04-homologia
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Universidad de Almería
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA RURAL
ÁREA DE EXPRESIÓN GRÁFICA EN LA INGENIERÍA
(Unidad docente de diseño y dibujo en la ingeniería)
http://www.ual.es/GrupInv/AGR-199
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Expresión Gráfica
Homología
GEOMETRÍA
Homología
DESCRIPTIVA PROYECTIVA MÉTRICA
1. Introducción.2. Elementos fundamentales de una homología.3. Casos particulares: homología general, afinidad, homotecia y traslación.4. Teorema de las tres homologías.5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano.6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana.
Homología
Homología
O
P
Homología
1. Introducción
Proyectar definir radiación
Homología
1. IntroducciónO
P
P
O
2
1P
P
O
A
B
C
A
B
C
F
F
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
P
P
O
A
B
C
A
B
C
F
F
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1. Las rectas que unen puntos homólogos concurren en un mismo punto O (centro de perspectividad o vértice de la homología)
2. Las rectas homólogas se cortan en puntos de una misma recta (eje de la homología)
Homología
2. Elementos fundamentales de una homología
A
A
B
B
C
C
F
F
P
P
11
1
2
22
1
2
1
2
E
O
A
A
B
B
C
C
F
F
L
P
P
11
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
A
A
B
B
C
C
F
F
L
P
P
11
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
Centro o vértice (O), Eje (E), Puntos impropios (), Rectas límite (L y J )
12
Homología
2. Elementos fundamentales de una homología
1F
F2
E L1
O
P2
P1
2J
Homología
3. Casos particulares de homología3.1 homología general
P
P
O
A
B
C
A
B
C
F
F
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
Homología
3. Casos particulares de homología3.2 Afinidad
A
2C
1C
1F
1P1B
2F
2A
B12
P2
Homología
3. Casos particulares de homología3.3 Homotecia
C22F
2A
2B
P
2P
1
1F1C1B
A1
O
Homología
3. Casos particulares de homología3.4 Traslación
C22F
2A
2B
P
2P
1
1F1C1B
A1
Homología
4. Teorema de las tres homologías
P1
PO1
F1
F
1A
B1 A
B
EP2
P1
PO1
2F
F1
F
O2
A2
2B
1A
B1 A
B
EP2
P1
PO1
2F
F1
F
O2
O
A2
2B
1A
B1 A
B
E
Homología
A'2
B'2
C'2
1A'
1B'1C'
E'
O'
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano
E
A
O
F
F
P
P
1
2
1
2
E
A
O
F
F
P
P
P
1
2
1
2
E
A
O
F
F
P
P
P
O'
F'
F'
E'
A'
1
2
1
2
1
2
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano
Formas de proyectar la homología espacial sobre un plano:
1. Desde un punto impropio sobre un plano cualquiera, según una dirección cualquiera.
2. Desde un punto impropio sobre el plano P1, según una dirección ortogonal al mismo.
3. Desde un punto impropio sobre el plano P2, según una dirección perpendicular al plano bisector de P1 y P2.
P
P
O
A
B
C
A
B
C
F
F
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el planoFormas de proyectar la homología espacial sobre un plano:
1. Desde un punto impropio sobre un plano cualquiera, según una dirección cualquiera.
PJ O
F
EFP
L
22
2
11 1
PJ O
D
F
EFP
L
Q
22
2
11 1
PJ O
D
F
EFP
L
Q
L'O'
E'F'J'F'
1
2
22
2
11 1
2
1
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el planoFormas de proyectar la homología espacial sobre un plano:
2. Desde un punto impropio sobre el plano P1, según una dirección ortogonal al mismo.
PJ O
F
FP
22
2
11 E L1
PJ O D
F
FP
22
2
11 E L1
PJ O D
F
FP
L'O'E'F'J'F' 12
22
2
11 21
E L1
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el planoFormas de proyectar la homología espacial sobre un plano:
3. Desde un punto impropio sobre el plano P2, según una dirección perpendicular al plano bisector de P1 y P2.
Propiedades que aparecen cuando se abate un plano sobre otro:
O
E
1A
1B
1P
G0A
B0
2P
O
E
1A
1B
1P
G0A
B0
2P
O
E
1A
1B
1P
G0A
B0
2P
W
W P1
P2 O G E
B1
A1
0A0B
Homología
5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el planoFormas de proyectar la homología espacial sobre un plano:
3. Desde un punto impropio sobre el plano P2, según una dirección perpendicular al plano bisector de P1 y P2.
P1
P2
L1
O
A1
B1
2A2J 2BE
WP1
P2
L1
O
A1
B1
2A2J 2BB00A E
WP1
P2
L1
O
A1
B1
2A2J 2BB00A EO0 1L
0
Homología
6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana
-Una homología queda definida si se conocen tres elementos de ella
-Si estos elementos son el centro, el eje y la primera recta límite definición canónica de la homología
-Si los datos son otros habrá que calcular los tres fundamentales
LLLL
Homología
6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana
6.1. Dados el centro O, el eje E y dos puntos homólogos A1 y A2.
(falta la recta límite L1).
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
R
R
R
R
R
R
L
Homología
6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana
6.2. Dados el centro O, el eje E y las rectas homólogas R1 y R2.
(falta la recta límite L1).
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
R
R
R
R
R
L
R
Homología
6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana
6.3. Dados el centro O, el eje E y la recta límite J2. (falta la recta límite L1).
A
A
B
B
C
C
F
F
L
J
P
P
1
2
1
1
2
22
1
2
1
2
E
O
1
J
E
J
R
E
J
R
R
E
J
LR
R
E
Homología
6. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana
6.4. Hallar el homólogo de ABC dado éste, el centro O, el eje E y la recta límite L1
L
C
L
C
L
C
L
C
C
L
C
C
L
C
C