06-campoelectrico3

Unidad 6. Campo elctrico

Actividades del final de la unidad

200

1. Calcula la distancia entre las cargas q1

= 3 C y q2

= 8 C para que se repelancon F = 0,6 N:

a) Si estn en el vaco.

b) Si el medio entre ellas es agua (er

= 80).

a) Si las cargas estn en el vaco, la fuerza entre ellas es:

F = = K0

Despejando la distancia, tenemos:

d = = = 0,6 m

b) Si estn en el agua, la expresin de la fuerza entre ellas es:

F = =

Por tanto, la distancia entre ellas en el agua vale:

d 4 = = = 0,067 m

Como vemos, la distancia en el agua es prcticamente la dcima parte de la distan-cia en el vaco para que la fuerza de interaccin sea la misma.

2. Si la distancia entre dos protones en el interior de un ncleo atmico es0,3 1015 m, calcula la fuerza elctrica y la fuerza gravitatoria entre ellos.

Datos: mp

= 1,67 1027 kg; qp

= 1,6 1019 C.

El valor de la fuerza elctrica entre los protones vale:

Fe= K

0 = 9 109 = 2 560 N

El valor de la fuerza gravitatoria entre los protones es:

Fg= G = 6,67 1011 = 2,1 1033 N

A la vista de los resultados, es evidente que la fuerza gravitatoria es totalmente des-preciable frente a la fuerza elctrica; por tanto, no puede ser la responsable de la es-tabilidad nuclear. La repulsin elctrica entre dos protones solo es contrarrestada porla atraccin nuclear fuerte entre ellos.

3. Dos cargas, q1

y q2, se repelen con una fuerza de 4,5 N cuando estn separadas

por 10 cm de un medio dielctrico donde er

= 4. Calcula el valor de cada carga,si q

1+ q

2= 9 C.

Si las cargas se repelen, es que ambas son del mismo signo, y como su suma es posi-tiva, las dos son positivas.

(1,67 1027)2

(0,3 1015)2m m 4

d2

(1,6 1019)2

(0,3 1015)2Q q

d2

9 109

80 K0er

Q q

d 4 2K0e

r

Q q

d21

4 pi e0 e

r

9 109 3 106 8 106

0,6K0 Q q

F

Q q

d2Q q

d21

4 pi e0

Q q

F

3 106 8 106

0,6


Despejando en la expresin de la fuerza entre dos cargas separadas 10 cm en un me-dio de e

r= 4:

F = = 8 q1 q

2= = = 2 1011

Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

q1 q

2= 2 1011

q1+ q

2= 9 106

Despejando en la segunda y sustituyendo en la primera, obtenemos una ecuacin desegundo grado:

q2= 9 106 q

18 q

12 9 106 q

1+ 2 1011 = 0

Cuyas soluciones son:

q1= 5 106 C ; q

14 = 4 106 C

Los valores posibles de la otra carga son, por tanto:

q2= 4 106 C ; q

24 = 5 106 C

Por tanto, los valores de las cargas son 5 106 C y 4 106 C.

4. Dos pequeas esferas iguales de 80 g de masa, cargadas con igual cantidad decarga positiva, al suspenderlas de un mismo punto mediante sendos hilosidnticos de longitud 20 cm se separan hasta que los hilos forman 60. Calcula:

a) El valor de cada una de las fuerzas que actan sobre cada esfera en la posi-cin de equilibrio.

b) El valor de la carga de cada esfera.

a) Las fuerzas que actan sobre cada esfera son: su peso, P8; la tensin del hilo, T

8, y

la fuerza elctrica, F8

e, que ejerce la otra carga. En la posicin de equilibrio, la re-

sultante de estas fuerzas es nula:

Segn el diagrama vectorial de las fuerzas que actan sobre cada esfera, que semuestra en la figura anterior, tenemos:

SF8

= P8

+ T8

+ F8

e= 0

4,5 4 0,12

9 109F er d

2

K0

q1 q

2

d2K0e

r

q1 q

2

d21

4 pi e0 e

r

201

x

Tx

TyT

T

+

+

l

FeFe

PP

= 30


Las componentes de estas fuerzas en el eje X son:

Fe T

x= 0 8 F

e= T sen a

Y en el eje Y:T

y P = 0 8 P = T cos a

Donde el ngulo que forma cada hilo con la vertical es la mitad del que formanentre s los dos hilos, a = 30.

El peso de cada esfera vale:

P = m g = 0,08 9,8 = 0,784 N

Despejando y sustituyendo en la segunda ecuacin, la tensin del hilo resulta:

T = = = 0,905 N

Y el valor de la fuerza elctrica entre las esferas es:

Fe= T sen 30 = 0,905 0,5 = 0,4525 N

b) Para calcular la carga de las esferas, utilizaremos la expresin de la ley de Cou-lomb, para lo cual necesitamos conocer la distancia que separa a las dos esferas.

La distancia, x, de cada carga a la vertical del punto de suspensin es:

x = l sen a = 0,2 sen 30

Por tanto, la distancia, d, entre las esferas es:

d = 2 x = 2 l sen a = 2 0,2 sen 30 = 0,2 m

Aplicando la ley de Coulomb y despejando, tenemos:

Fe= K = K 8 0,4525 = 9 109 8 q = 1,42 106 C

Esto es, el valor de la carga de cada esfera es 1,42 C.

5. Las cargas q1

= +9 C y q2

= 3 C estn en el vaco situadas en los puntos(3, 0) m y (3, 0) m, respectivamente. Calcula la carga q

3que hemos de colocar

en el origen de coordenadas para que la fuerza sobre la carga q = 1 C situadaen el punto P (6, 0) m sea nula.

La fuerza que ejerce la carga q1sobre la carga q es:

F8

1= K i

8= 9 109 i

8= 1 103 i

8N

La fuerza que ejerce la carga q2sobre la carga q es:

F8

2= K i

8= 9 109 i

8= 3 103 i

8N

La fuerza de la carga q3sobre la carga q es:

F8

3= K i

8= 9 109 i

8= 250 q

3 i

8N

q3 1 106

62q

3 q

d32

3 106 1 106

32q

2 q

d22

9 106 1 106

92q

1 q

d12

q 2

0,22q 2

d2q q

d2

0,784

cos 30

P

cos a

202

q1

q3

q2 qF2 F123 1 1 2 3 4 5 6

y (m)

x (m)+ +


De acuerdo con el principio de superposicin, si la fuerza sobre q es nula, se debecumplir lo siguiente:

F8

= F8

1+ F

8

2+ F

8

3= 0 8 1 103 i

8 3 103 i

8+ 250 q

3 i

8= 0

Al despejar se obtiene:

q3= = 8 106 C

Esto es, la carga q3que hemos de colocar en el origen es de 8 C.

6. Tres cargas iguales de valor Q = 2 C estn colocadas en tres de los vrtices de uncuadrado de lado 10 cm. Calcula el mdulo de la fuerza que acta sobre una car-ga q = 1 C si est colocada: a) En el cuarto vrtice. b) En el centro del cuadrado.

Para poder diferenciar la fuerza ejercida por cada carga, aunque estas sean iguales,las designaremos por q

1, q

2y q

3, como se indica en la figura adjunta:

2 103

250

203

q3

d2 d1

d3

q2 q1

q+ +

+ +

F2

F3

F1

a) La distancia de q1y de q

3al cuarto vrtice es el lado del cuadrado, y la distancia de

q2a dicho vrtices es:

d2= = m

Los mdulos de las fuerzas ejercidas por estas cargas son:

F1= K = 9 109 = 1,8 N

F2= K = 9 109 = 0,9 N

F3= K = 9 109 = 1,8 N

La figura anterior permite obtener fcilmente las componentes cartesianas de estosvectores; de acuerdo con ella, las fuerzas son:

F8

1= 1,8 j

8N

F8

2= 0,9 cos 45 i

8+ 0,9 cos 45 j

8= (0,64 i

8+ 0,64 j

8) N

F8

3= 1,8 i

8N

2 106 1 106

0,12q

3 q

d32

2 106 1 106

(0,02)2

q2 q

d22

2 106 1 106

0,12q

1 q

d12

0,020,12 + 0,12


Aplicando el principio de superposicin, la fuerza sobre la carga colocada en elcuarto vrtice es:

F8

= F8

1+ F

8

2+ F

8

3= 1,8 j

8+ 0,64 i

8+ 0,64 j

8+ 1,8 i

8= 2,44 i

8+ 2,44 j

8N

El mdulo de esta fuerza vale:

F = = 3,45 N

b) Las fuerzas que ejercen las cargas q1

y q3

sobre la carga situada en el centro delcuadrado tienen el mismo mdulo, la misma direccin y sentidos opuestos. Portanto, estas fuerzas se anulan, y la fuerza resultante sobre la carga q situada en elcentro del cuadrado coincide con la que ejerce la carga q

2, cuyo valor es:

F = F2= K = 9 109 = 3,6 N

2 106 1 106q2 q

d22

2,442 + 2,442

204

q3

q

+

+ +

+

q2 q1

F1

F2

F3

7. Calcula la energa potencial de las cargas q1

= 40 C y q2

= 50 C, que estn enel vaco, si la distancia, r, entre ellas es 1 m, 2 m, 3 m, 4 m, 5 m y 6 m, respec-tivamente. Representa la energa potencial en funcin de la distancia.

Los valores de la energa potencial para cada valor de la distancia son los siguientes:

Para d = 1 m:

Ep1

= K = 9 109 = 18 J

Para d = 2 m:

Ep2

= K = 9 109 = 9 J

Para d = 3 m:

Ep3

= K = 9 109 = 6 J

Para d = 4 m:

Ep4

= K = 9 109 = 4,5 J

Para d = 5 m:

Ep5

= K = 9 109 = 3,6 J

Para d = 6 m:

Ep6

= K = 9 109 = 3 J40 106 50 106

6

q1 q

2

d6

40 106 50 106

5

q1 q

2

d5

40 106 50 106

4

q1 q

2

d4

40 106 50 106

3

q1 q

2

d3

40 106 50 106

2

q1 q

2

d2

40 106 50 106

1

q1 q

2

d1

( )20,022

Unidad 6. Campo elctrico 205

Con estos valores representamos la grfica de la variacin de la energa potencial enfuncin de la distancia:

E (J)

d (m)0 1 2 3 4 5 6

56

9

18

33,64,5

10

15

20

8. Calcula la energa potencial del sistema formado por las cargas q1

= 2 C yq

2= 4 C cuando estn separadas 40 cm. Qu trabajo hay que realizar para

que la distancia entre ellas sea de 20 cm?

Si las cargas estn separadas 40 cm, su energa potencial se calcula de acuerdo con lasiguiente expresin:

Ep(A) = K = 9 109 = 0,18 J

Y cuando estn separadas 20 cm, su valor es:

Ep(B) = K = 9 109 = 0,36 J

Por tanto, el trabajo exterior que hay que realizar para aproximarlas desde A a B es elsiguiente:

Wext

= We= (DE

p) = DE

p

Wext

(A 8 B) = Ep(B) E

p(A) = 0,36 0,18 = 0,18 J

9. Calcula la energa potencial del sistema formado por tres cargas iguales de2 C situadas en el vaco en los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cmde lado. Qu trabajo se necesita para colocar cada carga en el punto medio decada lado?

Cuando las cargas estn en los vrtices del tringulo equiltero, la distancia entre doscargas es igual al lado del tringulo y la energa potencial para el sistema de tres car-gas en esta posicin es:

Ep(A) = E

p12+ E

p13+ E

p23= K + K + K =

= 3 9 109 = 1,08 J2 106 2 106

0,1

q2 q

3

d23

q1 q

3

d13

q1 q

2

d12

2 106 4 106

0,2

q1 q

2

dB

2 106 4 106

0,4

q1 q

2

dA


Cuando las cargas estn en el punto medio de los lados, la distancia entre dos car-gas es igual a la mitad del lado, como se aprecia en la siguiente figura:

La energa potencial del sistema de tres cargas en esta nueva posicin es:

Ep(B) = E 4

p12+ E 4

p13+ E 4

p23= K + K + K =

= 3 9 109 = 2,16 J

Para pasar de la situacin inicial, A, a la situacin final, B, es necesario realizar tra-bajo exterior, pues al ser todas las cargas positivas, se repelen, y hay que forzarlaspara que se aproximen. El trabajo exterior vale:

Wext

= We= (DE

p) = DE

p= E

p(B) E

p(A) = 2,16 1,08 = 1,08 J

10. La carga Q = 20 C est fija en el origen de coordenadas. Una partcula carga-da, m = 0,1 g y q = +2 C, pasa del punto A (2, 0) m al punto B (6, 0) m. Calcula:

a) La fuerza sobre la partcula cuando est en A y cuando est en B.

b) La aceleracin de la partcula en A y en B.

c) Su energa potencial en A y en B.

d) El trabajo efectuado por la fuerza elctrica entre A y B sobre la partcula.

e) Su velocidad en A si llega a B con 50 m/s.

a) Cuando q est en A, la fuerza que ejerce Q sobre ella vale:

FA

= K0 = 9 109 = 0,09 N

Y cuando est en B, la fuerza es:

FB

= K0 = 9 109 = 0,01 N

b) La aceleracin de la partcula en A y en B vale:

aA

= = = 900 m/s2

aB

= = = 100 m/s20,01

0,1 103F

B

m

0,09

0,1 103F

A

m

20 106 2 106

62Q q

dB2

20 106 2 106

22Q q

dA2

2 106 2 106

0,05

q2 q

3

d 423

q1 q

3

d 413

q1 q

2

d 412

206

d1,2 d2,3

d1,3q1+ q3

q2

+

+

d1,3 d2,3

d1,2

q3+

q1 q2+ +


c) La energa potencial en A y en B es:

EpA

= K = 9 109 = 0,18 J

EpB

= K = 9 109 = 0,06 J

d) El trabajo realizado por la fuerza elctrica entre A y B es:

We= DE

p= (E

pB E

pA) = (0,06 0,18) = 0,12 J

e) Como la fuerza elctrica es conservativa, la energa mecnica de la partcula, ci-ntica ms potencial, se conserva; luego:

Ec+ E

p= cte 8 E

cA+ E

pA= E

cB+ E

pB8 m v

A2 + E

pA= m v

B2 + E

pB

Sustituyendo y despejando, obtenemos la velocidad de la partcula en A:

0,1 103 vA2 + 0,18 = 0,1 103 502 + 0,06 8 v

A= 10 m/s

Se puede obtener el mismo resultado teniendo en cuenta que el trabajo de lafuerza elctrica se emplea en variar la energa cintica de la partcula:

We(A 8 B) = DE

c= m v

B2 m v

A2

0,12 = 0,1 103 502 0,1 103 vA2 8 v

A= 10 m/s

11. Calcula el mdulo del campo elctrico creado por la carga puntual q = 16 nC

a una distancia de 1, 2, 3 y 4 m. Dibuja la grfica E-x y las lneas del campo

producido por q.

El mdulo del campo elctrico producido por la carga q es:

Para d = 1 m:

E1= K = 9 109 = 144 N/C

Para d = 2 m:

E2= K = 9 109 = 36 N/C

Para d = 3 m:

E3= K = 9 109 = 16 N/C

Para d = 4 m:

E4= K = 9 109 = 9 N/C

16 109

42q

d42

16 109

32q

d32

16 109

22q

d22

16 109

12q

d12

12

12

12

12

12

12

12

12

20 106 2 106

6

Q q

dB

20 106 2 106

2

Q q

dA


La representacin de la variacin del mdulo de la intensidad del campo elctrico pro-ducido por una carga puntual en funcin de la distancia, y las lneas del campo, son:

12. La carga Q = 2 C est en el vaco situada en el origen de coordenadas.Calcula:

a) El campo elctrico producido por Q en los puntos A (3, 0) m, B (0, 4) m yC (3, 3) m.

b) La fuerza (mdulo, direccin y sentido) que ejerce Q sobre una carga q, de1 C, colocada en B.

c) En qu punto hemos de colocar una carga Q 4 = +8 C para que el camporesultante de Q y Q 4 en el punto C sea nulo?

a) En la figura de la derecha se representa lasituacin descrita en el enunciado delproblema.

El campo producido por la carga Q en ca-da uno de los puntos es:

Punto A: la distancia de la carga al pun-to y el vector unitario en la direccinque une la carga y el punto son:

r8

A= 3 i

8m 8

8 rA

= dA

= 3 m ; u8

A= i

8

Luego:

E8

A= K u

8

A=

= 9 109 i8

= 2 000 i8

N/C

Punto B: la distancia de la carga al punto y el vector unitario en este caso son:

r8

B= 4 j

8m 8 r

B= d

B= 4 m ; u

8

B= j

8

2 106

32

Q

dA2

208

E (N/C)

d (m)4321

150144

100

5036

169

+

y (m)

x (m)A

C

Q

45

dA

B

EA

EB

EC

dCdB

_


Por tanto:

E8

B= K u

8

B= 9 109 j

8= 1 125 j

8N/C

Punto C: en este caso, tenemos:

r8

C= 3 i

8+ 3 j

8m 8 r

C= d

C= = = 3 m

u8

C= = i

8+ j

8

E8

C= K u

8

C= 9 109 ( i8+ j8) =

= 1 000 ( i8+ j8) = (707 i8 707 j8) N/Cb) La fuerza sobre la carga q colocada en B es:

F8

= q E8

= (1 106) (1 125 j8) = 1,125 103 j

8N

c) Para que el campo sea nulo en el punto C, la carga Q 4 debe estar en la lnea rec-ta que une el origen con el punto C, y, puesto que es positiva, ha de estar en elmismo lado que Q y a una distancia de C que haga que el mdulo del campoproducido por Q 4 sea igual al producido por Q.

1

21

2

1

21

22 106

(3 2)2

Q

dC2

1

21

23 i

8+ 3 j

8

3 2

21832 + 32

2 106

42Q

dB2

209

x (m)

y (m)C

Q 3

3

3

3

Q '

EC

EC'

+

Por tanto:

|E8

C4| = |E

8

C| 8 |E

8

C4| = K = 9 109 = 1 000 8

8 dP

= = 6 m

Como esta distancia est medida sobre la bisectriz del primer cuadrante, tene-mos:

272

8 106

dP2

Q 4d

P2

8 2 (3 xP)2 = 72 8 3 x

P= 6 8 x

P= 3 m

xP

= yP

= 6 2(32 x

P)2 + (3 y

P)2

Entonces, la carga Q 4 debe de estar colocada en el punto P(3, 3) m.


13. Las cargas q1

= 2 C y q2

= 2 C estn en el vaco situadas en A (3, 0) m yB (3, 0) m, respectivamente. Calcula: a) El campo elctrico en el origen y enel punto P (0, 3) m. b) La fuerza que acta sobre una carga q = 0,1 C colo-cada en el origen.

a) Los campos elctricos producidos por ambas cargas en el origen tienen el mismomdulo, pues ambas tienen el mismo valor absoluto y se encuentran a la mismadistancia. Su valor es:

E1= E

2= K = 9 109 = 2 000 N/C

Teniendo en cuenta el signo de las cargas y la posicin de cada una, representa-das en la figura adjunta, el campo elctrico en el origen es:

E8

O= E

8

1+ E

8

2= 2000 i

8+ 2000 i

8= 4000 i

8N/C

2 106

32q

d 2

210

q2q1A (3, 0) B (3, 0)

4545

45

EP,1

EO,1

EO,2

EP,2

EP

EOO

P

d

y (m)

x (m)+

Para el punto P (0, 3) m, podemos obtener directamente el campo elctrico pro-ducido por cada carga utilizando la expresin vectorial:

E8

= K u8

r

Donde u8

res el vector unitario en la direccin que une la carga con el punto.

Para q1tenemos, a partir de los datos mostrados en la figura anterior:

r8

1= 3 i

8+ 3 j

88 r

1= = = 3 m

u8

1= = i

8+ j

8

E8

1= 9 109 ( i8+ j8) = 707 i8+ 707 j8 N/C

Y para q2:

r8

2= 3 i

8+ 3 j

88 r

1= = = 3 m

u8

2= = i

8+ j

8

E8

2= 9 109 ( i8+ j8) = 707 i8 707 j8 N/C12122 10

6

(3 2)2

1

21

23 i

8+ 3 j

8

3 2

218(3)2 + 32

1

21

22 106

(3 2)2

1

21

23 i

8+ 3 j

8

3 2

21832 + 32

q

d 2

Por tanto, el campo total en el punto P es:

E8

P= E

8

1+ E

8

2= 707 i

8+ 707 j

8+ 707 i

8 707 j

8= 1 414 i

8N/C

b) La fuerza sobre la carga q colocada en el origen es:

F8

= q E8

= (0,1 106) (4 000 i8) = 4 104 i

8N

14. La carga q1

= +4 C est en el origen, y la carga q2

= 9 C est en el puntoB (3, 0) m. Calcula:

a) El punto donde se anula el campo.

b) La fuerza sobre una carga q = 1 C situada en el eje X en el punto x = 1,2 m.

a) En el punto donde se anula el campo se cumple que:

E8

= E8

1+ E

8

2= 0 8 E

8

1= E

8

2

Por tanto, los mdulos del campo creado por cada carga han de ser iguales, y lossentidos de los campos, opuestos.

Los vectores E8

1y E

8

2solo pueden tener la misma direccin en puntos del eje X, es

decir, (x, 0), y para que los mdulos de ambos campos sean iguales en ese pun-to, se ha de cumplir:

E1

= E2

8 K = K 8 = 8 4 (x 3)2 = 9 x2

4 x 2 24 x + 36 = 9 x 2 8 5 x 2 + 24 x 36 = 0

Cuyas soluciones son x1= 6 m y x

2= 1,2 m.

En la figura siguiente podemos comprobar que el campo solo se anula en elpunto (6, 0) m, puesto que en ese punto los campos tienen sentidos opuestos,mientras que, en el punto (1,2, 0) m, los campos tienen el mismo sentido y su su-ma no se anula.

9 106

(x 3)24 106

x2|q

2|

d22

|q1|

d12


q1 q2E1

E21 2 3 46 5 4 3 2 1

y (m)

x (m)+ E2E1

b) Como ya hemos visto, el campo elctrico en el punto (1,2, 0) m no es nulo, porlo que una carga situada en ese punto estar sometida a una fuerza proporcionalal valor de dicho campo.

El campo producido por cada carga en el punto (1,2, 0) m es:

E8

1= K u

8

1= 9 109 i

8= 25 000 i

8N/C

E8

2= K u

8

2= 9 109 (i

8) = 25 000 i

8N/C

Aplicando el principio de superposicin, el campo total en ese punto es:

E8

= E8

1+ E

8

2= 25 000 i

8+ 25 000 i

8= 50 000 i

8N/C

Y, por tanto, la fuerza sobre la carga q es:

F8

= q E8

= (1 106 ) 50 000 i8

= 0,05 i8

N

9 106

(3 1,2)2q

2

d22

4 106

1,22q

1

d12

Unidad 6. Campo elctrico212

15. Dos cargas iguales, q1

= q2

= 5 C, estn colocadas en los puntos A (4, 0) m yB (4, 0) m. Cul es el valor de la carga q

3situada en el punto (0, 8) m para

que el campo elctrico se anule en (0, 3) m?

El campo elctrico que produce la carga q1, situada en A (4, 0) m, en el punto

P (0, 3) m sealado en la figura es:

E8

1= K u

8

1

q1

r12

8

7

6

5

4

3

q1

q3

E2 E1

E32

1

234 1 321 4

y (m)

x (m)+q2+

Donde:

r8

1= AP

8= (0 + 4) i

8+ (3 0) j

8= (4 i

8+ 3 j

8) m 8 r

1= = 5 m

u8

1= i

8+ j

8

Luego:

E8

1= K u

8

1= 9 109 ( i8+ j8) = (1 440 i8 + 1080 j8) N/C

Del mismo modo, el campo creado en el punto P (0, 3) m por la carga q2, situada

en B (4, 0) m, es:

r8

2= BP

8= (0 4) i

8+ (3 0) j

8= (4 i

8+ 3 j

8) m 8 r

2= = 5 m

u8

2= i

8+ j

8

E8

2= K u

8

2= 9 109 ( i8+ j8) = (1 440 i8 + 1080 j8) N/C

La carga q3, situada en el punto C (0, 8) m, tambin producir un campo elctrico en

el punto P, que calculamos como en los casos anteriores:

r8

3= CP

8= (3 8) j

8= 5 j

8m 8 r

3= 5 m 8 u

8

3= j

8

E8

3= K u

8

3= 9 109 (j

8) = 3,6 108 q

3 j

8N/C

q3

52q

3

r32

3

5

4

55 106

52q

2

r22

35

45

(4)2 + 32

3

5

4

55 106

52q

1

r12

35

45

42 + 32

De acuerdo con el principio de superposicin, el campo elctrico en el punto P esla suma de los tres campos. Imponiendo la condicin de que el campo se anule, ob-tenemos el valor de la carga q

3:

E8

= E8

1+ E

8

2+ E

8

3= 0

0 = (1 440 i8

+ 1 080 j8) + (1 440 i

8+ 1 080 j

8) + (3,6 108 q

3 j

8) =

= (2 160 3,6 108 q3) j

8

Por tanto, el valor de la carga debe ser:

2 160 3,6 108 q3= 0 8 q

3= 6 106 C

16. Calcula la distancia que recorre hasta pararse un protn que penetra en uncampo elctrico uniforme de 5 103 N/C con una velocidad de 2 105 m/s pa-ralela al campo pero en sentido opuesto. Cunto tiempo tarda en detenerse?

El valor de la fuerza que acta sobre el protn es:

F = q E = 1,6 1019 5 000 = 8 1016 N

Como la velocidad inicial del protn tiene sentido contrario al campo, la fuerza seopone a su velocidad y le origina una aceleracin de frenado:

a = = = 4,8 1011 m/s2

El tiempo que tarda el protn en detenerse lo obtenemos por medio de la expresinde la velocidad en un m.r.u.a.:

v = v0+ a t = 0 8 0 = 2 105 4,8 1011 t 8 t = = 4,2 107 s

Aplicando ahora la expresin de la distancia en el m.r.u.a., obtenemos la distanciaque recorre dentro del campo elctrico uniforme hasta que se detiene:

s = s0+ v

0 t + a t 2

s = 0 + 2 105 4,2 107 + (4,8 1011) (4,2 107)2 = 4,2 102 m

17. Una partcula cargada, m = 1 mg y q = 200 nC, se deja en reposo en un campoelctrico uniforme y adquiere una velocidad de 300 m/s a los 0,5 s. Calcula: a)El valor del campo. b) El espacio recorrido en ese tiempo. c) El trabajo realiza-do por el campo elctrico en ese tiempo. d) La variacin de energa potencial.

a) Para que la partcula, que inicialmente est en reposo, adquiera una velocidad de300 m/s en 0,5 s, debe estar sometida a una fuerza que le produzca una acele-racin:

a = = = 600 m/s2

Segn la segunda ley de la dinmica, la fuerza necesaria para producir esta acele-racin es:

F = m a = 0,001 600 = 0,6 N

Y como esta fuerza est originada por el campo elctrico, el valor del campo de-be ser:

F = q E 8 E = = = 3 106 N/C0,6

200 109Fq

300

0,5

v v0

t

1

2

1

2

2 105

4,8 1011

8 106

1,67 1027Fm



b) El espacio que recorre la carga en ese tiempo es:

x = a t 2 = 600 0,52 = 75 m

c) El trabajo realizado por el campo elctrico es igual al aumento de energa cinti-ca. Teniendo en cuenta que inicialmente la partcula se encuentra en reposo:

We= DE

c= E

c E

c0= 0,001 3002 = 45 J

d) La variacin de energa potencial es igual al trabajo elctrico cambiado de signo:

We= DE

p8 DE

p= W

e= 45 J

18. Calcula el potencial elctrico producido por la carga Q = 20 nC a una distan-cia de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 m. Realiza la grfica del potencial, V, en funcin de ladistancia, r.

El valor del potencial para cada una de esas distancias es:

Para d = 1 m:

V1= K = 9 109 = 180 V

Para d = 2 m:

V2= K = 9 109 = 90 V

Para d = 3 m:

V3= K = 9 109 = 60 V

Para d = 4 m:

V4= K = 9 109 = 45 V

Para d = 5 m:

V5= K = 9 109 = 36 V

Para d = 6 m:

V6= K = 9 109 = 30 V

Con los valores obtenidos podemos representar la grfica del potencial en funcinde la distancia:

20 109

6

q

d6

20 109

5

q

d3

20 109

4

q

d4

20 109

3

q

d3

20 109

2

q

d2

20 109

1

q

d1

1

2

1

2

1

2

V (V)

d (m)0 1 2 3 4 5 6

5060

90

180

303645

100

150

19. La carga q = 5 C est situada en el origen de coordenadas. Calcula: a) El po-tencial elctrico en el punto P (3, 4) m. b) La energa potencial de una cargaq 4 = 0,1 C si la colocamos en P . c) El trabajo que hay que hacer para traerla carga q 4 desde el infinito al punto P.

a) El potencial producido por la carga en el punto P es:

V = K

Donde d es la distancia de la carga al punto:

d = = 5 m

Por tanto:

V = K = 9 109 = 9 000 V

b) La energa potencial de la carga q 4 colocada en P es:

Ep= q V = (0,1 106) (9 000) = 9 104 J

c) Como la energa potencial cuando q 4 est en el infinito es nula y como el trabajoexterior es igual al trabajo elctrico cambiado de signo, tenemos:

Wext

= We= (DE

p) = DE

p= E

p(P) E

p(@) = 9 104 0 = 9 104 J

Comprobamos que la energa potencial de un sistema de cargas es igual al traba-jo exterior necesario para traerlas desde el infinito a esa situacin.

20. Si la carga q1

= 3 C est en el origen de coordenadas, calcula el trabajo paratrasladar la carga q

2= 2 C desde el infinito al punto A (0, 6). Las coordena-

das estn en metros.

Cuando las cargas estn separadas una distancia infinita, su energa potencial es nu-la, pero cuando la carga q

2se encuentra en el punto A, a una distancia de 6 m de q

1,

su energa potencial vale:

EpA = K = 9 10

9 = 9 103 J

El trabajo exterior que es necesario realizar para aproximar dos cargas del mismosigno desde el infinito hasta esa situacin coincide con la variacin de energa po-tencial de las cargas, que es igual a la energa potencial del sistema cuando las car-gas se encuentran en la situacin final:

Wext

= EpA

Ep@

= EpA

= 9 103 J

Tambin se puede resolver el problema calculando el potencial que produce la car-ga q

1en el punto A:

V = K = 9 109 = 4,5 103 V

Para luego calcular la energa potencial de q2en ese punto:

Ep= q V = 2 106 4,5 103 = 9 103 J

Con ello, el trabajo resulta:

Wext

= We= (DE

p) = DE

p= E

pA E

p@= 9 103 0 = 9 103 J

3 106

6

q

d

3 106 2 106

6

q1 q

2

dA

5 106

5

q

d

32 + 42

q

d



21. Las cargas q1

= 2 C y q2

= 4 C estn en el vaco situadas, respectivamente,en los puntos A (1, 0) m y B (2, 0) m. Calcula: a) El campo en el origen y enel punto C(4, 0) m. b) El potencial elctrico en ambos puntos. c) El trabajopara trasladar la carga q = 1 C desde el origen al punto C.

a) El campo en el origen es la suma vectorial de los campos creados por ambas car-gas en dicho punto. Para calcular estos, determinamos, en primer lugar, los vec-tores unitarios en la direccin de cada uno:

r8

1O= i

88 d

1O= 1 m ; u

8

1O= i

8

r8

2O= 2 i

88 d

2O= 2 m ; u

8

2O= i

8

Con esto, los vectores campo elctrico creados por cada carga en el origen re-sultan:

E8

1O= K u

8

1O= 9 109 i

8= 1,8 104 i

8N/C

E8

2O= K u

8

2O= 9 109 (i

8) = 9 103 i

8N/C

Por tanto, el campo total en el origen vale:

E8

O= E

8

1O+ E

8

2O= 1,8 104 i

8+ 9 103 i

8= 2,7 104 i

8N/C

Del mismo modo, para el punto C (4, 0) m tenemos que:

r8

1C= 3 i

8m 8 d

1C= 3 m ; u

8

1C= i

8

r8

2C= 6 i

8m 8 d

2C= 6 m ; u

8

2C= i

8

Con lo que el campo producido por cada carga en C es:

E8

1C= K u

8

1C= 9 109 (i

8) = 2 103 i

8N/C

E8

2C= K u

8

2C= 9 109 (i

8) = 1 103 i

8N/C

Y el campo total en el punto C vale:

E8

C= E

8

1C+ E

8

2C= 2 103 i

8+ 1 103 i

8= 1 103 i

8N/C

En la siguiente figura se representan los vectores campo elctrico en ambospuntos:

4 106

62q

2

d2C2

2 106

32q

1

d1C2

4 106

22q

2

d2O2

2 106

12q

1

d1O2

q1 q2A BOCE1C E10E20

d1C

d1Od2OE2C

34 2 1 21 3 4 x (m)

y (m)

+

d2C


b) El potencial elctrico en cada punto es la suma de los potenciales que crean cadauna de las cargas en esos puntos. As, en el origen:

V1O

= K = 9 109 = 1,8 104 V

V2O

= K = 9 109 = 1,8 104 V

VO

= V1O

+ V2O

= 1,8 104 1,8 104 = 0

Y en el punto C:

V1C

= K = 9 109 = 6 103 V

V2C

= K = 9 109 = 6 103 V

VC

= V1C

+ V2C

= 6 103 6 103 = 0

Como vemos, el potencial es nulo en ambos puntos.

c) Del apartado anterior se deduce que cualquier carga situada en los puntos O y Ctendr una energa potencial nula. Por tanto, su energa potencial no variar al pa-sar de un punto a otro y no se realizar ningn trabajo al trasladar la carga, ya queeste coincide, en valor absoluto, con la variacin de la energa potencial. Desde elpunto de vista energtico, para la carga es indiferente estar en un punto u otro.

22. Indica para cul de las distribuciones de cargas siguientes, de igual valor ab-soluto, se cumple que, en el centro del cuadrado:

a) El campo y el potencial son nulos.

b) El campo es nulo y el potencial es positivo.

c) El potencial es nulo y el campo est dirigido hacia la derecha.

d) El campo es nulo y el potencial es negativo.

e) El potencial es nulo y el campo est dirigido hacia arriba.

4 106

6

q2

d2C

2 106

3

q1

d1C

4 106

2

q2

d2O

2 106

1

q1

d1O

Q Q

+Q +QI II III IV

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

Q

Q

+Q

Q

Q

El campo elctrico en el centro del cuadrado es la suma vectorial de los camposproducidos por cada carga. Los mdulos de estos campos son todos iguales y susdirecciones y sus sentidos estn representados en la figura siguiente:

Q Q

+Q +QI II III IV

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

+Q

Q

Q

+Q

Q

Q


El potencial elctrico en el centro es la suma algebraica de los potenciales debidos acada carga; todos tienen el mismo valor absoluto, V, y su signo coincide con el de lacarga que lo produce. Por tanto:

VI= +V + V + (V ) + (V ) = 0 ; V

II= +V + (V ) + (V ) + V = 0

VIII

= +V + V + V + V = 4 V ; VIV

= (V ) + V + (V ) + V = 0

A la vista de los resultados, las respuestas son:

a) El campo y el potencial elctricos son nulos en la situacin IV.

b) El campo es nulo y el potencial es positivo en la situacin III.

c) El potencial es nulo y el campo est dirigido hacia la derecha en la situacin II.

d) El potencial no es negativo en ninguna de las situaciones.

e) El potencial es nulo y el campo est dirigido hacia arriba en la situacin I.

23. Dos cargas iguales q1

= q2

= +6 C estn fijas en los puntos (3, 0) m y (3, 0) m.Calcula: a) La fuerza que acta sobre una partcula cargada, m = 1 mg yq = 1 C, situada en A (0, 4) m. b) La energa potencial de la partcula en A yen el origen. c) La velocidad de la partcula al llegar al origen si se suelta enreposo en el punto A.

a) El ejercicio se puede resolver calculando directamente la fuerza que ejerce cadacarga sobre la partcula, pero vamos a hacerlo obteniendo, en primer lugar, elcampo producido por ambas cargas en ese punto, para luego calcular la fuerza.

Para el punto A (0, 4) m se cumple:

r8

1A= 3 i

8+ 4 j

88 d

1A= 5 m 8 u

8

1A= = i

8+ j

8

r8

1B= 3 i

8+ 4 j

88 d

2A= 5 m 8 u

8

2A= i

8+ j

8

Por tanto, el campo producido por cada carga en el punto A es:

E8

1A= K u

8

1A= 9 109 ( i8+ j8)= (1 296 i8+ 1728 j8) N/C

E8

2A= K u

8

2A= 9 109 ( i8+ j8) = (1 296 i8 + 1 728 j8) N/C

Y el campo elctrico total en A es:

E8

A= E

8

1A+ E

8

2A= (1 296 i

8+ 1 728 j

8) + (1 296 i

8+ 1 728 j

8) = 3 456 j

8N/C

La fuerza que acta sobre la partcula es, por tanto:

F8

= q E8

= (1 106) (3 456 j8) = 3 ,456 103 j

8N

b) Para conocer la energa potencial de la partcula en los puntos solicitados calcu-lamos, previamente, el valor del potencial en esos puntos:

El potencial en A es:

VA

= V1A

+ V2A

= K + K = 9 109 + 9 109 = 21600 V

Y el potencial en el origen es:

VO

= V1O

+ V2O

= K + K = 9 109 + 9 109 = 36000 V6 106

3

6 106

3

q2

d2O

q1

d1O

6 106

5

6 106

5

q2

d2A

q1

d1A

4

5

3

5

6 106

52q

2

d2A2

4

5

3

56 106

52q

1

d1A2

4

5

3

5

4

5

3

5

3 i8

+ 4 j8

5


Luego, la energa potencial de la carga en A y en el origen es:

EpA

= q VA

= (1 106) 21 600 = 0,0216 J

EpO

= q VO

= (1 106) 36 600 = 0,036 J

c) Para calcular la velocidad de la partcula al llegar al origen, aplicaremos el princi-pio de conservacin de la energa mecnica, teniendo en cuenta que la velocidadinicial de la partcula es nula y que su energa potencial en cada punto es la cal-culada en el apartado anterior:

Ec+ E

p= cte 8 E

cA+ E

pA= E

cO+ E

pO

m vA2 + E

pA= m v

O2 + E

pO

Sustituyendo y despejando, tenemos:

0,0216 = 1 106 vO2 + (0,036) 8 v = 169,7 m/s

24. Calcula en qu puntos de la recta que une las cargas q y 2 q, separadas unadistancia r, se anula el potencial elctrico. Cunto vale el campo elctricoen esos puntos?

De acuerdo con el principio de superposicin, el potencial se anula en aquellospuntos donde se cumple:

V = V1+ V

2= K + K + = 0

donde r1y r

2son las distancias a dicho punto desde cada una de las cargas.

Si las cargas fuesen del mismo signo, el potencial solo se anulara en el infinito, pe-ro cuando son de signo distinto, se puede anular, adems, en puntos situados a dis-tancias finitas de las cargas.

Si las cargas q1

y q2

estn en los puntos A(x1, y

1) y B (x

2, y

2), respectivamente, la

ecuacin de los puntos del plano para los cuales V = 0 (lnea equipotencial) es:

V = 0 5 K + K = 0

La lnea recta que pasa por las dos cargas corta a esta lnea equipotencial, V = 0, endos puntos. Para determinar esos puntos, podemos utilizar dos mtodos:

Mtodo A:

Si elegimos nuestro sistema de referencia de forma que q1est en el origen de co-

ordenadas y el eje X coincida con la recta que pasa por las cargas, tenemos:

x1= y

1= 0 ; x

2= r ; y

2= 0

Para los puntos del eje X (y = 0) en los que se anula el campo, se cumple:

K + K = 0 8 = K

Elevando al cuadrado ambos trminos, tenemos:

= 8 = 8 (x r)2 = 4 x2

De donde:x2 2 r x + r 2 = 4 x2 8 3 x2 + 2 r x r 2 = 0

4

(x r)21

x2(2 q)2

(x r)2q2

x2

2 q

(x r)2q

(x 0)22 q

(x r)2q

(x 0)2

q2

(x x2)2 + (y y2)2q

1

(x x1)2 + (y y1)2

q2

r2

q1

r1

1

2

1

2

1

2


Al resolver la ecuacin de segundo grado, nos queda:

x = = 2 r 4 r

6

2 r 4 r2 + 4 3 r26

x = r

x 4 = r3

Por tanto, el potencial se anula en un punto situado entre las cargas a una distan-cia r/3 de q

1y a 2 r/3 de q

2, y en un punto situado a la izquierda de q

1a una dis-

tancia r de ella y a una distancia 2 r de q2.

Mtodo B:

El potencial se anula en dos puntos de la lnea recta que une ambas cargas, el pri-mero, M, situado en el segmento entre ellas, y el segundo, N, fuera de ese seg-mento pero ms prximo a la carga de menor valor absoluto.

8

d1

d1 d2

d

d q1 q2

M

N+

d '2

Para ambos puntos se cumple que:

V = V1+ V

2= K + K = 0 8 K + K = 0 8

8 + = 0 8 = 8 r2= 2 r

1[1]

Para el punto M, situado en la zona entre ambas cargas:

r1+ r

2= r [2]

Sustituyendo la ecuacin [1] en la [2], tenemos:

r1+ r

2= r

1+ 2 r

1= r 8 3 r

1= r 8 r

1= ; r

2=

Es decir, para el punto M: r1

= r/3 y r2

= 2 r/3, lo que coincide con el punto xdel mtodo A.

Para el punto N, situado a la izquierda de q1, se cumple que:

r2= r

1+ r [3]

Y sustituyendo [1] en [3]:

r2= 2 r

1= r

1+ r 8 r

1= r ; r

2= 2 r

Lo que coincide con el punto x 4 del mtodo A.

El valor del campo elctrico en esos puntos es la suma de los campos creados porcada una de las cargas en dichos puntos:

E8

M= K i

8+ K (i

8) = K 9 ( + ) i8 = K i8 N/Cqr2272q2 r 2qr22 q(2 r/3)2q(r/3)2

2 r3

r3

2

r2

1

r1

2

r2

1

r1

2 q

r2

q

r1

q2

r2

q1

r1

E8

N= K (i

8) + K (i

8) = K ( + ) i8 = K i8 N/Cqr212q2 r 2qr22 q(2 r)2qr 2


25. Cul es el valor del campo elctrico en una zona donde el potencial tiene elmismo valor en cada punto de esa zona?

Si el potencial elctrico toma el mismo valor en todos los puntos de una zona, esdecir, es constante en dicha zona, entonces, para dos puntos cualesquiera, la dife-rencia de potencial entre ellos es nula.

Por tanto, de acuerdo con la expresin E = dV/dx, como la derivada de una cons-tante es cero, el campo elctrico es nulo en todos los puntos de esa zona.

26. Pueden cortarse dos lneas de fuerza de un campo elctrico? Y dos superfi-cies equipotenciales? Por qu?

Dos lneas de campo elctrico no pueden cortarse nunca, pues el campo es nico encada punto del espacio; es decir, su valor y su direccin son nicos en cada punto.

Supongamos que L1

y L2

representan dos lneas de campo y que se cortan en elpunto P (figura siguiente). Como el campo es tangente a la lnea en cada punto, enel punto P, perteneciente a L

1, el campo sera tangente a L

1y su valor sera E

1, pero

por pertenecer este punto tambin a L2, el campo sera tangente a L

2y de valor E

2.

Entonces, el campo en P tomara dos valores, lo que es imposible, luego por cadapunto del espacio pasa una, y solo una, lnea de fuerza.

Dos superficies equipotenciales, S1y S

2, no pueden

cortarse, pues el valor del potencial en un puntoes nico, y si dos superficies equipotenciales secortasen en un punto o en una serie de puntos, enlos puntos de corte, por pertenecer a cada una delas superficies, el potencial en ellos tendra dos va-lores: V

1por pertenecer a la superficie S

1, y V

2por

pertenecer a la superficie S2; como esto es imposi-

ble, las superficies no pueden cortarse.

27. Calcula la diferencia de potencial necesaria:

a) Para acelerar un protn desde el reposo a una velocidad de 2 105 m/s.

b) Para frenar un electrn que lleva una velocidad de 5 106 m/s.

a) Sobre el protn solo acta la fuerza elctrica debida al campo asociado a la dife-rencia de potencial aplicada; por tanto, su energa mecnica (cintica ms poten-cial) permanece constante; luego:

EcA

+ EpA

= EcB

+ EpB

8 DEc= DE

p

Si deseamos acelerar la partcula desde el reposo, tenemos:

m v 2 0 = q (V V0) = q (V

0 V)

Si la carga es positiva, el potencial final, V, es menor que el inicial, V0; si la carga

hubiese sido negativa sera al revs, pero la diferencia, en valor absoluto, en am-bos casos es:

|DV| = = = 208,8 V1,6 1019q

1

2

L1L2E1

E2

S1S2

12

1,67 1027 (2 105)212

m v 2


La diferencia de potencial necesaria es de 208,8 voltios, siendo el potencial deentrada mayor que el potencial de salida:

DV = V V0= 208,8 V

b) Aplicando, en este caso, el principio de conservacin de la energa mecnica almovimiento de frenado del electrn, tenemos:

EcA

+ EpA

= EcB

+ EpB

8 DEc= DE

p

0 m v02 = q (V V

0) 8 m v

02 = q (V V

0)

Para detener una partcula positiva, el potencial inicial o de entrada, V0, ha de ser

menor que el potencial final, V, pero si la partcula es negativa, es al revs, V0> V,

como sucede en este caso. La diferencia de potencial es:

DV = = = 71,1 V

Como el electrn es una carga negativa, se mueve espontneamente hacia los po-tenciales ms altos; por tanto, para frenarlo, necesitamos que el potencial de en-trada sea mayor que el potencial de salida:

DV = 71,1 V

28. Un protn que se mueve entre dos puntos de un campo elctrico uniformealcanza una velocidad de 8 105 m s1. Si ha partido del reposo, calcula:

a) La diferencia de potencial entre ambos puntos.

b) El valor del campo si la distancia entre ambos puntos es de 4 cm.

c) La velocidad del protn cuando ha recorrido 2 cm desde el reposo.

Dato: mp

= 1,6 1027 kg

a) Como el protn solo est sometido a la fuerza que sobre l ejerce el campo elc-trico, y como esta es conservativa, la suma de su energa cintica y su energa po-tencial permanece constante:

Ec+ E

p= cte 8 E

cA+ E

pA= E

cB+ E

pB8 m v

A2 + E

pA= m v

B2 + E

pB

Teniendo en cuenta que parte del reposo y que su energa potencial es q V, te-nemos:

0 + q VA

= m vB2 + q V

B8 q V

A q V

b= q (V

A V

B) = m v2

VA

VB

= = = 3 340 V

Para acelerar al protn el potencial del punto inicial, VA, tiene que ser mayor que

el del punto final, VB. La diferencia, en valor absoluto, es de 3 340 V; si interpreta-

mos la diferencia de potencial como la final menos la inicial, ser:

DV = 3 340 V

b) La relacin entre el campo elctrico y el potencial en un campo uniforme es

DV = E Dx 8 E = = = 83 500 V/m33400,04

DVx

1,6 1019q

1

2

1

2

1

2

1

2

1,6 1019q

1

2

1

2

12

9,1 1031 (5 106)212

m v 2

12

1,67 1027 (8 105)212

m v 2


c) Cuando el cuerpo ha recorrido 2 cm, la diferencia de potencial entre el punto inicial,A, y el punto final, C, teniendo en cuenta la relacin entre el campo y el potencial, es:

DV = E Dx 8 VC

VA

= 83 500 0,02 = 1 670 V

Aplicando el principio de conservacin de la energa:

EcA

+ EpA

= EcC

+ EpC

8 0 + q VA

= m vC2 + q V

C

m vC2 = q V

A q V

C= q (V

A V

C) 8 1,67 1027 v

C2 = 1,6 1019 1 670

vC

= 5,66 105 m/s

Tambin se puede resolver este ltimo apartado aplicando las leyes de la dinmi-ca, pues, conocido el valor del campo, podemos calcular la fuerza que acta so-bre el protn y la aceleracin a la que est sometido:

a = = = 8 1012 m/s2

Como el protn realiza un m.r.u.a., entonces:

v 2 v02 = 2 a x 8 v2 = 2 8 1012 0,02 8 v = = 5,66 105 m/s

29. Un electrn se mueve con v8

= 2 105 i8

m/s cuando penetra en un campo

elctrico uniforme E8

= 5 106 j8

N/C. Calcula:

a) El mdulo, la direccin y el sentido de la fuerza que acta sobre el elec-

trn.

b) La velocidad del electrn en funcin del tiempo.

c) La energa cintica del electrn 1 s despus de penetrar en el campo.

d) La variacin de la energa potencial experimentada por el electrn 1 s des-

pus de penetrar en el campo.

Dato: melectrn

= 9,1 1031 kg.

a) La fuerza que acta sobre el electrn es:

F8

= q E8

= (1,6 1019) (5 106 j8) = 8 1025 j

8N

Esta fuerza est dirigida en el sentido negativo del eje Y.

b) La velocidad del electrn vara debido a la fuerza elctrica, que produce en luna aceleracin. La aceleracin del electrn es constante y su valor es:

a8

= = = 8,8 105 j8

m/s2

Teniendo en cuenta la velocidad inicial del electrn, v8

0= 2 105 i

8, entonces su

velocidad en funcin del tiempo es:

v8

= v8

0+ a

8 t = (2 105 i

8 8,8 105 t j

8) m/s

c) Al cabo de 1 s de entrar en la regin en que existe el campo elctrico, la veloci-dad del electrn es:

v8

= 2 105 i8

8,8 105 1 j8

= (2 105 i8

8,8 105 j8) m/s

8 1025 j8

9,1 1031F8

m

32 1010

q Em

Fm

1

2

1

2

1

2


Su mdulo es:

v = = 9 105 m/s

Y, por tanto, la energa cintica del electrn en ese instante vale:

Ec= m v2 = 9,1 1031 (9 105)2 = 3,7 1019 J

d) El principio de conservacin de la energa implica que la variacin de energapotencial es igual a la variacin de energa cintica cambiada de signo, pues:

Ec+ E

p= cte 8 DE

c+ DE

p= 0 8 DE

p= DE

c

Como la energa cintica inicial es:

Ec0

= m v02 = 9,1 1031 (2 105)2 = 1,8 1020 J

Resulta:

DEp= DE

c= (E

c E

c0) = (3,7 1019 1,8 1020) = 3,5 1019 J

La energa potencial disminuye en la misma cantidad que aumenta la energa ci-ntica.

30. El campo elctrico entre las placas del condensador plano de la figura es uni-forme, y su valor es 100 N/C. Si por el punto A penetra un electrn con unavelocidad v

0= 2 106 m/s, calcula: a) La desviacin, y, del electrn al salir de

las placas. b) A qu altura, h, impacta en la pantalla? c) Dnde se producirel impacto si la velocidad de entrada es de 4 105 m/s?

1

2

1

2

1

2

1

2

(2 105)2 + (8,8 105)2

A y

hv0

5 cm

1 cm

35 cm

+ + + + + + +

Pantalla

E

v0

A

+ + + + + + + +

1 cm

y

5 cm

35 cm

h

X

Y

a) Tomando el semieje X positivo en la horizontal y hacia la derecha, y el semieje Ypositivo vertical y hacia arriba, como se ve en la figura, la fuerza que acta sobreel electrn al penetrar en el campo vale:

F8

= q E8

= 1,6 1019 (100 j8) = 1,6 1017 j

8N


Y, por tanto, su aceleracin es:

a8

= = = 1,76 1013 j8

m/s2

El electrn realiza un m.r.u. en el eje X con velocidad inicial v0, y un m.r.u.a. en el

eje Y con velocidad inicial nula y con la aceleracin calculada. De la ecuacin delm.r.u. despejamos el tiempo que tarda en salir de la zona entre las placas:

x = v0 t 8 0,05 = 2 106 t 8 t = 2,5 108 s

Sustituyendo este tiempo en la ecuacin de la posicin para el m.r.u.a. del eje Y,obtenemos la distancia que se ha desviado el electrn de su trayectoria inicial:

y = a t2 8 y = 1,76 1013 (2,5 108)2 = 5,5 103 m

Como vemos, el electrn se desva 5,5 mm de su trayectoria inicial.

b) Al salir de las placas, las componentes de la velocidad del electrn son:

vx= v

0= 2 106 m/s

vy= a t = 1,76 1013 2,5 108 = 4,4 105 m/s

Cuando el electrn abandona el condensador, sobre l no acta ya ninguna fuer-za y, por tanto, realiza un movimiento rectilneo uniforme con la misma veloci-dad que tiene al salir de las placas. El tiempo que emplea en llegar a la pantallase deduce de la ecuacin de la posicin en la componente horizontal:

vx= v

0= 2 106 ; x = v

0 t 8 0,35 = 2 106 t 8 t = 1,75 107 s

Y la coordenada Y al llegar a la pantalla es:

y = y0+ v

y t = 5,5 103 + 4,4 105 1,75 107 = 0,0825 m

El electrn impacta en la pantalla a una altura de 8,25 cm.

c) Aunque variemos la velocidad de entrada, la fuerza y la aceleracin sobre el elec-trn sern las mismas, pero no lo ser el tiempo que tardar en recorrer las pla-cas, que ahora valdr:

x = v0 t 8 0,05 = 4 105 t 8 t = 1,25 107 s

Entonces, se habr desviado una distancia:

y = a t2 8 y = 1,76 1013 (1,25 107)2 = 0,1375 m

Como se aprecia en la figura del enunciado, esta distancia es mayor que la dis-tancia que separa al electrn inicialmente de cada una de las placas, de 1 cm, loque significa que el electrn no sale del condensador, sino que choca con la pla-ca positiva y, por tanto, no impacta en la pantalla.

31. Entre las placas de un condensador plano, separadas 10 cm, hay una dife-

rencia de potencial de 6 V. Calcula:

a) La fuerza y la aceleracin sobre un electrn situado en su interior.

b) La velocidad del electrn al llegar a la placa positiva si parti del reposo

de la placa negativa.

c) El tiempo que tarda en ir de una placa a la otra.

Dato: me

= 9,1 1031 kg.

1

2

1

2

1

2

1

2

1,6 1017 j8

9,1 1031F8

m


a) Como la diferencia de potencial entre las placas es constante, de 6 V, el campoelctrico entre ellas es uniforme, y su valor es:

E = = = 60 V/m

Por tanto, la fuerza sobre el electrn vale:

F = q E = 1,6 1019 60 = 9,6 1018 N

Y su aceleracin es:

a = = = 1,05 1013 m/s2

b) El electrn est en reposo en la placa negativa y es acelerado hacia la placa posi-tiva, realizando un movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Teniendoen cuenta la relacin entre el espacio recorrido y la velocidad adquirida, te-nemos:

v2 v02 = 2 a x 8 v = = = 1,45 106 m/s

c) Para calcular el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre placas, lo des-pejamos en la ecuacin de la posicin en el m.r.u.a.:

x = a t2 8 t = = 1,4 107 s

32. Mediante un hilo de seda de 50 cm colgamos una pequea esfera, de masa 4 gy cargada con 3 C, de una lmina plana vertical cargada sin que entren encontacto. Si la esfera se separa de la lmina 30 cm, calcula la densidad super-ficial de carga de la lmina.

Datos: g = 9,8 m/s2, e0

= 8,85 1012 N1 m2 C2.

La esfera se separa de la placa porque tienen cargas del mismo signo.

Las fuerzas que actan sobre la esfera son su peso, P8; la

tensin del hilo, T8, y la fuerza elctrica, F

8

e, que ejerce la

lmina cargada. En la posicin de equilibrio, la resultantede estas fuerzas es nula:

F8

= P8

+ T8

+ F8

e= 0

Eje X:

Fe T

x= 0 8 F

x= T sen a

Eje Y:

Ty P = 0 8 P = T cos a

De la figura deducimos las relaciones trigonomtricas:

sen a = = = 0,6

cos a = = = = 0,8

Luego, la tensin de la cuerda vale:

T = = = = 0,049 N4 103 9,8

0,8

m g

cos aP

cos a

0,641 0,621 sen2 a

0,3

0,5

x

l

2 0,1

1,05 10132 x

a

1

2

2 1,05 1013 0,12 a x

9,6 1018

9,1 1031F

m

6

0,1

DVd

Y

X

x

Fe

P

Tx

TyT

+


Y, por tanto, la fuerza elctrica sobre la esfera es:

Fe= T sen a = 0,049 0,6 = 0,0294 N

Del valor de la fuerza elctrica despejamos el valor del campo elctrico producidopor la lmina cargada:

Fe= q E 8 E = = = 9 800 N/C

Considerando la lmina como una distribucin plana de carga, el campo producidopor ella es:

E =

De donde despejamos la densidad superficial de carga de la lmina:

q = 2 E e = 2 9 800 8,85 1012 = 1,73 107 C/m2

Pero tambin podramos considerarla como una lmina metlica cargada por ambascaras; en este caso, tendramos:

E = 8 q = E e = 9 800 8,85 1012 = 8,67 108 C/m2

33. Calcula el campo y el potencial elctricos producidos por una esfera conduc-tora de dimetro 10 cm y cargada con 4 nC en los puntos situados a una dis-tancia del centro: a) De 12 cm. b) De 5 cm. c) De 3 cm.

El campo producido por una esfera conductora cargada en su interior es nulo, y enel exterior es el mismo que producira una carga puntual, igual a la carga de la esfe-ra, situada en su centro.

El potencial en el exterior de la esfera es igual al producido por su carga situada enel centro de ella, mientras que para puntos interiores es constante e igual al de susuperficie.

Considerando el radio de la esfera, de 0,05 m, para los casos propuestos tenemos:

a) El punto es exterior, ya que:

r = 12 cm = 0,12 m > 0,05 m

Por tanto, la esfera se comporta como si toda su carga estuviese concentrada ensu centro. Los valores del campo y del potencial son:

E = K = 9 109 = 2 500 N/C

V = K = 9 109 = 300 V

b) Como r = 5 cm, el punto est en la superficie de la esfera y se puede considerarcomo un punto exterior; por tanto, el valor del campo y del potencial son:

E = K = 9 109 = 14 400 N/C

V = K = 9 109 = 720 V

c) Si r = 3 cm, el punto es interior, por lo que el campo en este punto es nulo y el po-tencial es constante y del mismo valor que en su superficie; entonces, su valor es:

V = 720 V

4 109

0,05

q

r

4 109

0,052q

r

4 109

0,12

q

r

4 109

0,122q

r2

qe

q2 e

0,0294

3 106F

e

q


34. En un punto, P, exterior a una esfera fija y uniformemente cargada de ra-dio 20 cm, el potencial elctrico vale 150 V y el valor del campo elctrico es250 N/C. Calcula: a) La carga de la esfera y la distancia entre su centro y el pun-to P. b) La velocidad de una partcula cargada (m = 2 mg y q = 30 nC) cuandochoca con la superficie de la esfera, si se suelta en reposo en el punto P.

a) El valor del campo elctrico producido por la esfera en el punto P, situado a unadistancia r del centro de esta, es:

E = K 8 250 = 9 109

Y el valor del potencial en ese punto es:

V = K 8 150 = 9 109

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones, obtenemos la distancia delcentro de la esfera al punto P:

= = = r 8 r = 0,6 m

Y sustituyendo en la expresin del potencial, obtenemos la carga de la esfera:

150 = 9 109 8 Q = 1 108 C

Por tanto, la carga de la esfera es de 10 nC y el punto P est a 60 cm de su centro.

b) La partcula parte del reposo, vP

= 0, y el potencial en un punto, M, situado en lasuperficie de la esfera es:

V = K = 9 109 = 450 V

La partcula se encuentra sometida nicamente a la fuerza elctrica que producela esfera sobre ella, y al ser esta fuerza conservativa, se cumple el principio deconservacin de la energa mecnica:

Ec+ E

p= cte 8 E

cP+ E

pP= E

cM+ E

pM

m vP2 + q V

P= m v

M2 + q V

M

Sustituyendo y despejando, obtenemos la velocidad de la partcula al chocar con laesfera:

(30 109) 150 = 2 106 vM2 + (30 109) 450 8 v = 3 m/s

35. Dos hilos paralelos cargados uniformemente estn separados 40 cm. Si lasdensidades lineales de cada uno son l

1= 2 nC/m y l

2= 6 nC/m, calcula dn-

de se anula el campo elctrico producido por ambos hilos si su carga:

a) Es del mismo signo.

b) Es de distinto signo.

Para que se anule el campo, se ha de cumplir que:

E8

= E8

1+ E

8

2= 0 8 E

8

1= E

8

2

1

2

1

2

1

2

1 108

0,2

q

r

Q

0,6

150

250

V

E

Qr

qr

Q

r2q

r2

9 109 Qr

9 109 Q

r2


a) Teniendo en cuenta la forma radial de las lneas del campo producido por un hi-lo cargado, si los conductores estn cargados con cargas del mismo signo, elcampo solo se puede anular en un punto situado entre ambos hilos (realmente,una lnea de puntos paralela a los hilos), pues es en esa zona donde los camposproducidos por cada hilo tienen sentidos opuestos, como se muestra en la figura:

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

E2

1 2

d1 d2

d

E1

Por tanto, el campo se anula en los puntos en que los mdulos sean iguales. Te-niendo en cuenta la expresin del campo producido por una distribucin rectil-nea de carga, tenemos:

E1= E

28 = 8 =

= 8 = 8 2 d2= 6 d

18 d

2= 3 d

1

Y como el punto ha de estar entre los hilos, se cumple que:

d1+ d

2= 40 8 d

1+ 3 d

1= 40 8 d

1= 10 cm

El campo se anula a 10 cm del hilo de menor densidad de carga y a 30 cm del demayor densidad.

b) Si los hilos estn cargados con cargas de distinto signo, entonces el campo seanula en una lnea paralela a ambos hilos situada fuera de la zona entre ellos yms cerca de la lnea de menor densidad de carga, como se muestra en la figura.

6

d2

2

d1

6 109

d2

2 109

d1

l2

d2

l1

d1

l2

2 pi e d2

l1

2 pi e d1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

E1

1 2

d1

d

' E2'

'

d2'


Por tanto, en los puntos de esa lnea se cumple que:

d2 d

1= 40

Y como los mdulos de ambos campos tienen que ser iguales:

E1= E

28 = 8 = 8

8 = 8 d2= 3 d

1

3 d1 d

1= 40 8 d

1= 20 cm

El campo se anula a 20 cm del hilo de menor densidad y a 60 cm del de mayordensidad.

6 109

d2

2 109

d1

l2

d2

l1

d1

l2

2 pi e d2

l1

2 pi e d1

06-campoelectrico3

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