1 capitulo 2: modelos unitarios intertemporalmente separables económico josé alberto molina...

1

CAPITULO 2:MODELOS UNITARIOS

INTERTEMPORALMENTE SEPARABLES

Económico José Alberto MolinaDepartamento de Análisis Económico

Facultad de Ciencias Económicas y EmpresarialesUniversidad de Zaragoza

MasterUniversitarioInvestigación

Economía

Facultad de Económicas y Empresariales

Universidad de Zaragoza

Microeconomía

“Modelos Unitarios Intertemporalmente

Separables”

Prof. José Alberto Molina


Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



Microeconomía


Separables”



Economía




Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



2

ÍNDICE

2.1. El sistema lineal de gasto

2.2. El sistema translog

2.3. El sistema de demanda casi ideal

2.4. El modelo de Rotterdam

2.5. Evidencia empírica

José Alberto Molina

Facultad de Económicas y

Empresariales de la Universidad de

Zaragoza

Microeconomía


Separables”



Economía



3José Alberto Molina



Zaragoza

A partir de la definición de sistema completo de ecuaciones de demanda, también denominado

genéricamente modelo unitario del consumidor:

qi = qi(p,y) (i = 1, ..., n)

el primer paso de su estudio consiste en la especificación concreta de su función de preferencias.

La literatura ha planteado distintas alternativas:

i) partir de una función de utilidad y obtener las ecuaciones;

ii) especificar la función indirecta de utilidad y, a partir del Teorema de Roy, obtener las funciones de demanda;

iii) postular una función de gasto, generar las demandas hicksianas, y expresar después la utilidad en términos de

los precios y la renta por medio de la función indirecta;

iv) formular directamente las funciones de demanda.

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Desde una perspectiva intuitiva podemos concretar algunas ventajas de unas formulaciones sobre otras.

Los especificaciones iii) y iv) presentan el atractivo de que resulta más sencillo aplicar la intuición

para formular a priori la forma más adecuada de las funciones de gasto o demanda que intuir la característica funcional de las funciones directa o indirecta de utilidad.

Por su parte, las formulaciones i) y ii) presenta el inconveniente de ser más laboriosa, de tal forma que, en

ocasiones, deben realizarse complejos cálculos de optimización para obtener las funciones de demanda.

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

1.- EL SISTEMA LINEAL DE GASTO

iγ 0

El sistema lineal de gasto (Linear Expenditure System) fue propuesto inicialmente por Stone (1954) y se formula

a partir de una función de utilidad Stone-Geary:

puede interpretarse como el consumo mínimo de subsistencia de tal forma que qi > i . Además, i > 0 para

que la función sea monótona creciente y también

Calculamos las condiciones de primer orden:

(i = 1, ..., n)

∑pi qi = y

n

1i

iβii γq)u(q

1βn

ii

Microeconomía


Separables”



Economía



i1

iiin

i

iβii

1iii

1n

ij

jβjj

1iβiii

iλpuγqβγqγqβγqγqβ

q

u

q

i 0




Zaragoza

Si dividimos entre sí todas las n-1 primeras ecuaciones y la n-ésima para eliminar el multiplicador:

y multiplicando por pi nos queda la expresión del gasto

Sustituyendo en la restricción presupuestaria estas expresiones de gasto:

n

i1

nnn

1iii

λp

λp

uγqβ

uγqβ

n

i

ii

nn

n

i

p

p

γq

γq

β

β nni

n

n

iii γq

p

p

β

βγq

nnnn

iiiii γqp

β

βγpqp

Microeconomía


Separables”



Economía



n

iinn

n

ni

n

iii

n

ii βγq

β

ppqpy

n nn

n n i i ii in

ny p γ

i ip i(q ) y p q γ βn n n n

p βn i

i




Zaragoza

y, recordando que , derivamos la ecuación genéricade demanda marshalliana del LES en términos de cantidades:

(i = 1, ..., n)

desarrollando:

(i = 1, ..., n)

o, en términos de gasto:

(i=1,…,n)Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda

del LES para n bienes incluye n ecuaciones con n+1 parámetros por ecuación:

i

jn

jj

iii p

γpy

βγq

i

nniii

i

11i

iiii p

pγβ...γβ...

p

pγβ

p

yβγq

Microeconomía


Separables”



Economía



ii

1

i i i i i 1 1 i i n np q p γ β y p γ ... p γ ... p γ

p1q1 = p11 + 1 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)

p2q2 = p22 + 2 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)

...

pnqn = pnn + n (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)




Zaragoza

El LES se define a partir de una función de utilidad de buen comportamiento cuya relación marginal de

sustitución del sistema satisface el principio de decrecimiento:

de tal forma que el modelo satisface las condiciones de agregación (Engel y Cournot), homogeneidad y simetría, por

lo que no será necesario contrastar su imposición.

Adicionalmente, el LES presenta una serie de características teóricas que se derivan directamente de las

elasticidades gasto y precio.

En primer lugar, puesto que u(q) es monótona creciente, (βi > 0), entonces, todos los bienes son normales, es decir, no

pueden aparecer bienes inferiores en el modelo:

ij j j ji i i ii i

j 2j i i j ij j j j

U β dRMS βq γ q γdqRMS 0

dq U β dq βq γ q γ

0p

β

y

q

i

ii

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

En segundo lugar, la elasticidad gasto revela que no todos los bienes pueden ser de lujo y no todos los bienes pueden

ser de primera necesidad.

En tercer lugar, la elasticidad precio directa nos permite afirmar que en el LES todos los bienes presentan

demandas inelásticas:

n

jjjiii

i

i

i

i

n

jjj

ii

i

i

i

i

ii

γpyβγp

yβ

p

β

p

γpy

βγ

y

p

β

q

y

y

q

q

ye

2i

n

jjji

iii

2i

n

jjjiiii

i

i

i

i

i

iyii

p

γpyβ

γβq

1

p

γpyβpγβ

q

p

p

q

q

pe

1

q

β1γ

q

γγβ

q

qγqγβ

q

1

i

ii

i

iii

i

iiiii

i

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

En cuarto lugar, las elasticidades cruzadas permiten constatar que en este modelo todos los bienes son

complementarios brutos entre sí:

(i ≠ j = 1, ..., n)

Finalmente, podemos comprobar también que todos los bienes son sustitutivos netos, de acuerdo con el

signo positivo del efecto de sustitución cruzado:

(i ≠ j = 1, ..., n)

0qp

γpβ

p

γβ

q

p

p

q

q

pe

ii

jji

i

ji

i

j

j

i

i

jyij

0γqp

β

p

βq

p

γβ

y

qq

p

qS ii

i

i

i

ij

i

jiij

j

iij

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

2.- SISTEMA TRANSLOG

y

pln

y

plnβ

2

1

y

plnααy,v ln j

n

i

n

j

iij

in

ii0p

El sistema de funciones translog de Christensen, Jorgenson y Lau (1975) parte de aproximar la función

indirecta de utilidad por una forma cuadrática en logaritmos de los cocientes entre los precios y el gasto:

Partiendo del Teorema de Roy y recordando que

ii

lnv p,y lnpw

lnv p,y lny

Microeconomía


Separables”



Economía



dlnp 1idp pi i

i i i i i ii i

ij

V ln V ln V ln VV Y

p p ln p p q ln pq w

V V ln V ln V ln VYppY ln Y ln Y ln Y




Zaragoza

Para obtener las derivadas anteriores desarrollamos la función indirecta:

2n

nnin

ni1n

n1

2i

ii1i

i1

i11i

21

11

nn

ii

110

y

plnβ

2

1...

y

pln

y

plnβ

2

1...

y

pln

y

plnβ

2

1

...y

plnβ

2

1...

y

pln

y

plnβ

2

1

...y

pln

y

plnβ

2

1...

y

plnβ

2

1

y

plnα...

y

plnα...

y

plnααy,lnv p

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

0 1 1 i iln p ln y ... ln p ln y ...

...lny2lnplnylnpβ2

11

22111

...lnylnylnplnylnplnplnpβ2

1 21i1ii1

...lny2lnplnylnpβ2

1i

22iii

lny2lnplnylnpβ2

1n

22nnn

Calculamos las derivadas logarítmicas suponiendo que ij = ji:Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

...lnylnpβ

2

1α

lnp

y,lnv11ii

i

p

lnylnpβ2

1...2lny2lnpβ

2

1...lnylnpβ

2

1niniii1i1

n n

ki ik k i ik

k k

pα β lnp lny α β ln

y

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

...α...α...ααlny

y,lnvni21

p

...lnplnp2lnyβ2

1i11i

nnniii1ii1 2lnp2lnyβ2

1...2lnp2lnyβ

2

1...lnplnp2lnyβ

2

1

ni21 α...α...αα

...

pp

ylnβ

2

1

p

ylnβ

i1

2

1i1

11

nnn

iii

1i

2

i1 p

ylnβ...

p

ylnβ...

pp

ylnβ

2

1

ni21 α...α...αα

i1i

11i

111 p

ylnβ

2

1

p

ylnβ

2

1

p

ylnβ

nnn

iii

1i1

ii1 p

ylnβ...

p

ylnβ...

p

ylnβ

2

1...

p

ylnβ

2

1...

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

ni21 α...α...αα

...

p

ylnβ

2

1...

p

ylnβ

i1i

111

nnn

iii

1i1 p

ylnβ...

p

ylnβ...

p

ylnβ

...

y

plnβ...

y

plnβα...α...αα i

1i1

11ni21

n

j

kn

κjk

n

jj

nnn

iii

1i1 y

plnβα

y

plnβ...

y

plnβ...

y

plnβ

Por tanto:

(i = 1, ..., n)

n

j

kn

kjk

n

jj

kn

kiki

i

y

plnβα

y

plnβα

wMicroeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

(i = 1, ..., n)

Asumiendo por simplicidad:

Dado que esta función no impone ninguna propiedad teórica, es posible contrastar la simetría: ij = ji, i,

j = 1, ..., n, i ≠ j; y la negatividad: i 0, i = 1, ..., n.

y

plnβ...

y

plnβα...α

y

plnβ...

y

plnβα

wn

n

jjn

1n

jj1n1

nin

1i1i

i

n ni

j M jk Mkj j

α α 1; β β

Microeconomía


Separables”



Economía



1 n1 11 1n

11 11 nM1 Mn

1 nn n1 nn

nn n1 nM1 Mn

p pα β ln ... β ln

y yw

p p-1 β ln ... β ln

y y

p pα β ln ... β ln

y yw

p p-1 β ln ... β ln

y y




Zaragoza

3.- EL SISTEMA DE DEMANDA CASI LINEAL

El sistema de demanda casi ideal (AIDS) de Deaton y Muellbauer (1980a) presenta una forma que se deriva de

una función de gasto que caracteriza las preferencias PIGLOG;:

log c(p,u) = (1-u) log a(p) + u log b(p)

donde 0 < u < 1, de forma que las funciones linealmente homogéneaS a(p) y b(p) se pueden interpretar como el

gasto de subsistencia (u = 0) y aquél que corresponde a una situación de máxima satisfacción (u = 1).

Los autores eligen log a(p) y log b(p) de tal manera que la función de gasto resultante sea una forma flexible:

Microeconomía


Separables”



Economía



k

n n nβ

0 k k kj k j 0 kk k j k

1log a p α α logp γ logp logp log b p log a p β p

2




Zaragoza

Sustituyendo obtenemos la siguiente función de gasto:

log c(p,u) = log a(p) - u log a(p) + u log b(p) =

siendo i, i y parámetros.

Las funciones de demanda se obtienen a partir de la función de costes aplicando el Teorema de Hotelling

multiplicando ambos lados de la igualdad por p i/c(p,u):

donde wi es la participación presupuestaria en el bien i.

k

kβk0

k

kβk0 puβalogpuβalogualogualog pppp

k

kβk0jk

n

k

n

jkj

n

kkk0 puβlogplogpγ

2

1logpααu,logc p

ijγ

Microeconomía


Separables”



Economía



i

ih

p

u,c

p

i

ii

i

i

iw

u,c

hp

logp

u,logc

u,c

p

p

u,c

p

p

p

p




Zaragoza

Para obtener esta derivada logarítmica comenzamos:

nnii110 logpα...logpα...logpααu,c log p

n11ni11i

2111 logplogpγ

2

1...logplogpγ

2

1...logpγ

2

1

...logplogpγ2

1...logplogpγ

2

1...logplogpγ

2

1n22ni22i1221

...logplogpγ2

1...logpγ

2

1...logplogpγ

2

1niin

2iii1ii1

2nnninni1nn1 logpγ

2

1...logplogpγ

2

1...logplogpγ

2

1

nβn

iβi

2β2

1β10 ...p...pppuβ

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Derivando:

Dado que:

Por tanto, nos queda:

siendo:

nniiii22i11ii

ilogpγ

2

1...logpγ

2

1...logpγ

2

1logpγ

2

1α

logp

u,logc

p

...logpγ2

1...logpγ

2

1logpγ

2

1nin2i21i1

i

iβinβ

n1β

10 logp

p...ppuβ

iβ

iii1iβ

iii

i

i

iβi

i

iβi pβppβ

logp

p

p

p

logp

p

Microeconomía


Separables”



Economía



k

nβn0ij

n

jijii puββlogpγαw

jiijij γγ2

1γ




Zaragoza

El agente racional gastará íntegramente su renta:

y = c(p,u) log y = log c(p,u)

de donde:

y, sustituyendo en las demandas hicksianas, obtenemos las marshallianas:

k

kβk0jk

n

k

n

jkj

n

kkk0 puβlogplogpγ

2

1logpααu,logc p

jkn

k

n

jkj

n

kkk0

k

kβk0 logplogpγ

2

1logpααlogypuβ

jn

jijii logpγαw

jkn

k

n

jkj

n

kkk0i logplogpγ

2

1logpααlogyβ

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

(i = 1, ..., n)

Desarrollando la ecuación de demanda :

(i = 1 , ..., n)

Así pues, el AIDS para n bienes incluye n ecuaciones con n+2 parámetros por ecuación:

P

ylogβlogpγαw ij

n

jijii

jkn

k

n

jkj

n

kkk0 logplogpγ

2

1logpααlogP

P

ylogβlogpγ...logpγlogpγαw inin2i21i11i

Microeconomía


Separables”



Economía



P

ylogβlogpγ...logpγlogpγαw

...P


P


nnnn2n21n1nn

2n2n22212122

1n1n21211111




Zaragoza

Este AIDS también puede obtenerse haciendo uso de la función de beneficio en el consumo correspondiente a la

función de gasto PIGLOG :

Siendo , por tanto,

Partimos de la función de beneficio:

(p,r) = Max U{r u - c(p,u)}

cuya condición de primer orden establece que

Aplicando esta condición a la función de gasto PIGLOG:

de donde tomamos logaritmos y despejando:

k

kβk0 puβa logu,logc pp

k

kβk0 pβd p k

n

kk0 logpβlogβlogd p

Microeconomía


Separables”



Economía




Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



Microeconomía


Separables”



Economía



r

u

u,c

p

c p,u logc p,u rc p,u d p c p,u r c(p,u)=

u u d(p)

rlog loga p

d prlogc p,u loga p ud p log u

d p d p




Zaragoza

Sustituyendo en la fórmula del beneficio:

Recordando que:

(i = 1, ..., n)

rlog loga p

d p r r rπ p,r ru c p,u r log loga p 1

d p d p d p d p

r[log r log d(p) log(P) 1]

d(p)

0 k k0 k k 0 k k kj k j logβ β logp

k k k j

1 rlogr logβ β logp α α logp γ logp logp 1

2 e

i i

i i i

π p,r π p,r 1q q

p logp p

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Calculamos la siguiente derivada:

[(log r - log d(p)-log a(p) -1] =

(i = 1, ..., n)

Por tanto, la función de demanda frischiana es:

(i = 1, ..., n)

klogpkβ0logβe

rjlogp

jijγiαiβ

ilogp

r,π p

2klogpkβ0logβ

riβklogpkβ0logβe

e

p

pp

d

rβ1)loga()logd(logrrlogpγαβ ijj

ijii

Microeconomía


Separables”



Economía



i i ij j ij

ii

β α γ logp r logr logd(p) loga(p) 1 β r

qd p p




Zaragoza

Ahora bien, sabemos que el coste marginal de la utilidad constituye un parámetro inobservable en este tipo de

sistemas de demanda. La solución consiste en remplazar dicho parámetro por el gasto utilizando la identidad presupuestaria, tras recordar que c(p,u)d(p) = r, es decir, r = y d(p), y sustituyendo en la

función frischiana, nos queda la siguiente función de demanda marshalliana expresada en cantidades:

(i = 1, ..., n)

por consiguiente, en términos de participaciones:(i = 1, ..., n)

Es decir:(i = 1, ..., n)

ecuación que vuelve a definir el AIDS.

i i ij j ij

ii

β α γ logp yd(p) logy loga(p) 1β yd(p)

-qd p p

Microeconomía


Separables”



Economía



i i

i i i ij j ij

p q yw logp log 1

y a p

n

i i ij j ij

yw logp log

a p




Zaragoza

Las restricciones que la teoría impone sobre el modelo son agregación, homogeneidad, simetría y negatividad, la

cuales podrán verificarse contrastando ciertas restricciones lineales sobre los parámetros del sistema.

En primer lugar, la condición de agregación exige:

(j = 1, ..., n)

En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece que las funciones son homogéneas de grado cero

en precios y renta, dado > 0:

wi (p, y) = wi (p,y) (i = 1, ..., n)

En tercer lugar, la simetría impone que:

Sij = Sji ij = ji (i≠j, i,j = 1, ..., n)

n n n n

i i ij ii i i i

w 1 α 1; γ β 0

0γn

jij

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Por último, la condición de negatividad establece que la matriz de efectos de sustitución cruzados {Sij} sea semidefinida negativa. Esta última propiedad, a

diferencia de las anteriores, no puede ser impuesta como restricción sobre los parámetros del modelo, sin embargo

podemos contrastar dicha condición calculando las raíces características de la matriz {kij} cuyo elemento

genérico se obtendrá a partir de los parámetros estimados:

siendo Sij el efecto de sustitución cruzado entre los bienes i y j, y el delta de Kronecker. En consecuencia, si la matriz {kij} es semidefinida negativa entonces quedará

garantizada la propiedad de negatividad dado que las raíces características de esta última tendrán los mismos

signos que las correspondientes a la matriz {Sij} de Slutsky.

i j ijij ij i j i ij i j

p q S yk log w w w

y P

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Obtengamos ahora las expresiones de las elasticidades.

Comenzamos con las elasticidades precio. Dado que :

donde ij es el delta de Kronecker.

A partir de esta expresión podemos obtener las elasticidades precio marshallianas, , considerando igual

a cero:

i

ii p

ywq

i

j

i i iij ij

j j j j j

logq logw logp logwlogy logye

logp logp logp logp logp logp

y iij ij

j

logwe

logp

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

Obtengamos la derivada:

siendo:

Así pues, la expresión final de la elasticidad precio marshalliana es:

(i , j = 1, ..., n)

La elasticidad renta viene dada por:

(i = 1, ..., n)

i iij i

j j i j i

logw w 1 logP 1

logp logp w logp w

n

j kj kkj

logPlogp

logp

i i ii

i

logq logwe 1 1

logy logy w

jiyij

uij weee

Microeconomía


Separables”



Economía






Zaragoza

4.- EL MODELO DE ROTTERDAM El modelo de Rotterdam no se asocia a ninguna función de

utilidad concreta. Fue propuesto inicialmente por Barten (1964 y 1967) y Theil (1965) y desarrollado después por

Theil (1975 y 1976).

Partimos de un sistema de demanda genérico:qi = qi (p,y)

que lo aproximamos directamente mediante su diferenciación logarítmica:

es decir:

siendo eijy y ei la elasticidad precio marshalliana y la

elasticidad renta, respectivamente.

Microeconomía


Separables”



Economía



logq logq logq logq logqni i i i idlogq dlogp ... dlogp dlogy dlogp dlogyi 1 n jlogp logp logy logp logyj1 n j

ny

i ij j ij

dlogq e dlogp e dlogy




Zaragoza

Para obtener la ecuación de demanda, recordamos la Ecuación de Slutsky

Y sustituyendo:

y multiplicando ambos lados por wi :

Siendo ahora:

entonces:

y uij ij j ie e w e

n nu

i ij j i j i jj j

dlogq e dlogp e dlogy w e dlogp n n

uij j i j j

j j

e dlogp e dlogy w dlogp

n nu

i i i ij j i i j jj j

w dlogq w e dlogp w e dlogy w dlogp

Microeconomía


Separables”



Economía



j i ju i i i iij i ij

i j ju u

p ppp q q qw e

y q p y p

p q q qyi i i iw e pi i i iy q y y

i

n n

i i ij j i j jj j

w dlogq dlogp dlogy w dlogp




Zaragoza

El término entre corchetes es, donde:

Para verlo, diferenciamos la ecuación presupuestaria:

Por tanto:

n

j jj

y p q

n

j j

jjjn

j j

jjjj

n

jj

n

jjj p

dp

y

qp

q

dq

y

qp

y

dydpqdqpdy

n n

j j i jj j

dlogy w dlogq w dlogp dlogq dlogp

n

j jj

dlogy dlogy dlogp dlogy w dlogp

Microeconomía


Separables”



Economía



yy

p

yd log




Zaragoza

Consiguientemente, el Modelo de Rotterdam viene expresado por:

desarrollando:

(i = 1, ..., n)

Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda Rotterdam para n bienes incluye n ecuaciones con n+1

parámetros por ecuación:

1 1 11 1 1n n 1

2 2 21 1 2n n 2

n n n1 1 nn n n

w dlogq dlogp ... dlogp dlogy


...


Microeconomía


Separables”



Economía



n*

i i ij j ij

w dlogq dlogp dlogy

i i i1 1 in n iw dlogq dlogp ... dlogp dlogy




Zaragoza

Las condiciones teóricas a imponer pueden también verificarse contrastando algunas restricciones

lineales sobre los coeficientes del modelo.

La propiedad de agregación exige:

y (j = 1, ..., n)

En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece:

(i = 1, ..., n)

En tercer lugar, la simetría impone:

(i, j = 1, …, n)

1μn

ii 0θ

n

iij

0θn

jij

jiij θθ

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Finalmente, vamos a concretar fácilmente las elasticidades gasto y elasticidades precio marshallianas y hicksianas a partir de las expresiones que ya hemos

obtenido directamente.

En primer lugar, recordamos que , por tanto la elasticidad precio hicksiana será:

(i, j = 1, ..., n)

Análogamente, de i = wi ei obtenemos la expresión de la elasticidad gasto:

(i = 1, ..., n)

Finalmente, la Ecuación de Slutksy nos permite obtener la elasticidad precio marshalliana:

(i, j = 1, ..., n)

uijiij ewθ

i

ijuij w

θe

i

ii w

μe

ijuij

yij ewee

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5.- EVIDENCIA EMPÍRICA

Especificación econométrica

Partimos de la especificación genérica :

Cuya formulación estocástica se obtiene añadiendo aditivamente una perturbación aleatoria por ecuación:

Las perturbaciones aleatorias ui representan variables estocásticas que recogen cambios en las preferencias,

errores de medida en las variables dependientes y el efecto de variables independientes omitidas.

1 1 1 2 n

2 2 1 2 n

n n 1 2 n

w w p ,p ,...,p ,y

w w p ,p ,...,p ,y

...

w w p ,p ,...,p ,y

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1 1 1 2 n 1

2 2 1 2 n 2

n n 1 2 n n

w w p ,p ,...,p ,y u

w w p ,p ,...,p ,y u

...

w w p ,p ,...,p ,y u




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Algunas propiedades teóricas que debe cumplir un sistema completo de ecuaciones de demanda, implican restricciones sobre el modelo. Por ejemplo, la condición

de agregación .

Así pues, de las n ecuaciones del sistema, sólo n-1 son independientes de tal forma que para evitar la

singularidad de la matriz de varianzas, debemos eliminar una ecuación cualquiera del sistema inicial y

estimar el subsistema de las n-1 ecuaciones restantes:

el cual puede expresarse matricialmente como:

0ui

i

1 1 1 2 n 1

2 2 1 2 n 2

n-1 n-1 1 2 n n-1

w w p ,p ,...,p ,y u

w w p ,p ,...,p ,y u

...

w w p ,p ,...,p ,y u

1 1 1

2 2 2

n 1 n 1 n 1

w uX

w uX

... ... ...

w uX

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Suponemos la existencia de T observaciones por variable, tenemos:

wit = Xt i + uit

siendo:

Podemos escribir el sistema de forma compacta:

w = Xb + u

donde w ((n-1)T 1) es el vector columna de variables endógenas,

X ((n-1)T x (n-1)n) es la matriz de variables exógenas,

β ((n-1)n x 1) es el vector de parámetros y, finalmente,

u ((n-1)T x 1) es el vector columna de perturbaciones aleatorias.

iT

i2

i1

i

w

...

w

w

w

nT2T1T

n22212

n12111

xxx

xxx

xxx

X

in

i2

i1

i

β

...

β

β

β

iT

i2

i1

i

u

...

u

u

u

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Dada la forma diagonal por bloques de la matriz X, la aplicación de MCO al sistema sería equivalente a la aplicación de MCO a cada ecuación por separado.

Sin embargo, la estimación del modelo w = X + u por MCO no sería optima si consideramos los supuestos habituales de errores con media cero: E(uit) = 0, i y t

correlación contemporánea:

E( uit2 ) = ii, i y t, E(uit, ujt) = ij, i,j y t

pero no serial:

E(uit, uis) = 0, i y t≠s , E(uit, ujs) = , i,j y t ≠ s.

La contemporánea indica que las endógenas están relacionadas entre sí en cada instante del tiempo a través

de sus componentes estocásticos.

Por su parte, la inexistencia de correlación seria, indica que las variables endógenas no están relacionadas entre sí en

distintos momentos del tiempo.

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Así pues, E(u) = 0, y matriz de varianzas E(uu') = ∑ V = IT, siendo:

y el producto de Kronecker.

La naturaleza de esta matriz de varianzas, en particular, la existencia de correlación contemporánea indica que cada

una de las variables endógenas del modelo contiene información relevante acerca de las demás, lo cual sugiere que la estimación conjunta de las distintas ecuaciones de

demanda será más eficiente que el tratamiento individualizado de cada una de ellas, dado que en el primero de los casos podemos beneficiarnos de la información que

proporcionan las correlaciones que existen entre los términos de error.

nnn2n1

2n2221

1n1211

σσσ

......

σσσ

σσσ

Σ

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Consiguientemente, el sistema de ecuaciones de demanda debería considerarse como un grupo y

estimarse por mínimos cuadrados generalizados (MCG).

Sabemos que el estimador MCG de β es:

b* = (X' V-1 X)-1 X' V-1 Y

siendo V-1 = ∑-1 IT.

Ahora bien, dado que ∑ es desconocida, resulta operacionalmente complicado obtener b*.

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Para solucionar este problema, Zellner (1962) propuso un procedimiento bietápico en el que se

sustituye por una estimación obtenida a partir de los residuos calculados al aplicar MCO a cada una de las

ecuaciones del subsistema por separado, y, posteriormente, se utiliza dicha matriz estimada para

deducir el vector de parámetros MCG.

Al estimador que se obtiene siguiendo este procedimiento se le conoce como estimador SURE

(Ecuaciones de Regresión Aparentemente no Relacionadas) :

= (X‘ -1 X)-1 X' -1 W

siendo -1 la estimación de V-1.

*b̂ V̂

V̂

V̂

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Este método SURE de estimación conjunta, como demuestra Zellner, proporciona estimadores eficientes y asintóticamente equivalentes a los que se obtienen a

través del método de Máxima Verosimilitud con Información Completa.

Las ventajas concretas de este tipo de estimación residen, por un lado, en la ganancia de eficiencia al

tener en cuenta la correlación contemporánea entre las perturbaciones

y, en segundo lugar, en la posibilidad de contrastar una propiedad teórica que implica restricciones entre los parámetros de las diferentes ecuaciones, esto es, la

simetría de los coeficientes ij. Microeconomía


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Una vez estimado el modelo, debemos aplicarle distintos contrastes de especificación con el fin de

asegurarnos que nuestro sistema cumple las propiedades econométricas deseadas, esto es, con el

propósito de asegurarnos de que los residuos se ajusten a una estructura típica de ruido blanco.

En particular, dado el tipo de datos con los que trabajamos, series temporales, contrastaremos la

autocorrelación conjunta del sistema por medio de dos estadísticos fundamentales, el test de Harvey (1982) y

el estadístico .Microeconomía


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El test de Harvey (1982)

Partimos del modelo inicial expresado genéricamente wit = Xt i + uit, realizando, en primer lugar, las regresiones de los residuos obtenidos para cada una de las ecuaciones estimadas del modelo inicial, con sus valores retardados un período, uit = riuit-1 + it, donde ri es el coeficiente de

autocorrelación individual y eit es una perturbación aleatoria distribuida normalmente con media cero y

matriz de varianzas y covarianzas constante.

El producto del tamaño muestral por la suma de dichos coeficientes de autocorrelación elevados al cuadrado se

distribuye asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como regresiones de los residuos se han

realizado.

Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación cuando el valor del estadístico de Harvey es mayor que

el valor crítico de tablas de la distribución χ2.

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El estadístico se deriva de forma similar al anterior.

Volvemos a partir del modelo expresado genéricamente wit = Xt i + uit, asumiendo que el término de error se especifica

como uit = uit-1 + it, donde es el coeficiente de autocorrelación común a todas las ecuaciones del sistema y

it es una perturbación aleatoria distribuida como hemos especificado en el párrafo anterior.

Sustituyendo ahora esta hipótesis en el modelo inicial obtenemos

wit = Xt i + wit-1 - Xt-1 i) + it.

La significatividad individual del coeficiente de autocorrelación se contrasta por medio del estadístico t de

Student asintótico deducido de la estimación conjunta.

Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación, H0: , si el valor de la t del coeficiente estimador es

mayor que el valor crítico de tablas.

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Además de estos contrastes conjuntos, la literatura econométrica ha propuestos otros contrastes individuales

que se formulan para cada ecuación estimada.

Respecto a la autocorrelación, los estadísticos habituales son el test de Durbin (la h de Durbin si las ecuaciones

son dinámicas) y el test de Godfrey (1978). Este último se calcula realizando, en primer lugar, la regresión de los residuos obtenidos de la estimación del modelo inicial,

con sus valores retardados y las variables explicativas del modelo, calculándose el R2 de esta regresión. El producto

del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye asintóticamente como una χ2 con tantos grados de

libertad como retardos de los residuos hemos incluido en la regresión. Microeconomía


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Finalmente, el uso de series temporales también permite el contraste de heteroscedasticidad dinámica o

perturbaciones ARCH a través del test de Engle (1982), el cual se calcula elevando al cuadrado los residuos y

realizando la regresión de estos últimos únicamente con sus valores retardados, obviamente también al

cuadrado, de donde obtenemos un R2. El producto del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye

asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como retardos de los residuos al cuadrado

incluimos en la regresión

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Respecto a los estadísticos usados para contrastar las hipótesis teóricas, el test más usual es estadístico de

Wald (W) el cual se distribuye asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como restricciones

estamos contrastando.

No obstante, dado que dicho test se encuentra sesgado hacia el rechazo de la hipótesis nula, normalmente se

corrige por un factor de corrección para tratar de aproximar su distribución asintótica a la finita.

En este sentido, podemos citar el factor propuesto por Mauleón (1984), el cual se define de la siguiente forma: FC = (1- n/T)(1- k/T), siendo n el número de ecuaciones estimadas del sistema, k el promedio de parámetros por

ecuación y T el tamaño muestral.

Consiguientemente, el test de Wald corregido (W x FC) también se distribuirá como una 2 con tantos grados de

libertad como restricciones contrastemos.

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Resultados empíricos

En los estudios económicos de carácter aplicado la fase inicial del tratamiento de los datos requiere una atención especial, ya que en dicha etapa aparecen una serie de cuestiones que deben ser resueltas correctamente si se desea que la base de datos

finalmente disponible sea lo suficientemente fiable como para realizar posteriores análisis descriptivos y/o

econométricos.

Considerando series temporales, podemos plantear es la necesidad de agregar un determinado número de categorías o magnitudes en un número menor para

soslayar previsibles problemas de sobreparametrización econométrica.

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Considerando el caso particular de que las magnitudes sean las series nominales y reales (t = 1964, ..., 1995)

de gastos en las siguientes ocho categorías iniciales de gasto (j = 1, ..., 8), podemos agregarlas en un número

menor de acuerdo con las mayores participaciones presupuestarias de las magnitudes iniciales:

1: Alimentos, bebidas y tabaco: 30.19%

2: Vestido y calzado: 9.46%

3: Alquileres, calefacción y alumbrado: 13.94%

4: Muebles, accesorios, menaje y gastos corrientes de la vivienda: 7.68%

5: Servicios médicos y gastos sanitarios: 4.14%

6: Transporte y comunicaciones: 12.21%7: Esparcimiento, espectáculos, enseñanza y cultura:

6.54%8: Otros bienes y servicios: 15.81%

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En particular, agregamos las categorías iniciales 4, 5, 7 y 8 en una genérica que también denominamos Otros

bienes y servicios.

Por tanto, nos quedan cinco categorías finales de gasto:

1. Alimentación

2. Vestido y calzado

3. Alquileres y energía

4. Transporte y comunicaciones

5. Otros bienes y serviciosMicroeconomía


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El gasto nominal de la nueva magnitud, GN(5)t, se calcula directamente sumando los valores nominales

de las categorías iniciales que incluye:

GN(5)t = VN(4)t + VN(5)t + VN(7)t + VN(8)t

Por otro lado, para obtener el gasto real, ,

debemos, en primer lugar, calcular el precio de la nueva categoría, , como índice ponderado de los

precios correspondientes a los grupos incluidos en la misma y, posteriormente, dividir el gasto nominal entre

dicho índice:

1986t

t1986t

5IP

5GN5GR Microeconomía


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Antes de la estimación, es muy conveniente un detallado y exhaustivo análisis descriptivo.

Así, realizamos un primer análisis de las cantidades demandadas en términos reales, esto es, referidas a un

año base de referencia, presentando algunos estadísticos básicos (media, desviación típica, valores mínimo y

máximo), así como las tasas anuales medias de crecimiento real para todo el período muestral, 1965-95, y

también para distintos subperíodos en los que hemos dividido dicho período, en concreto, 1965-69, 1970-73,

1974-79, 1980-84, 1985-89, 1990-95.

Los puntos de corte han sido elegidos teniendo en cuenta los años más representativos de las tres últimas décadas

entre los que destacamos los años de ámbas crisis del petróleo e intentando también contar con subperíodos de

longitud similar.

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En segundo lugar, presentamos un estudio de los precios, también referidos a un mismo año base de

referencia. Al igual que en el caso anterior, calculamos ciertos estadísticos básicos, así como las tasas

anuales medias de inflación de las categorías de bienes y del gasto total, también para todo el período muestral y para los mismos subperíodos concretados

anteriormente.

Finalmente, exponemos un análisis de las participaciones presupuestarias que cada grupo de

gasto representa sobre el gasto total. También presentamos la media, la desviación típica y los

valores mínimo y máximo para las cinco categorías de bienes, exponiendo, a continuación, la evolución de dichas participaciones a lo largo de todo el período

muestral.

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Tabla 1Cantidades demandadas (año base 1986)

Grupos de bienes Media Desv. típica Mínimo Máximo

Alimentación 5026.89 849.02 3186.80 5885.79

Vestido y calzado 1744.93 357.61 1086.86 2328.60

Aluileres y energía 2693.89 580.47 1531.12 3542.60

Transporte y comunic. 2511.90 1110.59 542.82 4189.39

Otros bienes y servicios 7390.42 2592.50 3095.14 11890.72

Total 19430.89 5309.38 9681.03 27168.40

Grupos de bienes 1965-69

1970-73 1974-79 1980-84 1985-89

1990-95 1965-95

Alimentación 4.39 4.64 2.88 -0.61 0.54 0.79 2.00

Vestido y calzado 4.38 5.63 0.48 0.31 4.59 0.29 2.37

Aluileres y energía 5.54 4.94 3.33 0.60 1.71 -0.65 2.42

Transporte y comunic. 18.47 13.58 3.92 0.01 8.82 0.22 6.96

Otros bienes y servicios

8.18 7.07 3.05 1.40 5.79 2.54 4.47

Total 6.57 6.33 2.85 0.36 4.25 1.17 3.40

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Tabla 2Precios (año base 1986)

Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo

Alimentación 0.6431 0.4802 0.1125 1.5453





Total 0.6423 0.5296 0.0876 1.6960

Grupos de bienes 1965-69 1970-73 1974-79 1980-84 1985-89 1990-95 1965-95

Alimentación 6.19 8.79 16.21 9.99 7.25 4.66 8.95


Aluileres y energía 5.96 6.99 19.87 16.40 5.32 9.39 11.03


Otros bienes y servic. 7.22 9.95 20.45 14.56 7.52 6.03 11.13

Total 6.22 8.59 18.68 13.12 6.90 6.13 10.14Microeconomía


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Tabla 3Participaciones presupuestarias (%)

Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo

Alimentación 30.19 7.56 19.71 42.99





Grupos de bienes 1964 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Alimentación 42.26 36.94 35.17 28.05 24.91 21.76 19.71


Alquileres y energía 15.57 14.44 13.32 16.49 14.50 12.55 13.21


Otros bienes y servic. 24.38 28.72 30.79 33.84 38.39 41.59 44.05

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Tras la fase descriptiva, comenzamos la estimación econométrica de los modelos con el sistema lineal de

gasto:

Comprobamos que esta versión estática del LES exhibe graves problemas de autocorrelación dado que el valor del test de Harvey resultante es H = 58.61, el

cual supera ampliamente el valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad al nivel de

significación clásico del 5%, 9.49.

p1tq1t = p1t1t + 1 (yt - p1t 1t -... - pnt nt) + u1t

p2tq2t = p2t2t + 2 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + u2t

...

pn-1tqn-1t = pn-1tn-1t + n-1 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + un-1t

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Por tanto, constatamos empíricamente una hipótesis muy poco plausible del LES derivada de su carácter estático,

esto es, el hecho de que los parámetros i son constantes en el tiempo, sobre todo en la medida en que se desee

seguir adoptando su interpretación habitual de cantidades mínimas necesarias para cubrir las necesidades más

indispensables, dado que resulta difícil aceptar que ésta medida subjetiva de qué es lo imprescindible no varíe como

consecuencia de la experiencia del pasado.

En este sentido, Pollak y Wales (1969) dinamizan el sistema incorporando la formación lineal de hábitos de consumo que consiste en expresar gi en función de una

tendencia temporal, it = i + i1 t, del consumo del período anterior, it = i + i1 qit-1, o, en general, de una variable que represente el consumo pasado, it = i + i1 zit-1, por ejemplo,

la media del consumo durante los tres últimos períodos anteriores al corriente.

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Hemos adoptado estas generalizaciones en nuestra aplicación empírica constatando que los graves problemas de autocorrelación no se corrigen.

Así, la dinamización del parámetro it = i + i1 t proporciona un valor del test de Harvey H = 52.25,

mientras que la formulación it = i + i1 qit-1 dá lugar a un valor H = 28.28.

Finalmente, hemos costruido una dinamización conjunta de la siguiete forma it = i + i1 qit-1 + i2 t, volviendo a

constatar graves problemas de autocorrelación detectados por un valor del test H =20.58,

considerablemente más bajo que las cifras anteriores, pero todavía muy por encima del valor crítico de tablas al

5%, 9.49.

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Así pues, podemos concluir que el Sistema Lineal de Gasto, tanto en su versión estática como en diferentes versiones dinámicas, presenta graves problemas de

autocorrelación utilizando las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de los cinco grupos

de gasto especificados en el tema anterior, esto es, Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía,

Transporte y comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.

Consiguientemente, el modelo estimado no satisface los mínimos requisitos econométricos para ser

utilizado en la obtención de conclusiones válidas desde un punto de vista estrictamente económico.Microeconomía


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En segundo lugar, estimamos el sistema translog:

Volviendo a constatar la presencia de graves problemas de autocorrelación. En concreto, el valor del test de

Harvey resultante es H = 60.84, el cual es claramente superior que el valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad al nivel de significación del

5%, 9.49.

1t nt1 11 1n

t t1t 1t

1 11t ntM1 Mn

t t

1t ntn-1 n-11 n-1n

t tn-1t n 1t

n n1t ntM1 Mn

t t

p pln ... ln

y yw u

p p-1 ln ... ln

y y

...

p pln ... ln

y yw u

p p-1 ln ... ln

y y

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Dado este problema, procedemos a dinamizar el sistema introduciendo una tendencia temporal como nueva variable exógena constatando que los graves

problemas de autocorrelación detectados no se corrigen.

Así, la dinamización del modelo proporciona un valor del test de Harvey H = 25.39, todavía por encima del valor

crítico de tablas al 5%, 9.49.

Por tanto, concluimos que el sistema translog, tanto en su versión estática como en su versión dinámica,

presenta graves problemas de autocorrelación utilizando las series temporales españolas desde 1964

hasta 1995 de Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y comunicaciones y,

finalmente, Otros bienes y servicios.

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En tercer lugar, estimamos la versión estática del AIDS:

Constatando de nuevo la existencia de ciertos problemas de autocorrelación. En este caso, el valor del test de Harvey

resultante es H = 32.89, el cual se sitúa por encima del valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad

al nivel de significación del 5%, 9.49.

Por consiguiente, Deaton y Muellbauer (1980a) plantean dinamizar el modelo especificando el término independiente

en términos de la variable endógena retardada y una tendencia temporal, . Constatamos que dicha generalización presenta un valor del test de Harvey, H = 4.55, que resuelve

los problemas de autocorrelación.

t1t 10 11 1t 1n 1 1t

t

t2t 20 21 1t 2n 1 2t

t

tn 1t n 10 n 11 1t n 1n 1 n 1t

t

yw logp ... log u

P

yw logp ... log u

P

...

yw logp ... log u

P

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Consiguientemente, pasamos a contrastar las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría, obteniendo unas cifras del test de Wald corregido, WC = 18.14 para la homogeneidad y WC = 59.45 para la homogeneidad y

simetría, que superan los valores críticos de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de

significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente. Por lo tanto, ambas hipótesis resultan rechazan

estadísticamente.

Dado este resultado, probamos con otras dos dinamizaciones que resultan al eliminar una de las dos

nuevas variables.

Así, la formulación it = i + wit-1 da lugar a un estadístico H = 15.32, superior al valor crítico y que, por

lo tanto, rechaza la ausencia de autocorrelación.

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La segunda nueva dinamización, it = i + i2 t, proporciona un valor del test de Harvey H = 5.30, inferior

al valor crítico 9.49, por lo que acepta la ausencia de autocorrelación.

Consiguientemente, al igual que hemos hecho en el caso anterior, procedemos a contrastar las hipótesis teóricas

de homogeneidad y simetría en esta nueva versión dinámica del modelo. Los valores del test de Wald

corregido,WC = 24.29 para la condición de homogeneidad y WC = 90.97 para la homogeneidad y simetría conjuntamente, vuelven a ser mayores de las

cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas

vuelver a resultar rechazadas estadísticamente.

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En definitiva, podemos concluir que la versión estática, así como las diferentes versiones dinámicas estimadas del Sistema de Demanda Casi Ideal tampoco satisfacen los mínimos requisitos al utilizar las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y

comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.

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En cuarto lugar, estimamos el Modelo de Rotterdam:

que presenta valor del test de Harvey H = 4.59, claramente por debajo del valor crítico de tablas de la 2 con 4 grados de

libertad al nivel del 5%, 9.49, por lo que rechazamos la presencia de autocorrelación.

Seguidamente, contrastamos las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría. Los valores del test de Wald

corregido, WC = 7.21 para la condición de homogeneidad y WC = 16.72 para la homogeneidad y simetría

conjuntamente, son inferiores que las cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de

significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas son aceptadas

estadísticamente. Consiguientemente, imponemos homogeneidad y simetría sobre la versión libre del modelo

obteniendo así la versión restringida.

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1t 1t 11 1t 1 t 1t

2t 2t 21 1t 2 t 2t

n 1t n 1t n 11 1t n 1 t n 1t

w dlogq dlogp ... dlogy u


...





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Contrastamos la existencia de autocorrelación en esta nueva versión, obteniendo un valor del test de Harvey, H =

4.97, por lo que volvemos a rechazar claramente la presencia de problemas de autocorrelación.

La versión homogénea y simétrica del sistema de Rotterdam satisface los requisitos econométricos y

microeconómicos que le permiten representar adecuadamente la conducta de los consumidores

españoles desde 1964 hasta 1995 cuando dividen su renta entre Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y comunicaciones, y Otros bienes y

servicios.

Los parámetros estimados del modelo elegido, esto es, el sistema de Rotterdam homogéneo y simétrico aparecen

en la Tabla 4.

Constatamos que el grupo Alquileres y energía es el que presenta un mayor número de coeficientes estimados

estadísticamente significativos al 5%, en concreto, cuatro de los cinco parámetros de los precios, así como el

correspondiente a la renta.

También observamos que el resto de parámetros del modelo que acompañan a la variable renta también son

individualmente significativos al 5%.

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Los parámetros estimados del modelo elegido, esto es, el sistema de Rotterdam homogéneo y simétrico aparecen

en la Tabla 4.

Constatamos que el grupo Alquileres y energía es el que presenta un mayor número de coeficientes estimados

estadísticamente significativos al 5%, en concreto, cuatro de los cinco parámetros de los precios, así como el

correspondiente a la renta.

También observamos que el resto de parámetros del modelo que acompañan a la variable renta también son

individualmente significativos al 5%.

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Economía






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Tabla 4Parámetros estimados

Grupos de bienes i

Alimentación

Vestido y calzado

Alquileres y energía

Transporte y comun.

Otros bienes y servic.

El asterisco (*) indica parámetro significativo al 5%. Los t-ratios aparecen entre paréntesis.

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Finalmente, las elasticidades evaluadas en los valores medios muestrales se exponen en la Tabla 5.

Tabla 5Elasticidades medias

Alimentación Vestido y calzado


Transporte y comunicac.


Gasto

Precio marshallianas

Alimentación

-0.1812(-1.71)

Vestido y calzado


Transporte y com.

Otros bienes y serv.

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Precio hicksianas Alimentación Vestido y calzado


Transporte y comunicac.


Alimentación

Vestido y calzado


Transporte y com.

Otros bienes y serv.

El asterisco (*) indica elasticidad significativa al 5%. Los t-ratios aparecen entre paréntesis.

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