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Investigaciones Europeas de Direccin y Economa de la EmpresaVol. 7, N" 1,2001, pp 57-70

ANLISIS DE LA VALORACIN DE LAS OPCIONES ASITICASUTILIZADAS POR LOS FONDOS DE INVERSIN

GARANTIZADOS DE RENTA VARIABLEArregui Ayastuy, G.Vallejo Alonso, B.

Universidad del Pas Vasco

RESUMEN

Las estrategias de inversin de muchos fondos de inversin mobiliaria garantizados de ren-ta variable, dirigidas a la consecucin de un objetivo concreto de rentabilidad fijado, estn basadasen el empleo de opciones asiticas, lo que les permite asegurar la componente de rentabilidad va-riable garantizada. Tanto para poder "estimar la rentabilidad a garantizar por el fondo, como paraconocer su situacin patrimonial en un momento cualquiera, es necesario proceder a la valoracinde estas opciones. Los mtodos de valoracin aplicables son diversos, pero todos ellos ofrecen es-timaciones aproximadas. En este trabajo se describen varios mtodos de valoracin de opcionesasiticas y, tomando como referencia las caractersticas de los fondos garantizados de renta variablecomercializados a finales de 1998, y la situacin de los mercados estas fechas, se comparan sus re-sultados con las estimaciones calculadas mediante el mtodo de Monte Carlo.

PALABRAS CLAVE: Fondos de Inversin Garantizados, Opciones Asiticas, Valoracin de Opciones.

INTRODUCCIN

Uno de los fenmenos ms relevantes ocurrido en el sistema financiero espaol en losltimos aos ha sido el crecimiento experimentado por los fondos de inversin mobiliaria ga-rantizados de renta variable', A pesar de su corta existencia en el mercado espaol, los prime-ros aparecieron en 1995, se han convertido en un producto totalmente consolidado y de granxito comercial.

La garanta ofrecida por estos fondos, bsicamente, consiste en un porcentaje del valorinicial de la inversin, ms un porcentaje de la revalorizacin de un ndice de referencia'. Enlos primeros fondos que se comercializaron, la componente de rentabilidad variable aseguradase calculaba sobre la revalorizacin del ndice entre la fecha de inicio y vencimiento de la ga-ranta. Actualmente, como consecuencia del encarecimiento de las garantas, la prctica totali-dad de los fondos la calculan sobre la revalorizacin media mensual del ndice.

La gestin de las carteras de estos fondos, dirigida a la consecucin del objetivo concre-to de rentabilidad fijado, puede estar basada, bien en estrategias de inversin, que replicandinmicamente tanto la duracin de la cartera de renta fija, como el comportamiento de lasposiciones en opciones. O bien, en la combinacin de la rentabilidad de una cartera de rentafija de duracin similar al vencimiento de la garanta, con el establecimiento de un conjunto deoperaciones en derivados sobre el ndice de referencia. En este ltimo caso la cartera, al iniciode la garanta, estar estructurada de la siguiente forma:

El porcentaje mayoritario se destinar a la adquisicin de ttulos de deuda con venci-miento similar al periodo de garanta y al mantenimiento del coeficiente de liquidez m-nimo. Su finalidad es cumplir con la componente de rentabilidad fija garantizada.

El resto de la cartera se destinar al pago de las primas de las posiciones en opciones,que aseguran la componente de rentabilidad variable garantizada.

Arregui Ayastuy, G.; Vallejo Alonso, B.

Es evidente la importancia que tiene la valoracin de las posiciones en opciones, tantopara poder estimar la rentabilidad que se puede garantizar, como para poder valorar la situacinpatrimonial del fondo en un momento cualquiera. En el caso de que la parte variable de lagaranta se calcule como un porcentaje de la revalorizacin media mensual del ndice, las op-ciones utilizadas sern asiticas. Los mtodos aplicables a la valoracin de este tipo de opcio-nes son diversos, pero ninguno de ellos ofrece una precisin total y absoluta

El objeto del presente trabajo es realizar una comparacin entre algunos de los mtodosde valoracin de opciones asiticas, teniendo en cuenta su aplicacin en el contexto de losfondos de inversin mobiliaria garantizados de renta variable. Para ello, comenzamos comen-tando las caractersticas bsicas de lo que denominamos opciones asiticas y la problemtica desu valoracin. Luego, pasamos a describir brevemente los principales aspectos de los mtodosutilizados. Despus, presentamos los datos resultantes de la aplicacin de los mtodos tomandocomo referencia las caractersticas de los fondos comercializados en Espaa a finales de 1998que garantizaban un porcentaje de la revalorizacin media mensual dellbex 35. Finalmente, secomentan los resultados obtenidos y las conclusiones alcanzadas.

LAS OPCIONES ASITICAS

Una opcin asitica es una modalidad de opcin extica. Aunque, como pone de ma-nifiesto Lamothe (1993, p. 255) no existe unanimidad sobre lo que se entiende como opcio-nes exticas, siguiendo a Fernndez (1996, pp. 497-498), vamos a denominar opciones ex-ticas a todas las opciones no tradicionales, entendiendo por tradicionales las opciones quetienen un precio de ejercicio fijo y cuyo valor depende del precio del subyacente en la fechade ejercicio. En las opciones exticas se distinguen diferentes modalidades', entre las cualesestn las opciones cuyo valor es dependiente de la evolucin histrica de los precios delsubyacente. En funcin de la forma concreta en la que la evolucin de los precios del subya-cente influye en el valor de la opcin, Clewlow y Strickland (1997, pp. 11-15) distinguen lassiguientes clases de opciones:

Opciones lookback, aquellas en las que la remuneracin al tenedor de la opcin se es-tablece en funcin de la cotizacin mxima o mnima alcanzada por el subyacente a lo largo dela vida de la opcin.

Opciones barrera, aquellas en las que se determina un valor denominado barrera, deforma que la opcin comienza a existir o desaparece si el valor del subyacente alcanza dichonivel; es decir, que el tenedor de la opcin percibir su remuneracin en funcin de que el preciodel subyacente alcance o no, en algn momento de la vida de la opcin, el nivel predeterminado.

Opciones digitales, aquellas opciones en las que, al igual que en las opciones barrera, eltenedor de la opcin ser remunerado en funcin de que el precio del subyacente alcance o noun determinado nivel, pero con la diferencia de que, en este caso, la remuneracin es una can-tidad fija preestablecida.

Opciones asiticas, aquellas cuya remuneracin depende del promedio de los valo-res que ha alcanzado el precio del subyacente en determinados momentos a lo largo de lavida de la opcin, o de parte de ella. Tambin se conocen como opciones promedio. Elpromedio utilizado normalmente es la media aritmtica, aunque en ocasiones tambin seutiliza la media geomtrica, y la referencia del precio del subyacente se toma, de fuentesde reconocido prestigio acordadas por las partes contratantes, en intervalos de tiempo re-

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gulares: das, semanas o meses. El vencimiento de la opcin suele coincidir con el momen-to en el que se toma el ltimo precio incorporado a la media.

Las opciones asiticas ms negociadas son las que al vencimiento ofrecen una remune-racin igual a la diferencia, si es positiva, entre el precio medio del activo subyacente duranteel periodo predeterminado y el precio de ejercicio. Se les denominan opciones de precio delsubyacente promedio (OSP) (average rate options) o asiticas. En adelante, al utilizar la deno-minacin de opciones asiticas nos referiremos a este tipo de opciones asiticas.

Por otro lado, tambin se negocian, aunque menos, opciones que al vencimiento ofrecenuna remuneracin igual a la diferencia, si es positiva, entre el precio del activo subyacente en lafecha de vencimiento de la opcin y la media de los precios que el activo subyacente ha alcan-zado durante el periodo temporal especificado. A estas se les denomina opciones de precio deejercicio promedio (OEP) (average strike options) o pseudo-asiticas.

En los fondos garantizados considerados en este trabajo la garanta se puede materiali-zar a travs de una o varias opciones call asiticas de tipo europeo, en las que no es posible elejercicio anticipado y el promedio es una media aritmtica de la cotizacin de un ndice burs-til. En algunos de los fondos, el precio de ejercicio de la opcin se toma como la media aritm-tica del valor del ndice en varias sesiones siguientes al inicio de la garanta. Pero, no por ellose debe entender que se trata de opciones OEP, puesto que al calcular el precio de ejercicio nose tiene en cuenta la evolucin del precio del subyacente a lo largo de la vida de la opcin. Msbien, se pretende reducir el efecto que podra tener sobre la garanta alguna situacin anmala odistorsionante en la cotizacin del ndice en la fecha elegida para tomar la referencia inicial.

VALORACIN DE OPCIONES ASITICAS

El valor de una opcin call" asitica en la fecha de ejercicio es:

Mx. (0, A(TJ - K),1 n

donde A(TJ = - LS('f;) ,n i=l

siendo S(T) el precio del subyacente" en las fechas tomadas como referencia, n el nmero dereferencias tomadas, Ti la fecha en que se toma la referencia i-sima, Te la fecha en la que expi-ra la opcin y K el precio de ejercicio.

El problema fundamental para calcular el valor de una opcin, en un momento t cual-quiera a lo largo de su vida, es conocer el comportamiento del precio del subyacente. Podemossuponer, como es usual en la valoracin de opciones sobre ndices, que el precio del subyacen-te sigue un proceso de difusin geomtrico:

dS = ~ S dt + (J S dzdonde S es la cotizacin del subyacente, dS la variacin de S en un intervalo infinitesimal detiempo dt, ~ la esperanza matemtica del rendimiento instantneo del subyacente, (J su desvia-cin tpica y dz un proceso de Wiener, es decir, dz -N(O,dt).

Considerando los supuestos del modelo de Black-Scholes (1972) para un intervalo detiempo [t, TJ, con Ti> t, se tiene que:

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In S(T) - N[ln S(t) + ( 11- cr2 / 2 )( Ti - t ), o~T - t ]

Bajo el supuesto anterior, y adoptando la consideracin de un mundo neutral al riesgo,siguiendo la metodologa de Cox y Ross (1976), el valor de la opcin en un instante t se puedeexpresar como el valor actual del flujo monetario esperado al vencimiento de la opcin:

C = e-r(Tn-t) E(Mx(O, A(Tn) - K(l)

donde r es el tipo de inters sin riesgo anualizado en capitalizacin continua para un plazo igualal de la vida de la opcin, E la esperanza matemtica y S(T) sigue un proceso de difusin geo-mtrico con 11= r - q, donde q representa el tipo de rendimiento esperado por dividendos delndice.

Nosotros vamos a suponer que t es el momento inicial y que ste es anterior a la primeraobservacin, t < TI' Sin embargo, se podran obtener expresiones ms generales, tomando uninstante t cualquiera, entre el momento inicial en el que la opcin comienza su vida y Tn' consi-derando que cierto nmero de observaciones S(T) son conocidas".

Bajo los citados supuestos el precio del subyacente sigue una distribucin logartrnico-normal:

lrrS; - N(lnS, + (r-q-(cr2/2(T-t), cr-JT - t ) (2)

donde SIYSTson el precio de subyacente en el momento t y en un momento posterior T.

Si f*(x) = Prob[A(T,,) = x] representa la funcin de densidad de A(To)' la esperanza ma-temtica de la igualdad (1) se puede expresar de la siguiente manera:

E(Mx(O, A(To) - K = J[A(Tn) - K]f *(x)dxK

(3)

Sin embargo, la suma de variables que siguen una distribucin logartrnico-normal,A(To)' no sigue ninguna distribucin conocida; es decir, f*(x) no es conocida. Por ello, noexiste ninguna frmula analtica exacta, como la de Black-Scholes, para el clculo de E(Mx(O,A(TO>- K y es necesario recurrir a procedimientos numricos o a mtodos aproximados.

MODELOS PARA LA VALORACIN DE OPCIONES ASITICAS

Se han desarrollado diferentes modelos para la valoracin de opciones asiticas. La mayora deestos modelos toman como referencia distribuciones de probabilidad con un comportamiento lo mssimilar posible a la distribucin de la media aritmtica, A(TJ En este grupo de modelos tenemos laaproximacin de Vorst (1992), la aproximacin de Levy (1992) Yla aproximacin de Tumbull y Wa-keman (1991), entre otras. Por otro lado, tenemos mtodos numricos, entre los cuales destacan elmtodo de simulacin de Monte Cado y el mtodo binornial extendido, desarrollado por Hull y White(1993), que es de los pocos que permiten valorar opciones asiticas de tipo americano. El mtodobinomial, a diferencia del mtodo de Monte Carlo, no permite en si mismo cuantificar el error cometi-do en la estimacin del valor de la opcin, por lo que entendemos que no es adecuada su utilizacincomo valor de referencia para contrastar otros mtodos aproximados de valoracin de opciones asiti-cas europeas. Por ello, en nuestro trabajo nos centraremos en el mtodo de simulacin de Monte Carlo.



Mtodo de Monte Carlo

El mtodo de Monte Cado es un modelo de simulacin que consiste esencialmente enun muestreo artificial o simulado; es decir, en generar nmeros aleatorios para convertidosluego en observaciones de la variable aleatoria del modelo.

En nuestro caso, la variable aleatoria, cuya distribucin desconocemos, es la media

aritmtica de los valores alcanzados por el ndice (A(Tn) = ~ !.SCT))' Por ello, el procedimien-n i=1

to requiere la generacin de simulaciones del proceso de cotizaciones del ndice: S(T), S(T),..., S(Tn)' Teniendo en cuenta la expresin (2) podemos utilizar la siguiente igualdad:

el(r-q-- )(Ti- Ti_)+


Nos vemos, por tanto, en la necesidad de evaluar opciones call asiticas geomtricas,tanto por el mtodo de Monte Carlo como a travs de mtodos analticos. El desarrollo de m-todos analticos para la valoracin de opciones call asiticas geomtricas no slo es necesariopara poder aplicar la simulacin de Monte Carlo propuesta por Kernna y Vorst, sino que, tam-bin facilita la comprensin del resto de los mtodos considerados en este trabajo, puesto quetodos ellos se apoyan, de una u otra manera, en dichos mtodos.

Valoracin de opciones asiticas geomtricas

El valor de una opcin call asitica geomtrica en la fecha de ejercicio es:

Mx. (O, G(T,,) - K)

/" l~donde G(T,,) = [S(T), S(T2), S(T), oo., S(Tn)] y, por lo tanto, In [G(TJ] = - L,InS(Ti)'n i=l

La valoracin de opciones asiticas geomtricas es ms sencilla que la de opciones asiticasaritmticas, debido a que, manteniendo los supuestos anteriores, ellogaritmo del precio del subya-cente sigue una distribucin normal y tambin ellogaritmo de la media geomtrica, por ser combi-nacin lineal de variables aleatorias distribuidas normalmente. Por lo tanto, In [G(TJ] - N(!!G'(JG)'

Los parmetros !!Gy (JG'esto es, la media y la desviacin tpica de la variable In [G(T,,)],se calculan utilizando las siguientes expresiones, cuyo derivacin se puede consultar en Clew-low y Strickland (1997, pp. 91-93):

1 2 n.lG= lnS(t) + -(r-q -~) :L(Ti - t) (5)

n 2 i=l

2 [ n n-l 1ifa = :2 ~(Ti -t)+2~(Ti -t)(n-i) (6)

Consideraciones anlogas a las realizadas para la deduccin de la expresin (1) nos lle-van a una expresin equivalente para el valor de una opcin call asitica geomtrica, CG:

CG= e-r(T,,-t) E(Mx(O, G(TJ - K

Pero aqu la distribucin de G(TJ es conocida, por lo que podemos calcular la esperanzay obtener la siguiente expresin:

.Jl +--r(T -t)

CG= e G 2 n N(d)- e-r(Tn-t) KN(d-(JG) (7)

?

d d N 1 f ., d di b ., l est d d .lo -lnK +


Mtodo aproximado de Vorst

Vorst (1992) parte de considerar que la distribucin de probabilidades de G(T.) es simi-lar a la de A(TJ Puesto que esta ltima es desconocida, toma como aproximacin a f*(x), lafuncin de densidad de A(To)' la funcin de densidad de G(T,), la cual es conocida. Esto es, siIn [G(T.)] - N(IlG' (JG)'vamos a suponer que tambin In[A(To)] - N(IlG' (JG)'

Segn esto, para calcular el valor de una opcin asitica aritmtica, C, podramos utili-zar la expresin (7):

,iIl +--r(T -t)

C = e G 2 n N(d) _ e-r(Tn-t) K N(d - (JG) (8)

IlG -lnK + docon d = .

(JG

Sin embargo, como demuestran Beckenbach y Bellman (1971, p.4), la media geomtri-ea es siempre inferior a la media aritmtica, G(T,) ::;A(T,,), y, en consecuencia, la media geo-mtrica infravalora la media aritmtica. Por lo tanto, la utilizacin de la medida de tendenciacentral de In[G(TJ], Ilc' provoca la infravaloracin de ln[A(T.)], lo cual hace que el valor esti-mado de la call asitica aritmtica dada por (8) infravalore su verdadero valor. Para corregir, enparte, este sesgo Vorst propone reemplazar el verdadero precio de ejercicio, K, por otro valorK*, calculado de la siguiente manera:

K* = K + E[G(Tn)] - E[A(Tn)]donde:

2crcIla+-

E[G(T,)] = e 2, utilizando la expresin del clculo del momento de orden k de una variablealeatoria que sigue una distribucin logartmico-normal", puesto que In[G(Tn)] - N(llc' (Ja)'

S(t) nE[A(T.,)] = __ Le(r-q)(T;-t) , segn se deduce del algoritmo desarrollado por Turnbull y

n i=1Wakeman (1991) para calcular los momentos de A(TJ

Como E[G(T.)] ::;E[A(T.)], entonces, K* ::;K. De esta forma se consigue tomar en con-sideracin el mayor valor esperado de la media aritmtica con respecto a la media geomtrica.

Mtodo aproximado de Levy

En el mtodo anterior se ha supuesto que ln[A(TJ] sigue una distribucin normal,In[A(Tn)] - Nto, v), en la que la media ex = Ila Y la desviacin tpica v = (Jc; es decir, que ladistribucin de ln[A(Tn)] es igual que la de In[G(To)]. Esta aproximacin se puede mejorar conel mtodo de Levy (1992), que consiste en mantener el supuesto de la distribucin normal Nto;v) para ln[A(T.)], pero realizar unas estimaciones de exy v ms ajustadas.

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k2ika+-Por un lado, sabemos que E[A(Ty] = e 2, puesto que suponemos que ln[A(To)] -

N(a, v), y por otro, podemos calcular los verdaderos momentos de A(TJ aplicando el algorit-mo desarrollado por Turnbull y Wakeman (1991), segn el cual:

S(t) nE[A(TJ] = _Le(r-q)(T;-t)

n i=1

S( ) 2 r n n-I n 1E[A(T/] = _t-2- Le(2(r-Q)+d')(T;-t) +2Le(r-Q+d')CT;-t) LeCr-q)(Tj-t) ,

n li=1 i=1 j=i+l JDe modo que podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y despejandoobtenemos:

1 ,a = 21n E[A(T)] - - In E[A(T n

o 2 o

Por lo dems, el clculo del valor de la call asitica aritmtica se realiza utilizando unaexpresin equivalente a (7):

v2a+--r(T -t)C=e 2 o N(d)_e-rcTo-t)KN(d_v) (9)

a-lnK+v2cond=-----

v

A pesar de que los valores de la media y la varianza de A(To) se incorporan al modelo conprecisin y que este procedimiento proporciona buenas aproximaciones del valor de las opcionesasiticas, esta aproximacin no tiene en cuenta momentos de A(TJ de orden superior. La posiblediferencia entre los momentos de orden superior de la distribucin logartmico-normal y la verda-dera distribucin puede cobrar, en determinadas condiciones, mayor volatilidad y/o mayor plazohasta el vencimiento, una mayor importancia que haga aconsejable incorporarlos.

Mtodo aproximado de Turnbull y Wakeman

Turnbull y Wakeman (1991) describen un mtodo que permite tener en cuenta momen-tos de la distribucin de probabilidades de A(TJ de orden superior al segundo, en concreto, laasimetra y la curtosis. Con este fin utilizan una expansin en series de Edgeworth de la fun-cin de densidad de la media aritmtica, f*(x).

Si llamamos a(x) a la distribucin aproximada alternativa se demuestra" que f*(x) sepuede expresar de la siguiente forma:



donde:

a0)(x) es la derivada i-sima de a(x).C; son constantes, denominadas acumulantes, que dependen de los momentos hasta de orden ide las distribuciones de f*(x) ya(x).e(x) es el error cometido en la aproximacin.

Tumbull y Wakeman suponen que al tomar a(x) como la funcin de densidad de la dis-tribucin logartrnico-normal con idnticas media y varianza a las de A(Tn)' esto es, IX y v ob-tenidas segn el mtodo anterior, y por lo tanto iguales a las de f*(x), e(x) es despreciable. Porotra parte, calculan los momentos de tercer y cuarto orden de A(T.) por un procedimiento re-cursivo, con lo que, dado que los momentos de a(x) son conocidos, estiman las constantes C; ,sustituyen sus valores en (la), esta aproximacin de f*(x) la sustituyen a su vez en (3) e inte-grando obtienen que:

v2u+--r(Tn-t) 1 1C = e 2 N(d) - e-r(Tn-t) K N(d - v) - e-r(Tn-t)[ -C a(l)(K) - -C a(2)(K)) (11)

3! 3 4! 4

cond=-----v

Los mtodos analticos aproximados descritos se conocen como aproximaciones loga-rtmico-normales, puesto que todos ellos suponen que la media aritmtica de los precios delsubyacente sigue una distribucin logartrnico-normal, distinguindose unos de otros en lacantidad de momentos de dicha distribucin que se tienen en cuenta y en la manera de estimar-los. El grado de dificultad en la implementacin crece a medida que se tienen en cuenta msmomentos y que stos se intentan estimar con mayor precisin.

Nuestro inters radica en comprobar cules de estos mtodos son ms precisos para eva-luar las posiciones en opciones de los fondos de inversin garantizados. Con este fin, evalua-mos las opciones con los diferentes mtodos aproximados y comparamos los resultados con elvalor obtenido a travs del mtodo de Monte Carlo, para el cual se puede lograr la precisinque se requiera. Por ello, resulta evidente que la estimacin obtenida a travs del mtodo deMonte Carlo se puede utilizar como referencia. De hecho, los autores que han desarrollado losmodelos analticos aproximados considerados en este trabajo, utilizan al mtodo de MonteCarlo como modelo de validacin.

RESULTADOS

Los fondos tomados como referencia para evaluar sus posiciones en opciones, son fon-dos de inversin mobiliaria garantizados de renta variable, que aseguran un porcentaje de larevalorizacin media del Ibex 35, y que se comercializaban en Espaa a finales de 1998. Lasposiciones en opciones establecidas por los gestores de estos fondos dependen directamente delvencimiento de las garantas ofrecidas y de las condiciones existentes en los mercados en aque-llos momentos.

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Arregui Ayastuy. G.; Vallejo Alonso, B.

El porcentaje mayoritario de los fondos cuyo periodo de suscripcin finalizaba en losltimos meses de 1998, tenan concentrados los vencimientos de las garantas entre tres y cua-tro aos, por lo que los plazos hasta el vencimiento considerados en la valoracin de las opcio-nes son tres y cuatro aos.

Los mercados de deuda del estado en el ltimo trimestre de 1998, siguieron una tenden-cia decreciente. Los tipos de inters bajaron desde cerca del 3,5% hacia e13% para un plazo de3 aos, y de alrededor de un 4% hacia el 3,5% para 4 aos. Esta situacin de los mercados derenta fija nos ha llevado a evaluar las opciones, para el plazo de tres aos con los tipos de inte-rs del 3% y del 3,5%, y para el plazo de cuatro aos con el 3,5% y el 4%.

En cuanto al precio del subyacente en el momento de la valoracin, hay que sealar quetodos los fondos utilizan como valor del Ibex 35 su valor medio diario. Este valor, publicadodiariamente por la Sociedad de Bolsas S. A., se calcula como la media aritmtica simple detodos los valores del ndice en la sesin. El "Ibex 35 medio" termin el ao 1998 cerca del10.000, presentando una tendencia creciente en el ltimo trimestre con oscilaciones, lo cual nosha llevado a tomar 9500 como valor representativo de su evolucin, sobre todo del ltimo mes.

El valor inicial del ndice sobre el que se calcula la revalorizacin, se corresponde con elprecio de ejercicio de las opciones consideradas. Dado que este valor suele ser, generalmente,el valor del ndice en la fecha de comienzo de la garanta, y puesto que estamos valorando lasopciones en esta fecha, el precio de ejercicio coincidir con el precio inicial del subyacente, esdecir 9500'.

Teniendo en cuenta los parmetros citados, hemos calculado el valor de las opciones pa-ra diferentes escenarios de volatilidad y rendimiento por dividendos del ndice, utilizando losmtodos expuestos en el apartado anterior. Los resultados se muestran en las siguientes tablasen forma de desviaciones relativas con respecto a la estimacin de Monte Carlo ([Monte Carlo- Estimacin ]/Monte Carlo) ", para la cual se recoge la estimacin obtenida y, entre parntesis,su desviacin estndar.

Como se puede observar en las tablas 1 y 2, para el rendimiento por dividendos del Ibex35 hemos considerado dos valores: el 1,5% y el 2%. Pensamos que, en funcin de los datos hist-ricos y previsiones contenidas en la publicacin de Sociedad de Bolsas, "Sistema de interco-nexin burstil. Informe mensual de ndices Ibex" de los ltimos meses de 1998, es razonablepensar que el rendimiento por dividendos del Ibex 35 se puede situar en ese intervalo, aunque esmuy aventurado vaticinar la evolucin de esta variable en un horizonte de tres o cuatro aos.

En cuanto a la volatilidad del Ibex 35, hemos calculado las volatilidades histricas a fi-nales de 1998, para periodos de 3 y 4 aos, obteniendo valores prximos al 25% y 22,5%,respectivamente". Para ello, hemos utilizado valores de cierre del Ibex 35 en lugar del "Ibex 35medio", debido a que ste viene calculndose y hacindose pblico por la Sociedad de Bolsasdesde el 15 de octubre de 1996, por lo que carecemos de datos suficientes para cubrir periodosde tres y cuatro aos. Si calculamos la volatilidad histrica a finales de 1998 con los datosdisponibles del "Ibex 35 medio" obtenemos una volatilidad cercana al 29,5%. Teniendo encuenta la dificultad de la estimacin de la volatilidad y la importancia que sta tiene en el valorde las opciones, hemos contemplado un amplio intervalo de volatilidades con el fin de analizarcmo se comportan los mtodos de valoracin en los distintos escenarios de volatilidad.



Tabla 1

3 AOSDividendo 1,5% y Tipo de Inters 3% Dividendo 2,0% V Tipo de Inters 3%

(J Monte Carlo GeoID. Vorst Levy T&W Monte Carlo GeoID. Vorst Levy T&W15,0 646,6 (0,51) 5,09 0,76 -0,38 0,20 605,7 (0,51) 5,01 0,64 -0,41 0,1120,0 823,0 (0,51) 6,85 1,06 -0,70 0,24 782,4 (0,51) 6,83 1,01 -0,67 0,1722,5 911,0 (0,51) 7,77 1,25 -0,88 0,26 872,3 (1,21) 7,98 1,42 -0,64 0,3825,0 1000,0 (0,51) 8,83 1,58 -0,98 0,39 958,8 (1,50) 8,78 1,50 -0,98 0,2430,0 1175,6 (0,51) 10,83 2,14 -1,40 0,41 1132,1 (1,53) 10,60 1,91 -1,56 0,0135,0 1348,9 (1,53) 12,83 2,72 -1,98 0,08 1305,5 (1,53) 12,69 2,57 -2,07 -0,36

Dividendo 1,5% V Tipo de Inters 3,5% Dividendo 2,0% V Tipo de Inters 3,5%(J Monte Carlo GeoID. Vorst Levy T&W MonteCarlo GeOID. Vorst Levy T&W15,0 678,2 (0,51) 5,05 0,75 -0,46 0,17 636,9 (0,51) 5,08 0,76 -0,38 0,2020,0 852,1 (0,51) 6,88 1,11 -0,72 0,31 811,0 (0,51) 6,89 1,09 -0,67 0,2722,5 939,5 (0,51) 7,87 1,38 -0,83 0,43 898,8 (1,26) 7,93 1,40 -0,74 0,4125,0 1027,5 (0,51) 8,94 1,72 -0,91 0,60 982,5 (1,53) 8,54 1,31 -1,24 0,1330,0 1198,6 (1,53) 10,72 2,06 -1,53 0,50 1155,0 (1,53) 10,53 1,87 -1,66 0,1435,0 1373,1 (1,53) 13,02 2,90 -1,85 0,55 1329,6 (1,53) 12,90 2,78 -1,92 0,14

Tabla 2

4 AOSDividendo 1,5% V Tipo de Inters 3,5% Dividendo 2,0% V Tipo de Inters 3,5%

(J Monte CarIa GeoID. Vorst Levy T&W Monte Carlo GeoID. Vorst Levy T&W15,0 783,9 (0,51) 5,97 0,98 -0,59 0,30 730,4 (0,77) 6,19 1,17 -0,32 0,4920,0 976,4 (0,51) 8,14 1,45 -0,94 0,54 921,0 (1,30) 8,03 1,33 -0,98 0,3522,5 1075,2 (1,53) 9,51 1,96 -0,93 0,90 1015,4 (1,53) 8,96 1,43 -1,38 0,2525,0 1169,0 (1,02) 10,41 2,04 -1,40 0,79 1114,1 (1,53) 10,39 2,00 -1,37 0,5730,0 1361,6 (1,53) 12,90 2,84 -1,89 0,96 1306,3 (1,53) 12,90 2,83 -1,86 0,5635,0 1556,1 (1,53) 15,78 4,01 -2,27 0,56 1497,9 (1,53) 15,61 3,86 -2,38 -0,24

Dividendo 1,5% y Tipo de Inters 4,0% Dividendo 2,0% V Tipo de Inters 4,0%(J Monte Carlo GeOID. Vorst Levy T&W Monte Carlo GeoID. Vorst Levy T&W15,0 825,7 (0,77) 6,08 1,08 -0,53 0,41 766,9 (0,70) 5,78 0,79 -0,77 0,1220,0 1012,1 (1,36) 8,08 1,41 -1,04 0,56 954,3 (1,29) 7,83 1,16 -1,22 0,2522,5 1109,2 (1,53) 9,48 1,94 -1,00 1,00 1050,8 (1,53) 9,19 1,66 -1,22 0,6025,0 1205,2 (1,53) 10,78 2,38 -1,12 1,32 1146,4 (1,53) 10,47 2,09 -1,35 0,8430,0 1392,4 (1,53) 13,07 3,00 -1,78 1,49 1333,1 (1,53) 12,78 2,73 -2,00 0,8435,0 1581,7 (1,53) 15,78 4,01 -2,30 1,23 1521,4 (1,53) 15,49 3,75 -2,52 0,31

CONCLUSIONES

En trminos generales, de los resultados obtenidos al valorar las posiciones en opcionesde los fondos de inversin garantizados de renta variable en las condiciones mencionadas,podemos concluir que la variable que incide significativamente en el grado de precisin de losmtodos es la volatilidad, mientras que el resto no parece influir de una manera determinante.

El mtodo geomtrico infravalora las opciones en todos los escenarios contemplados. Para elhorizonte de tres aos esta infravaloracin, que est prxima al 5% para una volatilidad del 15%,pasa a niveles cercanos al 13% cuando la volatilidad se incrementa al 35%. Ni el tipo de inters sinriesgo, ni el rendimiento por dividendos parecen generar diferencias apreciables, aunque se observaque al considerar un plazo de cuatro aos las desviaciones son ligeramente mayores.

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El mtodo de Vorst tambin infravalora las opciones, pero con desviaciones menores. Sitomamos volatilidades entre el 15 y 35%, para un horizonte de tres aos, las desviacionesaproximadamente se sitan entre un 0,7% y un 2,8%, y entre un 1% Yun 4% para cuatro aos.Si bien se incrementan con la volatilidad, las desviaciones no parecen estar condicionadas porel resto de las variables contempladas.

El mtodo de Levy sobrevalora las opciones en todos los escenarios considerados. Aligual que en el caso anterior, las desviaciones son mayores cuanto mayor es la volatilidad, peroinferiores al 2% para tres aos y al 2,5% para cuatro aos. Tampoco en ste parece que el restode variables tengan un efectos significativos en las desviaciones.

Por ltimo, el mtodo de Turnbull y Wakeman es el que proporciona mejores estima-ciones, infravalorando sistemticamente las opciones. Las desviaciones con respecto de MonteCarlo, para el horizonte de tres aos, son inferiores al 0,6%, superndose el 0,5% nicamenteen dos ocasiones. Para el horizonte de cuatro aos, la cota superior es 1,5%, quedando porencima del 1% nicamente tres valores. Aunque se percibe una tendencia al incremento de lasdesviaciones con la volatilidad, la correlacin no es tan grande como en los casos anteriores,debido, posiblemente, a que los valores del mtodo de Turnbull y Wakeman estn muy prxi-mos a las estimaciones de Monte Carlo y a que stos se obtienen con un margen de error queviene medido por la desviacin de la estimacin. Por otra parte, tampoco aqu se percibe que elresto de variables tengan una influencia clara en las desviaciones.

NOTAS

(1) Tras la publicacin de la Circular 3/1997 de la Comisin Nacional del Mercado de Valores, solamente podrnincluir los trminos "garantizado" o "asegurado" en su denominacin, aquellos fondos en los que se garantice almenos el 100% de la inversin inicial. En este trabajo, al hablar de fondos de inversin garantizados, nos referi-remos a todos aquellos fondos con un objetivo concreto de rentabilidad que tengan una garanta otorgada por untercero, independientemente del porcentaje de la inversin inicial que garanticen.En el caso de tomar como referencia el mercado espaol, el ndice utilizado es el Ibex 35. Sin embargo, en otroscasos, las garantas estn vinculadas a cestas de ndices, ndices paneuropeos, o cestas de valores.En Nelken (1996, pp. 10-44) podemos encontrar casi todo un captulo dedicado a distinguir los distintos tipos deopciones exticas explicando sus caractersticas bsicas.Al igual que en las opciones "estndar" un argumento basado en el arbitraje, que se puede consultar en Nelken(1996, pp. 193-194), permite desarrollar la igualdad que expresa la paridad put-call para opciones asiticas. As,podremos valorar, en la mayora de los casos, las opciones put asiticas utilizando los modelos desarrollados paralas call.El activo subyacente considerado en el trabajo es un ndice burstil. El desarrollo posterior y las frmulas de valoracinque se van a presentar son fcilmente extrapolables a otros subyacentes como acciones, divisas y mercancas.En Clewlow y Strickland (1997, p. 75) se pueden consultar este tipo de expresiones.En relacin a la utilizacin del mtodo de Monte Carlo como modelo de validacin en la valoracin de opciones,se pueden consultar Boyle (1977) y Rubinstein (1981).

k 202

kll+--Si lnx - N(,a), entonces E(x') = e 2 ,como demuestran Fernndez-Abascal et al. (1994, p. 446).Ver Jarrow y Rudd (1982).Nuestro anlisis queda limitado de esta manera a las opciones en el dinero. Este anlisis se puede completar conel estudio del comportamiento de los mtodos de valoracin considerados cuando, con el paso del tiempo, las op-ciones se sitan dentro o fuera del dinero.En el anexo se recogen otras dos tablas con los valores estimados de las opciones.La anualizacin de las volatilidades se ha realizado en todos los casos siguiendo la propuesta de Femndez eYzaguirre (1995, pp. 69-72).

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)(7)

(8)(9)(lO)

(11)(12)

68 Investigaciones Europeas, Vol. 7, N 1, 2001, pp. 57-70


BffiUOGRAFABeckenbach, E.F. Y R. Bellman (1971): Inequalities, Springer, Berln.Black, F. y M. Scholes (1972): The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81, May-lune, pp. 637-654.Boyle, P. P. (1977): Options: a Monte Carlo approach .Tournal of Financial Economics, 4, May, pp. 323-338.Clewlow, L. y C. Strickland (ed.) (1997): Exotic options. The state of the art, lntemational, Thomsom Bnsiness Press,London.Cox, J. C. y S. A. Ross (1976): The valuation of options for altemative stochastic processes, Journal of FinancialEconomics, 3, September, pp. 145-166.Femndez, P. (1996): Opciones, futuros e instrumentos derivados, Deusto, Bilbao.Femndez, P. y Yzagnirre J. (1995): Ibex 35. Anlisis e investigaciones, Eiunsa, Barcelona.Fernndez-Abascal, H., M. Guijarro, J.L. Rojo y J.A. Sanz (1994): Clculo de probabilidades y estadstica, Ariel,Barcelona.Hull, J. y A. White (1993): Efficient procedures for valuing european and american path-dependent options, Joumal ofDerivatives, Fall, pp.21-31.Jarrow, R. y A. Rudd (1982): Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes, Joumal of FinancialEconomics, 10,347-369.Kemna, A. G. Z. y A. C. F. Vorst (1990): A pricing method for options based on average asset values, Joumal ofBanking and Finance, 14, pp. 113-129.Lamothe, P. (1993): Opciones financieras. Un enfoque fundamental, McGraw-Hill, Madrid.Levy, E. (1992): The valuation of average rate currency options, Journal of lntemational Money and Finance, 11, pp.474-491.NeIken, I. (ed.) (1996): The handbook of exotic options. Instruments, analysis and applications, Irwin, Chicago.Rubinstein, R. Y. (1981): Simulation and the Monte Carlo method, John Wiley & Sons, New York.TumbuIl, S. M. y L. M. Wakeman (1991): Quick algorithm for pricing european average rate options, Joumal ofFinancial and Quantitative Analysis, 26, pp. 377-389.Vorst, T. (1992): Prices and hedge ratios of average exchange rate options, lntemational Review of Financia! Analysis,1, pp. 179-193.

Investigaciones Europeas, Vol. 7, N 1,2001, pp. 57-70 69

Arregui Ayastuy, G.; Vallejo ALoIlSO,B.

ANEXO3 AOS

Dividendo 1,5% y Tipo de Inters 3% Dividendo 2,0% y Tipo de Inters 3%e Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W MonteCarlo Geom. Vorst Levy T&W15,0 646,6 (0,51) 615,3 641,7 649,1 645,3 605,7 (0,51) 576,8 601,8 608,2 605,120,0 823,0 (0,51) 770,2 814,3 828,8 821,0 782,4 (0,51) 732,4 774,7 787,7 781,222,5 911,0 (0,51) 845,4 899,8 919,2 908,7 872,3 (1,21) 807,8 860,1 877,9 868,925,0 1000,0 (0,51) 918,9 984,4 1009,9 996,1 958,8 (1,50) 881,5 944,6 968,4 956,630,0 1175,6 (0,51) 1060,8 1151,0 1192,3 1170,8 1132,1 (1,53) 1023,6 1110,9 1150,1 1132,035,0 1348,9 (1,53) 1195,5 1313,2 1376,1 1347,9 1305,5 (1,53) 1158,5 1272,8 1333,1 1310,2

Dividendo 1,5% y Tpo de Inters 3,5% Dividendo 2,0% y Tipo de Inters 3,5%o Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W15,0 678,2 (0,51) 645,6 673,2 681,4 677,1 636,9 (0,51) 606,1 632,2 639,4 635,720,0 852,1 (0,51) 797,2 842,7 858,2 849,5 811,0 (0,51) 758,7 802,2 816,4 808,822,5 939,5 (0,51) 871,0 926,8 947,4 935,5 898,8 (1,26) 832,8 886,4 905,5 895,125,0 1027,5 (0,51) 943,2 1010,2 1036,9 1021,4 982,5 (l,53) 905,2 969,8 994,8 981,330,0 1198,6 (1,53) 1082,6 1174,4 1217,2 1192,6 1155,0 (1,53) 1045,0 1133,8 1174,5 1153,435,0 1373,1 (1,53) 1215,0 1334,4 1398,9 1365,6 1329,6 (1,53) 1177,7 1293,6 1355,6 1327,8

4 AOSDividendo 1,5% y Tiro de Inters 3,5% Dividendo 2,0% y Tipo de Inters 3,5%

o Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W15,0 783,9 (0,51) 739,7 776,3 788,5 781,5 730,4 (0,77) 687,8 721,9 732,7 726,820,0 976,4 (0,51) 902,9 962,5 985,7 971,2 921,0 (1,30) 852,5 908,9 930,1 917,822,5 1075,2 (1,53) 981,9 1054,5 1085,3 1065,6 1015,4 (1,53) 931,9 1001,l 1029,6 1012,925,0 1169,0 (1,02) 1058,7 1145,6 1185,6 1159,8 1114,1 (1,53) 1009,2 1092,2 1129,6 1107,830,0 1361,6 (1,53) 1206,0 1324,0 1387,8 1348,7 1306,3 (1,53) 1157,1 1270,4 1331,0 1299,035,0 1556,1 (1,53) 1344,0 1496,1 1592,2 1547,4 1497,9 (1,53) 1295,6 1442,3 1534,4 1501,6

Dividendo 1,5% y Tiro de Inters 4,0% Dividendo 2,0% y Tipo de Inters 4,0%o Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W Monte Carlo Geom. Vorst Levy T&W15,0 825,7 (0,77) 778,4 816,9 830,2 822,3 766,9 (0,70) 725,1 760,9 772,9 766,020,0 1012,1 (1,36) 936,4 998,1 1022,7 1006,4 954,3 (1,29) 885,1 943,4 966,1 951,922,5 1109,2 (1,53) 1013,1 1088,0 1120,4 1098,2 1050,8 (1,53) 962,4 1033,7 1063,8 1044,525,0 1205,2 (1,53) 1088,0 1177,2 1218,9 1189,5 1146,4 (1,53) 1037,8 1122,9 1162,1 1136,830,0 1392,4(1,53) 1231,5 1351,9 1417,7 1371,9 1333,1 (1,53) 1182,1 1297,7 1360,3 1321,935,0 1581,7 (1,53) 1366,1 1520,8 1619,0 1562,4 1521,4 (1,53) 1317,4 1466,5 1560,7 1516,7

70 Investigaciones Europeas, Vol. 7, N 1, 2001, pp. 57-70

071057.pdf

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