04. eirm - estruturas-teoria e exercicios

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ESTTICA E MECNICA DOS MATERIAIS

Beer|Johnston|DeWolf|Mazurek

2014

Esttica dos Corpos Rgidos:Estruturas - Trelia

Prof. Dr. Antonio Wagner Forti

Departamento de Mecnica Bloco 2 Piso 1.

[email protected]




Contedo

Introduo

Definio de TreliaTrelias SimplesAnlise de Trelias pelo Mtodo

dos NsNs em Condies Especiais de

CarregamentoTrelias EspaciaisProblema Resolvido 6.1Anlise de Trelias pelo Mtodo

das Sees

Trelias Feitas de Vrias TreliasSimples

Problema Resolvido 6.3

Anlise de Estruturas

Estruturas que Deixam de SerRgidas Quando Separadas deseus Apoios


Mquinas


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Introduo Para problemas que tratam do equilbrio de estruturas feitas

de vrias partes unidas, asforas internas, assim como asforas externas devem ser determinadas.

Para a interao de partes unidas, a terceira lei de Newtonestabelece que asforas de ao e reao entre corpos queesto em contato tm a mesma intensidade, a mesma linha deao e sentidos opostos.

Trs categorias de estruturas de engenharia seroconsideradas:

a) Trelias: consistem em elementos retos sujeitos a duasforas e unidos em ns localizados nas extremidades de

cada elemento.b) Estruturas (Suportes): contm ao menos um elemento

sujeito a mltiplas foras, ou seja, um membro sobre oqual atuam 3 ou mais foras.

c) Mquinas: estruturas que contm partes mveis e que soprojetadas para transmitir e modificar foras.




Introduo Exemplo de Mquina

Mquinas so estruturas utilizadas paratransmitir e modificar foras. Sua principalfuno transformarforas de entrada emforas de sada.

Mquinas: estruturas que contm partesmveis e que so projetadas para transmitir emodificar foras.


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Definio de Uma Trelia

Uma trelia consiste em elementos retos unidos porns. Nenhum elemento contnuo atravs de um n.

comum supor que elementos unidos por meio deconexes aparafusadas, ou soldadas, sejam unidospor pinos. Portanto, as foras que atuam em cadauma das extremidades de um elemento se reduzem auma nica fora sem binrio.

A maioria das estruturas reais feita de vriastrelias unidas para formar uma estrutura espacial.Cada trelia sustenta cargas que atuam em seuplano e, portanto, pode ser tratada como umaestrutura bidimensional.

Quando as foras tendem a estirar o elemento, eleest sob trao. Quando as foras tendem acomprimir o elemento, ele est sob compresso.




Definio de Trelia

Em geral os membros de uma trelia so esbeltos epodem suportar pouca carga lateral. Portanto, todas ascargas devem ser aplicadas nos ns.


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Definio de Trelia




Definio de Trelia


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Definio de Trelia




Definio de Trelia


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Trelias Simples

Uma trelia rgida aquela que noir entrar em colapso sob a aplicaode uma carga.

Uma trelia simples obtida por meioda adio sucessiva de dois elementose um n a uma trelia triangular bsica.

Em uma trelia simples, m = 2n 3,sendo m o nmero total de elementose n o nmero total de ns.




Anlise de Trelias pelo Mtodo dos Ns Desmembramos a trelia e traamos um diagrama

de corpo livre para cada pino e cada elemento.

As duas foras que atuam em cada elemento tm aigual intensidade, a mesma linha de ao esentidos opostos.

As foras exercidas pelo elemento nos dois pinosligados a ele devem estar direcionadas ao longodesse elemento e serem iguais e opostas.

As condies de equilbrio aplicadas aos nsproporcionam 2n equaes para 2n incgnitas.Para uma trelia simples, 2n = m + 3. Portanto,podemos determinar m foras que atuam noselementos e 3 reaes de apoio.

As condies de equilbrio para a trelia inteirageram 3 equaes adicionais que no soindependentes das equaes dos ns.


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Ns em Condies Especiais de Carregamento Foras em elementos opostos que esto emduas linhas retas que se interceptam em um n

devem ser iguais. As foras em dois elementos opostos so

iguais quando uma carga alinhada com umterceiro elemento aplicada ao n que uneos trs. A fora no terceiro igual carga(incluindo carga nula).

As foras em dois elementos unidos por umn (sem carga aplicada) so iguais se oselementos esto alinhados e so zero em casocontrrio.

Identificar os ns em condies especiais decarregamento simplifica a anlise de uma trelia.





Usando o mtodo dos ns, determinea fora em cada elemento de treliamostrada na figura.

SOLUO:

A partir do diagrama de corpo livre da treliainteira, resolvemos as 3 equaes de equilbriopara obter as reaes de apoio em CeE.

O nA est sujeito s foras de apenas dois

elementos. Determinamos ento estas foraspor meio de um tringulo de foras.

Na sequncia, determinamos as forasdesconhecidas que atuam sobre os nsD,BeEao estabelecer o equilbrio dos mesmos.

As reaes de apoio e as foras de todos oselementos que chegam ao n Csoconhecidas. Entretanto, podemos verificarseu equilbrio para conferir os resultados.


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Problema Resolvido 6.1SOLUO:

A partir do diagrama de corpo livre da treliainteira, resolvemos as 3 equaes de equilbriopara obter as reaes de apoio emEe C.

( )( ) ( )( ) ( )m1,8m3,6N4.500m7,2N9.000

0

E

MC

+=

=

= N000.45E

== xx CF 0 0=xC

++== yy CF N45.000N4.500-N000.90

= N500.31yC





O nA est sujeito s foras de apenas doiselementos. Determinamos, ento, estas foras

por meio de um tringulo de foras.

534

N.0009 ADAB FF ==CF

TF

AD

AB

N250.11

N750.6

=

=

Agora h apenas duas foras desconhecidasno n D.

( ) DADEDADB

FF

FF

532=

=

CF

TF

DE

DB

N500.13

N250.11

=

=


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Agora h apenas duas foras desconhecidas atuandono n B. Arbitramos que ambas so de trao.

( )

N875.16

250.11500.405

4

5

4

=

==

BE

BEy

F

FF

CFBE N875.16=

( ) ( )

N625.23

875.16250.11750.605

3

5

3

+=

==

BC

BCx

F

FF

TFBC

N625.23=

H apenas uma fora desconhecida no nE.

Arbitramos que o elementoECest sob trao.

( )

N375.39

875.16500.1305

3

5

3

=

++==

EC

ECx

F

FF

CFEC N375.39=




Problema Resolvido 6.1 As reaes de apoio e as foras de todos os

elementos que chegam ao n Cso conhecidas.Entretanto, podemos verificar seu equilbriopara conferir os resultados.

( ) ( )

( ) ( )verificado0375.39500.31

verificado0375.39625.23

5

4

5

3

=+=

=+=

y

x

F

F


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Problema Proposto (4.4) Meriam 6a. Edio.






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Anlise de Trelias pelo Mtodo das Sees

Quando se deseja determinar a fora emapenas um elemento ou as foras em poucoselementos, o mtodo das sees maiseficiente.

Por exemplo , para determinar a fora em um

elementoBD, passamos uma seo atravsda trelia, como mostrado, e traamos umdiagrama de corpo livre para uma das partesresultantes do corte da trelia.

Com apenas trs elementos cortados pelaseo, as equaes de equilbrio podem seraplicadas para que se determinem as forasdesconhecidas, incluindo FBD.


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Trelias Feitas de Vrias Trelias Simples As trelias compostas ao lado so

estaticamente determinadas, rgidas ecompletamente vinculadas.

32 = nm

A trelia ao lado contm um elementoredundante e estaticamenteindeterminada.

32 > nm

Uma condio necessria, porm nosuficiente, para que uma treliacomposta seja estaticamentedeterminada, rgida e completamentevinculada :

nrm 2=+

no-rgida rgida

32 < nm

Reaes de apoio adicionais podemser necessrias para que uma treliase torne rgida.

42 = nm





Determine a fora nos elementos FH,GH, e GI.

SOLUO:

Tomamos a trelia inteira como um corpolivre e ento aplicamos as condies deequilbrio para determinar as reaes emA eL.

Passamos uma seo atravs doselementos FH, GHe GIe usamos aparteHLI da trelia como corpo livre.

Aplicamos as condies de equilbriopara determinar as foras nos elementosdesejados.


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SOLUO:

Tomamos a trelia inteira como um corpo livree ento aplicamos as condies de equilbriopara determinar as reaes emA eL.

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

=

++==

=

+

==

kN5,12

kN200kN5,7

m25kN1m25kN1m20

kN6m15kN6m10kN6m50

A

ALFL

L

M

y

A





Passamos uma seo atravs dos elementos FH,GHe GIe usamos a parteHLI da trelia comocorpo livre.

( )( ) ( )( ) ( )

kN13,13

0m33,5m5kN1m10kN7,50

0

+=

=

=

GI

GI

H

F

F

M

Aplicamos as condies de equilbrio paradeterminar as foras nos elementos desejados.

TFGI kN13,13=


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( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

kN82,13

0m8cos

m5kN1m10kN1m15kN7,5

0

07,285333,0m15

m8tan

=

=+

=

====

FH

FH

G

F

F

M

GL

FG

CFFH kN82,13=

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

kN371,1

0m10cosm5kN1m10kN1

0

15,439375,0m8

m5tan

32

=

=++

=

====

GH

GH

L

F

F

M

HI

GI

CFGH kN371,1=






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Anlise de Estruturas Estruturas e mquinas so estruturas nas quais pelo menos um

elemento est sujeito a mltiplas foras. Estruturas so projetadaspara suportar cargas e geralmente so estacionrias. Mquinascontm partes mveis e so projetadas para transmitir e modificarforas.

Um diagrama de corpo livre da estrutura completa utilizado paradeterminar as foras externas que nela atuam.

As foras internas so determinadas pelo desmembramento daestrutura e pela criao de um diagrama de corpo livre para cadacomponente.

As foras entre componentes conectados tm a mesmaintensidade, a mesma linha de ao e sentidos opostos.

As foras que atuam em membros sob a ao de duas foras tmlinhas de ao conhecidas, mas intensidade e sentidodesconhecidos.

As foras que atuam em elementos sob a ao de mltiplas forastm intensidades e linhas de ao desconhecidas. Elas devem serrepresentadas por seus componentesx ey desconhecidos.


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Estruturas que Deixam de Ser Rgidas Quando Separadas de seus Apoios

Algumas estruturas entraro em colapso se foremseparadas de seus apoios. Tais estruturas nopodem ser consideradas como corpos rgidos.

O diagrama de corpo livre da estrutura completaao lado mostra quatro componentes de foradesconhecidos que no podem ser determinados apartir das trs equaes de equilbrio.

Deve-se considerar a estrutura como feita de duaspartes rgidas distintas, porm relacionadas.

Com reaes iguais e opostas no ponto de contato

entre os dois elementos, os dois diagramas decorpo livre ao lado mostram 6 componentes defora desconhecidos.

As condies de equilbrio, aplicadas aos dois corposrgidos geram 6 equaes independentes.





Os elementosACEeBCD estoligados por um pino em Ce pelahasteDE. Para o carregamentomostrado, determine a fora na haste

DEe os componentes da foraexercida em Cno elementoBCD.

SOLUO:

Traamos um diagrama de corpo livre paraa estrutura completa e determinamos asreaes de apoio.

Traamos um diagrama de corpo livre para oelementoBCD. A fora exercida pela haste

DEtem linha de ao conhecida, masintensidade desconhecida. Ela determinadapela soma dos momentos em relao a C.

Conhecendo a fora na hasteDE, a soma dasforas nas direesx ey pode ser usada paraencontrar os componentes da fora em C.

Utilizando o elementoACEcomo um corpolivre, conferimos a soluo pela soma dosmomentos em relao aA.


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Problema Resolvido 6.4SOLUO:

Traamos um diagrama de corpo livre para aestrutura completa e determinamos as reaes deapoio.

N4800 == yy AF = N480yA

( )( ) ( )mm160mm100N4800 BMA +==

= N300B

xx ABF +== 0 = N300xA

== 07,28arctan150

80

Observao:




Problema Resolvido 6.4 Traamos um diagrama de corpo livre para o

elementoBCD. A fora exercida pela hasteDEtem linha de ao conhecida, mas intensidadedesconhecida. Ela determinada pela soma dosmomentos em relao a C.

( )( ) ( )( ) ( )( )

N561

mm100N480mm06N300mm250sen0

=

++==

DE

DEC

F

FM

CFDE N561=

A soma das foras nas direesx ey pode ser usada para encontrar oscomponentes da fora em C.

( ) N300cosN5610

N300cos0

+=

+==

x

DExx

C

FCF

N795=xC

( ) N480senN5610

N480sen0

=

==

y

DEyy

C

FCFN216=yC


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Utilizando o elementoACEcomo um corpolivre, conferimos a soluo pela soma dosmomentos em relao aA.

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0mm220795mm100sen561mm300cos561

mm220mm100senmm300cos

=+=

+=

xDEDEA

CFFM

(verificado)




Mquinas Mquinas so estruturas utilizadas para

transmitir e modificar foras. Sua principalfuno transformarforas de entrada emforas de sada.

Como exemplo, dada a intensidade deP,determinemos a intensidade de Q para o

alicate ao lado. Traamos um diagrama de corpo livre do

alicate completo, incluindo as reaes que oarame exerce no alicate.

Como o alicate uma estrutura no-rgida,usamos uma de suas partes como um corpolivre.

Calculando o momento em relao aA, temos:

Pb

aQbQaPMA === 0

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