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Clase 05: Lenguajes regulares
Solicitado: Ejercicios 03: Lenguajes regulares
1M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez
http://computacion.cs.cinvestav.mx/~efranco
@efranco_escom
Contenido
• Lenguajes regulares
• Definición formal de lenguaje regular
• Expresiones regulares
• Propiedades algebraicas de las expresiones
regulares
• Precedencia de las operaciones con las
expresiones regulares
• Ejemplos
• Ejercicios 03: Lenguajes regulares2
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Lenguajes regulares
Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• Un lenguaje es un conjunto de palabras (cadenas)
de un determinado alfabeto �.
• Los lenguajes más sencillos que formalmente se
consideran son los lenguajes regulares.
• Un lenguaje regular se puede generar a partir de
lenguajes básicos, con la aplicación de las
operaciones de unión, concatenación y * de Kleene
un número finito de veces.
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Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• Los lenguajes regulares se llaman así porque sus
palabras contienen “regularidades” o repeticiones
de los mismos componentes.
• P.g.
• L1 = {ab, abab, ababab, abababab, . . .}
• En este ejemplo se aprecia que las palabras de L1 son
simplemente repeticiones de “ab” cualquier número de
veces. Aquí la “regularidad” consiste en que las palabras
contienen “ab” algún número de veces.
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Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• Un lenguaje regular es un tipo de lenguaje formal quesatisface las siguientes propiedades:
• Puede ser reconocido por:
• Un autómata finito determinista
• Un autómata finito no determinista
• Un autómata de pila
• Un autómata finito alterno
• Una máquina de Turing de solo lectura
• Es generado por:
• Una gramática regular
• Una gramática de prefijos
• Es descrito por:
• Una expresión regular5
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Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• P.g.
• L2 ={abc, cc, abab, abccc, ababc, . . .}
• La regularidad en L2 consiste en que sus palabrascomienzan con 0 o más repeticiones de “ab”, seguidasde repeticiones de 0 o más “c”.
• Similarmente es posible definir muchos otroslenguajes basados en la idea de repetir esquemassimples.
• Adicionalmente a las repeticiones de esquemassimples, vamos a considerar que los lenguajesfinitos son también regulares por definición. Porejemplo, el lenguaje L3 = {anita, lava, la, tina} esregular.
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Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• Finalmente, al combinar lenguajes regulares
uniéndolos o concatenándolos, también se obtiene
un lenguaje regular.
• P.g.
L1 ∪ L3 = {anita, lava, la, tina, ab, abab, ababab, abababab, . . .}
• También es regular una concatenación como L3L3 =
{anitaanita,anitalava, anitala, anitatina, lavaanita,
lavalava, lavala, lavatina, . . .}
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Definición formal de lenguaje regular
• Un lenguaje regular sobre un alfabeto Σ dado se define
recursivamente como:
• El lenguaje vacío Ф es un lenguaje regular
• El lenguaje cadena vacía {ε} es un lenguaje regular
• Para todo símbolo a ∈ Σ {a} es un lenguaje regular
• Si A y B son lenguajes regulares entonces A ∪ B (unión), AB
(concatenación) y A* (cerradura de Kleene) son lenguajes
regulares
• Si A es un lenguaje regular entonces (A) es el mismo lenguaje
regular
• No existen más lenguajes regulares sobre Σ
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• Definición: Un lenguaje L es regular si y solo si secumple al menos una de las condicionessiguientes:
i. L es finito (Estos son lenguajes obviamente regulares y uno podría
crear expresiones regulares que serían la unión de todas las palabras dellenguaje que definirían dicho lenguaje.)
ii. L es la unión o la concatenación de otros lenguajesregulares R1 y R2, L = R1 ∪ R2 o L = R1R2 respectivamente
iii. L es la cerradura de Kleene de algún lenguaje regular,L=R*
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• Todo lenguaje formal finito constituye un lenguaje
regular.
• Un lenguaje formal infinito puede ser regular o no regular.
El lenguaje L = {an, n > 0} es regular porque puede ser
representado, por ejemplo, mediante la expresión regular
a+.
• El lenguaje L= {an bn, n > 0} es un lenguaje no regular dado
que no es reconocido por ninguna de las formas de
representación anteriormente enumeradas.
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Expresiones regulares• Una expresión regular es una forma abreviada de
representar cadenas de caracteres que se ajustana un determinado patrón. Al conjunto de cadenasrepresentado por la expresión r se lo llamalenguaje generado por la expresión regular r y seescribe L(r).
• Una expresión regular se define sobre un alfabetoΣ y es una cadena formada por caracteres dedicho alfabeto y por una serie de operadorestambién llamadas metacaracteres.
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Compiladores (Análisis Léxico II - Edgardo A. Franco)
• Las expresiones regulares se introducen paradescribir los lenguajes regulares, entonces lasexpresiones regulares serán metalenguajes i.e. lasexpresiones regulares son un metalenguaje paradescribir los lenguajes regulares.
• Una expresión regular, a menudo es llamada
también patrón, y es una expresión que describe un
conjunto de cadenas sin enumerar sus elementos.
• P.g., el grupo formado por las cadenas Handel, Händel y
Haendel se describe mediante el patrón : H(a|ä|ae)ndel.
*Metalenguaje: Lenguaje para hablar de otro lenguaje.
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• Las expresiones regulares básicas sedefinen de la siguiente forma:
A. El símbolo Ф (conjunto vacío) es una expresión regular yL(Ф)={ }
B. El símbolo λ (palabra vacía) es una expresión regular yL(λ)={λ}
C. Cualquier símbolo a ∈ Σ es una expresión regular yL(a)={a}
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• A partir de las expresiones regulares básicaspueden construirse expresiones regulares máscomplejas aplicando las siguientes operaciones:
1. Concatenación (se representa con el
metacarácter ·): Si r y s son expresiones regulares,
entonces r.s también es una expresión regular y
L(r·s)=L(r)·L(s).
• El operador "·" puede omitirse de modo que rs también representa
la concatenación.
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• La concatenación de dos lenguajes L1 y L2, seobtiene concatenando cada cadena de L1 contodas las cadenas de L2.
• P.g. 1• Σ={0,1}
• L1={00,1}
• L2={11,0,10}
• L1L2={0011,000,0010,111,10,110}
• P.g. 2• L(ab)={ab}
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2. Unión (se representa con el metacarácter |): Si r
y s son expresiones regulares, entonces r|s
también es una expresión regular y L(r|s) = L(r) ∪L(s).
• P.g.• El leguaje generado por la expresión regular ab|c es
L(ab|c)={ab,c}
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3. Cierre o clausura estrella (cerradura deKleene) (se representa con el metacarácter *): Sir es una expresión regular, entonces r* también
es una expresiones regular y L(r*)=L(r) *.
�∗ ����
��Donde Li es igual a la concatenación de L consigomismo i veces y L0 =λ.
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• Si a es una expresión regular, entoncesa* es una expresión regular quedenota {a}* i.e.
L(a*)={λ, a,aa,aaa,…,aaaaaa…a}
• P.g.• El leguaje generado por la expresión regular
a*ba* es L(a*ba*)={b,ab,ba,aba,aab,…}
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4. Cierre positivo (se representa con elmetacarácter +): Si r es una expresión regular,entonces r+ también es una expresiones regular yL(r+)=L(r) +.
�� ����
� Donde Li es igual a la concatenación de L consigomismo i veces y no se incluye a L0 =λ.
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• Si a es una expresión regular, entonces a+
es una expresión regular que denota {a}+
i.e.
L(a+)={a,aa,aaa,…,aaaaaa…a}
• P.g.• El leguaje generado por la expresión regular
a+ba+ es L(a+ba+)={aba,aaba,aabaa,aaaba,…}
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• La concatenación es asociativa (rs)t=r(st)
• La concatenación se distribuye sobre: r(s|t)=rs|rt y
(s|t)r=sr|tr
• La unión es conmutativa: r|s = s|r
• La unión es asociativa: (r|s)|t=r|(s|t)
• λ es el elemento identidad para la concatenación λ r=r λ=r
• La relación entre λ y * es: r*=(r| λ)*
• r* es idempotente r**=r*21
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Propiedades algebraicas de las expresiones regulares
• Se permite el uso de paréntesis para indicar la
precedencia de las operaciones, pero cuando no se
utilizan paréntesis para evaluar una expresión
regular, hay que tener en cuenta el siguiente orden
de precedencia:
1. Uso de paréntesis
2. Operación cierre y cierre positivo
3. Operación concatenación
4. Operación unión o alternativa
Precedencia de las operaciones con las expresiones regulares
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EjemplosEjemplo 1• ∑ ={a, b}
i. a|b denota el lenguaje L(a|b)={a, b}.
ii. (a|b)(a|b) denota a L((a|b)(a|b))={aa, ab, ba, bb},el lenguaje de todas las cadenas de longitud dossobre el alfabeto∑.
iii. (a|b)(a|b) =aa|ab|ba|bb
iv. L(a*)={ λ, a, aa, aaa, …}, todas las cadenas decero o más a 's.
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Ejemplo 2
• (a)|((b)*(c)) = a|b*c• Descripción:
• Conjunto de cadenas que son una sola a o cero o
más b'sseguidas por una c.
• Algunas cadenas del lenguaje:
• L(a|b*c)={a,c,bc,bbc,bbbc,bbbbc,…}
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Ejercicios 03: Lenguajes regularesDescriba los lenguajes generados por las siguientesexpresiones regulares y enumere al menos 20cadenas de cada lenguaje. ∑ ={a, b, c, d, e, …,z}
1. (ab)|(cz)|d*
2. a+b+c | b+d z
3. (abc)*z
4. (a|b)*+|a
5. (ab)+ (bc)+
*Se entregarán antes del día Miércoles 28 de Agosto de 2013 (23:59:59 hora limite) .
*Incluir la redacción de cada ejercicio
*Portada y encabezados de pagina.25
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