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6 Propiedades métricas Matemáticas II

2.º BACHILLERATOÁngulo de dos rectas

Es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales

cos (

r , s) = cos

(ur ,

us ) cos (

r , s) = – cos

(ur ,

us )

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2.º BACHILLERATOExpresión analítica del ángulo de dos rectas

Sean r: c

zz

b

yy

a

xx 111 y s: ''' c

zz

b

yy

a

xx 222 . Entonces:

cos ( r , s) = |aa' + bb' + cc'|

a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2

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2.º BACHILLERATOVector normal a un plano

Observamos que:AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Como A y B tenemos que:

• ax1 + by1 + cz1 + d = 0• ax2 + by2 + cz2 + d = 0

Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0

(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [

AB] = 0

El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es decir

está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano.

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2.º BACHILLERATOÁngulo de dos planos

El ángulo de dos planos secantes y es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

cos (

, ) = cos

(n ,

n) cos (

, ) = – cos

(n ,

n)

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2.º BACHILLERATOÁngulo de dos planos dados en forma general

Si Ax + By + Cz + D = 0 y A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:

cos (

, ) = |AA' + BB' + CC'|

A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2

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2.º BACHILLERATOÁngulo de recta y plano

El ángulo de una recta r y un plano es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre

sen (

r , ) = cos

(ur ,

n) sen (

r , ) = cos

(–ur ,

n) = | cos

(ur ,

n) |

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2.º BACHILLERATOExpresión analítica del ángulo de recta y plano.

Sean r: x – x1

a = y – y1

b = z – z1

c y : Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:

cos (

r , ) = |aA + bB + cC|

a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2

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2.º BACHILLERATODistancia entre dos puntos

b

• B(x2, y2, z2)

a

•

A(x1, y1, z1)

d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)

2

AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)

a +

AB =

b

AB =

b –

a

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2.º BACHILLERATO

= 0

P n = AQ n + QP n

Distancia punto - plano

Dado P (un punto) y un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.

Según la definición anterior: d(P, ) = d(P, Q)

AP =

AQ + QP

|

AP n|

|n|

=|Ax1 + By1 + Cz1 + D|

A2 + B2 + C2

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2.º BACHILLERATODistancia entre dos planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

d(, ) = d(P, ) = d(P, )

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2.º BACHILLERATO

d (P, r) = d(P, Q) = |QP| =

|

ArP x ur |

|ur |

=

= 0

rP x ur =

ArQ x

ur +

QP x

ur

|(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)||(a, b, c)|

Distancia punto - recta

Dado P (un punto) y runa recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de

Q sobre la recta.

ArP =

ArQ +

QP

(a, b, c)

(xo , y

o , zo )

(x1, y1, z1)

Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)

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2.º BACHILLERATODistancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.

d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

s

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2.º BACHILLERATO

Como el vector AB (2, –7, 3) es normal al plano mediador 2x – 7y + 3z + D = 0

M es el punto medio del segmento AB: por tanto M(2, –3/2, 9/2) Como ha de pasar por M: 4 + 21/2 + 27/2 + D = 0 D = – 28 Por tanto 2x – 7y + 3z = 28 es el plano buscado

Plano mediador

Se define el plano mediador de un segmento como el plano perpendicular en su punto medio.

Ecuación del plano mediador como lugar geométrico

P d(P, A) = d(P, B)

(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z - 3)2 = (x – 3)2 + (y + 5)2 + (z – 6)2

Eliminando radicales obtenemos la ecuación del plano buscado:

2x – 7y + 3z = 28(1, 2, 3) (3, –5, 6)

• P (x, y, z)

Ecuación del plano mediador algebraicamente

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2.º BACHILLERATOPlanos bisectores de un ángulo diedro

Los planos bisectores se pueden definir como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos que forman el diedro

Por tanto: P(x, y, z) plano bisector d(P ± d(P

Al eliminar radicales de estas dos ecuaciones obtenemos las ecuaciones de los dos planos bisectores.

• P(x, y, z)

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2.º BACHILLERATODistancia entre dos rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa

por s y el plano paralelo a s que pasa por r.

• d(r, s) = d(As, )

d (P, ) = |

AP n|

|n|

• Como sabemos que

Tomamos A = Ar ; P = As ; n =

ur x

us•

Partiendo de la figura

Y nos quedará:

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2.º BACHILLERATOPerpendicular común

La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.

r

s

us

ur

• Ar

• As

ur x us

p

• La recta p, perpendicular común, queda determinada por el corte de los planos y

• Se observa quer, ur, ur x us)

s, us, ur x us)

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2.º BACHILLERATOÁreas de paralelogramos y triángulos

S(ABCD) = | AB x AC |

S(ABC) = |AB x AC|

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Paralelogramos

Triángulos

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2.º BACHILLERATOVolumen de paralelepípedos y tetraedros

Paralelepípedo

Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) . base . altura

Altura = h = |AD| cos(AD, h)

Por tanto:

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Base = S(ABC) = |AB x AC|

V = | det (AB, AC, AD) |

V= |AD . (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|1

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