8/16/2019 03 VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA version alfa.pdf

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FIC - UNSA RAY PAUL COTACALLAPA TURPO

VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA

- 

Sistema (Masa – Resorte – Amortiguador)

0       0 Resolvemos la E.. li!eal "omog#!ea de $rimer orde!%

A!tes reali&amos u! 'amio de variale.

  2       

  2

  0 

Ra'es de la e'ua'i*! 'uadr+ti'a%

,    2  √  42   22    2

  412  ,  √4  42       ,   

2     

2    

2    

4   

Co! las ra'es e!'o!tradas te!emos tres 'asos%

CASO 1: Movimiento Sobreamorti!a"o#

    Ra'es reales , disti!tas  !"#$ %!√ #&"'&$  %!"√ #&"'&$ 

m

u

P(t)

C 

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m%(   )( 

mg

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%(   )( 

mg

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FIC - UNSA RAY PAUL COTACALLAPA TURPO

Si%&*&   +  0 

ei!imos C'r Amortiguamie!to 'rti'o/

%4 −   = 0 == % = 2 . =   %%   / 3! 56(5! 55 

, = −   2 ±   

4 −   = − .%2   ±  .

%

4   −  , = − . ± . − 1  o!de% . 1 

7 89 = . − 1  0re'ue!'ia amortiguada , = − . ± 89 Re'orda!do%

:;< =  >?@>   :!;< =   >?@>  La solu'i*! te!dr+ la orma% 

 = !"A'$ B:;89 +C:!;89 La velo'idad ser+% 

 = −.!"A'D B:;89 + C:!;89E+ !"A'$D89 B:!;89 + C89:;89E Co!di'io!es i!i'iales%

= 0 = FG   === B = FG  = 0 = F G ==== C = F G + .FG89   = !"A'$ H FG:;89 + F G + .FG89   :!;89I 

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FIC - UNSA RAY PAUL COTACALLAPA TURPO

CASO $: Movimiento %r&ti%amente amorti!a"o

Cua!do las ra'es so! reales e iguales&*& −  = 0 === = 2 , = −   2 = − 22   = − E!to!'es la solu'i*! tie!e la orma%

 = %!J$ + %!J$ 

 = %

!"'$

 + %

!"'$

= !"'$

%

 + %

 

La velo'idad ser+%

 = −!"'$% + % + !"'$% Co!di'io!es i!i'iales%

= 0 = FG   === % = FG  = 0 = F G ==== % = F G + FG  = !"'$DFG + F G + FGE CASO ': Movimiento S!bamorti!a"o#

Cua!do las ra'es so! 'om$le1as 'o!1ugadas.

, = −   2 ±   

4 −   . =   %% , = − . ± 51 − .  o!de% . K 1 , = − . ± 59 L 9 = 1 − .  M!(!5 (N 3! O55 56(3 La solu'i*! tie!e la orma% = !"A'$DB:9 + C:!9E La velo'idad ser+%

 = −.!"A'$D B:9 + C:!9E + !"A'$D−9 B:!9 + 9C:9E e las 'o!di'io!es i!i'iales%

= 0 = FG   === B = FG 

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= 0  F G

+ C  F G .FG

9 

  !"A'$DFG:9  H F G .FG9   I :!9E Otra orma de es'riir la solu'i*! es%

Si "a'emos% 

/    B  C 

  /!"A'$

DPQR9

SE 

(rob)ema 1#- etermi!e la e'ua'i*! de movimie!to $ara u!a $e2ueña rotación de la viga

uniforme rígida de masa 12 kg. Tome k=2500 N/m, c=1 kg/seg, ual es el ratio del

amortiguamiento!. "i la rotación inicial es de 0.1 rad a#licado en $ % la &arra es

li&erada, 'alle el des#la(amiento en ) a los * seg. 

/ 

 B 

C S 

Kc

 A B  D

3 m2 m