09 capitulo 6 evaluacion

Principios y fundamentos de Ingeniera de Mantenimiento

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Captulo SEIS

Evaluacin Tcnica del Mantenimiento

Evaluacin tcnica del Mantenimiento

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Captulo SEIS

Evaluacin Tcnica del Mantenimiento

Hasta ahora se han desarrollado temas referidos a las fallas, sus clasificaciones, su deteccin e incluso como pueden influenciar en los tipos de mantenimiento, sin embargo, interesa tambin conocer la relacin existente entre el tiempo de uso y la aparicin de la falla. Se va a presentar en este captulo el uso y tratamiento de datos de fallas mediante conceptos como fiabilidad, mantenibilidad y durabilidad. Apoyados en la teora ms desarrollada en este campo actualmente que es la probabilidad, la cual permite caracterizar las prestaciones de un sistema o mquina desde el punto de vista del mantenimiento, cuantificando su estado de buen funcionamiento y prediciendo la posibilidad de falla.

6.1 Fiabilidad Se define fiabilidad como, la probabilidad de que un dispositivo cumpla la funcin

requerida, bajo unas condiciones de utilizacin por un perodo de tiempo determinado. Tambin podran plantearse otras fiabilidades, como la probabilidad de que una mquina se ponga en marcha cuando se requiera (muy aplicado a cohetes y misiles por ejemplo).

Para llevar esta definicin a la prctica es importante establecer perfectamente la falla y controlar las variaciones en las condiciones de trabajo. El intervalo de tiempo determinado puede ser sustituido por ciclos de trabajo u operaciones que realice el sistema pero, en cualquier caso debe disponerse de un contador. Si falta rigurosidad en la definicin o medicin de cualquiera de estos parmetros, difcilmente se obtendrn resultados vlidos.

A continuacin se introducirn unos conceptos apoyados en la teora de la probabilidad, para lo cual se representa el nmero de fallas que aparecen en un equipo con relacin


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al tiempo de funcionamiento, obtenindose la funcin de densidad de falla f(t). De donde se pueden definir los siguientes conceptos:

6.1.1 Tasa de fallo [( t)] Nmero de fallas por unidad de tiempo que se producen en un instante t respecto de

las piezas que estn en funcionamiento en ese instante. Si se considera, N0 como el nmero de piezas que se ponen en marcha en t=0, Ni (t) el nmero de piezas funcionando en el instante t y ni (t) como el nmero de piezas que fallan durante t en t, se tiene:

Grficamente la tasa de fallo (t) se puede representar como en la siguiente figura:

6.1.2 Probabilidad de densidad de falla (pdf)

Es la pdf tpica de toda distribucin de probabilidad, que indicara la probabilidad que se produzca una falla en un tiempo t ser el rea por debajo de la curva desde el origen hasta ese tiempo.

( ) ( )tNtnt

i

i = /

Figura 6.01: Evolucin de la Tasa de falla

(t)

Tiempot


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No se debe confundir con (t), ya que, en este caso, es respecto a las piezas puestas en marcha en un principio.

En la Figura 6.02 se tiene que para un tiempo ti, el rea rayada verticalmente por debajo y antes de ti es la probabilidad de fallo F(ti) y la rayada horizontalmente es la probabilidad de buen funcionamiento R(ti), es decir, la fiabilidad.

6.1.3 Fiabilidad

Es nombrada casi siempre con el smbolo R(t), del trmino ingls Reliability, para no confundir con F(t) smbolo de probabilidad de fallo. La relacin entre ambos parmetros es:

R(t) = 1 F(t) Clculo de la probabilidad de fallo hasta el tiempo t

Figura 6.02: Evolucin de la probabilidad de densidad de falla

f(t)

Tiempoti

F(ti) R(ti)

( )o

iot

NtNNdttftF )()(

0

==


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Otra probabilidad interesante es la de que una pieza cualquiera falle en un determinado intervalo de tiempo t en el tiempo t, y ser:

y si f(t) es constante o t es suficientemente pequeo:

El clculo de la fiabilidad (probabilidad de buen funcionamiento) hasta el tiempo t, puede ser establecido mediante:

cuya representacin grfica es mostrada en la Figura 6.04.

Otro caso muy interesante es el clculo de la fiabilidad durante un perodo t despus de haber trabajado hasta el tiempo t, que se puede calcular por la expresin:

Tiempo

1F (t)

Figura 6.03: Evolucin de la probabilidad de falla

( ) dttfttF ttt+= )(/

( ) ttfttF = )(/

( )o

i

NtNdttftR )()(

0

==

( ) ( ))(

/tR

ttRttR +=


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Se comprueba que la fiabilidad de que un equipo trabaje en las prximas horas despus de que se ha alcanzado un determinado perodo de tiempo de uso es muy alto, ya que la fiabilidad R(t + t) es slo ligeramente inferior a R(t), si t es pequeo, y, por tanto, el cociente tiene un valor prximo a la unidad.

Otra forma de calcular la probabilidad de buen funcionamiento despus de estar funcionando, R(t / t) es a partir de la tasa de falla, ya que la probabilidad de falla en ese perodo, si ha llegado sana y suponiendo que t es suficientemente pequeo es:

y si (t) es constante entonces:

y de F(t / t) podemos fcilmente evaluar R(t / t) por:

Tiempo

1R (t)

Figura 6.04: Evolucin de la fiabilidad

( ) dttttF ttt+= )(/

( ) ttttF = )(/

( ) )/(1/ ttFttR =


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6.1.4 Tiempo medio entre fallos (MTBF Mean Time Between Failures):

El MTBF se puede calcular por una de las siguientes expresiones:

Existe una relacin entre los parmetros anteriormente presentados:

6.2 Disponibilidad y Mantenibilidad Se define la mantenibilidad como la probabilidad de que un aparato en fallo sea

restaurado completamente a su nivel operacional dentro de un perodo de tiempo dado, cuando la accin de reparacin se efecta de acuerdo con procedimientos preestablecidos. Al igual que en la fiabilidad, puede definirse la funcin de densidad de tiempos de reparacin, g(t). Esta funcin introduce el concepto de equipo, la distribucin de los tiempos empleados en las reparaciones. Estos tiempos estarn relacionados con el tipo de equipo y con la capacidad de respuesta de mantenimiento.

La funcin de densidad ms utilizada para el estudio de los tiempos de reparacin es la Lognormal:

=0

)(N

tntMTBF

dttftMTBF =0

)(

averiasdenaveriasentreTiempo

MTBF

=

( ) ( ) )()(

/)(

/)(/)(

0

0

tRtf

NtNN

ttn

tNttn

ti

i

i

i =

==

( ) [ ]22 2/)(ln2/1)2()(1

= e

ttg


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La mantenibilidad G(t) o probabilidad de que un equipo que comenz a repararse en el instante t=0 quede reparada en un espacio de tiempo t ser:

El concepto de mantenibilidad puede aplicarse al equipo tomando slo los tiempos de ejecucin de la reparacin; este valor servir para comparar la capacidad de reparacin de unos equipos con otros. Si al tiempo total de reparacin se resta el de ejecucin, se tendr el tiempo destinado a la logstica y servir para comparar la gestin de mantenimiento.

Cuando nos e dispone de medios para mantener las mismas condiciones de funcionamiento y los datos necesarios para los clculos, puede ser ms prctico cuantificar el tiempo medio de reparacin MTTR (Mean Time To Repair). De esta forma, la disponibilidad se define como, la probabilidad de que un dispositivo est funcionando, y puede ser cuantificado por:

Como puede observarse, depende de la fiabilidad (MTBF) y de la mantenibilidad (MTTR) y resulta ptima desde un punto econmico entre el 95% y el 98%.

6.3 Modelos de vida (ley de probabilidad) El comportamiento de los equipos se puede caracterizar por leyes de probabilidad tpicas

como la exponencial, la normal o la de Weibull, que son las ms utilizadas.

6.3.1 Ley exponencial

Se da cuando (t)=cte, es decir, la tasa de fallo es independiente del tiempo (fallas aleatorias en el tiempo), lo que es tpico de componentes elctricos y electrnicos. Entonces se tiene:

( ) dttgtG t=0

)(

MTTRMTBFMTBFD =

( ))(1/)(

)(/)(

)()(

tFdttdF

tRdttdF

tRtft ===

[ ] ))(1ln())(1ln()(1)()( 0

00

tFtFtF

tdFdtt ttt

===


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y como (t) = cte =

entonces:

Estas funciones se representan en la siguiente figura.

Por ejemplo, para componentes electrnicos la tasa de averas por milln de horas de funcionamiento est entre 10-3 y 10. Se puede concluir entonces que la fiabilidad de una pieza en mil horas de funcionamiento es:

y para el MTBF se tiene que:

)(ln)(0

tRdttt

=

( ) tdtt eetR t == 0 )(

( ) tetRttf == )()(

Tiempo

(t)

Tiempo

F (t)

Tiempo

R(t)

Figura 6.05: Representacin de las funciones tpicas de una ley exponencial.

( ) %99.99)1000()10( 3 == etR( ) %99)1000()10( == etR

11)(

00

=

===

tedtetdttftMTBF tt


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Luego

Esta ley slo tiene un parmetro para ajustar todas las funciones (t), F(t), R(t) y el MTBF.

6.3.2 Ley normal

Es una ley que resulta muy fcil de aplicar, aunque es poco utilizada por no ajustarse bien a casos reales. Sin embargo, por su ndice de falla creciente se aplica en elementos mecnicos o electromecnicos.

Se tiene, a travs de la Estadstica y considerando a M como el valor medio y como la desviacin tpica, que:

Entonces:

Estas funciones se representan en la Figura 6.06.

Si se conoce la f(t) del elemento, es posible con la M y la fijar el tiempo oportuno para hacer el cambio sistemtico. Por ejemplo si MTBF=20.000 km. y =5.000 km., es decir, M- (15.000 km) ocurrir que haciendo la intervencin en este momento, el 15,87% de las veces aparecer la avera imprevista y ser necesario hacer mantenimiento correctivo.

Esta ley tiene dos parmetros M y para fijar las funciones probabilsticas.

horasMTBF 963 1010/101 == horasMTBF 56 1010/10

1 ==

( )2

21

21

=

Mt

etf

( ) dttftR =0

)( ( ))()(

tRtft = MMTBF =


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6.3.3 Ley de Weibull

Weibull, investigador sueco, propuso la distribucin que lleva su nombre en 1.939. La ley de Weibull permite ajustarse a cualquier distribucin de fallos (pdf) gracias a sus tres parmetros , y . Las ecuaciones que rigen los parmetros segn esta ley son:

Estas funciones se representan en la siguiente figura.

TiempoM

(t)

Tiempo

f (t)

MTBF

2

Tiempo

R (t)

M

F (t)

1

Figura 6.06: Representacin de las funciones tpicas de una ley normal

( )

=

t

etR( )1

=

tt

=

11

)( ettf

Tiempo

= 1 (t) = 3

= 0.5

Tiempo

f (t)

MTBF

= 1

= 3 = 0.5

Tiempo

1

= 1 = 3

= 0.5

Figura 6.07: Representacin de las funciones tpicas de una ley de Weibull


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Los parmetros , y de la distribucin de Weibull tienen el siguiente significado: parmetro de forma que describe el grado de variacin de la tasa de fallas

(adimensional)

parmetro de escala (tiempo) parmetro de origen (tiempo), indica el momento de inicio de los fallos, es decir,

no se da ninguna falla antes de este tiempo.

As por ejemplo con igual a uno se obtiene la distribucin exponencial tpica de fallos aleatorios, valores de menores que la unidad indican que la poblacin est teniendo fallas tpicas de mortalidad infantil ((t) decreciente) y con mayor de uno se est en zona de fallos por envejecimiento, en concreto con aproximadamente igual a 3 se tendr una distribucin normal. El MTBF y la desviacin tpica de la poblacin se pueden calcular por la siguiente expresin:

MTBF = + ( 1 + 1/B ) o mejor:

MTBF = A + = B Siendo A y B parmetros tabulados (funcin de )

La distribucin de Weibull es ampliamente utilizada, podramos fijar una duracin de vida tal que la fiabilidad no baje del 90% (tpico de rodamientos).

( )

=

t

etR ( )

= ttRln

( ) =

t

tR

1

1ln ( ) ttR =+

1

1ln

[ ] 11

10 105.09.01ln +=

+=


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6.3.3.1 Cmo actuar al utilizar este mtodo

Vamos a ver como ajustar la ley de Weibull (obtener , , ) de un material del que sabemos los diferentes TBF y podemos obtener las frecuencias acumuladas de fallo F(t) para diferentes tiempos. Para ello se emplea el papel de Allan Plait que tiene cuatro ejes F(t), t, ( ln 1/R(t) ) y .

1 Hacer una tabla de los TBF y F(t), ordenando los tiempos de forma creciente

Falla n TBF (h) F(t) %

1 2 3 .. .. .. 25

210 340 510 .. .. ..

1540

4 (1/25) 8 (2/25)

12 .. .. ..

100

2 Trazar la recta F(t), t. Calcular F(t) haciendo la operacin (ni/N)100 para cada TBF. Existen expresiones ms complejas para calcular F(t) pero en general es suficiente.

t

F (t)

ln(t)99.9%

63.2% 0

0.37

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1 10 100

0 1-1

Figura 6.08: Obtencin de los parmetros y en el papel de Allan Plait.


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Si lo que se obtiene es una curva, se determinan los valores t1, t2 y t3, tal como en la Figura 6.09, trazando tres rectas paralelas y horizontales equidistantes entre si que cortan a la curva obtenida en una zona media. Se encontrarn en el eje de tiempos los correspondientes valores t1, t2 y t3. Se calcula el valor de por la frmula:

y repetir el trazado de la curva con TBF = TBF - . Con esta traslacin se obtendr una recta. 3 Determinar y Se traza la nueva recta, y el punto de corte con el eje ser el valor de ste parmetro.

Llevando una paralela por el punto O se obtendr el valor del parmetro precisamente en el punto en que la paralela corte a dicho eje, tal como se representa en la Figura 6.10.

As pues tenemos , y , y calculando A y B (entrando en las tablas con el valor de ) se puede obtener el MTBF, para utilizarlo en determinar perodos de cambio, de prediccin de averas, etc. Las ecuaciones para determinar el MTBF y son:

MTBF = A + = B

312

3122

2

tttttt

=

t

F(t)

t1 t2 t3

Figura 6.09: Procedimiento para obtener


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6.4 Fiabilidad en sistemas Lo desarrollado hasta ahora en fiabilidad se refiere a piezas o equipos simples.

Generalmente en la prctica se hallan muchos equipos complejos compuestos de muchos elementos unidos y dependientes unos de otros. El montaje de elementos formando un sistema puede ser en:

6.4.1 Configuracin en serie:

Los sistemas con mquinas en serie se caracterizan porque slo estn en operacin si todos sus componentes operan, es decir cuando la falla de uno de sus elementos conlleva la falla total del sistema. De la condicin de independencia de fallos entre las mquinas se deriva que su fiabilidad es el producto de fiabilidades de sus componentes, con lo cual la fiabilidad del sistema ser menor que la de cada uno de sus componentes. La fiabilidad del conjunto de elementos montados en serie es:

Si la iabilidad de cada componente es la misma, tendremos que la iabilidad del sistema es:

Cnj js tRtRtRtRtR 1321 )()(.....)()()( ===

[ ]njs tRtR )()( =

F (t)

t

ln(t)99.9%

63.2%

0.37

123

10 100

0 t

1

4

Figura 6.10: Procedimiento para determinar y


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6.4.2 Configuracin en Paralelo:

Se caracterizan porque el sistema falla slo si todos los componentes fallan en su operacin. De la condicin de independencia se deriva que su no fiabilidad es el producto de las no fiabilidades de sus componentes. La fiabilidad del conjunto de elementos montados en paralelo es:

En caso que todos los elementos sean iguales:

Con un conjunto de elementos iguales, la configuracin en paralelo ser la de mxima fiabilidad, mientras que la configuracin en seria presentar la mnima fiabilidad.

6.5 Datos de fiabilidad Se ha podido comprobar que las averas de los componentes hidrulicos y neumticos

son 10 veces mas frecuentes que en los componentes mecnicos, que a su vez son 10 veces ms frecuentes que las elctricas. En la siguiente tabla se puede apreciar de forma general la frecuencia de los fallos para distintos tipos de piezas:

Componentes electrnicos 10-3 a 100 por milln de horas Semiconductores 10-2 a 100 por milln de horas Piezas mecnicas 10-2 a 100 por milln de horas Piezas electromecnicas (rels) 10-1 a 101 por milln de horas Piezas neumticas, hidrulicas 10-1 a 101 por milln de horas

6.5.1 Tabla y grfico de Weibull

Tabla de la ley de Weibull para el clculo de los parmetros A y B para la determinacin del valor medio M y la desviacin tpica :

( )[ ]Cnj jp tRtR 1 )(11)( = =

[ ]njp tRtR )(11)( =


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A B A B A B 0.20 120 1901 1.65 0.8942 0.556 4.2 0.9089 0.244

0.25 24 199 1.70 0.8922 0.540 4.3 0.9102 0.239

0.30 9.2605 50.08 1.75 0.8906 0.525 4.4 0.9114 0.235

0.35 5.0291 19.98 1.80 0.8893 0.511 4.5 0.9126 0.230

0.40 3.3234 10.44 1.85 0.8882 0.498 4.6 0.9137 0.226

0.45 2.4786 6.46 1.90 0.8874 0.486 4.7 0.9149 0.222

0.50 2 4.47 1.95 0.8867 0.474 4.8 0.9160 0.218

0.55 1.7024 3.35 2.00 0.8862 0.463 4.9 0.9171 0.214

0.60 1.5046 2.65 2.10 0.8857 0.443 5.0 0.9182 0.210

0.65 1.3663 2.18 2.20 0.8856 0.425 5.1 0.9192 0.207

0.70 1.2638 1.85 2.3 0.8859 0.409 5.2 0.9202 0.203

0.75 1.1906 1.61 2.4 0.8865 0.393 5.3 0.9213 0.200

0.80 1.1330 1.43 2.5 0.8873 0.380 5.4 0.9222 0.197

0.85 1.0880 1.29 2.6 0.8882 0.367 5.5 0.9232 0.194

0.90 1.0522 1.77 2.7 0.8893 0.355 5.6 0.9241 0.191

0.95 1.0234 1.08 2.8 0.8905 0.344 5.7 0.9251 0.186

1.00 1 1 2.9 0.8917 0.334 5.8 0.9260 0.185

1.05 0.9803 0.934 3.0 0.8930 0.325 5.9 0.9269 0.183

1.10 0.9649 0.878 3.1 0.8943 0.316 6.0 0.9277 0.180

1.15 0.9517 0.830 3.2 0.8957 0.307 6.1 0.9286 0.177

1.20 0.9407 0.787 3.3 0.8970 0.299 6.2 0.9294 0.175

1.25 0.9314 0.750 3.4 0.8984 0.292 6.3 0.9302 0.172

1.30 0.9236 0.716 3.5 0.8997 0.285 6.4 0.9310 0.170

1.35 0.9170 0.687 3.6 0.9011 0.278 6.5 0.9318 0.168

1.40 0.9114 0.660 3.7 0.9025 0.272 6.6 0.9325 0.166

1.45 0.9067 0.635 3.8 0.9038 0.266 6.7 0.9333 0.163

1.50 0.9027 0.613 3.9 0.9051 0.260 6.8 0.9340 0.161

1.55 0.8994 0,593 4.0 0.9064 0.254 6.9 0.9347 0.160

1.60 0.8966 0.574 4.1 0.9077 0.249


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Grfico para el clculo de los parmetros de la distribucin de Weibull:

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 81 1 1 1 1 10,01

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,99

0

1

2

3

4

1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50F(t)

ln t


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