MA

TE

MÁ

TIC

AS

44

MATEMÁTICA FINANCIERA

Hola amigos mi nombre es “keplerín”Yo los estaré guiando durante el desarrollo de esta cartilla,

bienvenidos al mundo de las matemáticas financieras:Valor Presente Neto

(VPN)

¡Recordemos!

Esta hace parte de la matemática básica, y es una herramienta apropiada para sabercuanto debemos pagar por prestamos que pedimos y cuánto debemos cobrar por losque hacemos, nos ayuda a desarrollar cálculos para decidir si es aconsejable invertirnuestro dinero o no.Con ayuda de esta, se conoce realmente cuánto nos cobra el sistema financiero o sea

los bancos por “facilitarnos” préstamos.

¿ Qué es la matemática financiera?

ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS:VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:

INTERÉS:TASA DE INTERÉS:

INVERSIÓN INICIAL:TASA DE DESCUENTO:

el precio del dinero está representado por el aumento o la disminución de lo que sepuede comprar con la misma cantidad.

El interés es el valor en pesos que nos cobran de más por prestarnos un dinero.Es la representación en porcentaje (%) del INTERÉS ej: 10%, 5% y más.

Valor Presente Neto (VPN): es un método para evaluar proyectos de inversión, este nos sirve para identificar si una inversiónes rentable o no.

Es la cantidad de dinero que se coloca en el presente para recibir beneficios en el futuro.nos muestra la oportunidad que se pierde por no invertir en el presente, también la podemos llamar

tasa de oportunidad.Tasa Interna de Retorno (TIR): sirve para evaluar la eficiencia de una inversión, a diferencia del VPN, esta entrega porcentajes.

Vamos a empezar amigos keplerianos, en este módulorevisaremos un tema importante que todos debemos conocer, nos adentraremos enel campo de análisis de la inversión.Debemos tener claro que la inversión es la utilización de recursos (dinero) en el

presente, con la intención de recibir ganancias en un futuro.

Cuando se decide invertir en proyectos, muchas veces hay obstáculos para calificar o medir el grado de conveniencia o deimportancia de las inversiones, la mayoría de las personas no saben evaluar estos conceptos, es por ello que se van a dar unas lucespara desarrollar, este tipo de análisis.

MA

TE

MÁ

TIC

AS

45

I. VPN O VALOR PRESENTE NETO

¿Qué se muestra en el VPN?

ECUACIÓN DEL VALOR PRESENTE NETO Y SU RESPECTIVO FLUJO DE CAJA

El Valor Presente Neto es la forma más factible de medir las alternativas de inversión, con ayuda de este lo que se hace comparar losingresos con los egresos en pesos en un mismo periodo, en este caso se utiliza el periodo cero (0) para mayos facilidad.Para esto es necesario tener en cuenta una tasa de interés que en este caso se conoce como la tasa de descuento o de oportunidad:es el precio que se paga por invertir ese dinero y no utilizarlo en otras cosas.

- Si en valor de VPN es igual a cero: el inversionista gana lo que quería ganar después de recuperar la inversión.- Si el VPN es mayor a cero, se gana más de lo que se quería después de recuperar la inversión- Si el VPN es menor a cero, no indica ninguna pérdida, muestra la cantidad de pesos de hoy que faltaron para que se ganara lo que

se quería.

Recuerden que lo primero que se debe hacer es graficar el flujo de caja del VPN.

p= a la inversión inicial, el dinero que se coloca en el proyecto.

FNE= ingresos futuros en la misma fecha de la inversión o sea en el momento cero

T.O.= tasa de descuento o de oportunidad.

Estudiantes keplerianos, ya conocemos algodel VPN ahora tenemos que saber cómo se haya y cómo se dibuja,

vamos a prestar mucha atención es muy fácil, pero requiere un poquitínde cuidado.

¡Acompáñenme!

Ahora viene la formula:

Hola papito keplerín, he estado estudiandoel VPN para poder evaluar las inversiones a largo plazo, pero no

entiendo muy bien un poco de formulas, ¿me puede ayudar?

Claro Keplercita, te voy a enseñar con un ejemplo y te vas a darcuenta que es muy, muy fácil, pon atención.

MA

TE

MÁ

TIC

AS

46

Ejemplo:

Solución:

NOTA: QUÉ ES EL FLUJO DE CAJAFLUJO DE CAJA:

A Keplerina y a Keplerín de forma independiente, les hacen una oferta de inversión, por un lado a Keplerina y keplerín lesplantean empezar un proyecto de inversión, donde tiene que invertir 1000 pesos, que luego les va arrojar los siguientes flujos dedinero:Periodo 1: 340Periodo 2: 390Periodo 3: 410Periodo 4: 500La tasa de oportunidad de Keplerina es de 20% y la de Keplerín es del 30%.

Lo primero que se hace es dibujar el flujo de caja:

Es la representación gráfica de las operaciones financieras, esta se caracteriza por tener egresos e ingresos, y secolocan sobre una recta de tiempo, los ingresos se señalan con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

Ya que sabemos que es un flujo de caja, ahora si continuemos conel ejemplo.

Como se estaba diciendo lo primero es hacer el flujo de caja:

Vamos a hallar el VPN para Keplerina, entonces vamos todos a recoger los datos:P= 1000T.O= 20% = (20/100)= 0.2n= 4 porque son cuatro periodos.

Recordemos la formula: FNE= ingresos futuros

MA

TE

MÁ

TIC

AS

47

Reemplazamos los valores:

Vamos a utilizar la calculadora y desarrollamos parte por parte para no confundirnos. De esta manera:

Y así con todas las otras partes. Entonces queda así:

¿Cómo entender este resultado?Como el VPN es mayor a cero, este nos indica que Keplerina va a recibir 32.55peso más de lo que estaba esperando después de haber recuperado su inversión.Por ende se debe aceptar la alternativa.

Ahora vamos a calcular el VPN para Keplerín: cómo los flujos de efectivo y la inversión son los mismos entonces se deja el mismoflujo de caja:

Describimos los datos:P= 1000T.O= 30% = (30/100)= 0.3n= 4 porque son cuatro periodos.FNE= ingresos futurosReemplazamos los valores:

Ya saben operamos por partes para no confundirnos con la calculadora.

¿Cómo entender este resultado?Cómo el VPN es menor a cero, está indicando que faltaron 146.03 pesos para que Keplerín recibieralo que quería después de haber recuperado su inversión, por tanto esta propuesta se debe rechazar.

MA

TE

MÁ

TIC

AS

48

Entonces, si bien entendí mi mamá si hizo la inversión,pero tú no porque no recibías lo que querías, mientras que ella recibía más de lo que

esperaba.

Perfecto hija ya sabes cómo analizar el VPN, si ves es muy fácil.

¿CÓMO ESCOGER LA OPCIÓN DE INVERSIÓN CON VPN?1. Cuando el VPN es mayor a cero se debe aceptar2. Cuando el VPN en igual a cero es indiferente3. Cuando el VPN en menor a cero se debe rechazar

TALLER 1.

I. TASA INTERNA DE RETORNO

1. Cuando se quiere hacer una inversión, siempre hay un monto de dinero que se tiene que colocar al comienzo de las operaciones,este dinero se conoce cómo:a. Tasa de descuentob. Inversión inicial2. Un análisis de inversión se desarrolla para ver si es rentable o no destinar dinero a un proyecto, una forma muy fácil y efectiva derevisar esto, es analizando los ingresos y los egresos totales en el periodo cero, esta comparación se puede lograr con:a. VFNb. VIN3. El Valor Presente Neto tiene unos criterios de evaluación de los proyectos de inversión, cuando por ejemplo el resultado de este esmayor a cero, se recomienda que:a. No se invierta porque no se recibe lo que se quiereb. Se invierta porque no está entrando en pérdidasc. Da lo mismo invertir o nod. Se invierta porque después de recuperada la inversión se recibió más de lo que se estaba esperando.4. Ejercicio: Keplerín ha recibido dos opciones de inversión donde tiene que colocar un monto de 2000 y va a tener los siguientesingresos:Periodo 1: 700Periodo 2: 780Le dan dos opciones de tasa de oportunidad:1: 20%a. Dibujar el flujo de cajab. Describir los datos

También se conoce como la tasa de rentabilidad, se define como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero, se puedeentender también como aquella tasa máxima a la que un inversionista estaría dispuesto a colocar dinero en un proyecto.

c. Rentabilidadd. VPN

c. VPNd. VEN

Periodo 3: 820Periodo 4: 1000

2: 30%c. Hallar los dos VPNd. Escoger la mejor opción de inversión para Keplerín.

Estoy seguro que con un ejemplo se puede entender mejor elconcepto… por esta razón les voy a contar la historia de mi compadre Erasmito,resulta que él invirtió en un proyecto 300000 y al cabo de un año recibió 330000,entonces me preguntó que cuál había sido su tasa de rentabilidad y yo le explique

así:

MA

TE

MÁ

TIC

AS

49

Lo primero que hay que hacer es elaborar el flujo de caja: La TIR es la tasa de interés que hace el VNP=0Planteamos la ecuación del VPN:

Identificamos los datos: P= 300000 inversión inicial; FNE= 330000 ingresos futuros; n= 1 porque es un año.Reemplazamos valores:

El VPN= 0

Pasamos (1+i) a multiplicar al otro lado y 300000 a dividir.

(1+ ) = 1.10=1.10 - 1=0.10

i

i

i

i=0.10 * 100% = 10% anual

Por lo tanto al compadre Erasmito se le dio una tasa de rentabilidad o tasa internade retorno TIR de 10% anual, esta tasa es la máxima que Erasmito pudo aceptarpara poder invertir en el proyecto.

Graciascompita Keplerín, pero quisiera saber elresultado si fueran por ejemplo 2 años.

Mi compa, por supuesto, ahí va.

En este caso lo único que cambia n, porque ahora es 2.Bueno, lo primero es hacer el flujo de caja:

La TIR es la tasa de interés que hace el VNP=0Planteamos la ecuación del VPN:

Identificamos los datos: P= 300000 inversión inicial; FNE= 330000 ingresos futuros; n= 2 porque son dos años.Reemplazamos valores:

MA

TE

MÁ

TIC

AS

50

Si ven que cambia en el denominador el exponente antes era 1 y ahora es 2, si fueran cinco periodos o años elexponente sería 5.

El VPN= 0

Pasamos (1+i) a multiplicar al otro lado y 300000 a dividir.

i = 1.05 - 1; i=0.05; i=0.05 * 100% = 5% anual

En este caso compita Erasmito su tasa de rentabilidad disminuiría en la mitad porque es eldoble de tiempo y recibe lo mismo, por esta razón la TIR = 5%.

Teniendo la TIR puedo hallar el VPN.

¡Claro que sí!

Vamos a hallar el VPN con la primera TIR que se encontró, de antemano podemos decir que va ser igual a cero.

Aquí reemplazamos i= 10% = (10/100)=0.1

VPN=0

Ups!!! Y ¿por qué? Erasmito recuerde que dije que la TIR era la tasa máxima que se podía aceptar enun proyecto, donde uno ganaba exactamente lo que esperaba, por eso el VPN es igual a cero.

Bueno y si mi tasa es iguala 11% anual, entonces ¿qué pasa?

¡Vamos a verlo!

En este caso lo que hacemos es cambiar la tasa de interés por la de 11%.

11% = (11/100)=0.11

Si ve compa al colocar una tasa mayor a la TIR elVPN se torna negativo quiere decir que le faltan 2702.70 para ganar lo que

espera, por tanto ya no debe aceptar la oferta del proyecto

MA

TE

MÁ

TIC

AS

51

Gracias por enseñarme Keplerín y ustedes amigosKeplerianos, por favor nunca olviden lo aprendido en esta cartilla, en algún

momento que estoy seguro será muy pronto van a necesitar de estos conceptos para nocaer en “trampas” propias del sistema capitalista, que no le importa nada más que apropiarse

del dinero de nosotros los pobres para utilizarlo a su antojo, recibir la mayor ganancia y darnosmoronas, a nosotros que invertimos ilusamente… además ya están preparados para iniciar su

propio proyecto, ya saben evaluarlo, ¡ánimo únanse y crear su propia empresa!...¡Yo lo voy a hacer! ÉXITO A TODOS.

TALLER 2

Ejercicios:

Pregunta con múltiple respuesta una sola verdadera.1. se define como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero, se puede entender también como aquella tasamáxima a la que un inversionista estaría dispuesto a colocar dinero en un proyecto, en este caso estamos hablando de:

a. Tasa de interésb. Tasa de pérdidac. Tasa de gananciad. Tasa Interna de Retorno

2. Cuando se dice que la TIR es la tasa máxima para invertir en un proyecto, esta tiene inferencia en el VPN, qué pasa con elValor Presente neto:

a. Es mayor a cerob. Es igual a ceroc. Es menor a cerod. No se sabe

3. Keplerina invirtió en un proyecto 500000 y al cabo de un año recibió 530000,

a. Elabore el flujo de cajab. halle la Tasa Interna de Retorno TIRc. qué pasa con el VPN

4. Keplerín recibió una oferta de inversión así, invierte 10000 y al cabo de dos años recibe 12000

a. Elabore el flujo de cajab. halle la Tasa Interna de Retorno TIRc. qué pasa con el VPN

MA

TE

MÁ

TIC

AS

52

SOPA DE LETRAS DE CONCEPTOS

TIRTASA DE INTERESVALOR PRESENTE NETO

FLUJO DE CAJAINVERSIÓN INICIALTASA DE RENTABILIDAD

INTERESVPNTASA DE DESCUENTO

AUTOEVALUACIÓN

1. Después de terminar el curso usted cree que las matemáticas financieras son:

a. Muy importantesb. Importantesc. No tan importantesd. No son importantes

MA

TE

MÁ

TIC

AS

53

2. Usted considera que la materia:

a. Le sirve para su vidab. Le sirve por conocimiento

3. Durante el transcurso del módulo, ¿cuál tema fue el que más se le dificulto?

4. Después de recibir las clases, ¿Cuál fue el tema que más le gusto?

5. Cuál capítulo le gustaría reforzar

6. Usted considera que su profesor ( nombre del profesor):

a. Desarrollo muy bien el temab. Desarrollo bien el tema

7. Si tuviera que darle calificación a la materia por la pertinencia en su formación, la calificaría:Califique entre 1 y 5; 1 es la nota más baja y 5 la más alta.

Meza Orozco, Jhonny de Jesús. (2008). Matemáticas Financieras Aplicadas (3 ed.). Bogotá: Ecoe Ediciones.Haeussler, Jr, Ernest F.; Paul Richard y Wood Richard. (2008). Matemáticas para administración y economía (12 ed.): Cap. 5matemáticas financieras. México: Pearson Educación.Arya, Jagdish C. y Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (4 ed.): cap. 7 progresiones ymatemáticas financieras. México: Pearson Educación.

c. No le sirve

c. Desarrollo aceptablemente el temad. No supo desarrollarlo.

Bibliografía: