1 Подготовка к ЕГЭ 2013,...

1

Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрияИнтерактивный комплект

3. Проекции и расстояния

3.1. Проекции

Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры объяснений, как использовать интерактивный рисунок на уроке. Приводятся примеры решения задач о нормальной и параллельной проекции, о равных наклонных, доказательств для геометрических мест точек с подробным объяснением метода поиска и обоснования. На двух примерах показано, как применяется метод «от противного».

Оглавление раздела

1. Перпендикуляр, как расстояние между точкой плоскостью.

2. Теорема о двух перпендикулярах.3. Изучение определения проекции.

4. Основное свойство проекции.5. Расстояние от точки до её проекции.

6. Проекция точек, расположенных на фигурах.7. Полезные проекции правильного тетраэдра.

8. Полезные проекции куба.9. Правильный треугольник, как проекция равнобедренного треугольника.

10. Правильный треугольник, как проекция произвольного треугольника.11. Свойство равных наклонных

12. Использование свойств равных наклонных.13. Построение изображения правильного шестиугольника.

14. Проекция проекции.15. Параллельная проекция.

16. Параллельная проекция параллелограмма.17. Тень куба наименьшей площади.

Вход в интерактивные файлы выполняется с помощью щелчка по рисунку. Чтобы рисунки из комплекта ожили, необходимо установить на Вашем компьютере программу GinMA (демо-версия бесплатна) c сайта http://www.deoma-cmd.ru/ (при первой установке необходимо дать информацию Вашему браузеру о том, что файлы формата .ginma открываются с помощью GinMA.exe). Для полноценного использования комплекта рекомендуем купить его на том же сайте. Покупка даст возможность видеть все шаги решения в интерактивном файле и сохранять созданные Вами варианты заданий.

© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. «Тематические комплекты по геометрии», 2012.© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2012.http://www.deoma-cmd.ru/

http://www.deoma-cmd.ru/


2

Задание 1

Перпендикуляр, как расстояние между точкой плоскостью

Общее определение. Расстоянием между телами А и В называют наименьшее расстояние между точками тела А и точками тела В.

Конкретное определение. Расстояние между точкой А и фигурой Р – это наименьшее расстояние между точкой А и точками фигуры Р.

Частное определение. Расстояние между точкой А и плоскостью Р – это наименьшее расстояние между точкой А и точками плоскости Р.

Исследование. На уроке стоит обсудить понятие расстояния между фигурами или телами – например, как определить расстояние между соседними партами, почему расстоянием принято считать наименьшее расстояние между точками, принадлежащими фигурам, телам.

Шаг 1. На интерактивном рисунке даны точка А, плоскость Р и точка В, принадлежащая плоскости Р. Записано значение расстояния АВ. Перемещая точку В, стремимся к тому, чтобы найти наименьшее расстояние. Обсуждаем, как найти ту точку плоскости, которая ближе всего к точке А, и, соответственно, расстояние до плоскости.

Шаг 2. Показан перпендикуляр АA' опущенный из точки А на плоскость Р. Основание перпендикуляра точку A' называют проекцией (нормальной) точки А на плоскость Р. Указано

отношение ABAA'

. Это отношение не меньше, чем единица. Перемещая точку В, стремимся к

тому, чтобы получить единицу.

Высказываем предположение: Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка, соединяющего точку и её проекцию на плоскость.

Проверяем предположение, перемещая точку В в положение A' и меняя положение точки А. Обсуждаем вопрос – что надо доказать, чтобы утверждение оказалось верным? Приходим к выводу, что надо доказать неравенство АA' ≤ АВ.

Задание Докажите, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка, соединяющего точку и её проекцию на плоскость.

Шаг 3. Доказательство. Пусть точка A' – это проекция точки А на плоскость Р. Угол ∠АA'В прямой. Значит, АA' это катет, а АВ – гипотенуза прямоугольного треугольника АA'В. Ясно, что катет не больше, чем гипотенуза АA' ≤ АВ.

Рис. 1. Перпендикуляр, как расстояние между точкой плоскостью



ginma:0;42,134

3

Задание 2

Теорема о двух перпендикулярах

Шаг 1. Исследование. На рисунке показаны прямые АA' и BB', перпендикулярные плоскости Р. Рассматривая конфигурацию с разных направлений, высказываем предположение о параллельности прямых.

Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

Обсуждаем, что и как нужно доказывать, чтобы обосновать утверждение. Желательно напомнить учащимся, что через данную точку к данной плоскости можно провести единственный перпендикуляр. Вспоминаем идею доказательства от противного.

Шаг 2. Задание Докажите, что две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

Шаг 3. Доказательство. Предположим противное. Пусть прямые АA' и ВВ' перпендикулярны плоскости Р, прямая ВС||АA' и эта прямая ВС не совпадает с ВВ'. Пусть

произвольная прямая L принадлежит плоскости P. Тогда АA'⊥L и ВВ'⊥L, как к любой прямой

плоскости Р. Из условия ВС||АA' следует, что ВС⊥L. Поскольку L – произвольная прямая

плоскости Р, то ВС⊥Р. Но перпендикуляр из В к плоскости Р единственный, значит, прямая ВС совпадает с ВВ'. Найдено противоречие.

Рис. 2. Теорема о двух перпендикулярах



ginma:0;42,548

4

Задание 3

Определение проекции и её основное свойство

Определение Проекцией (ортогональной) точки А на плоскость Р называют точку пересечения прямой, проходящей через А перпендикулярно Р с плоскостью Р.

Определение Проекцией (ортогональной) фигуры Ф на плоскость Р называют фигуру Ф' этой плоскости, образованную проекциями всех точек Ф.

Шаг 1. Исследование. На рисунке показаны точка А и плоскость Р. Стоит обсудить понятие проектирования (проецирования), вспомнить кино и лампу (центральная проекция), солнечный и лунный свет (параллельная проекция), сухие зоны под крышей при дожде в безветренную погоду (ортогональная или перпендикулярная проекция). Каждый вид проектирования имеет свои свойства, мы начинаем с самого простого – ортогонального проектирования (или проецирования), которое даже не принято специально оговаривать. На рисунке прямая АA′ перпендикулярна плоскости Р. Важно отметить, что проекция любой точки всегда существует (для любой точки можно найти её проекцию на плоскость), и эта проекция всегда единственная (теорема о единственности перпендикуляра).

Шаг 2. Выполняем обобщение, переходя от точки к фигуре, состоящей из множества точек. Обсудите, что такое проекция отрезка, всегда ли это – отрезок, должны ли быть все точки Ф в одной полуплоскости плоскости Р. Покажите, когда проекция отрезка – это точка, когда проекция совпадает с оригиналом, когда равна оригиналу, когда при проектировании объект изменяется неузнаваемо (плоскость фигуры перпендикулярна плоскости Р). На рисунке фигура в виде треугольника АВС, проекция этой фигуры A'В'С', прямые АA', ВВ', СС', плоскость Р. Переходя к исследованию свойств проектирования, целесообразно обратить внимание учеников на то, как искажаются при проектировании углы или отношение длин отрезков, не лежащих на прямой. Удобно пользоваться видом вдоль прямых и видом под 40° – 60° градусов к этому направлению.

Рис.3. Изучение определения проекции



ginma:0;42,138

5

Задание 4

Основное свойство проекции

Шаг 3. Исследование. На рисунке показан отрезок АВ с расположенной на нём точкой D. Пусть АD : ВD = k. Что можно предположить о взаимном расположении точек А', B', D'? Разворачивая изображение так, чтобы параллельные прямые сливались, стоит подвести учеников к предположению, что точки А', B', D' лежат на одной прямой. Полезно вспомнить о свойствах параллельных прямых и теореме Фалеса и вывести учеников на идею о параллельных отрезках. Прочитав формулировку основной теоремы о проекциях, обсудите схему доказательства на основе теорем планиметрии. Идея доказательства – переход во вспомогательную плоскость и использование в ней теоремы Фалеса.

Шаг 4. Задание Пусть точка D лежит на отрезке АВ, причём АD : ВD = k, A', B' и D' – проекции A, B и D на плоскость Р. Тогда точка D' расположена на отрезке A'B', причём А'D' : В'D' = k.

Шаг 5. Доказательство. По условию, A', B' и D' – проекции A, B и D на плоскость Р. Значит, AA'⊥P, BB'⊥P, DD'⊥P. По теореме о параллельности перпендикуляров к плоскости, AA'||BB'||DD'. По теореме о параллельных прямых, AA', BB' и DD' лежат в одной плоскости, а значит, точки A', B' и D' принадлежат одной прямой, являющейся пересечением плоскости Р и плоскости АВD'. Пользуясь в плоскости АВD' теоремой Фалеса, найдем, что точка D' расположена на отрезке A'B', причём А'D' : В'D' = k.

Рис.4. Основное свойство проекции



ginma:0;42,138,3

6

Задание 5

Расстояние от точки до её проекции

Шаг 1. Задание. Пусть A'B – проекция АВ на плоскость Р (B∈P). Найдите расстояние от А до плоскости Р, если AB = L, A'B = l.

Шаг 2. Решение.∠AA'B = 90°. По теореме Пифагора находим: AA' 2 = AB2 – A'B2 = L2 – l2.

Шаг 3. Задание. Пусть A'B и A'С – проекции АВ и AC на плоскость Р. Найдите расстояние от А до Р, если AB = L, AC = l, k A'C = A'B.

Шаг 4. Решение.∠AA'B = ∠AA'C = 90° По теореме Пифагора, находим: k2(l 2 – AA' 2) =

L2 –AA' 2. Значит, AA' =√ k2 l 2−L2

k 2−1.

Рис.5. Расстояние от точки до её проекции



7

Задание 6

Проекция точек, расположенных на фигуре

Шаг 1. Задание Расстояния от А и В до плоскости Р равны a и b. N – середина AB. Найдите расстояние от N до P.

Шаг 2. Исследование. На рисунке – точки А и В, расположенные по одну сторону от плоскости Р, отмечена середина отрезка N и построены проекции A', В' и N'. Целесообразно вспомнить свойства проецирующих прямых: параллельность, расположение параллельных прямых, пересекающих одну прямую, в одной плоскости, и свойства средней линии трапеции в плоскости. Можно задуматься о том, можно ли обозначить плоскость, содержащую прямые, как АВN? При необходимости – бъяснить учащимся, почему это недопустимо.

После записи решения важно задаться вопросом – единственно ли найденное решение? В каких случаях оно единственно? После некоторого обсуждения, когда ученики подвигают точки А и В, они догадаются, что существенно изменяется ситуация, если точки располагаются по разные стороны от плоскости. Показанное дополнительное построение выполнено для случая, когда точка В уходит «под плоскость».

Решение. Пусть точки А и В находятся с одной стороны от плоскости Р. Из перпендикулярности плоскости проектирующих прямых следует их параллельность: AA'⊥P, BB'⊥P, NN'⊥P ⇒ AA'||BB'||NN'. Средняя линия NN' трапеции ABB'A' равна полусумме расстояний NN' = (a + b)/2.

Шаг 3. Пусть точки А и В находятся по разные стороны от плоскости Р, A''A = N''N = BB' = b. N''N' = A''A/2 = (b + a)/2, NN' = |N''N' – N''N| = |a – b|/2.

Шаг 4. Задание Расстояния от точек А, B и C до плоскости Р равны a, b и c. M – центроид треугольника АВС (точка пересечения медиан). Найдите расстояние от M до P.

Шаг 5. Решение. Известно, что NN' = |a ± b|/2, СМ = 2NM. Отсюда 3MM' = AA' + BB' + CC'. При различных взаимных положениях точек относительно плоскости CM = 2NM ⇒ C'M' = 2N'M'. Выполнив преобразования, получаем MM' = |a ± b ± c|/3.

Шаг 6. Задание [1, 1.4.11]. Расстояния от А, B и C до плоскости Р равны a, b и c. ACBD – параллелограмм. Найдите расстояние от D до P.

Шаг 7. Решение. Известно, что точка пересечения диагоналей равноудалена от противолежащих вершин. Значит, NN' равно либо полусумме, либо полуразности расстояний до плоскости Р от пар противолежащих вершин: 2NN' = |AA' ± BB'| = |CC' ± DD'|

Выполнив преобразования, найдём: DD' = ||a ± b| ± c|.

Рис. 6. Проекция точек, расположенных на фигурах



ginma:0;42,139

8

Задание 7

Полезные проекции

Задача 7.1. Полезные проекции правильного тетраэдра

Задание. Представьте, затем рассмотрите проекцию правильного тетраэдра на плоскость:

– Шаг 1 перпендикулярную ребру;

– Шаг 2 параллельную паре скрещивающихся рёбер.

Пусть сторона тетраэдра равна a. В результате на шаге 1 получаем равнобедренный треугольник с основанием a с высотой, равной расстоянию между противолежащими

рёбрами a

√2.

На шаге 2 получаем квадрат со стороной a .

Рис.7. Полезные проекции правильного тетраэдра



ginma:0;42,211,2

ginma:0;42,211

9

Задание 8

Полезные проекции куба

Задание. Представьте, затем рассмотрите проекцию куба на плоскость:

– перпендикулярную ребру;

– перпендикулярную диагонали грани куба;

– перпендикулярную диагонали куба.

Пусть сторона куба равна a. В результате на шаге 1 получаем квадрат со стороной a .

На шаге 2 получаем прямоугольник со сторонами a √2 и a .

На шаге 3 получаем правильный шестиугольник со стороной a √ 23

.

Рис.8. Полезные проекции куба



ginma:0;42,209

ginma:0;42,209,2

ginma:0;42,209,3

10

Задание 9

Правильный треугольник, как проекция равнобедренного треугольника

Шаг 1. Задание. Проекцией равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС, ∠A = 2α) на плоскость Р является правильный треугольник. Найти угол между ВС и плоскостью Р, если медиана АМ параллельна плоскости Р.

Шаг 2. Решение. Вычисляем длину проекции: BM = AM tg α B'M' = A'M' tg30°.

3

''cos

αβ ctg

BM

MB == .

Рис.9. Правильный треугольник, как проекция равнобедренного треугольника



ginma:0;42,164

11

Задание 10

Правильный треугольник, как проекция произвольного треугольника

Шаг 1. Задание. Найдите сторону правильного треугольника, который является проекцией данного треугольника АВС на плоскость, проходящую через точку A.

Шаг 2. Решение. Пусть сторона искомого ΔAB'C' равна x, BB' = y, CC' = z. Составим систему уравнений, если BC = a, AC = b, AB = c.

По теореме Пифагора находим, что x2 + y2 = c2, x2 + z2 = b2, x2 + (z – y) 2 = a2.

Уравнение преобразуем к виду 3x4 – 2(a2 + b2+c2)x2 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2b2 – a 4 – b 4 – c 4 = 0.

Решение: 3

2

3

2222224442222 bccabacbacba

x−−−++−++= , y2 = c2 – x2.

Шаг 3. Мы знаем, что: AB' = x, BB' = y, CB' = CA = b. Знаем и решение системы уравнений. Мы можем построить точку B', зная расстояние до неё от трёх данных точек.

Шаг 4. Для того, чтобы построить точку B', строим точку пересечения сферы с центром A и радиусом х, сферы с центром В и радиусом у и сферы с центром С и радиусом АС = b.

Шаг 5. Исследование. На рисунке показаны исходный треугольник и правильный, полученный в результате проектирования. Проверяем утверждение задачи о возможности построения такого треугольника, произвольно изменяя исходный.

Рис. 10. Правильный треугольник, как проекция произвольного треугольника



ginma:0;42,208

12

Задание 11

Свойство равных наклонных

Шаг 1. Даны плоскость ABC и точка D вне плоскости АВС. Найдите геометрическое место точек D таких, что угол наклона АD, BD и CD к АВС одинаков.

Шаг 2. Решение. Прямоугольные треугольники АDО, BDО, CDО имеют равные углы и общий катет. Они равны, следовательно, равны их гипотенузы и вторые катеты.

Шаг 3. Геометрическое место точек D - это точки прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через центр описанной окружности треугольника ABC.

Рис.11. Свойство равных наклонных

Задание. Даны плоскость АВС, точка D вне плоскости ABC. Из точки D проведены три наклонные равной длины АD = BD = CD. Сравните углы между наклонными и плоскостью Р. Докажите, что точка O, проекция D на плоскость ABC, – это центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение. Прямоугольные треугольники АDО, BDО, CDО имеют равные гипотенузы и общий катет. Они равны, следовательно, равны их углы и вторые катеты.

Задание. Точка A равноудалена от вершин плоского многоугольника BCDEF. Докажите, что этот многоугольник вписанный.

Решение. Аналогично предыдущему.

Задание. В пирамиде ABCDEF AB = AC = AD = AE = AF = a. Расстояние от А до плоскости BCD равно b. Найдите радиус описанной окружности основания.

Решение. Аналогично предыдущему. По теореме Пифагора r2 = a2 – b2.



ginma:0;42,154

13

Задание 12

Использование свойств равных наклонных

Шаг 1. Задание. В плоскости АВС дан прямоугольный треугольник ABC. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если угол наклона АD, ВD и СD к этой плоскости равен α и ВС = 2а.

Шаг 2. Решение. Пусть точка О — это проекция D на плоскость АВС. АО = ВО = СО, то есть О – центр описанной окружности прямоугольного треугольника АВС, середина гипотенузы АВ. DО/BO = tg α, значит, DО = a tg α.

Рис.12. Использование свойств равных наклонных



ginma:0;42,165

14

Задание 13

Построение изображения правильного шестиугольника

Шаг 1. Задание. Постройте изображение правильного шестиугольника, зная точки A,B,C – изображения трёх последовательных его вершин. Другими словами, найдите проекцию правильного шестиугольника на плоскость дисплея.

Размышления. Известно, что центр правильного шестиугольника (O) симметричен любой вершине (В) относительно середины диагонали, соединяющей две соседние вершины (А и С). Середины отрезков переходят в середины проекций. Отсюда следует построение.

Шаг 2. Решение Строим точку B' - середину отрезка АС.

Шаг 3. Строим точку О -центр шестиугольника. Эта точка симметрична точке B относительно точки B'.

Шаг 4. Строим три оставшиеся вершины (AO = DO, BO = EO, CO = FO). Построены вершины D,E,F, симметричные вершинам А,В,С, соответственно, относительно центра правильного шестиугольника.

Шаг 5. Искомый шестиугольник построен. Найдите вид, в котором построенный шестиугольник правильный.

Рис.13. Построение изображения правильного шестиугольника



ginma:0;42,212

15

Задание 14

Двойная проекция (проекция проекции)

Шаг 1. Пусть ABCDE – правильная пирамида. Точки F,G,H лежат в грани ADE, F'G'H' проекция F,G,H на плоскость основания ABCD, F''G''H'' – проекция F'G'H' на плоскость ABE.

Найдите ∠F''G''H'', если ∠FGH = α.

Рис.14. Проекция проекции



ginma:0;42,11

16

Задание 15

Параллельная проекция

Шаг 1. Определение. Проекцией точки А на плоскость Р в направлении ВС называют точку пересечения с Р прямой AA', параллельной BC.

Исследование. На рисунке показаны точка А, прямая ВС и плоскость Р. Стоит обсудить понятие проектирования (проецирования), вспомнить кино и лампу (центральная проекция), солнечный и лунный свет (параллельная проекция). Каждый вид проектирования имеет свои свойства.

Рис.15. Параллельная проекция



ginma:0;42,130

17

Задание 16

Параллельная проекция параллелограмма

Шаг 1. Задание. Пусть ABCD – параллелограмм, через вершины которого проходят параллельные прямые, пересекающие плоскость О в точках A', B',C' и D'. Найдите DD', если AA' = a, BB' = b, CC' = c.

Шаг 2. Решение. Пусть Е – точка пересечения диагоналей, E' – параллельная проекция Е на плоскость О. Выразим EE' через AA', BB', CC' , DD'.+ DD'.

Шаг 3. Так же, как и при нормальной проекции (Задание 6), получим, что если стороны параллелограмма не пересекают плоскость, то 2EE' = AA' + CC' = BB' + DD'. Иначе знаки могут меняться.

Рис.16. Параллельная проекция параллелограмма



ginma:0;42,213

18

Задание 17

Наименьшая площадь тени куба (центральная проекция)

Шаг 1. Задание. Куб с ребром АВ освещает лампочка, удалённая на расстояние 2АВ от плоскости основания куба. Найдите наименьшее значение площади тени куба.

Шаг 2. Решение. Рассмотрим тень только от верхней грани. Тень куба не меньше, чем тень его верхней грани. А эта тень – квадрат со стороной 2АВ. Такая тень возникает, если источник света расположен над кубом.

Рис. 17. Тень куба наименьшей площади



ginma:0;42,53

19

Литература

1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 10 – 11 кл.: Учебник. –М.: Дрофа, 2007. – 206 с.

2. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Cтереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с.

3. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Cтереометрия 11. –M.: Физматкнига, 2005. – 336 с.

4. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: –Т.2: Стереометрия, преобразования пространства. –М.: Изд. МЦНМО. 2006. – 256 с.

5. В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. –М.: «НАУКА», 1989, Библиотека математического кружка, вып. 19. – 287 с.



1 Подготовка к ЕГЭ 2013,...

Documents