05 funciones y graficos
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x3
x2
x1
t=1 t=2 t=3 t=4
v0
a = cte.x0
origen
x
1 2 3 4 50
1
x0
x2
x3
x4
2
0 0
a tx x v t
2= + +
1
FUNCIONES Y GRÁFICASLas funciones son relaciones entre dos o más
variables expresadas en una ecuación algebraica.
Por ejemplo, la expresión y = 2x relaciona la variable
y con la variable x mediante una regla de
correspondencia que dice que a la variable y le
corresponde un valor igual al doble del valor de la
variable x .
En las funciones se acostumbra expresar el valor de
una sola variable, llamada variable dependiente, en
función de todas las demás, llamadas variables independientes. En el ejemplo
anterior y es la variable dependiente y x es la variable independiente.
Las variables independientes pueden tomar valores arbitrarios, mientras que la
variable dependiente toma valores que dependen de los valores que tomaron lasvariables independientes, de acuerdo a la regla de correspondencia.
En nuestros estudios de física, tambin necesitamos relacionar las magnitudes de
un fenómeno físico, así que podemos usar el concepto matemático de función y
decir que las magnitudes de un fenómeno físico se relacionan como funciones.
! manera de ejemplo podemos "ablar del movimiento acelerado de un auto sobre
una pista recta. Las magnitudes físicas o variables del movimiento en este caso son
la velocidad del ve"ículo, su aceleración, su posición, y el tiempo transcurrido
durante el movimiento.
Movimiento rectilíneo acelerado de un auto Gráfica de la o!ici"n del auto
#ntuitivamente podemos darnos cuenta que la posición está relacionada con el
tiempo transcurrido, Esta relación puede expresarse matemáticamente como$
%e esta forma se dice que la posición x es una función del tiempo t , o en forma másabreviada, )t ( f x = . En este ejemplo x 0 , v 0 , y a, son constantes.
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θm=a
3
X
m>0
X
m=0
X
m<0
&i dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente, y si son
perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es )*
+ectas paralelas y perpendiculares
na función lineal representa en
física, entre otras cosas, un
ejemplo de función lineal es la
relación entre la posición y el
tiempo de un cuerpo que se
mueve a velocidad constante, tal
como se muestra en la -igura
'ráfica de la posición vs tiempo en +
/tro ejemplo, es la relación entre la
velocidad y el tiempo de un cuerpo
que se mueve con aceleración
constante, tal como se muestra
en la -igura
'ráfica de la velocidad vs tiempo en +0
t
θm=v
X
1 2 m =m1 2
X
! !1 2 m x m =#11 2
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Función Cuadrática
Esta función se expresa mediante la siguiente ecuación$2 xc xba y ++= la cual se
puede expresar convenientemente como$
2 )h x( C )k y( −=−
%onde 1h, k 2 representa las
coordenada del vrtice de la
parábola y C es una constante
que controla la mayor o menor
abertura de las ramas 1a mayor
valor absoluto de C las ramas
de la parábola están más
cerradas2.
&i C > 0 la parábola se abre
"acia arriba y si C < 0 laparábola se abre "acia abajo.
Parábola típica
Las figuras muestran varias parábolas en función de 3.
%iferentes tipos de parábolas en función de 3
v$rticex=%
y=&
X
'e
P(x, y)
0
X
0
c1 c2 c3
(%, &)y=&
x=%
c>c>c1 2 3
X
0
c2
(% , & )1 1 1
y=&2
x=%2
c > * c <1 2
x=%1
y=&1
(% , & )2 2 2
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Inter!eccione! de #ráfica!
En muc"os casos estamos interesados en determinar las coordenadas de los puntos
de intersección de las gráficas de dos funciones. Por ejemplo, podemos estar
interesados en determinar el punto de intersección de la recta y la parábola definidas
por$
y = x
y = ( x - 2) 2
&ea P el punto de intersección buscado,
con coordenadas 1 x 0 , y 0 2. Este punto es
tal, que sus coordenadas satisfacen las
reglas de correspondencia de ambas
funciones, por lo que podemos escribir$
y 0 = x 0 4444444. 1*2
y 0 = ( x 0 - 2) 2 ................. 152
#ntersección de dos gráficas
Luego, se puede resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado
por las ecuaciones 1*2 y 152, y determinar los valores de x 0 e y 0 . En nuestro caso,
debido a que la ecuación 152 es cuadrática, encontraremos dos soluciones$
1 x 0 , y 0 2 = (1, 1) y 1 x 0 , y 0 2 = (4, 4). Estos resultados indican que existen dos puntos de
intersección, tal como se ve en la figura -igura.
E$EM%&OS
%ro'lema ()* /btener la ecuación de la recta
que corta a la parábola de vrtice 016, 752, tal
como se muestra en el gráfico.
a2 y 8 5x ) 59:
b2 y 8 5x ) *;
c2 y 8 x < *;
d2 y 8 7x ) ;,=
e2 y 8 x ) >
&olución$
La ecuación de la parábola es$ 2 )h x( C )k y( −=− . Para resolver el
problema tenemos que encontrar primero los valores de ?, ", y 3.
%el gráfico$ " 8 6 y ? 8 7 5
sando estos valores y recordando que las coordenadas del punto + satisfacen la
ecuación de la parábola$
X
P(x , y )0 0
X
#2
4Q P
+
0
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6
@> 7 1 7 52A 8 3 1; ) 62 5 → 3 8 < *95
%e donde la ecuación de la parábola es$ 2 )4 x( 2 / 1 )2 y( −=+
!"ora calcularemos las coordenadas del punto P que pertenece a la parábola$
1; < 52 8 *95 1x ) 62 5 → x 8 7 5 < 6 8 5 1punto B2
x 8 ±5 < 6 → x 8 < 5 < 6 8 > 1punto P2
La ecuación de la recta pedida es$ y 8 m x < b, donde debemos encontrar m y b.
3alculamos m usando los puntos 0 y P que pertenecen a la recta$
14-6
(-2)-0
x x
y y
x
y m
V P
V P ==
−
−=
∆
∆=
La ecuación de la recta queda entonces como$ y 8 x < b
Cambin, como el punto P pertenece a la recta, sus coordenadas deben satisfacer
su ecuación$ ; 8 > < b → b 8 7 >
-inalmente, la ecuación de la recta pedida es$ y 8 x 7 >
%ro'lema +)* &i se sabe que el área del
triangulo !/D es de m5, determine la
ecuación de la recta que pasa por los
puntos ! y D.
a2 y < x 8 6 b2 y 8 5x ) *
c2 y 8 x ) * d2 y 7 x 8 5
e2 y 7 x 8 6
Solución
%e los datos tenemos que$5
/!x6
5
/!x/D mEárea 5
=== → /! 8 6m
La ecuación de la recta es$ y 8 m x < b donde la pendiente es m 8 ∆y 9 ∆x
En nuestro caso$ -10-4
4-0
x x
y y
x
y m
A B
A B==
−
−=
∆
∆=
Por otro lado, puesto que /! 8 6, entonces b 8 6
Po! lo "u# la #cuación #$ y = - x % 4
%ro'lema ,)* Las rectas L* y L5, de pendientes m* y m5, cortan al eje de ordenadas
en los puntos 1;,F2 y 1;,*2 respectivamente. &i ambas rectas se interceptan en el
punto 1*, F952 Gcuál es la relación de m59m*H
a2 *9F b2 )*9F c2 F d2 7 59F e2 )F96
X(m)40-
.
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7
&olución$
3alculamos las pendientes$
3/2-0-1
3-3/2
x x
y y
x
y m
R P
R P 1 ==
−
−=
∆
∆=
1/20-1
1-3/2 x x
y y x
y m
Q P
Q P
2 ==−
−
=∆
∆
=
luego$ 1/3-3/2-
1/2
m
m
1
2==
%ro'lema -)* El movimiento de una
partícula sigue las trayectorias parabólicas
mostradas. &i la ordenada del vrtice de lasegunda parábola es la mitad de la
ordenada del vrtice de la primera y el de
sta es 6, Iallar la ecuación de la segunda
parábola sabiendo que % no es vrtice de
la primera parábola y tiene coordenadas
1F, *2. La distancia !3 8 = m.
a2 y < 5 8 7 59J 1x 7 :2 5 b2 y ) > 8 *95 1x 7 2 5 c2 y ) 5 8 7 *9 1x 7 >2 5
d2 y ) 5 8 759J 1x 7 :2 5 e2 y ) 5 8 7*9F 1x < :2 5
&olución$
&abiendo que las ordenadas de los vrtices de las parábolas son en realidad los
valores de las constantes ?* y ?5 en su ecuación general, y que las coordenadas de
los puntos D y % satisfacen la ecuación de la primera parábola$
X30 21
1
2
3
4
P(1, " )3 2
!2
!1
/
-
/( % , & ). 3
x- x=%2
3
4( % , & )1 1
x
X(m)
(m)
(% , & )2 2 2
D 3 !
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8
En la primera parábola $ En la segunda parábola $
y 7 6 8 3 x 5 → y ! 8 F y x ! 8 * ?5 8 ?* 9 5 8 6 9 5 8 5
y 8 6 ) x 5 → xD 8 5 x3 8 x ! < !3 8 x ! < = 8
entonces D3 8 > y "5 8 xD < D3 9 5 8 5 < > 9 5 8 :
Por consiguiente, usando estos datos y sabiendo que el punto D pertenece a laparábola 5$
2
222 )h x( C )k y( −=− → 2
2 )52( C )20( −=− → 35 8 7 5 9 J
-inalmente, la ecuación de la parábola 5 es$2
)5 x( 9 / 2 )2 y( −−=−
%ro'lema .)* %ados los puntos P1*,52, B15,62, y +16,62, "alle la ecuación de la recta
que pasa por P y por el punto medio del segmento B+.
a2 Fy 8 x < * b2 Fy 8 5x < * c2 5y 8 Fx < * d2 Fy 8 x < 5 e2 5y 8 Fx < 5
&olución$
Para encontrar la ecuación de la recta$
y 8 m x < b necesitamos la pendiente y la
intersección b.
La pendiente m se determina conociendo los
puntos P y &, y de la figura$ P1*, 52 y &1F,:2
Luego$
3/21-32-5
x x y y
x y m
P
P ==−
−=
∆
∆=
+eempla(ando en la ecuación de la recta las coordenadas del punto P$
y 8 F95 x < b → 5 8 F95 1*2 < b → b 8 * 9 5
-inalmente$ y 8 F95 x < *95
2 3 4 5
1
2
3
4
5
P
Q +
X