1 cristalografia2014

CRISTALOGRAFÍAzz

Primer capítulo de curso

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

FC UNI

Marzo 2014

Lima, Perú

ARTURO TALLEDO

Doctor en Física

Introducción• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos

amorfos (desordenados)

• Lo que actualmente se conoce como FES es

básicamente la física de los cristales o sólidos

cristalinos. La Física de sólidos amorfos se

explica en base a los conceptos de la Física de

cristales.

• Los cristales son una disposición periódica de

átomos en el espacio real tridimensional

(longitudes).

CRISTAL = RED + BASE

Un sólido cristalino se puede describir

definiendo un conjunto ordenado de

puntos y asignando a cada punto un

conjunto de (1,2, 3...n) átomos en

posiciones bien definidas

Definición de red cristalina

ntesindependieelinealment

vectoressondonde 321 ,, aaa

1 1 2 2 3 3 1 2 3

/ ; , ,RED P P n n n n n n a a a

Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente

independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3

Vectores Primitivos y celdas primitivas

• Se dice que una terna de vectores L.I es una

terna de vectores primitivos si junto con el

conjunto Z define dicha red cristalina.

• El paralepípedo definido por la terna

primitiva se llama celda primitiva

• La terna primitiva no es única

• Todas las celdas primitivas tienen el mismo

volumen

Red cristalina y vectores

primitivos

a2a1

La terna (dupla) primitiva no es única

a2a1

b1b2

c1

c2

d1

d2

u1

u2

Diferentes celdas primitivas de una red. Todas

tienen igual área (volumen)

a2a1

b1b2

c1

c2

d1

d2

CLASIFICACIÓN DE LAS REDES

CRISTALINAS

• Se clasifican por sus propiedades de

simetría

• Hay 5 tipos de redes bidimensionales

• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)

CELDA UNITARIA

• Cada tipo de red cristalina se identifica con

una celda convencional o celda unitaria, no

necesariamente celda primitiva.

• Los tres vectores l.i. que definen la celda

unitaria se llaman ejes cristalinos o

vectores convencionales.

Redes Bidimensionales

• Oblicua

• Rectangular

• Rectangular centrada

• Cuadrada

• Hexagonal

Redes de Bravais 3D (1)


Cúbico

Hexagonal

Trigonal

Vectores primitivos y ejes cristalinos

en una red sc

ab

c

Ejes cristalinos

a = a i

b = a j

c = a k

Vectores Primitivos

a1 = a

a2 = b

a3 = c


en una red bcc

• Ejes cristalinos

• a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos

• a1 = 1/2 a (i + j - k)

• a2 = 1/2 a (- i + j + k)

• a3 = 1/2 a (i - j + k)

ab

c

a1

a2

a3


en una red bcc


• a = a i

• b = a j

• c = a k


• a1 = a’ = 1/2 a (i + j - k)

• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k)

• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k)


en una red fcc


• a = a i

• b = a j

• c = a k


• a1 = 1/2 a (i + j)

• a2 = 1/2 a ( j + k)

• a3 = 1/2 a ( k + i)

b

c

aa1

a3

a2


en una red fcc


• a = a i

• b = a j

• c = a k


• a1 = a’ = 1/2 a (i + j)

• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k)

• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)

Ejercicio

• Demostrar que el volumen de una celda

primitiva de una red bcc es la mitad del

volumen de la correspondiente celda

unitaria

• Demostrar que el volumen de una celda

primitiva de una red fcc es un cuarto del

volumen de la correspondiente celda

unitaria

El volumen de una celda primitiva es la cuarta

parte de una celda unitaria fcc

El volumen de una celda primitiva es la mitad

de una celda unitaria bcc

PLANOS CRISTALINOS

Un plano cristalino puede ser definido por:

• Tres puntos no colineales de una red cristalina

• los vectores que van de uno de los puntos a los otros dos.

• la normal al plano

• En FES se usa una convención especial para designar a los planos: Los índices de Miller

Índices de Miller

• Desde cualquier punto de la

red no contenido en el plano

se trazan los ejes cristalinos.

• Se observan las

intersecciones del plano con

los ejes cristalinos.

• Se invierten los coeficientes

• Se multiplican por el entero

que los convierte en la terna

de enteros más pequeña,

(hkl) , en esa proporción

Índices de Miller

El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos

invertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se

toma origen en el plano paralelo vecino inmediato

X

y

x

y

a

2 bO

O'

(1/2) a

b

Algunos planos cristalinos de redes

cúbicas

Familias de planos paralelos

• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto

de la red se puede trazar un plano paralelo.

• Un cristal puede considerarse como la

superposición de una familia de planos paralelos

(cualquier punto de un cristal está contenido en

una familia de planos)

• Planos equivalentes por operaciones de simetría

{hkl}

Algunos planos en redes cúbicas

ALGUNOS ÍNDICES DE MILLER

VÁLIDOS

• Cúbico simple

• (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)

• BCC

• (110), (200), (121),

• (h+k+l) = entero par

• FCC

• (111), (200), (220)

• (hkl) todos pares o todos impares

Distancia interplanar en redes

ortorrómbicas

xa

dcos

x

y

z

d

plano (hkl)

a

dhcos

yb

dcos

zc

dcos

222

1

c

l

b

k

a

hd

cúbicas redes para , 222 lkh

ad

b

dkcos

c

dlcos

Estructuras cristalinas

(sc monoatómica)

• Cristal = Red + base

• Red: cúbico simple

• base: un átomo

• en origen (cualquier

punto de red)

• Polonio


(bcc monoatómica)


• Red: bcc

• base: un átomo


punto de red)

• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba,

Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu


(fcc monoatómica)


• Red: fcc

• base: un átomo


punto de red)

• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag,

Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar,

Kr, Xe, Pb

Estructuras cristalinas (CsCl)


• Red: cúbico simple

• base: dos átomos

• Cs en origen (cualquier

punto de red)

• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a

• TlBr, TlI, CuPd,

CuZn (bronce beta), AgMg, LiHg, AlNi, BeCu

Estructuras cristalinas (CsCl)

Perovskita

Estructuras Cristalinas (NaCl)


• Red: fcc


• Cl en origen (cualquier

punto de red)

• Na en (1/2, 0, 0)a

• LiH, NaCl, KCl, PbS,

AgBr, MgO, MnO, KBr.

Estructuras Cristalinas (NaCl)


• Red: fcc


• C en origen (cualquier

punto de red)

• C en (1/4, 1/4, 1/4)a

• C, Si, Ge, estaño gris.

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)


• Red: fcc


• Zn en origen (cualquier

punto de red)

• S en (1/4, 1/4, 1/4)a

• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,

AgI.

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

Estructuras cristalinas (hexagonal

compacta)


• Red: Hexagonal

simple


• Uno en origen (cualquier

punto de red)

• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c

• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd,

Co,Y.

DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS

SC

6

a

BCC

8

2/3 a

FCC

12

2/2 a

HCP

12

¿?

DIAMANTE

4

4/3 a

Factor de empaquetamiento de una

estructura fcc monoatómica

aR

Ra 42

3

3

)3

4(4

a

R

f

6

2f

74,0f

Encontrar la relación c/a en una

estructura hcp ideal

ac3

8

h

a

c/2

a

43

22

2 caa

2

3

3

2ah

CELDA WIGNER SEITZ

• Desde cualquier punto de la

red

• Se trazan segmentos a los

puntos vecinos más

cercanos, segundos más

cercanos, y así...

• Se bisecan dichos

segmentos con planos

perpendiculares.

• La celda WS es el sólido

más pequeño formado por

las intersecciones de los

planos.

Construcción de una celda WS

Una red cristalina como una

superposición de celdas WS

(Hay una celda WS por punto de red)

Celda Wigner Seitz

Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada

Celda Wigner-Seitz de una red cúbica

cuerpo centrado (octaedro truncado)

Celda Wigner-Seitz de una red cúbica

cara centrada (dodecaedro regular)

Imperfecciones de un cristal

• Efectos de superficie

• Impurezas

• Vacancias

• fracturas

OPERACIONES DE SIMETRÍA DE

REDES CRISTALINAS

• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lo

dejan invariante.

• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro

es una operación de simetría de una esfera.

• Una operación de simetría de una red cristalina es

cualquier traslación de una red cristalina por un vector:

• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexiones

y rotaciones ; n = 1, 2, 3, 4, 6.

332211 aaaT nnn

n/2

TEORÍA DE GRUPOS

• Grupo es un conjunto con una operación

(producto) que :

• es cerrado

• es asociativo

• hay un elemento identidad

• hay un elemento inverso para cada elemento

• conmutativo = abeliano

Operaciones de simetría de un

triángulo equilátero

• E, identidad

• A, B, C, rotaciones de 180

respecto a los ejes A, B y C,

respectivamente

• D, rotación de 120 en sentido

horario respecto a eje

perpendicular por el centro del

triángulo

• F, rotación de 120 en sentido

antihorario respecto a eje

perpendicular por el cenro del

triángulo A

BC

1

2 3

Tabla de multiplicación del triángulo

equilátero

E A B C D F

E E A B C D F

A A E F D C B

B B D E F A C

C C F D E B A

D D B C A F E

F F C A B E D

Operaciones de simetría de un tetraedro

regular ( T )

• Identidad

• C2x, C2y, C2z

• 8 rotaciones de 120

(C3) alrededor de las

diagonales de un cubo.

a

b

c

d

Algunos grupos de simetría

REDES CRISTALINAS Y GRUPOS DE SIMETRÍA

Sistema Celda unitaria Grupos Número de

operaciones de

simetría

Triclínico

cba C1 ,

S2 (Ci)

1

2

Monoclínico

2/

cba C1h

C2

C2h

2

2

4

Ortorrómbico

2/

cba C2v

D2 (V)

D2h ( Vh)

4

4

8

Tetragonal

2

cba C4

S4

C4h

D2d

C4v

D4

D4h

4

4

8

8

8

8

16

Romboedral

23

2

cba C3

S6

C3v

D3

D3d

3

6

6

6

12

Hexagonal

3

2,

2

cba C3h

C6

C6h

D3h

C6v

D6

D6h

6

6

12

12

12

12

24

Cúbico

2

cba T

Th

Td

O

Oh

12

24

24

24

48

Redes imposibles

(Simetría de orden5 )

Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto

de red.Considere que T es el vector de

traslación de longitud más pequeño

T

T´

T´´

Nótese que T`+ T`` es de

menor longitud que T

Redes imposibles

(Simetría de orden 7 o mayor)Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es

incompatible con el concepto de red.

T

T´

Supongamos que T es el vector de traslación

Más pequeño.

7 n si , T /n)(Sen T 2 ̀ TT

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

altura c/2

altura c y 0

12 atomos por celda unitaria o celda primitiva

esfera negra altura c/2

esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria

A1 : (0,0,0)

A2: 1/3 a +1/3 b

A3: 2/3 a +2/3 b +1/2 c

A4: (0,0,c/2)

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