1 IDENTIFICAR LOS MULTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO - d

-- - d

-2 -y! *-ya

Múltiplos de un número \

. -.- , S-,< -+ < '. - '-3 ; 'F.: q& - -. .. - -. - - 5 ' <- ---,?- . + . - ?L.+> *,--.x-

Un número a es rnúltiplo de otro número b si la división a : b es exacta (su resto es cero). :*: = -e 2 - . 7% . . * 12 es múltiplo de 6 porque 12 : 6 es una división exacta. - d y , .f. . - a . P ' '

<::c. -b

25 no es múltiplo de 6 porque 25 : 6 no es una división exacta. .>

Los múltiples de un número se obtienen multiplicando dicho número por 1,2,3,4,5.. . . .:$ . cc-:=- Losmúltiplosde6serepresentanpor 6 + 6 1 , 6 . 2, 6 - 3 , 6 - 4 , 6 5 , 6 . 6 , 6 . 7... - ZGS-::, - S-.,* + 6, 12, 18, 24,30,36,42 ... : . _ - . h .. -,, 2' ' L . - . . .: 4 í c.- Todo número es siempre múltiplo de sí mismo y de la unidad. : i

- - - . - 7 = 7 . 1 23 = 23 1 100 = 100 1 - L - . a ..

@ Completa la siguiente tabla de productos.

De los siguientes números. indica los que son múltipos de 12. Razona la respuesta.

48-52-60-80-120-144-150-180

e Escribe los 8 primeros rnúltiplos de:

a) 9 -+

b) 15 + c) 20 4

d) 75 -,

e) 100 +

m Ercribe los números que sean:

a) Múltiplos de 5 y menores que 51.

b) Múltiplos de 25 y menores que 105.

c) Múltiplos de 30 que estén comprendidos entre 50 y 280.

d) Múltiplos de 1.000 que estén comprendidos entre 990 y 10.100.

El número b es divisor de a si la división a : b es exacta. - I S -

6 es divisor de 12 porque 12 : 6 es una división exacta. *, J

8 no es divisor de 26 porque 26 : 8 no es una división exacta.

1 Todo número es divisor de sí mismo + a : a = 1

1 El 1 es divisor de cualquier número a : 1 = a

1 Para obtener los divisores de un número:

1. Dividimos dicho número por los sucesivos números naturales hasta que el cociente sea - 1 -

. . - 8 - -. menor que el divisor. - -

*- - d .

2. Elegimos los divisores y los cocientes de las divisiones exactas. l

r .

EJEMPLO . ., - r Calculalosdivisoresdi16. -s.í -.:-

-

I I 16 11 16 12- 16 13 16 1 5 {Cociente < Divisor 0 1 6 0 8 1 5 1 3 3 < 5

iDiuúmest l y 1 6 Z y 8 ,,2,-.,, - , . '

, ' 1 rs divisores di 16 son: 1, 2, 4 , 8 y 1 6 ~ - : : :-:

9 3 3 &

Realiza la división de estos números por los sucesivos números naturales hasta que el co- ciente sea menor que el divisor.

a) 15

e Escribe todos los divisores de los níimeros anteriores.

a) Divisores de 15 =

b) Divisores de 24 =

O Tacha aquellos números que no sean:

a) Divisores de 2 = 1, 2, 3 b) Divisores de 9 = 1, 2, 3, 4, 6, 9 C) Divisores de 11 = 1, 3, 7, 9, 11 d) Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 15, 20, 25,30 e) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 12, 16, 20, 24, 30,45,48 f) Divisores de 100 = 1, 2,4, 5, 10, 20, 25,40, 50, 60, 75,90, 100

lescomponer un número en producto de factores primo! r -

P 4' . y - 7 - 7 . .- %.-Y -? h . - o V . , I R . - Y . 'L . .- - : + -m,, ,,h J;---F-&,.-. ; 3 : - * . ' .

Déicomponer un número en producto de factores p 1 ~ 1 1 - s;r.i -~presarlo comoproduct~de dis..' E-...J x- , \ . tintos números primos elevados a potenciasi

EJEMPLO i - 1

Descornpún el número 60 en producto de factores primos. 1 1 En la pdctica se hace ask

, 6 0 1 2 > 60 2 Lo expresamos así: , .

, O0 30 12- 30 2 6 0 = 2 . 2 . 3 . 5 - 1 ' O 10 15 1 3 - 15 3

. - O O 5 1 5 ~ 5 5 . Utilizando las potencias quedaría: o 1 1 . * 6 0 = Z 2 * 3 * 5

. . . , -_ . . a .. I

, ,. :.-L ; -,- '," - . . I

@ Dexompón los siguientes números en producto de factores primos.

24 2 30 2 45 3 12 2 6 2 3 3 1

@ Descompón los números 25, 48, 75 y 100 en producto de factores primos.

@ Calcula los números que vienen expresados por las siguientes potencias.

a) 22 32 = c) 3 . 5 2 - 7 =

Completa la siguiente tabla.

@ Escribe situaciones que representen estos números positivos.

a) +3 + b) +15 + c) +45 + d) +300 +

Conjunto de los números enteros I

Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros. Lo re- presentamos por Z.

Enteros positivos: + 1, +2, +3, +4, +5, . . . Números enteros

Enteros negativos: - 1, -2, -3, -4, -5, . . .

e Expresa con un número entero las siguientes situaciones.

a) El helicóptero vuela a 150 m de altura + b) Estoy flotando en el mar + C) El termómetro marca 4 grados bajo cero + d) El Everest mide 8.850 m + e) Ana tiene una deuda de 46 £ + f l Te espero en la planta baja +

e k t a s han sido las temperaturas semanales, en 'C. de una localidad. Expr6salas con números enteros.

1 Cero

OBJETIVO 1 , -

La recta numérica: representación y ordenación de los números enteros

Los números enteros se representan en una recta llamada recta numérica. Para dibujar una recta numérica:

1. Trazamos una recta y señalamos el O.

2. Dividimos la recta en partes iguales, a la derecha e izquierda del O.

3. A la derecha estarán los números enteros positivos, y a la izquierda, los enteros negativos.

, , , . . - . . : ;-, . ,..'.j ,,> .; ..-.' -

. . ..::!. . . . . . ,. L . . . .. N.Úmps - er?te?s B ~ ~ . ~ V O S - . . .. - . Números ~ enteros ~ pos jivos > . ; ' , . p " ' . > ~ ' ,, -r .. >*-T. ~ . . - . , , , '! ~ - . . ~- c.

. , . ' - . 2 . . - : . .- . .

O ¿Cuántos números enteros hay entre -9 y +9? ¿Y entre - 12 y + 121

e Dados los números -8, +8, +3, -10, +6, +4. -2.

a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Cuál está más alejado del origen? ¿Y cuál está más cercano? C) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del origen que él.

e Ayer, el termómetro osciló entre una temperatura máxima de +3 "C y mínima, de -4 "C.

a) Representa ambos valores en una recta numérica. b) Indica si el termómetro pudo marcar las siguientes temperaturas: -2 "C, +4 "C, -5 "C,

+1 "C, o "C, +2 "C. C) Representa las temperaturas anteriores en la recta numérica.

@ Representa, en una recta numérica, los números enteros comprendidos entre -15 y +15. Escribe los números que sean:

a) Menores que +4 y mayores que -6. C) Positivos y menores que - 11. b) Negativos y mayores que -5. d) Mayores que - 1 y menores que + 14.

hmparación de números enteros u: _ -

Un número entero positivo es siempre mayor que cualquier número entero negativo.

Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha en la recta. . ,

Utilizamos los símbolos mayor que (>) y m e w que (<) para comparar dos números. -

@ Representa en una recta numérica y ordena, de menor a mayor, los números siguientes.

-5, +3, -8, +4, -2, +7, -1

@ Escribe el signo que corresponda entre cada par de números enteros (< o >).

a ) + 5 1 - 2 c ) - 7 0 - 4 e ) - 4 n + 1 g ) + 1 1 0 + 1 5 i) - 1 2 0 - 1 3

b ) 0 n + 8 d ) - 1 1 0 f) + 5 0 - 1 1 h ) + 1 0 0 - 9 j) - 3 0 1 - 4 0

0 Completa los huecos con números enteros que cumplan la desigualdad.

a) + 5 < n < < I 1 + + 1 2 d) - 3 < <1 < m c +7

@ Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos números enteros hay entre - 1 y + l?

b) ¿Cuántos números enteros hay entre +3 y +12? ¿Y naturales?

C) ¿Cuántos números enteros hay entre -7 y +lo? ¿Y naturales?

d) ¿Cuántos números enteros hay entre -83 y -76? ¿Y naturales?

- CALCULAR POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL Y BASE UN NÚMERO ENTERO

4 - -

I Potencia de un número ' \

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación Exponente: 3 de factores iguales. Indica el número de

veces que se multiplica 4 * 4 0 4 = 4 ~ la base por sí misma.

4' es una potencia. Cualquier potencia est5 formada por una base y un exponente. i 5 '

h e : + 4 3 .v-

Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. ES el factor

32 + Se lee: mes elevado d cuadrado. que se repite.

Las potencias de exponente 3 se denominan cubos.

43 + Se lee: cuamo elevado al cubo.

Cuando el exponente es 4,5,6.. , se lee: elevado a la cuarta, a la quinta, a Ia sexta.

0 Escribe en forma de potencia.

e Indica, para cada apartado del ejercicio anterior, la base y el exponente.

Escribe en forma de producto de factores iguales.

a) 5 ' = 5 . 5 e) z6 =

b) 44 = f) 33 =

c) 7' = g) 82 =

d) 64 = h) 55 =

Escribe con cifras estas potencias.

a) Dos elevado a la cuarta + b) Tres elevado a la quinta + C) Seis elevado a la séptima + d) Nueve elevado al cubo +

e) Seis elevado al cubo + f) Siete elevado al cuadrado + g) Dos elevado a la quinta + h) Cinco elevado a la sexta +

Valor de una potencia

El valor numérico de un

e Halla el valor numerico de estas potencias.

a) 23=2.2-2=4.2=8

b) 34 =

C) g3 =

d) 64 =

e Completa la siguiente tabla.

F&ba :E&@ ;. .< @ m W @ ProducO Val '

42 4 2 l

9 - 9 . 9 l -- _- 8

5 125

25 I 4

11 11 . l 7

4 - 2.401

- - - A, -

Las potencias pueden tener.por base un número

Si la potencia tiene como base un entero positivo, su val

- Positivo, si el exponente es p. :Y :.; ' ..h,i: ,t:li <.$+%

-A-.. .32(-2)4 = ( -2 ) ( -2 ) (-

O Calcula el valor num4rico de estas potencias.

a) (+5)2 = d) (-4)4 =

b) (-512 = e) (-6)3 =

C) (-913 = f) (+ 1013 =

OBJETIVO 1 d - 4

idica el signo de cada potencia y, después, halla su valor.

Escribe como potencia los siguientes productos, en los casos en que sea posible.

a) (-3) (-3) (-3) = e) (+5). (+5) (+5) (+5) (-5) =

b) (-10) (-10) = f) (-2) (-2) =

c) (-l).(-1)-(-1)-(-l)*(-l) = g) (-10) (-10) (-10) =

d) (-5) (-5) (-5) (-7) (-7) = h) 10 10. (-10) =

Potencias, de base 10 - '- -- - "

. . - . 1 ; , - - . - . , - . .: . y , . -. .-\*e . - - Toda potencia de b&e 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. - . . . A , . . . . - - "- : - 4 1- ... b ..C T y.,--

, - , %- : -,..*** Y&--& LL, ..--.* -*&&--q---,.,. '* . .. .

. . . : - ' - - 102 = 10 . 10 = 100 . F . , . A .J=2 .,.

,. ,_. . .. - . . -4 y-: . - 2 ! : . , , .,

..z<.-.>i%??.->5:~,:.;-'.::. , .. . . - ;i. .,: ,.,? ::. ~ _ _ . . . . . . . \ - .. :. ; : ::. - 104 = 10 10 10 10 = 10.000 - , i. y.:;; ;,, .) ,- _ - . . , : .... < . . . . , . -: -1 --- :..

c. . . . , ' - , . .. - .:i .. ' - ,- . d F . ' . . ." ,-: .. ,.,- . ' ' . . <

- -. P, -* i -- - - . V. . lo5 = 10 10 10 10 - 10 .= 100.000 - -

* . Li , ' . . ...., ?l.,. <- .. .. - . . .; . -.- ,. - ..< . ' _ . .

f

@ Escribe en forma de potencia.

a) 10 10 10 = 103

b) 10 10 10 - 10 10 10 =

c) 10. 10 10 . 10 10 =

@ Escribe en forma de producto de factores iguales y halla su valor numérico.

a) lo2 = 10 10 = 100 d) lo3 =

b) lo5 = e) 104 =

C) 107 = f) lo6 =

OBJETIVO 1 3

4 8 6 5 1 9 3 1 0 Ordena, de menor a mayor (4, las siguientes fracciones: - - - - - - - -.

10 ' 10 ' 10 ' 10 ' 10 ' 10 ' 10 ' 10

3 9 6 4 2 8 5 1 Ordena, de mayor a menor (>), las siguientes fracciones: - - - - - - - -.

9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9

O Reduce a común denominador y ordena estas fracciones de mayor a menor.

O Escribe la fracci6n que representa la parte coloreada y después ordena, de mayor a menor. las fracciones.

e Escribe el signo mayor que (>), menor que (4 o igual que (=) en cada caso.

1 @ Una herencia se ha repartido, entre tres hermanos, de la siguiente manera: Pedro, -de la 7 1 4

herencia; Carmen, -, y Olga, -. 12 6

a) ¿A quién le toca la mayor parte de la herencia? b) ¿Y la menor?

3 1 @ En un parque hay 20 árboles: - del total son álamos, - son pinos y el resto castatios. 5 10

a) ¿De qué clase hay más árboles? b) ¿Cuántos álamos hay? ¿Y pinos?

Expresión a lgebraica . . ,-

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones matemáticas.

EJEMPLOS

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos x + y - 2 El triple de un n ú w o más cinco 3 . x + 5 El cuadrado de un n ú w o más una undad x2 + 1

3 Escribe estos enunciados como expresi6n algebraica.

a) El doble de un número b.

b) El doble de la suma de dos números (m y n).

C) El cuadrado de un número x más 4 unidades.

d) El producto de tres números a, b, c.

e) El doble de un número y más 3 unidades.

Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a) El doble de un número más dos unidades.

b) Un número disminuido en cinco unidades.

C) La tercera parte de un número.

d) El cubo de un número.

e) El doble de un número.

f) Un número aumentado en diez unidades.

g) La diferencia de dos números.

h) El número siguiente a un número entero.

;i x es la edad de luan, expresa en lenguaje algebraico.

1 Los anos aue faltan ara aue cum~la 70 anos 1 1

Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + l + b ) a + b +

- . - - - .. . - . _ , .-_. - ' - :-;4&-+-:,;

valor numérico ae una expresion aigeDraica + - P . - ,. . - - , . : T- . . ". - Wmt-I -< . . *.= A*& I

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras i~ > - 1

Halla el valor numérico de la expresidn algebraica 2x + 1 para:

O Calcula el valor de estas expresiones para los valores que se indican.

I

Un monodo es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los rulccmros se les denomina coeficientes, y a las -as con sus exponi :S, parte literd.

3x - 5ab -52

Coeficiente 3 -5 -5 3 5

Parte literal x ab x' x .I

ompleta las tablas. -

Monomio 1 Coeficiente 1 Parte literal 1

DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS

l

l

1

l

1

1

L L li Ilr L L L

S li li L

S b

b b

i 5 b 5

3

Grado de un mpnomio - - - El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

1 1

1 -3x 1 1 ( El exponente de x es 1 ( x ' ) 1

1 4a2y 1 3 La suma de los exponentes de a2y' es 2 + 1 = 3

- 5 i y 3 1 5 1 La suma de los exponentes de ?y3 es 2 + 3 = 5 1

@ Calcula el grado de los siguientes monomios.

a) -5x2 + Grado = d) zx2 + Grado =

b) 7x2y + Grado = e) -yx + Grado =

2 C) -a5b + Grado =

3 f) -x + Grado =

IBJETIVO 1 DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES 2

Identidades y ecuaciones

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).

Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras. I -. ' .- EJEMPLO .. - - I ;- :t +r--. 4 x + x = Zx es una identidad.

, ,. Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x: .

P a r a x = l + l + 1 = 2 - 1 + 2 = 2

Parax = -2 + (-2) + (-2) = 2(-2) + -4 = -4

Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la igualdad.

EJEMPLO x + 4 = lOesunaecuacih.S6bsecump~cuandox = 6 + 6 + 4 = 10

O Indica que igualdades son identidades y cueles ecuaciones.

a ) x + 8 = 2 x - 15 d) x2 x3 = x5

Para las siguientes ecuaciones, indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.

, . V da;

15-x= 12 ¿Qué número restado a 15 da 12? x =

lO+x= 14

11 - x= 10 , i

Calcula mentalmente el valor de x para que se cumpla la igualdad.

a ) x - 1 = 2 d) - x + 1 0 = 5

Resuelve, igual que en el ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones.

X X a) - = 3 + x = C) -3x= - 6 + x = e) - = 8 + x =

1 5 8

Elementos de una ecuación

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.

Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los miembros.

Los términos numéricos se denominan términos independientes.

Las incógnitas de una ecuación son los valores que desconocemos y representamos con letras.

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la ecuación.

Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad.

EJEMPLO

1 Ecuación Primer miembro Segundo miembro Terminos Grado solución 1 1 2 x - 3 = x + 1 2x - 3 x + l 2x, -3, x y 1 1 x = 4

@ Completa la tabla.

P Primer miembro

Segundo miembro

Términos

Completa esta tabla.

. - , -. :-

Dos o más ecuacio&kF~bn-e&ivdentes Rrando tiefien las midmas soluciones. 3 x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución x = 6. 3 2

Para cada una de estas ecuaciones, escribe una ecuacidn equivalente y halla su solución.

tcuat equ :nre 3 ion - 7 + x = 1 3

x + 2 = 9

2x = 14

x - 4 = 4

1 1 = 9 + ~ I - . - - - -

O La ecuacidn 3x + 4 = 10 tiene como solucidn x = 2. Averigua cuailes de las siguientes ecua- ciones son equivalentes a la ecuación 3x+ 4 = 10.

a) 3x + 10 = 20 2

e) - x + 2 x - 5 = 6x 7

@ Encuentra, tanteando, la solucidn a las siguientes ecuaiiones.

a ) x - 2 = 2 e ) x - 4 = 1