1

EjemploConsideremos los datos de un estudio donde se les mide la talla en centímetros a 20 jugadores del equipo Nacional de Handbol de EE. UU. seleccionados al azar.La ley que asocia a cada hombre con su talla es una variable aleatoria (continua).

184.2

191.8

188.0 196.2

178.4

.... etc

A esta función que asocia a cada deportista con su talla la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.

X: Talla

Qué es una Variable Aleatoria??????????

2

Ejemplo

184.2 191.8 188.0 196.2 178.4

184.2 195.4 189.2 186.0 194.3

190.5 190.5 198.1 188.0 184.2

176.5 184.2 193.5 195.6 186.3

X: Talla

3

Es un arreglo de los distintos valores que toma la variable con sus respectivas frecuencias (nº de veces que aparece cada valor de la variable en la muestra).

Cómo ordenamos los datos???????????

En una: Tabla de Distribución de Frecuencia

Qué es ?????

4

Distribución de frecuencia de ejemplo (TALLA)

Talla

173.5-179.5

179.5-185.5

185.5-191.5

191.5-197.5

197.5-203.5

f

2

4

7

6

1

20

F

2

6

13

19

20

==

Tabla de frecuenciasTabla de frecuencias

5

173.5 179.5 185.5 191.5 197.5 203.5

Talla

0

1

2

3

4

5

6

7

8f

Distribución de frecuencia de ejemplo (TALLA)

HistogramaHistograma

6

Medidas de Resumen

Los fenómenos biológicos no suelen ser constantes

•La tendencia central de los datos

Necesitamos conocer:

• La dispersión o variación respecto de este centro

•Los datos que ocupan ciertas posiciones

•La simetría de los datos

•La forma en que los datos se agrupan

7

Medidas representativas de un conjunto de datos estadísticos

8

Medidas de Tendencia Central

Son medidas alrededor de las cuales se concentran los datos

Las tres medidas más usuales de tendencia central son:

Media Mediana Moda

9

Es la suma de todos sus posibles valores dividida por el n° total de datos (n)

8.18875.188

20

3.1866.1955.193...0.1888.1912.184_

X

(Ejemplo: TALLA)

1.-Media Aritmética (X) de una variable aleatoria (o Promedio)

Datos:Datos:

184.2 191.8 188.0 196.2 178.4

184.2 195.4 189.2 186.0 194.3

190.5 190.5 198.1 188.0 184.2

176.5 184.2 193.5 195.6 186.3

10

a) n impar: mediana es el único valor central

b) n par: mediana es el promedio de los dos valores centrales

Primero !!!!! Ordenamos los valores de menor a mayor

Si n es el número de observaciones:

Es el primer valor de la variable que deja por debajo y por sobre de sí al 50 % de las observaciones.

2.- Mediana(Med) de una variable aleatoria

11

Si la variable es la talla

12

176.5, 178.4, 184.2, 184.2, 184.2, 184.2, 186.0, 186.3, 188.0, 188.0, 189.2, 190.5, 190.5, 191.8, 193.5, 194.3, 195.4, 195.6, 196.2, 198.1

(Ejemplo: TALLA)

datosde 10220

10020*50

20%50

Datos ordenados:Datos ordenados:

n= 20n= 20 parpar MedianaMediana

• Promedio de 2 valores Promedio de 2 valores centralescentrales

• Dejan aproximadamente Dejan aproximadamente 50% de los datos bajo y 50% de los datos bajo y sobre sí (aprox. 10 datos) sobre sí (aprox. 10 datos)

10 datos10 datos

6.1882

2.1890.188 Med

13

39, 40, 42, 49, 51, 54, 56, 57, 58, 58, 58, 59, 63, 64, 66, 68, 69, 70, 70, 71,72

(Ejemplo: PESO)

datosde 105.102

21

100

21*5021%50

Datos ordenados:Datos ordenados:

n= 21n= 21 imparimparMedianaMediana

• valor central únicovalor central único

• Deja aproximadamente Deja aproximadamente 50% de los datos bajo y 50% de los datos bajo y sobre sí (aprox. 10 datos) sobre sí (aprox. 10 datos)

Med=58

14

Mediana=

Si cambiamos la última observación por otra

extrañamente grande

X: 2, 5, 7, 125

Sea X una variable discreta con los siguientes valores:

X: 2, 5, 7, 12

Media= (2+5+7+12)/4=6.5(2+5+7+12)/4=6.5 (5+7)/2= 6

Media=(2+5+7+125)/4=34.75(2+5+7+125)/4=34.75 Mediana=(5+7)/2= 6

Conclusión:

La Media es afectada por valores extremos, no así, la Mediana

15

Cuál de los dos valores es más adecuado para la distribución de los datos, la Media o la Mediana???

Límite real

f

0-10 60

10-20 80

20-30 30

30-100 20

100-500 10

200

c

5

15

25

65

300

F

60

140

170

190

200

15

75.32

Mediana

XMedia

Ejercicio

16La medida de tendencia central más adecuada para describir estosLa medida de tendencia central más adecuada para describir estos

datos es la MEDIANAdatos es la MEDIANA

17

Es aquel valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.

3.- Moda de una variable aleatoria

• Puede no ser única

18

(Ejemplo: TALLA)

Moda= 184.2

Como conocemos cada uno de los datos, podemos ver el que

más se repite:

19

Medidas de Posición

Dividen el conjunto de datos ordenados en partes iguales

Las dos medidas de posición más usuales son:

Percentiles Cuartiles

20

Es la observación, Pk, que deja por debajo de sí el k% de la población.

1.-Percentiles

PERCENTIL DE ORDEN k:

Deja debajo de sí el 50% de los datos ordenadosDeja debajo de sí el 50% de los datos ordenados

PP2525 Deja debajo de sí el 25% de los datos ordenadosDeja debajo de sí el 25% de los datos ordenados

PP7575== Deja debajo de sí el 75% de los datos ordenadosDeja debajo de sí el 75% de los datos ordenados

Son 99 valores que dividen en 100 partes iguales el conjunto de

datos ordenados. Ejemplo, el percentil de orden 67 deja por debajo de

sí el 67% de las observaciones, y por encima queda el 33%

PP5050 MedianaMediana

21

Si n es el número de observaciones:

1º) Primero ordenamos las observaciones de menor a mayor1º) Primero ordenamos las observaciones de menor a mayor

2º) Calculamos el k% de n 2º) Calculamos el k% de n

100

*%

nkndek

3º)Contando los datos desde el valor menor al mayor, 3º)Contando los datos desde el valor menor al mayor, el percentil deel percentil de

orden k será aquel valor de la variable ubicado en la posición número:orden k será aquel valor de la variable ubicado en la posición número:

100

*nk

22

176.5, 178.4, 184.2, 184.2, 184.2, 184.2, 186.0, 186.3, 188.0, 188.0, 189.2, 190.5, 190.5, 191.8, 193.5, 194.3, 195.4, 195.6, 196.2, 198.1

(Ejemplo: TALLA)

datosde 134.13100

20*6720%67

Datos ordenados:Datos ordenados:

n= 20n= 20

PP6767

• Deja aproximadamente Deja aproximadamente 67% de los datos bajo de sí 67% de los datos bajo de sí (aprox. 13 datos), y el 33% (aprox. 13 datos), y el 33% sobre sísobre sí

Calculemos el percentil de orden 67%Calculemos el percentil de orden 67%

8.19167 P

23

2.-Cuartiles

Segundo cuartil (Q2)Segundo cuartil (Q2) PP5050=Mediana=Mediana

Son los 3 valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro

partes iguales

Primer cuartil (Q1)Primer cuartil (Q1)PP2525

Tercer cuartil (Q3)Tercer cuartil (Q3) PP7575

24

Medidas de Dispersión

• Nos dicen hasta qué punto las medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información.

• Cuantifican la separación o la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central.

Las más usadas son: Las más usadas son:

Rango(Recorrido)Rango(Recorrido)Desviación EstándardDesviación Estándard

25

1.-Rango o Recorrido

RANGO (RECORRIDO) = Valor Máximo - Valor Mínimo.

Inconvenientes del RANGO (RECORRIDO):

• No utiliza todas las observaciones (sólo dos de ellas).

• Se puede ver muy afectado por alguna observación extrema.

• El rango aumenta con el número de observaciones, o bien se

queda igual. En cualquier caso, nunca disminuye.

26

(Ejemplo: TALLA)

Valor Máximo=Valor Máximo=Valor Mínimo= Valor Mínimo= 176.5176.5 198.1198.1

Rango o Recorrido=Rango o Recorrido= 198.1 – 176.5=198.1 – 176.5= 21.621.6

Sólo depende del valor máximo (198.1) y del valor Mínimo (176.5)Sólo depende del valor máximo (198.1) y del valor Mínimo (176.5)

176.5, 178.4, 184.2, 184.2, 184.2, 184.2, 186.0, 186.3, 188.0, 188.0, 189.2, 190.5, 190.5, 191.8, 193.5, 194.3, 195.4, 195.6, 196.2, 198.1

27

(Ejercicio: Concentración urinaria de plomo en niños

Concentración de plomo (µmol/24hr)

0.2

1.5

0.6

2.0

0.8

2.1

2.1x

(x-promedio)

0.2 - 1.2= -1

1.5 - 1.2=0.3

0.6 - 1.2= -0.6

2.0 - 1.2=0.8

0.8 - 1.2=-0.4

2.1 - 1.2=0.9

9.04.08.06.03.01x 00

28

01

n

ii xx

11

2

n

xxn

ii

n

ii xx

1

2

SS22=

soluciónsolución

29

11

2

2

n

xxS

n

ii

Es la media de las diferencias cuadrática de n puntua-

ciones con respecto a su media aritmética.

Desviación Estándar (S):

2.-Varianza (S2) y desviación estándar(S)

30

(Ejemplo: TALLA)

Datos:Datos:

5.34

1208.1883.1868.1886.195...8.1880.1888.1888.191)8.1882.184( 22222

2

s

8,188

20_

X

n

9.55.34 s

184.2 191.8 188.0 196.2 178.4

184.2 195.4 189.2 186.0 194.3

190.5 190.5 198.1 188.0 184.2

176.5 184.2 193.5 195.6 186.3

31

En SPSS

32

Medidas de Forma

1.- Asimetría

Coef. deCoef. de

Asimetría <0Asimetría <0

Coef. deCoef. de

Asimetría =0Asimetría =0

Coef. deCoef. de

Asimetría >0Asimetría >0

33

Ejemplo

Moda <Mediana<MediaModa <Mediana<Media

34

En SPSS

Moda <MedianaModa <MedianaMediaMedia Si bien se nota una leve cola hacia laSi bien se nota una leve cola hacia la

izquierda, la asimetría es sutil por ello queizquierda, la asimetría es sutil por ello que

los valores son cercanoslos valores son cercanos

35

2.- Apuntamiento o curtosis

Curtosis >0Curtosis >0 Curtosis =0Curtosis =0 Curtosis <0Curtosis <0

Distribución mesocúrtica : presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores

centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).

Distribución leptocúrtica : presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

36

En SPSS

37

En SPSS

38

Ejercicio

Datos I: Datos I:

2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 52, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5

Datos II: Datos II:

3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 63, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6

Datos III: Datos III:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 62, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6

Datos IV: Datos IV:

3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 53, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5

Promedio=Promedio=

Mediana=Mediana=

Promedio=Promedio=

Mediana=Mediana=

Promedio=Promedio=

Mediana=Mediana=

Promedio=Promedio=

Mediana=Mediana=

39

Datos x Med Moda Rango P25 P75 P75-P25 S

I 4 4 5 3 3 5 2 1

II 4 4 3 3 3 5 2 1

III 4 4 4 4 4 4 0 1

IV 4 4 3 y 5 2 3 5 2 1Distribución I

2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

No

of o

bs

Distribución II

3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

No

of o

bsDistribución III

2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

No

of o

bs

Distribución IV

3 4 50

1

2

3

4

5

6

7N

o o

f ob

s

40

Importante para describir los datos!!!!!!!!!!!!......Importante para describir los datos!!!!!!!!!!!!......

Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión

Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central

Medidas de posiciónMedidas de posición

++

++

Gráficos:Histograma, BoxPlotGráficos:Histograma, BoxPlot

++

41

RESUMEN : Medidas descriptivasRESUMEN : Medidas descriptivas

PosiciónPosición

Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de datosDividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de datos

. Percentiles, cuartiles. Percentiles, cuartiles

CentralizaciónCentralización

Indican valores respecto alos cuales los datos parecen agruparesIndican valores respecto alos cuales los datos parecen agrupares

. Media, mediana y moda. Media, mediana y moda

DispersiónDispersión

Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralizacióncentralización

. Varianza, desviación estándar, rango o recorrido. Varianza, desviación estándar, rango o recorrido

FormaForma

Asimetría y apuntamientoAsimetría y apuntamiento

42

Elección de medidas de tendencia central y de dispersión

Variable Nominal

Variable Ordinal

Moda

• Mediana

• Moda

• Percentiles

Variable Contínua:

• ConCon distribución desconocida o asimétrica distribución desconocida o asimétrica

• ConCon distribución simétrica y unimodal (Ej: Normal) distribución simétrica y unimodal (Ej: Normal)

• Mediana

• Percentiles

• Media

• Desviación estándard