08 polinimios ejercicios

08. POLINOMIOS y CURVAS DE AJUSTE EJERCICIOS Lic. Amado Malca Villalobos

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8. POLINOMIOS, CURVAS DE AJUSTE E INTERPOLACION PROBLEMAS

1. Dibuje el polinomio 4 21,5 5 2y x x x para 2 2x .

Primero cree un vector para x, luego utilice la función polyval para calcular y. Finalmente utilice la función plot para generar el grafico.

2. Divida el polinomio 5 4 3 215 35 37 19 41 15x x x x x entre el

polinomio 35 4 3x x

3. Divida el polinomio 4 3 24 6 2 5 3x x x x entre el polinomio

2 4 2x x . 4. Un deposito cilíndrico de aceite, fabricado con acero inoxidable, tiene un diámetro exterior de 40 cm. Calcule el grosor x del depósito cuya masa es de 18 kg. La densidad del acero inoxidable es de 7920 kg/ m

3.

5. Sea un depósito de gas en forma de cilindro circular con un hemisferio en cada uno de sus extremos, como el que es muestra en la figura adjunta. El radio del cilindro es r y su longitud es 4r. Determinar r si el volumen del depósito es de 30 m

3.

6. Escriba una función MATLAB que sume o reste dos polinomios de cualquier grado. Utilice la siguiente línea de definición para la función: p = PoliOpera(p1,p2,operacion). Los primeros dos argumentos de entrada, p1 y p2, serán los vectores con los coeficientes de los dos polinomios (si lo polinomios no son del mismo grado, la función deberá añadir necesariamente los ceros que le faltan al vector más corto). El tercer argumento será una cadena que puede tomar los valores „sumar‟ o „restar‟, para sumar o restar los polinomios introducidos como parámetro. Utilice la función anterior para sumar y restar los siguientes polinomios:

5 4 3 27 11 4 5 2p x x x x x x y

29 10 6q x x x

7. Escriba una función MATLAB que calcule el máximo (o el mínimo)

de una ecuación cuadrática del tipo: 2p x ax bx c

Defina la función de la forma [x, y, w] = maxomin (a, b, c). Los argumentos de entrada serán los coeficientes a, b y c. Los argumentos de salida serán el valor de x del máximo (o del mínimo), el valor y del máximo (o del mínimo) y w, que valdrá 1 si y es máximo o 2 si y es mínimo. Utilice la función anterior para calcular el máximo o el mínimo de las siguientes funciones:

a) 26 18 6p x x x


2

b) 24 20 5p x x x

8. Un granjero desea construir tres corrales rectangulares idénticos, tal y como se muestra en la figura adjunta. Dispone de 60 metros de valla para construirlos. Calcule las dimensiones a y b que maximizan el area total que se encierra entre las vallas. Para resolver el problema se debe encontrar el máximo de una función cuadrática. Utilice la función del problema 7 para encontrar el máximo.

9. Dados los siguientes puntos:

a) Ajuste los datos mediante un polinomio de primer grado. Represente gráficamente tanto los puntos como el polinomio. b) Ajuste los datos mediante un polinomio de tercer grado. Represente gráficamente tanto los puntos como el polinomio. c) Ajuste los datos mediante un polinomio de cuarto grado. Represente gráficamente tanto los puntos como el polinomio. d) Ajuste los datos mediante un polinomio de decimo grado. Represente gráficamente tanto los puntos como el polinomio. 10. La tabla siguiente representa la población de China entre los años 1940 y 2000.

a) Calcule la función exponencial que mejor se ajusta a los datos anteriores. Utilice esta función para estimar la población de China en el año 1955.

Año 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Poblacion (millones)

537 557 682 826 981 1135 1262

x -5 -4 -2,2 -1 0 1 2,2 4 5 6 7

y 0,1 0,2 0,8 2,6 3,9 5,4 3,6 2,2 3,3 6,7 8,9

ab

b

b


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b) Utilice una curva, mediante una función cuadrática, para ajustar los datos anteriores. Utilice esta función para estimar la población de china en el año 1955. c) Utilice los métodos “spline” y ”linear” para interpolar los datos anteriores. Estime la población de china en el año 1955. Utilizando los métodos de interpolación anteriores. Para cada uno de estos apartados, represente gráficamente los puntos (con circulos) y las correspondientes curvas de ajuste o interpolación. Observe que en el apartado c se piden dos curvas de interpolación distintas. El valor real de la población en China en el año 1955 fue de 614,4 millones. 11. La densidad estándar del aire, D (resultado de calcular la media de distintas medidas), a diferentes alturas, h, desde el nivel del mar hasta los 33 km, viene dada en la tabla que se muestra a continuación:

a) Haga las siguientes cuatro representaciones graficas de los puntos, representando siempre los puntos en función de la altura: 1) ambos ejes con escala lineal, 2) h en escala logarítmica y D en escala lineal, 3) h con escala lineal y D con escala logarítmica, 4) ambos ejes con escala logarítmica. Basándose en estos gráficos, elija la función (lineal, potencia, exponencial o logarítmica) que mejor se ajuste a los puntos y calcule, además, los coeficientes de dicha función. b) Represente la función y los puntos utilizando escalas lineales. 12. Escriba una función MATLAB que ajuste datos mediante una

función potencia, de la forma my bx Utilice la siguiente línea para la

definición de la función: [b, m] = powerfit (x, y), donde los argumentos de entrada x e y serán los vectores con los coeficientes de los `puntos, y los argumentos de salida b ym serán las constantes del ajuste para la ecuación potencia calculada. Utilice esta función para ajustar los datos que se muestran a continuación y represente gráficamente tanto la función como los puntos:

13. Un termopar es un sensor utilizado para medir la temperatura. Se construye uniendo dos alambres de materiales distintos. Para medir la temperatura, los termopares se conectan a un circuito como el que se

x 0,5 1,9 3,3 4,7 6,1 7,5

Y 0,8 10,1 25,7 59,2 105 122

h (km) 0 3 6 9 12 15

D (kg/m3) 1,2 0,91 0,66 0,47 0,31 0,19

h (km) 18 21 24 27 30 33

D (kg/m3) 0,12 0,075 0,046 0,029 0,018 0,011


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muestra en la figura adjunta. Uno de los termopares se introduce en un

medio con una temperatura constante conocida refT (por ejemplo, agua

helada), y el otro se situa donde se desee medir la temperatura T. Cuando las temperaturas medidas difieren se genera un voltaje v. Este voltaje v se puede expresar en función de la temperatura mediante una

expresión del tipo: s refv K T T donde sK es una constante

que depende de los materiales utilizados para construir el termopar. Los siguientes datos son los resultados de un experimento realizado

para calcular la constante sK de un termopar. Utilice estos datos para

calcular sK mediante una curva de ajuste

14. El límite elástico de los metales depende en gran parte del tamaño del grano. Para estos metales, la relación entre el límite elástico y el diámetro medio del grano d viene dada por la ecuación de Hall-Petch:

2

1

0 kdy

Los siguientes datos son los resultados de medidas del diámetro medio del grano y el límite elástico:

a) Utilice una curva de ajuste para calcular la constante y k en la ecuación de Hall-Peatch para este material. Utilice las constantes para calcular, mediante la ecuación, el límite elástico de un material cuyo tamaño de grano es 0,05 mm. Represente en

d (mm) 0,005 0,009 0,016 0,025 0,040 0,062 0,085 0,110

y (MPa) 205 150 135 97 89 80 70 67

T(ºC) 25 100 200 300 400 500 600 700

v(mV) 1,11 4,03 8,16 12,62 16,54 20,90 23,70 29,15


5

un gráfico los puntos (utilizando marcadores en forma de círculo) y la ecuación de Hall-Peatch (utilizando una línea sólida). b) Utilice interpolación lineal para calcular el límite elástico de un material con un tamaño de grano de 0.05 mm. Haga un gráfico donde se muestren los datos con círculos y la interpolación lineal mediante una línea sólida. c) Utilice interpolación cúbica para calcular el limite clásico de un material con un tamaño de grano de 0.05 mm. Haga un gráfico donde se muestren los datos con círculos y la interpolación lineal mediante una línea sólida. 15. La ecuación de un gas ideal relaciona volumen, presión, temperatura y la cantidad de gas mediante la expresión:

P

nRTV

Donde V es el volumen en litros, P es la relación en atm., T es la temperatura en grados K, n es el número de moles y R es la constante de los gases. Se realiza un experimento para calcular el valor de la constante R en el cual se comprimen 0.05 moles de gas a diferentes volúmenes, aplicando una presión dada al gas. Se registra, para cada volumen, la presión y la temperatura del gas. Utilizando los datos que se muestran a continuación, calcule R y represente gráficamente. V frente a T/P, y ajuste los datos a los puntos mediante una ecuación lineal:

16. La viscosidad es una propiedad de los fluidos que caracteriza su resistencia a fluir. La viscosidad de la mayoría de los fluidos es muy sensible a la temperatura. Para los gases, la variación de la

V(L) 0.0.75 0.65 0.55 0.45 0.35

T(ºC) 25 37 45 56 65

P(atm) 1.63 1.96 2.37 3.00 3.96


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viscosidad con la temperatura se representa comúnmente por la

ecuación de Suzerainty: ST

CT

2/3

Donde es la viscosidad, T la temperatura absoluta, y C y S

constantes empíricas. En la tabla siguiente se muestran valores de la viscosidad del aire a distintas temperaturas (datos tomados del libro B.R. Munson, D.F. Young y T.H. Okiishi. “Fundamental of Fluid Mechanies”, 4ª Edición, John Wiley and Sons, 2002):

Calcule el valor de las constantes Cy S mediante una curva de ajuste. Represente gráficamente la viscosidad frente a la temperatura en grados centígrados. Utilice círculos para representar los datos y una línea sólida para la curva de ajuste a partir de la ecuación de Suzerainty. La curva de ajuste se puede obtener escribiendo de nuevo la

ecuación de Suzerainty, de la forma: C

ST

C

T

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y utilizando un polinomio de primer grado.

T(ºC) -20 0 40 100 200

2 5/ 10N s m x 1.63 1.71 1.87 2.17 2.53

300 400 500 1000

2.98 3.32 3.64 5.04

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