de r es mr = .
• Recta s paralela a r que pasa por P (–3, 4).
ms = mr =
s : y – 4 = (x + 3) 8 s : 5x – 2y + 23 = 0
• Recta l perpendicular a r que pasa por P (–3, 4).
ml = – = –
l : y – 4 = – (x + 3) 8 l : 2x + 5y – 14 = 0
Página 199
1. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas:
a) r : 3x + 5y – 8 = 0 b)r : 2x + y – 6 = 0
s: 6x + 10y + 4 = 0 s: x – y = 0
c) r : , s:
d) r : 3x – 5y = 0, s:
a) r : 3x + 5y – 8 = 0 8 r = (3, 5)
s : 6x + 10y + 4 = 0 8 s = (6, 10)
= ? 8 Las dos rectas son paralelas.–84
510
36
8n
8n
x = 2 + 5ty = 1 + 3t
°¢£
x = 2 + ty = 1 – 2t
°¢£
x = 7 + 5ty = –2 – 3t
°¢£
25
25
lmr
52
52
52
32
52
13
y – 01
x + 33
8v
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
8UNIDAD
b) r : 2x + y – 6 = 0 8 r = (2, 1)
s : x – y = 0 8 s = (1, –1)
? 8 Las dos rectas se cortan.
c) r : 8 r = (5, –3)
s : 8 s = (1, –2)
? 8 Las dos rectas se cortan.
d) r : 3x – 5y = 0 8 r = (3, –5) 8 r = (5, 3)
s : 8 s = (5, 3), Ps = (2, 1)
Como r = s y Ps è r, las rectas son paralelas.
Página 200
1. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) r1: , r2:
b) r1: , r2: 3x – 5y + 4 = 0
c) r1: y = 5x – 1, r2: y = 4x + 3
a) r1= (–2, 1); r2
= (–4, 3)
cos a = = ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45''
b) r1= (–2, 1); r2
= (5, 3)
cos a = = ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71''
c) mr1= 5; mr2
= 4
tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72''121|4 – 5
1 + 5 · 4|
7
(√—5 ) · (√
—34)
|(–2, 1) · (5, 3)||(–2, 1)||(5, 3)|
8v
8v
11
(√—5 ) · (5)
|(–2, 1) · (–4, 3)||(–2, 1)||(–4, 3)|
8v
8v
x = 3 – 2ty = 7 + t
°¢£
x = 1 – 4ty = 4 + 3t
°¢£
x = 3 – 2ty = 7 + t
°¢£
8v
8v
8v
x = 2 + 5t
y = 1 + 3t
°¢£
8v
8n
–3–2
51
8v
x = 2 + t
y = 1 – 2t
°¢£
8v
x = 7 + 5t
y = –2 – 3t
°¢£
1–1
21
8n
8n
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos10
Página 201
1. P(–6, –3), Q(9, 5)
r : 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0
Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cadauno de los puntos a cada recta.
P (–6, –3), Q (9, 5)
r : 3x – 4y + 9 = 0
s : 5x + 15 = 0
dist (P, Q ) = | | = |(15, 8)| = = = 17
dist (P, r ) = =
dist (P, s ) = = = 3
dist (Q, r ) = =
dist (Q, s ) = = = 12
2. a) Halla el área del triángulo de vértices A(–3, 8), B(–3, 2), C(5, 2) con la fór-mula de Herón.
b)Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b · hb/2, siendo b el la-do . ¿Hay otra forma más sencilla?
a) A (–3, 8), B (–3, 2), C (5, 2)
Fórmula de Herón: S =
p = = 12
S = = = = 24 u2
b) S =
• b = | | = 10 (del apartado anterior)
• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A (–3, 8) y C (5, 2):
Pendiente: m = = – 8 y = 2 – (x – 5) 8 r : 3x + 4y – 23 = 034
34
–68
8AC
b · hb
2
√576√12 · 4 · 2 · 6√12(12 – 8) (12 – 10) (12 – 6)
8 + 10 + 62
°§¢§£
a = |8BC| = |(8, 0)| = 8
b = |8AC| = |(8, –6)| = √ 82 + (–6)2 = 10
c = |8AB| = |(0, –6)| = 6
√p (p – a)(p – b )(p – c )
AC
605
|5 · 9 + 15|5
165
|3 · 9 – 4 · 5 + 9|5
155
|5(–6) + 15|
√52 + 02
35
|3 · (–6) – 4(–3) + 9|
√32 + (–4)2
√289√152 + 828PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 11
8UNIDAD
• hb = dist [B, r ] = =
S = = 24 u2
Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo.
Observa:
Es claro que = 6 y = 8.
Como el triángulo es rectángulo:
S = = = 24 u2
A
B C
–3 5
8
2
6 · 82
—AB ·
—BC
2
BCAB
10 · (24/5)2
245
|3 · (–3) + 4(2) – 23|
√32 + 42
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos12
Página 206
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Coordenadas de puntos
1 Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados
a) A(5, –2), B(3, –2), C(–5, –2)
b)A(–1, –2), B(2, 7), C(1, 2)
c) A(0, 3), B(2, 2), C(4, 1)
a) = (3, –2) – (5, –2) = (–2, 0)
= (–5, –2) – (3, –2) = (–8, 0)
Las coordenadas de y son proporcionales, por tanto, A, B y C es-tán alineados.
b) = (2, 7) – (–1, –2) = (3, 9)
= (1, 2) – (2, 7) = (–1, –5)
Las coordenadas de y no son proporcionales, por tanto, A, B y Cno están alineados.
c) = (2, 2) – (0, 3) = (2, –1)
= (4, 1) – (2, 2) = (2, –1)
Las coordenadas de y coinciden, por tanto, los puntos están alineados.
2 Determina k para que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-ados.
Debe ocurrir que y sean proporcionales.
8 = 8 5k – 5 = –16 8 k =
3 El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemosel extremo A(2, 3). Halla B.
☛ Si B = (x, y), , = (5, –2).
8 ( , ) = (5, –2) 8
8 8 B = (8, –7)°¢£
x + 2 = 10 8 x = 8y + 3 = –4 8 y = –7
°¢£
y + 32
x + 22
°¢£
Si B = (x, y)Como P es punto medio de AB
)y + 32
x + 22(
–115
–4k – 1
54
°¢£
8AB = (5, –4)8BC = (4, k – 1)
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
PARA PRACTICAR
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 13
8UNIDAD
4 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H(3, 0).
☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.
Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) 8
8 H es el punto medio de PP' 8
8 ( , ) = (3, 0) 8 8 P' (5, 2)
5 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4)y B (0, –2) en dos partes tales que = 2 .
Sea P (x, y).
Sustituimos en la condición que nos imponen:
= 2 8 (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) 8
8 8 8 8
8 8 P (2, 2)
6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo queA(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).
Sea D (x, y).
Debe cumplirse: =
(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) 8
8 8 8 D (2, 6)
Ecuaciones de rectas
7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por Ay tiene una dirección paralela al vector .
a) A(–3, 7), (4, –1) b)A(–1, 0), (0, 2)
Obtén 5 puntos en cada caso.
a) Ecuación vectorial: (x, y) = (–3, 7) + k (4, –1)
Ecuaciones paramétricas:
Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3);(17, 2).
x = –3 + 4k
y = 7 – k
°¢£
8d
8d
8d
A (1, 2)
B (5, –1)
C (6, 3)
D (x, y)
x = 2y = 6
°¢£
4 = 6 – x–3 = 3 – y
°¢£
8DC
8AB
x = 2y = 2
°¢£
3x = 63y = 6
°¢£
x = 6 – 2xy + 2 = 8 – 2y
°¢£
x = 2 (3 – x)y + 2 = 2 (4 – y)
°¢£
8PA
8BP
8PA
8BP
°¢£
x + 1 = 6 8 x = 5y – 2 = 0 8 y = 2
°¢£
y – 22
x + 12
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos14
b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2)
Ecuaciones paramétricas:
Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8); (–1, 10).
8 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas po-sibles.
a) P(6, –2) y Q(0, 5)
b) P(3, 2) y Q(3, 6)
c) P (0, 0) y Q(8, 0)
Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario.
a) = (–6, 7)
Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0
Ec. explícita: y = – x + 5
b) = (0, 4)
Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: x – 3 = 0
c) = (8, 0)
Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita y explícita: y = 0
y – 00
x – 08
x = 8t
y = 0
°¢£
8PQ
y – 24
x – 30
x = 3
y = 2 + 4t
°¢£
8PQ
76
y + 27
x – 6–6
x = 6 – 6t
y = –2 + 7t
°¢£
8PQ
x = –1 + 0 · k
y = 2k
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 15
8UNIDAD
9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0
c) 3y – 6 = 0 d) y = – x
e) = f) = 1 – y
a) Si x = t 8 2t – y = 0 8 y = 2t 8 r :
b)
c)
d) y = – x
Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P (0, 0), (–3, 1), y a par-tir de ellos, las ecuaciones paramétricas:
e) =
Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (1, –1); (3, 2).
Las ecuaciones paramétricas son:
f) = 1 – y 8 =
Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (–1, 1); (2, –1).
Las ecuaciones paramétricas son:
10 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas:
a) r1: b)r2:
c) r3: 3x + y – 1 = 0 d)r4: y + 1 = (x – 2)
a) 8 = y–3
x + 12
°§§¢§§£
x + 1t = —
2y
t = —–3
°¢£
x = 2t – 1y = –3t
12
x = 2y = 3t
°¢£
x = 2t – 1y = –3t
°¢£
x = –1 + 2ty = 1 – t
°¢£
8v
8v
y – 1–1
x + 12
1 + x2
x = 1 + 3ty = –1 + 2t
°¢£
8v
8v
y + 12
x – 13
x = –3ty = t
°¢£
8v
13
x = ty = 6/3 = 2
°¢£
x = 7y = t
°¢£
x = ty = 2t
°¢£
1 + x2
y + 12
x – 13
13
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos16
b) 8 =
c) 3x + y – 1 = 0 8 3x = –y – 1 8 x = 8 =
d) y + 1 = (x – 2) 8 =
11 Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas:
a) r1: = y – 1 b)r2:
c) r3: d)r4: y = x +
Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta.
a) = y – 1 8 x + 1 = –2y + 2 8 x + 2y – 1 = 0
Vector normal: 8n(1, 2)
b) 8 = 8 5x – 5 = –y – 2 8 5x + y – 3 = 0
Vector normal: 8n(5, 1)
c) 8 y – 2 = 0
Vector normal: 8n(0, 1)
d) y = x + 8 10y = –15x + 4 8 15x + 10y – 4 = 0
Vector normal: 8n(15, 10)
12 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son losvectores de la base.
Eje X : 8 Eje X : 8 y = 0
Eje Y : 8 Eje Y : 8 x = 0x = 0y = t
°¢£
O (0, 0) é eje Y8dY = (0, 1)
°¢£
x = ty = 0
°¢£
O (0, 0) é eje X8dX = (1, 0)
°¢£
25
–32
°¢£
x = 3t – 1y = 2
y + 25
x – 1–1
°¢£
x = –t + 1y = 5t – 2
x + 1–2
25
–32
x = 3t – 1y = 2
°¢£
x = –t + 1y = 5t – 2
°¢£
x + 1–2
y + 11
x – 22
12
y + 1–3
x1
–y – 13
y3
x – 20
°§¢§£
x – 2 = 0
yt = —
3
°¢£
x = 2y = 3t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 17
8UNIDAD
13 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vec-tor normal y su pendiente:
a) r1: b)r2: =
c) r3: x + 3 = 0 d)r4: y = x +
a) Vector dirección: = (2, 5) b) Vector dirección: = (2, 4)
Vector normal: = (–5, 2) Vector normal: = (–4, 2)
Pendiente: m = Pendiente: m = = 2
c) Vector dirección: = (0, 1) d) Vector dirección: = (3, 1)
Vector normal: = (1, 0) Vector normal: = (–1, 3)
Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical.
14 Comprueba si el punto P(13, –18) pertenece a alguna de las siguientes rec-tas:
r1: 2x – y + 5 = 0 r2:
r3: 3y + 54 = 0 r4:
r1: 2x – y + 5 = 0 8 2 · 13 + 18 + 5 ? 0 P è r1
r2: 8 P è r2
r3: 3y + 54 = 0 8 3(–18) + 54 = 0 P é r3
r4: 8 P é r4
15 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contengaal punto dado:
a) (5, –2)
b) (7, 3)
c) (–3, 4)
a) (5, –2) 8 5 + k (–2) – 7 = 0 8 –2k = 2 8 k = –1
b) (7, 3) 8 7 + k · 3 – 7 = 0 8 3k = 0 8 k = 0
c) (–3, 4) 8 –3 + 4k – 7 = 0 8 4k = 10 8 k = 52
13 = 13–18 = 10 – t 8 t = 28
x = 13y = 10 – t
°¢£
13 = 12 + t 8 t = 1–18 = –5 + 13t 8 t = –1
x = 12 + ty = –5 + 13t
°¢£
x = 13y = 10 – t
°¢£
x = 12 + ty = –5 + 13t
°¢£
13
8n
8n
8v
8v
42
52
8n
8n
8v
8v
23
13
1 – y4
x + 32
x = 2t – 1y = 5t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos18
Página 207
16 Dada la recta r : , escribe las ecuaciones (en forma explícita)
de las siguientes rectas:
a) Paralela a r que pasa por A(–1, –3).
b)Perpendicular a r que pasa por B(–2, 5).
r : 8 8vr = (–5, 1)
a)8vs = (–5, 1), A (–1, –3) 8 s : y = – (x + 1) – 3 8 s : y = – x –
b)8vs = (1, 5), B (–2, 5) 8 s : y = 5(x + 2) + 5 8 s : y = 5x + 15
17 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, –3)y es:
a) Paralela a la recta 2x – 3y + 5 = 0. En forma paramétrica.
b)Perpendicular a la recta x + y – 3 = 0. En forma continua.
c) Paralela a la recta 2y – 3 = 0.
d)Perpendicular a la recta x + 5 = 0.
a)8vr = (3, 2), P (1, –3) 8 r :
b)8vr = (1, 1), P (1, –3) 8 r : =
c)8vr = (2, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3
d)8vr = (1, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3
18 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es–2.
☛ La recta pasa por el punto (0, –2).
r : 2x – 3y = 0
8 8 y = x – 2 8 2x – 3y – 6 = 0
ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA
23
ms = mr = 2/3
P (0, –2) é s°¢£
°¢£
s // r 8 la pendiente de s ha de ser igual a la de r
P (0, –2) é s
x = 1 + t
y = –3
°¢£
x = 1 + 2t
y = –3
°¢£
y + 31
x – 11
x = 3 + t
y = 2 – 3t
°¢£
165
15
15
x = 1 – 5ty = 2 + t
°¢£
x = 1 – 5ty = 2 + t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 19
8UNIDAD
19 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendiculara ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.
☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.
• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-denadas.
r : 8 4 – 0 + 3y – 6 = 0 8 3y = 6 8 y = 2
Luego P (0, 2) ér y también debe ser P (0, 2) és, donde s 2 r.
• Como s 2 r 8 sus pendientes deben cumplir:
ms · mr = –1 8 ms = = =
• Como P (0, 2) és y ms = 8 y = x + 2 8 3x – 4y + 8 = 0
20 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Su vector de posición es (–3, 1) y su vector de dirección es perpendi-cular a (0, –2).
b)Pasa por A(5, –2) y es paralela a:
c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.
d)Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) yQ(–6, 0).
a) La ecuación vectorial será:
8OX =
8a + t
8v 8 (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) 8
b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al
de la recta (pues debe ser paralela a ella).
Luego: (–1, 2)
Como debe pasar por A(5, –2) 8
c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es:
mr = 8 ms = (pues mr · ms = –1 por ser r 2 s)
Un vector dirección puede ser 8s = (2, –3).
Además, A (1, 3) é s.
Por tanto, s : x = 1 + 2ty = 3 – 3t
°¢£
–32
23
x = 5 – ty = –2 + 2t
°¢£
8d
x = 1 – ty = 2t
°¢£
x = –3 + 2ty = 1
°¢£
x = 1 – ty = 2t
°¢£
8v
8a
34
34
34
–1–4/3
–1mr
4x + 3y – 6 = 0Eje Y : x = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos20
d) El punto medio de PQ es m ( , ) = (–3, 2)
= (–6, –4)
8
Luego, s :
21 De una cierta recta r conocemos su pendiente m = . Halla la recta s encada caso:
a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas.
b)s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (1, 2).
a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0):
s : y = x
b) Al ser perpendicular, su pendiente es – = :
y = (x – 1) + 2 8 y = x +
Haz de rectas
22 Consideramos el haz de rectas de centro (3, –2).
a) Escribe la ecuación de este haz de rectas.
b)Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (–1, 5).
c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0?
d)Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.
a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0; o bien y = –2 + m (x – 3)
b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m (x – 3), obtenemos:
5 = –2 + m (–1 – 3) 8 7 = –4m 8 m = – ; es decir:
y = –2 – (x – 3) 8 4y = –8 – 7x + 21 8 7x + 4y – 13 = 0
c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2.
Por tanto, será:
y = –2 – 2(x – 3) 8 y = –2 – 2x + 6 8 2x + y – 4 = 0
74
74
72
–32
–32
–32
1m
23
23
x = –3 + 4ty = 2 – 6t
°¢£
m (–3, 2) é s8d (4, –6) es un vector dirección de s, pues
8d 2
8PQ
°¢£
8PQ
42
–62
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 21
8UNIDAD
d) Una recta del haz tiene por ecuación:
y = –2 + m (x – 3) 8 y = –2 + mx – 3m 8 mx – y – 3m – 2 = 0
Su distancia al origen ha de ser igual a 3:
= 3; es decir:
|–3m – 2| = 3 . Elevamos al cuadrado y operamos:
9m2 + 12m + 4 = 9(m2 + 1)
9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9
12m = 5 8 m =
Por tanto, será:
x – y – – 2 = 0 8 5x – 12y – 39 = 0
23 Determina el centro del haz de rectas de ecuación:
3kx + 2y – 3k + 4 = 0
Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan dela forma:
a (x – x0) + b (y – y0) = 0
3kx + 2y – 3k + 4 = 0 8 3k (x – x0) + 2(y – y0) = 0
3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0
3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0
Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:
–3kx0 = –3k 8 x0 = 1
–2y0 = 4 8 y0 = –2
El centro del haz es el punto (1, –2).
24 Las rectas r : y = 3 y s: y = 2x – 1 forman parte del mismo haz de rectas.
Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente –2.
Si r : y = 3 y s : y = 2x – 1 están en el mismo haz de rectas, el centro de dichohaz es el punto de corte de estas rectas: P (2, 3).
Buscamos la recta que pasa por P (2, 3) y tiene pendiente m = –2:
y = –2(x – 2) + 3 8 y = –2x + 7
1512
512
512
√m2 + 1
|–3m – 2|
√m2 + 1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos22
Posición relativa de dos rectas
25 Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso:
a) r : 2x – y + 5 = 0; s: x + y + 4 = 0
b)r : x – 2y – 4 = 0; s :
c) r : ; s :
a) Resolviendo el sistema: P (–3, –1)
b) s : 8 x – 1 = 8 –3x + 3 = y – 2 8 3x + y – 5 = 0
Resolviendo el sistema: P (2, –1)
c) Por las ecuaciones de r : x = 2(*)
s : 8 x = 3 + 2y 2 = 3 + 2y 8 y = –
Por tanto, P 2, – .
26 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas secorten en el punto A(1, 2):
r : kx – ty – 4 = 0
s: 2tx + ky – 2 = 0
27 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas.
r : =
s: =
Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir:
= 8 k = 4–2k
3–6
y – 1k
x + 5–6
y–2
x – 23
Resolviendo el sistema:
k = 2; t = –1°¢£
k – 2t – 4 = 0
2k + 2t – 2 = 0
°¢£
A é r 8 k · 1 – t · 2 – 4 = 0
A é s 8 2t · 1 + k · 2 – 2 = 0
)12(
12
(*)Ä8x = 3 + 2ty = t
°¢£
°¢£
r : x – 2y – 4 = 0
s : 3x + y – 5 = 0
y – 2–3
x = 1 + ty = 2 – 3t
°¢£
°¢£
r : 2x – y + 5 = 0
s : x + y + 4 = 0
x = 3 + 2ty = t
°¢£
x = 2y = 1 + 3t
°¢£
x = 1 + ty = 2 – 3t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 23
8UNIDAD
28 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes:
r : 2x + 3y + 5 = 0 s:
Expresamos ambas rectas en forma implícita:
r : 2x + 3y + 5 = 0
s : 4x + 6y – 12 – 4k = 0
Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto:
–12 – 4k = 10 8 k = =
Página 208
29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) r : 5x + y + 7 = 0 b)r : 3x + 5y + 10 = 0
s: s: –3x + 5y + 10 = 0
c) r : s :
a) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 5x + y + 7 = 0 8 r = (5, 1) 8 r = (–1, 5)
s : 8 s = (2, –10)
Como los vectores dirección son proporcionales ( s = –2 r), las rectas o sonparalelas o son coincidentes.
Como P (1, –3) é s y P è r, las rectas son paralelas.
b) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 3x + 5y + 10 = 0 8 r = (3, 5) 8 r = (–5, 3)
s : –3x + 5y + 10 = 0 8 s = (–3, 5) 8 s = (5, 3)
Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.
c) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 8 r = (3, 1)
s : 8 s = (1, 2)
Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.
8vx = t
y = 2t°¢£
8vx = 3t – 1
y = t + 3°¢£
8v
8n
8v
8n
8v
8v
8vx = 2t + 1
y = –10t – 3°¢£
8v
8n
x = ty = 2t
°¢£
x = 3t – 1y = t + 3
°¢£
x = 2t + 1y = –10t – 3
°¢£
–112
22–4
x = –6t + ky = 4t + 2
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos24
Ángulos
30 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) b)
c) d)
a) 8 sus pendientes son:
tg a = | | = | | = | | = 1 8 a = 45°
b)8 a ~ r1 r2 = , 8
8 cos a = = = 0 8 a = 90°
c) Los vectores dirección de esas rectas son:8d1 = (–1, 2) y
8d2 = (–3, 1)
Entonces:
cos a = = = = = 8 a = 45°
d)8 a ~ r1 r2 =
8a1,
8a2 8 cos a = =
= = = = ≈ 0,4472 8 a = 63° 26' 5,82"
31 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es latangente del ángulo que forma r con el eje deabscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r.
La pendiente de r es mr = .
La pendiente de r es, además, tg a:
mr = tg a 8 tg a = 8 a = 56° 18' 35,8"32
32
√55
1
√5
2
√5 · 2
|0 – 2|
√—5 · √
—4
|8a1 ·
8a2|
|8a1| |
8a2|
°§¢§£
8a1 = (2, –1) 2 r18a2 = (0, 2) 2 r2
√22
1
√2
5
5√2
|3 + 2|
√—5 · √
—10
|8
d1 ·8
d2 |
|8
d1| |8
d2 |
|30 – 30|
|8v||
8w|
|8v ·
8w|
|8v||
8w|
8w
8v
°§¢§£
8v = (3, –5) 2 r18w = (10, 6) 2 r2
5–5
2 – (–3)1 + 2 (–3)
mr – ms
1 + mr ms
mr = 2ms = –3
°¢£
°¢£
r : y = 2x + 5s : y = –3x + 1
2x – y = 02y + 3 = 0
°¢£
°¢£
x = –1 – 3ty = 4 + t
°¢£
x = 3 – ty = 2t
3x – 5y + 7 = 010x + 6y – 3 = 0
°¢£
y = 2x + 5y = –3x + 1
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 25
8UNIDAD
ì ì
ì ì
Y
r
aX
32 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?
☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje deabscisas.
El ángulo pedido, a, es complementario de b 8 tg b =
Por otro lado, tg b = mr = 2:
tg a = = 8 a = 26° 33' 54,2"
33 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° conel OX.
tg 60° =
mr = –Como tg 60° = mr , se tiene que:
= – 8 n = = = –
34 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:
r : mx – 2y + 5 = 0
s : nx + 6y – 8 = 0
sabiendo que r pasa por el punto P (1, 4) y que r y s forman un ángulode 45°.
☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre-sa tg 45° en función de las pendientes de r y s para obtener n.
☛ O bien mira el problema resuelto número 3.
P é r 8 m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 8 m = 3
r : 3x – 2y + 5 = 0 8 y = x + 8 mr =
s : nx + 6y – 8 = 0 8 y = – x + 8 ms = –n6
86
n6
32
52
32
Y
r
60°
X√3–3√3
3–3
√3
3n
√3
3n
√3
Y r
b
a
X
12
1tg b
1tg a
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos26
°§¢§£
tg 45° = = = = 1
Hay dos posibilidades:
• = 1 8 –2n – 18 = 12 – 3n 8 n = 30
• = –1 8 –2n – 18 = –12 + 3n 8 n = –
Distancias y áreas
35 Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso:
a) P(1, 3), Q(5, 7) b) P(–2, 4), Q(3, –1) c) P(–4, –5), Q(0, 7)
a) | | = = = 4
b) | | = = = 5
c) | | = = = = 4
36 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(5, k) y B(3, –2) seaigual a 2.
A (5, k ), B (3, –2), = (–2, –2 – k )
dist (A, B ) = | | = = 2 8 4 + 4 + 4k + k2 = 4 8
8 k2 + 4k + 4 = 0 8 k = –2
37 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, 2) y B(–3, 5)sea igual a .
| | = 8 = 8 (–3 – a)2 + 9 = 13 8
8 (–3 – a)2 = 4
38 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 alcortar a los ejes de coordenadas.
Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes decoordenadas.
Calculamos primero dichos puntos:
• 8 –2y + 5 = 0 8 y = 8
8 A (0, ) es el punto de corte con el eje Y.52
52
x – 2y + 5 = 0x = 0
°¢£
–3 – a = 2 8 a = –5
–3 – a = –2 8 a = –1
√13√(–3 – a)2 + (5 – 2)2√138AB
√13
√(–2)2 + (–2 – k )28AB
8AB
√10√160√16 + 144√(0 + 4)2 + (7 + 5)28PQ
√2√25 + 25√(3 + 2)2 + (–1 – 4)28PQ
√2√16 + 16√(5 – 1)2 + (7 – 3)28PQ
65
–2n – 1812 – 3n
–2n – 1812 – 3n
|–2n – 1812 – 3n||–(n/6) – (3/2)
1 – (n/6)(3/2)||ms – mr
1 + msmr|
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 27
8UNIDAD
• 8 x + 5 = 0 8 x = 5 8
8 B (5, 0) es el punto de corte con el eje X.
• Luego—AB = dist (A, B ) = = = =
39 Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:
a) b) y = c) 2x + 5 = 0
a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:
8 = –y 8 x + 2y = 0
Entonces:
dist (P, r ) = = = =
b) y = 8 y – = 0
Por tanto:
dist (P, r ) = = =
c) dist (P, r ) = =
40 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0
c) x = 3 d) 3x – 2y = 0
a) dist (0, r ) = =
b) dist (0, r ) = =
c) dist (0, r ) = = = 3
d) dist (0, r ) = = = 0
(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).
0
√13
|3 · 0 – 2 · 0|
√32 + 22
31
|0 – 3|
√12 + 02
92
|2 · 0 – 9|
√02 + 22
125
|3 · 0 – 4 · 0 + 12|
√32 + (–4)2
92
|2 · 2 + 5|
√22 + 0
214
|–3 – 9/4|
√1
|1(–3) – 9/4|
√02 + 12
94
94
4√55
4
√5
|2 – 6|
√5
|1 · 2 + 2 (–3)|
√12 + 22
x2
t = x/2t = –y
°¢£
94
x = 2ty = –t
°¢£
√552√125
425√25 + —4
5√(5 – 0)2 + (0 – —)22
x – 2y + 5 = 0y = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos28
41 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)sea de unidades. (Hay dos soluciones).
dist (P, r ) = = = =
Hay dos soluciones:
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
42 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.
☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-cia a r '.
Sus pendientes son mr = = mr' 8 Son paralelas.
Entonces, la distancia entre r y r ' será:
dist (P, r ' ) donde P ér
Sea x = 0.
Sustituyendo en r 8 y = = 4 8 P (0, 4) ér
Así:
dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) = = = =
43 En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, 2) y B(6, –2), calcula:
a) La longitud del lado OB—
.
b) La distancia de A al lado OB.
c) El área del triángulo.
a) | | = = 2
b) Ecuación de OB:
m = = – ; y = – x 8 x + 3y = 0
Distancia de A a OB:
d = = (es la altura del triángulo).
c) Área = · 2 · = 10 u210
√10√10
12
10
√10
|4 + 3 · 2|
√12 + 32
13
13
–26
√10√62 + (–2)28OB
9√510
9
2√5
|16 – 7|
√20
|–2 · 0 + 4 · 4 – 7|
√(–2)2 + 42
–8–2
12
x – 3y + 10 = 0
x – 3y – 10 = 0
P
√10|c|
√10
|6 – 6 + c|
√10
|1 · 6 – 3 · 2 + c|
√1 + 9
√10
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 29
8UNIDAD
= 8 c1 = 10
= – 8 c2 = –10√10|c|
√10
√10|c|
√10
°§§§¢§§§£
A(4, 2)
B(6, –2)
O
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(–3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rec-tángulo y halla su área.
Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras:
52 + 52 = ( )2 8 Por tanto, el triánguloes rectángulo.
Área = · | | · | | = · 25 = 12,5 u2
45 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(–1, 2), Q(4, 7), R(7, 0).
| | = = = 2 (Base del triángulo)
Ecuación de PR :
m = = – 8 y = 0 – (x – 7) 8
8 4y = –x + 7 8 x + 4y – 7 = 0
Altura: d (Q, PR ) = =
Área = · 2 · = 25 u2
Página 209
46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.
Y
aX
180° – b
s
t
r
p30°
30°
b
Y
X
p
s
30°
r
t
PARA RESOLVER
25
√17√17
12
25
√17
|4 + 4 · 7 – 7|
√12 + 42
14
14
0 – 27 + 1
√17√68√(7 + 1)2 + (0 – 2)28PR
12
8BC
8AB
12
√50
°§¢§£
|8AB| = √(0 + 3)2 + (5 – 1)2 = 5
|8AC| = √(4 + 3)2 + (2 – 1)2 = √
—50
|8BC| = √42 + (2 – 5)2 = 5
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos30
Q(4, 7)
R(7, 0)
P(–1, 2)
O
• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).
Así, su pendiente es:
m = =
Por tanto:
p : y = 1 + (x – 4) 8 7x – 4y + 9 = 0
• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto (0, ).Por tanto:
r : y = –
• s : Su vector dirección es (0, 1) y pasa por (2, 0).
Por tanto:
s :
• t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).
Así, su pendiente es:
m = = = –
Por tanto:
t : y = – (x – 1) 8 x + 2y – 1 = 0
47 Dada la recta:
r :
halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segun-do cuadrante.
• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y 8 (en paramétricas).
Su vector dirección es = (–1, 1).
• El vector dirección de r es = (3, k ).
• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vecto-res dirección deben ser proporcionales:
= 8 k = –31k
–13
8r
8d
x = – ty = t
°¢£
x = –1 + 3ty = 2 + kt
°¢£
12
12
2–4
2 – 0–3 – 1
x = 2y = t
°¢£
32
–32
74
74
4 – (–3)1 – (–3)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 31
8UNIDAD
48 En el triángulo de vértices A(–2, 3), B(5, 1), C(3, –4), halla las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b)La mediana que parte de B.
c) La mediatriz del lado CA.
a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa porel punto B:
8
8 hB: 8 8 = 8 hB: 5x – 7y – 18 = 0
b) mB (mediana que parte de B ) pasa por B y por el punto medio, m, de AC :
m ( , ) = ( , – ) é mB 8
B (5, 1) é mB
88mB (5 – , 1 + ) = ( , ) es vector dirección de mB .
Luego:
mB : 8 8 8
8 = 8 mB : 6x – 18y – 12 = 0
c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado,m'. Así:
= (–5, 7) 2 z 8 vector dirección de z : (7, 5)8
m' ( , ) = ( , – ) é z
8 z : 8 8 = 8
8 z : 20x – 28y – 24 = 0 8 z : 5x – 7y – 6 = 0
2y + 110
2x – 114
2x – 1t = —
142y + 1
t = —10
°§§¢§§£
1x = — + 7t
21
y = – — + 5t2
°§§¢§§£
12
12
–4 + 32
3 – 22
8z
8CA
2y – 23
2x – 109
2x – 10t = —
92y – 2
t = —3
°§§¢§§£
2x = 10 + 9t
2y · 2t = —
3
°§¢§£
9x = 5 + —t
23
y = 1 + —t2
°§§¢§§£
32
92
12
12
12
12
3 – 42
–2 + 32
y – 15
x – 57
x – 5t = —
7y – 1
t = —5
°§§¢§§£
x = 5 + 7ty = 1 + 5t
°¢£
°¢£
hB 2 AC (5, –7) 8 el vector dirección de hB es 8hB (7, 5)
B (5, 1) é hB
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos32
°§¢§£
°§¢§£
49 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, elsegmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB.
☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa yopuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.
• A = r » eje Y : 8 3y – 6 = 0 8 y = 2 8 A (0, 2)
• B = r » eje X : 8 2x – 6 = 0 8 x = 3 8 B (3, 0)
• = (3, –2) 2 mAB (mediatriz de AB ) 88mAB = (2, 3)
MAB ( , ) = ( , 1) (punto medio de AB ) é mediatriz 8
8 y – 1 = (x – ) 8 y = x – 8 mAB : 6x – 4y – 5 = 0
50 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(–2, 1), B(5, 4), entres partes iguales.
☛ Si P y Q son esos puntos, = .
Escribe las coordenadas de y de , y obtén P. Q es el punto medio de .
• = 8 (x + 2, y – 1) = (7, 3) 8
8 8 P ( , 2)
• Q es el punto medio de PB 8 Q ( , ) 8 Q ( , 3)83
2 + 42
1/3 + 52
13
7 7 1x + 2 = — 8 x = — – 2 = —
3 3 33
y – 1 = — 8 y = 1 + 2 = 23
°§§¢§§£
13
8AB1
3
8AP
A
P
Q
B
PB8AB
8AP
8AB
13
8AP
54
32
32
32
32
22
32
8AB
2x + 3y – 6 = 0y = 0
°¢£
2x + 3y – 6 = 0x = 0
°¢£
Y
A
BX
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 33
8UNIDAD
°§¢§£
51 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3 – 2 = 0,siendo Q(3, 2) y R(–1, 5)?
3 = 2 8 3 (3 – x, 2 – y ) = 2 (–4, 3) 8
8 8 8 P ( , 0)52 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un para-
lelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6)
P ( , ) = (4, 5)
Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)
=
=
53 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, –2) a la recta:
r : x – 2y + 4 = 0
☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.
Sea s la recta perpendicular a r desde P y = (2, 1) vector director de r.
Así, ' 2 ò el vector dirección de s, , también es perpendicular a ( 2 ),luego podemos tomar (1, –2). Como P (1, –2) é s :
s : 8 x – 1 = 8 –2x + 2 = y + 2 8
8 s : 2x + y = 0
y + 2–2
x = 1 + t 8 t = x – 1
y + 2y = –2 – 2t 8 t = —
–2
°§¢§£
8s
8r
8s
8r
8s
8r
8PP
8r
P (1, –2)
P' (x, y)
r : x – 2y + 4 = 0
s
A
B
P
QS
RC
D
8RQ
8SP
°¢£
8SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2)8RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)
8SR
8PQ
°¢£
8PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4)8SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)
8 + 22
5 + 32
173
17x = —
3
y = 0
°§¢§£
9 – 3x = –86 – 3y = 6
°¢£
8QR
8PQ
8QR
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos34
El punto P' (x, y) es tal que:
P' = s » r
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x – 2 (–2x) + 4 = 0 8 x + 4x + 4 = 0 8
8 x = 8 y = –2 ( ) =
Luego: P' ( , )54 Halla el área del cuadrilátero de vértices:
A(–4, 3) B(0, 5) C(4, –2) D(–3, –2)
☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.
• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cu-ya medida es:
| | = |(8, –5)| =
• Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base:
hB = dist (B, r ) y hD = dist (D, r )
donde r es la recta que contiene el segmento .
Tomando como vector dirección de r el vector , la ecuación de dicha rec-ta es:
–20 + 24 + k = 0 ò k = –4 ò r : 5x + 8y – 4 = 0
Luego:
hB = dist (B, r ) = =
hD = dist (D, r ) = = 35
√89
|5 (–3) + 8 (–2) – 4|
√89
36
√89
|5 · 0 + 8 · 5 – 4|
√89
°¢£
5x + 8y + k = 0Como (–4, 3) é r
8AC
8AC
√898AC
B (0, 5)
A (–4, 3)
D (–3, –2) C (4, –2)
85
–45
85
–45
–45
s : 2x + y = 0 8 y = –2xr : x – 2y + 4 = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 35
8UNIDAD
• Así:
AABCD = AABC + AADC = + = (hB + hD) =
= ( + ) =
55 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r : x = 3 s : 2x + 3y – 6 = 0 t : x – y – 7 = 0
• A = r » s 8 6 + 3y – 6 = 0 8 y = 0
Luego: A (3, 0)
• B = r » t 8 3 – y – 7 = 0 8 y = –4
Luego: B (3, –4)
• C = s » t 8
8 2 (y + 7) + 3y – 6 = 0 8 2y + 14 + 3y – 6 = 0 8 5y + 8 = 0 8
8 y = 8 x = + 7 =
Luego: C ( , )• Consideramos el segmento AB como base:
| | = |(0, –4)| = = 4
• La altura desde C es hC = dist (C, r ) = =
• Así:
Área = = = 465
4 · 23/52
|8AB| · hC
2
235
|(–8/5) – 3|
√12 + 02
√168AB
–85
275
275
–85
–85
2x + 3y – 6 = 0x – y – 7 = 0 8 x = y + 7
°¢£
x = 3x – y – 7 = 0
°¢£
x = 32x + 3y – 6 = 0
°¢£
A
B
s
t
r
C
712
35
√89
36
√89
√892
b2
b · hD
2
b · hB
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos36
56 En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), halla las longitudesde la mediana y de la altura que parten de B.
• Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC.
M ( , 0) 8 = ( – 2, 0 – 4) = (– , –4)La longitud de la mediana es: | | = =
• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B.
= (5, 2) 8 la recta que contiene ese segmento es:
r : 8 = 8 2x – 5y – 3 = 0
= (–2, 5) 2 8 la recta s 2 r que pasa por B:
s : 8 = 8 5x + 2y – 18 = 0
P = r » s 8
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:
4x – 10y – 6 = 0
25x + 10y – 90 = 0
29x – 96 = 0 8 x = 8 2 · – 5y – 3 = 0 8
8 5y = – 3 = 8 y = : 5 =
Luego: P ( , )Así: hB = | | = |( , – )| = = ≈ 3,528
57 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A (–6, 0) y B(0, –6).
r
P
A (–6, 0)
B (0, –6)
√10 46929√ 10 469
2929529
3829
8BP
2129
9629
2129
10529
10529
19229
9629
9629
r : 2x – 5y – 3 = 0s : 5x + 2y – 18 = 0
°¢£
y – 45
x – 2–2
x = 2 – 2ty = 4 + 5t
°¢£
8AC
8v
y + 12
x + 15
x = –1 + 5ty = –1 + 2t
°¢£
8AC
√652
√1/4 + 168BM
12
32
8BM3
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 37
8UNIDAD
P (x, y ) debe verificar dos condiciones:
1. P (x, y ) é r ò 3x – 4y + 8 = 0
2. dist (A, P ) = dist (B, P ) ò =
8 8
8 3x – 4x + 8 = 0 8 x = 8 = y 8 P (8, 8)
58 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta 3x – y + 8 = 0.
8
8 8 = 3 8 = 3 8
8 dos posibilidades:
59 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0 y 4x – 2y + 1 = 0.
Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente.
Buscamos los puntos P (x, y ) que cumplan:
= 8
8 = 8|4x – 2 (–x + 2) + 1|
2√5
|x + 2 (–x + 2) – 5|
√5
|4x – 2y + 1|
√20
|x + 2y – 5|
√5
P é r1 ò y = –x + 2dist (P, r2) = dist (P, r3) 8
°¢£
r
r'
P1
P2
P1 (3√—10 – 8, 6√
—10 – 16)
P2 (–3√—10 – 8, –6√
—10 – 16)
°¢£
8 y1 = 6√—10 – 16 8
8 y2 = –6√—10 – 16 8
°¢£
x + 8 = 3√—10 8 x1 = 3√
—10 – 8 8
x + 8 = –3√—10 8 x2 = –3√
—10 – 8 8
°¢£
|x + 8|
√10
|3x – 2x + 8|
√10
y = 2x
|3x – y + 8|—— = 3
√—10
°§¢§£
P (x, y ) é r : y = 2xdist (P, r ' ) = 3, donde r ' : 3x – y + 8 = 0
°¢£
3x – 4y + 8 = 0x = y
°¢£
3x – 4y + 8 = 0x2 + 12x + 36 + y2 = x2 + y2 + 12y + 36
°¢£
√x2 + (y + 6)2√(x + 6)2 + y2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos38
8 |–x – 1| = 8 8
8 8 8 8
8 8
60 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0sea igual a 3.
Sea P é r1 donde x0 = 0 8 y0 = 2 8 P (0, 2) é r1
Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) = = 3 8
8 = 3 8
61 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, –2) yB(4, 3). El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0. Halla las coordenadasde C y el área del triángulo.
• La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección = (3, 5):
r : 8 = 8 r : 5x – 3y – 11 = 0
• La recta que contiene la altura tiene por vector dirección = (–5, 3) 2 y
pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M ( , ):hc : 8 = 8
8 hc : 12x + 20y – 40 = 0 8 hc : 6x + 10y – 20 = 0
• C = s » hc donde s : 3x – y + 8 = 0
8
12y – 36 = 0 8 y = = 3 8
8 3x – 3 + 8 = 0 8 3x + 5 = 0 8 x = –53
3612
–6x + 2y – 16 = 06x + 10y – 20 = 0
°¢£
3x – y + 8 = 06x + 10y – 20 = 0
°¢£
2y – 16
2x – 5–10
x = 5/2 – 5ty = 1/2 + 3t
°¢£
12
52
8AB
8a
y + 25
x – 13
x = 1 + 3ty = –2 + 5t
°¢£
8AB
6 + c = 15 8 c1 = 96 + c = –15 8 c2 = –21
°¢£
|6 + c|5
|4 · 0 + 3 · 2 + c|
√16 + 9
1 15P1 (—, —)8 8
5 3P2 (—, —)4 4
°§§¢§§£
1 15y1 = – — + 2 = —
8 85 3
y2 = – — + 2 = —4 4
°§§¢§§£
x1 = 1/8x2 = 5/4
°¢£
8x = 14x = 5
°¢£
–2x – 2 = 6x – 3, o bien–2x – 2 = –6x + 3
°¢£
6x – 3–x – 1 = —, o bien
2–6x + 3
–x – 1 = —2
°§§¢§§£
|6x – 3|2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 39
8UNIDAD
Luego: C ( , 3)• Área = =
(*)= ≈ 14,17
(*)
62 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rec-tas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0.
r : 3x – y – 9 = 0 s : x – 3 = 0
P = r » s : 8 9 – y – 9 = 0 8 y = 0
Luego: P (3, 0)
Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si suspendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica:
tg 45° = | | 8 1 = | | 8
8 1 = | | 8
8 8
8
Hay dos posibles soluciones:
t1: y – 0 = (x – 3) 8 t1: y = x +
t2: y – 0 = (x – 3) 8 t2: y = x –
63 Dadas r : 2x – y – 17 = 0 y s: 3x – ky – 8 = 0, calcula el valor de k para quer y s se corten formando un ángulo de 60°.
☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Obtendrás dos soluciones.
Las pendientes de r y s son, respectivamente:
mr = 2 y ms = 3k
63
23
46
92
–32
–64
4m1 = –6 8 m1 = –6/46m1 = 4 8 m1 = 4/6
°¢£
5 – m1 = –1 – 5m1, o bien– (5 – m1) = –1 – 5m1
°¢£
–1 – 5 · m1
5 – m1
(–1/5) – m1
1 + (–1/5) · m1
m2 – m1
1 + m2 · m1
3x – y – 9 = 0x – 3 = 0
°¢£
8AB = (3, 5) 8 |
8AB| = √
—34
–25 –5 √—8508
CM (—, —) 8 |8CM| = —
6 2 6
°§¢§£
√—34 · (√—850/6)
2
|8AB||
8CM|
2base Ò altura
2
–53
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos40
Entonces:
tg 60° = | | 8 = | | 8 dos casos:
8 8
64 Las rectas r : 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los ladosde un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.
mr = ; ms = –2; mt =
tg ( ) = | | = =
Luego: ( ) = 60° 15' 18,4"
tg ( ) = | | = | | =
Luego: ( ) = 34° 30' 30,7"
Por último: ( ) = 180° – ( ) – ( ) = 85° 14' 11"
65 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A (–3, 2), B (8, –1) y C(3, –4).
☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.
= (11, –3); (–11, 3)
= (6, –6); (–6, 6)
= (–5, –3); (5, 3)8CB
8BC
8CA
8AC
8BA
8AB
ìr, t
ìr, s
ìs, t
ìr, t
1116
15 – 410 + 6
3/2 – 2/51 + 3/2 · 2/5
ìr, t
ìr, s
74
7/22
3/2 – (–2)1 + 3/2 · (–2)
ìr, s
25
32
Y
X
t r s
6√—3 + 3k1 = —= 24 + 15√
—3
2 – √—3
6√—3 + 3k2 = —= 9√
—3 – 12
2 + √—3
°§§¢§§£
°¢£
√—3(k + 6) = 2k – 3
–√—3(k + 6) = 2k – 3
2k – 3k + 6
√32 – 3/k
1 + 2 · 3/k
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 41
8UNIDAD
cos^A = = ≈ 0,868
Luego: ^A = 29° 44' 41,6"
cos ^B = = ≈ 0,692
Luego: ^B = 46° 13' 7,9"
Así, ^C = 180° – (
^A +
^B) = 104° 2' 10,5"
Página 210
66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y forma un ángulo de 30°con x = 3.
☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
Su pendiente es:
m1 = tg 60° = , o bien
m2 = tg 120° = –
Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las posibles soluciones son:
r1: y = x + 2
r2: y = – x + 2√3
√3
√3
√3
Y
X
r1
r2
x = 3
(0, 2)
30°
60°
120°
Y
X
A (–3, 2)
C (3, –4)
B (8, –1)55 – 9
√—130 √
—34
8BA ·
8BC
|8BA||
8BC|
66 + 18
√—130 √
—72
8AB ·
8AC
|8AB||
8AC|
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos42
°§¢§£
67 La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es – , 1 .
Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.
Las pendientes de las tres rectas son: mb = –2, mr , mr'
tg 45° = | | 8 1 = | | 8
8 8
8
r : y – 1 = 3 (x + ) 8 y = 3x +
r ' : y – 1 = (x + ) 8 y = x +
68 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de co-ordenadas.
8 8
8= 8 dos casos:
x – 2y – 6 = 0
8 8 P1 (–6, –6)P2 (2, –2)
°¢£
y – 2y – 6 = 0 8 y1 = –6 8 x1 = –6–y – 2y – 6 = 0 8 y2 = –2 8 x2 = 2
°¢£
x = yx = –y 8
°¢£
|x|
√02 + 12
|y|
√02 + 12
dist (P, eje X ) = dist (P, eje Y )x – 2y – 6 = 0
°¢£
°§¢§£
Eje X : y = 0Eje Y : x = 0P (x, y ) é r
56
–13
12
–13
52
12
1 – 2mr = –2 – mr 8 mr = 3–1 + 2mr' = –2 – mr' 8 mr' = –1/3
°¢£
–2 – mr
1 – 2mr
mb – mr
1 + mb mr
45°
45°b: 2x + y = 0
r
r'
V (– —, 1)12
)12(
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 43
8UNIDAD
°§§¢§§£
69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(–2, 2) y forman un án-gulo de 60° con x = y.
b : x = y 8 su pendiente es mb = 1
tg 60° = | | 8 = | | 8
8+ m = 1 – m 8 m1 =
– – m = 1 – m 8 m2 =
Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2):
r1: y – 2 = (x + 2)
r2: y – 2 = (x + 2)
ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE
70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A (2, 3) y B (5, 6) y hallala ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a ladistancia entre A y B.
• r : 8 r : 8
8 = 8 3x – 3y + 3 = 0 8 r : x – y + 1 = 0
• s // r 8 ms = mr = 1 8 y = x + c 8 s : x – y + c = 0
dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) 8
8 = | | 8
8 = 8
8 s1: x – y + 7 = 0
s2: x – 5 = 0
–1 + c = 6 ò c1 = 6 + 1 = 7–1 + c = –6 ò c2 = –6 + 1 = –5
°¢£
√18|1 + c|
√2
8AB
|2 – 3 + c|
√12 + (–1)2
y – 33
x – 23
x = 2 + 3ty = 3 + 3t
°¢£
vector dirección 8AB = (3, 3)
pasa por A (2, 3)°¢£
1 + √3
–√3 + 1
1 – √3
√3 + 1
1 + √3
–√3 + 1√3√3
1 – √3
√3 + 1√3√3
1 – m1 + m
√31 – m
1 + 1 · m
Y
X
r
P1
P2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos44
°§§¢§§£
71 Halla el punto simétrico de P(1, 1) repecto a la recta x – 2y – 4 = 0.
• ' 2 donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y es el vectordirección de la misma.
' · = 0 8 (x – 1, y – 1) · (2, 1) = 0 8
8 2 (x – 1) + (y – 1) = 0 8 2x + y – 3 = 0
• Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego:
M( , ) é r 8 – 2 – 4 = 0 8
8 x + 1 – 2y – 2 – 8 = 0 8
8 x – 2y – 9 = 0
• Así, teniendo en cuenta las dos condiciones:
8
8 2 (9 + 2y) + y – 3 = 0 8 18 + 4y + y – 3 = 0 8 y = = –3
8 x = 9 + 2 (–3) = 9 – 6 = 3
Luego: P' = (3, –3)
72 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vér-tices opuestos son B(–1, –1) y D(–5, 3).
Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo.
Sea A é eje Y 8 A = (0, y1) y sea el punto C = (x2, y2).
Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan ensu punto medio, M.
Además, AC 2 BD.
• M ( , ) = (–3, 1) es el punto medio de BD (y de AC ).–1 + 32
–1 – 52
AD(–5, 3)
C
B(–1, –1)
–155
°¢£
2x + y – 3 = 0x – 2y – 9 = 0 8 x = 9 + 2y
°¢£
y + 12
x + 12
y + 12
x + 12
8v
8PP
8v
8v
8PP
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 45
8UNIDAD
• Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC):
8
8 8
8 d : y – 1 = (x + 3) 8 y = x + 4
• Así:
A = d » eje Y: 8 y = 4 8 A (0, 4)
• M es punto medio de AC 8 (–3, 1) = ( , ) 8
8 8 C (–6, –2)
• Área =
| | = |(–6, –6)| = = 6
| | = |(–4, 4)| = = 4
73 En el triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 3) y C(4, 1), halla el ortocentroy el circuncentro.
☛ El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el pun-to de intersección de las mediatrices.
ORTOCENTRO: R = hA » hB » hC donde hA, hB y hC son las tres alturas (desde A,B y C, respectivamente).
• hA 8 hA : 8
8 = 8 hA : 3x – 2y + 13 = 0
• hB 8 hB : 8
8 x – 1 = 8 hB : 7x – y – 4 = 0y – 37
x = 1 + ty = 3 + 7t
°¢£
8b 2
8AC = (7, –1) 8
8b = (1, 7)
B é hB
°¢£
y – 23
x + 32
x = –3 + 2ty = 2 + 3t
°¢£
8a 2
8BC = (3, –2) 8
8a = (2, 3)
A é hA
°¢£
√2√328BD
√2√728AC
|8AC||
8BD|
2
°§§¢§§£
x2–3 = — 8 x2 = –62
4 + y21 = — 8 y2 = –22
°§§¢§§£
4 + y2
2
0 + x2
2
°¢£
y = x + 4x = 0
°¢£
4La pendiente de d es md = — = 1
4
M (–3, 1) é d
°§¢§£
°¢£
8BD = (–4, 4) 8
8d = (4, 4) es vector dirección de d
M (–3, 1) é d
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos46
°§¢§£
8 Área = = 24 u26√—2 · 4√
—2
2
• hC 8 hC : 8
8 x – 4 = 8 hC : 4x + y – 17 = 0
Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersec-ción:
hB » hC :Sumando:
11x – 21 = 0 8 x =
y = 7x – 4 = 7 · – 4 = =
NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en hA. Basta consustituir en su ecuación.
CIRCUNCENTRO: S = mA » mB » mC, donde mA, mB y mC son las tres mediatrices(desde A, B y C, respectivamente).
• mA 8
8 y – 2 = (x – ) 8 y = x –
• mC 8
8 y – = –4 (x + 1) 8 y = –4x –
Así:
S = mA » mC : 8 x – = –4x – 8
8 6x – 7 = –16x – 6 8 22x = 1 8 x = 8
8 y = –4 · – = =
Así, S ( , ).NOTA: Se podría calcular mB y comprobar que S é mB.
–3722
122
–3722
–4 – 3322
32
122
122
32
74
32
3 7y = —x – —
2 43
y = –4x – —2
°§§¢§§£
32
52
74
32
52
32
10311
147 – 4411
2111
2111
7x – y – 4 = 04x + y – 17 = 0
°¢£
y – 1–4
x = 4 + ty = 1 – 4t
°¢£
8c 2
8AB = (4, 1) 8 8
c = (1, –4)C é hC
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47
8UNIDAD
°§§¢§§£
R ( , )10311
2111
°§§¢§§£
8a 2
8BC 8 8
a = (2, 3)
Punto medio de BC : M ( , 2) é mA52
°§§¢§§£
8c 2
8AB = (4, 1) 8 8
c = (1, –4)
Punto medio de AB: M' (–1, ) é mC52
74 La recta 2x + y – 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremoen el punto (0, 0).
Halla las coordenadas del otro extremo.
Un vector dirección de la recta es el = (1, –2).
• Debe verificarse que: 2 = · = 0
(1, –2) · (x, y) = 0 8 x – 2y = 0 8 x = 2y
• Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta:
M ( , ) é r 8 2 · + – 4 = 0 8
8 2 · + – 4 = 0 8 4y + y – 8 = 0 8
8 y = 8 x = 2 · =
Luego: A ( , )75 Los puntos P(–2, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogra-
mo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:
a) Los otros dos vértices.
b) Los ángulos del paralelogramo.
XOS
R
P (–2, 4)
Q (6, 0)
Y
85
165
165
85
85
y
22y2
y
2x2
y
2x2
8OA
8v
8OA
8v
8v
O (0, 0) A (x, y)
r: 2x + y – 4 = 0
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos48
a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio,que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices:
R (2, –4), S (–6, 0)
b) = = (8, –4) 8 = = (–8, 4)
= = (–4, –4) 8 = = (4, 4)
cos^P = = = –0,31623 8
^P = 108° 26' 5,8" =
^R
^S = = 71° 33' 54" =
^Q
NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores:
cos^S = = = 0,31623 8
^S = 71° 33' 54"
76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y – 2 = 0 yx – 2y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0).
Halla los otros vértices.
• Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice:
8
3y – 6 = 0 8 y = 2 8
8 x + 2 – 2 = 0 8 x = 0
Luego un vértice es A (0, 2).
• El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores(pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustitu-yendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vérticeC no es consecutivo de A.
Sean s1//r1 una recta que pasa por C y s2//r2 una recta que pasa por C.
Se trata de las rectas sobrelas que están los otros la-dos.
Así, los otros vértices, B yD, serán los puntos de cor-te de:
r1 » s2 = B
r2 » s1 = D
r1
r2
s1
s2
D C
A
B
x + y – 2 = 0–x + 2y – 4 = 0
°¢£
x + y – 2 = 0x – 2y + 4 = 0
°¢£
r1:r2:
32 – 16
√—32 · √
—80
8SP ·
8SR
|8SP||
8SR|
360° – (^P +
^R )
2
–32 + 16
√—32 · √
—80
8PS ·
8PQ
|8PS||
8PQ|
8RQ
8SP
8QR
8PS
8RS
8QP
8SR
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49
8UNIDAD
s1: 8 s1: x + y – 6 = 0
s2: 8 s2: x – 2y – 6 = 0
• B = r1 » s2:
Resolviendo el sistema:
De la primera ecuación 8 x = 2 – y 8 en la segunda 8 2 – y – 2y – 6 = 0 8
8 y = 8 x = 8 B ( , )• D = r2 » s1: 8 6 – y – 2y + 4 = 0 8
8 y = 8 x = 8 D ( , )77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y + 6 = 0 y
3x + 4y – 9 = 0.
P (x, 0) debe verificar dist (P, r ) = dist (P, s ):
= 8
8 8 P1 (–15, 0), P2 ( , 0)78 Halla el punto de la recta 2x – 4y – 1 = 0 que con el origen de coordenadas y el
punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6.
☛ Si tomamos como base | |= 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que bus-camos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.
Los vértices son O (0, 0), P (–4, 0), Q (x, y).
Si tomamos como base OP, entonces:
Área = 8 6 = 8 h = 3
El punto Q (x, y) é r 8 2x – 4y – 1 = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) = 3.
La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección (–4, 0) ypasa por (0, 0). Luego es el eje X : y = 0.
8OP
4 · h2
|8
OP|· h
2
8PQ
37
4x + 6 = 3x – 9 8 x1 = –154x + 6 = –(3x – 9) 8 x2 = 3/7
°¢£
|3x + 4 · 0 – 9|
√25
|4x + 3 · 0 + 6|
√25
103
83
83
103
°¢£
x + 2y + 4 = 0x + y – 6 = 0 8 x = 6 – y
°¢£
–43
103
103
–43
x + y – 2 = 0x – 2y – 6 = 0
°¢£
x – 2y + b = 0C é s2 8 6 – 0 + b = 0 8 b = –6
°¢£
x + y + a = 0C é s1 8 6 + 0 + a = 0 8 a = –6
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos50
Así:
8 8
Luego hay dos triángulos, OPQ1 y OPQ2, donde:
Q1 ( , 3) y Q2 ( , –3)79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x – 2y + 2 = 0 y 2x – y – 2 = 0
con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trape-cio isósceles y halla su área.
☛ Mira el problema resuelto número 1.
Sean: A = r » eje OX : 8 x = –2 ò A (–2, 0)
B = r » eje OY : 8 y = 1 ò B (0, 1)
C = s » eje OX : 8 x = 1 ò C (1, 0)
D = s » eje OY : 8 y = –2 ò D (0, –2)
Calculamos los vectores dirección de los lados:
= (2, 1)
= (1, –1)]
= (–1, –2)
= (–2, 2)
Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA.
Para calcular el área necesitamos la altura:
Como 8 y = –x – 2 8 AD : x + y + 2 = 0°¢£
8AD (2, –2)
D (0, –2)
8DA
8CD
8BC
8AB
2x – y – 2 = 0x = 0
°¢£
2x – y – 2 = 0y = 0
°¢£
x – 2y + 2 = 0x = 0
°¢£
x – 2y + 2 = 0y = 0
°¢£
B
B (0, 1)
DD (0, –2)
CC (1, 0)
A (–2, 0)
A
Y
X–1
–1
–112
132
132x – 4 · 3 – 1 = 0 8 x1 = —
2–11
2x – 4 (–3) – 1 = 0 8 x2 = —2
°§§¢§§£
y1 = 3y2 = –3
°¢£
2x – 4y – 1 = 0
|y|—= 3√—02 + 12
°§¢§£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 51
8UNIDAD
8°§¢§£
°§§¢§§£
8DA = –2
8BC 8
8BC //
8DA
| | = = | |8CD√5
8AB
h = dist (B, AD) = = =
Así:
Área = · = · = =
80 La recta x + y – 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles.Halla su área.
8 0 + 5 + k = 0 8 k = –5
Luego s : x + y – 5 = 0
• Sean: A = r » eje X : 8 x = 2 ò A (2, 0)
B = r » eje Y : 8 y = 2 ò B (0, 2)
C = s » eje X : 8 x = 5 ò C (5, 0)
D = s » eje Y : 8 y = 5 ò D (0, 5)
• = (–2, 2); = (–5, 5)
Área = · h = · dist (A, s ) =
= · = · = · =
81 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(3, 4) y B(–5, 6), dista eldoble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coorde-nadas de P?
• d (P, OX ) = 2d (P, OY ) 8 |y| = 2|x| 8
• | | = | | 8 = 8
8 x2 + 9 – 6x + y2 + 16 – 8y = x2 + 25 + 10x + y2 + 36 – 12y 8
8 –6x – 8y + 25 = 10x – 12y + 61 8 16x – 4y + 36 = 0 8
8 4x – y + 9 = 0
√(–5 – x)2 + (6 – y)2√(x – 3)2 + (y – 4)28PB
8AP
y = 2xy = –2x
°¢£
212
3
√2
7√22
3
√2
2√—2 + 5√
—2
2|2 + 0 – 5|
√12 + 12
√—8 + √
—50
2
|8AB|+|
8CD|
2
|8AB|+|
8CD|
2
8CD
8AB
x + y – 5 = 0x = 0
°¢£
x + y – 5 = 0y = 0
°¢£
x + y – 2 = 0x = 0
°¢£
x + y – 2 = 0y = 0
°¢£
°¢£
s//r : x + y – 2 = 0 ò x + y + k = 0P (0, 5) é s
92
9 · 24
3√22
√—2 + 2√
—2
23√2
2
|8BC|+|
8DA|
2
3√22
3
√2
|0 + 1 + 2|
√2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos52
• Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones:
P1: 8 4x – 2x + 9 = 0 8 x = 8 y = –9
Luego: P1 ( , –9)P2: 8 4x + 2x + 9 = 0 8 x = = 8 y = 3
Luego: P2 ( , 3)82 De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de
aquella cuya distancia al origen es 1.
☛ La ecuación y = 2 + m(x – 1) representa a todas esas rectas. Pásala a forma ge-neral y aplica la condición d(O, r) = 1.
• Esas rectas tienen por ecuación:
y = 2 + m (x – 1) 8 mx – y + (2 – m ) = 0
• d (0, r ) = 1 8 = 1 8 8
8 (2 – m )2 = m2 + 1 8 4 + m2 – 4m = m2 + 1 8
8 4 – 4m = 1 8 m =
83 Dado el triángulo de vértices A(– 4, –2), B(–1, 5) y C(5, 1), halla las ecua-ciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo altriángulo en tres triángulos de igual área.
• La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tan-to, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los pun-tos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales:
= = (– , –1); = = ( , 0)• La recta r es la que pasa por B y por P:
m = = = –18
y = 5 – 18 (x + 1) 8 r: 18x + y + 13 = 0
–6(1/3)
–1 – 5(–2/3) – (–1)
83
8OC + 2
8OC
3
8OQ2
328OA +
8OC
3
8OP
B
C
A
Y
X11
rs
34
2 – m = √—m2 + 1
2 – m = –√—m2 + 1
°¢£
|2 – m|
√m2 + 1
–32
–32
–96
y = –2x4x – y + 9 = 0
°¢£
–92
–92
y = 2x4x – y + 9 = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 53
8UNIDAD
• La recta s es la que pasa por B y por Q:
m = = = –
y = 5 – (x + 1) 8 11y = 55 – 15x – 15 8 s: 15x + 11y – 40 = 0
84 Dada la recta r : 2x – 3y + 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r res-pecto al eje de abscisas.
• Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (2, 3) y B (5, 5).
• Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (2, –3) y B' (5, –5).
• La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B' :
m = = =
La recta r' es: y = –3 – (x – 2) 8 3y = –9 – 2x + 4 8 2x + 3y + 5 = 0
• De otra forma:
Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respectoal eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al ejeOX, será:
2x – 3(–y) + 5 = 0 8 2x + 3y + 5 = 0
Página 211
85 Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendi-culares, se verifica que aa' + bb' = 0.
• El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0.
• El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0.
• Si las dos rectas son perpendiculares, entonces:
(a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0.
86 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector = (a, b) es ortogonala cualquier vector determinado por dos puntos de la recta.
☛ Llama A(x1, y1) y B(x2, y2 ) y haz · . Ten en cuenta que los puntos A yB verifican la ecuación de la recta.
• Si A (x1, y1) pertenece a la recta, entonces ax1 + by1 + c = 0
• Si B (x2, y2) pertenece a la recta, entonces ax2 + by2 + c = 0
• Restando las dos igualdades: a (x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0
8AB
8v
8v
CUESTIONES TEÓRICAS
23
–23
–5 + 33
–5 – (–3)5 – 2
1511
1511
–5(–11/3)
5 – 0(–1) – (8/3)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos54
Esta última igualdad significa que:
(a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al
vector , siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta.
87 a) ¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el términoindependiente?
b) ¿Y si falta el término en x ?
c) ¿Y si falta el término en y ?
a) La recta pasa por (0, 0).
b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).
c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).
88 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x1, y1) y
Q(x2, y2) puede escribirse de la forma: = .
Un vector dirección de la recta es = (x2 – x1, y2 – y1) y un punto de la rectaes P (x1, y1).
Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán:
x = x1 + (x2 – x1) t 8 t =
y = y1 + (y2 – y1) t 8 t =
8 = 8 =
o, lo que es lo mismo:
=
89 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y – 6 = 0 y uno de susvértices es A(–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal.
• Se comprueba que A è s.
• Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r 2 s :
8 –10 + 1 + G = 0 8 G = 9 8 r : 5x – y + 9 = 0°¢£
5x – y + G = 0Como A é r
PARA PROFUNDIZAR
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1
y – y1
x – x1
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
8PQ
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1
8AB
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 55
8UNIDAD
°§§§¢§§§£
8
• M = r » s será el punto medio de las dos diagonales:
8 5 (6 – 5y) – y + 9 = 0 8
8 30 – 25y – y + 9 = 0 8 y = = 8 x = 6 – 5 · =
Luego: M ( , )• M es el punto medio de AC 8 ( , ) = ( , ) 8
8 8 C (–1, 4)
• B y D están en las rectas que equidistan de AC.
Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que:
dist (P, r) = =
pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir:
dist (P, r) = = = 8
8 = 8 8
Así:
B = t1 » s : 8
8 30 – 25y – y – 4 = 0 8 y = 1 8 x = 1 ò B (1, 1)
D = t2 » s : 8
8 30 – 25y – y + 22 = 0 8 y = 2 8 x = –4 ò D (–4, 2)
• La longitud de la diagonal será:
| | = | | = √268BD
8AC
°¢£
5x – y + 22 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
°¢£
5x – y – 4 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
t1: 5x – y – 4 = 0t2: 5x – y + 22 = 0
°¢£
5x – y + 9 = 26/25x – y + 9 = –26/2
°¢£
√262
|5x – y + 9|
√26
√262
|(1, 5)|2
—AC2
—AC2
—BD2
°¢£
–3 = –2 + C1 8 C1 = –1
3 = –1 + C2 8 C2 = 4°¢£
–1 + C2
2
–2 + C1
232
–32
32
–32
–32
32
32
3926
°¢£
5x – y + 9 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
X
C
BD
r
t2 t1
M
A(–2, –1)
s: x + 5y – 6 = 0
Y
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos56
90 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3, 1) y B(4, 5). Cal-cula los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay?
C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distan-
cias a B y A, respectivamente, son | |:
• 8 4 + 20 + k = 0 8 k = –24 8
8 s : x + 4y – 24 = 0
• 8 3 + 4 + k' = 0 8 k' = – 7 8
8 r : x + 4y – 7 = 0
• 8 12 – 1 + k" = 0 8 k" = –11 8
8 t : 4x – y – 11 = 0
• C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es | | = .
Sean P (x, y) tales que:
dist (P, t) = =
Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así:
C1 = t1 » s 8
8 96 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 4 8 x = 8 8 C1 (8, 4)
C2 = t2 » s 8
8 96 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 6 8 x = 0 8 C2 (0, 6)
D1 = t1 » r 8
8 28 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 0 8 x = 7 8 D1 (7, 0)
4x – y – 28 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y
°¢£
4x – y + 6 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y
°¢£
4x – y – 28 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y
°¢£
t1: 4x – y – 28 = 0t2: 4x – y + 6 = 0
°¢£
4x – y – 11 = 17 84x – y – 11 = –17 8
°¢£
√17|4x – y – 11|
√17
√178AB
°¢£
8AB = (1, 4) 8 t : 4x – y + k" = 0Como A é t
°¢£
8AB = (1, 4) 8 r : x + 4y + k' = 0Como A é r
°¢£
8AB = (1, 4) 8 s : x + 4y + k = 0Como B é s
8AB
D2 D1A
t
r
sBC2 C1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 57
8UNIDAD
D2 = t2 » r 8
8 28 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 2 8 x = –1 8 D2 (–1, 2)
91 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por ex-tremos los puntos A(–3, –2) y C(1, 2). Halla los vértices B y D y el perí-metro del rombo.
• = (4, 4) 8 | | = = 4
Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será:
Perímetro = 4 | | = 16
• Los otros dos vértices están en la perpendicular a por su punto medioM (–1, 0).
8
8 –3 + 2 + k = 0 8 k = 1 8 AC : x – y + 1 = 0
La recta s perpendicular a AC será:
8 –1 + k' = 0 8 k' = 1 8 s : x + y + 1 = 0
Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vérticeA sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 .
(x, y) é s 8 x + y + 1 = 0 8 x = –1 – y
√2
°¢£
s : x + y + k' = 0Como M (–1, 0) é s
°¢£
La recta AC tiene por vector director (1, 1) 8 x – y + k = 0Como, además, A (–3, –2) é recta AC
8AC
√28AC
√2√328AC
8AC
X
B
DA(–3, –2)
C(1, 2)
Y
X
C2
D2
C1
D1
B
A
Y
4x – y + 6 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos58
= 4 8 (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32
8 (2 – y)2 + (y + 2)2 = 32 8 4 + y2 – 4y + y2 + 4 + 4y = 32 8 2y2 = 24 8
8 y2 = 12 8
Luego, los vértices B y C son:
(–1 – 2 , 2 ) y (–1 + 2 , –2 )
92 Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejesun triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay?
• Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación:
y = –2x + k
• Los puntos de corte con los ejes, A y B, son:
Si x = 0 8 y = k 8 A (0, k)
Si y = 0 8 x = 8 B ( , 0)• Así:
Área = = 81 8 k2 = 324 8
Dos soluciones:
r1: y = –2x + 18 y r2: y = –2x – 18
93 Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A(1, 1) y B(5, 1) y sa-bemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x + 1. Calcula los otrosdos vértices. (Hay dos soluciones).
Podemos comprobar que A, B è r.
Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en r y, por tanto, A yB son vértices consecutivos.
Además, un vector dirección de r es = (1, 1), que no es proporcional a = (4, 0).
Por tanto, // 8 los lados AB y CD no son paralelos, luego no son lasbases del trapecio.
Podemos construir dos trapecios:
a) ABC1D1, donde AB es la altura del trapecio:
C1 y D1 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a ABque pasan por B y A, respectivamente.
8AB
8r
8AB
8r
k1 = 18k2 = –18
°¢£
k/2 · k2
k2
k2
√3√3√3√3
√2√(x + 3)2 + (y + 2)2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 59
8UNIDAD
y1 = 2 8 x1 = –1 – 2
y2 = –2 8 x2 = –1 + 2 √3√3
√3√3°§¢§£
A
B
r1r2
• 8 4 + k = 0 8 k = –4 8 t : 4x – 4 = 0 8 t : x = 1
Así: D1 = t » r 8 y = 2 8 D1 (1, 2)
• 8
8 4 · 5 + k = 0 8 k = –20 8
8 s : 4x – 20 = 0 8 s : x = 5
Así: C1 = s » r : 8
8 y = 6 8 C1 (5, 6)
b) ABC2D2, donde C2D2 es la altura del trapecio:
C2 y D2 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a rque pasan por B y C, respectivamente (es decir, C2 y D2 son los pies dedichas perpendiculares).
• 8 1 = –1 + k 8 k = 2 8 t : y = –x + 2
Así: D2 = t » r : 8 –x + 2 = x + 1 8 1 = 2x 8
8 x = 8 y = 8 D2 ( , )• 8 1 = –5 + k 8 k = 6 8 s : y = –x + 6
Así: C2 = s » r : 8 –x + 6 = x + 1 8 5 = 2x 8
8 x = 8 y = 8 C2 ( , )
XB
t s
r
A
D2
Y
C2
72
52
72
52
y = –x + 6y = x + 1
°¢£
°¢£
s 2 r 8 y = –x + kComo B é s
32
12
32
12
y = –x + 2y = x + 1
°¢£
°¢£
t 2 r 8 y = –x + k
Como A é t
XB
t
s r
A
D1
C1
Y
x = 5y = x + 1
°¢£
°¢£
s 28
AB 8 4x + k = 0
Como B (5, 1) é s
x = 1y = x + 1
°¢£
°¢£
t 28
AB 8 4x + k = 0
Como A (1, 1) é t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos60
Página 211
AUTOEVALUACIÓN
1. Se consideran los puntos A(0, 1), B(4, 9) y C(–4, k).
a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos
partes tales que = .
b)Determina k para que el punto C sea el simétrico de B respecto de A.
a) A(0, 1), B(4, 9), C(–4, k)
Sea P (x, y):
= 8 (x, y – 1) = (4 – x, 9 – y) 8 P(1, 3)
b) A debe ser el punto medio de CB.
(0, 1) = , 8 9 + k = 2 8 k = –7
2. Calcula la ecuación de estas rectas:
a) Pasa por A(3, 2) y B(–2, 1), en forma paramétrica e implícita.
b)Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m = , en forma
continua y explícita.
a) Vector dirección = = (5, 1). Vector de posición: (3, 2)
Ecuaciones paramétricas
t = y – 2; x = 3 + 5(y – 2) = 3 + 5y – 10 8 x – 5y + 7 = 0
Ecuación implícita: x – 5y + 7 = 0
b) m = – 8 vector dirección: (3, –1)
Ecuación continua: =
3y = –x 8 y = –
Ecuación explícita: y = –x3
x3
y–1
x3
8d
13
x = 3 + 5t
y = 2 + t
°¢£
8p
8BA
8d
–13
)9 + k2
4 – 42(
°¢£
3x = 4 – x 8 x = 1
3y – 3 = 9 – y 8 y = 3
°¢£
13
8PB
13
8AP
8PB
13
8AP
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 61
8UNIDAD
3. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) Pasa por P(2, –3) y es perpendicular a y = x + 1.
b)Es paralela a 2x + 3y + 1 = 0 y su ordenada en el origen es 2.
a) Una recta perpendicular a la dada tiene pendiente m = . Como ha de pasar porP (2, –3), su ecuación es:
y + 3 = (x – 2) 8 2y + 6 = 5x – 10 8 5x – 2y – 16 = 0
b) Una recta paralela a 2x + 3y + 1 = 0 es 2x + 3y + k = 0.
Como ha de pasar por (0, 2), debe ser k = –6.
La recta buscada es 2x + 3y – 6 = 0.
4. Escribe la ecuación del haz de rectas que pasa por (5, 1) y halla la recta de di-cho haz que pasa por (0, 1).
El haz de rectas que pasa por el punto (5, 1) es a (x – 5) + b (y – 1) = 0
La recta del haz que pasa por (0, 1) es la recta que pasa por (5, 1) y por (0, 1). Portanto, su ecuación es:
= 8 y = 1
5. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y de las rectas r y t, donde:
r : 3x + 5y – 34 = 0 s: y = x t:
• Posición relativa de r y s :
r y s son perpendiculares.
• Posición relativa de r y t :
r y t son secantes.
6. Calcula k para que las rectas r y s formen un ángulo de 60°, siendo r : y = 3;s: y = kx + 1.
La recta r : y = 3 es paralela al eje de abscisas. Así, la tangente del ángulo que for-man r y s coincide con la pendiente de s, que es igual a k. Es decir:
k = √—3
°¢£
tg a = k
tg 60° = √—3
°¢£
Vector dirección de t, 8dt(1, 0)
Vector dirección de r, 8dr(–5, 3)
°¢£
Vector dirección de r, 8dr (–5, 3)
Vector dirección de s, 8ds(3, 5)
x = ky = 2
°¢£
53
y – 10
x5
52
52
–25
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos62
7. Considera los puntos A(0, k) y B(8, 5) y la recta r : 3x + 4y + 1 = 0. Deter-mina el valor de k para que:
a) La distancia entre A y B sea igual a 10.
b)La distancia entre A y r sea 1.
a) dist (A, B ) = = = 10 8
8 k2 – 10k – 11 = 0
b) dist (A, r ) = = = 1 4k + 1 = 5 8 k = 1
4k + 1 = –5 8 k = –3/2
|4k + 1|5
|3 · 0 + 4 · k + 1|
√32 + 42
k = 11
k = –1
√64 + 25 + k2 – 10k√82 + (5 – k )2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 63
8UNIDAD
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 1
Página 187
REFLEXIONA Y RESUELVE
Punto medio de un segmento
Toma los puntos P(2, 5), Q(10, 3) y represéntalos en el plano:
■ Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordena-das. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?
M (6, 4)
■ Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7)
b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
a) M' (7, 4)
b) M'' (5, 3)
Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener lascoordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisumade las coordenadas de sus extremos.
P (2, 5)
Q (10, 3)
Q'
Q"
P"P'
M" M'
M
P (2, 5)
Q (10, 3)
GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS8
Ecuaciones de la recta
■ Comprueba que las ecuaciones:
corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a tlos valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; com-probarás que todos están sobre la misma recta).
Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
— Despeja t en la primera ecuación.
— Sustituye su valor en la segunda.
— Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
8 = 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y = 8
8 y = x +143
–13
–x + 143
x – 23
°§¢§£
x – 2t = —
3
t = 4 – y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)(11, 1)
Y
Xr
t –2
(x, y ) (–4, 6)
–1
(–1, 5)
0
(2, 4)
1
(5, 3)
2
(8, 2)
3
(11, 1)
x = 2 + 3t
y = 4 – t°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos2
Distancias en el plano
■ Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.
d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5
■ Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras).
d (P, Q ) = = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo decatetos 3 y 4.
■ Halla, también, la distancia entre:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0)
b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)
Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la dis-tancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas.
a) d (P', Q' ) = = = 13
b) d (P", Q" ) = = = 5
d (A, B ) = , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
d (A, B ) = | |8AB
√(b1 – a1)2 + (b2 – a2)
2
√25√42 + 32
√169√52 + 122
√32 + 42
Q'
Q''P'
P''
Q(5, 7)
s
rP(2, 3)
P (2, 3)
Q (5, 7)
s
r
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 3
8UNIDAD
Página 189
1. Halla las coordenadas de y , siendo M (7, –5) y N (–2, –11).
= (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
= (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).
8 = 8 A, B y C están alineados.
3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas
A (1, 7) B (–3, 4) C (k, 5)
estén alineados.
8 = 8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =
Página 190
4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
d) Obtén un punto A de PQ tal que / = 2/3.
e) Obtén un punto B de PQ tal que / = 1/5.
a) M ( , ) = ( , 4)
8 P' (13, –11)
c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Q' (–2, 19)
°§§¢§§£
x' + 8—––––– = 3 8 x' = –2
2y' + (–1)
—–––––––– = 9 8 y' = 192
Así:
°§§¢§§£
3 + x—––––– = 8 8 x = 13
29 + y
—––––– = –1 8 y = –112
b)
112
9 + ( –1)2
3 + 82
8PQ
8PB
8AQ
8PA
–53
–31
–4k + 3
°¢£
8AB = (–4, –3)8BC = (k + 3, 1)
–1428
–36
°¢£
8PQ = (–3, –14)8QR = (6, 28)
8NM
8MN
8NM
8MN
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos4
P' (x, y)
Q (8, 1)
P (3, 9)
Q
P
Q'
d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
= 8 (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
A (5, 5)
e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
= 8 (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
B (4, 7)
Página 193
1. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la rectaque pasa por A y B, siendo:
a) A(–1, –1), B (3, 3) b)A(0, 4), B (6, 0)
c) A(3, 5), B (–1, 5) d)A(3, 5), B (3, 2)
a) A (–1, –1); B (3, 3) 8 = (4, 4)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: x – y = 0 Explícita: y = x
b) A (0, 4); B (6, 0) 8 = (6, –4)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: –4x – 6y + 24 = 0 Explícita: y = x + 4
c) A (3, 5); B (–1, 5) 8 = (–4, 0)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: y – 5 = 0 Explícita: y = 5
d) A (3, 5); B (3, 2) 8 = (0, –3)
Paramétricas: Continua: =
Implícita: x – 3 = 0 Explícita: No existe, pues se trata de unarecta vertical de ecuación x = 3.
y – 5–3
x – 30
x = 3
y = 5 – 3l°¢£
8AB
y – 50
x – 3–4
x = 3 – 4ly = 5
°¢£
8AB
–46
y – 4–4
x6
x = 6ly = 4 – 4l
°¢£
8AB
y – 34
x – 34
x = 3 + 4ly = 3 + 4l
°¢£
8AB
°¢£
x – 3 = 1 8 x = 4
y – 9 = –2 8 y = 7
15
8PQ1
5
8PB
°§§¢§§£
2x – 3 = —(8 – x) 8 x = 5
32
y – 9 = —(–1 – y) 8 y = 53
23
8AQ2
3
8PA
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 5
8UNIDAD
2. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = 2x + 3.
y = 2x + 3
• Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección:
8 = (1, 2)
• Implícita: 2x – y + 3 = 0
• Paramétricas:
• Continua: =
3. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : 2x – 3y + 6 = 0.
b)Comprueba que es perpendicular a (2, –3).
c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r.
d)Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (1, m) es paraleloa (m es la pendiente de r).
a) r : 2x – 3y + 6 = 0
— Si x = 0 8 2 · 0 – 3y + 6 = 0 8 y = 2 8 P (0, 2)
— Si x = –3 8 2 · (–3) – 3y + 6 = 0 8 y = 0 8 Q (–3, 0)
b) = (–3, –2)
2 (2, –3) ï · (2, –3) = 0
(–3, –2) · (2, –3) = (–3) · 2 + (–2) · (–3) = –6 + 6 = 0
c) r :
d) Despejamos y en la ecuación de r :
2x – 3y + 6 = 0 8 2x + 6 = 3y 8 x + 2 = y
Explícita: y = x + 2
m = 8 (1, m ) = 1,
El vector 1, es paralelo a si sus coordenadas son proporcionales:
(–3, –2) = l 1, 8 l = –3
Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos.
)23(
8PQ)2
3()2
3(23
23
23
x = –3ly = 2 – 2l
°¢£
8PQ
8PQ
8PQ
8PQ
8PQ
y – 32
x – 01
x = ly = 3 + 2l
°¢£
8AB
°¢£
Si x = 0 8 y = 2 · 0 + 3 = 3 8 A (0, 3)
Si x = 1 8 y = 2 · 1 + 3 = 5 8 B (1, 5)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos6
Página 194
1. Halla la recta del haz de centro P(–3, 5) que pasa por (8, 4).
Hemos de hallar la recta que pasa por P (–3, 5) y Q (8, 4).
= (11, –1)
r : =
2. Los haces de rectas cuyos centros son P(4, 0) y Q(–6, 4) tienen una recta encomún. ¿Cuál es?
Es la recta que pasa por P (4, 0) y Q (–6, 4).
= (–10, 4)
r : =
3. Las rectas r : 3x – 5y – 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz.¿Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4?
• El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos:
3(–y – 4) – 5y – 7 = 0 8 –8y – 19 = 0 8 y = –
x = –y – 4 = – 4 = –
El centro del haz es el punto P – , – .
• Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4:
y = + 4 x + 8 32x – 8y + 7 = 0
Página 197
1. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P(4, –3) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.
r :
r: 8 Vector dirección de r : r = (–5, 2)8v
x = 2 – 5t
y = 4 + 2t
°¢£
x = 2 – 5t
y = 4 + 2t°¢£
)138(19
8
)198
138(
138
198
198
8 x = –y – 4
°¢£
3x – 5y – 7 = 0
x + y + 4 = 0
y – 04
x – 4–10
8PQ
y – 5–1
x + 311
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
8UNIDAD
• Recta paralela a r que pasa por P.
P (4, –3) s = r = (–5, 2)
s :
• Recta perpendicular a r que pasa por P.
P (4, –3) l = (2, 5)
l :
2. La pendiente de r es 3/5. Halla:
a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r.
b)La pendiente de una recta perpendicular a la recta r.
c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r.
a) mr = 8 = (5, 3) es paralelo a r.
b) – = mr 8 m = –
c) m = – 8 = (–3, 5) es perpendicular a r.
3. s: . Halla:
a) Ecuación continua de una recta, r1, perpendicular a s que pase por P1(5, –3).
b)Ecuación implícita de r2 paralela a s que pase por P2(0, 4).
c) Ecuación explícita de r3 perpendicular a s que pase por P3(–3, 0).
s : 8 P (5, 0) é s ; s = (–1, 3)
a) El vector dirección de r1 es r1= (3, 1). P1(5, –3) é r1.
r1: =
b) El vector dirección de r2 es el mismo que el de s : r2= (–1, 3).
P2(0, 4) é r2.
r2: = 8 3x = –y + 4 8 3x + y – 4 = 0y – 4
3x – 0–1
8v
y + 31
x – 53
8v
8v
x = 5 – t
y = 3t
°¢£
x = 5 – t
y = 3t°¢£
8w
53
53
1m
8v
35
x = 4 + 2t
y = –3 + 5t
°¢£
8v
x = 4 – 5t
y = –3 + 2t
°¢£
8v
8v
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos8
c) El vector dirección de r3 es el mismo que el de r1: r3= (3, 1).
P3(–3, 0) é r3.
r3: = 8 y = x + 1
4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(–3, 4) ysean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.
r : 5x – 2y + 3 = 0
r : 5x – 2y + 3 = 0 8 5x + 3 = 2y 8 y = x +
La pendiente de r es mr = .
• Recta s paralela a r que pasa por P (–3, 4).
ms = mr =
s : y – 4 = (x + 3) 8 s : 5x – 2y + 23 = 0
• Recta l perpendicular a r que pasa por P (–3, 4).
ml = – = –
l : y – 4 = – (x + 3) 8 l : 2x + 5y – 14 = 0
Página 199
1. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas:
a) r : 3x + 5y – 8 = 0 b)r : 2x + y – 6 = 0
s: 6x + 10y + 4 = 0 s: x – y = 0
c) r : , s:
d) r : 3x – 5y = 0, s:
a) r : 3x + 5y – 8 = 0 8 r = (3, 5)
s : 6x + 10y + 4 = 0 8 s = (6, 10)
= ? 8 Las dos rectas son paralelas.–84
510
36
8n
8n
x = 2 + 5ty = 1 + 3t
°¢£
x = 2 + ty = 1 – 2t
°¢£
x = 7 + 5ty = –2 – 3t
°¢£
25
25
lmr
52
52
52
32
52
13
y – 01
x + 33
8v
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
8UNIDAD
b) r : 2x + y – 6 = 0 8 r = (2, 1)
s : x – y = 0 8 s = (1, –1)
? 8 Las dos rectas se cortan.
c) r : 8 r = (5, –3)
s : 8 s = (1, –2)
? 8 Las dos rectas se cortan.
d) r : 3x – 5y = 0 8 r = (3, –5) 8 r = (5, 3)
s : 8 s = (5, 3), Ps = (2, 1)
Como r = s y Ps è r, las rectas son paralelas.
Página 200
1. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) r1: , r2:
b) r1: , r2: 3x – 5y + 4 = 0
c) r1: y = 5x – 1, r2: y = 4x + 3
a) r1= (–2, 1); r2
= (–4, 3)
cos a = = ≈ 0,9838699101 8 a = 10° 18' 17,45''
b) r1= (–2, 1); r2
= (5, 3)
cos a = = ≈ 0,5368754922 8 a = 57° 31' 43,71''
c) mr1= 5; mr2
= 4
tg a = = ≈ 0,0476190 8 a = 2° 43' 34,72''121|4 – 5
1 + 5 · 4|
7
(√—5 ) · (√
—34)
|(–2, 1) · (5, 3)||(–2, 1)||(5, 3)|
8v
8v
11
(√—5 ) · (5)
|(–2, 1) · (–4, 3)||(–2, 1)||(–4, 3)|
8v
8v
x = 3 – 2ty = 7 + t
°¢£
x = 1 – 4ty = 4 + 3t
°¢£
x = 3 – 2ty = 7 + t
°¢£
8v
8v
8v
x = 2 + 5t
y = 1 + 3t
°¢£
8v
8n
–3–2
51
8v
x = 2 + t
y = 1 – 2t
°¢£
8v
x = 7 + 5t
y = –2 – 3t
°¢£
1–1
21
8n
8n
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos10
Página 201
1. P(–6, –3), Q(9, 5)
r : 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0
Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cadauno de los puntos a cada recta.
P (–6, –3), Q (9, 5)
r : 3x – 4y + 9 = 0
s : 5x + 15 = 0
dist (P, Q ) = | | = |(15, 8)| = = = 17
dist (P, r ) = =
dist (P, s ) = = = 3
dist (Q, r ) = =
dist (Q, s ) = = = 12
2. a) Halla el área del triángulo de vértices A(–3, 8), B(–3, 2), C(5, 2) con la fór-mula de Herón.
b)Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b · hb/2, siendo b el la-do . ¿Hay otra forma más sencilla?
a) A (–3, 8), B (–3, 2), C (5, 2)
Fórmula de Herón: S =
p = = 12
S = = = = 24 u2
b) S =
• b = | | = 10 (del apartado anterior)
• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A (–3, 8) y C (5, 2):
Pendiente: m = = – 8 y = 2 – (x – 5) 8 r : 3x + 4y – 23 = 034
34
–68
8AC
b · hb
2
√576√12 · 4 · 2 · 6√12(12 – 8) (12 – 10) (12 – 6)
8 + 10 + 62
°§¢§£
a = |8BC| = |(8, 0)| = 8
b = |8AC| = |(8, –6)| = √ 82 + (–6)2 = 10
c = |8AB| = |(0, –6)| = 6
√p (p – a)(p – b )(p – c )
AC
605
|5 · 9 + 15|5
165
|3 · 9 – 4 · 5 + 9|5
155
|5(–6) + 15|
√52 + 02
35
|3 · (–6) – 4(–3) + 9|
√32 + (–4)2
√289√152 + 828PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 11
8UNIDAD
• hb = dist [B, r ] = =
S = = 24 u2
Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo.
Observa:
Es claro que = 6 y = 8.
Como el triángulo es rectángulo:
S = = = 24 u2
A
B C
–3 5
8
2
6 · 82
—AB ·
—BC
2
BCAB
10 · (24/5)2
245
|3 · (–3) + 4(2) – 23|
√32 + 42
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos12
Página 206
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Coordenadas de puntos
1 Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados
a) A(5, –2), B(3, –2), C(–5, –2)
b)A(–1, –2), B(2, 7), C(1, 2)
c) A(0, 3), B(2, 2), C(4, 1)
a) = (3, –2) – (5, –2) = (–2, 0)
= (–5, –2) – (3, –2) = (–8, 0)
Las coordenadas de y son proporcionales, por tanto, A, B y C es-tán alineados.
b) = (2, 7) – (–1, –2) = (3, 9)
= (1, 2) – (2, 7) = (–1, –5)
Las coordenadas de y no son proporcionales, por tanto, A, B y Cno están alineados.
c) = (2, 2) – (0, 3) = (2, –1)
= (4, 1) – (2, 2) = (2, –1)
Las coordenadas de y coinciden, por tanto, los puntos están alineados.
2 Determina k para que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-ados.
Debe ocurrir que y sean proporcionales.
8 = 8 5k – 5 = –16 8 k =
3 El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemosel extremo A(2, 3). Halla B.
☛ Si B = (x, y), , = (5, –2).
8 ( , ) = (5, –2) 8
8 8 B = (8, –7)°¢£
x + 2 = 10 8 x = 8y + 3 = –4 8 y = –7
°¢£
y + 32
x + 22
°¢£
Si B = (x, y)Como P es punto medio de AB
)y + 32
x + 22(
–115
–4k – 1
54
°¢£
8AB = (5, –4)8BC = (4, k – 1)
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
8BC
8AB
PARA PRACTICAR
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 13
8UNIDAD
4 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H(3, 0).
☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.
Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) 8
8 H es el punto medio de PP' 8
8 ( , ) = (3, 0) 8 8 P' (5, 2)
5 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4)y B (0, –2) en dos partes tales que = 2 .
Sea P (x, y).
Sustituimos en la condición que nos imponen:
= 2 8 (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) 8
8 8 8 8
8 8 P (2, 2)
6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo queA(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).
Sea D (x, y).
Debe cumplirse: =
(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) 8
8 8 8 D (2, 6)
Ecuaciones de rectas
7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por Ay tiene una dirección paralela al vector .
a) A(–3, 7), (4, –1) b)A(–1, 0), (0, 2)
Obtén 5 puntos en cada caso.
a) Ecuación vectorial: (x, y) = (–3, 7) + k (4, –1)
Ecuaciones paramétricas:
Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (1, 6); (5, 5); (9, 4); (13, 3);(17, 2).
x = –3 + 4k
y = 7 – k
°¢£
8d
8d
8d
A (1, 2)
B (5, –1)
C (6, 3)
D (x, y)
x = 2y = 6
°¢£
4 = 6 – x–3 = 3 – y
°¢£
8DC
8AB
x = 2y = 2
°¢£
3x = 63y = 6
°¢£
x = 6 – 2xy + 2 = 8 – 2y
°¢£
x = 2 (3 – x)y + 2 = 2 (4 – y)
°¢£
8PA
8BP
8PA
8BP
°¢£
x + 1 = 6 8 x = 5y – 2 = 0 8 y = 2
°¢£
y – 22
x + 12
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos14
b) Ecuación vectorial: (x, y) = (–1, 0) + k (0, 2)
Ecuaciones paramétricas:
Puntos: (–1, 2); (–1, 4); (–1, 6); (–1, 8); (–1, 10).
8 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas po-sibles.
a) P(6, –2) y Q(0, 5)
b) P(3, 2) y Q(3, 6)
c) P (0, 0) y Q(8, 0)
Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario.
a) = (–6, 7)
Ec. vectorial: (x, y) = (6, –2) + t (–6, 7)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: 7x + 6y – 30 = 0
Ec. explícita: y = – x + 5
b) = (0, 4)
Ec. vectorial: (x, y) = (3, 2) + t (0, 4)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita: x – 3 = 0
c) = (8, 0)
Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t (8, 0)
Ec. paramétricas:
Ec. continua: =
Ec. implícita y explícita: y = 0
y – 00
x – 08
x = 8t
y = 0
°¢£
8PQ
y – 24
x – 30
x = 3
y = 2 + 4t
°¢£
8PQ
76
y + 27
x – 6–6
x = 6 – 6t
y = –2 + 7t
°¢£
8PQ
x = –1 + 0 · k
y = 2k
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 15
8UNIDAD
9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0
c) 3y – 6 = 0 d) y = – x
e) = f) = 1 – y
a) Si x = t 8 2t – y = 0 8 y = 2t 8 r :
b)
c)
d) y = – x
Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P (0, 0), (–3, 1), y a par-tir de ellos, las ecuaciones paramétricas:
e) =
Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (1, –1); (3, 2).
Las ecuaciones paramétricas son:
f) = 1 – y 8 =
Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, : P (–1, 1); (2, –1).
Las ecuaciones paramétricas son:
10 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas:
a) r1: b)r2:
c) r3: 3x + y – 1 = 0 d)r4: y + 1 = (x – 2)
a) 8 = y–3
x + 12
°§§¢§§£
x + 1t = —
2y
t = —–3
°¢£
x = 2t – 1y = –3t
12
x = 2y = 3t
°¢£
x = 2t – 1y = –3t
°¢£
x = –1 + 2ty = 1 – t
°¢£
8v
8v
y – 1–1
x + 12
1 + x2
x = 1 + 3ty = –1 + 2t
°¢£
8v
8v
y + 12
x – 13
x = –3ty = t
°¢£
8v
13
x = ty = 6/3 = 2
°¢£
x = 7y = t
°¢£
x = ty = 2t
°¢£
1 + x2
y + 12
x – 13
13
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos16
b) 8 =
c) 3x + y – 1 = 0 8 3x = –y – 1 8 x = 8 =
d) y + 1 = (x – 2) 8 =
11 Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas:
a) r1: = y – 1 b)r2:
c) r3: d)r4: y = x +
Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta.
a) = y – 1 8 x + 1 = –2y + 2 8 x + 2y – 1 = 0
Vector normal: 8n(1, 2)
b) 8 = 8 5x – 5 = –y – 2 8 5x + y – 3 = 0
Vector normal: 8n(5, 1)
c) 8 y – 2 = 0
Vector normal: 8n(0, 1)
d) y = x + 8 10y = –15x + 4 8 15x + 10y – 4 = 0
Vector normal: 8n(15, 10)
12 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son losvectores de la base.
Eje X : 8 Eje X : 8 y = 0
Eje Y : 8 Eje Y : 8 x = 0x = 0y = t
°¢£
O (0, 0) é eje Y8dY = (0, 1)
°¢£
x = ty = 0
°¢£
O (0, 0) é eje X8dX = (1, 0)
°¢£
25
–32
°¢£
x = 3t – 1y = 2
y + 25
x – 1–1
°¢£
x = –t + 1y = 5t – 2
x + 1–2
25
–32
x = 3t – 1y = 2
°¢£
x = –t + 1y = 5t – 2
°¢£
x + 1–2
y + 11
x – 22
12
y + 1–3
x1
–y – 13
y3
x – 20
°§¢§£
x – 2 = 0
yt = —
3
°¢£
x = 2y = 3t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 17
8UNIDAD
13 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vec-tor normal y su pendiente:
a) r1: b)r2: =
c) r3: x + 3 = 0 d)r4: y = x +
a) Vector dirección: = (2, 5) b) Vector dirección: = (2, 4)
Vector normal: = (–5, 2) Vector normal: = (–4, 2)
Pendiente: m = Pendiente: m = = 2
c) Vector dirección: = (0, 1) d) Vector dirección: = (3, 1)
Vector normal: = (1, 0) Vector normal: = (–1, 3)
Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical.
14 Comprueba si el punto P(13, –18) pertenece a alguna de las siguientes rec-tas:
r1: 2x – y + 5 = 0 r2:
r3: 3y + 54 = 0 r4:
r1: 2x – y + 5 = 0 8 2 · 13 + 18 + 5 ? 0 P è r1
r2: 8 P è r2
r3: 3y + 54 = 0 8 3(–18) + 54 = 0 P é r3
r4: 8 P é r4
15 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contengaal punto dado:
a) (5, –2)
b) (7, 3)
c) (–3, 4)
a) (5, –2) 8 5 + k (–2) – 7 = 0 8 –2k = 2 8 k = –1
b) (7, 3) 8 7 + k · 3 – 7 = 0 8 3k = 0 8 k = 0
c) (–3, 4) 8 –3 + 4k – 7 = 0 8 4k = 10 8 k = 52
13 = 13–18 = 10 – t 8 t = 28
x = 13y = 10 – t
°¢£
13 = 12 + t 8 t = 1–18 = –5 + 13t 8 t = –1
x = 12 + ty = –5 + 13t
°¢£
x = 13y = 10 – t
°¢£
x = 12 + ty = –5 + 13t
°¢£
13
8n
8n
8v
8v
42
52
8n
8n
8v
8v
23
13
1 – y4
x + 32
x = 2t – 1y = 5t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos18
Página 207
16 Dada la recta r : , escribe las ecuaciones (en forma explícita)
de las siguientes rectas:
a) Paralela a r que pasa por A(–1, –3).
b)Perpendicular a r que pasa por B(–2, 5).
r : 8 8vr = (–5, 1)
a)8vs = (–5, 1), A (–1, –3) 8 s : y = – (x + 1) – 3 8 s : y = – x –
b)8vs = (1, 5), B (–2, 5) 8 s : y = 5(x + 2) + 5 8 s : y = 5x + 15
17 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, –3)y es:
a) Paralela a la recta 2x – 3y + 5 = 0. En forma paramétrica.
b)Perpendicular a la recta x + y – 3 = 0. En forma continua.
c) Paralela a la recta 2y – 3 = 0.
d)Perpendicular a la recta x + 5 = 0.
a)8vr = (3, 2), P (1, –3) 8 r :
b)8vr = (1, 1), P (1, –3) 8 r : =
c)8vr = (2, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3
d)8vr = (1, 0), P (1, –3) 8 r : 8 r : y = –3
18 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es–2.
☛ La recta pasa por el punto (0, –2).
r : 2x – 3y = 0
8 8 y = x – 2 8 2x – 3y – 6 = 0
ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA
23
ms = mr = 2/3
P (0, –2) é s°¢£
°¢£
s // r 8 la pendiente de s ha de ser igual a la de r
P (0, –2) é s
x = 1 + t
y = –3
°¢£
x = 1 + 2t
y = –3
°¢£
y + 31
x – 11
x = 3 + t
y = 2 – 3t
°¢£
165
15
15
x = 1 – 5ty = 2 + t
°¢£
x = 1 – 5ty = 2 + t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 19
8UNIDAD
19 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendiculara ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.
☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.
• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-denadas.
r : 8 4 – 0 + 3y – 6 = 0 8 3y = 6 8 y = 2
Luego P (0, 2) ér y también debe ser P (0, 2) és, donde s 2 r.
• Como s 2 r 8 sus pendientes deben cumplir:
ms · mr = –1 8 ms = = =
• Como P (0, 2) és y ms = 8 y = x + 2 8 3x – 4y + 8 = 0
20 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Su vector de posición es (–3, 1) y su vector de dirección es perpendi-cular a (0, –2).
b)Pasa por A(5, –2) y es paralela a:
c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.
d)Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) yQ(–6, 0).
a) La ecuación vectorial será:
8OX =
8a + t
8v 8 (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) 8
b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al
de la recta (pues debe ser paralela a ella).
Luego: (–1, 2)
Como debe pasar por A(5, –2) 8
c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es:
mr = 8 ms = (pues mr · ms = –1 por ser r 2 s)
Un vector dirección puede ser 8s = (2, –3).
Además, A (1, 3) é s.
Por tanto, s : x = 1 + 2ty = 3 – 3t
°¢£
–32
23
x = 5 – ty = –2 + 2t
°¢£
8d
x = 1 – ty = 2t
°¢£
x = –3 + 2ty = 1
°¢£
x = 1 – ty = 2t
°¢£
8v
8a
34
34
34
–1–4/3
–1mr
4x + 3y – 6 = 0Eje Y : x = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos20
d) El punto medio de PQ es m ( , ) = (–3, 2)
= (–6, –4)
8
Luego, s :
21 De una cierta recta r conocemos su pendiente m = . Halla la recta s encada caso:
a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas.
b)s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (1, 2).
a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0):
s : y = x
b) Al ser perpendicular, su pendiente es – = :
y = (x – 1) + 2 8 y = x +
Haz de rectas
22 Consideramos el haz de rectas de centro (3, –2).
a) Escribe la ecuación de este haz de rectas.
b)Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (–1, 5).
c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x + y = 0?
d)Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.
a) a (x – 3) + b (y + 2) = 0; o bien y = –2 + m (x – 3)
b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y = –2 + m (x – 3), obtenemos:
5 = –2 + m (–1 – 3) 8 7 = –4m 8 m = – ; es decir:
y = –2 – (x – 3) 8 4y = –8 – 7x + 21 8 7x + 4y – 13 = 0
c) Si es paralela a 2x + y = 0 tendrá pendiente –2.
Por tanto, será:
y = –2 – 2(x – 3) 8 y = –2 – 2x + 6 8 2x + y – 4 = 0
74
74
72
–32
–32
–32
1m
23
23
x = –3 + 4ty = 2 – 6t
°¢£
m (–3, 2) é s8d (4, –6) es un vector dirección de s, pues
8d 2
8PQ
°¢£
8PQ
42
–62
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 21
8UNIDAD
d) Una recta del haz tiene por ecuación:
y = –2 + m (x – 3) 8 y = –2 + mx – 3m 8 mx – y – 3m – 2 = 0
Su distancia al origen ha de ser igual a 3:
= 3; es decir:
|–3m – 2| = 3 . Elevamos al cuadrado y operamos:
9m2 + 12m + 4 = 9(m2 + 1)
9m2 + 12m + 4 = 9m2 + 9
12m = 5 8 m =
Por tanto, será:
x – y – – 2 = 0 8 5x – 12y – 39 = 0
23 Determina el centro del haz de rectas de ecuación:
3kx + 2y – 3k + 4 = 0
Llamamos (x0, y0) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan dela forma:
a (x – x0) + b (y – y0) = 0
3kx + 2y – 3k + 4 = 0 8 3k (x – x0) + 2(y – y0) = 0
3kx – 3kx0 + 2y – 2y0 = 0
3kx + 2y – 3kx0 – 2y0 = 0
Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:
–3kx0 = –3k 8 x0 = 1
–2y0 = 4 8 y0 = –2
El centro del haz es el punto (1, –2).
24 Las rectas r : y = 3 y s: y = 2x – 1 forman parte del mismo haz de rectas.
Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente –2.
Si r : y = 3 y s : y = 2x – 1 están en el mismo haz de rectas, el centro de dichohaz es el punto de corte de estas rectas: P (2, 3).
Buscamos la recta que pasa por P (2, 3) y tiene pendiente m = –2:
y = –2(x – 2) + 3 8 y = –2x + 7
1512
512
512
√m2 + 1
|–3m – 2|
√m2 + 1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos22
Posición relativa de dos rectas
25 Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso:
a) r : 2x – y + 5 = 0; s: x + y + 4 = 0
b)r : x – 2y – 4 = 0; s :
c) r : ; s :
a) Resolviendo el sistema: P (–3, –1)
b) s : 8 x – 1 = 8 –3x + 3 = y – 2 8 3x + y – 5 = 0
Resolviendo el sistema: P (2, –1)
c) Por las ecuaciones de r : x = 2(*)
s : 8 x = 3 + 2y 2 = 3 + 2y 8 y = –
Por tanto, P 2, – .
26 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas secorten en el punto A(1, 2):
r : kx – ty – 4 = 0
s: 2tx + ky – 2 = 0
27 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas.
r : =
s: =
Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir:
= 8 k = 4–2k
3–6
y – 1k
x + 5–6
y–2
x – 23
Resolviendo el sistema:
k = 2; t = –1°¢£
k – 2t – 4 = 0
2k + 2t – 2 = 0
°¢£
A é r 8 k · 1 – t · 2 – 4 = 0
A é s 8 2t · 1 + k · 2 – 2 = 0
)12(
12
(*)Ä8x = 3 + 2ty = t
°¢£
°¢£
r : x – 2y – 4 = 0
s : 3x + y – 5 = 0
y – 2–3
x = 1 + ty = 2 – 3t
°¢£
°¢£
r : 2x – y + 5 = 0
s : x + y + 4 = 0
x = 3 + 2ty = t
°¢£
x = 2y = 1 + 3t
°¢£
x = 1 + ty = 2 – 3t
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 23
8UNIDAD
28 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes:
r : 2x + 3y + 5 = 0 s:
Expresamos ambas rectas en forma implícita:
r : 2x + 3y + 5 = 0
s : 4x + 6y – 12 – 4k = 0
Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto:
–12 – 4k = 10 8 k = =
Página 208
29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) r : 5x + y + 7 = 0 b)r : 3x + 5y + 10 = 0
s: s: –3x + 5y + 10 = 0
c) r : s :
a) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 5x + y + 7 = 0 8 r = (5, 1) 8 r = (–1, 5)
s : 8 s = (2, –10)
Como los vectores dirección son proporcionales ( s = –2 r), las rectas o sonparalelas o son coincidentes.
Como P (1, –3) é s y P è r, las rectas son paralelas.
b) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 3x + 5y + 10 = 0 8 r = (3, 5) 8 r = (–5, 3)
s : –3x + 5y + 10 = 0 8 s = (–3, 5) 8 s = (5, 3)
Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.
c) Buscamos un vector dirección de cada recta:
r : 8 r = (3, 1)
s : 8 s = (1, 2)
Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes.
8vx = t
y = 2t°¢£
8vx = 3t – 1
y = t + 3°¢£
8v
8n
8v
8n
8v
8v
8vx = 2t + 1
y = –10t – 3°¢£
8v
8n
x = ty = 2t
°¢£
x = 3t – 1y = t + 3
°¢£
x = 2t + 1y = –10t – 3
°¢£
–112
22–4
x = –6t + ky = 4t + 2
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos24
Ángulos
30 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) b)
c) d)
a) 8 sus pendientes son:
tg a = | | = | | = | | = 1 8 a = 45°
b)8 a ~ r1 r2 = , 8
8 cos a = = = 0 8 a = 90°
c) Los vectores dirección de esas rectas son:8d1 = (–1, 2) y
8d2 = (–3, 1)
Entonces:
cos a = = = = = 8 a = 45°
d)8 a ~ r1 r2 =
8a1,
8a2 8 cos a = =
= = = = ≈ 0,4472 8 a = 63° 26' 5,82"
31 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es latangente del ángulo que forma r con el eje deabscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r.
La pendiente de r es mr = .
La pendiente de r es, además, tg a:
mr = tg a 8 tg a = 8 a = 56° 18' 35,8"32
32
√55
1
√5
2
√5 · 2
|0 – 2|
√—5 · √
—4
|8a1 ·
8a2|
|8a1| |
8a2|
°§¢§£
8a1 = (2, –1) 2 r18a2 = (0, 2) 2 r2
√22
1
√2
5
5√2
|3 + 2|
√—5 · √
—10
|8
d1 ·8
d2 |
|8
d1| |8
d2 |
|30 – 30|
|8v||
8w|
|8v ·
8w|
|8v||
8w|
8w
8v
°§¢§£
8v = (3, –5) 2 r18w = (10, 6) 2 r2
5–5
2 – (–3)1 + 2 (–3)
mr – ms
1 + mr ms
mr = 2ms = –3
°¢£
°¢£
r : y = 2x + 5s : y = –3x + 1
2x – y = 02y + 3 = 0
°¢£
°¢£
x = –1 – 3ty = 4 + t
°¢£
x = 3 – ty = 2t
3x – 5y + 7 = 010x + 6y – 3 = 0
°¢£
y = 2x + 5y = –3x + 1
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 25
8UNIDAD
ì ì
ì ì
Y
r
aX
32 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?
☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje deabscisas.
El ángulo pedido, a, es complementario de b 8 tg b =
Por otro lado, tg b = mr = 2:
tg a = = 8 a = 26° 33' 54,2"
33 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° conel OX.
tg 60° =
mr = –Como tg 60° = mr , se tiene que:
= – 8 n = = = –
34 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:
r : mx – 2y + 5 = 0
s : nx + 6y – 8 = 0
sabiendo que r pasa por el punto P (1, 4) y que r y s forman un ángulode 45°.
☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre-sa tg 45° en función de las pendientes de r y s para obtener n.
☛ O bien mira el problema resuelto número 3.
P é r 8 m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 8 m = 3
r : 3x – 2y + 5 = 0 8 y = x + 8 mr =
s : nx + 6y – 8 = 0 8 y = – x + 8 ms = –n6
86
n6
32
52
32
Y
r
60°
X√3–3√3
3–3
√3
3n
√3
3n
√3
Y r
b
a
X
12
1tg b
1tg a
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos26
°§¢§£
tg 45° = = = = 1
Hay dos posibilidades:
• = 1 8 –2n – 18 = 12 – 3n 8 n = 30
• = –1 8 –2n – 18 = –12 + 3n 8 n = –
Distancias y áreas
35 Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso:
a) P(1, 3), Q(5, 7) b) P(–2, 4), Q(3, –1) c) P(–4, –5), Q(0, 7)
a) | | = = = 4
b) | | = = = 5
c) | | = = = = 4
36 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(5, k) y B(3, –2) seaigual a 2.
A (5, k ), B (3, –2), = (–2, –2 – k )
dist (A, B ) = | | = = 2 8 4 + 4 + 4k + k2 = 4 8
8 k2 + 4k + 4 = 0 8 k = –2
37 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, 2) y B(–3, 5)sea igual a .
| | = 8 = 8 (–3 – a)2 + 9 = 13 8
8 (–3 – a)2 = 4
38 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 alcortar a los ejes de coordenadas.
Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes decoordenadas.
Calculamos primero dichos puntos:
• 8 –2y + 5 = 0 8 y = 8
8 A (0, ) es el punto de corte con el eje Y.52
52
x – 2y + 5 = 0x = 0
°¢£
–3 – a = 2 8 a = –5
–3 – a = –2 8 a = –1
√13√(–3 – a)2 + (5 – 2)2√138AB
√13
√(–2)2 + (–2 – k )28AB
8AB
√10√160√16 + 144√(0 + 4)2 + (7 + 5)28PQ
√2√25 + 25√(3 + 2)2 + (–1 – 4)28PQ
√2√16 + 16√(5 – 1)2 + (7 – 3)28PQ
65
–2n – 1812 – 3n
–2n – 1812 – 3n
|–2n – 1812 – 3n||–(n/6) – (3/2)
1 – (n/6)(3/2)||ms – mr
1 + msmr|
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 27
8UNIDAD
• 8 x + 5 = 0 8 x = 5 8
8 B (5, 0) es el punto de corte con el eje X.
• Luego—AB = dist (A, B ) = = = =
39 Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:
a) b) y = c) 2x + 5 = 0
a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:
8 = –y 8 x + 2y = 0
Entonces:
dist (P, r ) = = = =
b) y = 8 y – = 0
Por tanto:
dist (P, r ) = = =
c) dist (P, r ) = =
40 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0
c) x = 3 d) 3x – 2y = 0
a) dist (0, r ) = =
b) dist (0, r ) = =
c) dist (0, r ) = = = 3
d) dist (0, r ) = = = 0
(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).
0
√13
|3 · 0 – 2 · 0|
√32 + 22
31
|0 – 3|
√12 + 02
92
|2 · 0 – 9|
√02 + 22
125
|3 · 0 – 4 · 0 + 12|
√32 + (–4)2
92
|2 · 2 + 5|
√22 + 0
214
|–3 – 9/4|
√1
|1(–3) – 9/4|
√02 + 12
94
94
4√55
4
√5
|2 – 6|
√5
|1 · 2 + 2 (–3)|
√12 + 22
x2
t = x/2t = –y
°¢£
94
x = 2ty = –t
°¢£
√552√125
425√25 + —4
5√(5 – 0)2 + (0 – —)22
x – 2y + 5 = 0y = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos28
41 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)sea de unidades. (Hay dos soluciones).
dist (P, r ) = = = =
Hay dos soluciones:
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
42 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.
☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-cia a r '.
Sus pendientes son mr = = mr' 8 Son paralelas.
Entonces, la distancia entre r y r ' será:
dist (P, r ' ) donde P ér
Sea x = 0.
Sustituyendo en r 8 y = = 4 8 P (0, 4) ér
Así:
dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) = = = =
43 En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, 2) y B(6, –2), calcula:
a) La longitud del lado OB—
.
b) La distancia de A al lado OB.
c) El área del triángulo.
a) | | = = 2
b) Ecuación de OB:
m = = – ; y = – x 8 x + 3y = 0
Distancia de A a OB:
d = = (es la altura del triángulo).
c) Área = · 2 · = 10 u210
√10√10
12
10
√10
|4 + 3 · 2|
√12 + 32
13
13
–26
√10√62 + (–2)28OB
9√510
9
2√5
|16 – 7|
√20
|–2 · 0 + 4 · 4 – 7|
√(–2)2 + 42
–8–2
12
x – 3y + 10 = 0
x – 3y – 10 = 0
P
√10|c|
√10
|6 – 6 + c|
√10
|1 · 6 – 3 · 2 + c|
√1 + 9
√10
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 29
8UNIDAD
= 8 c1 = 10
= – 8 c2 = –10√10|c|
√10
√10|c|
√10
°§§§¢§§§£
A(4, 2)
B(6, –2)
O
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(–3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rec-tángulo y halla su área.
Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras:
52 + 52 = ( )2 8 Por tanto, el triánguloes rectángulo.
Área = · | | · | | = · 25 = 12,5 u2
45 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(–1, 2), Q(4, 7), R(7, 0).
| | = = = 2 (Base del triángulo)
Ecuación de PR :
m = = – 8 y = 0 – (x – 7) 8
8 4y = –x + 7 8 x + 4y – 7 = 0
Altura: d (Q, PR ) = =
Área = · 2 · = 25 u2
Página 209
46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p.
Y
aX
180° – b
s
t
r
p30°
30°
b
Y
X
p
s
30°
r
t
PARA RESOLVER
25
√17√17
12
25
√17
|4 + 4 · 7 – 7|
√12 + 42
14
14
0 – 27 + 1
√17√68√(7 + 1)2 + (0 – 2)28PR
12
8BC
8AB
12
√50
°§¢§£
|8AB| = √(0 + 3)2 + (5 – 1)2 = 5
|8AC| = √(4 + 3)2 + (2 – 1)2 = √
—50
|8BC| = √42 + (2 – 5)2 = 5
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos30
Q(4, 7)
R(7, 0)
P(–1, 2)
O
• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).
Así, su pendiente es:
m = =
Por tanto:
p : y = 1 + (x – 4) 8 7x – 4y + 9 = 0
• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto (0, ).Por tanto:
r : y = –
• s : Su vector dirección es (0, 1) y pasa por (2, 0).
Por tanto:
s :
• t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).
Así, su pendiente es:
m = = = –
Por tanto:
t : y = – (x – 1) 8 x + 2y – 1 = 0
47 Dada la recta:
r :
halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segun-do cuadrante.
• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y 8 (en paramétricas).
Su vector dirección es = (–1, 1).
• El vector dirección de r es = (3, k ).
• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vecto-res dirección deben ser proporcionales:
= 8 k = –31k
–13
8r
8d
x = – ty = t
°¢£
x = –1 + 3ty = 2 + kt
°¢£
12
12
2–4
2 – 0–3 – 1
x = 2y = t
°¢£
32
–32
74
74
4 – (–3)1 – (–3)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 31
8UNIDAD
48 En el triángulo de vértices A(–2, 3), B(5, 1), C(3, –4), halla las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b)La mediana que parte de B.
c) La mediatriz del lado CA.
a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa porel punto B:
8
8 hB: 8 8 = 8 hB: 5x – 7y – 18 = 0
b) mB (mediana que parte de B ) pasa por B y por el punto medio, m, de AC :
m ( , ) = ( , – ) é mB 8
B (5, 1) é mB
88mB (5 – , 1 + ) = ( , ) es vector dirección de mB .
Luego:
mB : 8 8 8
8 = 8 mB : 6x – 18y – 12 = 0
c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado,m'. Así:
= (–5, 7) 2 z 8 vector dirección de z : (7, 5)8
m' ( , ) = ( , – ) é z
8 z : 8 8 = 8
8 z : 20x – 28y – 24 = 0 8 z : 5x – 7y – 6 = 0
2y + 110
2x – 114
2x – 1t = —
142y + 1
t = —10
°§§¢§§£
1x = — + 7t
21
y = – — + 5t2
°§§¢§§£
12
12
–4 + 32
3 – 22
8z
8CA
2y – 23
2x – 109
2x – 10t = —
92y – 2
t = —3
°§§¢§§£
2x = 10 + 9t
2y · 2t = —
3
°§¢§£
9x = 5 + —t
23
y = 1 + —t2
°§§¢§§£
32
92
12
12
12
12
3 – 42
–2 + 32
y – 15
x – 57
x – 5t = —
7y – 1
t = —5
°§§¢§§£
x = 5 + 7ty = 1 + 5t
°¢£
°¢£
hB 2 AC (5, –7) 8 el vector dirección de hB es 8hB (7, 5)
B (5, 1) é hB
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos32
°§¢§£
°§¢§£
49 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, elsegmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB.
☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa yopuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.
• A = r » eje Y : 8 3y – 6 = 0 8 y = 2 8 A (0, 2)
• B = r » eje X : 8 2x – 6 = 0 8 x = 3 8 B (3, 0)
• = (3, –2) 2 mAB (mediatriz de AB ) 88mAB = (2, 3)
MAB ( , ) = ( , 1) (punto medio de AB ) é mediatriz 8
8 y – 1 = (x – ) 8 y = x – 8 mAB : 6x – 4y – 5 = 0
50 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(–2, 1), B(5, 4), entres partes iguales.
☛ Si P y Q son esos puntos, = .
Escribe las coordenadas de y de , y obtén P. Q es el punto medio de .
• = 8 (x + 2, y – 1) = (7, 3) 8
8 8 P ( , 2)
• Q es el punto medio de PB 8 Q ( , ) 8 Q ( , 3)83
2 + 42
1/3 + 52
13
7 7 1x + 2 = — 8 x = — – 2 = —
3 3 33
y – 1 = — 8 y = 1 + 2 = 23
°§§¢§§£
13
8AB1
3
8AP
A
P
Q
B
PB8AB
8AP
8AB
13
8AP
54
32
32
32
32
22
32
8AB
2x + 3y – 6 = 0y = 0
°¢£
2x + 3y – 6 = 0x = 0
°¢£
Y
A
BX
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 33
8UNIDAD
°§¢§£
51 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3 – 2 = 0,siendo Q(3, 2) y R(–1, 5)?
3 = 2 8 3 (3 – x, 2 – y ) = 2 (–4, 3) 8
8 8 8 P ( , 0)52 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un para-
lelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6)
P ( , ) = (4, 5)
Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)
=
=
53 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, –2) a la recta:
r : x – 2y + 4 = 0
☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.
Sea s la recta perpendicular a r desde P y = (2, 1) vector director de r.
Así, ' 2 ò el vector dirección de s, , también es perpendicular a ( 2 ),luego podemos tomar (1, –2). Como P (1, –2) é s :
s : 8 x – 1 = 8 –2x + 2 = y + 2 8
8 s : 2x + y = 0
y + 2–2
x = 1 + t 8 t = x – 1
y + 2y = –2 – 2t 8 t = —
–2
°§¢§£
8s
8r
8s
8r
8s
8r
8PP
8r
P (1, –2)
P' (x, y)
r : x – 2y + 4 = 0
s
A
B
P
QS
RC
D
8RQ
8SP
°¢£
8SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2)8RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)
8SR
8PQ
°¢£
8PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4)8SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)
8 + 22
5 + 32
173
17x = —
3
y = 0
°§¢§£
9 – 3x = –86 – 3y = 6
°¢£
8QR
8PQ
8QR
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos34
El punto P' (x, y) es tal que:
P' = s » r
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x – 2 (–2x) + 4 = 0 8 x + 4x + 4 = 0 8
8 x = 8 y = –2 ( ) =
Luego: P' ( , )54 Halla el área del cuadrilátero de vértices:
A(–4, 3) B(0, 5) C(4, –2) D(–3, –2)
☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.
• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cu-ya medida es:
| | = |(8, –5)| =
• Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base:
hB = dist (B, r ) y hD = dist (D, r )
donde r es la recta que contiene el segmento .
Tomando como vector dirección de r el vector , la ecuación de dicha rec-ta es:
–20 + 24 + k = 0 ò k = –4 ò r : 5x + 8y – 4 = 0
Luego:
hB = dist (B, r ) = =
hD = dist (D, r ) = = 35
√89
|5 (–3) + 8 (–2) – 4|
√89
36
√89
|5 · 0 + 8 · 5 – 4|
√89
°¢£
5x + 8y + k = 0Como (–4, 3) é r
8AC
8AC
√898AC
B (0, 5)
A (–4, 3)
D (–3, –2) C (4, –2)
85
–45
85
–45
–45
s : 2x + y = 0 8 y = –2xr : x – 2y + 4 = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 35
8UNIDAD
• Así:
AABCD = AABC + AADC = + = (hB + hD) =
= ( + ) =
55 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r : x = 3 s : 2x + 3y – 6 = 0 t : x – y – 7 = 0
• A = r » s 8 6 + 3y – 6 = 0 8 y = 0
Luego: A (3, 0)
• B = r » t 8 3 – y – 7 = 0 8 y = –4
Luego: B (3, –4)
• C = s » t 8
8 2 (y + 7) + 3y – 6 = 0 8 2y + 14 + 3y – 6 = 0 8 5y + 8 = 0 8
8 y = 8 x = + 7 =
Luego: C ( , )• Consideramos el segmento AB como base:
| | = |(0, –4)| = = 4
• La altura desde C es hC = dist (C, r ) = =
• Así:
Área = = = 465
4 · 23/52
|8AB| · hC
2
235
|(–8/5) – 3|
√12 + 02
√168AB
–85
275
275
–85
–85
2x + 3y – 6 = 0x – y – 7 = 0 8 x = y + 7
°¢£
x = 3x – y – 7 = 0
°¢£
x = 32x + 3y – 6 = 0
°¢£
A
B
s
t
r
C
712
35
√89
36
√89
√892
b2
b · hD
2
b · hB
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos36
56 En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), halla las longitudesde la mediana y de la altura que parten de B.
• Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC.
M ( , 0) 8 = ( – 2, 0 – 4) = (– , –4)La longitud de la mediana es: | | = =
• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B.
= (5, 2) 8 la recta que contiene ese segmento es:
r : 8 = 8 2x – 5y – 3 = 0
= (–2, 5) 2 8 la recta s 2 r que pasa por B:
s : 8 = 8 5x + 2y – 18 = 0
P = r » s 8
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:
4x – 10y – 6 = 0
25x + 10y – 90 = 0
29x – 96 = 0 8 x = 8 2 · – 5y – 3 = 0 8
8 5y = – 3 = 8 y = : 5 =
Luego: P ( , )Así: hB = | | = |( , – )| = = ≈ 3,528
57 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A (–6, 0) y B(0, –6).
r
P
A (–6, 0)
B (0, –6)
√10 46929√ 10 469
2929529
3829
8BP
2129
9629
2129
10529
10529
19229
9629
9629
r : 2x – 5y – 3 = 0s : 5x + 2y – 18 = 0
°¢£
y – 45
x – 2–2
x = 2 – 2ty = 4 + 5t
°¢£
8AC
8v
y + 12
x + 15
x = –1 + 5ty = –1 + 2t
°¢£
8AC
√652
√1/4 + 168BM
12
32
8BM3
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 37
8UNIDAD
P (x, y ) debe verificar dos condiciones:
1. P (x, y ) é r ò 3x – 4y + 8 = 0
2. dist (A, P ) = dist (B, P ) ò =
8 8
8 3x – 4x + 8 = 0 8 x = 8 = y 8 P (8, 8)
58 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta 3x – y + 8 = 0.
8
8 8 = 3 8 = 3 8
8 dos posibilidades:
59 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0 y 4x – 2y + 1 = 0.
Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente.
Buscamos los puntos P (x, y ) que cumplan:
= 8
8 = 8|4x – 2 (–x + 2) + 1|
2√5
|x + 2 (–x + 2) – 5|
√5
|4x – 2y + 1|
√20
|x + 2y – 5|
√5
P é r1 ò y = –x + 2dist (P, r2) = dist (P, r3) 8
°¢£
r
r'
P1
P2
P1 (3√—10 – 8, 6√
—10 – 16)
P2 (–3√—10 – 8, –6√
—10 – 16)
°¢£
8 y1 = 6√—10 – 16 8
8 y2 = –6√—10 – 16 8
°¢£
x + 8 = 3√—10 8 x1 = 3√
—10 – 8 8
x + 8 = –3√—10 8 x2 = –3√
—10 – 8 8
°¢£
|x + 8|
√10
|3x – 2x + 8|
√10
y = 2x
|3x – y + 8|—— = 3
√—10
°§¢§£
P (x, y ) é r : y = 2xdist (P, r ' ) = 3, donde r ' : 3x – y + 8 = 0
°¢£
3x – 4y + 8 = 0x = y
°¢£
3x – 4y + 8 = 0x2 + 12x + 36 + y2 = x2 + y2 + 12y + 36
°¢£
√x2 + (y + 6)2√(x + 6)2 + y2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos38
8 |–x – 1| = 8 8
8 8 8 8
8 8
60 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0sea igual a 3.
Sea P é r1 donde x0 = 0 8 y0 = 2 8 P (0, 2) é r1
Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) = = 3 8
8 = 3 8
61 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, –2) yB(4, 3). El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0. Halla las coordenadasde C y el área del triángulo.
• La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección = (3, 5):
r : 8 = 8 r : 5x – 3y – 11 = 0
• La recta que contiene la altura tiene por vector dirección = (–5, 3) 2 y
pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M ( , ):hc : 8 = 8
8 hc : 12x + 20y – 40 = 0 8 hc : 6x + 10y – 20 = 0
• C = s » hc donde s : 3x – y + 8 = 0
8
12y – 36 = 0 8 y = = 3 8
8 3x – 3 + 8 = 0 8 3x + 5 = 0 8 x = –53
3612
–6x + 2y – 16 = 06x + 10y – 20 = 0
°¢£
3x – y + 8 = 06x + 10y – 20 = 0
°¢£
2y – 16
2x – 5–10
x = 5/2 – 5ty = 1/2 + 3t
°¢£
12
52
8AB
8a
y + 25
x – 13
x = 1 + 3ty = –2 + 5t
°¢£
8AB
6 + c = 15 8 c1 = 96 + c = –15 8 c2 = –21
°¢£
|6 + c|5
|4 · 0 + 3 · 2 + c|
√16 + 9
1 15P1 (—, —)8 8
5 3P2 (—, —)4 4
°§§¢§§£
1 15y1 = – — + 2 = —
8 85 3
y2 = – — + 2 = —4 4
°§§¢§§£
x1 = 1/8x2 = 5/4
°¢£
8x = 14x = 5
°¢£
–2x – 2 = 6x – 3, o bien–2x – 2 = –6x + 3
°¢£
6x – 3–x – 1 = —, o bien
2–6x + 3
–x – 1 = —2
°§§¢§§£
|6x – 3|2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 39
8UNIDAD
Luego: C ( , 3)• Área = =
(*)= ≈ 14,17
(*)
62 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rec-tas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0.
r : 3x – y – 9 = 0 s : x – 3 = 0
P = r » s : 8 9 – y – 9 = 0 8 y = 0
Luego: P (3, 0)
Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si suspendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica:
tg 45° = | | 8 1 = | | 8
8 1 = | | 8
8 8
8
Hay dos posibles soluciones:
t1: y – 0 = (x – 3) 8 t1: y = x +
t2: y – 0 = (x – 3) 8 t2: y = x –
63 Dadas r : 2x – y – 17 = 0 y s: 3x – ky – 8 = 0, calcula el valor de k para quer y s se corten formando un ángulo de 60°.
☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Obtendrás dos soluciones.
Las pendientes de r y s son, respectivamente:
mr = 2 y ms = 3k
63
23
46
92
–32
–64
4m1 = –6 8 m1 = –6/46m1 = 4 8 m1 = 4/6
°¢£
5 – m1 = –1 – 5m1, o bien– (5 – m1) = –1 – 5m1
°¢£
–1 – 5 · m1
5 – m1
(–1/5) – m1
1 + (–1/5) · m1
m2 – m1
1 + m2 · m1
3x – y – 9 = 0x – 3 = 0
°¢£
8AB = (3, 5) 8 |
8AB| = √
—34
–25 –5 √—8508
CM (—, —) 8 |8CM| = —
6 2 6
°§¢§£
√—34 · (√—850/6)
2
|8AB||
8CM|
2base Ò altura
2
–53
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos40
Entonces:
tg 60° = | | 8 = | | 8 dos casos:
8 8
64 Las rectas r : 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los ladosde un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.
mr = ; ms = –2; mt =
tg ( ) = | | = =
Luego: ( ) = 60° 15' 18,4"
tg ( ) = | | = | | =
Luego: ( ) = 34° 30' 30,7"
Por último: ( ) = 180° – ( ) – ( ) = 85° 14' 11"
65 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A (–3, 2), B (8, –1) y C(3, –4).
☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.
= (11, –3); (–11, 3)
= (6, –6); (–6, 6)
= (–5, –3); (5, 3)8CB
8BC
8CA
8AC
8BA
8AB
ìr, t
ìr, s
ìs, t
ìr, t
1116
15 – 410 + 6
3/2 – 2/51 + 3/2 · 2/5
ìr, t
ìr, s
74
7/22
3/2 – (–2)1 + 3/2 · (–2)
ìr, s
25
32
Y
X
t r s
6√—3 + 3k1 = —= 24 + 15√
—3
2 – √—3
6√—3 + 3k2 = —= 9√
—3 – 12
2 + √—3
°§§¢§§£
°¢£
√—3(k + 6) = 2k – 3
–√—3(k + 6) = 2k – 3
2k – 3k + 6
√32 – 3/k
1 + 2 · 3/k
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 41
8UNIDAD
cos^A = = ≈ 0,868
Luego: ^A = 29° 44' 41,6"
cos ^B = = ≈ 0,692
Luego: ^B = 46° 13' 7,9"
Así, ^C = 180° – (
^A +
^B) = 104° 2' 10,5"
Página 210
66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y forma un ángulo de 30°con x = 3.
☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
Su pendiente es:
m1 = tg 60° = , o bien
m2 = tg 120° = –
Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las posibles soluciones son:
r1: y = x + 2
r2: y = – x + 2√3
√3
√3
√3
Y
X
r1
r2
x = 3
(0, 2)
30°
60°
120°
Y
X
A (–3, 2)
C (3, –4)
B (8, –1)55 – 9
√—130 √
—34
8BA ·
8BC
|8BA||
8BC|
66 + 18
√—130 √
—72
8AB ·
8AC
|8AB||
8AC|
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos42
°§¢§£
67 La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es – , 1 .
Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.
Las pendientes de las tres rectas son: mb = –2, mr , mr'
tg 45° = | | 8 1 = | | 8
8 8
8
r : y – 1 = 3 (x + ) 8 y = 3x +
r ' : y – 1 = (x + ) 8 y = x +
68 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de co-ordenadas.
8 8
8= 8 dos casos:
x – 2y – 6 = 0
8 8 P1 (–6, –6)P2 (2, –2)
°¢£
y – 2y – 6 = 0 8 y1 = –6 8 x1 = –6–y – 2y – 6 = 0 8 y2 = –2 8 x2 = 2
°¢£
x = yx = –y 8
°¢£
|x|
√02 + 12
|y|
√02 + 12
dist (P, eje X ) = dist (P, eje Y )x – 2y – 6 = 0
°¢£
°§¢§£
Eje X : y = 0Eje Y : x = 0P (x, y ) é r
56
–13
12
–13
52
12
1 – 2mr = –2 – mr 8 mr = 3–1 + 2mr' = –2 – mr' 8 mr' = –1/3
°¢£
–2 – mr
1 – 2mr
mb – mr
1 + mb mr
45°
45°b: 2x + y = 0
r
r'
V (– —, 1)12
)12(
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 43
8UNIDAD
°§§¢§§£
69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(–2, 2) y forman un án-gulo de 60° con x = y.
b : x = y 8 su pendiente es mb = 1
tg 60° = | | 8 = | | 8
8+ m = 1 – m 8 m1 =
– – m = 1 – m 8 m2 =
Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2):
r1: y – 2 = (x + 2)
r2: y – 2 = (x + 2)
ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE
70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A (2, 3) y B (5, 6) y hallala ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a ladistancia entre A y B.
• r : 8 r : 8
8 = 8 3x – 3y + 3 = 0 8 r : x – y + 1 = 0
• s // r 8 ms = mr = 1 8 y = x + c 8 s : x – y + c = 0
dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) 8
8 = | | 8
8 = 8
8 s1: x – y + 7 = 0
s2: x – 5 = 0
–1 + c = 6 ò c1 = 6 + 1 = 7–1 + c = –6 ò c2 = –6 + 1 = –5
°¢£
√18|1 + c|
√2
8AB
|2 – 3 + c|
√12 + (–1)2
y – 33
x – 23
x = 2 + 3ty = 3 + 3t
°¢£
vector dirección 8AB = (3, 3)
pasa por A (2, 3)°¢£
1 + √3
–√3 + 1
1 – √3
√3 + 1
1 + √3
–√3 + 1√3√3
1 – √3
√3 + 1√3√3
1 – m1 + m
√31 – m
1 + 1 · m
Y
X
r
P1
P2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos44
°§§¢§§£
71 Halla el punto simétrico de P(1, 1) repecto a la recta x – 2y – 4 = 0.
• ' 2 donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y es el vectordirección de la misma.
' · = 0 8 (x – 1, y – 1) · (2, 1) = 0 8
8 2 (x – 1) + (y – 1) = 0 8 2x + y – 3 = 0
• Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego:
M( , ) é r 8 – 2 – 4 = 0 8
8 x + 1 – 2y – 2 – 8 = 0 8
8 x – 2y – 9 = 0
• Así, teniendo en cuenta las dos condiciones:
8
8 2 (9 + 2y) + y – 3 = 0 8 18 + 4y + y – 3 = 0 8 y = = –3
8 x = 9 + 2 (–3) = 9 – 6 = 3
Luego: P' = (3, –3)
72 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vér-tices opuestos son B(–1, –1) y D(–5, 3).
Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo.
Sea A é eje Y 8 A = (0, y1) y sea el punto C = (x2, y2).
Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan ensu punto medio, M.
Además, AC 2 BD.
• M ( , ) = (–3, 1) es el punto medio de BD (y de AC ).–1 + 32
–1 – 52
AD(–5, 3)
C
B(–1, –1)
–155
°¢£
2x + y – 3 = 0x – 2y – 9 = 0 8 x = 9 + 2y
°¢£
y + 12
x + 12
y + 12
x + 12
8v
8PP
8v
8v
8PP
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 45
8UNIDAD
• Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC):
8
8 8
8 d : y – 1 = (x + 3) 8 y = x + 4
• Así:
A = d » eje Y: 8 y = 4 8 A (0, 4)
• M es punto medio de AC 8 (–3, 1) = ( , ) 8
8 8 C (–6, –2)
• Área =
| | = |(–6, –6)| = = 6
| | = |(–4, 4)| = = 4
73 En el triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 3) y C(4, 1), halla el ortocentroy el circuncentro.
☛ El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el pun-to de intersección de las mediatrices.
ORTOCENTRO: R = hA » hB » hC donde hA, hB y hC son las tres alturas (desde A,B y C, respectivamente).
• hA 8 hA : 8
8 = 8 hA : 3x – 2y + 13 = 0
• hB 8 hB : 8
8 x – 1 = 8 hB : 7x – y – 4 = 0y – 37
x = 1 + ty = 3 + 7t
°¢£
8b 2
8AC = (7, –1) 8
8b = (1, 7)
B é hB
°¢£
y – 23
x + 32
x = –3 + 2ty = 2 + 3t
°¢£
8a 2
8BC = (3, –2) 8
8a = (2, 3)
A é hA
°¢£
√2√328BD
√2√728AC
|8AC||
8BD|
2
°§§¢§§£
x2–3 = — 8 x2 = –62
4 + y21 = — 8 y2 = –22
°§§¢§§£
4 + y2
2
0 + x2
2
°¢£
y = x + 4x = 0
°¢£
4La pendiente de d es md = — = 1
4
M (–3, 1) é d
°§¢§£
°¢£
8BD = (–4, 4) 8
8d = (4, 4) es vector dirección de d
M (–3, 1) é d
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos46
°§¢§£
8 Área = = 24 u26√—2 · 4√
—2
2
• hC 8 hC : 8
8 x – 4 = 8 hC : 4x + y – 17 = 0
Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersec-ción:
hB » hC :Sumando:
11x – 21 = 0 8 x =
y = 7x – 4 = 7 · – 4 = =
NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en hA. Basta consustituir en su ecuación.
CIRCUNCENTRO: S = mA » mB » mC, donde mA, mB y mC son las tres mediatrices(desde A, B y C, respectivamente).
• mA 8
8 y – 2 = (x – ) 8 y = x –
• mC 8
8 y – = –4 (x + 1) 8 y = –4x –
Así:
S = mA » mC : 8 x – = –4x – 8
8 6x – 7 = –16x – 6 8 22x = 1 8 x = 8
8 y = –4 · – = =
Así, S ( , ).NOTA: Se podría calcular mB y comprobar que S é mB.
–3722
122
–3722
–4 – 3322
32
122
122
32
74
32
3 7y = —x – —
2 43
y = –4x – —2
°§§¢§§£
32
52
74
32
52
32
10311
147 – 4411
2111
2111
7x – y – 4 = 04x + y – 17 = 0
°¢£
y – 1–4
x = 4 + ty = 1 – 4t
°¢£
8c 2
8AB = (4, 1) 8 8
c = (1, –4)C é hC
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47
8UNIDAD
°§§¢§§£
R ( , )10311
2111
°§§¢§§£
8a 2
8BC 8 8
a = (2, 3)
Punto medio de BC : M ( , 2) é mA52
°§§¢§§£
8c 2
8AB = (4, 1) 8 8
c = (1, –4)
Punto medio de AB: M' (–1, ) é mC52
74 La recta 2x + y – 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremoen el punto (0, 0).
Halla las coordenadas del otro extremo.
Un vector dirección de la recta es el = (1, –2).
• Debe verificarse que: 2 = · = 0
(1, –2) · (x, y) = 0 8 x – 2y = 0 8 x = 2y
• Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta:
M ( , ) é r 8 2 · + – 4 = 0 8
8 2 · + – 4 = 0 8 4y + y – 8 = 0 8
8 y = 8 x = 2 · =
Luego: A ( , )75 Los puntos P(–2, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogra-
mo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:
a) Los otros dos vértices.
b) Los ángulos del paralelogramo.
XOS
R
P (–2, 4)
Q (6, 0)
Y
85
165
165
85
85
y
22y2
y
2x2
y
2x2
8OA
8v
8OA
8v
8v
O (0, 0) A (x, y)
r: 2x + y – 4 = 0
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos48
a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio,que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices:
R (2, –4), S (–6, 0)
b) = = (8, –4) 8 = = (–8, 4)
= = (–4, –4) 8 = = (4, 4)
cos^P = = = –0,31623 8
^P = 108° 26' 5,8" =
^R
^S = = 71° 33' 54" =
^Q
NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores:
cos^S = = = 0,31623 8
^S = 71° 33' 54"
76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y – 2 = 0 yx – 2y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0).
Halla los otros vértices.
• Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice:
8
3y – 6 = 0 8 y = 2 8
8 x + 2 – 2 = 0 8 x = 0
Luego un vértice es A (0, 2).
• El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores(pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustitu-yendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vérticeC no es consecutivo de A.
Sean s1//r1 una recta que pasa por C y s2//r2 una recta que pasa por C.
Se trata de las rectas sobrelas que están los otros la-dos.
Así, los otros vértices, B yD, serán los puntos de cor-te de:
r1 » s2 = B
r2 » s1 = D
r1
r2
s1
s2
D C
A
B
x + y – 2 = 0–x + 2y – 4 = 0
°¢£
x + y – 2 = 0x – 2y + 4 = 0
°¢£
r1:r2:
32 – 16
√—32 · √
—80
8SP ·
8SR
|8SP||
8SR|
360° – (^P +
^R )
2
–32 + 16
√—32 · √
—80
8PS ·
8PQ
|8PS||
8PQ|
8RQ
8SP
8QR
8PS
8RS
8QP
8SR
8PQ
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49
8UNIDAD
s1: 8 s1: x + y – 6 = 0
s2: 8 s2: x – 2y – 6 = 0
• B = r1 » s2:
Resolviendo el sistema:
De la primera ecuación 8 x = 2 – y 8 en la segunda 8 2 – y – 2y – 6 = 0 8
8 y = 8 x = 8 B ( , )• D = r2 » s1: 8 6 – y – 2y + 4 = 0 8
8 y = 8 x = 8 D ( , )77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y + 6 = 0 y
3x + 4y – 9 = 0.
P (x, 0) debe verificar dist (P, r ) = dist (P, s ):
= 8
8 8 P1 (–15, 0), P2 ( , 0)78 Halla el punto de la recta 2x – 4y – 1 = 0 que con el origen de coordenadas y el
punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6.
☛ Si tomamos como base | |= 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que bus-camos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.
Los vértices son O (0, 0), P (–4, 0), Q (x, y).
Si tomamos como base OP, entonces:
Área = 8 6 = 8 h = 3
El punto Q (x, y) é r 8 2x – 4y – 1 = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) = 3.
La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección (–4, 0) ypasa por (0, 0). Luego es el eje X : y = 0.
8OP
4 · h2
|8
OP|· h
2
8PQ
37
4x + 6 = 3x – 9 8 x1 = –154x + 6 = –(3x – 9) 8 x2 = 3/7
°¢£
|3x + 4 · 0 – 9|
√25
|4x + 3 · 0 + 6|
√25
103
83
83
103
°¢£
x + 2y + 4 = 0x + y – 6 = 0 8 x = 6 – y
°¢£
–43
103
103
–43
x + y – 2 = 0x – 2y – 6 = 0
°¢£
x – 2y + b = 0C é s2 8 6 – 0 + b = 0 8 b = –6
°¢£
x + y + a = 0C é s1 8 6 + 0 + a = 0 8 a = –6
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos50
Así:
8 8
Luego hay dos triángulos, OPQ1 y OPQ2, donde:
Q1 ( , 3) y Q2 ( , –3)79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x – 2y + 2 = 0 y 2x – y – 2 = 0
con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trape-cio isósceles y halla su área.
☛ Mira el problema resuelto número 1.
Sean: A = r » eje OX : 8 x = –2 ò A (–2, 0)
B = r » eje OY : 8 y = 1 ò B (0, 1)
C = s » eje OX : 8 x = 1 ò C (1, 0)
D = s » eje OY : 8 y = –2 ò D (0, –2)
Calculamos los vectores dirección de los lados:
= (2, 1)
= (1, –1)]
= (–1, –2)
= (–2, 2)
Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA.
Para calcular el área necesitamos la altura:
Como 8 y = –x – 2 8 AD : x + y + 2 = 0°¢£
8AD (2, –2)
D (0, –2)
8DA
8CD
8BC
8AB
2x – y – 2 = 0x = 0
°¢£
2x – y – 2 = 0y = 0
°¢£
x – 2y + 2 = 0x = 0
°¢£
x – 2y + 2 = 0y = 0
°¢£
B
B (0, 1)
DD (0, –2)
CC (1, 0)
A (–2, 0)
A
Y
X–1
–1
–112
132
132x – 4 · 3 – 1 = 0 8 x1 = —
2–11
2x – 4 (–3) – 1 = 0 8 x2 = —2
°§§¢§§£
y1 = 3y2 = –3
°¢£
2x – 4y – 1 = 0
|y|—= 3√—02 + 12
°§¢§£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 51
8UNIDAD
8°§¢§£
°§§¢§§£
8DA = –2
8BC 8
8BC //
8DA
| | = = | |8CD√5
8AB
h = dist (B, AD) = = =
Así:
Área = · = · = =
80 La recta x + y – 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles.Halla su área.
8 0 + 5 + k = 0 8 k = –5
Luego s : x + y – 5 = 0
• Sean: A = r » eje X : 8 x = 2 ò A (2, 0)
B = r » eje Y : 8 y = 2 ò B (0, 2)
C = s » eje X : 8 x = 5 ò C (5, 0)
D = s » eje Y : 8 y = 5 ò D (0, 5)
• = (–2, 2); = (–5, 5)
Área = · h = · dist (A, s ) =
= · = · = · =
81 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(3, 4) y B(–5, 6), dista eldoble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coorde-nadas de P?
• d (P, OX ) = 2d (P, OY ) 8 |y| = 2|x| 8
• | | = | | 8 = 8
8 x2 + 9 – 6x + y2 + 16 – 8y = x2 + 25 + 10x + y2 + 36 – 12y 8
8 –6x – 8y + 25 = 10x – 12y + 61 8 16x – 4y + 36 = 0 8
8 4x – y + 9 = 0
√(–5 – x)2 + (6 – y)2√(x – 3)2 + (y – 4)28PB
8AP
y = 2xy = –2x
°¢£
212
3
√2
7√22
3
√2
2√—2 + 5√
—2
2|2 + 0 – 5|
√12 + 12
√—8 + √
—50
2
|8AB|+|
8CD|
2
|8AB|+|
8CD|
2
8CD
8AB
x + y – 5 = 0x = 0
°¢£
x + y – 5 = 0y = 0
°¢£
x + y – 2 = 0x = 0
°¢£
x + y – 2 = 0y = 0
°¢£
°¢£
s//r : x + y – 2 = 0 ò x + y + k = 0P (0, 5) é s
92
9 · 24
3√22
√—2 + 2√
—2
23√2
2
|8BC|+|
8DA|
2
3√22
3
√2
|0 + 1 + 2|
√2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos52
• Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones:
P1: 8 4x – 2x + 9 = 0 8 x = 8 y = –9
Luego: P1 ( , –9)P2: 8 4x + 2x + 9 = 0 8 x = = 8 y = 3
Luego: P2 ( , 3)82 De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de
aquella cuya distancia al origen es 1.
☛ La ecuación y = 2 + m(x – 1) representa a todas esas rectas. Pásala a forma ge-neral y aplica la condición d(O, r) = 1.
• Esas rectas tienen por ecuación:
y = 2 + m (x – 1) 8 mx – y + (2 – m ) = 0
• d (0, r ) = 1 8 = 1 8 8
8 (2 – m )2 = m2 + 1 8 4 + m2 – 4m = m2 + 1 8
8 4 – 4m = 1 8 m =
83 Dado el triángulo de vértices A(– 4, –2), B(–1, 5) y C(5, 1), halla las ecua-ciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo altriángulo en tres triángulos de igual área.
• La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tan-to, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los pun-tos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales:
= = (– , –1); = = ( , 0)• La recta r es la que pasa por B y por P:
m = = = –18
y = 5 – 18 (x + 1) 8 r: 18x + y + 13 = 0
–6(1/3)
–1 – 5(–2/3) – (–1)
83
8OC + 2
8OC
3
8OQ2
328OA +
8OC
3
8OP
B
C
A
Y
X11
rs
34
2 – m = √—m2 + 1
2 – m = –√—m2 + 1
°¢£
|2 – m|
√m2 + 1
–32
–32
–96
y = –2x4x – y + 9 = 0
°¢£
–92
–92
y = 2x4x – y + 9 = 0
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 53
8UNIDAD
• La recta s es la que pasa por B y por Q:
m = = = –
y = 5 – (x + 1) 8 11y = 55 – 15x – 15 8 s: 15x + 11y – 40 = 0
84 Dada la recta r : 2x – 3y + 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r res-pecto al eje de abscisas.
• Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (2, 3) y B (5, 5).
• Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (2, –3) y B' (5, –5).
• La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B' :
m = = =
La recta r' es: y = –3 – (x – 2) 8 3y = –9 – 2x + 4 8 2x + 3y + 5 = 0
• De otra forma:
Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respectoal eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al ejeOX, será:
2x – 3(–y) + 5 = 0 8 2x + 3y + 5 = 0
Página 211
85 Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendi-culares, se verifica que aa' + bb' = 0.
• El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0.
• El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0.
• Si las dos rectas son perpendiculares, entonces:
(a, b) · (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0.
86 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector = (a, b) es ortogonala cualquier vector determinado por dos puntos de la recta.
☛ Llama A(x1, y1) y B(x2, y2 ) y haz · . Ten en cuenta que los puntos A yB verifican la ecuación de la recta.
• Si A (x1, y1) pertenece a la recta, entonces ax1 + by1 + c = 0
• Si B (x2, y2) pertenece a la recta, entonces ax2 + by2 + c = 0
• Restando las dos igualdades: a (x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0
8AB
8v
8v
CUESTIONES TEÓRICAS
23
–23
–5 + 33
–5 – (–3)5 – 2
1511
1511
–5(–11/3)
5 – 0(–1) – (8/3)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos54
Esta última igualdad significa que:
(a, b) · (x1 – x2, y1 – y2) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al
vector , siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta.
87 a) ¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el términoindependiente?
b) ¿Y si falta el término en x ?
c) ¿Y si falta el término en y ?
a) La recta pasa por (0, 0).
b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).
c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).
88 Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x1, y1) y
Q(x2, y2) puede escribirse de la forma: = .
Un vector dirección de la recta es = (x2 – x1, y2 – y1) y un punto de la rectaes P (x1, y1).
Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán:
x = x1 + (x2 – x1) t 8 t =
y = y1 + (y2 – y1) t 8 t =
8 = 8 =
o, lo que es lo mismo:
=
89 Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y – 6 = 0 y uno de susvértices es A(–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal.
• Se comprueba que A è s.
• Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r 2 s :
8 –10 + 1 + G = 0 8 G = 9 8 r : 5x – y + 9 = 0°¢£
5x – y + G = 0Como A é r
PARA PROFUNDIZAR
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1
y – y1
x – x1
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
x – x1
x2 – x1
8PQ
y2 – y1
x2 – x1
y – y1
x – x1
8AB
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 55
8UNIDAD
°§§§¢§§§£
8
• M = r » s será el punto medio de las dos diagonales:
8 5 (6 – 5y) – y + 9 = 0 8
8 30 – 25y – y + 9 = 0 8 y = = 8 x = 6 – 5 · =
Luego: M ( , )• M es el punto medio de AC 8 ( , ) = ( , ) 8
8 8 C (–1, 4)
• B y D están en las rectas que equidistan de AC.
Dichas rectas son todos los puntos P (x, y) tales que:
dist (P, r) = =
pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir:
dist (P, r) = = = 8
8 = 8 8
Así:
B = t1 » s : 8
8 30 – 25y – y – 4 = 0 8 y = 1 8 x = 1 ò B (1, 1)
D = t2 » s : 8
8 30 – 25y – y + 22 = 0 8 y = 2 8 x = –4 ò D (–4, 2)
• La longitud de la diagonal será:
| | = | | = √268BD
8AC
°¢£
5x – y + 22 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
°¢£
5x – y – 4 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
t1: 5x – y – 4 = 0t2: 5x – y + 22 = 0
°¢£
5x – y + 9 = 26/25x – y + 9 = –26/2
°¢£
√262
|5x – y + 9|
√26
√262
|(1, 5)|2
—AC2
—AC2
—BD2
°¢£
–3 = –2 + C1 8 C1 = –1
3 = –1 + C2 8 C2 = 4°¢£
–1 + C2
2
–2 + C1
232
–32
32
–32
–32
32
32
3926
°¢£
5x – y + 9 = 0x + 5y – 6 = 0 8 x = 6 – 5y
°¢£
X
C
BD
r
t2 t1
M
A(–2, –1)
s: x + 5y – 6 = 0
Y
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos56
90 De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3, 1) y B(4, 5). Cal-cula los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay?
C y D son puntos de las rectas s y r perpendiculares a AB, y cuyas distan-
cias a B y A, respectivamente, son | |:
• 8 4 + 20 + k = 0 8 k = –24 8
8 s : x + 4y – 24 = 0
• 8 3 + 4 + k' = 0 8 k' = – 7 8
8 r : x + 4y – 7 = 0
• 8 12 – 1 + k" = 0 8 k" = –11 8
8 t : 4x – y – 11 = 0
• C y D son puntos que están en las rectas cuya distancia a AB es | | = .
Sean P (x, y) tales que:
dist (P, t) = =
Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así:
C1 = t1 » s 8
8 96 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 4 8 x = 8 8 C1 (8, 4)
C2 = t2 » s 8
8 96 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 6 8 x = 0 8 C2 (0, 6)
D1 = t1 » r 8
8 28 – 16y – y – 28 = 0 8 y = 0 8 x = 7 8 D1 (7, 0)
4x – y – 28 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y
°¢£
4x – y + 6 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y
°¢£
4x – y – 28 = 0x + 4y – 24 = 0 8 x = 24 – 4y
°¢£
t1: 4x – y – 28 = 0t2: 4x – y + 6 = 0
°¢£
4x – y – 11 = 17 84x – y – 11 = –17 8
°¢£
√17|4x – y – 11|
√17
√178AB
°¢£
8AB = (1, 4) 8 t : 4x – y + k" = 0Como A é t
°¢£
8AB = (1, 4) 8 r : x + 4y + k' = 0Como A é r
°¢£
8AB = (1, 4) 8 s : x + 4y + k = 0Como B é s
8AB
D2 D1A
t
r
sBC2 C1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 57
8UNIDAD
D2 = t2 » r 8
8 28 – 16y – y + 6 = 0 8 y = 2 8 x = –1 8 D2 (–1, 2)
91 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por ex-tremos los puntos A(–3, –2) y C(1, 2). Halla los vértices B y D y el perí-metro del rombo.
• = (4, 4) 8 | | = = 4
Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será:
Perímetro = 4 | | = 16
• Los otros dos vértices están en la perpendicular a por su punto medioM (–1, 0).
8
8 –3 + 2 + k = 0 8 k = 1 8 AC : x – y + 1 = 0
La recta s perpendicular a AC será:
8 –1 + k' = 0 8 k' = 1 8 s : x + y + 1 = 0
Los puntos B y C serán los (x, y) que estén en s y cuya distancia al vérticeA sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 .
(x, y) é s 8 x + y + 1 = 0 8 x = –1 – y
√2
°¢£
s : x + y + k' = 0Como M (–1, 0) é s
°¢£
La recta AC tiene por vector director (1, 1) 8 x – y + k = 0Como, además, A (–3, –2) é recta AC
8AC
√28AC
√2√328AC
8AC
X
B
DA(–3, –2)
C(1, 2)
Y
X
C2
D2
C1
D1
B
A
Y
4x – y + 6 = 0x + 4y – 7 = 0 8 x = 7 – 4y
°¢£
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos58
= 4 8 (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32
8 (2 – y)2 + (y + 2)2 = 32 8 4 + y2 – 4y + y2 + 4 + 4y = 32 8 2y2 = 24 8
8 y2 = 12 8
Luego, los vértices B y C son:
(–1 – 2 , 2 ) y (–1 + 2 , –2 )
92 Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejesun triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay?
• Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación:
y = –2x + k
• Los puntos de corte con los ejes, A y B, son:
Si x = 0 8 y = k 8 A (0, k)
Si y = 0 8 x = 8 B ( , 0)• Así:
Área = = 81 8 k2 = 324 8
Dos soluciones:
r1: y = –2x + 18 y r2: y = –2x – 18
93 Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A(1, 1) y B(5, 1) y sa-bemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x + 1. Calcula los otrosdos vértices. (Hay dos soluciones).
Podemos comprobar que A, B è r.
Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en r y, por tanto, A yB son vértices consecutivos.
Además, un vector dirección de r es = (1, 1), que no es proporcional a = (4, 0).
Por tanto, // 8 los lados AB y CD no son paralelos, luego no son lasbases del trapecio.
Podemos construir dos trapecios:
a) ABC1D1, donde AB es la altura del trapecio:
C1 y D1 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a ABque pasan por B y A, respectivamente.
8AB
8r
8AB
8r
k1 = 18k2 = –18
°¢£
k/2 · k2
k2
k2
√3√3√3√3
√2√(x + 3)2 + (y + 2)2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 59
8UNIDAD
y1 = 2 8 x1 = –1 – 2
y2 = –2 8 x2 = –1 + 2 √3√3
√3√3°§¢§£
A
B
r1r2
• 8 4 + k = 0 8 k = –4 8 t : 4x – 4 = 0 8 t : x = 1
Así: D1 = t » r 8 y = 2 8 D1 (1, 2)
• 8
8 4 · 5 + k = 0 8 k = –20 8
8 s : 4x – 20 = 0 8 s : x = 5
Así: C1 = s » r : 8
8 y = 6 8 C1 (5, 6)
b) ABC2D2, donde C2D2 es la altura del trapecio:
C2 y D2 serán los puntos de corte de r con las rectas perpendiculares a rque pasan por B y C, respectivamente (es decir, C2 y D2 son los pies dedichas perpendiculares).
• 8 1 = –1 + k 8 k = 2 8 t : y = –x + 2
Así: D2 = t » r : 8 –x + 2 = x + 1 8 1 = 2x 8
8 x = 8 y = 8 D2 ( , )• 8 1 = –5 + k 8 k = 6 8 s : y = –x + 6
Así: C2 = s » r : 8 –x + 6 = x + 1 8 5 = 2x 8
8 x = 8 y = 8 C2 ( , )
XB
t s
r
A
D2
Y
C2
72
52
72
52
y = –x + 6y = x + 1
°¢£
°¢£
s 2 r 8 y = –x + kComo B é s
32
12
32
12
y = –x + 2y = x + 1
°¢£
°¢£
t 2 r 8 y = –x + k
Como A é t
XB
t
s r
A
D1
C1
Y
x = 5y = x + 1
°¢£
°¢£
s 28
AB 8 4x + k = 0
Como B (5, 1) é s
x = 1y = x + 1
°¢£
°¢£
t 28
AB 8 4x + k = 0
Como A (1, 1) é t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos60
Página 211
AUTOEVALUACIÓN
1. Se consideran los puntos A(0, 1), B(4, 9) y C(–4, k).
a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos
partes tales que = .
b)Determina k para que el punto C sea el simétrico de B respecto de A.
a) A(0, 1), B(4, 9), C(–4, k)
Sea P (x, y):
= 8 (x, y – 1) = (4 – x, 9 – y) 8 P(1, 3)
b) A debe ser el punto medio de CB.
(0, 1) = , 8 9 + k = 2 8 k = –7
2. Calcula la ecuación de estas rectas:
a) Pasa por A(3, 2) y B(–2, 1), en forma paramétrica e implícita.
b)Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m = , en forma
continua y explícita.
a) Vector dirección = = (5, 1). Vector de posición: (3, 2)
Ecuaciones paramétricas
t = y – 2; x = 3 + 5(y – 2) = 3 + 5y – 10 8 x – 5y + 7 = 0
Ecuación implícita: x – 5y + 7 = 0
b) m = – 8 vector dirección: (3, –1)
Ecuación continua: =
3y = –x 8 y = –
Ecuación explícita: y = –x3
x3
y–1
x3
8d
13
x = 3 + 5t
y = 2 + t
°¢£
8p
8BA
8d
–13
)9 + k2
4 – 42(
°¢£
3x = 4 – x 8 x = 1
3y – 3 = 9 – y 8 y = 3
°¢£
13
8PB
13
8AP
8PB
13
8AP
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 61
8UNIDAD
3. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) Pasa por P(2, –3) y es perpendicular a y = x + 1.
b)Es paralela a 2x + 3y + 1 = 0 y su ordenada en el origen es 2.
a) Una recta perpendicular a la dada tiene pendiente m = . Como ha de pasar porP (2, –3), su ecuación es:
y + 3 = (x – 2) 8 2y + 6 = 5x – 10 8 5x – 2y – 16 = 0
b) Una recta paralela a 2x + 3y + 1 = 0 es 2x + 3y + k = 0.
Como ha de pasar por (0, 2), debe ser k = –6.
La recta buscada es 2x + 3y – 6 = 0.
4. Escribe la ecuación del haz de rectas que pasa por (5, 1) y halla la recta de di-cho haz que pasa por (0, 1).
El haz de rectas que pasa por el punto (5, 1) es a (x – 5) + b (y – 1) = 0
La recta del haz que pasa por (0, 1) es la recta que pasa por (5, 1) y por (0, 1). Portanto, su ecuación es:
= 8 y = 1
5. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y de las rectas r y t, donde:
r : 3x + 5y – 34 = 0 s: y = x t:
• Posición relativa de r y s :
r y s son perpendiculares.
• Posición relativa de r y t :
r y t son secantes.
6. Calcula k para que las rectas r y s formen un ángulo de 60°, siendo r : y = 3;s: y = kx + 1.
La recta r : y = 3 es paralela al eje de abscisas. Así, la tangente del ángulo que for-man r y s coincide con la pendiente de s, que es igual a k. Es decir:
k = √—3
°¢£
tg a = k
tg 60° = √—3
°¢£
Vector dirección de t, 8dt(1, 0)
Vector dirección de r, 8dr(–5, 3)
°¢£
Vector dirección de r, 8dr (–5, 3)
Vector dirección de s, 8ds(3, 5)
x = ky = 2
°¢£
53
y – 10
x5
52
52
–25
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos62
7. Considera los puntos A(0, k) y B(8, 5) y la recta r : 3x + 4y + 1 = 0. Deter-mina el valor de k para que:
a) La distancia entre A y B sea igual a 10.
b)La distancia entre A y r sea 1.
a) dist (A, B ) = = = 10 8
8 k2 – 10k – 11 = 0
b) dist (A, r ) = = = 1 4k + 1 = 5 8 k = 1
4k + 1 = –5 8 k = –3/2
|4k + 1|5
|3 · 0 + 4 · k + 1|
√32 + 42
k = 11
k = –1
√64 + 25 + k2 – 10k√82 + (5 – k )2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 63
8UNIDAD
1
Lugares Geométricos
Ejercicio nº 1.-
Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata?
Ejercicio nº 2.-
Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1).
Ejercicio nº 3.-
¿Cuál es el lugar geométrico cuya suma de distancias a los puntos A(0, 1) y B(0, 1) es 4?. Halla su
ecuación.
Ejercicio nº 4.-
Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales
que su distancia a la recta r1: x y 1 0 sea igual que su distancia a la recta
r2: 2x 2y 4 0.
Ejercicio nº 5.-
Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
r1: x 3y 1 0 y r2: 3x y 4 0.
Ejercicio nº 6.-
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0),
es el triple de su distancia a la recta x 2. Identifica la figura que obtienes.
Ejercicio nº 7.-
Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a
B(1, 0). Identifica la figura resultante.
Ejercicio nº 8.-
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P,
siendo A(2, 1) y B(6, 1). Interpreta la figura que obtienes.
Ejercicio nº 9.-
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante.
2
Ejercicio nº 10.-
Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que:
4: y01, siendo 2,,
, yr A
rPdist
APdist
¿Qué figura obtienes?
Circunferencia
Ejercicio nº 11.-
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 2) y B(1, 4) y tiene su centro en la
recta y 2x.
Ejercicio nº 12.-
Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x 3y 25 0 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 3x y 7 0 y 2x 3y 1 0.
Ejercicio nº 13.-
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 3x 4y
5 0.
Ejercicio nº 14.-
Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 2 que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 2).
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
2x2 2y2 8x 12y 8 0
b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior.
Ejercicio nº 16.-
Halla la posición relativa de la recta r: x y 2 con respecto a la circunferencia
x2 y
2 2x 4y 1 0
3
Ejercicio nº 17.-
nciacircunfere la y3
48 recta la de relativ a posición la Estudia
xy
x2 y2 12x 6y 20 0.
Ejercicio nº 18.-
Halla la posción relativa de la recta 3x 4y 25 0 con respecto a la circunferencia
x2 y2 25 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas.
Ejercicio nº 19.-
Estudia la posición relativa de la recta r: 2x y 1 y la circunferencia
x2 y
2 4x 2y 4 0.
Ejercicio nº 20.-
Obtén el valor de k para que la recta s: x y k 0 sea tangente a la circunferencia
x2 y2 6x 2y 6 0.
Cónicas
Ejercicio nº 21.-
Identifica estas cónicas, halla sus elementos y dibújalas:
04b)1
25
1
36a) 2
22
xyyx
Ejercicio nº 22.-
Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas:
a) 4x2 25 y2 100 b) 4y2 x2 4
Ejercicio nº 23.-
Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad:
1
4925b)1
416
2a)
2222
yxyx
4
Ejercicio nº 24.-
Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos y represéntalas gráficamente:
99b)1
9
2
16
1a) 22
22
xyyx
Ejercicio nº 25.-
Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas y represéntalas gráficamente:
500210025b)194
a) 2222
yxxy
Ejercicio nº 26.-
Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola y halla sus semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Ejercicio nº 27.-
Halla el foco, la directriz y la ecuación de la siguiente parábola:
5
Ejercicio nº 28.
Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Ejercicio nº 29.-
Escribe la ecuación de la siguiente elipse y halla sus semiejes, sus focos y su excentricidad:
Ejercicio nº 30.-
Halla los semiejes, los focos y la excentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:
6
Soluciones ejercicios de Lugares Geométricos
Ejercicio nº 1.-
Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata?
Solución:
Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, Q) 3, es decir:
:operamos y cuadrado al Elevamos 34222
.yx
01184942 2222 yxyxyx
Ejercicio nº 2.-
Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1).
Solución:
Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:
dist (P, A) dist (P, B), es decir:
22221432 yxyx
Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:
010444
121689644 2222
yxyx
yyxxyyxx
Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.
Ejercicio nº 3.-
¿Cuál es el lugar geométrico cuya suma de distancias a los puntos A(0, 1) y B(0, 1) es 4?. Halla su
ecuación.
Solución:
Es una elipse de focos A y B y constante k 4. Hallamos su ecuación:
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, A) dist (P, B) 4, es decir:
4112222 yxyx
Elevamos al cuadrado y operamos para simplificar:
7
222222
222222
2222
18121612
181161
141
yxyyxyyx
yxyxyx
yxyx
1684844
4124
412
16418
222
222
22
22
yyyyx
yyyx
yyx
yyx
:12 entre Dividimos 1234 22 .yx
elipse. una Es .14312
12
12
3
12
4 2222
yxyx
Ejercicio nº 4.- Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales
que su distancia a la recta r1: x y 1 0 sea igual que su distancia a la recta
r2: 2x 2y 4 0. Solución: Las dos rectas dadas,
r1: x y 1 0 y r2: x y 2 0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas:
Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, r1) dist (P, r2), es decir:
2
2
2
1
yxyx
Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.
8
Ejercicio nº 5.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
r1: x 3y 1 0 y r2: 3x y 4 0. Solución: Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:
dist (P, r1) dist (P, r2), es decir:
10
43
10
13
yxyx
Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r1 y r2. Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0),
es el triple de su distancia a la recta x 2. Identifica la figura que obtienes. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
:decir es , 23 x,PdistA,Pdist
:operamos y cuadrado al Elevamos . 231 22 xyx
hipérbola. una Es . 035348
3636912
44912
22
222
222
xyx
xxyxx
xxyxx
Ejercicio nº 7.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a
B(1, 0). Identifica la figura resultante. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
:decir es , 2 B,PdistA,Pdist
:operamos y cuadrado al Elevamos . 122 2222yxyx
9
2. radio y 02 centro de nciacircunfere una Es . 42
04
01233
448444
12444
22
22
22
2222
2222
,yx
xyx
xyx
yxxyxx
yxxyxx
Ejercicio nº 8.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P,
siendo A(2, 1) y B(6, 1). Interpreta la figura que obtienes. Solución: Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que:
016120 y,xy,xPBPAPBPA
:decir es ; 01124
0216212
0162
22
22
2
yxyx
yyxxx
yxx
161222 yx
Obtenemos una circunferencia de centro (2, 1) (que es el punto medio del segmento AB) y de radio 4. Ejercicio nº 9.-
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Solucion: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:
:decir es ; 4022 B,PdistA,Pdist
4
822
40168168
4044
22
22
2222
2222
yx
yx
yxxyxx
yxyx
Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
10
Ejercicio nº 10.- Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que:
4: y01, siendo 2,,
, yr A
rPdist
APdist
¿Qué figura obtienes? Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
r,PdistA,Pdist,rP,dist
AP,dist 2 :decir es2
:operamos y cuadrado al Elevamos . 421 22 yyx
hipérbola. una Es . 0633223
6432412
168412
22
222
222
yxyx
yyyxx
yyyxx
Circunferencia
Ejercicio nº 11.-
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 2) y B(1, 4) y tiene su centro en la
recta y 2x. Solución:
Si tiene su centro en la recta y 2x, las coordenadas de este son C(x, 2x). La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la circunferencia):
dist (A, C) dist (B, C)
2222421221 xxxx
x2 2x 1 4x2 8x 4 x2 2x 1 4x2 16x 16
12x 12 x 1 y 2
El centro de la circunferencia es C(1, 2).
24, :es radio El CAdistr
La ecuación será:
(x 1) 2 (y 2) 2 4 x2 y2 2x 4y 1 0
11
Ejercicio nº 12.-
Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x 3y 25 0 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 3x y 7 0 y 2x 3y 1 0. Solución:
Hallamos su centro:
017332
73
0132
073
xx
xy
yx
yx
2x 9x 21 1 0 11x 22 x 2 y 1
El centro es C(2, 1).
El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente:
45
20
25
2538,
rCdistR
La ecuación será:
(x 2)2 (y 1) 2 16 x2 y2 4x 2y 11 0
Ejercicio nº 13.-
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 3x 4y
5 0. Solución:
El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada:
5
23
25
5126
r,CdistR
La ecuación será:
025
20464
25
52932 2222
yxyxyx
25x2 25 y2 100x 150y 204 0
12
Ejercicio nº 14.- Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 2 que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 2). Solución:
El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de extremos A(1, 0) y B(3, 2):
122
20
2
31 y de medio Punto ,,MBA
12
2
13
02 y por pasa que recta la de Pendiente
mBA
11
11ular)(perpendic mediatriz la de Pendiente
m
Ecuación de la mediatriz:
y 1 1(x 2) y 1 x 2 y 3 x
Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(x, 3 x). La distancia del centro a los puntos A y B debe ser igual a 2:
231,22 xxCAdist
x2 2x 1 9 6x x2 4 2x2 8x 6 0 x2 4x 3 0
21
03
2
24
2
44
2
12164
yx
yxx
Hay dos soluciones:
Centro (3, 0) y radio 2:
(x 3)2 y2 4 x2 y2 6x 5 0
Centro (1, 2) y radio 2:
(x 1)2 (y 2)2 4 x2 y2 2x 4y 1 0
Ejercicio nº 15.- a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
2x2 2y2 8x 12y 8 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior. Solución:
a) 2x2 2y2 8x 12y 8 0 x2 y2 4x 6y 4 0
13
3,22
6,
2
4
Centro
39494 Radio
b) La circunferencia tiene radio 5 y centro (2, 3). Su ecuación será:
(x 2) 2 (y 3) 2 25 x2 y2 4x 6y 12 0
Ejercicio nº 16.-
Halla la posición relativa de la recta r: x y 2 con respecto a la circunferencia
x2 y
2 2x 4y 1 0
Solución:
Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
212
4
2
2 Centro
,,C
24141 Radio R
Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
radio 25332
5
11
221
,r,Cdist
Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia. Ejercicio nº 17.-
nciacircunfere la y3
48 recta la de relativ a posición la Estudia
xy
x2 y2 12x 6y 20 0. Solución:
Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
3,62
6,
2
12
CCentro
52520936 rRadio
Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
08344833
48:
yxxy
xys
radiosCdist
55
25
25
8924,
Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia.
14
Ejercicio nº 18.-
Halla la posción relativa de la recta 3x 4y 25 0 con respecto a la circunferencia
x2 y2 25 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Solución:
Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema:
0254
325
4
325
02543
0252
2
22
xx
xy
yx
yx
040091506251602516
9150625 222
2 xxxxx
x
Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes.
Ejercicio nº 19.-
Estudia la posición relativa de la recta r: 2x y 1 y la circunferencia
x2 y
2 4x 2y 4 0.
Solución:
Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
122
2
2
4 Centro ,,C
39414 Radio R
Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
radio 37915
4
14
1122
,r,Cdist
Por tanto, la circunferencia y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos. Ejercicio nº 20.-
Obtén el valor de k para que la recta s: x y k 0 sea tangente a la circunferencia
x2 y2 6x 2y 6 0. Solución:
Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
x2 y2 6x 2y 6 0
15
1,32
2,
2
6
CCentro
24619 rRadio
Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
2
4
2
13,
kksCdist
Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:
224224
2242242242
2
4
kk
kkk
k
224;224 :soluciones dosHay 21 kk
Cónicas
Ejercicio nº 21.- Identifica estas cónicas, halla sus elementos y dibújalas:
04b)1
25
1
36a) 2
22
xyyx
Solución:
a) Es una elipse de centro P(0, 1).
Semieje mayor: 6; semieje menor: 5
1,11' y 11,11 :Focos FF
55,06
11 :dadExcentrici
b) y2 4x 0 y2 4x
16
1 :Directriz
0,1 :Foco
0,0 :Vértice
:parábola una Es
x
Ejercicio nº 22.- Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas:
a) 4x2 25 y2 100 b) 4y2 x2 4 Solución:
1425
100254a)22
22 yx
yx
9205
21dadExcentrici
021 y 021 :Focos
2 :menor Semieje
5 :mayor Semieje
:elipse una Es
,
,'F,F
14
44yb)2
222 x
yx
17
xy;xy
,
,'F,F
2
1
2
1 :Asíntotas
2421
5dadExcentrici
50 y 50 :Focos
1 :Semieje
:hipérbola una Es
Ejercicio nº 23.- Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad:
1
4925b)1
416
2a)
2222
yxyx
Solución:
a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).
0,522' y 0,522 :son focos Los FF
12,12
5
4
52 :es dadexcentrici La e
22
1;2
2
1 :son asíntotas Las
xyxy
18
707
24dadExcentrici
240 y 240 :Focos
5 :menor Semieje
7 :mayor Semieje
:elipse una Es
)b
,
,'F,F
Ejercicio nº 24.- Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos y represéntalas gráficamente:
99b)1
9
2
16
1a) 22
22
xyyx
Solución:
a) Es una elipse de centro P(1, 2).
Semieje mayor: 4; semieje menor: 3
2,71' y 2,71 :Focos FF
66,04
7 :dadExcentrici
119
99b)22
22 xy
xy
19
xy;xy
,
,'F,F
33 :Asíntotas
0513
10dadExcentrici
100 y 100 :Focos
3 :Semieje
:hipérbola una Es
Ejercicio nº 25.- Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas y represéntalas gráficamente:
500210025b)194
a) 2222
yxxy
Solución:
a) Es una hipérbola.
Semieje: 2
13,0' y 13,0 Focos: FF
8,12
13 :dadExcentrici
xyxy3
2;
3
2 :Asíntotas
125100
500210025b)22
22 yx
yx
20
87010
35 :dadExcentrici
035 y 035 :Focos
5 :menor semieje ;10 :mayor Semieje
:elipse una Es
,
,'F,F
Ejercicio nº 26.- Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola y halla sus semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Solución:
149
:Ecuación22
yx
Semieje: 3
0,13' y 0,13 :Focos FF
2,13
13 :dadExcentrici
xyxy3
2;
3
2 :Asíntotas
Ejercicio nº 27.- Halla el foco, la directriz y la ecuación de la siguiente parábola:
21
Solución:
Directriz: x 1. Foco (1, 0).
Ecuación: y2 4x Ejercicio nº 28. Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:
Solución:
194
:Ecuación22
xy
Semieje: 2
13,0' y 13,0 :Focos FF
8,12
13 :dadExcentrici
xyxy3
2;
3
2 :Asíntotas
Ejercicio nº 29.- Escribe la ecuación de la siguiente elipse y halla sus semiejes, sus focos y su excentricidad:
22
Solución:
1
4
2
9
3 :Ecuación
22
yx
Semieje mayor: 3; semieje menor: 2
2,53' y 2,53 :Focos FF
75,03
5 :dadExcentrici
Ejercicio nº 30.- Halla los semiejes, los focos y la excentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:
Solución: Semieje mayor: 4; semieje menor: 2
12,0' y 12,0 :Focos FF
87,04
12 :dadExcentrici
1164
:Ecuación22
yx