02 ec no_lineales_v4.128

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Metodos CerradosMetodos Abiertos

Sistema de Ecuaciones no Lineales

Metodos NumericosSolucion de Ecuaciones No Lineales:

raices de ecuaciones

Luis E. Sierra1

Universidad Industrial de SantanderEscuela Ingenierıa de Petroleos

Bucaramanga 16 Nov 2007

1Ing. Petroleos [email protected]

Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones

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CONTENIDO

1 Introduccion

2 Metodos CerradosGraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental

3 Metodos AbiertosIteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples

4 Sistema de Ecuaciones no Lineales


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Introduccion

Determine la raiz de

f (x) = log(x)− sen(x)f (x) = sen(x)tan(x)− |x |f (x) =

√x − cos(x)

f (x) = 10 ∗ cos(x)− x

Lo puede hacer de forma explıcita ?


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GraficoBiseccionFalsa PosicionMetodo incremental

Metodos Cerrados

Aprovecha el cambio de signo de la funcion en la vecindad de laraız.


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Metodo grafico

Empleando herramientas de visualizacion de funciones comognuplot.


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Metodo de biseccion

Es un metodo que se basa en el teorema del valor intermedio

Suponga que f (x) es una funcion continua en [a, b] con f (a) yf (b) de signos diferentes. Entonces existe un numero p en (a, b)t.q. f (p) = 0


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De forma iterativa lo que se hace es:

Calcular un valor medio en el intervalo [ai , bi ] designado por

pi =ai + bi

2(1)

Si f (pi ) = 0 entonces p = pi , listo

De lo contrario evaluar los signos de f (pi ) y f (bi ) si sonopuestos entonces p ∈ [pi , bi ] y se hace ai+1 = pi y bi+1 = biy se calcula Pi+1

De no cumplirse el literal anterior entonces ai+1 = ai ybi+1 = pi y calcular pi+1


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Ejercicio

Determinar la raiz para f (x) =√

x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5]


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Algoritmo

Entrada a, b, TOL, Numero iteraciones NoPaso 1: tome i=1, FA=f(a)Paso 2: Mientras i<=No haga paso 3-6

Paso 3: Tome p=(a+b)/2; calcular pFP=f(p)

Paso 4: Si FP=0 o (b-a)/2<TOL entoncessalida p Parar

Paso 5: Si FA*FP>0 entonces tome a=p;(Calcular ai,bi)FA=FP

Paso 6: Si no tomar b=pPaso 7: Salida

Implementar en c++ empleando el editor gvim y elcompilador g++


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Metodo de la Falsa Posicion o Interpolacion lineal

Es un metodo que a diferencia del metodo de biseccion consideralas magnitudes de las funciones f (ai y f (bi ). para ubicar una falsaposicion de la raiz por medio de una lınea recta. De aquı sunombre.

tan(θ) = f (b)b−p = − f (a)

p−a

p = af (b)−bf (a)f (b)−f (a)

p = b − f (b)(b − a)

f (b)− f (a)(2)


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Algoritmo

Entrada a, b, TOL, NoPaso 1: Tome i=2;

qa=f(a); qb=f(b);PAso 2: Mientras i<=No haga paso 3-7

Paso 3: Tome p=b-qb(b-a)/(qb-qa). (Calcula pi)Paso 4: Si |p-pi|<TOL entonces

Salida (p)(procedimiento termindoexitosamente). Parar

Paso 5: Tome i=1+1pi=p; qi=f(pi)

Paso 6: Si qi*qb<0 entonces tome a=p;qa=qb;

Paso 7 Tome b=p;qa=qi

Paso 8: SALIDA (El metodo supero las No iteraciones.Termino sin exito)Luis E. Sierra Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones

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Falsa posicion modificado

Determinar la raiz de f (x) = x10 − 1 en el intervalo [0, 1.3]empleando biseccion y falsa posicion. Observar que ocurre.

modidicacion

En este metodo se divide a la mitad el valor de la funcion en elpunto del intervalo que se esta presentando estancamiento

Implementar esta condicion en el codigo de falsaposicion y evaluar el ejercicio. Que observa?


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Metodo de busqueda incremental

Realizar busquedas incrementales evaluando el signo de la funcion

Si existen multiple raices, dependiendo de la longitud delincremento las puede pasar por alto

La solucion parcial es evaluar f′(a) y

f′(b) para identificar la presencia de

maximos o mınimos en el intervalo.

Es necesario complementar con graficasy comprension del problema fısico.


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Iteracion de Punto FijoNewton-RaphsonSecanteRaıces Multiples

Metodos Abiertos

Son metodos que parten de un valor o intervalo que nonecesariamente contiene la raiz.

Estos metodos pueden converger o diverger.

Si el metodo converge por lo general lo hace mas rapido que losmetodos cerrados.


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Iteracion de Punto Fijo

Punto fijo

Un punto fijo de una funcion g es un numero k para el cualg(k)=k. Ej. g(x) = x2 − 2; g(-1)=-1 y g(2)=2

Emcontrar raıces y puntos fijos son equivalentes en el sentido que:

Para encontrar una raız f(p)=0, podemos definir una funcion gcon punto fijo en p de diversas formas donde solo algunasconvergen. Si la funcion g tiene punto fijo en p entonces la funciondefinida por f(x)=x-g(x) tiene cero en p.


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se garantiza existencia y unicidad del punto fijo con el siguienteteorema

Teorema de punto fijo

Sea g ∈ C [a, b] t.q g(x) ∈ [a, b] para toda x en [a,b]. Ademassuponer que existe g

′en (a,b) y una constante 0 < k < 1 t.q

‖g ′(x)‖ ≤ k para toda x ∈ (a, b)

Entonces la sucesion definida por pn = g(pn−1) con n ≥ 1converge al unico valor fijo p en [a,b]


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Algoritmo

Entrada f(x),po, NoPaso 1 Tome i=1Paso 2 Mientras i<=No haga paso 3-6

Paso 3 Definimos la funci\’on g(x) (Despejando f(x)convenientemente para que x=g(x) y g’(x)<1)p=g(po)

Paso 4 Si |p-po| < TOLSalida (p) Termina exitosamente

Paso 5 Tome i=1+1Paso 6 po=p

Paso 7 Salida Supero las iteraciones NoTerminado sin exito


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Metodo de Newton-Raphson

Si aproximamos la funcion f(x) por la serie de Taylor

f (x) = f (x) + f′(x)(x − x) + f

′′(ε)(x) (x−x)2

2

f (p) = 0 = f (x) + f′(x)(p − x) + f

′′(ε)(x) (p−x)2

2

El termino (p − x)2 es bastante pequeno entonces: p ≈ x − f (x)

f ′ (x)

pn = pn−1 −f (pn−1)

f ′(pn−1)(3)


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convergencia

El siguiente teorema de convergencia para el metodo de Newtonmuestra la importancia de la eleccion de po

Teorema

Sea f ∈ C [a, b]. Si p ∈ [a, b] t.q. f(p)=0 y f′(p) 6= 0 entonces

existe δ > 0 t.q. el metodo de Newton genera una sucesion [pn]∞n=1

converge a p para cualquier aproximacion inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ]


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Metodo de la secante

Es una modificacion al metodo de Newton para superar lacondicion que f

′(x) 6= 0. Para esto:

f′(pn−1) ≈

f (pn−1)− f (pn−2)

pn−1 − pn−2

Remplazando en el metodo de Newton-Raphson obtenemos

pn = pn−1 −f (pn−1)(pn−1 − pn−2)

f (pn−1)− f (pn−2)(4)


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Secante modificado

f′(pn−1) ≈

f (pn−1 + δpn−1)− f (pn−1)

δpn−1

Remplazando en la en el metodo de Newton-Raphson obtenemos

pn = pn−1 −δpn−1f (pn−1)

f (pn−1 + δpn−1)− f (pn−1)(5)


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Raıces multiples

Teorema

La funcion f ∈ Cm[a, b] tiene un cero de multiplicidad m en p y(a,b) si y solo si f (p) = f

′(p) = ... = f m−1(p) = 0 pero fm(p) 6= 0

La funcion tiene raız sencilla en p si f(p)=0 pero f′(p) 6= 0

.

Si tiene multiples raıces f(x) se puede escribir comof (x) = (x − p)mq(x), donde el limx→pq(x) 6= 0


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Raıces multiples pares no presentan cambio de signo

Figure: exp(x)(x − 1)3

Figure: exp(x)(x − 1)2


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El metodo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiplesdisminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadratico auno lineal Para mantener un orden cuadraico es necesario que:

pi = pi−1 −mf (pi−1)

f ′(pi−1)

.otra opcion es tomar u(x) = f (x)

f′ (x) entonces

pi = pi−1 − u(pp−1)/u′(p − 1), donde las raıces de u(x) son lasraıces de f(x), remplanzando se obtiene:

pi = pi−1 −f (pi−1)f

′(pi−1)

[f ′(pi−1)]2 − f (pi−1)f′′(pi−1)

(6)


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El metodo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiplesdisminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadratico auno lineal Para mantener un orden cuadraico es necesario que:

pi = pi−1 −mf (pi−1)

f ′(pi−1).otra opcion es tomar u(x) = f (x)

f′ (x) entonces

pi = pi−1 − u(pp−1)/u′(p − 1), donde las raıces de u(x) son lasraıces de f(x), remplanzando se obtiene:

pi = pi−1 −f (pi−1)f

′(pi−1)

[f ′(pi−1)]2 − f (pi−1)f′′(pi−1)

(6)


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Sistema de Ecuaciones No Lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal si no se puede expresar cadauna de sus ecuaciones como

f (x) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn

f1(x1, x2, x3, ..., xn = 0f2(x1, x2, x3, ..., xn = 0

.fn(x1, x2, x3, ..., xn = 0

.Haciendo la expancion por series de Taylor:

fi (x + ∆x) = fi (x) +n∑

j=1

∂fi∂xj

∆xj + O(∆x2)


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Truncando la serie y colocando de forma matricial

f(x + ∆x) = f(x) + J(x)∆x = 0

donde J(x) es la matriz jacobiana Jij = ∂fi∂xj

∂fi∂xj

≈fi (x + ejh)− fi (x)

h

∆x = ejhh es un pequeno incrementoej vector unitario en la direccion xj


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Pasos para el metodo de Newton

1 Estimat un vector solucion x

2 Evaluar f(x)

3 Computar la matriz jacobiana J(x)

4 Plantear el sistema de ecuaciones y solucionar para ∆X

5 Calcular el nuevo vector x y repetir el paso 2-5 hasta alcanzarel criterio de parada


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Ejemplo

Determine el punto de interseccion entre el circulo x2 + y2 = 3 y lahiperbola xy=1

f1(x , y) = x2 + y2 − 3 = 0f2(x , y) = xy − 1 = 0

J(x , y) =

[∂f1/∂x ∂f2/∂y∂f2/∂x ∂f2/∂y

]=

[2x 2yy x

]


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El sistema de ecuaciones lineales J(x)∆x = −f(x) relacionadas conel metodo de Newton-Raphson es:.

[2x 2yy x

] [∆x∆y

]=

[−x2 − y2 + 3−xy + 1

]Tomando el vector de valores inicialesestimado de x = [x0 y0] = [0.5 1.5]


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1ra itiracion: Sustituimos x0 = 0.5, y0 = 1.5 en la ecuacionanterior [

1.0 3.01.5 0.5

] [∆x∆y

]=

[0.500.25

]Solucionamos el sistema para obtener ∆x1 = ∆y1 = 0.125

Entoncesx1 = 0.5 + 0.125 = y y1 = 1.5 + 0.125 = 1.625

2da iteracion: Los valores de x1 y y1 son sustituidos en el sistema[1.250 3.2501.625 0.625

] [∆x∆y

]=

[−0.031250−0.015625

]Entonces ∆x2 = ∆y2 = −0.00694 yx2 = x1 + ∆x2 = 0.625− 0.00694 = 0.61806y2 = y1 + ∆y2 = 1.625− 0.00694 = 1.61806


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Bibliografıa

BURDEN Richard L. & FAIRES Douglas J.

Analisis Numerico. 7ed Thomson Learning Mexico 2002

CHAPRA Steven C. & CANALE Raymound P.

Metodos Numericos para ingenieros. 4ed. McGrawHill Mexico 2002

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Nunca consideres el estudio como una obligacion, sino comouna oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso

mundo del saber

Albert Einstein


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