1. funciones_básico

2 CAPÍTULO 6 Funciones

6.1Funciones y sus propiedadesAprenderá acerca de...■ La definición y notación de

función

■ El dominio y rango

■ La continuidad

■ Funciones crecientes y funciones decrecientes

■ El acotamiento

■ Los extremos locales y absolutos

■ La simetría

■ Las asíntotas

■ El comportamiento en losextremos

. . . porqueLas funciones y las gráficas forman la base para la compren-sión de la matemática y sus apli-caciones, que verá tanto en sutrabajo como en el trabajo de suscursos universitarios.

En esta sección presentaremos la terminología que se utiliza, en todo el texto,para describir funciones. Siéntase en libertad de hacer un examen superficial alas partes con las que ya esté familiarizado, pero dedique el tiempo necesariopara asimilar los conceptos que podrían ser nuevos para usted (como continuidady simetría). Incluso si tarda varios días en cubrir esta sección, será un tiempo bienempleado en precálculo.

Definición y notación de función

La matemática y sus aplicaciones abundan en ejemplos de fórmulas mediante lascuales cantidades variables se relacionan unas con otras. El lenguaje y la notaciónde funciones son ideales para ese propósito. En realidad, una función es un con-cepto sencillo; si no lo fuera, la historia lo hubiese reemplazado con otro más fácilde usar. A continuación se define una función.

Existen muchas formas de ver las funciones. Una de las más útiles intuitivamente esel concepto de “máquina” (figura 6.1), en el que los valores del dominio (x) se intro-ducen a la máquina (la función f) para producir valores del rango (y). Para indicarque y proviene de la función que actúa sobre x, utilizamos la elegante notación defunción de Euler y � f (x) (que se lee “y es igual a f de x” o “el valor de f en x”).Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.

También, una función puede verse como una asignación o transformación de loselementos del dominio en elementos del rango. La figura 6.2a muestra una funciónque asigna elementos del dominio X en elementos del rango Y. La figura 6.2bmuestra otra asignación, pero ésta no es una función, ya que la regla no asignaal elemento x1 a un único elemento de Y.

FIGURA 6.1 Un diagrama de la“máquina” para una función.

x

f

f (x)

UN POCO DE HISTORIA

La palabra función, en su sentidomatemático, por lo general, se leatribuye a Gottfried Leibniz (1646-1716), uno de los pioneros en losmétodos del cálculo. Su cuidado en laclaridad de la notación es una de susgrandes contribuciones al progresocientífico, por lo cual seguimosutilizando su notación en los cursosde cálculo actuales. Irónicamente, nofue Leibniz sino Leonhard Euler(1707-1783) quien introdujo laconocida notación f(x).

DEFINICIÓN Función, dominio y rango

Una función de un conjunto D a un conjunto R es una regla que asigna a ca-da elemento de D un elemento único en R. El conjunto D de todos los va-lores de entrada es el dominio de la función, y el conjunto R de todosvalores de salida es el rango de la función.

FIGURA 6.2 El diagrama en a) muestra una transformación de X a Y que es una fun-ción. El diagrama en b) muestra una transformación de X a Y que no es una función.

a) b)

Una función

Dominio

X XY Y

Rango

No es función

y2 y2

y4y1 y1

y3 y3

x2 x2

x1 x1

x3 x3x4

x4

Esta unicidad del valor del rango es muy importante para nosotros cuando estudia-mos el comportamiento de la función. Saber que f (2) � 8 revela algo acerca de f,y esa comprensión sería contradictoria si después descubriésemos que f (2) � 4.Por ello nunca encontrará una función definida por medio de fórmulas ambiguascomo f (x) � �2.

EJEMPLO 1 Definición de una función¿La fórmula y � x2 define a y como una función de x?

SOLUCIÓN Sí, y es una función de x. De hecho, podemos escribir la fórmulaen notación funcional: f(x) � x2. Al sustituir un número x en la función, el cuadra-do de x será la salida, y no hay ambigüedad acerca de lo que es el cuadrado de x.

Otra forma útil de ver a las funciones es de manera gráfica. La gráfica de la fun-ción y � f (x) es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)), x en el dominio de f.Colocamos los valores del dominio a lo largo del eje x con los valores de su rangoen el eje y para obtener parejas ordenadas que producen la gráfica de y � f(x).

EJEMPLO 2 Visualización gráfica de una funciónDe las tres gráficas que se muestran en la figura 6.3, ¿cuál no es la gráfica de unafunción?

SOLUCIÓN La gráfica en c) no es la gráfica de una función. En la gráfica, haytres puntos con abscisa igual a 0, por lo que la gráfica no asigna un valor único a0. (En realidad, podemos ver que hay una gran cantidad de números entre �2 y2 para los cuales la gráfica asigna varios valores). Las otras dos gráficas no tienenproblema ya que ninguna recta vertical interseca a la gráfica en más de un punto.Las gráficas que satisfacen este criterio (prueba) de la recta vertical son las grá-ficas de funciones.

SECCIÓN 6.1 Funciones y sus propiedades 3

FIGURA 6.3 Una de éstas no es la gráfica de una función (ejemplo 2).

[–4.7, 4.7] por [–3.3, 3.3]c)

[–4.7, 4.7] por [–3.3, 3.3]

b)[–4.7, 4.7] por [–3.3, 3.3]

a)

Prueba (criterio) de la recta vertical

Una gráfica (conjunto de puntos (x, y)) en el plano xy define a y como unafunción de x si, y sólo, si ninguna recta vertical interseca a la gráfica en másde un punto.

Dominio y rango

Comúnmente definiremos en forma algebraica a las funciones, dando explícita-mente la regla en términos de la variable del dominio. Sin embargo, la regla nocontaría toda la historia sin alguna consideración acerca lo que en realidad es eldominio.

Por ejemplo, podemos definir el volumen de una esfera como una función de suradio mediante la fórmula

V(r) � �43

� �r3 (Observe que esto es “V de r”— no “V • r”).

Esta fórmula está definida para todos los números reales, pero la función volumenno está definida para valores negativos de r. Por lo que, si nuestra intención fueseestudiar la función volumen, restringiríamos el dominio a todas las r 0.

EJEMPLO 3 Determinación del dominio de unafunción

Determine el dominio de cada una de estas funciones:

a) f �x� � �x�� 3�

b) g�x� � �x��

x�5

�

c) A�s� � ��3��4�s2, donde A(s) es el área de un triángulo equilátero con lados delongitud s.

SOLUCIÓNResuelva algebraicamente

a) La expresión dentro de un radical no puede ser negativa. Hacemos x � 3 0 yresolvemos para determinar que x �3. El dominio de f es el intervalo [�3, �).

b) La expresión dentro de un radical no puede ser negativa; por lo tanto x 0.Además, el denominador de una fracción no puede ser cero, por lo tanto x 5.El dominio de g es el intervalo [0, �) quitando el número 5, que puedeescribirse como la unión de dos intervalos: [0, 5) � (5, �).

c) La expresión algebraica tiene como dominio a todos los números reales, peroel comportamiento que se está modelando restringe a s de ser negativa. Eldominio de A es el intervalo [0, �).

Respalde geométricamente

Podemos respaldar nuestras respuestas en a) y b) de forma gráfica, ya que lacalculadora no traza puntos donde la función está indefinida.

a) Observe que la gráfica de y � �x�� 3� (figura 6.5a) sólo muestra puntos parax �3, como se esperaba.

continúa


¿QUÉ HAY ACERCA DE LOS DATOS?

Cuando pasamos de un modelonumérico a uno algebraico, confrecuencia utilizamos una funciónpara aproximar parejas de datos quepueden violar nuestra definición defunción. En la figura 6.4 podemosver que varias parejas de puntos dedatos no satisfacen el criterio de larecta vertical, pero aun así la funciónlineal aproxima muy bien los datos.

NOTA

El símbolo “�” se lee “unión”.Significa que los elementos de los dosconjuntos se combinan para formarun conjunto.

Convención

A menos de que se trate con un modelo (como el volumen) que necesite undominio restringido, supondremos que el dominio de una función definidamediante una expresión algebraica es el mismo que el dominio de la expre-sión algebraica, el dominio implícito. Para modelos, utilizaremos un domi-nio que se ajuste a la situación, el dominio relativo.

FIGURA 6.4 Los puntos de los datosno satisfacen el criterio de la recta vertical, pero son aproximados medianteuna función lineal.

[–1, 10] por [–1, 11]

b) La gráfica de y � �x��x � 5� (figura 6.5b) sólo muestra puntos para x 0, como se esperaba, pero muestra una recta no esperada que cruza el eje x en x � 5. Esta recta, una forma de falla del graficador descrita en la sección an-terior, no debería estar allí. Ignorándola, vemos que 5, como se esperaba, noestá en el dominio.

c) La gráfica de y � ��3��4�s2 (figura 6.5c) muestra el dominio no restringido dela expresión algebraica: todos los números reales. La calculadora no tiene for-ma de saber que s es la longitud de un lado de un triángulo.

Con frecuencia, determinar de forma algebraica el rango de una función es muchomás difícil que determinar el dominio, aunque de forma geométrica las cosas se venmuy similares. Para determinar el dominio buscamos todas las coordenadas x(abscisas) que correspondan a puntos en la gráfica, y para determinar el rango, bus-camos todas las coordenadas y (ordenadas) que correspondan a puntos en la gráfi-ca. Un buen método es utilizar de manera simultánea los dos enfoques, algebraicoy gráfico, como mostramos en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4 Determinación del rango de una funciónDetermine el rango de la función f �x� � �

2x

� .

SOLUCIÓN

Resuelva gráficamente La gráfica de y � �2x

� se muestra en la figura 6.6.

Parece que x � 0 no está en el dominio (como se esperaba, ya que el denominadorno puede ser cero). También parece que el rango consiste en todos los númerosreales excepto el cero.

continúa


NOTACIÓN FUNCIONAL

Un graficador común no utiliza lanotación de función. Así que lafunción f (x) � x2 � 1 se introducecomo y1 � x2 � 1. En algunosgraficadores puede evaluar f en x � 3introduciendo y1(3) en la pantallaprincipal. Por otra parte, en otrosgraficadores y1(3) significa y1 * 3.

FIGURA 6.5 Respaldo gráfico de las soluciones algebraicas del ejemplo 3. La recta vertical enb) debe ignorarse ya que resulta de una falla en el graficador. Los puntos en c) con coordenadas xnegativas deben ignorarse, ya que la calculadora no sabe que x es una longitud (pero nosotros sí).

[–10, 10] por [–4, 4]

c)

[–10, 10] por [–4, 4]

b)

[–10, 10] por [–4, 4]

a)

[–5, 5] por [–3, 3]FIGURA 6.6 La gráfica de y � 2/x. ¿y 50 está en el rango?

Confirme algebraicamente

Confirmamos que 0 no está en el rango al tratar de resolver 2/x � 0:

�2x

�¬� 0

2¬� 0 • x

2¬� 0

Como la ecuación 2 � 0 nunca es verdadera, 2/x�0 no tiene soluciones, y portanto y � 0 no está en el rango. Pero, ¿cómo sabemos que todos los demásnúmeros reales están en el rango? Supongamos que k es cualquier número real eintentamos resolver 2/x � k:

�2x

�¬� k

2¬� k • x

x¬� �2k

�

Como puede ver, esta vez no hay problema para encontrar una x, de modo que 0es el único número que no está en el rango de f. Escribimos el rango (��, 0) �(0, �).

Puede ver que esto es considerablemente más complicado que determinar el domi-nio, pero en este punto estamos obstaculizados por no tener muchas herramientascon las cuales analizar el comportamiento de la función.

Continuidad

Una de las propiedades más importantes de la mayoría de las funciones que mode-lan comportamiento del mundo real, es que son continuas. Desde el punto de vistagráfico, una función es continua en un punto si la gráfica no se separa en ese pun-to. Podemos ilustrar el concepto con unas cuantas gráficas (figura 6.7).


FIGURA 6.7 Algunos puntos de discontinuidad.

y

x

Discontinuidad infinita

a

y

x

Discontinuidad de salto

a

y

x

Discontinuidad removible

a

y

x


f (a)

a

y

x

Continua en toda x

Veamos cada uno de estos casos individualmente.

Esta gráfica es continua en todas partes. Observe quela gráfica no se rompe. Esto significa que si estamosestudiando el comportamiento de la función f para va-lores de x cercanos a cualquier número real particulara, podemos estar seguros que los valores f (x) seráncercanos a f (a).

Esta gráfica es continua en todas partes, excepto en el“agujero” en x � a. si estamos estudiando el compor-tamiento de esta función f para valores x cercanos a a,no podemos asegurar que los valores f (x) serán cer-canos a f (a). En este caso, f (x) es menor que f (a) parax cerca de a. Ésa se denomina discontinuidad removi-ble, ya que puede “remendada” redefiniendo f (a) demodo que desaparezca el agujero.

Esta gráfica también tiene una discontinuidad removi-ble en x � a. Si estamos estudiando el comportamien-to de esta función f para valores x cercanos a a, noaseguramos que los valores f (x) serán cercanos a f (a),ya que en este caso f (a) ni siquiera existe. Es removi-ble, ya que podríamos definir f (a) de tal manera que setape el agujero y haga que f sea continua en a.

Aquí está una discontinuidad que no es removible. Esuna discontinuidad de salto, ya que es más que unagujero en x � a; hay un salto en los valores de la fun-ción que forma un espacio imposible de llenar con unsolo punto (a, f (a)), independientemente de cómo trate-mos de redefinir f (a).

Ésta es una función con una discontinuidad infinita enx � a. Definitivamente no es removible.

El sencillo concepto geométrico de una gráfica rota en un punto es una de esas no-ciones visuales que son muy difíciles de comunicar de manera precisa en el lengua-je del álgebra. El concepto clave de las figuras parece ser que queremos que elpunto (x, f (x)) se deslice suavemente en el punto (a, f (a)) sin perderlo, desde algu-na dirección. Esto sólo requiere que f (x) se aproxime a f (a) como un límite cuan-do x se aproxima a a. Una función f es continua en x � a si lím

x→af (x) � f (a). Una

función f es discontinua en x � a, si no es continua en x � a.


y

x

Continua en toda x

y

x


f (a)

a

y

x


a

y

x

Discontinuidad de salto

a

y

x

Discontinuidad infinita

a

EJEMPLO 5 Identificación de puntos dediscontinuidad

Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones quesean discontinuas en x � 2? ¿Alguna de las discontinuidades es removible?

SOLUCIÓN La figura 6.8 muestra una función que no está definida en x � 2, ypor tanto no es continua allí. La discontinuidad en x � 2 no es removible.

La función graficada en la figura 6.9 es un polinomio cuadrático cuya gráfica esuna parábola, una gráfica sin huecos porque su dominio incluye a todos losnúmeros reales. Es continua para toda x.

La función graficada en la figura 6.10 no está definida en x � 2 y por tanto nopuede ser continua allí. La gráfica se ve como la gráfica de la recta y � x � 2,excepto porque hay un agujero en donde debe estar el punto (2, 4). Ésta es unadiscontinuidad removible.

Funciones crecientes y funciones decrecientes

Otro concepto de funciones que es fácil comprender de forma gráfica es la propie-dad de ser creciente, decreciente o constante en un intervalo. Ilustramos el concep-to con unas cuantas gráficas (figura 6.11).

Una vez más la idea es fácil de comunicar de forma gráfica pero, ¿cómo podemosidentificar estas propiedades de manera algebraica? La exploración 1 ayudará a es-tablecer los pasos para la definición algebraica.


ELECCIÓN DE LA VENTANA DE

VISUALIZACIÓN

La mayoría de las ventanas devisualización muestran una rectavertical para la función de la figura6.8. En ocasiones es posible elegir la ventana de visualización en la que la recta vertical no aparezca,como lo hicimos en la figura 6.8.

FIGURA 6.8 f(x) � �xx

�

�

23

� FIGURA 6.9 g(x) � (x � 3)(x � 2) FIGURA 6.10 h(x) � �xx

2

�

�

24

�

[–9.4, 9.4] por [–6.2, 6.2][–5, 5] por [–10, 10][–9.4, 9.4] por [–6, 6]

FIGURA 6.11 Ejemplos de funciones crecientes, decrecientes o constantes en un intervalo.

32

–1–2–3

y

x–5 –4 –3 –2 –1 321 4 5

Decreciente en (–�, –2]Constante en [–2, 2]Creciente en [2, �)

3

1

–1–2–3

y

x–5 –4 –3 –2 –1 321 4 5

Constante

321

–1–2–3

y

x–5 –4 –3 –2 –1 321 4 5

Decreciente

321

–1–2–3

y

x–5 –4 –3 –1 321 4 5

Creciente

Su análisis de los cocientes �Y/�X en la exploración le debe ayudar a entender ladefinición siguiente.


�LIST EN UNA CALCULADORA

Su calculadora podría ser capaz deayudarle con los números en laexploración 1. Algunas calculadorastienen una operación “�List” quecalculará los cambios conforme semueve hacia abajo en la lista. Porejemplo, el comando “�List(L1)→L3”almacenará las diferencias de L1 enL3. Observe que �List(L1) siempretendrá una entrada (o elemento)menos que L1.

EXPLORACIÓN 1 Información creciente, decreciente y constante

1. De las tres tablas de datos numéricos siguientes, ¿cuál sería modelada me-diante una función que sea a) creciente, b) decreciente, c) constante?

2. Haga una lista de �Y1, el cambio en los valores de Y1 cuando se muevehacia abajo de la lista. Conforme se mueve de Y1 � a a Y1 � b, el cambioes �Y1 � b – a. Haga lo mismo para los valores de Y2 y Y3.

3. ¿Qué se cumple acerca de los cocientes �Y/�X para una función cre-ciente? ¿Para una función decreciente? ¿Para una función constante?

4. ¿En qué otro sitio ha visto el cociente �Y/�X? ¿Esto refuerza su respues-ta de la parte 3?

X Y1

�2 12

�1 12

0 12

1 12

3 12

7 12

X Y2

�2 3

�1 1

0 0

1 �2

3 �6

7 �12

X Y3

�2 �5

�1 �3

0 �1

1 1

3 4

7 10

X se �X �Y1mueve de

�2 a �1 1

�1 a 0 1

0 a 1 1

1 a 3 2

3 a 7 4


�2 a �1 1

�1 a 0 1

0 a 1 1

1 a 3 2

3 a 7 4


�2 a �1 1

�1 a 0 1

0 a 1 1

1 a 3 2

3 a 7 4

DEFINICIÓN Función creciente, decreciente y constante enun intervalo

Una función f es creciente en un intervalo si, para cualesquier dos puntos enel intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f (x).

Una función f es decreciente en un intervalo si, para cualesquier dos pun-tos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo enf (x).

Una función f es constante en un intervalo si, para cualesquier dos puntosen el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f (x).

EJEMPLO 6 Análisis de una función buscandocomportamiento creciente-decreciente

Para cada función, indique los intervalos en los que es creciente y los intervalosen los que es decreciente.

a) f �x� � �x � 2�2 b) g�x� � �x2

x�

2

1�

SOLUCIÓN

Resuelva gráficamente

a) En la gráfica de la figura 6.12 vemos que f es decreciente en (��, �2] y cre-ciente en [�2, �). (Observe que incluimos �2 en ambos intervalos. No se preo-cupe que esto provoque alguna contradicción acerca de lo que pasa en �2, yaque sólo hablamos de funciones crecientes o decrecientes en intervalos, y �2no es un intervalo).

FIGURA 6.12 La función f(x) � (x � 2)2 decrece en (��, �2] y crece en [�2, �)(ejemplo 6).

b) En la gráfica en la figura 6.13 g es creciente en (��, �1), creciente otra vezen (�1, 0], decreciente en [0, 1) y otra vez decreciente en (1, �).

FIGURA 6.13 La función g(x) � x2/(x2 � 1) crece en (��, �1) y en (�1, 0]; la fun-ción decrece en [0, 1) y en (1, �) (ejemplo 6).

Pudo haber notado que hemos hecho algunas suposiciones acerca de las gráficas.¿Cómo sabemos que no regresan en algún lugar fuera de la pantalla? Más adelan-te, en el libro, desarrollaremos algunas formas para responder esa pregunta, perométodos más poderosos le esperarán cuando estudie cálculo.

[–4.7, 4.7] por [–3.1, 3.1]

[–5, 5] por [–3, 5]


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