Dr. Eberardo Osorio Rojas

FISICA I

Módulo: 2 Unidad: II Semana:04

MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu

Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0

Aceleración normal o centrípeta a N – V2

R

Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento

uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE

DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR

UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO

INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS

DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER

LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN

DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA

X,Y.

Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo

11

P1

r1

P2

r2

s

r i

v

v

Magnitudes angulares

R

R

El vector velocidad es siempre tangente

a la trayectoria y normal al vector

v

r

El vector de posición cambia de

dirección. Cumple que = R

r

r

| |

Su trayectoria es una circunferencia de

radio R

Una circunferencia completa 360° 2 rad

Por definición R

s Se mide en rad

t

(rad/s) ó bien 1 rpm = rad/s

60

2

cteRt

R

t

sv

= cte (por ser R cte)

La ecuación del movimiento es:

)tt(t

00

Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta

completa y se mide en segundos

Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por

unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también se

llaman Herzios (Hz)

V=ω.R

El período y la frecuencia son inversos:

Tiempo (s) número de vueltas

T (periodo) 1 vuelta

1 segundo f (frecuencia)

despejando T= 1

f = 2п

T

13 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y

angular, que varían de forma constante con el tiempo

La ecuación del movimiento es: t

2

1t

2

00

t0

magnitud lineal= magnitud angular por radio

S(espacio en metros)= ( ángulo en rad ) .R

V(velocidad)= (velocidad angular ).R

aT (aceleración tangencial) = (aceleración angula). R

. R = aT

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

(MCU)

R

v

v

t = t

t = 0

s Cuando: t = T (Periodo)

R = Radio

= 2/T (radianes/seg)

v = .R

Velocidad o frecuencia angular ()

Velocidad(v )

PERÍODO

Es el tiempo que demora el móvil en dar una vuelta.

Donde:

T = Periodo (seg)

FRECUENCIA. Es la inversa del periodo.

Unidad de la Frecuencia: Hertz (Hz) = 1/s = s-1

Tf

1

T = 2π r

v =

2π r

ωr =

2π

ω

Velocidad Angular, w

• Se denomina velocidad angular media al cociente

entre el desplazamiento angular y el tiempo.

tttw

ttt

ANGULO

COMPLETO

•Por tanto, el ángulo completo α, de una circunferencia

de radio r, medido en radianes, es:

•Su símbolo es rad.

22

r

r

radio

fLongCircun

03602 radianes

0

0

32.5714.3*2

3601 rad

1 revolución=360°

Prob. Calcular el periodo de revolución de un disco

que gira a 45 RPM, en seg. Solución:

= 2/T (radianes/seg)

seg

rad

seg

uto

revolucion

radianes

uto

esrevolucion 71.4

60

min1

1

2

min

45

segsegrad

radT

T3.1

/71.4

222

La aceleración centrípeta

En un movimiento circular uniforme la el vector velocidad cambia de

dirección, luego hay una aceleración:

LA ACELERACIÓN CENTRIPETA O NORMAL (aN)

a N = v2

r a N = ω2 r

Unidades : m / s2

a) Un punto se mueve por una circunferencia de radio igual 2.45 cm . La

relación entre el camino recorrido s y el tiempo t viene expresada por :

s=ct³ donde c=0.145 cm/s³. Hallar la velocidad tangencial, normal y total

si la velocidad lineal es 0.457 m/s.

6 cm/s²

Calcular la aceleración resultante si la aceleración tangencial es 6 cm/s²

y la aceleración normal es 450 cm/s²

450.04 cm/s²

Longitud de arco

La longitud de arco se define como:

Longitud de arco = (Circunferencia del círculo) x Ángulo formado por el arco

Ángulo alrededor del círculo total

totalánguloR

2

Cuando el ángulo se mide en radianes, el ángulo total es 2 y la longitud del arco es

RRarcodellongitud

22

Periodo y frecuencia

Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama

periodo (T) está dado por

2R = vT

222

R

R

v

RT

La frecuencia es el recíproco del periodo

f = 1/T = /2

La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz

(Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).

Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.

Ejemplo Calcule la velocidad angular, la rapidez, la frecuencia, la aceleración

correspondiente en un punto del ecuador de la tierra si el periodo es 24 horas y

radio de la tierra es r = 6.4 x 106 m

El periodo es 24 h o sea

T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s

La frecuencia es

f = 1/T = 1.16 x 10–5 Hz

El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es

v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s

La velocidad angular es

= 2f = 2(1.16 x 10–5) = 7.3 x 10–5 rad/s

La aceleración normal es

a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2

MOVIMIENTO CIRCULAR NO

UNIFORME

Si una partícula se mueve en una trayectoria curva (no necesariamente circular) experimenta una aceleración radial dada por

av

rr

2

donde r es el radio de curvatura en el punto dado.

Cuando la velocidad también varia habrá una aceleración a lo largo de la tangente a la trayectoria, dada por:

ad v

d tt

Continuación

La aceleración resultante es la suma vectorial de las dos anteriores

a = ar + at

la magnitud de a es:

Si y son vectores unitarios en la dirección en que crece

y en la dirección radial, la aceleración puede expresarse como:

a a ar t

2 2

12

r

a a a r r t

v

r

d v

d t

2

Movimiento en una trayectoria

curva

La aceleración se descompone en radial y tangencial.

La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.

La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad.

at

a ar

ar a

at

Ángulo

R: radio de la circunferencia

V: vértice o eje de rotación

S

R

R

v recta

recta

S: arco de circunferencia

: ángulo

= S ⁄ R

El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado vértice se define como el cociente entre el arco de circunferencia y el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego, a (alfa); b (beta); g (gama); q (teta); f (fi), etc.

Ángulo, radianes y revolución

= 3600 = S ⁄ R = 2R ⁄ R = 2 radianes = 1 revolución

Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la

circunferencia en 360 partes iguales para obtener la

equivalencia de un grado en radianes

10 = 2 ⁄360 = ⁄180 = 3.1416 ⁄ 180

10 = 0.01745 rad.

3600 = 1 rev.= 2 rad

Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:

1 rad = 57.30

Rapidez.

Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o valor numérico del

vector velocidad, por lo tanto es siempre positiva.

Ejemplos:

Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varia con el tiempo de acuerdo

a la expresión: X=-4t + 2t^2 donde x esta en metros y t en segundos. La grafica para

este caso se ilustra en la figura. Nótese que la partícula se mueve en la dirección x

negativa para el primer segundo de movimiento, esta momentáneamente en reposo en

el instante t = 1s, y se mueve en la dirección x positiva en los tiempos t > 1s.

a) Determine el desplazamiento

de la partícula en los

intervalos t=0 a t=1s, y

t =1s a t = 3s.

b) Calcule la velocidad

promedio durante estos

dos intervalos.

c) Encuentre la velocidad

instantánea de la partícula t

= 2.5 s.

UAP

solución

a) Entre A y B la pendiente es negativa, entonces de aquí se deduce que

la velocidad es negativa en estos puntos.

En el primer intervalo, hacemos y

De la ecuación Remplazando el valor de el tiempo en ese

intervalo

Para calcular el desplazamiento durante el segundo intervalo

UAP

b) En el primer intervalo

En el segundo intervalo

c) En este intervalo lo que se hace derivar la ecuación , para obtener la

velocidad instantánea

UAP

b) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos.

c) Encuentre la velocidad instantánea de la partícula t = 2.5 s

v= -4 + 4t

Ejemplo.- Una partícula se mueve en dirección x > 0 durante 10 s con rapidez

constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular:

a) Su desplazamiento en los primeros 10 s.

b) La aceleración media en cada intervalo de tiempo.

c) La rapidez media del movimiento.

Solución

UAP

PROBLEMA

El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta, viene definido por la relación

,donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular el tiempo, posición y aceleración cuando v=0

273615223

tttX

SOLUCIÓN:

V=dx/dt=

a=dv/dt =

Cuando v=0 ;

Factorizando (t-3)(t-2)=0

Luego la velocidad se hace cero cuando t=2s y t=3s

273615223

tttX

PARA t=2s :

x= ;x=1m

a= 12(2)-30= -6 ;a=-6m/s2

PARA t=3s :

x= ;x=0 m

a=12(3)-30=6 ;a=6m/s2

Movimiento de proyectiles

Para el movimiento de proyectiles

supondremos que la aceleración es

constante y dirigida hacia abajo, además

despreciaremos la resistencia del aire.

Ecuaciones del movimiento

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en

cualquier tiempo son:

x = vx0t = v0 (cos 0 )t

y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen 0)t – ½ gt2

cos0

V

Xt

20

2

2

0

0

cos2

1

cos V

Xg

V

XSenVY

Se descarga agua con una velocidad inicial de 24 m/s, Sabiendo que la boquilla esta situada a 18m de un edificio. Calcular la altura máx. que puede alcanzar el agua, también calcular el ángulo α .

α

Vo = 24m/s

18m

GRAFICO:

RESOLUCIÓN:

Elegimos un punto A como origen de un sistema de coordenadas x-y.

x

y

18m

α

A

B

Vo

MOVIMIENTO HORIZONTAL

(Vo)x = 24 cos α x=(24 cos α)t

EN EL PUNTO B: x = d = 18m

18 = (24cos α)t , t = 3

4 cos α MOVIMIENTO VERTICAL

(Vo)y = 24 sen α

y=(24 sen α)t – (1/2) g t²

2

EN EL PUNTO B:

y = h , t = 3

4 cos α

Reemplazando valores en la expresión anterior tenemos:

h = (24 sen α) ( 3 ) - 4.9 ( 3 )²

4 cos α 4 cos α

h = 18 tang α - 2.76 sec²

Desde que: 1 = sec² α = 1 + tang² α cos α²

20

2

2

0

0

cos2

1

cos V

Xg

V

XSenVY

Reemplazando el valor tangencial para poder derivar sin problema:

h = 18 tang α – 2.76 – 2.76tang² α

h = 18 z – 2.76 – 2.76z²

Dh = 18 – 5.52 z = 0

18 = 5.52 z

z = 3.26

OJO: Tang α = z

La altura máxima : h = 18 z – 2.76 – 2.76z²

h = 18 (3.26) – 2.76 – 2.76(3.26)

h = 58.68 – 2.76 – 8.99

h = 46.53 m

α = 88.76°

CAIDA LIBRE

GRAVEDAD: Con el fin de distinguir la caída libre de los demás movimientos acelerados se ha adoptado designar la aceleración de dicha caída con el valor g= 9.8 m/seg2 = 980 cm/seg2

PROPIEDADES:

1)Respecto a un nivel de referencia el modulo de velocidad de subida es igual al modulo de velocidad de bajada.

2)Los tiempos de subida y de bajada son iguales respecto al nivel de referencia.

• FORMULAS BASICAS EN CAIDA LIBRE:

1. V = V0 ± gt (-) SUBE ; (+) BAJA Donde: V es la velocidad final V0 es la velocidad inicial g es la aceleración de la gravedad t es el tiempo 2. H = V0t ± (1/2)gt2

Donde: H ES LA ALTURA • 3. V2 = V2

0 ± 2gH

1. Un hombre salta sin velocidad inicial desde un muro de 5 m. de altura ¿ Cuanto tiempo tardara en alcanzar el suelo ? Considere en la tierra g = 9.8 m/s2

Solución:

y = V0y. t + (1/2)gt2

5 m = 0 + (1/2)(9.8 m/s2) t2

• t2 = 1.02 seg.

• t = 1.01 seg.

Ejemplo.-

Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con

una velocidad de 98 m/s desde el techo de un edificio de

100 m de altura. Encontrar,

a) El tiempo necesario para alcanzar la máxima altura.

b) La máxima altura que alcanza (medida desde el suelo).

Entre A y B : de v = v0 – gt 0 = 98 – 9,8 t t = 10 s

Solución.-

Tomamos t0 = 0, cuando se lanza el cuerpo en A,

luego v0=98m/s ; y0=100m

v = 0

A

B

C

yB

100m

y

La altura en B es: de yB = y0 + v0 ( t ) - (½) g ( t )2

yB = 100 + 98 ( 10 ) - (½) (9,8 ( 10 )2 yB = 590m

FIN