09) conceptos bÁsicos del anÁlisis vectorial.pdf

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A N T E C E D E N T E S

CONCEPTOS BSICOS DEL ANLISIS VECTORIAL

1. El campo de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales, denotado por , se define partiendo del concepto de las estructuras algebraicas de Grupo Abeliano, Anillo y Campo, mediante axiomas o postulados para las operaciones binarias de suma y multiplicacin. El campo es, por lo tanto, un conjunto de elementos llamados escalares, que satisfacen las propiedades siguientes. Definicin: 1.1 Para la operacin de suma 1.1.1 Axioma de cerradura

Para todo ,a b ; a b , por lo tanto es cerrado con respecto a la suma. 1.1.2 Axioma de asociatividad

Para todo , ,a b c ; ( ) ( )a b c a b c 1.1.3 Axioma de existencia del elemento idntico u (tambin llamado elemento neutro aditivo 0z )

Existe u tal que, para todo a ; u ua a a implica que u 0 1.1.4 Axioma de existencia del elemento inverso aditivo a

Existe a tal que, para todo a , ua a a a como u 0 implica que a a ( a es el negativo de a )

1.1.5 Axioma de conmutatividad

Para todo ,a b ; a b b a El conjunto de los nmeros reales forma un GRUPO ABELIANO con respecto a la suma.

50 JOS PEDRO AGUSTN VALERA NEGRETE

1.2 Para la operacin de multiplicacin 1.2.1 Axioma de cerradura

Para todo ,a b ; ab , por lo tanto es cerrado con respecto a la multiplicacin. 1.2.2 Axioma de asociatividad

Para todo , ,a b c ; ( ) ( )ab c a bc 1.2.3 Axioma de distributividad de la segunda operacin de multiplicacin con respecto a la primera

operacin de suma, tanto por la izquierda como por la derecha.

Para todo , ,a b c se tiene que: a) ( )a b c ab ac por la izquierda b) ( )b c a ba ca por la derecha

La estructura de los nmeros reales satisface las propiedades para formar un ANILLO. 1.2.4 Axioma de conmutatividad

Para todo ,a b ; ab ba Se tiene la estructura llamada ANILLO CONMUTATIVO. 1.2.5 Axioma de existencia del elemento idntico v

Existe v tal que, para todo a ; v va a a implica que v 1 Se tiene la estructura llamada ANILLO CONMUTATIVO CON UNIDAD. 1.2.6 Axioma de existencia del elemento inverso multiplicativo b

Existe b tal que ; para todo b , vbb bb como v 1 implica que 1b

b ( b es el recproco de b , tambin representado como 1b )

Se tiene la estructura algebraica llamada CAMPO que satisface los once axiomas mencionados.

De hecho podemos decir con mayor sencillez que para que los nmeros reales formen la estructura algebraica llamada campo o cuerpo, deben de satisfacerse para las operaciones ordinarias de suma y multiplicacin los 6 axiomas siguientes: 1. Cerradura, 2. Asociatividad, 3. Existencia de los elementos idnticos, 4. Existencia de los elementos inversos, 5. Conmutatividad, 6. Distributividad de la multiplicacin de un elemento con respecto a la suma de dos de ellos.

ANTECEDENTES CONCEPTOS BSICOS DEL ANLISIS VECTORIAL 51

Observacin: Al elemento idntico para la operacin suma le asignamos el nombre de elemento cero del campo, lo denotamos con la letra z y no tiene inverso multiplicativo. Al elemento idntico para la segunda operacin (multiplicacin) le llamamos elemento unidad y lo denotamos con la letra v . Ejemplo 1 Dado el conjunto de los nmeros reales , indicar detallada y ordenadamente (en forma numrica) las propiedades que debe satisfacer para formar la estructura de campo. Para la operacin de suma ( ) consideremos, por ejemplo, a los nmeros 2,3, 4 1. Cerradura

2 3 5 , 5 , por lo tanto es cerrado con respecto a la suma. 2. Asociatividad

(2 3) 4 2 (3 4) (5) 4 2 (7)

9 9 3. Existencia del elemento idntico u

Existe u tal que, 2 u u 2 2 implica que, u 0 4. Existencia del elemento inverso aditivo a

Existe a tal que, 2 2 ua a como u 0 implica que, 2a

5. Conmutatividad 2 3 3 2 implica que, 5 5 Se indica que forma un GRUPO ABELIANO con respecto a la operacin de suma. Para la operacin de multiplicacin 6. Cerradura

2 3 6x , 6 entonces es cerrado con respecto a la multiplicacin. 7. Asociatividad

(2 3) 4 2(3 4)x x (6)4 2(12) 24 24


8. Distributividad de la segunda operacin (multiplicacin) con respecto a la primera operacin (suma) tanto por la izquierda como por la derecha: a) 2(3 4) (2) (3) (2) (4) por la izquierda 2(7) 6 8 14 14 b) (3 4) 2 (3) (2) (4) (2) por la derecha (7)2 6 8 14 14 La estructura de los nmeros reales satisface las propiedades para formar un ANILLO. 9. Conmutatividad: 2 3 3 2x x implica que, 6 6 Se tiene la estructura de ANILLO CONMUTATIVO. 10. Existencia del elemento idntico v

Existe v tal que, 2v v2 2 implica que, v 1 Se tiene la estructura de ANILLO CONMUTATIVO CON UNIDAD. 11. Existencia del elemento inverso multiplicativo b

Existe b tal que, 2 2 vb b como v 1 implica que, 1

2b ( b es el recproco de 2 )

Por lo tanto la estructura algebraica de CAMPO o CUERPO satisface las once propiedades o axiomas descritos. Conclusin: El conjunto de los nmeros reales forma un CAMPO o CUERPO para las operaciones de suma y multiplicacin. 2. Punto en el espacio de n dimensiones, espacio de puntos Un punto es un concepto abstracto de la geometra que denota posicin en el espacio pero no extensin. Analticamente se define a un punto P en el espacio de n dimensiones como el sistema ordenado de n nmeros reales. Si n es un entero positivo, entonces una n ada ordenada es una sucesin de n nmeros reales en el espacio n , expresado de la siguiente forma:

1 2 3 1( , , , , , )n nP x x x x x


2x

1x

O

Los nmeros reales ix se llaman coordenadas del punto P (en donde 1,2,3, ,i n ) y en el espacio de n dimensiones, un punto cualquiera tiene exactamente n coordenadas. 1) Para 1n (campo de los nmeros reales ) Para un espacio de una dimensin, los puntos estn definidos por una coordenada 1( )P x

abscisa

.

2) Para 2n (par ordenado en 2 ) En un espacio de dos dimensiones, los puntos estn definidos por dos coordenadas y se denomina par ordenado, formndose en general por nmeros reales de la siguiente manera 1 2( , )P x x

abscisa ordenada

.

3) Para 3n (terna ordenada en 3 ) El sistema ordenado de n nmeros reales se convierte en una terna ordenada, la cual nos representa un punto en el espacio de tres dimensiones 1 2 3( , , )P x x x

abscisa ordenada cota

como puede observarse en la figura.

Los puntos pueden representarse geomtricamente slo si se encuentran en un espacio de 1, 2 o 3 dimensiones. Frecuentemente tambin se representa a un punto 3P con la notacin ( , , )P x y z en lugar de 1 2 3( , , )P x x x .

1 2( , )P x x

O

O

3x

1 2 3( , , )P x x x

1x

2x

1x 1( )P x


Para espacios donde 4n la definicin anterior no puede interpretarse geomtricamente. En forma coloquial se dice que la cuarta dimensin es el tiempo, y en ingeniera se consideran como dimensiones adicionales a las propiedades fsicas de la materia: los esfuerzos, los momentos, las temperaturas, etc. A pesar de que nuestra visualizacin geomtrica es para un espacio de tres dimensiones, se hace notar que se acostumbra generalizar muchas ideas conocidas a espacios de dimensin superior si se trabaja con propiedades numricas o analticas de los puntos y de los vectores, en lugar de propiedades geomtricas. Para los puntos, los nmeros ordenados se denominan coordenadas y para los vectores las coordenadas son sus proyecciones ortogonales sobre los ejes. 3. Igualdad de puntos y suma de puntos 3.1 Igualdad de puntos Dos puntos 1 2 3( , , , , )nA a a a a y 1 2 3( , , , , )nB b b b b en el espacio n son iguales si y slo si, sus componentes o coordenadas correspondientes son iguales, es decir:

1 1 2 2 3 3, , , , n na b a b a b a b 3.2 Suma o adicin de puntos Se define a la suma de dos puntos 1 2 3( , , , , )nA a a a a y 1 2 3( , , , , )nB b b b b en el espacio n como un tercer punto de la forma A B mediante:

1 2 3 1 2 3( , , , , ) ( , , , , )n nA B a a a a b b b b 1 1 2 2 3 3( , , , , )n nA B a b a b a b a b La suma de los puntos anteriores se puede interpretar como el cambio de posicin del punto A en la distancia y en el sentido de las coordenadas del punto B . El punto cero llamado origen del espacio en n se define como 0 (0, 0, 0, , 0) . Ejemplo 2 Dados los puntos (1, 2)A y (3, 2)B hallar el punto BA y representarlo geom-tricamente. Solucin: A B C

(1, 2) (3, 2) ( 4, 4)A B ( 4, 4)C

(1, 2)A

x 4321

4

3

2

1

y

(3, 2)B

( 4, 4)C


2 1 -1 -2

4. Multiplicacin de un escalar por un punto Se define la multiplicacin de un nmero real o escalar cualquiera y el punto 1 2 3( , , , , )nA a a a a como el nuevo punto cuyas coordenadas se obtienen de la siguiente forma:

1 2 3 1 2 3( , , , , ) ( , , , , )n nA a a a a a a a a Geomtricamente se entiende esta multiplicacin como el cambio de posicin efectuado tantas veces como el valor del escalar (respetando su direccin segn sea positivo o negativo). Ejemplo 3 Dado el punto ( 2, 1)A y los escalares 1 2 y 2 2 , hallar los puntos A1 y A2 . Representarlos geomtricamente. Solucin: 1 2 ( 2, 1) ( 4, 2)A 2 2 ( 2, 1) ( 4, 2)A Ejemplo 4 Sean los puntos 3, , , ,A B C D E definidos por (1,0, 2)A , ( 2,1,3)B , (4, 2,0)C ,

( 3,2,5)D y (2,4,1)E hallar: 1) A B 2) 12 3A B C 3) 3 (1, 2,3)E C 4) El valor de M si se satisface la expresin 4 3M B D Solucin: 1) (1,0, 2) ( 2,1,3) ( 1, 1, 1)A B 2) 1 1 12 2 23 (1,0, 2) 3( 2,1,3) (4, 2,0) ( ,0, 1) (6, 3, 9) ( 4,2,0)A B C

52( , 1, 10)

3) 3 (1, 2,3) 3(2,4,1) (4, 2,0) (1, 2,3) ( 6, 12, 3) (4, 2,0) (1, 2,3)E C ( 3, 12, 6)

4) 4 3M B D 4 3( 2,1,3) ( 3,2,5) ( 6,3,9) (3, 2, 5) ( 3, 1,4)M

3 14 4( , , 1)M

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( 2,1)A

2 ( 4, 2)A

x

y

1 ( 4, 2)A


Ejemplo 5 Dados los puntos (3, 1,2)A y (2,4, 3)B , encuentre los puntos 1 1 1 1( , , )P x y z y 2 2 2 2( , , )P x y z para que se verifiquen simultneamente las expresiones:

1) 1 2P P A 2) 1 22 3P P B Solucin: 1) 1 2P P A 1 2 1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) (3, 1,2)P P x y z x y z 1 2P P A expresin (1) 1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) (3, 1,2)x y z x y z 2) Sustituyendo la expresin (1) en 1 22 3P P B , resulta: 2 2 2 2 2 22 ( , , ) (3, 1, 2) ( , , ) 3(2, 4, 3)x y z x y z 2 2 2 2 2 22( , , ) ( , , ) (6, 2,4) (6,12, 9)x y z x y z 2 2 23( , , ) (6,12, 9) (6, 2,4)x y z 2 2 23( , , ) (0,14, 13)x y z 13142 3 3(0, , )P expresin (2) Sustituyendo la expresin (2) en (1): 13141 1 1 3 3( , , ) (0, , ) (3, 1,2)x y z 7111 3 3(3, , )P Comprobacin 1) 1 2P P A 7 1311 143 3 3 3(3, , ) (0, , ) (3, 1,2) (3, 1,2) (3, 1,2) 2) 1 22 3P P B 7 1311 143 3 3 32(3, , ) (0, , ) 3(2,4, 3) 1322 14 143 3 3 3(6, , ) (0, , ) (6,12, 9) (6,12, 9) (6,12, 9) 5. Espacio euclidiano, espacio cartesiano y espacio vectorial 5.1 Espacio euclidiano Se define como espacio euclidiano de dimensin n y se indica como n , a un conjunto cuyos elementos son puntos o segmentos dirigidos y en el que estn definidas las operaciones de: 1) suma de dos


cualesquiera de sus elementos, 2) multiplicacin de un escalar o nmero real, por uno cualquiera de sus elementos y 3) producto interior euclidiano o producto interno de sus elementos. Nota: Si 2n o 3n , el producto interior euclidiano coincide con el producto punto o producto escalar (ver tema 11). Sean los puntos 1 2( , , , )nA a a a y 1 2( , , , )nB b b b y el escalar , entonces: 1 2 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , )n n n nA B a a a b b b a b a b a b y 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nA a a a a a a Las operaciones anteriores cumplen con las propiedades siguientes: Sean 1 2( , , , )nA a a a , 1 2( , , , )nB b b b y 1 2( , , , )nC c c c tres puntos cualesquiera de n y dos escalares o nmeros reales , entonces: 1) nA B cerradura para la suma o adicin. 2) ( ) ( )A B C A B C propiedad asociativa para la suma o adicin. 3) Existe un punto O(0,0, ,0) u origen existencia del elemento neutro aditivo. tal que O OA A A 4) Existe un punto existencia del elemento inverso aditivo. 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nA a a a a a a tal que ( ) OA A A A 5) A B B A propiedad conmutativa para la suma o adicin. 6) nA cerradura para la multiplicacin por un escalar. 7) Se satisface que ( )A B A B propiedad distributiva de la multiplicacin por

un escalar con respecto a la suma de puntos. 8) Se satisface que ( ) A A A propiedad distributiva de la multiplicacin por

un escalar con respecto a la suma ordinaria. 9) Se satisface que ( ) ( )A A propiedad asociativa de la multiplicacin por

escalares. 10) Se satisface que 1A A 5.2 Espacio cartesiano El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometra Analtica, fue introducido en 1637 por el matemtico francs Ren Descartes (1596-1650) tambin llamado en latn Cartesius. Por esta razn, la geometra analtica se conoce tambin con el nombre de geometra cartesiana o espacio cartesiano de dimensin n y se le denota mediante n . A travs de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunvoca entre puntos y nmeros reales, permitindonos aplicar mtodos de anlisis a la geometra, de ah el nombre de geometra analtica. Un espacio euclidiano con un sistema elegido se llama un espacio cartesiano.


Definicin: Si n es un entero positivo, entonces una n ada ordenada es una sucesin de n nmeros reales 1 2( , , , )na a a . Al conjunto de todas las n adas ordenadas se le denomina espacio cartesiano de dimensin n y se le denota mediante n . Si 2n se acostumbra emplear el trmino par ordenado, y si 3n se acostumbra el de terna ordenada. Se llaman coordenadas cartesianas de un punto 3P respecto de dicha referencia a las coordenadas

1 2 3( , , )x x x del segmento dirigido OP en la base ortonormal 1 2 3( , , )e e e , en donde 1 2 3, ,e e e son vectores unitarios en 3 . El nmero de coordenadas que posee el punto corresponde a la dimensin en que se encuentra ubicado.

5.3 Espacio vectorial Un espacio vectorial que se denota como n o Vn sobre el campo de los nmeros reales , consiste en un conjunto de elementos en el que estn definidas dos operaciones denominadas: 1) suma o adicin de sus elementos y 2) multiplicacin de un escalar por uno de sus elementos. La suma de dos cualesquiera de ellos es un nuevo elemento de n y el producto de un escalar por uno de ellos es tambin un elemento de n , satisfaciendo las mismas propiedades que el espacio euclidiano. Los elementos del campo se llaman escalares y los elementos del espacio vectorial se llaman vectores. No debe confundirse el concepto de vector analizado en la definicin de espacio vectorial (ver captulo 3), con la entidad fsica que nos representa una fuerza que posee punto de aplicacin, magnitud, direccin y sentido, y que se representa geomtricamente por una flecha. Observacin: El vector cero 0 (0,0, ,0) en el espacio de dimensin n tiene longitud cero. Como el vector cero no tiene una direccin natural, se aceptar que es posible asignarle cualquier direccin que sea conveniente para el problema de que se trate. Para los puntos los nmeros son las coordenadas, y para los vectores las coordenadas son las componentes. Ejemplo 6 En el espacio tridimensional indique un vector que pertenezca a un espacio vectorial y otro vector que represente una fuerza.

1. Un vector 3a , es una terna ordenada de nmeros reales que se expresa, por ejemplo, como 1 2 3( , , )a a a a y pertenece al espacio vectorial de dimensin 3 .

2. Un cuerpo que pesa 20 kilogramos, en Fsica puede ser expresado como el vector w 20kg con direccin vertical y sentido de arriba hacia abajo.

Ejemplo 7 Dados los puntos (2,3, 1)A , (2,4, 2)B , (1,3,2)C , ( 1, 1,2)D y (1,2, 1)E encontrar: 1) C A D 2) Dos escalares y que satisfagan la ecuacin (0,0,0)B E 3) Un escalar que satisfaga la ecuacin 2 (0,0,0)A C D


Solucin: 1) (1,3,2) (2,3, 1) ( 1,1,2)C A D (1 2 1, 3 3 1, 2 1 2)C A D ( 2, 1,5)C A D 2) (0,0,0)B E (2, 4, 2) (1,2, 1) (0,0,0) El sistema de ecuaciones lineales que se forma es:

2 04 2 02 0

por lo tanto la solucin es 2

Por ejemplo si 1 entonces 2 (estos slo son un par de valores que satisfacen la ecuacin, pero en general sabemos qu y son nmeros reales y tienen valores proporcionales). Comprobacin

(0,0,0)B E (2,4, 2) 2(1,2, 1) (0,0,0)(2,4, 2) ( 2, 4,2) (0,0,0)(0,0,0) (0,0,0)

3) 2 (0,0,0)A C D (2,3, 1) (1,3,2) 2 ( 1,1,2) (0,0,0) (2 ,3 , ) ( ,3 ,2 ) (2 , 2 , 4 ) (0,0,0) (2 2 , 3 3 2 , 2 4 ) (0,0,0) (5 ,4 , 3 ) (0,0,0) El nico valor que satisface la condicin establecida es 0 . Ejemplo 8 Encuentre las coordenadas del punto 4P si se satisface la ecuacin

3 (2, 4, 3, 1) 2(1, 3, 4, 2)P . Solucin: 3 (2, 4, 3, 1) 2(1, 3, 4, 2)P 3 3(2, 4, 3, 1) 2(1, 3, 4, 2)P 3 (6, 12, 9, 3) (2, 6, 8, 4)P 3 (2, 6, 8, 4) (6, 12, 9, 3)P


3 (8, 6, 1, 1)P 8 6 1 13 3 3 3( , , , )P Comprobacin 8 6 1 13 3 3 33 ( , , , ) (2, 4, 3, 1) 2(1, 3, 4, 2) (8, 6, 1, 1) (6, 12, 9, 3) (2, 6, 8, 4) (8, 6, 1, 1) ( 6,12, 9, 3) (2, 6, 8, 4) (2, 6, 8, 4) (2, 6, 8, 4) 5.4 El espacio euclidiano es un espacio vectorial Como las propiedades del espacio euclidiano y del espacio vectorial son las mismas, se puede enunciar el siguiente teorema. Si 0n el espacio euclidiano, es un espacio vectorial (ver tema 3.1.3). 6. Segmentos dirigidos y propiedades geomtricas Un segmento dirigido es una porcin de recta comprendida entre dos puntos para la cual se escoge un sentido de recorrido. La interpretacin geomtrica del segmento dirigido se presenta en la figura siguiente: Cuando el recorrido de un segmento dirigido es de A hacia B , como el mostrado en la figura, escribimos AB . Al punto A se le llama origen del segmento y al punto B extremo, y decimos que AB est localizado o

anclado en el punto A . A la distancia entre A y B se le conoce como longitud, norma, magnitud o mdulo del segmento. Por lo tanto decimos que un segmento dirigido se define cuando se conocen su punto de aplicacin u origen, su extremo, su magnitud, su direccin (lnea de movimiento o recta por donde acta un segmento) y su sentido (es alguna de las dos posibles orientaciones sobre la recta seleccionada).

Llamamos componentes del segmento dirigido AB donde 1 2 3( , , , , )nA a a a a y 1 2 3( , , , , )nB b b b b a la n ada determinada por 1 1 2 2 3 3( , , , , )n nB A b a b a b a b a . Las componentes del segmento dirigido AB , en donde 3,A B , definidos por 1 2 3( , , )A a a a y

1 2 3( , , )B b b b corresponden a la terna obtenida de la siguiente manera:

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AB B A b b b a a a b a b a b a

l

A

B

Segmento dirigido AB

AB


Ejemplo 9 Dados los puntos (2,3, 1)A , (2,4, 2)B , (1,3,2)C , ( 1, 1,2)D y (1,2, 1)E encontrar los segmentos dirigidos AB , CD y BE . Solucin:

1) (2,4, 2) (2,3, 1) (0, 1, 1)AB B A 2) ( 1, 1,2) (1, 3, 2) ( 2, 2, 0)CD D C 3) (1, 2, 1) (2, 4, 2) ( 1, 2, 1)BE E B Observacin: Con objeto de hacer ms claro el estudio de los segmentos dirigidos para el curso de ingeniera, en adelante nos referiremos principalmente a los espacios 2 y 3 dejando a nuestra imaginacin y razonamiento el anlisis de n cuando el problema lo requiera. Desde el punto de vista de la geometra elemental tambin llamada geometra pura, las longitudes de los

segmentos dirigidos AB y BA son las mismas. En geometra analtica, sin embargo, se hace una distincin entre los signos de estas longitudes. As, si un segmento dirigido en un sentido es considerado con longitud positiva, otro, dirigido en sentido opuesto, es considerado como un segmento con longitud negativa. Si

especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa y escribimos AB BA . 6.1 Relacin de Chasles Dados tres puntos diferentes A , B y C sobre una lnea recta horizontal cuya direccin positiva es de izquierda a derecha, hay 3P 3! 6 permutaciones posibles de estos puntos, entonces:

AB BC AC Recordemos que el nmero de permutaciones posibles que se pueden obtener con estos puntos es:

! ! !P O !( )! 0! 1

nn n

n n n nn n

Entonces para 3n , 3 3! 1 2 3 6P x x y dependiendo la ubicacin de los tres puntos A , B y C tenemos las siguientes relaciones:

A B C


AB BC AC

BC CA BA

CA AB CB

CB BA CA

BA AC BC

AC CB AB

7. Igualdad, suma y diferencia de segmentos dirigidos 7.1 Igualdad de segmentos dirigidos Dos segmentos dirigidos AB y CD son iguales si y slo si sus componentes correspondientes son iguales, en el espacio de dos dimensiones: 1) 1 2( , )A a a y 1 2( , )B b b entonces 1 1 2 2( , )AB B A b a b a 2) 1 2( , )C c c y 1 2( , )D d d entonces 1 1 2 2( , )CD D C d c d c Para que AB CD es necesario que:

1 1 1 1

2 2 2 2

b a d cb a d c

Lo anterior tambin lo podemos expresar diciendo que dos segmentos dirigidos son iguales si y slo si sus mdulos son iguales y tienen la misma direccin y sentido. 7.2 Suma o adicin de segmentos dirigidos Dos segmentos dirigidos cualesquiera pueden sumarse, siendo el resultado otro segmento dirigido. Para realizar esta operacin procederemos por ejemplo, en 2 , de la siguiente manera: dado el segmento

A B C

AB C

A BC

ABC

AB C

A BC

C

D

x

CD

AB

A

By


AB

A

B

C

dirigido AB localizamos en B al segmento dirigido BC equivalente al segmento dirigido que se desea sumar con AB , segn se muestra en la figura. 1) 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )AB B A b b a a b a b a 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )BC C B c c b b c b c b 2) 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )AB BC b a b a c b c b 1 1 1 1 2 2 2 2( , )b a c b b a c b 1 1 2 2( , )a c a c 1 1 2 2( , )c a c a 3) 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )AC C A c c a a c a c a Entonces AB BC AC Observamos que el resultado 1 1 2 2( , )c a c a son las componentes de la diferencia C A y por lo tanto nos referimos al segmento dirigido AC . Ejemplo 10 Dados los siguientes puntos 2, ,A B C , definidos por (2, 3)A , ( 3,4)B y (5, 2)C , hallar los segmentos AB , BC , AC y AB BC . Solucin: 1) ( 3,4) (2, 3) ( 5,7)AB B A 2) (5, 2) ( 3,4) (8, 6)BC C B 3) (5, 2) (2, 3) (3, 1)AC C A 4) ( 5,7) (8, 6) (3, 1)AB BC Conclusin: Observamos que AB BC AC

BC

AB BC AC x

y


Para el espacio de dimensin 3 las operaciones de suma se realizarn de igual manera que para las de dimensin 2, considerando una coordenada adicional (la cota), entonces para los puntos 3, ,A B C , tendremos: 1) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AB B A b b b a a a b a b a b a 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )BC C B c c c b b b c b c b c b

2) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )AB BC b a b a b a c b c b c b 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , )b a c b b a c b b a c b 1 1 2 2 3 3( , , )AB BC a c a c a c 1 1 2 2 3 3( , , )AB BC c a c a c a 3) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AC C A c c c a a a c a c a c a Entonces: AB BC AC Observamos que el resultado 1 1 2 2 3 3( , , )c a c a c a son las componentes de la diferencia C A y por lo tanto nos referimos al segmento dirigido AC . 7.3 Resta o diferencia de segmentos dirigidos Se define a la resta o diferencia entre dos segmentos dirigidos AB y AC a la expresin AB AC CB , y para realizar esta operacin en 2 procedemos de la siguiente manera, dado el

segmento dirigido AB , localizamos en A al segmento dirigido AC teniendo entonces:

B C

A y

x

z

AB BC AC

BC

AB


A

B

C

1) 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )AB B A b b a a b a b a 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )AC C A c c a a c a c a 2) Dado el segmento dirigido AB , localizamos en el punto A el segmento dirigido AC , por lo que:

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

( , ) ( , )

( , )

( , )

AB AC b a b a c a c a

b a c a b a c a

b c b c

3) Como sabemos 1 1 2 2( , )CB B C b c b c Entonces: AB AC CB Ejemplo 11 Dados los siguientes puntos 2, ,A B C , definidos por ( 2, 3)A , (3,4)B y ( 4, 2)C , hallar los segmentos AB , BC , AC y AB AC . Solucin: 1) (3, 4) ( 2, 3) (5, 7)AB B A 2) ( 4, 2) (3,4) ( 7, 6)BC C B 3) ( 4, 2) ( 2, 3) ( 2, 1)AC C A 4) (5, 7) ( 2, 1) (7, 6)AB AC Conclusin: Observamos que AB AC BC y por el teorema de Chasles AB BC AC Para el espacio de dimensin 3 las operaciones de resta o diferencia se realizarn de igual manera que para las de dimensin 2, considerando una coordenada adicional, la cota, entonces para los puntos

3, ,A B C , tenemos:

AC

AB

x

y

AB AC CB


1) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AB B A b b b a a a b a b a b a 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AC C A c c c a a a c a c a c a 2) Dado el segmento dirigido AB , localizamos en el punto A el segmento dirigido AC , teniendo que:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3

( , , ) ( , , )

( , , )

( , , )

AB AC b a b a b a c a c a c a

b a c a b a c a b a c a

b c b c b c

3) Como sabemos 1 1 2 2 3 3( , , )CB B C b c b c b c Por lo tanto: AB AC CB 8. Multiplicacin de un escalar por un segmento dirigido. Interpretacin geomtrica Un segmento dirigido AB puede multiplicarse por un escalar , siendo el resultado otro segmento dirigido paralelo o colineal al anterior y cuya longitud es veces la del primero. Esto lo observamos fcilmente en el espacio de dos dimensiones (plano x y ) como se ilustra en el ejemplo siguiente: Ejemplo 12 Se tienen dos puntos (1,2)A y (3,3)B , y el segmento dirigido

(3,3) (1,2) (2,1)AB B A que nos representan sus componentes o coordenadas. Si AB lo multiplicamos por el escalar 2 , las componentes o coordenadas del segmento dirigido resultante son

2(2,1) (4,2)AB , si designamos como (4,2)AB CD y suponemos arbitrariamente que el punto (2,1)C , entonces:

B C

A y

x

AC

AB AC CB

AB

z


(4,2)CD D C 1 1 2 2 1 2( , ) ( 2, 1) (4, 2)CD d c d c d d As, tenemos que 1 12 4 6d d y 2 21 2 3d d por lo tanto tenemos que (6,3)D . Ejemplo 13 Se tiene el segmento dirigido AB que tiene como origen el punto (1, 2)A y como extremo el punto (3, 4)B , por lo tanto, las componentes de AB son:

(3 1, 4 2) ( 2, 2)AB B A Si AB lo multiplicamos por el escalar 2 , las componentes del segmento dirigido resultante son entonces:

2 ( 2, 2) ( 4, 4)

( 4, 4)

AB CD

AB

CD

Y una representacin de dicha resultante es el segmento dirigido CD donde arbitrariamente podemos seleccionar al punto C , por ejemplo si ( 2, 0)C entonces (6, 4)D ya que sabemos que CD es paralelo a AB y su longitud es el doble, teniendo que:

(6, 4) ( 2, 0) (6 2, 4 0) ( 4, 4)CD D C Cualquier otro segmento dirigido que tenga como componentes a ( 4, 4) ser paralelo o colineal (en la misma lnea de accin) a AB y de longitud AB .

(3,3)B

(2,1)C (1, 2)A

x

y

(6,3)D AB

AB CD

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

y

x

AB

2 AB CD


Ejemplo 14 El origen de un segmento dirigido es el punto 1 (2, 1)P y su extremo es 2 (5, 4)P . Encontrar las coordenadas de dos puntos iA y iB para 1,2,3,4,5i que formen segmentos dirigidos de la misma magnitud, direccin y sentido.

1 2 2 1 (5, 4) (2, 1) (5 2, 4 1) (3, 3)PP P P Recordemos que dos segmentos dirigidos anclados en puntos distintos son iguales si sus coordenadas son iguales, y por lo tanto su magnitud, direccin y sentido son iguales. Entonces podemos hallar una cantidad de segmentos dirigidos iguales los cuales se pueden desplazar por el plano cartesiano. A estos segmentos se les denomina deslizantes o cursores. En el ejemplo anterior cualquier segmento dirigido de la forma (3, 3) cumplir la condicin solicitada. 1) 1 1(0,0) ; (3,3)A B 2) 2 2( 1, 2) ; (2,5)A B 3) 3 3( 6, 2) ; ( 3,5)A B 4) 4 4( 5, 2) ; ( 2,1)A B 5) 5 5(2, 2) ; (5,1)A B En clculo vectorial a los segmentos deslizantes se les denomina vectores libres. Ejemplo 15 Dados los puntos (2, 4, 3)A , ( 2, 3, 4)B , ( 1, 5, 2)C y (4, 4, 1)D , hallar los segmentos dirigidos: 1) 13 ( )AB CB 2) AB BC CD 3) AD

x

y

1 2P P i iA B

1 1A B

2 2A B 3 3A B

4 4A B 5 5A B


Solucin: 1) ( 2, 3, 4) (2, 4, 3) ( 4, 1, 1)AB B A ( 2, 3, 4) ( 1, 5, 2) ( 1, 8, 2)CB B C 5 71 1 13 3 3 3 3( ) ( 4, 1, 1) ( 1, 8, 2) ( 5, 7, 3) ( , , 1)AB CB 2) Si ( 4, 1, 1)AB ( 1,5,2) ( 2, 3,4) (1, 8, 2)BC C B (4, 4,1) ( 1,5,2) (5, 1, 1)CD D C ( 4, 1, 1) (1, 8, 2) (5, 1, 1) (2, 8, 2)AB BC CD 3) (4, 4, 1) (2, 4, 3) (2, 8, 2)AD D A Conclusin: Observamos que AB BC CD AD como se muestra en la figura. 9. Espacio de los segmentos dirigidos El conjunto de los segmentos dirigidos que tienen n componentes forma el espacio de los segmentos dirigidos n , debiendo ser cerrado para las operaciones de suma de dos cualesquiera de sus elementos y de la multiplicacin de un escalar por uno de ellos. La dimensin n del espacio es igual al nmero de componentes que poseen los segmentos dirigidos que los forman. Es sencillo demostrar que estas dos operaciones cumplen con los axiomas que definen un espacio, siguiendo un procedimiento similar al enunciado para el caso de puntos en el espacio. Ejemplo 16 Demostrar que el espacio de tres dimensiones de los segmentos dirigidos cumple con la conmutatividad y la existencia del elemento idntico para la operacin de suma.

BC

CD

AB

y

x

z

AD

B

D

C A


Solucin: 1) Conmutatividad. Sean los puntos 3, , ,A B C D , definidos por 1 2 3( , , )A a a a , 1 2 3( , , )B b b b ,

1 2 3( , , )C c c c y 1 2 3( , , )D d d d . a) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AB B A b b b a a a b a b a b a 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )CD D C d d d c c c d c d c d c

b) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )AB CD b a b a b a d c d c d c 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , )b a d c b a d c b a d c c) Por tratarse de nmeros reales se verifica la conmutatividad entre sus componentes o coordenadas: 1 1 1 1 1 1 1 1b a d c d c b a 2 2 2 2 2 2 2 2b a d c d c b a 3 3 3 3 3 3 3 3b a d c d c b a d) Considerando los segundos miembros de cada una de las expresiones anteriores tenemos:

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

( , , )

( , , ) ( , , )

CD AB d c b a d c b a d c b a

d c d c d c b a b a b a

Por lo tanto se satisface la propiedad conmutativa AB CD CD AB 2) Existencia del elemento idntico. Sean los puntos 3,A B , definidos por 1 2 3( , , )A a a a ,

1 2 3( , , )B b b b , y el segmento dirigido 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )AB B A b b b a a a b a b a b a . As tenemos: 00 00AB AB AB , por lo tanto el segmento 00 es el elemento idntico. 10. Vector de posicin de un punto En el espacio de dimensin 3 , un punto 1 2 3( , , )P x x x , que por facilidad en adelante indicaremos como

( , , )P x y z , puede expresarse como el segmento dirigido OP siendo O el origen del sistema. Entonces a todo punto ( , , )P x y z le corresponde un vector de posicin ( , , )p x y z cuya representacin geomtrica es el segmento dirigido ( , , ) (0,0,0) ( , , )OP P O x y z x y z como se ilustra en la figura siguiente:


Ejemplo 17 Encontrar las componentes del vector de posicin p del punto medio M del segmento dirigido cuyo origen es (2, 3, 2)A y extremo es (3, 4, 6)B . Solucin: 1) Primer mtodo: En forma analtica el procedimiento consiste en considerar el espacio de los segmentos dirigidos de la siguiente manera: 1.1 Hallar los segmentos dirigidos

(2, 3, 2) (0,0,0) (2, 3, 2)OA A O (3, 4, 6) (0,0,0) (3, 4, 6)OB B O (3, 4, 6) (2, 3, 2) (1, 1, 4)AB B A

1.2 Hallar las componentes del punto medio del segmento AB 1 1 1 12 2 2 2(1, 1, 4) ( , , 2)AB (recordemos la correspondencia entre las coordenadas de un punto y su

vector de posicin) 1.3 Para hallar las coordenadas del punto medio M del segmento dirigido AB , sumemos a las componentes del segmento OA las componentes del segmento 1 1 12 2 2( , , 2)AB

5 71 1 12 2 2 2 2(2, 3, 2) ( , , 2) ( , , 4)M OA AB , que nos representan las coordenadas del vector de

posicin 5 73 2 2( , , 4)p segn la figura.

( , , )P x y z

y

x

( , , )p OP x y z O

z


2) Segundo mtodo: Tambin se resuelve el ejemplo recordando que las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son 1 1 1( , , )x y z y 2 2 2( , , )x y z , se determina como

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

x x y y z z 2.1 Si el origen del segmento dirigido es (2, 3, 2)A y el extremo (3, 4, 6)B , entonces:

2 3 3 4 2 6 5 7 8 5 72 2 2 2 2 2 2 2, , , , , , 4M 3) Tercer mtodo: Mediante el anlisis vectorial observamos que los vectores de posicin de los puntos

(2, 3, 2)A y (3, 4, 6)B son respectivamente 1 (2, 3, 2)p y 2 (3, 4, 6)p , de igual manera supongamos que M es el punto medio del vector a AB y le corresponde el vector de posicin 3p , por lo que 1 2p a p , as 2 1a p p . Por lo tanto 2 1 (3, 4, 6) (2, 3, 2) (1, 1, 4)a p p , y 1 1 1 12 2 2 2(1, 1, 4) ( , , 2)a . Entonces 11 32p a p y sustituyendo valores 5 71 13 2 2 2 2(2, 3, 2) ( , , 2) ( , , 4)p , as el punto medio del segmento dirigido es 5 72 2( , , 4)M . 11. Producto interno, producto escalar, o producto punto El producto interno de dos vectores 1 2 3( , , , , )na a a a a y 1 2 3( , , , , )nb b b b b , tambin conocido como producto escalar (porque su resultado es un nmero real o escalar) o producto punto (por su notacin) se define como 1 1 2 2 3 3 n na b a b a b a b a b . Ejemplo 18 Sean los vectores (2,1,3)a , (2, 3,4)b y ( 1,3, 5)c , hallar a b , a c y

b c .

AM B

1p 2p

y

x

z

O

3p

2 1

a ABa p p


Solucin: 1) (2,1,3)(2, 3,4) (2) (2) (1) ( 3) (3) (4) 4 3 12 13a b 2) (2,1,3)( 1,3, 5) (2) ( 1) (1) (3) (3) ( 5) 2 3 15 14a c 3) (2, 3,4)( 1,3, 5) (2) ( 1) ( 3) (3) (4) ( 5) 2 9 20 31b c Ejemplo 19 Sean los vectores (3, 1,2)a y (4, 2, 2)b , hallar 2 3a b . Solucin: 2 2(3, 1,2) (6, 2,4)a 3 3(4, 2, 2) (12, 6, 6)b 2 3 (6, 2,4)(12, 6, 6) 72 12 24 60a b Observacin: El producto escalar satisface las propiedades siguientes: 1) a b b a propiedad conmutativa. 2) ( ) a b c a b a c propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la

suma vectorial.

3) ( ) ( )a b a b propiedad asociativa. 4) Si 0a siendo 0 el vector cero o nulo, tenemos que 0a a , para

cualquier otro valor de a se cumple que 0a a . Demostracin: 1) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( , , , , ) ( , , , , )n n n na b a a a a b b b b a b a b a b a b y como las coordenadas de a y b son nmeros reales se satisface que 1 1 2 2 3 3, , , , n na b a b a b a b y el producto escalar se puede escribir como 1 1 2 2 3 3 n na b b a b a b a b a lo que significa que a b b a 2) 1 1 2 2 3 3( , , , , )n nb c b c b c b c b c entonces:

1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na b c a b c a b c a b c a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) n n n na b c a b a c a b a c a b a c a b a c

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

( ) n n n na ca b

a b c a b a b a b a b a c a c a c a c

( ) a b c a b a c 3) Si 1 2 3 1 2 3( , , , , ) ( , , , , )n na a a a a a a a a entonces:

1 2 3 1 2 3( ) ( , , , , )( , , , , )n na b a a a a b b b b


1 1 2 2 3 3( ) n na b a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3( ) ( )n na b a b a b a b a b

( ) ( )a b a b 4) Sea 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 n na a a a a a a a a a a a a En el caso de que todas las coordenadas de a sean ceros, la suma ser cero, pero si cualquiera de ellas, digamos 2a es diferente de cero, entonces

22 0a y como cada trmino de la suma resulta 2 0ia , tenemos

que la suma es mayor que cero. En lugar de escribir a a cuando queremos obtener el producto de un vector por s mismo, se acostumbra utilizar la notacin 2( )a . No tiene sentido escribir 3( )a o 4( )a , porque no se refiere a una multiplicacin algebraica, sino a un producto escalar de dos vectores. Ejemplo 20 Compruebe que para cualquier pareja de vectores 3,a b se verifica la expresin

2 2 2( ) ( ) 2 ( )a b a a b b . Solucin:

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )a b a a a b b b a b a b a b 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , )

( ) ( ) ( ) 2 2 2

2( )

a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a a b b a a b b a a b b

a a a a b a b a b b b b

Por lo tanto 2 2 2( ) ( ) 2 ( )a b a a b b 12. Norma, magnitud, o mdulo de un vector Llamamos norma, magnitud o mdulo de un vector 1 2 3( , , )a a a a , que denotamos como a , al nmero

a a a , como 0a a siempre podremos extraer raz cuadrada. En trminos de las coordenadas de a tenemos que 2 2 21 2 3a a a a . Demostracin: Dado el vector 3a definido por 1 2 3( , , )a a a a entonces tenemos que

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) a a a a a a a a a a a ; por lo tanto si a a a implica que 2 2 21 2 3a a a a .


Observacin: El alumno demostrar que dados el escalar y el vector 1 2 3( , , )a a a a , si 1 2 3( , , )a a a a se tiene que 2 2 2 21 2 3a a a a .

Ejemplo 21 Si (1, 2, 4)a y ( 1,3, 5)b , calclense las magnitudes de: 1) a y b 5) 12a b

2) aa

6) a ba b

3) 22( )a a 7) a ba b

4) 2a Solucin:

1) 2 2 2(1) ( 2) (4) 1 4 16 21a 2 2 2( 1) (3) ( 5) 1 9 25 35b

2) 1 2 421 21 21(1, 2,4) , ,21aa 2 2 2 161 2 4 1 2 4 1 4 2121 21 21 2121 21 21 21 21 21, , 1 1aa 3) 2( ) (1, 2,4)(1, 2,4) 1 4 16 21a 2 2 22 2 2 2(1) ( 2) (4) 1 4 16 21 21a Por lo tanto 22( )a a 4) 2 2(1, 2,4) (2, 4,8)a 2 2 22 (2) ( 4) (8) 4 16 64 84a 5) 3 5 31 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2(1, 2,4) ( 1,3, 5) (1, 2,4) ( , , ) ( , , )a b 2 2 23 91 1 1 1 1 11 12 2 2 2 4 4 4 4 2( ) ( ) ( ) 11a b


6) (1, 2,4) ( 1,3, 5) (0,1, 1)a b 2 2(1) ( 1) 1 1 2a b

2 21 1 1 1 1 12 22 2 2 2(0,1, 1) (0, , ) 1 12a ba b

7) 1 2 421 21 21(1, 2,4) , ,21 aa 3 5135 35 35( 1,3, 5) , ,35bb 35 21 2 35 3 21 4 35 5 213 51 2 4 121 21 21 35 35 35 735 735 735, , , , , ,a ba b

2 2 235 21 2 35 3 21 4 35 5 21735 735 735

3

35 2 35 21 21 140 12 35 21 189 560 40 35 21 525735 735 735

1.7782 3.6693 0.56466 6.01216 8.179809524 10 0.09735 735

a ba b

x

El lector puede opcionalmente operar sus expresiones numricas de la siguiente manera:

35 21 2 35 3 21 4 35 5 213 51 2 4 121 21 21 35 35 35 735 735 735

5 7 3 7 2 5 7 3 3 7 4 5 7 5 3 7 5 3 2 5 3 3 4 5 5 3105 7 105 7 105 7 105 105 105

5 3 2 5 3 3 4 5 5 3 5 3 2 5 3 3 4 5 5 3115 7 15 7 7 15 15 1515 7

5 3 2 5 3 3 4 5 5 317 3 5 3 5 3

, , , , , ,

, , , ,

, , , ,

, ,

a ba b

5

5 3 2 5 3 3 4 5 5 317 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

1 1 2 3 4 517 3 5 3 5 3 5

, ,

, ,


5 51 1 2 3 417 3 5 3 5 3 5

31 1 1 1 2 1 47 3 5 7 3 5 7 3

5

, ,

, ,

a ba b

2 2 2 21 1 2 3 41

7 3 5 3 5 3

1 2 4 12 16 409 251 17 3 5 3 5 3 515 15 15

21 54 54 27351 1 17 3 5 7 715 15 15

5

14 (2) 7

a ba b

27 15 27 15 9 152 2 27 7 15 7 515 157 7 7 0.09a ba b 12.1 Distancia entre dos puntos Sean dos puntos 1 2 3( , , )A a a a y 1 2 3( , , )B b b b , en el espacio 3 y sus vectores de posicin

1 2 3( , , )a a a a y 1 2 3( , , )b b b b respectivamente. La distancia entre los dos puntos se define como el valor numrico o valor absoluto (sin signo) de la longitud del segmento rectilneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia mediante el smbolo d , podemos escribir:

( )( )d a b a b a b 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , )( , , )d a b a b a b a b a b a b

2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )d a b a b a b Ejemplo 22 Hallar la distancia entre los puntos (1,1,2)A y (3,4,3)B . Solucin: Recordemos que los vectores de posicin para cada punto son (1,1,2)a y (3,4,3)b entonces de la expresin:

2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )d a b a b a b

2 2 2 2 2 2(1 3) (1 4) (2 3) ( 2) ( 3) ( 1) 4 9 1 14 3.741d


Ejemplo 23 Demuestre que el punto 1 (2, 2,3)P equidista de los puntos 2 (1, 4, 2)P y 3 (3,7,5)P . Solucin:

1 2

2 2 2 2 2 2(2 1) (2 4) (3 2) (1) ( 2) (5) 1 4 25 30 5.477P Pd

1 3

2 2 2 2 2 2(2 3) (2 7) (3 5) ( 1) ( 5) ( 2) 1 25 4 30 5.477P Pd Por lo tanto

1 2 1 3P P P Pd d

Ejemplo 24 Demuestre que los puntos 1 (3,3)P , 2 ( 3, 3)P y 3 ( 3 3,3 3)P son vrtices de un tringulo equiltero. Solucin:

1 2

2 2 2 2(3 3) (3 3) (6) (6) 36 36 72 6 7 8.485P Pd

1 3

2 2(3 3 3) (3 3 3) (9 18 3 27) (9 18 3 27) 18 54 72 8.485P Pd

2 3

2 2( 3 3 3) ( 3 3 3) (9 18 3 27) (9 18 3 27) 18 54 72 8.485P Pd Por lo tanto

1 2 1 3 2 3P P P P P Pd d d

13. Perpendicularidad y ortogonalizacin 13.1 Perpendicularidad Sean dos vectores a y b que forman los lados de un paralelogramo como el mostrado en la figura Geomtricamente podemos decir que a y b son perpendiculares u ortogonales si las diagonales del paralelogramo tienen la misma longitud, es decir, si se trata de un rectngulo y en el mejor de los casos de un cuadrado. Lo anterior se puede expresar diciendo que a es perpendicular a b si a b a b

a b a b b b

a

a


Teorema: Dos vectores a y b son perpendiculares si y slo si 0a b . Demostracin: Para que dos vectores sean ortogonales se requiere que a b a b En trminos de coordenadas de los vectores tenemos:

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b

Desarrollando los binomios

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 32 2 2 2 2 2a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b

Cancelando trminos semejantes y simplificando

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b a b a b

1 1 2 2 3 32 2 2 0a b a b a b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b

El miembro de la izquierda de esta ltima ecuacin es el producto escalar a b , por lo tanto podemos escribir 0a b que nos indica la condicin necesaria y suficiente para conocer la perpendicularidad entre dos vectores. Ejemplo 25 Dados los siguientes vectores (4, 2,1)a y (1,3,2)b indicar si son perpendiculares. Solucin: Se debe satisfacer la expresin a b a b 1) (4, 2,1) (1,3,2) (5,1,3)a b 2) 2 2 2(5) (1) (3) 25 1 9 35 5.916a b 3) (4, 2,1) (1,3,2) (3, 5, 1)a b 4) 2 2 2(3) ( 5) ( 1) 9 25 1 35 5.916a b Por lo tanto como a b a b los vectores a y b son perpendiculares. Ejemplo 26 Dados los vectores (4, 2,1)a y (1,3,2)b del ejemplo anterior (25) indicar si son perpendiculares aplicando la expresin 0a b .


Solucin:

(4, 2,1) (1,3,2) 4 6 2 0a b , por lo tanto como 0a b implica que a b . Ejemplo 27 Encuentre el valor de la coordenada 2b de tal forma que los vectores (3, 4, 2)a y

2(2, , 3)b b sean perpendiculares. Comprobar el resultado. Solucin:

2 2 2 (3, 4, 2)(2, , 3) 6 4 6 12 4 0a b b b b 24 12b 2 3b

Comprobacin

(3,4, 2)(2, 3, 3) 6 12 6 0a b 13.2 Ortogonalizacin Sean dos vectores a y b , encontremos un vector c que sea perpendicular a b . Lo anterior es equivalente a construir un tringulo rectngulo de hipotenusa a y catetos k b y c a kb siendo k , como se muestra en la figura: El vector c es perpendicular al vector b si y slo si 0c b , es decir, si ( ) 0a k b b lo cual implica que: 0a b k b b k b b a b

a bkb b

Y podemos concluir que dados dos vectores a y b y queremos encontrar un vector c perpendicular a

b , entonces 2

a b a bc a k b a b a bb b b

; por lo tanto tenemos que 2a bc a bb

b k b

ac a kb


Ejemplo 28 Dados los vectores (4, 3,1)a y (2, 5,2)b hallar el vector 'a ortogonal a a y el vector 'b ortogonal a b , comprobar los resultados. Solucin:

1) En la expresin 2a bc a k b a b

b cambiemos la nomenclatura atendiendo a los datos del

problema, as tenemos que 2' a ba b k a b a

a

2 2 2

(4, 3,1)(2, 5,2) 8 15 2' (2, 5,2) (4, 3,1) (2, 5,2) (4, 3,1)(4) ( 3) (1) 16 9 1

a

100 75 25 48 55 2726 26 26 26 26 26

25' (2, 5,2) (4, 3,1) (2, 5,2) ( , , ) ( , , )26

a Comprobacin: 48 55 27 192 165 2726 26 26 26 26 26 ' (4, 3,1)( , , ) 0a a , por lo tanto 'a a

2) En la expresin 2a bc a k b a b

b cambiemos la nomenclatura atendiendo a los datos del

problema, as tenemos que 2' a bb a k b a b

b

2 2 2

(4, 3,1)(2, 5,2) 8 15 2' (4, 3,1) (2, 5,2) (4, 3,1) (2, 5,2)(2) ( 5) (2) 4 25 4

b 50 125 50 82 26 1733 33 33 33 33 33

25' (4, 3,1) (2, 5,2) (4, 3,1) ( , , ) ( , , )33

b Comprobacin: 82 26 17 164 130 3433 33 33 33 33 33 ' (2, 5, 2) ( , , ) 0b b por lo tanto 'b b . 14. Interpretacin geomtrica del producto escalar de dos vectores, proyeccin

ortogonal, componentes El cateto k b paralelo a b del tringulo rectngulo de la figura anterior es un vector que se llama proyeccin ortogonal de a sobre b , en consecuencia podemos decir que: dados dos vectores a y b , la proyeccin ortogonal de a sobre b que se indica como Proyb a , est dada por:

2 Proyb

a b a b ba k b bb b b

para 0b


Debido a que el vector bb

es de magnitud igual a uno, paralelo a b , el escalar a bb

es la magnitud

dirigida de la Proyb a y se llama componente de a sobre b , que se indica como Compb a , de tal manera que:

Compba bab

ecuacin (1)

Tambin podemos escribir Proy Compb bba ab

Geomtricamente, si tenemos un vector a representado por el segmento dirigido AB y un vector b representado por PQ , entonces la Compb a ser igual a la longitud (dirigida) del segmento dirigido MN ,

que por geometra es igual a la del segmento dirigido AN ' , teniendo por trigonometra Comp AB cos cosb a a .

Comp cosb a a ecuacin (2)

Como observamos, la componente de un vector sobre otro tiene un significado geomtrico definido, entonces de la ecuacin (1) tenemos Compba b b a con la que tenemos la interpretacin geomtrica del producto escalar, la cul nos indica que: el producto escalar a b es igual a la magnitud de b multiplicada por la componente de a sobre b .

Igualando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos cosa b ab

donde es el ngulo que forman a y

b . De aqu tenemos que el coseno del ngulo que forman dos vectores se puede obtener de la ecuacin:

cos a ba b

o cosa b a b

P

Q A

B

a

M

N

N'

b


Ejemplo 29 En cada uno de los siguientes casos calclese la bComp a y bProy a . 1) (2,5)a ; (3,2)b 2) (1,1,1)a ; (1,0,1)b 3) (2,1, 3)a ; (2,0, 1)b

Solucin: Sabemos que Compb

a bab

y Proyb a b bab b

1) 2 2

(2,5) (3,2) 6 10 16Comp9 4 13(3) (2)b

a

48 3213 1316 (3,2) 16(3,2)Proy ( , )

1313 13ba

Observemos que la Compb a es un escalar mientras que Proyb a es un vector.

2) 2 2

(1,1,1)(1,0,1) 1 1 2Comp 21 1 2(1) (1)b

a

2 (1,0,1) 2(1,0,1)Proy (1,0,1)

22 2ba

3) 2 2

(2,1, 3)(2,0, 1) 4 3 7Comp4 1 5(2) ( 1)b

a

7 7145 5 57 (2,0, 1)Proy (2,0, 1) ( ,0, )5 5b

a 15. Vectores unitarios i , j , k . ngulos, cosenos y nmeros directores En ocasiones es conveniente expresar un vector 1 2 3( , , )a a a a en funcin de los vectores unitarios , ,i j k que se muestran en la figura, stos son vectores que se desplazan en la direccin de los ejes

coordenados y que tienen magnitud uno, por lo tanto sus coordenadas son (1,0,0)i , (0,1,0)j y (0,0,1)k . Son tan conocidos que no requieren ser denotados con una testa como se hace en todos los

dems casos para indicar a un vector. Por lo anterior tenemos:

1 2 3 1 2 3( , , ) ( ,0,0) (0, ,0) (0,0, )a a a a a a a


1 2 3(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)a a a a 1 2 3a a i a j a k llamada forma trinmica para expresar un vector

Ejemplo 30 Expresar en la forma trinmica los siguientes vectores (2,5,4)a , ( 2,4, 3)b y

(3, , 2)c . Solucin:

(2,5,4) (2,00) (0,5,0) (0,0,4) 2(1,00) 5(0,1,0) 4(0,0,1) 2 5 4a i j k ( 2,4, 3) ( 2,00) (0,4,0) (0,0, 3) 2(1,00) 4(0,1,0) 3(0,0,1) 2 4 3b i j k (3, , 2) (3,00) (0, ,0) (0,0, 2) 3(1,00) (0,1,0) 2(0,0,1) 3 2c i j k

Sea ( , , )r l m n un vector no nulo paralelo a una recta R . Los nmeros l , m y n se llaman nmeros directores de la recta R ya que nos indican su direccin. Estos nmeros se denotan generalmente entre parntesis rectangulares , ,l m n . A los ngulos que forma r con i , que forma r con j y que forma r con k , se les llama ngulos directores de la recta R , y a los cosenos de dichos ngulos se les llama cosenos directores de la recta R . Si u es un vector unitario en la direccin de r , tenemos:

2 2 2

( , , )u r l m nr l m n

y

x

1 2 3a a i a j a k j i

k 3a

2a

1a

z


El ngulo que forma el vector r con el vector i se obtiene a partir de:

2 2 2 2 2 2

(1,0,0)( , , )cos(1)

i r l m n li r l m n l m n

2 2 2coslang

l m n

El ngulo que forma el vector r con el vector j se obtiene a partir de

2 2 2 2 2 2

(0,1,0)( , , )cos(1)

j r l m n mj r l m n l m n

2 2 2cosmang

l m n

El ngulo que forma el vector r con el vector k se obtiene a partir de:

2 2 2 2 2 2

(0,0,1)( , , )cos(1)

k r l m n nk r l m n l m n

2 2 2cosnang

l m n

Elevando al cuadrado los cosenos directores de la recta R :

22

2 2 2cosl

l m n ;

22

2 2 2cosm

l m n ;

22

2 2 2cosn

l m n

Sumando los trminos correspondientes a cada miembro de las ecuaciones

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos cosl m n

l m n l m n l m n

2 2 2

2 2 22 2 2cos cos cos

l m nl m n

2 2 2cos cos cos 1

y

x

z

r

ji

k

, ,R l m n


La ltima expresin nos indica que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta R siempre es igual a uno. Sean dos vectores no nulos 1 1 1 1( , , )r l m n y 2 2 2 2( , , )r l m n , el coseno del ngulo que forman entre si est dado por:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( , , )( , , )cos r r l m n l m n l l m m n nr r r r r r

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

cos l l m m n nr r r r r r

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

cos l l m m n nr r r r r r

Llamando 1 1 1cos , cos , cos a los cosenos directores de 1r y 2 2 2cos , cos , cos a los cosenos directores de 2r , tenemos:

11

1

11

1

11

1

cos ;

cos ;

cos ;

lr

mr

nr

22

2

22

2

22

2

cos ,

cos ,

cos .

lr

mr

nr

Por lo tanto 1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos cos Ejemplo 31 Hallar un vector unitario paralelo a la resultante de la suma de los vectores 1 2 4r i j k y

2 3 2r i j k . Solucin: La resultante es 1 2 (2 4 ) ( 3 2 ) 3q r r i j k i j k i j k

2 2 2(3) (1) (1) 9 1 1 11q

3 1 111 11 11

311

q i j ku i j kq

Ejemplo 32 Dado el vector (2,2,2)r , hallar los cosenos y los ngulos directores de una recta cualquiera R paralela a dicho vector.


Solucin: Obtengamos el vector unitario u paralelo a r :

2 2 2 2 2 2

1 1 13 3 3

( , , ) (2,2,2) (2,2,2) (2,2,2) 1 (2,2,2)4 4 4 12 2 32 2 2

2 1(1,1,1) (1,1,1) , ,2 3 3

r l m nur l m n

u

Dado que las magnitudes de los vectores , , ,u i j k son la unidad, los cosenos directores se obtienen a partir de: 1 1 1 13 3 3 3cos (1,0,0) , ,i u 13cos cos 0.57735 54.7356ang ang

1 1 1 13 3 3 3cos (0,1,0) , ,j u 13cos cos 0.57735 54.7356ang ang 1 1 1 13 3 3 3cos (0,0,1) , ,k u 13cos cos 0.57735 54.7356ang ang

Ejemplo 33 Dado el vector (3,3,0)r , hallar los cosenos y los ngulos directores de una recta cualquiera R paralela a dicho vector. Solucin: Obtengamos el vector unitario u paralelo a r :

2 2 2 2 2 2

1 12 2

( , , ) (3,3,0) (3,3,0) (3,3,0) 1 (3,3,0)9 9 18 3 23 3 3

1 (1,1,0)2

, , 0

r l m nur l m n

u

Dado que las magnitudes de los vectores , , ,u i j k son la unidad, los cosenos directores se obtienen de: 1 1 12 2 2cos (1,0,0) , ,0i u 12cos cos 0.0.7071 45ang ang

1 1 12 2 2cos (0,1,0) , ,0j u 12cos cos 0.0.7071 45ang ang 1 12 2cos (0,0,1) , ,0 0k u cos 0 90ang


Ejemplo 34 Dos de los cosenos directores de una recta cualquiera R son 23cos y 13cos , hallar el valor de cos . Solucin: Sabemos que 2 2 2cos cos cos 1

2 2 22 13 3( ) ( ) (cos ) 1

24 19 9 cos 1

2 4 1 49 9 9cos 1 23cos

Ejemplo 35 Un vector a forma un ngulo de 60 con el eje x , 45 con el eje y , y con el eje z . Si la magnitud de a es igual a 4 , hallar sus componentes sobre los 3 ejes. Solucin: De la expresin Comp cosb a a

xComp cos 4cos60 4(0.5) 2a a yComp cos 4cos 45 4(0.7071) 2.8284a a

Hallemos el valor del ngulo mediante la expresin 2 2 2cos cos cos 1

2 2 2cos 60 cos 45 cos 1 2 2 21

2(0.5) ( ) (cos ) 1

20.25 0.5 cos 1 2cos 1 0.25 0.5 0.25 cos 0.5

Caso 1. zComp cos 4(0.5) 2a a

Para 60 implica que zComp cos 4cos60 4(0.5) 2a a

y

x

z

a

ji

k 60

60

45


Caso 2. zComp cos 4( 0.5) 2a a Para 120 implica que zComp cos 4cos120 4( 0.5) 2a a 16. Producto vectorial de dos vectores, interpretacin geomtrica, paralelismo El producto vectorial de dos vectores 1 2 3( , , )a a a a y 1 2 3( , , )b b b b , que se denota xa b y se lee como a cruz b , es el producto definido por:

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1x ( , , )a b a b a b a b a b a b a b El producto xa b es un vector, y como: 1) 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1( x ) ( ) ( ) ( )a a b a a b a b a a b a b a a b a b 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1( x )a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b ( x ) 0a a b 2) 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1( x ) ( ) ( ) ( )b a b b a b a b b a b a b b a b a b 2 1 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3( x )b a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b ( x ) 0b a b Observamos que el vector xa b es perpendicular tanto al vector a como al vector b .

y

x

z

a

ji

k

120

60 45


16.1 Propiedades del producto vectorial Sean 3, ,a b c y sea un escalar, entonces:

1. x 0 0 x 0a a 2. x 0a a 3. x xa b b a anticonmutatividad 4. ( x ) ( ) xa b a b 5. x ( ) ( x ) ( x )a b c a b a c distributividad 6. ( x ) ( x )a b c a b c

Los vectores (1,0,0)i , (0,1,0)j y (0,0,1)k satisfacen las relaciones siguientes:

x x x 0i i j j k k Girando hacia la derecha Girando hacia la izquierda

xxx

i j kj k ik i j

xxx

j i kk j ii k j

Las expresiones anteriores son fciles de recordar ya que corresponden a las permutaciones (cclicas) de , ,i j k , , ,j k i y , ,k i j . Obtengamos el producto vectorial de dos vectores cualesquiera de 3 de la siguiente manera:

1 2 3 1 2 3x ( ) x ( )a b a i a j a k b i b j b k

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2

2 3 3 1 3 2 3 3

x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x )

a b a b i i a b i j a b i k a b j i a b j ja b j k a b k i a b k j a b k k

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2

2 3 3 1 3 2 3 3

x (0) ( ) ( ) ( ) (0)( ) ( ) ( ) (0)

a b a b a b k a b j a b k a ba b i a b j a b i a b

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b k a b j a b k a b i a b j a b i 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1x ( ) ( ) ( )a b a b a b i a b a b j a b a b k Una forma de representar fcilmente al producto vectorial xa b es por medio de un determinante de tercer orden de la siguiente forma:

j

i

k


1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

x ( ) ( ) ( )i j k

a b a a a a b a b i a b a b j a b a b kb b b

Calculemos ahora la magnitud del vector xa b :

2 2 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1x ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b

2 2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1x ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1x 2 2 2a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2x 2 2 2a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b Sumando y restando simultneamente 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3,a b a b y a b :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

x

2 2 2

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b


2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

x ( ) ( )

( 2 2 2 )

a b a a a b b b


2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3x ( ) ( ) ( )a b a a a b b b a b a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3x ( ) ( ) ( )a b a a a b b b a b

2 2 22 2 2x cosa b a b a b

2 22 2x (1 cos )a b a b

2 22 2xa b a b sen

xa b a b sen El producto vectorial xa b nos proporciona un vector cuyo sentido es tal, que si llevamos el vector b hacia el vector a girando el menor ngulo posible, este giro se observa desde xa b en el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj.


Como el producto b sen es la altura del paralelogramo de lados a y b , decimos que la magnitud del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo de lados a y b . Ejemplo 36 Dados los vectores (3, 3,5)a y ( 4,2, 3)b obtener el producto vectorial c y verificar que a c y b c . Solucin:

x 3 3 5 9 20 6 10 9 12 11 64 2 3

i j kc a b i j k i j k i j k

Comprobacin Para efectuar la comprobacin recordemos que dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero, entonces:

(3, 3,5)( 1, 11, 6) 3 33 30 0a c ( 4,2, 3)( 1, 11, 6) 4 22 18 0b c

Ejemplo 37 Encuentre el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos 1 (1, 1,2)P , 2 (4,5, 7)P y

3 ( 1, 2,1)P . Solucin: Procedimiento 1

1 2 2 1 (4,5, 7) (1, 1, 2) (3,6, 9)a PP P P 1 3 3 1 ( 1, 2,1) (1, 1, 2) ( 2,3, 1)b PP P P

Recordemos que el rea de un paralelogramo de lados a y b se obtiene con la expresin

xa b a b sen .

xc a b

b

a

h b sen


x 3 6 9 6 18 9 27 3 12 21 21 212 3 1

i j ka b i j k i j k i j k

2 2 2 2x (21) (21) (21) 3(21) 21 3 36.373a b

36.373

2rea del tringulo unidades cuadradas Procedimiento 2

xa b a b sen 2 2 2(3) (6) ( 9) 9 36 81 126a

2 2 2( 2) (3) ( 1) 4 9 1 14b

Si a b a b cos cos a ba b

(3,6, 9)( 2,3, 1) 6 18 9 21cos126 14 1,764 1,764

21 0.5 601,764

ang cos ang cos

x 126 14 60 1,764 60 1,764 (0.866) 36.373a b a b sen sen sen

36.3732

rea del tringulo unidades cuadradas Ejemplo 38 Un vector m tiene como magnitud 25 unidades y es perpendicular comn a los vectores

1 4 2p i j k y 2 5 2p i j k , calcular sus coordenadas. Solucin:

1 2x 4 2 1 4 20 5 8 2 9 221 5 2

i j kp p i j k i j k i j k

Hallemos un vector unitario en la direccin de 1 2xp p , el cual est dado por 1 21 2

xx

p pup p


91 22566 566 5662 2 29 22 9 22 9 22 , ,1 81 484 566( 1) (9) (22)i j k i j k i j ku Finalmente multipliquemos el vector unitario obtenido u por la magnitud solicitada de 25 para obtener el vector m .

1 9 22 25 225 55025 , , , ,566 566 566 566 566 566

m

16.2 Paralelismo La ecuacin xa b a b sen nos obliga a conocer el siguiente teorema: Dos vectores 3,a b son paralelos, si y slo si, x 0a b , es decir, x 0a b ya que siendo 0 , 0sen . Ejemplo 39 Mediante la aplicacin del producto vectorial, demostrar que los vectores 2 3 2a i j k y

6 9 6b i j k , son paralelos. Solucin:

x 2 3 2 18 12 18 18 12 18 0 0 06 9 6

i j ka b i j k i j k i j k

Como el producto vectorial x 0a b los vectores a y b son paralelos. 17. Momento de una fuerza F con respecto a un punto P En mecnica, las fuerzas y las distancias pueden representarse por medio de vectores, pudiendo definirse el momento M (fuerza por desplazamiento) de la fuerza F alrededor del punto O (origen). La magnitud del momento M de una fuerza F respecto de un punto P , es igual a la magnitud de la fuerza F multiplicada por la distancia del punto P a la directriz (eje de recorrido) de F . Por lo tanto, llamando r al vector que une P con el origen Q de la fuerza F , resulta:

PM F r r F r x Fsen sen El sentido de r x F corresponde al avance de un sacacorchos o tornillo localizado en P con el sentido de rotacin tal, que lleve a coincidir el primer vector con el segundo, por el menor de los ngulos que forman (regla de la mano derecha). El momento de un vector se representa, entonces, por PM r x F


OM

17.1 Momento de una fuerza F con respecto al origen El momento de una fuerza F respecto a un punto O , es la medida de la tendencia a girar que la fuerza F produce al actuar sobre un cuerpo que est ligado a un eje perpendicular al plano determinado por F y O , que pase por O , al cual llamamos OM (perpendicular al plano ) segn la siguiente figura. Por lo tanto el momento de una fuerza F respecto a un punto O , se obtiene mediante el vector

OM r x F , donde r es el vector que une al punto O con un punto cualquiera de la lnea de accin o soporte de la fuerza (en nuestro caso lo designamos como R que tambin pertenece al plano), es decir, el momento de una fuerza F respecto a un punto O , es el vector OM perpendicular al plano definido por la fuerza F y el punto O , cuyo mdulo es: Magnitud del momento OM F r r F r x F

d

sen sen Recordemos que al obtener las distancias hemos transformado los vectores en escalares, por lo tanto:

OM Fd

P

r

r sen Q F

O

F

d r sen

R

r OR


La direccin del momento OM es perpendicular al plano que forman el punto O y la fuerza F . En donde el signo positivo o negativo llamado sentido del momento indica que el vector OM avanza hacia la regin positiva o negativa del plano determinado por la fuerza y el punto, de acuerdo con la convencin del tornillo de rosca derecha. Como se observa, las anteriores consideraciones coinciden con el producto vectorial de dos vectores

OM r x F . Ejemplo 40 Dada la fuerza F 4 8 3i j k (en kg) que pasa por el punto R ( 3,8,2) (metros), hallar el momento de F , su magnitud y sus componentes con respecto a los ejes coordenados y sus proyecciones:

1) Alrededor del origen O(0,0,0) ,

2) Alrededor del punto P (2,3, 1) . Solucin: 1) r OR = R O ( 3,8,2) (0,0,0) ( 3,8,2) OM r x F ( 3,8,2) x (4, 8,3) , recordemos que r x F F x r

OM 3 8 2 24 8 24 16 9 32 40 17 8 ( )4 8 3

i j ki j k i j k i j k kg m

2 2 2OM (40) (17) ( 8) 1,600 289 64 1,993

De las expresiones Compb

a bab

y Proyb a b bab b

O

O X OM (40,17, 8) (1,0,0) 40M M 40

1 1iComp

i

X

OO Y O

M (40,17, 8) (0,1,0) 17M M 171 1

jCompj

Y

OO Z O

M (40,17, 8) (0,0,1) 8M M 81 1

kCompk

Z


OX O O

M (40,17, 8) (1,0,0) (1,0,0)M M M (40,0,0)1 1

ii iProy Compi i i

i i

OY O O

M (40,17, 8) (0,1,0) (0,1,0)M M M (0,17,0)1 1

jj jProy Compj j j

j j

OZ O O

M (40,17, 8) (0,0,1) (0,0,1)M M M (0,0, 8)1 1

kk kProy Compk k k

k k Las componentes (magnitudes de las proyecciones) son: OM 40X , OM 17Y , OM 8Z Las proyecciones son los vectores XM (40,0,0) , YM (0,17,0) , ZM (0,0, 8) 2) r P R = R P ( 3,8,2) (2,3, 1)) ( 5,5,3)

PM r x F ( 5,5,3) x (4, 8,3) , recordemos que r x F F x r

PM 5 5 3 15 12 40 24 15 20 39 27 20 ( )4 8 3


2 2 2

PM (39) (27) (20) 1,521 729 400 2,650


a bab

y Proyb a b bab b

P

P X PM (39,27,20) (1,0,0) 39M M 39

1 1iComp

i

X

PP Y P

M (39,27,20) (0,1,0) 27M M 271 1

jCompj

Y

PP Z P

M (39,27,20) (0,0,1) 20M M 201 1

kCompk

Z

PX P P

M (39,27,20) (1,0,0) (1,0,0)M M M (39,0,0)1 1

ii iProy Compi i i

i i

PY P P

M (39,27,20) (0,1,0) (0,1,0)M M M (0,27,0)1 1

jj jProy Compj j j

j jP

Z P PM (39,27,20) (0,0,1) (0,0,1)M M M (0,0,20)

1 1kk kProy Comp

k k k k k


Las componentes son las magnitudes de las proyecciones PM 39X , PM 27Y , PM 20Z Las proyecciones son los vectores XM (39,0,0) , YM (0,27,0) , ZM (0,0,20) 18. Momento de una fuerza F con respecto a una recta L El momento M de una fuerza F alrededor de una recta L puede definirse como la proyeccin vectorial sobre L del momento de F con respecto a cualquier punto de L . Ejemplo 41 Dada la fuerza F 2 4 3i j k (en kilogramos), que pasa por el punto P ( 1,2,1) (en metros), hallar el momento de F con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Solucin: Obtengamos momentos con respecto al origen que es un punto comn a los tres ejes coordenados. Sea r ( 1,2,1) el vector de posicin de P , entonces OM r x F ( 1,2,1) x (2, 4,3) .

OM 1 2 1 6 2 4 4 3 4 10 5 ( )2 4 3

i j ki j k i j k i j kg x m

2 2

OM (10) (5) 100 25 125


a bab

y Proyb a b bab b

O

O X OM (10,5,0) (1,0,0) 10M M 10

1 1XiComp

i

OO Y O

M (10,5,0) (0,1,0) 5M M 51 1Y

jCompj

OO Z O

M (10,5,0)(0,0,1) 0M M 01 1Z

kCompk

OX O O

M (10,5,0)(1,0,0) (1,0,0)M M M (10,0,0)1 1

ii iProy Compi i i

i i

OY O O

M (10,5,0)(0,1,0) (0,1,0)M M M (0,5,0)1 1

jj jProy Compj j j

j j

OZ O O

M (10,5,0) (0,0,1) (0,0,1)M M M (0,0,0)1 1

kk kProy Compk k k

k k


Las componentes son las magnitudes de las proyecciones OM 10X , OM 5Y , OM 0Z Las proyecciones son los vectores XM 10i , YM 5 j , ZM 0 (0,0,0)k Ejemplo 42 Hallar el momento que produce la fuerza F 2i j k que pasa por el punto 1P (1,0, 2) , alrededor de la recta L que pasa por los puntos 2P (2,1,2) y 3P (4, 1,0) . Solucin: 1) Calculemos el momento de la fuerza F alrededor de 2P

2 1 1 2r P P = P P (1,0, 2) (2,1, 2) ( 1, 1, 4)

2PM r x F ( 1, 1, 4) x (1, 2, 1) , recordemos que r x F F x r

2PM 1 1 4 4 2 8 9 5 ( )

1 2 1


2

2 2 2PM (9) ( 5) ( 1) 81 25 1 107

El momento M alrededor de la recta L es

2PM MLProy , si llamamos N al vector que define la

direccin de la recta L , tenemos:

2 3 3 2N P P P P (4, 1,0) (2,1, 2) (2, 2, 2) Entonces:

2

2

PP 2 2 2 2 2 2

3012

M N N (9, 5, 1)(2, 2, 2) (2, 2, 2)M MN N (2) ( 2) ( 2) (2) ( 2) ( 2)

18 10 2 (2, 2, 2) 30 (2, 2, 2) (2, 2, 2) (5, 5, 5)4 4 4 4 4 4 12 12

L

Proy

Por lo tanto el momento de la fuerza F alrededor de la recta L es M 5 5 5i j k 2) Calculemos el momento de la fuerza F alrededor de 3P

3 1 1 3r P P = P P (1,0, 2) (4, 1,0) ( 3,1, 2) 3P

M r x F ( 3,1, 2) x (1, 2, 1) , recordemos que r x F F x r


3PM 3 1 2 2 6 4 3 3 5 7 ( )

1 2 1


3

2 2 2PM (3) ( 5) ( 7) 9 25 49 83

El momento M alrededor de la recta L es

3PM MLProy , si llamamos N al vector que define la

direccin de la recta L , tenemos:

2 3 3 2N P P P P (4, 1,0) (2,1, 2) (2, 2, 2) Obtenemos que:

3

3

PP 2 2 2 2 2 2

M N N (3, 5, 7)(2, 2, 2) (2, 2, 2)M MN N (2) ( 2) ( 2) (2) ( 2) ( 2)

6 10 14 (2, 2, 2) 30 (2, 2, 2) 30 (2, 2, 2) (5, 5, 5)124 4 4 4 4 4 12 12

L

Proy

Por lo tanto el momento de la fuerza F alrededor de la recta L es M 5 5 5i j k Comprobacin: Independientemente que tomemos de la recta L a los puntos 2P o 3P , observamos que el resultado de M es el mismo. 19. Doble producto escalar y sus aplicaciones Dados tres vectores cualesquiera 3, ,a b c , entonces como 3xb c podemos formar el producto escalar ( x )a b c al que llamamos doble producto escalar o doble producto mixto y que tambin podemos indicar como , ,a b c . Debemos notar que al calcular el doble producto escalar primero obtenemos el producto xb c , ya que si asociamos ( ) xa b c la expresin no tiene significado alguno pues a b es un escalar y el producto vectorial slo est definido para dos vectores. El doble producto escalar , ,a b c puede expresarse en trminos de un determinante de orden tres:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, , x a a a

a b c a b c b b bc c c


b

a

c

Mediante el clculo directo puede demostrarse que , , x x xa b c a b c b c a c a b Lo anterior nos indica que el doble producto escalar no se altera al cambiar el orden cclico de los vectores, es decir:

a b c b c a c a b Como el producto escalar es conmutativo podemos escribir x x a b c b c a y cambiando los factores en orden cclico x x x x a b c b c a c a b a b c . Es decir se pueden intercambiar el punto y la cruz. El doble producto escalar puede utilizarse para describir la orientacin de un sistema de ejes en 3 . Si

3, ,a b c son mutuamente ortogonales (perpendiculares) y x 0a b c entonces a , b y c forman un sistema o terna derecha, y observamos que para los vectores unitarios i , j y k se forma un sistema derecho x 1 0i j k i i . Sean tres vectores 3, ,a b c y el origen O como punto comn de los vectores y completemos el paraleleppedo que tiene a los vectores sealados en forma concurrente. Sea el vector xd b c cuya magnitud es igual al rea del paralelogramo formado por b y c que es una de las caras del paraleleppedo y podemos considerarla como su base. El producto a d es igual a la proyeccin de a sobre d por la magnitud de d . Sabiendo que d es perpendicular a la base, la proyeccin de a sobre d nos proporciona la altura del paraleleppedo y por lo tanto el producto xa b c es igual al volumen del paraleleppedo que tiene por aristas a los tres vectores. Entonces el valor absoluto de xa b c es igual al

volumen de un paraleleppedo de aristas a , b y c . La interpretacin geomtrica anterior nos permite concluir de que la condicin necesaria y suficiente para que tres vectores llevados por el mismo origen sean coplanares (que estn en el mismo plano) es que su doble producto escalar sea igual a cero.

xd b c

c

a

b


Ejemplo 43 Dados los puntos (1,2,1)A , (1,3,5)B , ( 2,3,1)C y (1,5,0)D hallar el volumen del paraleleppedo. Solucin: Considerando el vrtice del paraleleppedo al punto A tenemos los siguientes vectores:

(1,3,5) (1,2,1) (0,1,4)a AB B A ( 2,3,1) (1,2,1) ( 3,1,0)b AC C A (1,5,0) (1,2,1) (0,3, 1)c AD D A

0 1 4 x 3 1 0 36 3 39

0 3 1

a b c

Por lo tanto, considerando el valor absoluto xa b c el volumen del paraleleppedo es 3Vol 39 u Ejemplo 44 Calcular el volumen del tetraedro de vrtices (1,1,0)A , (2,2,4)B , (0,3,1)C y (1,4,1)D . Solucin: Como el volumen del tetraedro de lados a , b y c es igual a 1 6 del volumen del paraleleppedo que tiene las mismas aristas, entonces:

(2, 2, 4) (1,1,0) (1,1,4)a AB B A (0,3,1) (1,1,0) ( 1,2,1)b AC C A (1, 4,1) (1,1,0) (0,3,1)c AD D A

1 1 4

x 1 2 1 2 12 3 1 120 3 1

a b c

Por lo tanto, considerando el valor absoluto xa b c el volumen del tetraedro es

3 316Vol (12) 2u u .

Ejemplo 45 Demuestre que los puntos 1 (2,1,3)P , 2 (3, 5, 1)P , 3 ( 6,7, 9)P y 4 ( 2, 4, 3)P son coplanares. Solucin: Seleccionemos 3 vectores que pasen por los 4 puntos y apliquemos la expresin del doble producto escalar xa b c .

1 2 2 1 (3, 5, 1) (2,1,3) (1, 6, 4)a PP P P


1 3 3 1 ( 6,7, 9) (2,1,3) ( 8,6, 12)b PP P P 1 4 4 1 ( 2, 4, 3) (2,1,3) ( 4,3, 6)c PP P P

1 6 4 x 8 6 12 36 96 288 96 36 288 0

4 3 6

a b c

Por lo tanto los 4 puntos son coplanares. 20. Doble producto vectorial Consideremos los vectores en el espacio 3 definidos por 1 2 3( , , )a a a a , 1 2 3( , , )b b b b ,

1 2 3( , , )c c c c y obtengamos en producto x ( x )a b c llamado doble producto vectorial.

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

x ( ) ( ) ( ) i j k

b c b b b b c b c i b c b c j b c b c kc c c

2 1 2 2 1 3 3 1 1 3

1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 2 3 3 2

( ) ( )x ( x ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i j k a b c b c a b c b c ia b c a a a a b c b c a b c b c j

b c b c b c b c b c b c a b c b c a b c b c k

2 1 2 2 2 1 3 3 1 3 1 3

3 2 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1

1 3 1 1 1 3 2 2 3 2 3 2

x ( x ) ( )( )( )

a b c a b c a b c a b c a b c ia b c a b c a b c a b c ja b c a b c a b c a b c k

Sumemos y restemos simultneamente los siguientes trminos 1 1 1 1 1 1( )a b c a b c i , 2 2 2 2 2 2( )a b c a b c j ,

3 3 3 3 3 3( )a b c a b c k :

2 1 2 2 2 1 3 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1

3 2 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

1 3 1 1 1 3 2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3

x ( x ) ( )( )( )

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ia b c a b c a b c a b c a b c a b c ja b c a b c a b c a b c a b c a b c k

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1

1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 2

1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 3

x ( x ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

a b c a c a c a c b a b a b a b c ia c a c a c b a b a b a b c ja c a c a c b a b a b a b c k

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3x ( x ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a c a c a c b i b j b k a b a b a b c i c j c k x ( x ) ( ) ( )a b c a c b a b c expresin (1)


De manera similar se puede demostrar que:

( x ) x ( ) ( )a b c a c b b c a expresin (2) Pudiendo deducir la siguiente regla: el doble producto vectorial es un binomio en los vectores que aparecen en el parntesis, el coeficiente del vector que aparece en medio es el producto escalar de los otros dos y el coeficiente del otro vector del parntesis es el negativo del producto escalar de los dos restantes. Ejemplo 46 Sean los vectores (2,3, 2)a , (1,0, 2)b y (4, 3, 1)c , calcular x ( x )a b c y ( x ) xa b c . Solucin: 1) x ( x ) ( ) ( )a b c a c b a b c x ( x ) (2,3, 2) (4, 3, 1) (1,0, 2) (2,3, 2)(1,0, 2) (4, 3, 1)a b c x ( x ) (8 9 2) (1,0, 2) (2 4) (4, 3, 1) 3(1,0, 2) 2(4, 3, 1)a b c x ( x ) ( 3,0,6) (8, 6, 2) (5, 6,4)a b c 2) ( x ) x ( ) ( )a b c a c b b c a ( x ) x (2,3, 2) (4, 3, 1) (1,0, 2) (1,0, 2)(4, 3, 1) (2,3, 2)a b c ( x ) x (8 9 2) (1,0, 2) (4 2) (2,3,2) 3(1,0, 2) 6(2,3,2)a b c ( x ) x ( 3,0,6) ( 12, 18, 12) ( 15, 18, 6)a b c Ejemplo 47 La torre de 70 metros de altura que se muestra en la figura est soportada (anclada) por tres cables que ejercen sobre de ella las fuerzas FAB , FAC y FAD . La magnitud de la fuerza FAB es igual a 2kN (2,000 Newton). Las componentes i y k de la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la torre son iguales a cero. Cules son las magnitudes de FAC y FAD ?

C

A

x

z

y

D

B


Los puntos de fijacin o nodos son A(0,70,0) , B(40,0,0) , C( 40,0,40) y D( 60,0, 60) (observe que la referencia de los ejes coordenados ha cambiado) y los segmentos dirigidos o vectores tienen como coordenadas o proyecciones:

AB (40,0,0) (0,70,0) (40, 70,0) AC ( 40,0,40) (0,70,0) ( 40, 70,40) AD ( 60,0, 60) (0,70,0) ( 60, 70, 60) Las magnitudes de cada segmento dirigido son:

2 2AB (40) ( 70) 1,600 4,900 6,500 2 2 2AC (40) ( 70) (40) 1,600 4,900 1,600 8,100

2 2 2AD ( 60) ( 70) ( 60) 3,600 4,900 3,600 12,100 Obteniendo los vectores unitarios:

1u (40, 70,0)6,500AB

22 u (40, 70,0)6,500AB

kNkN

1u ( 40, 70,40)8,100AC

FF u ( 40, 70,40)8,100

ACAC AC

1u ( 60, 70, 60)12,100AC

1F u ( 60, 70, 60)12,100AD AC

Sabemos de Esttica que: 1) F 0x

80 40F 60F 06,500 8,100 12,100

AC ADkN expresin (1) 2) F 0z

40F 60F 08,100 12,100

AC AD expresin (2)


40F 60F8,100 12,100

AC AD 3 8,100F F2 12,100AC AD

expresin (3) Sustituyendo (3) en (1)

3 8,10080 40F 60F 06,500 8,100 2 12,100 12,100

AD ADkN

80 60F 60F 06,500 12,100 12,100

AD ADkN

120F 8012,100 6,500

AD kN Por lo tanto:

80 12,100 80 12,100F

120 6,500120 6,500ADkN kN expresin (4)

2F 1.8615 0.90953AD

kN kN expresin (5) Sustituyendo (5) en (3)

3 8,100 3 8,100F F (0.9095 ) 1.1162

2 12,100 2 12,100AC ADkN kN

F 1.1162AC kN expresin (6)

09) conceptos bÁsicos del anÁlisis vectorial.pdf

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