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En la lectura anterior vimos cómo categorizar un sistema de líneas de

espera, de acuerdo con sus componentes y siguiendo los estándares de

la notación de Kendall. De acuerdo con esta notación, el sistema que

tomamos como ejemplo en un restaurante de pizzas vegetarianas, se

clasificaba como M/M/1.

A continuación se muestra un enfoque analítico que nos permitirá

determinar las más importantes medidas de desempeño de un sistema

de colas mono-canal M/M/1. La principal utilidad de estas medidas de

desempeño es combinarlas junto con los parámetros de costo del

sistema para tomar las decisiones que proporcionen un equilibrio

adecuado entre los niveles de servicio que se desean, junto a los costos

de servicio de la línea de espera.

Antes de conocer y aplicar las expresiones para calcular las medidas de

desempeño de este sistema, debemos enunciar los supuestos en los que

se basa dicho modelo.

Supuestos del modelo M/M/1

• El sistema tiene capacidad ilimitada, por lo que no hay

abandonos ni rechazos de clientes del sistema.

• Los tiempos de servicio entre un cliente y el siguiente son variables

e independientes; sin embargo, se puede determinar la tasa

promedio de servicios.

• Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución

de probabilidad exponencial.

• Las llegadas son descritas usando una distribución de

probabilidad de Poisson y llegan a partir de una población infinita

o lo suficientemente grande para asumirla como infinita.

Sistemas de colas mono-canal M/M/1

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• Cada llegada es independiente a la llegada anterior, pero el

promedio de la tasa de llegadas no presenta cambios a lo largo

del tiempo. Es decir, el sistema tiene una tasa promedio de

llegadas que se mantiene a través del tiempo.

• Las entidades son atendidas sobre una disciplina FIFO.

• El sistema es estable, es decir, �<�.

Si estas condiciones son cumplidas, se puede aplicar el modelo M/M/1

para determinar las características de operación de la cola.

Si se determina que � es igual al promedio de llegadas en un período y

que µ es igual al promedio de entidades atendidas en un período, y que

hay k=1 servidor, se pueden obtener a partir de estos parámetros las

siguientes características de operación del sistema:

• (B) Número promedio de servidores ocupados. Es equivalente al

número promedio de entidades en servicio.

• (TS) Tiempo promedio de servicio.

• (ρ) Factor de utilización del sistema o probabilidad de ocupación

de la instalación del servicio.

• (L) Número promedio de clientes o unidades en el sistema.

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• (W) Tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema

mientras es atendido.

• (Lq) Número promedio de clientes en la cola.

• (Wq) Tiempo promedio que un cliente permanece en espera

dentro de la cola.

• (P0)Porcentaje de tiempo ocioso o posibilidad de que nadie esté

dentro del sistema.

Volviendo al ejemplo del restaurante de pizzas vegetarianas, las

características de operación son las siguientes:

Característica de

operación Unidad de medida Valor

B Clientes en servicio 0.80

Ts Minutos en servicio 1

ρ % 0.80

L Clientes en el sistema 4

W Minutos en el sistema 5

Lq Clientes en cola 3.2

Wq Minutos en cola 4

P0 % 0.20

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En la próxima lectura veremos otras relaciones de carácter general que

aplican para todos los sistemas de colas, no exclusivamente para los

M/M/1.