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.

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2

.

1. Expresiones algebraicas y reducción …………….……….. 03

2. Producto y cociente de expresiones algebraicas ………... 07

3. Productos Notables ………………………..……………….. 13

4. Factorización ………………………………..……………….. 17

5. Simplificación de fracciones algebraicas ……………..….. 26

6. Exponentes y radicales …………………………………….. 28

Webgrafía ……………………………………………………….. 33

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3

Una es una

combinación de números y letras

ligados con signos de operaciones

algebraicas.

3𝒙, 𝟐

𝟑 𝒛𝟒, 𝒂 + 𝟑𝒙𝒚 − √(𝟐𝒙𝒚) , (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑)

En las expresiones algebraicas la más simple es la llamada Monomio, como 3x,

es un binomio (𝑎3 + 𝑏3), 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 , te acuerdas del binomio

de oro, la agrupación vallenata integrada por Rafal Orozco e Israel Romero.

El término Es un trinomio porque tiene tres términos.

Cuando tiene varios términos se dice que es un

polinomio, como en este caso

3x5 es un monomio de grado 5, pero x5 y 3 es un monomio de grado 8. para el

Amigo estudiante te

damos la Bienvenida a la

unidad 2 del curso

Virtual de matemáticas

básicas, éxitos en esta

maravillosa aventura

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y REDUCCIÓN

GRADO DE UN MONOMIO

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segundo término los exponentes son 5 y 3 y se suman para obtener el grado

absoluto dela expresión.

Es un monomio de grado

absoluto 14.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado absoluto

Grado relativo con respecto a

𝟑𝒙𝟒𝒚𝟖 3 𝒙𝟒𝒚𝟖 12 𝒙 = 𝟒 𝒚 = 𝟖

−𝟓𝒎𝟓𝒏 -5 𝒎𝟓𝒏 6 𝒎 = 𝟓 𝒏 = 𝟏

√𝟑𝒎𝟔𝒏𝟔 √𝟑 𝒎𝟔𝒏𝟔 12 𝒎 = 𝟔 𝒏 = 𝟔

Un monomio es semejante a otro cuando tienen la misma variable elevada al

mismo exponente.

𝟑𝒙𝟓; 𝒙𝟓; 𝟕 𝒙𝟓

𝟒𝒙𝟕𝒚𝟒 𝒛𝟑

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la

suma o la resta de dos o más monomios. Los monomios

que conforman un polinomio, reciben el nombre de

términos del polinomio.

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5

Para adicionar polinomios, se reducen sus términos o monomios semejantes y

se copian los demás términos.

Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del

sustraendo y se suman al minuendo.

Sea 𝑦

Hallar A+B

Para A-B. Como es una resta los términos del sustraendo cambian de

signos y se procede a simplificar los términos semejantes

Si la expresión algebraica tiene , después de verificar que sean

términos semejantes se simplifica, para ello:

a. Hay que reducir a común

b. Se calcula el . los denominadores. Descomponemos en factores

los denominadores

c. Dividimos el obtenido entre cada uno de los denominadores y

𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒

𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎

Recuerda que si un

signo (-) antecede a

una llave, corchete,

o paréntesis la

expresión cambia de

signo.

𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 −𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒

−𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐

Recuerda que

debes agruparlos

por términos

semejantes

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lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.

d. Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o

restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

Sea la expresión algebraica 𝟑

𝟐𝒙𝟑 −

𝟐

𝟓𝒙𝟑 +

𝟏

𝟑𝒙𝟑

Entonces: 𝟑

𝟐𝒙𝟑 −

𝟐

𝟓𝒙𝟑 +

𝟏

𝟑𝒙𝟑 =

𝟒𝟑

𝟑𝟎𝒙𝟑

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7

Efectuar el siguiente producto

𝟔𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑 𝒑𝒐𝒓 𝟕𝒙𝟐𝒚

Recuerda que:

𝒂𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

+x+=+ - x - =+ +x- =- -x+=-

𝟏𝟏

𝟏𝟎𝒂𝟐 +

𝟑

𝟓𝒂𝒃 −

𝟓

𝟐𝒃𝟐 𝒑𝒐𝒓

𝟐

𝟕𝒂𝒃

Recuerda que

𝒂

𝒃×

𝒄

𝒅=

𝒂𝒄

𝒃𝒅

2. PRODUCTO Y COCIENTE DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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La anterior respuesta, al simplificar las fracciones queda así:

Efectuar el siguiente producto

𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 𝒑𝒐𝒓

Se puede utilizar la propiedad distributiva, así:

= 𝟕𝒙𝟐( ) − 𝟓𝒙𝒚( ) + 𝟑𝒚𝟐( )

= 𝟒𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝟕𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝟎𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝟑𝒚𝟑

= 𝟒𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟕𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝟑𝒚𝟑

Efectuar el siguiente producto

(𝟐

𝟑𝒂 −

𝟐

𝟗𝒃) (

𝟑

𝟒𝒂 −

𝟓

𝟒𝒃)

(𝟐

𝟑𝒂) (

𝟑

𝟒𝒂 −

𝟓

𝟒𝒃) − (

𝟐

𝟗𝒃) (

𝟑

𝟒𝒂 −

𝟓

𝟒𝒃)

(2

3𝑎) (

𝟑

𝟒𝒂) − (

2

3𝑎) (

𝟓

𝟒𝒃) − (

𝟐

𝟗𝒃) (

𝟑

𝟒𝒂) + (

𝟐

𝟗𝒃) (

𝟓

𝟒𝒃)

=6

12𝑎2 −

10

12𝑎𝑏 −

6

36𝑎𝑏 +

10

36𝑏2 =

6

12𝑎2 −

6

6𝑎𝑏 +

10

36𝑏2

Para multiplicar dos polinomios, se multiplican cada uno de los términos

del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo

polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la multiplicación de

monomios. Luego, se reducen términos semejantes.

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Simplificando

Efectuar el siguiente cociente

8𝑥5−12𝑥3−16𝑥2

4𝑥2

= 𝟖𝒙𝟓

𝟒𝒙𝟐−

𝟏𝟐𝒙𝟑

𝟒𝒙𝟐−

𝟏𝟔𝒙𝟐

𝟒𝒙𝟐

= 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟒

𝟗𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟖𝒙𝟐𝒚𝟓 + 𝟔𝒙𝒚𝟕

−𝟑𝒙𝒚

=𝟗𝒙𝟐𝒚𝟑

(−𝟑𝒙𝒚)−

𝟏𝟖𝒙𝟐𝒚𝟓

(−𝟑𝒙𝒚)+

𝟔𝒙𝒚𝟕

(−𝟑𝒙𝒚)

= −𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟔𝒙𝒚𝟒 − 𝟐 𝒚𝟔

Para dividir polinomios entre polinomios, es necesario tener en cuenta los

siguientes pasos:

=𝟏

𝟐𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 +

𝟓

𝟏𝟖𝒃𝟐

Recuerda que:

𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏

+÷+=+ - ÷ - =+ +÷- = - -÷+= -

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno

de los términos del polinomio entre el monomio respectivo y se

tienen en cuenta las leyes para la división de monomios.

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1. Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una de las

variables.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

el resultado será el primer término del cociente.

3. Dicho término se multiplica por cada uno de los términos del divisor. Cada

producto se resta de su semejante en el dividendo y se tienen en cuenta los

respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene términos

semejantes en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al

orden del dividendo.

4. Se baja el siguiente término del dividendo. se divide el primer término del

dividendo parcial entre el primer término del divisor. el resultado será el

segundo término del cociente.

5. Se continúa el proceso hasta que el residuo tenga un grado menos que el

grado del divisor.

Efectuar el siguiente cociente

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Nota: si al ordenar en forma descendente los términos del dividendo y nos

hace falta alguno se deja el espacio que le corresponde así:

𝒙𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 + 𝟒𝟎 Falta el término 𝑥3 entonces se coloca así

𝒙𝟒 + 𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 + 𝟒𝟎 Queda la expresión completa.

1 Ordenar los términos de cada polinomio en forma decreciente

respecto a x.

A. 𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟑𝒙 + 𝟑

B. 𝒙𝟑

𝟒+

𝒙𝟐

𝟐−

𝟐

𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟏

Amigo estudiantes

ahora realiza las

actividades de

ejercitación, es

importante para el curso

de matemáticas afianzar

tus conceptos.

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C. 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒚𝟑

D. 𝟓𝒙𝟐𝒚𝟓 + 𝟕𝒙𝟒𝒚𝟑 − 𝟗𝒙𝟓𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝒙𝟔𝒚 + 𝟐𝒙𝟕𝒚

2. Identifica cada término de la expresión algebraica

Expresión

Términos

Grado absoluto

Grado absoluto

del polinomio

Grado relativo con respecto a una variable

𝒙𝟐𝒚𝟐

𝟐− 𝟗𝒙𝟑𝒚𝟓

Expresión

Términos

Grado absoluto

Grado absoluto

del polinomio

Grado relativo con respecto a una variable

𝒂𝟒𝒃𝟐 − 𝒂𝟐𝒃 −𝟏

𝟓𝒂𝒃𝟓

𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟐𝒎𝟑𝒏 − 𝟒𝒎𝒏

3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas

A. −𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟕𝒙 + 𝟖𝒙𝟑

B. 𝟖𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟏𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐

C. 𝟐

𝟑 𝒙𝟑 −

𝟑

𝟓𝒚𝟕 +

𝟒

𝟑𝒙𝟑 −

𝟏

𝟓𝒚𝟕 +

𝟕

𝟑𝒙𝟑 +

𝟑

𝟓𝒚𝟕

D. 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚

4. Realizar el siguiente producto y simplifica

A. (𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔)(𝟑𝒙 − 𝟒)

B. (𝟑𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 + 𝟗)(𝟐𝒚 + 𝟑)

C. (𝟒𝒙𝟐 −𝟏

𝟐𝒚) (𝟑𝒙 +

𝟏

𝟒𝒚)

D. (𝟒𝒚𝟑 −𝟏

𝟓𝒙) (𝟑𝒚 +

𝟏

𝟒𝒙)

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5. Realizar los siguientes cocientes

A. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 |𝒙 + 𝟐

B. 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂 − 𝟑 ⌊𝒂 + 𝟑

C. 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ⌊𝒚 + 𝟐𝒙

D. 𝒎𝟔 − 𝒏𝟔⌊𝒎𝟐 − 𝒏𝟐

PRUEBA SABER

1. Para empacar equipos de oficina de la Universidad de la Guajira extensión

Maicao, la persona de recursos físico utiliza cajas en forma cubica de cartón

con tapa y de arista 2x, usando

el siguiente diseño.

La expresión que permite

determinar la mínima cantidad de

material requerido para la

construcción de la caja es:

A. 𝟖(𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) B. 𝟒(𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) C. 𝟏𝟐(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) D. 𝟐𝟒(𝟑𝟐 + 𝟒𝒙)

2. Para empacar dos artículos en una misma caja la empresa requiere dividirla

en dos compartimientos iguales con una lámina de cartón, como se indica

en la siguiente figura. El área de la lámina divisoria, en unidades cuadradas,

está representada por la expresión

A. 𝒙𝟐 B. 𝟐𝒙𝟐

C. √𝟐 𝒙𝟐

D. 𝟐√𝟐 𝒙𝟐

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También

sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama

3. PRODUCTOS NOTABLES

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productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin

necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también

productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de

la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto

notable).

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos

encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab +

b2 debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factorizarla como (a + b)2 o si es a2 - 2ab + b2

como (a - b)2.

(𝟑𝒙 + 𝟒𝒚) = (𝟑𝒙)𝟐 + 𝟐(𝟑𝒙)(𝟒𝒚) + (𝟒𝒚)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚𝟐

(𝟑𝒙 − 𝟒𝒚) = (𝟑𝒙)𝟐 − 𝟐(𝟑𝒙)(𝟒𝒚) + (𝟒𝒚)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚𝟐

(𝟐

𝟑𝒙 +

𝟑

𝟐𝒚)

𝟐

= (𝟐

𝟑𝒙)

𝟐

+ 𝟐 (𝟐

𝟑𝒙) (

𝟑

𝟐𝒚) + (

𝟑

𝟐𝒚)

𝟐

= 𝟒

𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 +

𝟗

𝟒𝒚𝟐

Así se puede escribir

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(𝟐

𝟑𝒙 −

𝟑

𝟐𝒚)

𝟐

= (𝟐

𝟑𝒙)

𝟐

− 𝟐 (𝟐

𝟑𝒙) (

𝟑

𝟐𝒚) + (

𝟑

𝟐𝒚)

𝟐

= 𝟒

𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 +

𝟗

𝟒𝒚𝟐

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado

de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Así: ( )( )

(𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒚𝟑)(𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑) = (𝟖𝒙𝟐)𝟐

− (𝟏𝟏𝒚𝟑)𝟐

= 𝟔𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝟏𝒚𝟔

(𝟕

𝟗𝒂𝟓𝒃 +

𝟐

𝟑) (

𝟕

𝟗𝒂𝟓𝒃 −

𝟐

𝟑) = (

𝟕

𝟗𝒂𝟓𝒃)

𝟐− (

𝟐

𝟑)

𝟐=

𝟒𝟗

𝟖𝟏𝒂𝟏𝟎𝒃𝟐 −

𝟒

𝟗

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del

primero, más el triple del cuadrado del primero por el

segundo, más el triple del primero por el cuadrado del

segundo, más el cubo del segundo. Así:

(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) + 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 + (𝒃)𝟑

(𝟐𝒂 + 𝟑𝒃)𝟑 = (𝟐𝒂)𝟑 + 𝟑(𝟐𝒂)𝟐(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟑𝒃)𝟐 + (𝟑𝒃)𝟑

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Desarrollando = 𝟖𝒂𝟑 + 𝟑(𝟒𝒂𝟐)(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟗𝒃𝟐) + 𝟐𝟕𝒃𝟑

= 𝟖𝒂𝟑 + 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝟒𝒂𝒃𝟐 + 𝟐𝟕𝒃𝟑

(𝟐

𝟑𝒙 +

𝟑

𝟒𝒚)

𝟑= (

𝟐

𝟑𝒙)

𝟑+ 𝟑 (

𝟐

𝟑𝒙)

𝟐(

𝟑

𝟒𝒚) + 𝟑 (

𝟐

𝟑𝒙) (

𝟑

𝟒𝒚)

𝟐+ (

𝟑

𝟒𝒚)

𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (

𝟒

𝟗𝒙𝟐) (

𝟑

𝟒𝒚) + 𝟑 (

𝟐

𝟑𝒙) (

𝟗

𝟏𝟔𝒚𝟐) +

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (

𝟏𝟐

𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (

𝟏𝟖

𝟒𝟖𝒙𝒚𝟐) +

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

Simplificando 𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (

𝟏

𝟑𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (

𝟑

𝟖𝒙𝒚𝟐) +

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 +

𝟗

𝟖𝒙𝒚𝟐 +

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

Para el caso del cubo de la diferencia

(𝟐𝒂 − 𝟑𝒃)𝟑 = (𝟐𝒂)𝟑 − 𝟑(𝟐𝒂)𝟐(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟑𝒃)𝟐 − (𝟑𝒃)𝟑

Desarrollando = 𝟖𝒂𝟑 − 𝟑(𝟒𝒂𝟐)(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂) − 𝟐𝟕𝒃𝟑

= 𝟖𝒂𝟑 − 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟐𝟕𝒃𝟑

(𝟐

𝟑𝒙 −

𝟑

𝟒𝒚)

𝟑

= (𝟐

𝟑𝒙)

𝟑

− 𝟑 (𝟐

𝟑𝒙)

𝟐

(𝟑

𝟒𝒚) + 𝟑 (

𝟐

𝟑𝒙) (

𝟑

𝟒𝒚)

𝟐

− (𝟑

𝟒𝒚)

𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (

𝟒

𝟗𝒙𝟐) (

𝟑

𝟒𝒚) + 𝟑 (

𝟐

𝟑𝒙) (

𝟗

𝟏𝟔𝒚𝟐) −

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (

𝟏𝟐

𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (

𝟏𝟖

𝟒𝟖𝒙𝒚𝟐) −

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

Simplificando 𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (

𝟏

𝟑𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (

𝟑

𝟖𝒙𝒚𝟐) −

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝒙𝟐𝒚 +

𝟗

𝟖𝒙𝒚𝟐 −

𝟐𝟕

𝟔𝟒𝒚𝟑

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17

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio,

con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede

describir como buscar el factor común entre los factores

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que

son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de

términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

𝑎𝒎 − 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = (𝒂𝒎 − 𝒃𝒎) + (𝒂𝒏 − 𝒃𝒏) Separamos o agrupamos

= 𝒎(𝒂 − 𝒃) + 𝒏(𝒂 − 𝒃) Sacamos factores comunes

= (𝒂 − 𝒃)(𝒎 + 𝒏) factorizado

3 es el divisor

común y (a)

es la letra

común en la

expresión

𝟗𝒂𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟑 − 𝟐𝟒𝒂𝒃𝟑 = 𝟑𝒂(𝟑𝒂 − 𝟒𝒃 + 𝟓𝒂 𝟐𝒃𝟑 − 𝟖𝒃𝟑)

Para el factor común se

debe considerar:

A. la parte numérica es el

mcd entre las partes

numéricas.

B. la parte literal está

formada por las letras

que tienen en común,

los términos del

polinomio, con su

menor exponente.

4. FACTORIZACIÓN

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18

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas

exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el

segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar

los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz

cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los

escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al

segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 = (𝟓𝒙 − 𝟑𝒚)𝟐

𝟓𝒙 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝟑𝒚 → 𝟐(𝟓𝒙)(𝟑𝒚)𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = 𝟑𝟎𝒙𝒚

𝒂𝟒 +𝟒

𝟑𝒂𝟐𝒃 +

𝟒

𝟗𝒃𝟐

𝒂𝟐 𝟐

𝟑𝒃 Son las raíces cuadradas del primer y tercer término

𝟐(𝒂𝟐) (𝟐

𝟑𝒃) =

𝟒

𝟑𝒂𝟐𝒃 Doble producto del primer y el tercer término

Luego: 𝒂𝟒 +𝟒

𝟑𝒂𝟐𝒃 +

𝟒

𝟗𝒃𝟐 = (𝒂𝟐 +

𝟐

𝟑𝒃)

𝟐

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a

los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo

término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es

negativo).

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𝒂𝟐

𝟑𝟔−

𝒃𝟐

𝟐𝟓= (

𝒂

𝟔−

𝒃

𝟓) (

𝒂

𝟔+

𝒃

𝟓)

𝟒𝒙𝟒 − 𝟗𝒚𝟐 = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚)

1. Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el

segundo término puede ser positivo o negativo).

Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos

perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64,

125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son

múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15, 18, etc.). así:

Para la suma

Para la diferencia

𝟐𝟕𝒎𝟔 + 𝟔𝟒𝒏𝟗 = (𝟑𝒎𝟐 + 𝟒𝒏𝟑)(𝟗𝒎𝟒 − 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟏𝟔𝒏𝟔)

𝟐𝟕𝒎𝟔 − 𝟔𝟒𝒏𝟗 = (𝟑𝒎𝟐 − 𝟒𝒏𝟑)(𝟗𝒎𝟒 + 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟏𝟔𝒏𝟔)

Recuerda que el segundo término se eleva al

cuadrado

𝒂𝟑 + 𝟏𝟐𝟓 = (𝒂 + 𝟓)(𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 + 𝟐𝟓)

𝒂𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 = (𝒂 − 𝟓)(𝒂𝟐 + 𝟓𝒂 + 𝟐𝟓)

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El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores

binomiales mediante el siguiente proceso:

1. El coeficiente del primer término es 1

2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado

3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1

y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2°

término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

.

Descomponer

Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a x2:

Abrimos dos paréntesis con la raíz de x2.

c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del

trinomio.

d) El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del

segundo y tercer término.

e) serán dos números que multiplicados den 5 y sumados dado que

ambos paréntesis son positivos den 6

.

Factorizar

Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a x2 :

Abrimos dos paréntesis con la raíz de x2.

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c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del

trinomio.

El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del

segundo y tercer término.

e) Serán dos números que multiplicados me den 12y2 y restado me de

4y

(𝟔𝒚)(𝟐𝒚) = 𝟏𝟐𝒚𝟐 𝒚 𝟔𝒚 − 𝟐𝒚 = 𝟒𝒚

.

Para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c se toma el coeficiente de la

variable elevada al cuadrado (6) y este número multiplica y divide toda la

expresión: así

𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 6 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

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22

Se deben descomponer en dos factores

Ejercitación 2.

1. Resolver los siguientes productos notables

A. (2𝑚 + 3𝑛)2

B. (2

3𝑥 + 𝑦)

2

C. (𝑚2 − 9𝑛)2

D. (𝑥4 − 𝑦4)2

E. (3𝑝 +𝑞

2)

3

F. (5𝑥 − 3𝑦)3

G. (3

2𝑥2 + 3𝑦)

3

Resolver los siguientes expresiones aplicando el caso de

factorización pertinente

a) 𝟗𝒂𝟐 − 𝟐𝟓𝒃𝟐 b) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏

Amigo estudiantes ahora

realiza las actividades de

ejercitación, es importante

para el curso de

matemáticas afianzar tus

conceptos.

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c) 𝟑𝟔𝒎𝟐𝒏𝟐 − 𝟐𝟓

d) 𝟐𝟓𝒂𝟐 + 𝟓𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟒𝟗𝒃𝟒

e) 𝟏𝟐𝟏𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝟑𝒙𝟐𝒚𝟒 + 𝟑𝟔𝒚𝟖

f) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎

g) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏

h) 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 − 𝟏𝟔𝟖

i) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐

j) 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟒𝟎

k) 𝟐𝟕𝒂𝟑 − 𝒃𝟑

l) 𝟔𝟒𝒂𝟑 − 𝟕𝟐𝟗

m) 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏 + 𝟐𝟒𝒎𝟑𝒏𝟐 − 𝟑𝟔𝒎𝟒𝒏𝟑

n) 𝟏𝟎𝒑𝟐𝒒𝟑 + 𝟏𝟒𝒑𝟑𝟑𝒒𝟐𝟐 − 𝟏𝟖𝒑𝟒𝒒𝟑 − 𝟏𝟔𝒑𝟓𝒒𝟒

Prueba Saber

RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON EL SIGUIENTE GRÁFICO

1. Sigue estrictamente el orden de las operaciones indicadas y verás que siempre llegas al mismo resultado.

Los números que al ubicarse en el Lado 2 NO cumplen con la condición requerida para que el resultado final sea 24 son, respectivamente A. 4 y 2 B. 16 y 8 C. 22 y 16 D. 26 y 13 2. Los números que aparecen dentro de los círculos del Lado 1, pertenecen al

conjunto de los números A. Impares B. Primos C. Pares D. Enteros negativos

RESPONDE LAS PREGUNTAS 3, 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Para la seguridad de una casa que tiene forma rectangular de 20 m por 10 m, se tiene un perro guardián amarrado a una de sus esquinas con un lazo de 3 m, como lo muestra la siguiente figura.

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3. El área máxima que puede recorrer el perro guardián es

A. 3/4 del área de un círculo de radio 3 m B. 1/4 del área de un círculo de radio 6 m C. . el área total de un círculo de radio 6 m D. 4/3 del área de un círculo de radio 3 m

4. En la noche se duplica la medida del lazo, para que el perro pueda recorrer

una mayor zona ¿qué pasará con el área máxima que puede recorrer el perro con el nuevo lazo? A. Se mantiene igual B. Se duplica C. Se triplica D. Se cuadruplica

5. Si se requiere que el perro de una vuelta completa alrededor de la casa, la

cantidad de lazo que se necesita es

A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 60 m

RESPONDE LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

Para servir los tintos en una oficina se tienen tres cafeteras, de igual material, como se muestran a continuación.

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6. De acuerdo a la cantidad de tinto que se puede cargar en cada cafetera, se puede afirmar que

A. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 B. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 3 C. la cafetera 3 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 D. la cafetera 2 tiene mayor capacidad que la cafetera 1

RESPONDE LAS PREGUNTAS 7, 8 Y 9 TENIENDO EN CUENTA LA

SIGUIENTE INFORMACIÓN La gráfica muestra las calificaciones de 1 a 5, obtenidas por un estudiante en una materia en la universidad. Cada aspecto evaluado vale el 25% para la calificación final.

7. Teniendo en cuenta que el porcentaje asignado al examen es del 25%, la nota que obtiene el estudiante en este aspecto evaluado corresponde al A. 4 %

B. 6,25 %

C. 20 %

D. 25 %

8. ¿Cuál fue la nota final del estudiante?

A. 2,5

B. 3,0

C. 3,5

D. 4,0

9. Si se asignaran porcentajes diferentes a cada aspecto, como se indica a continuación

Participación 20 % Apuntes 30 % Examen 20 % Trabajos 30 % Y se sabe que con menos de 3,0 como calificación final se pierde, ¿el estudiante habría perdido la materia?

A. Si, porque el estudiante tiene calificaciones por debajo de 3,0 en dos de

los aspectos evaluados

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26

B. No, porque no importa que se cambien los porcentajes, pues las

calificaciones se mantienen

C. Sí, porque la calificación obtenida sería 2,85

D. No, porque al promediar las notas obtiene 3,0

10. El siguiente diagrama muestra el rendimiento de un ciclista en los últimos años en la vuelta a España en bicicleta. De acuerdo con el diagrama, el período en el que el ciclista tuvo su mayor rendimiento fue

A. 1996 - 1997 B. 1997 - 1998 C. 1998 - 1999 D. 1999 - 2000

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno

o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

1 Simplificación de monomios: 2

3

52

42

8ab

ab

ba

2 Simplificación de polinomios:

. 5

2

55

52

25

1072

2

x

x

xx

xx

x

xx

x

x

xx

xx

xx

x

2

4

42

44

82

162

2

No te olvides: primero factorizar, luego simplificar.

5. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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164

9

32

13

x

x

x

x Se factoriza el 2º denominador

1

)32(2

9

32

13

x

x

x

x

Se multiplica toda la ecuación por el M.C.M de los denominadores: 2(2x-3)

2(3𝑥 − 1) − (𝑥 + 9) = 2(2𝑥 − 3)

6𝑥 − 2 − 𝑥 − 9 = 4𝑥

1. cba

ba53

72

60

12

2.

222

32

22 yxyx

yx

3.

16

202

2

a

aa

4.

yyx

yxy

x

x2

2 3

93

1

5.

127

862

2

xx

xx 6.

145

43

209

214

32

1072

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

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28

7.

656

565

2536

3011

25

2560362

2

2

2

ax

xa

x

aa

a

xx

8. 32

7

3

5

xx 9. 1

4

1

3

1

2

xxx

10. 4

3

12

5

8

5

1

xx

x 11. 12

612

1

4

12

52

xx

x

xx

12. 21

8

1

3

2

4

xxxx 13.

1510

16

9

7

64

83

32

5

x

x

x

x

x

14. 21

3

3

1

x

x

x

x 15. 21

26

7

43

32

1252 2

xx

x

xx

Las propiedades de los

exponentes son teoremas y como

tal se pueden demostrar, sin

embargo no es el interés de este

módulo, veamos algunas de las

propiedades:

𝑥4. 𝑥3 = 𝑥5

Se aplicó la propiedad 1

(𝑥4)2 = 𝑥8

Se aplicó la propiedad 2

m y n, enteros positivos: 1. 𝒂𝒎. 𝒂𝒎 = 𝒂𝒎+𝒏 2. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏 3. (𝒂. 𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎𝒃𝒎

4. (𝒂

𝒃)

𝒎 =

𝒂𝒎

𝒃𝒎

5. 𝒂𝒎

𝒂𝒏= { 𝟏

𝒂𝒎−𝒏 𝒔𝒊 𝒎 > 𝒏𝒎 = 𝒏

𝟏

𝒂𝒏−𝒎 𝒏 > 𝒎

6. 𝒂𝟎 = 𝟏

7. 𝒂−𝟏 =𝟏

𝒂

6. EXPONENTES Y RADICALES

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(𝑥. 𝑦)3 = 𝑥3𝑦3

Se aplicó la propiedad 3

(2𝑥

3𝑦)

2=

4𝑥2

9𝑦2

Se aplicó la propiedad 4

𝑥6

𝑥2 = 𝑥4

Se aplicó la propiedad 5

4𝑥4𝑦5𝑧

2𝑥2𝑦3 𝑧= 2𝑥4−2𝑦5−3𝑧1−1 = 2𝑥2𝑦2𝑧0 = 2𝑥2𝑦2

Se aplicó la propiedad 4 y 6

Ejercitación

Simplifica. Expresa los resultados con exponentes positivos.

1. (3𝑎2𝑏

𝑐)

5

2. 𝑥3𝑦−2

𝑥−5𝑦3 3. (

3𝑥4𝑦−1

2𝑧5 )4

4. (𝑥

12𝑦0

𝑧−5 )

−2

5. 𝑥−2 + 𝑦−2 6. 𝑥−2

𝑥−1 − 𝑦−1 7. 8𝑥0 − (7𝑥)0 8. − 42

9. (−4)−3 10. (−4)2 11. (𝑥−3𝑦2

𝑥−5𝑦−4)−2

12. (8𝑚−3𝑛2)2

3

13. (−3𝑎𝑏)2(−2𝑎3𝑏−1)3

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Notación para la raíz n- ésima

Para un número n mayor que 1, y cualquier real b √𝑏𝑛

= 𝑏1

𝑛 entonces √3 =

31

2⁄ ; √53

= 51

3⁄

Para b no negativo, cuando n es par

n, m y k son los números naturales ≥ 2, x y y son números reales positivos.

1. √𝑥𝑛𝑛= 𝑥

2. √𝑥𝑦𝑛 = √𝑥𝑛

√𝑦 𝑛

3. √𝑥

𝑦

𝑛 =

√𝑥𝑛

√𝑦𝑛

4. √𝑥𝑘𝑚𝑘𝑛 = √𝑥𝑚𝑛

√49𝑥4𝑦5 = 722 𝑥

42 𝑦

52 = 7𝑥2𝑦2√𝑦

√𝑥3𝑦2𝑧 = 𝑥3

2 𝑦 2

2𝑧1

2⁄ = 𝑥𝑦√𝑥𝑧

√𝑥6𝑦4𝑧8

√𝑥3𝑦2= √

𝑥6𝑦4𝑧8

𝑥3𝑦2 = √𝑥6−3𝑦4−2𝑧8 = √𝑥3𝑦2𝑧8

𝑥3

2⁄ 𝑦2

2⁄ 𝑧8

2⁄ = 𝑥𝑦𝑧4√𝑥

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Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces.

Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos

convenientemente el numerador y el denominador por una raíz de tal forma

que se vaya del denominador la raíz.

𝑎

√𝑏 Multiplicamos el numerador y el denominador por √𝑏 así:

𝑎√𝑏

(√𝑏)(√𝑏)

Luego efectuamos el producto 𝑎√𝑏

√𝑏2=

𝑎√𝑏

𝑏 queda racionalizado.

En el caso que sea un binomio el proceso se le llama la conjugada

3−√2

1+√2=

(3−√2)(1−√2)

(1+√2)(1−√2)=

(3−√2)(1−√2)

(1−√4)

=3 − 3√2 − √2 + 2

1 − 2

=5 − 4√2

−1= −(5 − 4√2) = 4√2 − 5

1. Ejercitación

Simplifica cada radical.

1. √24𝑥2𝑦5

2. √24𝑎𝑏6𝑐83

3. √144𝑥15𝑦17

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2. Racionaliza el denominador.

1. 5

√2

2. 7√3

8√5

3. 5

√𝑅3

4. 1

√3 + √2

5. √3

√5 − 2√3

6. 7 − √2

7 + √2

7. √𝑥

√ 𝑥 − √2

8. 3.3

2

x

x

9. 9 8256

4

y

10. 3 2

2

x

x

11. 35

15

3. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba

a. 4100 b. 9

144 c. 3 2 d. 4 5 3 e. 5 53

4. Hallar el perímetro de las siguientes figuras