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Menu de hoyMenu de hoy Continuamos con campos Continuamos con campos Eléctricos de distribuciones de Eléctricos de distribuciones de carga continua carga continua Flujo EléctricoFlujo Eléctrico Ley de GaussLey de Gauss Aplicaciones de la ley de GaussAplicaciones de la ley de Gauss Conductores en EquilibrioConductores en Equilibrio
22
Flujo Flujo EléctricoEléctricoEl flujo eléctrico, , a través de una superficie es definida como el
producto escalar de y es un vector perpendicular a la superficie con una magnitud igual a el área superficial. Esto es cierto para un campo eléctrico uniforme.
A = A cosθ así E = EA = EA cosθ E = EA
Área A
EA´ = A cos θ
A
θ
Normal
E
θ
33
¿Qué pasa cuando el campo eléctrico no es uniforme y la superficie no es plana?
Entonces dividimos la superficie en pequeños elementos y sumamos el flujo a través de cada elemento.
E i ii
E d A E d A
Unidades: N.m2 C-1
El flujo eléctrico da el número de líneas que cruzan una superficie.
E
E
EdAi
44
Una superficie cerrada encierra completamente un volumen. Pero sobre dirección ambigua de A. Define a el punto exterior así el flujo saliendo del volumen encerrado es positivo y el flujo que entra es negativo.
Flujo Eléctrico para una superficie Flujo Eléctrico para una superficie cerrada.cerrada.
SE AdE
2
1
θi EΔAi
3
θi
E
ΔAi
12
ΔAi
Eθi
3
55
Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcule el flujo eléctrico a través de un cilindro con un eje paralelo a la dirección del campo eléctrico.
1. La superficie curvada tiene flujo cero a través de él entonces E es perpendicular a dA ahí. 2. Para las tapas, las superficies son perpendiculares a E, y E y A son paralelos. Así el flujo a través de la tapa izquierda (en el cilindro) es –EA, mientras el flujo a través de la tapa derecha (fuera de el cilindro) es +EA. Por lo tanto el flujo neto a través del cilindro es cero.
AE
66
Ley de GaussLey de Gauss
Relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerradaCon la carga dentro Qin dentro de tal superficie.
La ley de Gauss es usada para obtener el campo eléctrico.Solamente útil para situaciones donde la distribución de carga es
simple o posee alto grado de simetría.
0
in
SE
QAdE
77
Seleccione una superficie Gaussiana con la Seleccione una superficie Gaussiana con la simetría que se adapte a la distribución de cargasimetría que se adapte a la distribución de carga
Dibujar la superficie Gaussiana tal que el campo Dibujar la superficie Gaussiana tal que el campo eléctrico es constante o cero en todos los puntos eléctrico es constante o cero en todos los puntos de la superficie Gaussianade la superficie Gaussiana
Usar la simetría para determinar la dirección de Usar la simetría para determinar la dirección de EE sobre la superficie Gaussianasobre la superficie Gaussiana
Evaluar la integral de superficie (flujo eléctrico)Evaluar la integral de superficie (flujo eléctrico)
Determine la carga dentro de la superficie Determine la carga dentro de la superficie GaussianaGaussiana
Encuentre Encuentre EE
Haciendo uso de la Ley de GaussHaciendo uso de la Ley de Gauss
88
Ejemplo Ejemplo 22
Use la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q.
qr dA
Elegimos una superficie Gaussiana que es una esfera de radio r centrada sobre la carga puntual. Si la carga es positiva el campo apunta radialmente hacia afuera
por simetría y en todas partes es perpendicular a la superficie Gaussiana
E dA E dA
La simetría nos dice que el campo es constante sobre la superficie Gaussiana. La ley de gauss da:
E
00
in
SS
qQEdAAdE
2e200
2
SS r
qk
r
q
4
1EHence:
q)r4(EdAEEdA
99
Ejemplo 3Ejemplo 3Ulna esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q positiva. Calcule el campo eléctrico fuera de la esfera. • La distribución de carga es
esféricamente simétrica así seleccionamos una superficie Gaussiana esférica de radio r > a centrada sobre la esfera cargada. • La esfera cargada positivamente significa que el campo esta dirigido radialmente hacia afuera.•Sobre la esfera Gaussiana E es siempre paralelo a dA, y es constante.
Q
arE
dA
2
S S1.- Para el lado izquierdo : E dA= EdA=E dA=E(4 r )
0 0
2. Lado derecho: inQ Q
2
2 20 0
13.- E(4 r )= o E=
4 e
Q Q Qk
r r
1010
Ejemplo 3 continuaciónEjemplo 3 continuación
a
Q
Encontrar el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera• Seleccionamos una superficie esférica Gaussiana con radio r < a. • La simetría de la distribución de carga significa que podemos simplemente evaluar el lado izquierdo de la ley de Gauss justo como antes.
r
Pero la carga dentro de la esfera Gaussiana no es mas grande que Q. Si llamamos el volumen de la esfera Gaussiana V’ entonces
3
2
0 0
43.- 4
3inQ r
E r
34
2.- Lado derecho: 3inQ V r
3
3 3230 00
4 1 pero asi
43 43 43
e
r Q Q QE r E r k r
a ar a
21..Lado izquierdo : (4 )S S S
E dA EdA E dA E r
1111
Ejemplo 3 continuaciónEjemplo 3 continuación
2
3
hayamos que para
y para
e
e
r a
QE k
rr a
k QE r
a
a
QE
ra
1212
Ejemplo 4Ejemplo 4
l
r
La simetría aquí sugiere elegir una superficie Gaussiana cilíndrica que es coaxial con la línea de carga. La simetría también dicta que el campo es perpendicular a la línea de carga y esta dirigida hacia afuera.
E
0 0
1.- Lado derecho: inQ l
0 0
2 o 2
lE rl E
r
No hay flujo en las tapas!
Encontrar el campo eléctrico a una distancia r de un alambre infinitamente largo con una carga positiva por unidad de longitud λ.
λ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
sup cilind sup cilind2. Lado izquierdo : (2 )
SE dA EdA E dA E rl
1313
Ejemplo 5Ejemplo 5Anteriormente establecimos que cualquier carga sobre un conductor debe residir sobre su superficie, y que el campo eléctrico fuera justamente fuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie ( y tiene una magnitud σ/ε0). Use la ley de Gauss para demostrar esto.
Para un conductor de forma arbitraria podemos dibujar una superficie Gaussiana dentro del conductor. Entonces hemos mostrado que el campo eléctrico dentro de un conductor aislado es cero, el campo en todo punto sobre la superficie Gaussiana debe ser cero.
De la ley de Gauss podemos concluir que la carga neta dentro de la superficie Gaussiana es cero. Entonces la superficie Gaussiana puede hacerse arbitrariamente cercana a la superficie del conductor, cualquier carga neta debe residir sobre la superficie del conductor.
0
in
S
QAdE
+
++
++
+ + ++++
++++
++++
++
Superficie Gaussiana
1414
Ejemplo 5 continuaciónEjemplo 5 continuaciónPodemos también usar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico justo fuera de la superficie de un conductor cargado. Suponemos que la densidad de carga es σ.
Entonces el campo dentro del conductor es cero no hay flujo a través de la cara del cilindro dentro del conductor. Si E tuviera una componente tangencial a el cilindro entonces las cargas libres deberian moverse bajo la acción del campo creando corrientes superficiales. Así E es perpendicular a la superficie del conductor, y el flujo a través de la superficie cilíndrica debe ser cero. Consecuentemente el flujo neto a través del cilindro es EA y la ley de Gauss da:
0 0 0
oinE
Q AEA E
++++++++
++++
+++
++++
+E
A
1515
Ejemplo 6Ejemplo 6Ulna cáscara esférica conductora de radio interno a y radio externo b con una carga neta -Q esta centrada sobre una carga puntual +2Q. Use la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en todo punto, y determine la distribución de carga sobre la cáscara esférica.
Primero encontrar el campo para 0 < r < aEsto es lo mismo como en el ejemplo 2 y es el
campo debido a una carga puntual con carga +2Q.
2
2e
QE k
r
a
b
-Q
Encontrar el campo para a < r < bEl campo debe ser cero dentro del conductor en equilibrio.
Así de la ley de Gauss Qin es cero. Hay una + 2Q de la carga puntual asi debemos tener Qa = -2Q sobre la superficie interna de la cáscara esférica.
Entonces la carga neta sobre la cáscara es -Q podemos obtener la carga sobre la superficie externa de Qnet = Qa + Qb. Qb= Qnet - Qa = -Q - (-2Q) = + Q.
+2Q
1616
Ejemplo 6 continuaciónEjemplo 6 continuación
a
b
-Q
+2Q
Encontrar el campo para r > bLa simetría del problema significa que el campo en esta región es radial y en todo punto perpendicular a la superficie gaussiana esférica. Además, el campo tiene el mismo valor en todo punto sobre la superficie Gaussiana, entonces la solución procede exactamente como en el ejemplo 2, pero Qin=2Q-Q.
La Ley de Gauss ahora da:
22 2
0 0 0 0
2 14 or
4in
e
Q Q Q Q Q QE r E k
r r
)r4(EdAEEdAAdE 2
SSS
1717
ResumenResumen
Dos métodos para calcular el campo Dos métodos para calcular el campo eléctrico Ley de Coulomb y Ley de eléctrico Ley de Coulomb y Ley de Gauss.Gauss.
Ley de Gauss: Fácil, método elegante Ley de Gauss: Fácil, método elegante para distribuciones de carga simetricas.para distribuciones de carga simetricas.
Ley de Coulomb: Otros casos.Ley de Coulomb: Otros casos. Ley de Gauss y Ley de Coulomb son Ley de Gauss y Ley de Coulomb son
equivalentes para campos eléctricos equivalentes para campos eléctricos producidos por cargas estáticasproducidos por cargas estáticas