NÚMEROS COMPLEJOS

1) Dé el Resultado de la siguiente operación: No existe resultado en el Conjunto de los números Reales. Puesto que no existe ningún Número Real que elevado al cuadrado nos dé como resultado -1

2) ¿Cuáles fueron las primeras reacciones de los matemáticos ante estas operaciones? En principio expresaron que estos problemas no tenían solución, pero muy pronto empezaron a sospechar de la existencia de “otros tipos de números”. En principio les llamaron imaginarios.

3) ¿Cómo se halló la Solución a estas operaciones? En principio hubo que crear una definición. Se definió . Entonces, aprovechando esta definición y La Ley distributiva de la Radicación con respecto al producto y al cociente, no sólo se consiguió expresar la solución de estas operaciones, sino que se pudo también simplificar cualquier radical imaginario (u operación con radicales imaginarios).

4) ¿Cómo quedó ampliado el Esquema General de Los Conjuntos Numéricos con este descubrimiento? Al descubrir los números imaginarios, de inmediato se definió un nuevo súper conjunto: El Conjunto de los Números Complejos, el cual incluiría el Súper Conjunto de los Números Reales, ya conocidos, y los Números Imaginarios recién descubiertos. Siendo El Conjunto de los Números Complejos el Conjunto más inclusivo hasta hoy: Las Operaciones que no tenían solución en Campo Real, entonces tienen solución: en el Campo Complejo.

5) ¿Cómo se define un Número Complejo? ¿Cuál es su estructura? Todo número complejo consta de 2 partes: una parte real y otra parte imaginaria: Es decir su estructura es de la siguiente forma: . Como se puede apreciar: Todo número Complejo: es Real e imaginario a la vez. Por tanto no confundir como si se tratara de dos números distintos sino de un solo número. Sólo algunos complejos se suelen expresar con un solo número: Los Imaginarios Puros y Los Reales Puros.

6) ¿Cuándo a un Número Complejo se llama Real Puro? Cuando su parte imaginaria es 0. Ej:

7) ¿Cuándo a un Número Complejo se llama Imaginario Puro?

Cuando su parte Real es 0. Ej:

8) ¿Cómo se representa gráficamente un Número Complejo? Se necesitará el plano para representarlo. Para representarlos:Aprovechamos los Ejes Cartesianos, aquí llamados Ejes Gaussianos. En que:

Para Indicar la parte real del número, usamos el Eje Horizontal Para Indicar la parte imaginaria del número, usamos el Eje Vertical

9) Hemos visto que todo número Complejo es un punto del plano ¿No sugiere esto una nueva forma de expresar los Números Complejos? ¡Efectivamente! Los números complejos también pueden ser expresados como: “pares ordenados”. En que: su primera componente será su parte real y su segunda componente, a su parte imaginaria.

10) ¿Qué formas de representar Complejos hemos visto hasta ahora? Dos formas: 1) La Forma binómica y 2) La Forma de pares ordenados (o Forma Canónica)

11) ¿Por qué tantas formas distintas para expresar Números Complejos? Porque no todas las operaciones matemáticas básicas podían ser realizadas en las formas: Binómica y Canónica. Pero luego se descubrieron otras dos formas. Y era necesario descubrirlas, para poder realizar operaciones como, por ejemplo, La Radicación, la cual no podía ser realizada en las formas: Canónica y Binómica.

12) ¿Cuáles operaciones matemáticas básicas se pueden realizar con los Números Complejos? En realidad, todas. Sólo que no siempre todas pueden ser realizadas en una misma forma de expresión compleja.

13) ¿De qué forma se realizan las distintas operaciones básica en forma Canónica? (las que sean posibles)

14) ¿De qué forma se realizan las distintas operaciones básica

en forma Binómica? (las que sean posibles)

15) ¿Qué gran aporte hace esta Primera Parte de Números Complejos, al estudiante de 1ro de bachillerato?Primero: les pone bases que necesitarán para en 2do Bachillerato. Por ejemplo al resolver Ecuaciones de 2do grado muchas dan radicales imaginarios. Su resultado, por supuesto, serán dos Números Complejos ¿Cómo podría resolverlas un estudiante que no Maneja Radicales Imaginarios?Segundo: les prepara para su vida de estudiante en general.. En fin,, estarán preparados para operar con cualquier tipo de Conjuntos Numéricos, aunque por el momento con los complejos, sólo en sus formas: Binómica y Canónica.

16) a) ¿Qué tipo de Relaciones pueden darse entre dos

números Complejos? Entre dos números complejos pueden darse los siguientes tipos de relaciones: pueden ser: IGUALES, OPUESTOS o CONJUGADOS.

b) ¿Cómo Identificar estas Relaciones en complejos en las Formas: Canónica y Binómica? Veamos:

Dos números complejos son iguales si tienen respectivamente iguales su parte real y su parte imaginaria.

Dos números complejos son opuestos si tienen respectivamente opuestas su parte real y su parte imaginaria.

Dos números complejos son conjugados si sólo se diferencian en el signo de su parte imaginaria.

L O S C O N J U N T O S N U M É R I C O S

1. a) ¿Cuál fue el primer Conjunto Numérico conocido?Los números Naturales

b) ¿Cuándo surge este Conjunto?El hombre descubre este Conjunto cuando tuvo la necesidad de contar

2. ¿Inventa el hombre los números?No. Los números siempre han existido. Sólo que el hombre los va descubriendo según necesidad. Es posible que existan otros tipos de números, pero hasta el momento no los hemos necesitado.

3. Una vez descubierto un nuevo Conjunto Numérico ¿Cómo ampliaban (los matemáticos) el Esquema General de los Conjuntos Numéricos anterior?

Una vez era descubierto un nuevo Conjunto, se creaba un nuevo súper conjunto, en el cual se incluían a todos los Conjuntos numéricos anteriores.Por mucho tiempo el gran súper conjunto fue el Conjunto de los Números Reales, hasta que se descubrieron Los Números imaginarios formándose luego El Súper Conjunto Complejo.

4. ¿Cómo se representar gráficamente todos los números Reales?Todos los números reales quedan completamente representados en La Recta Numérica.

5. ¿Es posible representar algún número imaginario en La Recta Real?

¡Imposible! Pues son Conjuntos disjuntos

6. ¿Cómo se las ingeniaron los matemáticos para representar los Números Complejos?

Se necesitó el plano. Carlos Federico Gauss aprovechó el Plano Cartesiano y lo transformó en El Plano Gaussiano, en la siguiente forma:

Utilizó el Eje Horizontal como El Eje Real y El Eje Vertical como El Eje Imaginario

Es así como cada número complejo es un punto del plano gaussiano. Es decir: un par ordenado.Veámoslo en La Gráfica: