1 algebraicas expresiones · 1.3 representación algebraica de expresiones en lenguaje común 1.4...

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Contenido de la unidad 1:

1.1 Introducción a las expresiones algebraicas 1.2 Notación y clasificación de las expresiones algebraicas 1.3 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común 1.4 Representación en lenguaje común de expresiones algebraicas 1.5 Valor numérico de una expresión algebraica 1.6 Reducción de términos semejantes. Autoevaluación 1

Juegos de la unidad 1:

#1 Memorama de expresiones en lenguaje común y en lenguaje algebraico

#2 Carrera del valor numérico de expresiones algebraicas

ALGEBRA M.C. CYNTHIA GUERRERO

2

INTRODUCCION A LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en Algebra consiste en manejar operaciones como la suma, multiplicación y división

en la que una o más cantidades son desconocidas.

Ejemplo 1.1: ¿Cuál es el número que falta en la siguiente expresión?

12 + ______ = 15

La respuesta es 3 ya que 12+3=15

Ejemplo 1.2: ¿Cuál es el número que falta en la siguiente expresión?

______ x 6 = 12

La respuesta es 2 ya que 2x6=12

Resuelve los siguientes ejercicios:

¿Cuál es el número que falta en las siguientes expresiones?

a) 5 + _____ = 8 e) 6 - _____ = 2

b) _____ + 6 = 13 f) _____ - 7 = 5

c) 10 ÷ _____ = 5 g) 3 x _____ = 21

d) _____ ÷ 5 = 3 h) _____ x 4 = 8

e) A Sonia le dieron dinero para comprar una soda y en el camino a la tienda se le

perdieron $2.00, cuando llego a la tienda solo tenía $4.00. ¿Cuánto dinero le dieron a

Sonia para la soda?

Solución: Para resolver este problema debemos de plantear una ecuación, en donde la

incógnita es la cantidad de dinero que le dieron a Sonia para comprar la soda y la

podemos representar por un cuadro en blanco ya que no conocemos su valor, a esta

incógnita le restamos 2, que fue la cantidad que se le perdió. La resta anterior la igualamos

a 4 ya que es el resultado o lo que le quedo a Sonia. Discute con tus compañeros como

podrían resolver este problema y resuélvanlo.

- 2 = 4

1.1

Actividad 1


3

En algebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra, (normalmente una

“x” o una “y”, pero cualquier letra está bien), entonces en el problema del inciso e)

escribiríamos:

x - 2 = 4

La letra en este caso “x” quiere decir que “aún no sabemos cuánto dinero le dieron a Sonia” y

se le llama frecuentemente incógnita o variable.

Una vez que la resuelves escribes: x = 6

¿Pero cómo resolver? x – 2 = 4

Para resolver este problema lo que tienes que hacer es despejar la “x” (dejarla sola), para esto

debemos pasar el -2 al otro lado del signo igual realizando la operación contraria, es decir,

como está restando pasara sumando:

x – 2 = 4 quedaría x = 4 + 2

Ahora solo nos queda realizar la operación:

x= 4 + 2 = 6 por lo tanto x=6

Así es que podemos saber que la cantidad que le dieron a Sonia para la soda fue $6.

De igual manera podrías resolver los problemas que se te presentaran más adelante en este

folleto.

Ejemplo 1.3: Encuentra el valor de “x” en la siguiente ecuación

x - 5 = 14

Lo primero que hay que hacer es despejar “x” (dejarla sola) para ello debemos pasar el 5 al

otro lado del signo igual (=), como está restando (-) pasara sumando (+):

x - 5 = 14 queda x = 14 + 5 resultando x = 19

si pasas una cantidad al otro lado del signo

igual esta estará realizando la operación

contraria, es decir:

Si está sumando (+) pasa restando (-)

Si está restando (-) pasa sumando (+)

Si está multiplicando (x) pasa dividiendo (/)

Si está dividiendo (/) pasa multiplicando (x)


4

Ejemplo 1.4: Encuentra el valor de “y” en la siguiente ecuación

8 + y = 12

Lo primero que hay que hacer es despejar “y” (dejarla sola) para ello debemos pasar el 8 al

otro lado del signo igual (=), como está sumando (+) pasara restando (-):

8 + y = 12 queda y = 12 - 8 resultando y = 4

Ejemplo 1.5: Encuentra el valor de “z” en la siguiente ecuación

3z = 9

Lo primero que hay que hacer es despejar z (dejarla sola) para ello debemos pasar el 3 al otro

lado del signo igual (=), como está multiplicando pasara dividiendo:

3z=9 queda z = 9 ÷ 3 resultando z = 3

Ejemplo 1.6: Encuentra el valor de “w” en la siguiente ecuación

= 6

Lo primero que hay que hacer es despejar “w” (dejarla sola) para ello debemos pasar el 4 al

otro lado del signo igual (=), como está dividiendo pasara multiplicando:

= 6 queda w = (6) (4) resultando w = 24

Encuentra el valor de las siguientes incógnitas:

a) 6 + x = 9 e) x - 4= 2

b) y + 5 = 21 f) y - 3 = 9

c) z ÷ 6 = 5 g) 4z = 24

d) w ÷ 5 = 2 h) 10w = 7

Actividad 2


5

NOTACION Y CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.1 Termino

Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos (números y letras). Los

números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras

representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas. Las cantidades

conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d... y las cantidades

desconocidas con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o

de varios símbolos no separados entre sí por el signo más (+) ó menos ( –).

Ejemplo 1.7: Algunos ejemplos de términos son: a, 3x, 6y2, etc…

Un término consta de cuatro elementos:

1. Signo: son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los

precedidos del signo (–).

El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que 6y2 equivale a escribir

+6y2 y 3ab equivale a +3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es

positivo.

2. Coeficiente: es la parte numérica que se encuentra antes de una o varias letras en un

término y significa multiplicación.

Ejemplo 1.8: En el término 8y2 el coeficiente es: 8 .

Ejemplo 1.9: En el término – 2a2x3 el coeficiente es: – 2 .

26y

Signo

Coeficiente

Literal

Grado

1.2


6

3. Parte literal: son las letras que hay en un término.

Ejemplo 1.10: En 6y2 la parte literal es: y2 .

Ejemplo 1.11: En 3x2y3 la parte literal es: x2y3 .

4. Grado: puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Ejemplo 1.12: 4a es de primer grado por que el exponente del factor literal “a” es 1.

Ejemplo 1.13: 6y2 es de segundo grado por que el exponente del factor literal “y” es 2.

Ejemplo 1.14: ab es de segundo grado por que la suma de los exponentes de sus factores

literales es1+1=2.

Ejemplo 1.15: a2b es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores

literales es 2+1=3.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra.

Ejemplo 1.16: bx3 es de primer grado con relación a “b” y de tercer grado con relación a

“x”.

Ejemplo 1.17: 4x2y4 es de segundo grado con relación a “x” y de cuarto grado con relación

a “y”.

Encuentra el signo, el coeficiente, la parte literal, el grado absoluto y el grado

relativo de los siguientes términos:

Termino Signo Coefi-ciente

Parte literal

Grado absoluto

Grado relativo con respecto a cada literal

a) a

b) -7x2

c) xy2

d) 34a3b3

e) 5a4b3c2

Actividad 3


7

1.2.2 Expresión algebraica

Una expresión algebraica es la representación de un término algebraico o de una o más

operaciones de términos.

Ejemplo 1.18: Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas: ,5 , 2 ,5

xa x y

Clasificación de las expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican en:

Monomio: Binomio: Trinomio: Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término, como:

Es una expresión algebraica formada por dos términos, como:

Es una expresión algebraica formada por tres términos, como:

Es una expresión algebraica formada por más de un término, como:

3a

x2y3

4z

6b

5yz

a+b

-3x+4y

x2y3+xy2

11y+8z7

7s+2t

a+b+c

-3x+4y+z

x2y3+xy2+x2y5

5s+6t+9u

3y+5w+2z

a+b

a+b+c

a+b+c+d

3x+4y+z

-3x+4y+z+3w

NOTA: Un binomio y un trinomio también son polinomios ya que constan de más de un

término.

Marca X para clasificar cada término ya sea monomio, binomio, trinomio o polinomio

Termino Monomio Binomio Trinomio Polinomio

a) a

b) -7x2 + 2y

c) xy2 – 2x +4y

d) 34a3b3

e) 5a4b3c2 + 3a – 5bc +2b

f) -x4y2

g) 18x + 9yx

h) 9xy - 3x +12y – 7x4

Actividad 4


8

El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.

Ejemplo 1.19: Determine el grado absoluto del siguiente polinomio:

x4y

2 - 5x

3y + x

2 - 3x

Lo primero que debemos identificar es el grado absoluto de cada término:

El primer término es de sexto grado ya que la “x” tiene potencia de 4 y la “y” tiene potencia de

dos, estas dos potencias se suman y nos da el grado del primer término (4+2=6).

El segundo término, es de cuarto grado ya que la “x” tiene potencia de 3 y la “y” tiene potencia

de 1, estas dos potencias se suman y nos da el grado del segundo término (3+1=4).

El tercer término, es de segundo grado ya que la “x” tiene potencia de 2

El último término es de primer grado ya que la “x” tiene potencia de 1.

Luego el grado absoluto del polinomio es de 6 ya que la mayor potencia de todos los términos

la obtuvo el primer término, el cual es de sexto grado.

Escribe el grado absoluto de cada término y de cada polinomio.

Termino Grado absoluto del

primer termino

Grado absoluto del

segundo termino

Grado absoluto del

tercer termino

Grado absoluto

del Polinomio

a) a3 + 5b8

b) -7x2 + 2y

c) x4y2 – 2x +4y2

d) 34a3b3+ 12a2b

e) 5a4b3c2 + 3a – 5bc

f) -x4y2 + x3y2 - xy

g) 18x + 9yx- y

h) 9xy - 3x – 7x4

Sexto Cuarto Segundo Primer

Actividad 5


9

El término independiente de un polinomio es el término que no tiene parte literal.

Ejemplo 1.20: Encuentre el término independiente del siguiente polinomio:

8x2y+ x4 – 5

El término independiente es -3 ya que no contiene parte literal.

Ejemplo 1.21: Encuentre el término independiente del siguiente polinomio:

2a3- 7a2+ ab + 8

El término independiente es 8, ya que no contiene parte literal.

1.2.3 Representación algebraica de expresiones en lenguaje

común.

Para resolver problemas a partir de un enunciado es conveniente familiarizarnos con la

traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa. Si no conocemos el numero

o cantidad con la cual estamos realizando alguna operación algebraica escribimos una letra,

ya sea a, b, c,…, x, y o z.

Ejemplo 1.22: El doble de un número se escribe: 2x .

Ejemplo 1.23: Un número aumentado en seis se escribe: y+6 .

Ejemplo 1.24: La suma de un numero con otro, aumentado en dos se escribe: (x+y)+2 .

Ejemplo 1.24: El producto de dos números es igual a ocho se escribe: xy=8 .

Ejemplo 1.25: La tercera parte de un número, disminuido en cuatro: (z/3)-4 .

Encierra en un círculo el término independiente de cada polinomio

a) a + ab - 18 f) -a4b2 +a3c2 + 9

b) 2y+ 12y2 + 24 g) 18x + 3

c) xy2 – 2x + 4 h) 3x – 7x4 - 2

d) 34a3b3+ 12a2b - 12 i) 5s4- 7t2 + 6

e) 7a4 + 6a – 36 j) 8t -3u +2v - 14

Actividad 6


10

1.2.4 Representación en lenguaje común de expresiones

algebraicas.

También se pueden traducir expresiones del lenguaje algebraico al lenguaje común.

Ejemplo 1.26: 4a se escribe: el cuádruple de un número o un número multiplicado por

cuatro .

Ejemplo 1.27: 3b2 se escribe: el cuadrado de un número, multiplicado por tres .

Ejemplo 1.28: xy+2 se escribe: el producto de dos números, aumentado en dos .

Ejemplo 1.29: a/4=5 se escribe: la cuarta parte de un numero es igual a cinco .

Estas expresiones se encuentran en lenguaje común, tradúcelas al lenguaje

algebraico:

a) Un número es igual a ocho:_______________________________________________

b) Un numero aumentado en cinco:___________________________________________

c) Un numero disminuido en seis:____________________________________________

d) El triple de un número es igual a otro numero:________________________________

e) La suma de dos números:________________________________________________

f) El producto de dos números es igual a treinta y dos:___________________________

g) El producto de dos números, disminuido en uno:______________________________

h) La quinta parte de un numero:_____________________________________________

i)La suma de un número y seis:______________________________________________

j) El doble de un número , aumentado en ocho:_________________________________

k) Cinco veces la suma de un número y cuatro:_________________________________

l) La suma de dos números, dividido en cinco:__________________________________

Actividad 7


11

Ejemplo 1.30: En la tienda venden 2 manzanas y 2 naranjas por $10. Si cada naranja

cuesta $3, ¿cuánto cuesta cada manzana?

Datos x= precio de

las manzanas=? y= precio de lasnaranjas=

$3

Ecuación algebraica 2 manzanas y 2 naranjas por

$10

2x+2y=10 Sustituimos lo que vale y, y=3

2x+(2)(3)=10 Realizamos las operaciones

2x+6=10

Solución Tenemos la ecuación resultante

2x+6=10 Despejamos “x”: el 6 esta sumando por lo tanto pasa restando al otro lado del signo igual

2x=10-6 2x=4

El 2 está multiplicando a “x” por lo tanto pasa dividiendo al otro lado del signo igual

x=4/2 x=2

Como x=2 sabemos que cada manzana cuesta $2.

Traduce estas expresiones en lenguaje común:

a) ab=3

b) 2b

c) 3x+5= 14

d) 3a2b

e) a=6

f) x/2=12

g) (x+2)/4

h) 6(xy)

i) (3a) /2

j) 4(a+1)

k) a+b+c=12

l) (xy)/4=8

Actividad 8


12

Ejemplo 1.31: En una tienda tienen los pantalones a mitad de precio, si al comprar un

pantalón pague $150, ¿Cuánto costaba el pantalón sin el descuento?

Datos x= precio del pantalón=?

Ecuación algebraica Un pantalón a mitad de precio

costo $150

x÷2=50

Solución Tenemos la ecuación:

x÷2=50

Despejamos “x”: el 2 está dividiendo a “x” por lo tanto pasa multiplicando al otro lado del signo igual

x=(150)(2)

x=300

Como x=300 sabemos que el costo del pantalón sin el descuento es de $300

Resuelve los problemas a partir del planteamiento de una ecuación:

a) Pepe salió a correr a la deportiva en la mañana y en la tarde. En la mañana corrió

1300m. Si en total corrió 2100m, ¿cuantos metros corrió en la tarde?

b) Ana compro 2 lápices, 3 plumas y 1 borrador y gasto en total $28. Si una pluma cuesta

$5 y un borrador $3, ¿Cuánto costó cada lápiz?

c) La suma de las edades de Luisa y Carlos es de 48 años, si Carlos tiene el doble de años

que luisa, ¿Cuántos años tiene cada uno?

d) Si en un triatlón recorrí en total 7.2 Km, de los cuales 800m los recorrí nadando y 3.5 Km

en bicicleta. ¿Cuánto recorrí corriendo?

Actividad 9


13

e) Juan y María quieren comprar un refrigerador y

necesitan calcular sus dimensiones para saber si

cabe en el espacio que tienen en la cocina, para

ello necesitan representar de forma algebraica y en

lenguaje común las dimensiones del refrigerador.

Ayuda a Juan y María a completar la información

que necesitan:

Lenguaje común Lenguaje algebraico

1. La mitad de la altura del refrigerador =

2. El área de la base del refrigerador =

3. = (4x)(2x)(8x)

4. El área del frente del refrigerador =

5. =

6. El perímetro del frente del refrigerador =

7. El ancho del refrigerador disminuido en 4 =

8. = 4x+2x+4x+2x

9. El doble del frente (longitud) del refrigerador =

10. La tercera parte de la altura del refrigerador =

11. = 3(2x)

12. La mitad del volumen del refrigerador =

13. El área de la base del refrigerador disminuido en 12

=

14. = (2x)(8x)

Actividad 9

4x 2x

8x


14

1.2.5 Valor numérico de una expresión algebraica.

Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos

indicados por la expresión y obtener así un resultado.

Ejemplo 1.32: Encontrar el área del siguiente rectángulo, cuya base es de 35 cm y su

altura es de 15cm.

Es conveniente hacer uso de paréntesis al sustituir una variable por su valor numérico, por

ejemplo:

Ejemplo 1.32: Hallar el valor de G en la siguiente ecuación G=3a2-2a+4 si a=2.

Datos Formula Solución b=35cm h=15cm

A=bxh

Sustituimos los datos en la formula A=bh A=(35)(15)= 525 cm

Datos Formula Solución a=2

G=3a2-2a+4

Sustituimos los datos en la ecuación G=3a2-2a+4

G=3(2)2-2(2)+4

G=3(4)-4+4

G=12-4+4=12

Resuelva los siguientes problemas:

a) Un lado de un dado mide 2.5 cm; calcule su volumen total:

Datos Formula Solución

b) El radio de un circulo es de 8.3 cm; calcule su área:

Datos Formula Solución

b

h

Actividad 10


15

1.2.6 Reducción de términos semejantes.

Los términos semejantes son dos o más términos que tienen la misma parte literal afectada

por los mismos exponentes.

Ejemplo 1.33: Ejemplos de términos semejantes:

-4m, 2m, m, 6m,….

2ab, 3ab, 8ab, -4ab,…

2x2, -6x2, 3x2, 8x2,…

2abc2, -15abc2, 23 abc2, -54abc2,…

Determine el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

a) Si a=2 y b=7; entonces ab=

b) Si b=5 y c=7; entonces 2bc=

c) Si x=1/2; entonces 3x+5=

d) Si a=13 y b=5; entonces 3a2b=

e) Si a=9 y c=3; entonces a3+c4=

f) Si x=3/8 y y=4/8; entonces x/y=

g) Si x=46; entonces (x+2)/4=

h) Si x=3/6 y y=2; entonces (xy)=

i) Si a =5.2 ; entonces (3a) /2=

Inventar 5 ejemplos como los anteriores

j)

k)

l)

m)

n)

Actividad 11


16

Ejemplo 1.34: Veamos un ejemplo sencillo en el que sumamos papas y tomates, en donde

el coeficiente es el número de papas o tomates que tenemos y las palabras “papas” y

“tomates” son la parte literal:

+ + +

2 papas + 6 tomates + 5 papas + 3 tomates = 7 papas + 9 tomates

En este ejemplo tenemos dos grupos de términos semejantes que son las papas y los

tomates, solo podemos sumar papas con papas y tomates con tomates.

De igual manera se realizan las operaciones de términos semejantes cuando la parte literal

está compuesta por “a”, “b”, “c”, “x”, “y”, etc.

Ejemplo 1.35: 2a + a - 5a= -2a

En este ejemplo todos son términos semejantes, ya que contienen la misma parte literal y se

encuentra afectada por los mismos exponentes. Como todos son terminos semejantes,

entonces sumamos o restamos sus coeficientes para obtener el resultado dejando la misma

parte literal sin cambios.

Ejemplo 1.36: 7a + 2b + 4a + 5b= 11a + 7b

7a+4a=11a 2b+5b=7b

En este ejemplo 7a y 4a son términos semejantes, asi como 2b y 5b son términos semejantes,

ya que contienen la misma parte literal y se encuentra afectada por los mismos exponentes.

Se dice que reducimos términos semejantes cuando

sumamos o restamos los coeficientes de los términos

semejantes.

Los términos no semejantes, no pueden reducirse, no

pueden sumarse o restarse algebraicamente.


17

Ejemplo 1.37: 2x3y + 4xy + 6x3y - 2xy = 8x3y + 2xy

2x3y + 4xy + 6x3y - 2xy = 8x3y + 2xy

En este ejemplo 2x3y y 6x3y son términos semejantes, así como 4xy y - 2xy son términos

semejantes, ya que contienen la misma parte literal y se encuentra afectada por los mismos

exponentes.

Reduce los siguientes términos semejantes:

a) 24a - 16b + 3c - 18b +7a + 5c=

b) 2a2 + 3b2 - a2 + 2b2 + 7a2 - b2=

c) 1 2 4 3

2 3 5 6a b a b

d) 3 1 1 1 4 8

4 7 5 6 3 4x y z x y z

e) 9x + 4y - 2z + 2(5x)- 3(2y) +2 (4z)=

f) a2 + 5a +7a2 + 8a=

g) 7 (2x + 5x) - 4y - 2x + 8y=

h) 5 4 4 3 4 1

2 7 5 6 3 4x y z x y z

i) 5(a - 2b + 9c) –a + 8b + 2c

j. De la cancha de futbol que se muestra a continuación determina lo siguiente:

Actividad 12

5a+7b+3c

3a+4b+2c

1. Perimetro.

2. El doble del largo mas el triple

del ancho.

3. El largo menos el ancho.

4. El triple del ancho mas el

largo.

5. El largo menos (-a-3b-4c)


18

Nombre:

__________________________________

Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta en cada pregunta.

1. ¿Qué valor tiene el coeficiente del el siguiente término: +12x7?

a) 7 b) x c) 12 d) x7

2. ¿Cuál es el grado absoluto del siguiente término: -9a3b5c7?

a) 3 b) 15 c) -9 d) 8

3. Como clasificarías al siguiente termino: 3x2- 8y3 (tiene dos respuestas)

a) Monomio b) Binomio c) Trinomio d) Polinomio

4. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: 5a3b5c2 + 3a4bc3 – 7a2b5c5

a) 12 b) 10 c) 8 d) 30

5. ¿En cuál de los siguientes polinomios el 8 es el término independiente?

a) 6s + 4t + 8 b)8x + 3y – 4 c) 7a + 2b8 +2 d) 5xy – 8z

6. Si Luisa tiene el doble de años que Ana, y la suma de sus edades es igual a 27, ¿Cuál de

las siguientes ecuaciones expresa de manera algebraica el problema?

a) x + x = 27 b) x2 + y = 27 c) 2x = 27 d) 2x + x = 27

7. ¿Cuál de las siguientes expresiones en lenguaje común representa al término: xy – 3?

a) La suma de dos números disminuido en tres

b) El producto de dos números es igual a tres

c) El producto de dos números disminuido en tres

d) Tres veces la suma de dos números.

8. Un rectángulo mide de largo 5x+3y y de ancho 3x-y, si x=3 y y=2, ¿Cuánto mide su

perímetro?

a) 56 b) 44 c) 20 d)65

9. ¿Cual es resultado de la suma de los siguientes términos: 2(3a - 5b +8a + 9b)?

a) 30ab b) 22a + 8b c) 11a + 4b d) 22a + 28b

10. ¿Cuál es el resultado de la suma de los siguientes términos: -4x + 2y - 3x – 8y?

a) -7x -6y b) x +10y c) -17xy d) 7x +10y

Autoevaluación 1

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