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El Azar: un recorrido desde la Antigüedad a la Época Actual

Servet Martínez CMM-DIM- U. de CHILE

Núcleo Milenio Información y Aleatoriedad

http://www.dim.uchile.cl/~random/

Preparación: Mª Inés Rivera

Conferencia ICM Gran PúblicoFundación Telefónica24/09/03

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PREHISTORIA

•Los Juegos de azar pueden haber sido una de las primeras invenciones del ser humano viviendo en sociedad.

•Se especula que desde los tiempos del neolítico habrían huesos tallados que permiten obtener resultados equilibrados (como en los dados), y que no serían herramientas “útiles”, solo servirían para jugar (¿adivinación?).

HISTORIA

•En tiempo de los egipcios ya se producen dados muy bien pulidos y equilibrados.

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UNA HISTORIA

Una historia sorprendente aparece en el gran relato épico indio Mahábharata: es la historia de Nala.Kali, un semidiós se enfurece cuando Nala gana en un juego de dados la mano de una princesa, y en castigo Kali toma posesión del cuerpo y alma de Nala y en una apuesta Nala pierde su reino y vaga demente por años. Posteriormente trabaja para un potentado, Rtuparna, quien queda admirado de que Nala sepa estimar el número de hojas y frutos de un árbol, tan sólo examinando una pequeña parte. El lo ayuda a recuperar su reino, lo que consigue Nala en un nuevo juego de dados.

El relacionar las apuestas con la estimación no se haría en Europa sino a partir del siglo XVII.

*Ian Hacking, The Emergence of Probability, Cambridge U.P. 1975

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PARADOJAS

Dilema del Prisionero

O A B

Uno de los tres prisioneros será condenado a muerte y los otros dos serán liberados.

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0 A BCaso 1 M L LCaso 2 L M LCaso 3 L L M

Probabilidad (0 Muere)=1/3

Información: Un guardia le dice a 0 que B se salva.

¿Cual es la Probabilidad que 0 muera?

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La selección del guardia, que llamaremos Y se hace así:

Y=B si A muere Y=A si B muere

Si A y B se salvan se tira una moneda y se elige A ó B con probabilidad 1/2.

Luego Probabilidad {Y=B}=1/2

Prob {0 muere, Y=B}= Prob {0 muere} Prob {Y=B / 0 muera}= Prob {0 muere} Prob{Y=B}

Deducción:

Probabilidad {0 muera / Y=B} = Probabilidad {0 muera}=1/3Probabilidad {A muera / Y=B} = 2/3

Luego a 0 no le conviene intercambiar su suerte con A.

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Paradoja del Tiempo de Espera

DIVISIÓN DE UN ARO

El casino elige un punto. Se divide el aro en dos partes, el casino se queda con la parte que contiene el 0.

0

8

A

B

0

A

B

0

Pierde Casino Gana Casino

9

A

0

B

A

0

B

A

0

A

0

B

Gana CasinoPierde Casino

EXPLICACION GEOMÉTRICA

10

A

B

O

A

B

O

Como esto no depende de la posición de 0, podemos seleccionar 0 aleatoriamente después de seleccionar A y B, por lo que 0 tendrá mayor probabilidad de permanecer a intervalo más largo.

EXPLICACIÓN PROBABILISTA

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Paradoja de San Peterburgo

El Casino paga 2n si sale cara por primera vez en la n-ésima tirada.

¿Cuánto esta dispuesto a pagar el jugador por entrar al juego?

Sea X la ganancia. Su valor esperado, o media teórica, es:

n

nn

XE 22

1

1

(pues la probabilidad de que salga cara por primera vez en la n-ésima tirada es: 1/2n )

Sin embargo el jugador esta en general dispuesto a pagar una cantidad modesta, que depende de su propensión al riesgo.

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CALCULOS PREVIOS

Antes de Pascal habían problemas para evaluar combinatorias simples de dados. Por ejemplo en juegos a 3 dados se discutía la frecuencia del 10 y el 12.

12 6 5 1 6 4 2 6 3 3 5 5 2 5 4 3 4 4 4 = 5 Combinaciones

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 24 Permutaciones

10 6 3 1 6 2 2 5 4 1 5 3 2 4 4 2 4 3 3 = 5 Combinaciones

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 Permutaciones

Citemos como anécdota que Galileo dio respuesta correcta a éste y otros juegos, confirmando lo que ya era experiencia.

Galileo Galilei1564-1642

13

)( 11

121 XEX

nXXX

n

n

iin

SIGLOS XVII, XVIII: GRANDES NÚMEROS

Apuestas sobre duración de vida de grandes personajes.

Resolución de problemas prácticos ligadas a tablas de mortalidad.

Esperanza de vida: seguros.

En general si Xn son variables independientes con igual ley se cumple la ley de grandes números

E(X)=Esperanza de X o media Teórica.

n para

14

pXn

n

ii

1

1

TEOREMA DE LOS GRANDES NÚMEROS

Xn independientes

Xn =1 con proba p

Xn = 0 con proba 1-p

Jacques Bernoulli (capítulo 5, Parte IV del Ars conjectandi ).

Jacques Bernoulli

1654 - 1705

15

Pierre-Simon Laplace

1749 -1827

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL: ERRORES

dyexpX-p)np(

x yn

ii

2

2

1

1 2

1~

1

1 Prob

Xn independientes

Xn =1 con proba p

Xn = 0 con proba 1-p

Johann Carl Friedrich Gauss1777 - 1855

16

 

CAMPANA DE GAUSS

2

2

1

2

1)(

xexf

f(x)

x

dyex y

2

2

1

2

1

Área =

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Hay dos jugadores. El total de lo apostado es ganado por el jugador que gana por primera vez N juegos.

Supongamos que el primer jugador ha ganado k juegos y el segundo j juegos y se interrumpe la partida:

¿Cómo debe dividirse el total entre ambos jugadores?

Blaise Pascal1623 - 1662

NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES

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PASEO ALEATORIO

S

tt

St

Xi=1 probabilidad 1/2 Xi= -1 probabilidad 1/2

St=

t

iiX

1

: paseo aleatorio

+

19

x

-2N

2N

t2N

k+j

k-j

)(12)(12

)(122

1 jkN

kNi

jkNijkNProba (ganar)=

Proba (perder)=1-Proba (ganar)

SOLUCIÓN DE PASCAL

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Norbert Wiener

1894-1964

MOVIMIENTO BROWNIANO

xWyet

yxpyx

tt

0t2

1

W Prob 2

1,

2

Trayectorias continuas

(normalización del paseo aleatorioen tiempo y espacio)

21

2)(log

)()(~),,(

tt

yuxuyxtp KK

K

Movimiento Browniano en el Plano evitando un obstáculo acotado K

x

y

: Núcleo del Calor en el Dominio

Pierre ColletEcole Polytechnique

A modo de ejemplo de investigaciones nuestras (P. C., S. M., J. S. M):

22

Sensibilidad a las condiciones iniciales (Dado, Ruleta)

“ORIGEN DEL AZAR”Las probabilidades son la ciencia de la incertidumbre, cuyo origen se encuentra en:

Equilibrio inestable (Dado)

23

Al abrirse compuerta el gas tiende a repartirse “al azar” en todo el receptáculo.

Mezcla café y leche

Complejidad de las causas: mezcla (de cartas por ejemplo).

24

:))(( tvf

)())((log))(())(( tdvtvftvftvH

Debido a choques de moléculas entre sí

es = 0 si f (v (t) ) es constante.

Gracias a que las moléculas de gas chocan “aleatoriamente” se pueden formular leyes simples. Si éstas están “organizadas” las leyes son más difíciles de obtener.

0))(( tvHdt

d

Densidad de moléculas velocidad v en tiempo t

Ludwig Boltzmann 1844 - 1906

TEOREMA DE BOLTZMANN

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ndxxTgn

i

i ,xg )( n

1

1

0

Media Espacial

Lema Recurrencia Poincaré:

, , )(11

0

A x xTn

i

iA

Teorema de Von Neumann-Birkhoff: la hipotesis ergódica se verifica si no hay conjuntos invariantes.

si medida A >0.

Henri Poincaré1854-1912

HIPOTESIS ERGÓDICA

John von Neumann

Media Temporal

1903-1957

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1X 2X 3X 4X 5X

iX Es 0 ó 1

Información depende de las unidades de bits. Si el mensaje es elegido de entre n mensajes equiprobables, la información será I(n).

Si tengo dos mensajes independientes, uno elegido de entre n mensajes y otro de entre m mensajes, la información es I(n)+I(m).

Si I(n) crece con n se deduce I(n)= log2 n. Luego la información es el número de bits con que se escribe un mensaje (2 mensajes caben en 1 bit: 0 ó 1). Así I(2n)=n.

INFORMACIÓN Y ENTROPÍA

Cinta

27

Luego la entropía, que es la media de información de un experimento será log2 n pues todos tienen igual información.

En general si se elige un mensaje, siendo que el mensaje i tiene probabilidad pi, la información es log 1/ pi y la entropía es

)/1(log)( 21

i

n

ii pppH

i

n

ii pp

1

2log

Es fácil ver que H(p) log2 n, luego la entropía se maximiza si las probabilidades son iguales pi =1/n, i=1,...n.

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Izquierda Empate Derecha

9 monedas: 8 son de peso igual, 1 de peso distinto.Determinar en una balanza cual es la moneda distinta y si es de peso mayor o menor que el resto.

Hay 18 permutaciones, luego información Cada pesada da información promedio 2 pesadas , luego no se puede determinar.3 pesadas y efectivamente se puede determinar cual es la moneda y si es más o menos pesada.

16.418log 2 58.13log 2

16.33log 2 2 74.43log 3 2

*Gordon Raisbeck. Théorie de l’ Information, Masson, 1964.

29

0 x2

1

F(x)0

12 vueltas de ruleta p1 p1 p2+2log

2

1,

2

1 h

Entropía:

SISTEMAS DE BERNOULLI (RULETAS)

Ruleta generalizada

m

iip

1

1

1

1

m

iip

1

1 1

Entropía (K-S): mpph ,..,1 i

m

ii pp

1

log

30

Andrey Nikolaevich Kolmogorov1903 - 1987

nm ,...,qqpp 11 a dinámico conjugado ,...,

nm ,...,qqhpph 11 ,..., si soloy si (D. Ornstein)

ENTROPIA EN TEORIA ERGODICA

Entropía es invariante de Sistemas dinámicos abstractos: corresponde a la información media asintótica dada por el sistema en una unidad de tiempo.

Para sistemas de Bernoulli se verifica que la entropía es invariante completo:

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TEORIA DE PERCOLACIÓN

Harry Kesten

Professor Emeritus of Mathematics Cornell University

(abierto) proba 1,,, pX jiji

cpp : no hay cluster infinito

: hay cluster infinitocpp

¿Cuál es el valor de pc? ¿Qué ocurre en p= pc?

vecinosnodos , ,,Sean jiji

(cerrado) 1 proba 0,,, -p X jiji

),( ji ),( ji

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REDES DE TELECOMUNICACIONES (Loss Networks)

R : Conjunto de rutas

j1 j2j3

La ruta r usa Ajr circuitos del enlace j.

Por ejemplo

Cj: número total de circuitos del enlace j (capacidad).

Si llega una llamada para usar la ruta r, ésta se efectúa si hay al menos Ajr circuitos disponibles del enlace j, si no la llamada se pierde.

1A 2A 3321

rjrjrjA

r : ruta determinada por enlaces que usa

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Punto fijo de Erlang

Si las llamadas que usan la ruta r llegan aleatoriamente a tasa (esto es según un proceso de Poisson).

nr : número de llamadas que están usando la ruta r,

el vector de llamadas de las diferentes rutas. Se verifica

Probabilidad n ~

r

j. enlace todopara C j

Rr

rjr nA

):( Rrnn r

!r

nr

n

rRr

La distribución de equilibrio del sistema es:

34

AGCTTTTCATTCTGACTGCAACGGGCAATATGTCTCTGTGTGGATTAAAAAAAGAGTGTCTGATAGCAGCTTCTGAACTGGTTACCTGCCGTGAGTAAATTAAAATTTTATTGACTTAGGTCACTAAATACTTTAACCAATATAGGCATAGCGCACAGACAGATAAAAATTACAGAGTACACAACATCCATGAAACGCATTAGCACCACCATTACCACCACCATCACCATTACCACAGGTAACGGTGCGGGCTGACGCGTACAGGAAACACAGAAAAAAGCCCGCACCTGACAGTGCGGGCTTTTTTTTTCGACCAAAGGTAACGAGGTAACAACCATGCGAGTGTTGAAGTTCGGCGGTACATCAGTGGCAAATGCAGAACGTTTTCTGCGTGTTGCCGATATTCTGGAAAGCAATGCCAGGCAGGGGCAGGTGGCCACCGTCCTCTCTGCCCCCGCCAAAATCACCAACCACCTGGTGGCGATGATTGAAAAAACCATTAGCGGCCAGGATGCTTTACCCAATATCAGCGATGCCGAACGTATTTTTGCCGAACTTTTGACGGGACTCGCCGCCGCCCAGCCGGGGTTCCCGCTGGCGCAATTGAAAACTTTCGTCGATCAGGAATTTGCCCAAATAAAACATGTCCTGCATGGCATTAGTTTGTTGGGGCAGTGCCCGGATAGCATCAACGCTGCGCTGATTTGCCGTGGCGAGAAAATGTCGATCGCCATTATGGCCGGCGTATTAGAAGCGCGCGGTCACAACGTTACTGTTATCGATCCGGTCGAAAAACTGCTGGCAGTGGGGCATTACCTCGAATCTACCGTCGATATTGCTGAGTCCACCCGCCGTATTGCGGCAAGCCGCATTCCGGCTGATCACATGGTGCTGATGGCAGGTTTCACCGCCGGTAATGAAAAAGGCGAACTGGTGGTGCTTGGACGCAACGGTTCCGAC

GenesHebra 1

Hebra -1

AGCTTTTCATTCTGACTGCAACGGGCAATATGTCTCTGTGTGGATTAAAAAAAGAGTGTCTGATAGCAGCTTCTGAACTGGTTACCTGCCGTGAGTAAATTAAAATTTTATTGACTTAGGTCACTAAATACTTTAACCAATATAGGCATAGCGCACAGACAGATAAAAATTACAGAGTACACAACATCCATGAAACGCATTAGCACCACCATTACCACCACCATCACCATTACCACAGGTAACGGTGCGGGCTGACGCGTACAGGAAACACAGAAAAAAGCCCGCACCTGACAGTGCGGGCTTTTTTTTTCGACCAAAGGTAACGAGGTAACAACCATGCGAGTGTTGAAGTTCGGCGGTACATCAGTGGCAAATGCAGAACGTTTTCTGCGTGTTGCCGATATTCTGGAAAGCAATGCCAGGCAGGGGCAGGTGGCCACCGTCCTCTCTGCCCCCGCCAAAATCACCAACCACCTGGTGGCGATGATTGAAAAAACCATTAGCGGCCAGGATGCTTTACCCAATATCAGCGATGCCGAACGTATTTTTGCCGAACTTTTGACGGGACTCGCCGCCGCCCAGCCGGGGTTCCCGCTGGCGCAATTGAAAACTTTCGTCGATCAGGAATTTGCCCAAATAAAACATGTCCTGCATGGCATTAGTTTGTTGGGGCAGTGCCCGGATAGCATCAACGCTGCGCTGATTTGCCGTGGCGAGAAAATGTCGATCGCCATTATGGCCGGCGTATTAGAAGCGCGCGGTCACAACGTTACTGTTATCGATCCGGTCGAAAAACTGCTGGCAGTGGGGCATTACCTCGAATCTACCGTCGATATTGCTGAGTCCACCCGCCGTATTGCGGCAAGCCGCATTCCGGCTGATCACATGGTGCTGATGGCAGGTTTCACCGCCGGTAATGAAAAAGGCGAACTGGTGGTGCTTGGACGCAACGGTTCCGAC

GenesHebra 1

Hebra -1

GENOMICA

(Laboratorio de Bioinformática y Matemáticas del Genoma)

Zonas codificantes y zonas no-codificantes tiene distintas estructuras de memoria:

kknnn aXaXaXa ,,,X Prob 22110n

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Distribución Granulométrica: Cantera

Las fotografías son analizadas con un marco, hay dos granulometrías estudiadas por J. B. y S. M. Una subestima y la otra subestima la granulometría real (análogo Paradoja Tiempo de Espera).

Sesgo en Estimación por Efecto Frontera

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NUMEROS NORMALES

Casi todos los números .....x..... x x.x 210 n son normales, esto es

....xxxx 210 ,.,....., , nson variables independientes uniformes en

los dígitos {0, 1,..., 9}: 10/1x Prob i a

¿ Es = 3.14159..... un número normal?

PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS

¿Cuál es la probabilidad para que entre n personas, haya al menos dos de ellas que cumplan años el mismo día?

Sea N el más pequeño tal que Ni Ni para xx

n

n

365

1365365nNProb

Sean ,...x,.....xx 21 n, independientes uniformes en {1, 2,..., 365}

493.023NProb5.0524.022 N Prob

Se dispone Applet Problema de Coleccionista de Albúm.

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Carlos Gardel.

1890 - 1935

Pero si algún pingo

Llega a ser fija el domingo

Yo me juego entero

¡ que le voy a hacer ¡

Por una cabeza

De un noble potrillo

Que justo en la raya

Afloja al llegar.

Basta de carrera:

Se acabo la timba,

Un final reñido

Yo no vuelvo a ver.

Y que al regresar

Parece decir

No olvides, hermano,

Vos sabes no hay que jugar.

PROBLEMAS QUE NO HEMOS TRATADO:

Probabilidades en Ciencias Sociales:

Probabilidades Subjetivas.

Ejemplo: Apuestas en Carreras de Caballos.

* Extracto de “Por una Cabeza” (Tango de C. Gardel y A. Lepera)