02 conjuntos

Conjuntos

Trabajo Práctico Nº 2Conjuntos

1) Escribir simbólicamente a) R es un subconjunto de T d) M no es un subconjunto

de S b) x es un elemento de Y e) z no pertenece a A c) El conjunto vacío f) R pertenece a A

2) Escribir por extensión los conjuntos :

i) A = { x : x es vocal } iv) D = { x : x2 - x - 2 = 0 }

ii) B = {x es dígito del número 2324} v) E = { x : x2 = 9 x - 3 = 5 }

iii) C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”}

3) a) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos : A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . } C = { 1, -1 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } b) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por

comprensión : A = { x / x N 3 x 10 } B = { x / x N 5 / x}

4) Sean A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ; B = { 2, 4, 6, 8 } ;

C = {1, 3, 5, 7, 9 } D = { 3, 4, 5 }; E = { 3, 5 } ¿ Cuáles conjuntos son iguales a X ? , si se da la siguiente información : i) X y B son disyuntos

iii) X A pero A C ii) X D pero X B iv) X C pero X A5) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o

falsa : i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } ii) { 3, 1, 2 } { 1, 2, 3 } iii) 1 { 1, 2 } iv) { 4 } { { 4 } }

v) { 4 } { { 4 } } vi) { { 4 } }

7) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ? i) Los meses del año iv) El conjunto Q de los números

racionales ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} v) El conjunto R de los números reales iii) El número de personas que viven en la tierra.

6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x2 = 9 2 x = 4 } ii) Y = { x : x x } iii) Z =

{ x : x + 8 = 8 }

8) En los siguientes diagramas de Venn, sombree: i) W - V ii) Vc W iii) V Wc iv) Vc - Wc

V WV

W

9) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas :a) A B b) A B c) (A - C) B d) (A - C) B e) (A B C) D

10) Sean U= {1, 2, . . . . , 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} . Hallar :

i) Ac ii) A C iii) (A C)c iv) A B v) (B - C)

11) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A B A ( A B ) c) C - A = C A b) B A ( A B ) A d) A = B A B = A

12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés

?

a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias.

13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias.

14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? ; ¿ porqué ? 15) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.

16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T, N, S0, P ) donde T = { a, b, c }; N = { S0, A, B }; S0 es símbolo inicial P = { S0 AB, A ab, A a A b, B c, B B c }Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado: a a b b a a a b b c

a a a b b b c c c a b a b c c

17) Sea : L(G) = { an c bn ; n 0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda generar el lenguaje dado.

Determinación de conjuntos

Para denotar conjuntos utilizaremos letras mayúsculas, y para especificar los elementos que pertenecen (o no) a los conjuntos usaremos letras minúsculas.

el elemento a pertenece al conjunto A,

simbólicamente

a A

si el elemento s no pertenece al conjunto A, escribimos

s A

Si a A ; b A ; c A ; d A

y solo a ; b ; c y d pertenecen al conjunto A

Podemos escribir :

A = { a, b, c, d }

Hemos definido el conjunto A por extensión, nominando entre llaves todos y cada uno de los

elementos que lo componen

Una representación visual de los conjuntos es la de diagramas de Venn

A

.a

.b

.c.d

1-21-2

33

11 22 33

Pero también al mismo conjunto A podríamos definirlo por comprensión

A = { x /x es una de las primeras cuatro letras del alfabeto }

Definimos por comprensión un conjunto, enunciando las propiedades (o características) que son propias de todos los elementos del

conjunto y solamente de ellos

Ejemplo

A = {x / x N x 4 } por comprensiónA = { 1, 2, 3 } por extensión

B = { -2, -1, 0, 1, 2 } por extensiónB = {x / x Z x 2 } por comprensión

Si un conjunto no tiene elementos decimos que está vacío

Simbólicamente A =

Cuando el conjunto es infinito, como el conjunto de los números naturales; acudiendo a un abuso de notación puede proponerse una

determinación por extensión aparente como:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . . . . . . . . . . . }

1-21-2

33 66

11 22 33

66

Por ejemplo: el conjunto de los nombres de los jugadores de un equipo de fútbol

Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos nombres sean los mismos. Por ejemplo: 3 se laman Juan; 2 se llaman

Alberto; y los 6 jugadores restantes tienen nombres diferentes.

Cada jugador es un elemento,

Sea el conjunto A = { a, a, a, b, c, c }

Conformado por 6 elementos de los cuales 1 se repite tres

veces, otro dos veces y el tercero aparece una sola vez

Decimos que : la multiplicidad del elemento a en el conjunto A es 3

la multiplicidad del elemento b en el conjunto A es 1

la multiplicidad del elemento c en el conjunto A es 2

Multiconjuntos

Puede suceder que en un conjunto algunos elementos no sean diferentes (se repiten), este es el caso de un multiconjunto

aunque hay elementos que tienen el mismo nombre

1-21-2

33

11 22 33

Puede suceder que todos los elementos de un conjunto, pertenezcan también a otro conjunto.

Por ejemplo: A = { x/x es alumno de la carrera Lic. en Sistemas }

B = { x/x es alumno de FACENA }Es obvio que todos los alumnos de la carrera de Licenciatura en

Sistemas son alumnos de la Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y Agrimensura

Entonces decimos que: A está incluído en B A B

Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 } en diagramas de Venn A

12

34

5

BB = { 1, 2, 3, 4 }

entonces B A

Todos los elementos de B pertencen al conjunto A

Recordá siempre que

entre elemento y conjunto la relación es de pertenencia

entre conjuntos la relación es de inclusión

44 5 i-iii5 i-iii

5 iv-vi5 iv-vi

1a) Si decimos R es un subconjunto de T

Simbólicamente escribimos R R

T

b) Si decimos x es un elemento de Y

Simbólicamente escribimos x y

Y

. x

c) El conjunto vacío

simbólicamente es A =

. a

. b

A

d) Si decimos M no es un subconjunto de S

Simbólicamente escribimos M S

M S

. a

. b

e) z no pertenece a A A. a .

bf) r pertenece a A A

. r. b

Simbólicamente escribimos z A

Simbólicamente escribimos r A

T

también A = { }

ó bien

M S

. a

. b

. c

2) i) A = { x : x es vocal } por extensión se escribe :

A = { a, e, i, o, u }

ii) B = { x : x es dígito del número 2324 } por extensión se escribe

B = { 2, 2, 3, 4 }

con cardinalidad 2 para el elemento 2, si lo tomamos como

multiconjuntoiii) C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”} por extensión se escribe

C = { f, a, a, l, l, r }

con cardinalidad 2 para los elementos “a” y “l”, si es

multiconjuntoiv) D = { x : x2 - 2 = 0 } se buscan los valores de x que verifican la

ecuaciónx2

= 2 x2= entonces:

x1

= 2 2 D =

{2 , }

v) E = { x : x2 = 9 x - 3 = 5 }

se buscan los valores de x que verifiquen ambas condiciones

x2=x1

= 39 39 y x1-2 = 8

Los valores que verifican una de las condiciones, no verifican la otra y

viceversa

en consecuencia

E =

2

B = { 2, 3, 4 }

al tomarlo como

conjunto

al tomarlo como

conjunto

C = { f, a, l, r }

3) a) A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . }

por comprensión, son números naturales que comienzan en 1 y luego se suceden

como el doble del anterior

cualquiera sea i 0 entonces:

A = { x / x N x = 2i, i 0 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } por comprensión son números naturales impares

x1 = 20 = 1; x2 = 21 = 2; x3 = 22 = 4; x4= 23 = 8 . . . . . . . . . . xn

= 2n-1

B = { x / x N x es impar } ó B = { x / x N x = 2h - 1, h 1 }

C = {1, -1} por comprensión son números enteros, opuestos (de igual valor absoluto)

C = { x / x Z x= 1 }

D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } por comprensión son números que resultan de elevar al cuadrado cualquier natural menor que

7D= { x / x N x = n2, con n N, n 7 }

b) A = { x / x N 3 x 10 }

= A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { x / x N 5 x }

= B = { 5, 10, 15, 20, 25, . . . . . . }

4) Representamos en diagrama de Venn

A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 }

3

5

27

9

46

8

1D

E

C

B

AB = { 2, 4, 6, 8 }C = {1, 3, 5, 7, 9 }D = { 3, 4, 5 }

E = { 3, 5 }

iv) Si X C pero X A

i) Si X y B son disyuntos

en el diagrama se aprecia que

ii) Si X D pero X B

entonces X = E

iii) Si X A pero X C entonces

entonces X =

Esto es imposible, porque en este caso todos los conjuntos dados están

incluídos en el conjunto A

X = C ó X = E

X = B

5) i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } Es verdadero

porque los elementos de los dos conjuntos son los mismos y si dos conjuntos tienen los mismos elementos, son

igualesii) { 3, 1, 2 } { 1, 2, 3 }

Es verdadero

los elementos de los dos conjuntos son los mismos

podemos decir: A = B y B = A entonces A = A

Todo conjunto está incluido en sí mismo

iii) 1 { 1, 2 }

1 { 1, 2 } porque es un elemento del conjunto

Al establecerse una relación de pertenencia

Negamos que se establezca una relación de inclusión

Mas precisamente 1 no está incluido en { 1, 2 } , sino que pertenece a { 1, 2 }

Es verdadero

5 iv-5 iv-vivi

5) iv) { 4 } { { 4 } }

{ 4 } es un elemento del conjunto { { 4 } }La relación que se

establece entre elemento y conjunto es de

pertenencia

Es verdadero

vi) { { 4 } }

v) { 4 } { { 4 } }

Es falso

es un conjunto, no es un elemento (en este caso)

está incluido en cualquier conjunto

Es verdadero

Recuerde siempre que:

la pertenencia relaciona elementos con conjuntos

la inclusión relaciona conjuntos entre sí

el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos

6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x2 = 9 2 x = 4 }

El conjunto X está conformado por elementos que verifican las dos ecuaciones dadas en la definición por comprensión, pero debe verificar

ambas por que los que vincula las ecuaciones es una conjunción

9x9x2 x1 = 3

x2 = - 3

2 x = 4

224

x

En ningún caso coinciden x1 o x2 con x = 2

Entonces: X =

ii) Y = { x : x x }

El conjunto Y estará conformado por elementos x que sean distintos de sí mismos . . . .

Esto contradice el primer principio de la lógica clásica “todo objeto es idéntico a sí mismo” (P. de Identidad)

Entonces : Y =

iii) Z = { x : x + 8 = 8 }

x = 8 – 8 = 0 Z = { 0 }

Entonces : Z

Si un conjunto tiene un número determinado de elementos,

decimos que es un conjunto finito

Formalmente, dado un conjunto A (de n elementos)

si es posible establecer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los elementos de A con los elementos de un conjunto B de

cardinalidad n

A Bx1

x2

x3

xn

abc

n

B es un conjunto finito de n elementos

Un conjunto es infinito, si no es finito.

Si es posible establecer una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto C cualquiera, con los elementos de N (conjunto de números

naturales)Tenemos en C un conjunto infinito contable o numerable

o lo que es lo mismo, podemos decir que la cardinalidad de C es infinita contable

7 i-iii7 i-iii

7 iv-v7 iv-v

7) i) El conjunto de “los meses del año” es un conjunto finito de doce

elementosA = { enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto,

septiembre, octubre, noviembre, diciembre }

Es un conjunto finito

ii) B = {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} son los cien primeros números naturales

Es un conjunto finito

iii) C = El conjunto de personas que viven en la tierra

este es un conjunto que a priori suele ser pensado como infinito, o en el

mejor de los casos infinito contable . . .

la cantidad de elementos que posee (personas que viven sobre la tierra) nos

impacta.

debemos reconocer que, si tomamos un instante determinado, la limitación para poder contar los elementos es solo técnica. En el futuro podríamos

empadronar a cada una de las personas que viven sobre la tierra

establecer una relación biunívoca entre el conjunto C y un conjunto de números naturales cardinalidad n (nº de

personas que viven sobre la tierra)

Es un conjunto finito7 iv-v7 iv-v

7 iv) Q = { x / x Q } R : conjunto de los números racionales

Para explicar mejor el problema, analizaremos un intervalo cualquiera de los racionales, por ejemplo el intervalo [0, 1]

Intentamos establecer una correspondencia biunívoca entre los racionales de [0, 1] (conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n

0 1 A B

1 2

1/2 3

1/4 41/8 51/16 6

a 0 le corresponde 1 a 1 le corresponde 2

tomamos el valor medio del intervalo [0, 1] a 1/2 le corresponde 3

tomamos el valor medio entre 0 y 1/2 a 1/4 le corresponde 4tomamos el valor medio entre 1/4 y 0

a 1/8 le corresponde 5tomamos el valor medio entre 1/8 y 0a 1/16 le corresponde 6

siempre es posible establecer en A un nuevo número intermedio entre 0 y la última fracción al que le va a corresponder algún

elemento de B la cardinalidad de B así no puede

determinarseEntonces A es un conjunto infinito

Entre cualquier par de valores de Racionales,

puede insertarse

siempre uno mas

En el conjunto de los Reales habrán también números

irracionales. .

Como A Como A Q resulta que Q es conjunto Q resulta que Q es conjunto infinitoinfinito

R: conjunto de los números reales

R es conjunto infinitoR es conjunto infinito7 v) R = { x / x R }

Operaciones de Conjuntos – Operaciones en Diagramas de Venn

UniónLa unión del conjunto A con el conjunto B queda

determinada con todos los elementos que pertenecen al conjunto A

A = { 1, 2, 3 }

B = { 3, 4, 5 }

A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

IntersecciónLa intersección del conjunto A con el conjunto B queda

determinada con los elementos que pertenecen al conjunto A

A = { 1, 2, 3 }

B = { 3, 4, 5 }

A B = { 3 }

y también por los los elementos que pertenecen al conjunto B

y al conjunto B (solo a ambos conjuntos)

9-109-10

88

8 i8 i

9 a-b9 a-b

10 i-ii10 i-ii

8 ii8 ii

8 iii8 iii

8 iv8 iv

9 c-d9 c-d 9 e9 e

10 iii-iv10 iii-iv 10 v10 v

Diferencia

La diferencia del conjunto A “menos” el conjunto B queda determinada con todos los elementos del

conjunto A que no pertenecen al conjunto B

A = { 1, 2, 3 }

B = { 3, 4, 5 }

A - B = { 1, 2 }

Diferencia

simétrica

La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen solamente al conjunto A

A = { 1, 2, 3 }

B = { 3, 4, 5 }

A B = { 1, 2, 4, 5 }

ó al conjunto B(pero no a ambos simultáneamente)

9-109-10

88

8 i8 i

9 a-b9 a-b

10 i-ii10 i-ii

8 ii8 ii

8 iii8 iii

8 iv8 iv

9 c-d9 c-d 9 e9 e


Conjunto Universal ó Universo

Es un conjunto que contiene todos los elementos del universo en el cual están contenidos los restantes

conjuntosPor ejemplo: A = { x/x N pares }

B = { x/x N impares }

U = {x/x N } Universal = todos los números naturales

Otro ejemplo: A = { alumnos de Lic. en Sistemas}

B = { alumnos de Bioquímica }

U = { alumnos de FACENA }

Si algunos alumnos

estudian las dos carreras

Si ningún alumno estudia las dos carreras

Si todos los alumnos de Bioquímica

también estudian Licenciatura

U A B U UA AB

B

9-109-10

88

8 i8 i

9 a-b9 a-b

10 i-ii10 i-ii

8 ii8 ii

8 iii8 iii

8 iv8 iv

9 c-d9 c-d 9 e9 e


El complemento del conjunto A está formado por los elementos que son del Universal pero que no pertenecen

al conjunto A

A = { 1, 2, 3 }

A1

23

4

5

B

B = { 3, 4, 5 }

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 6

7

A´ = U – A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 2, 3 } =

A´ = { 4, 5, 6, 7 }

A´ también puede escribirse Ac ; -A ;

A

U

Al conjunto universal le quitamos los elementos del conjunto A

9-109-10

88

8 i8 i

9 a-b9 a-b

10 i-ii10 i-ii

8 ii8 ii

8 iii8 iii

8 iv8 iv

9 c-d9 c-d 9 e9 e


8) i) W - VSe resuelve confeccionando el diagrama de

Venn de los conjuntos V y W

Luego sombreamos con azul el conjunto W

y con verde el conjunto V

El resultado es la región sombreada en azul (W) que no fue afectada por la

sombra verde

Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W

sombreamos con azul el conjunto W

y con verde el conjunto V

El resultado sigue siendo la región sombreada en azul (W) (que no fue

afectada por la sombra verde)

U

U

W - V

W – V =

W – V =

unión - unión - intersecciintersecci

ónóndiferencia – diferencia – dif.simétricdif.simétric

aauniversaluniversal

complemencomplementoto

8 ii8 ii 8 iii8 iii 8 iv8 iv

8 ii) Vc W Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W

sombreamos con azul el complemento de V (Vc)

y con verde el conjunto W

Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos

colores

U

U

lo que no es conjunto V


sombreamos con azul elcomplemento de V (Vc)

y con verde el conjunto W

Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos

colores

Vc W =

Vc W =

Vc W = ( V – W )c

Vc W = U





8 iii8 iii 8 iv8 iv

8 iii) V Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W

sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W

(Wc)Por tratarse de una intersección el

resultado es solamente la región sombreada con los dos colores

U

U


sombreamos con azul el conjunto V

y con verde el complemento de W (Wc)

Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región

sombreada con los dos colores que en este caso es vacío

V Wc =

V Wc =





8 iv8 iv

8 iv) Vc - Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W

sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W

(Wc)Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no

con verde


sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W

(Wc)Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no

con verde

Vc – Wc =

Vc – Wc =





9) a) A B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D

sombreamos con azul el conjunto A

y con verde el conjunto B

A B es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con

ambos colores

Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D


y con verde el conjunto B

A B es la región sombreada solamente con los dos colores

9 b) A B

A B =

A B =

U

U





9 c-d9 c-d 9 e9 e

9 c) (A - C) B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D

sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C

pintamos el resultado A - C

Por tratarse de una unión pintamos también todo el conjunto B y así

obtendremos que el resultado final es toda la zona pintada

9 d) (A - C) B

Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D

sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C

pintamos el resultado A - C

Por tratarse de una intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A-C y de B y así obtenemos que el resultado final

sombreamos color naranja el conjunto B

(A - C) B =

U

U

(A - C) B =





9 e9 e

9 e) (A B C) D Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D


con verde el conjunto B

Por tratarse de una triple intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A , de B y de C

simultáneamente

y sombreamos color naranja el conjunto C

U

A B C =

El conjunto D también sombreamos amarillo, para que quede determinado

( A B C ) D =





10) Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4}

10 i) Ac son todos los elementos del conjunto universal, pero no del conjunto A

Dibujamos el universal con todos sus elementos

Identificamos el conjunto A

Sombreamos Ac =

{ 5, 6, 7, 8, 9 }

10 ii) A C son los elementos del conjunto A y del conjunto C (de ambos)

Dibujamos el universal con todos sus elementos e identificamos los conjuntos A y

C = { 3, 4, 5, 6 }

La región con doble sombras es A C =

{ 3, 4 }

Sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C





10 iii-10 iii-iviv

10 v10 v

Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} y C = { 3, 4, 5, 6 }

10 iii) Para hallar ( A C )c

Usamos como resultado parcial el ejercicio anterior A C = { 3, 4 }

(A C)c es precisamente todo lo que es universal pero no forma parte de (A C)

( A ( A C ) C )cc = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 }9 }

que sombreamos color naranja

10 iv) Si queremos hallar A B

Dibujamos en el Universal

A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6, 8 }

Sombreamos el conjunto A

y también el conjunto B

A B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }





10 v10 v

Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} B = { 2, 4, 6, 8 } y C = { 3, 4, 5, 6 }

10 v) para hallar B - C

Sombreamos el conjunto B

y luego borranmos la zona sombreada en B que es conjunto

C

B – C = { 2, 8 }





11) a) A B A ( A B )

Si A B todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B

A

B

en ese caso A B = A

y como todo conjunto está incluido en sí mismo

A B A ( A B ) es verdadero

11 b) B A ( A B ) A

Si B A todos los elementos de B pertenecen también al conjunto A

BA

en ese caso A B = A

y como todo conjunto está incluido en sí mismo

B A ( A B ) A es Falso11 c) C - A = C A C - A es quitarle el conjunto A al

conjunto CLo que tiene resultado diferente de C

Aentonces C - A = C A es Falso

11 d) Si A = B A B = A

Si A = B los elementos del conjunto A son los mismos que los elementos

que los del conjunto B

la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera de ellos

Luego: A = B A B = A es Verdad

12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ?

El conjunto universal es la totalidad de los alumnos que estudian en la escuela de idiomas

U = { x / x es alumno de la escuela de idiomas }

U = U = 400

F = { x/x estudia solamente francés o francés e ingles }

F = 120 + 200 = 320

La cantidad de alumnos que no estudia francés es el complemento de F ( Fc )

Fc = U - F = 400 – 320 = 80 Son los que no estudian solamente francés ni francés e inglés juntosDe estos 80 alumnos que no estudian

francés, hay 50que estudian otros idiomas que no son francés ni inglés

I = { x/x estudia solamente inglés }

I = Fc - O = 80 – 50 = 30

U IF

50

120 200 30

O = 50

Sean : A = { a, b, c } con A = 3 y B = { b, d, e } con B = 3

A B

•a •

b•c

•d•e

A + B = 3 + 3 = 6

Pero (A B) = 5

si los conjuntos no son disjuntos A + B (A

B) Observe que: (A B) = A + B - (A B) = 3 + 3 –

1 = 5 Porque en dos conjuntos rampantes, al sumar la cantidad de elementos de cada conjunto, estamos contando dos veces todos los elementos que son

comunes a ambos conjuntos

entonces si (A B) = A + B - (A B)

(A B C) parece ser A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)

deslizamos voluntariamente un error para que aprecie Ud. que :

si A = { a, b, c } con A = 3

A B

•a •

b•c

•d

•e

aparece ahora el conjunto C = { b, c, e f }

•fC

A + B + C - (A B) - (A C) - (B

C) = 3 + 3 + 4 – 1 – 2 – 2 = 5

(A B C) parece ser A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)

pero al escribir

sería entonces

y B = { b, d, e } con B = 3

pero ( A B C ) = { a, b, c, d, e, f }

( A B C ) = 6

observando minuciosamente vemos que

A B = { b }

A C = { b, c }

B C = { b, e }

el elemento c aparece en dos conjuntos (A y C) pero se descuenta

una vez en A C

el elemento e aparece en dos conjuntos (B y C) pero se descuenta

una vez en B C

el elemento b que aparece en los tres conjuntos ( A, B y C) ; se descuenta tres vecesse descuenta tres veces: en (A B) ; (A C) y (B C)

(A B C) = A + B + C - (A B) - (A C) - (B C) + (A B C)

A B

•a •

b•c

•d

•e

•fC

sucede que todos los elementos que se encuentren en la triple interseción se descontarán una vez mas que lo que

corresponde, entonces :

a A + B + C - (A B) - (A C) - (B C)

vamos a sumarle (A B C)

así tenemos :

A = 3 B = 3 C = 3 (A B) = 1

(A C) = 2

(B C) = 2

(A B C) = 1 entonces

(A B C) = 3 + 3 + 3 – 1 – 2 – 2 + 1 = 6

13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias.

Extraemos datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M F) = 7 (M B) = 15 (F B) = 10

(M F B) = M + F + B - (M F) - (M B) - (F B) + (M F B)

Hacemos pasaje de términos para despejar

(M F B) = (M F B) - M - F - B + (M F) + (M B) + (F B)

(M F B) = 70 – 32 – 20 – 45 + 7 + 15 + 10 = 5

son datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M F) = 7 (M B) = 15 (F B) = 10

M F

15

510

8

5

25B

U

2

30

y hemos hallado que (M F B) = 5

así :

Solo matemática = 32 – 2 – 5 – 10 = 15

Otras materias = 30

Solo biología = 45 – 10 – 5 - 5 = 25

(M F) - (M F B) = 7 – 5 = 2

(M B) - (M F B) = 15 – 5 = 10 (F B) - (M F B) = 10 – 5 = 5

Solo física = 20 – 2 – 5 - 5 = 8

14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? ; ¿ porqué ?

planteamos la siguiente situación

Todos los que juegan tenis y fútbol, también corren; de manera que:

(F T) = (F T C)

20%

0%T

F

C

en este caso, si el 40% juega fútbol y corre y tenemos un 20% que además de jugar fútbol y correr, juega

tenis; nos quedan entonces el 20% que únicamente juega fútbol y corre 20%

Sabemos así, que del 50% que juega fútbol, solo el 10% juega solamente fútbol

10%

un 30% juega tenis y corre, pero

ya tenemos un 20% que además de jugar tenis y correr; juega fútbol, nos quedan entonces el 10% que únicamente juega tenis y corre

10%

sabemos así que del 60% que juega

tenis, el 30% juega solamente tenis

30%

la suma de los porcentajes de cada una de las regiones del diagrama de Venn, arroja que quedarían solamente un 10% de

profesores que solamente corren . . . Ese resultado arroja un total de 60% de profesores que corre y se contradice con la consigna donde son el 70% los profesores que

corren

10% ?

Los datos son inconsistentesLos datos son inconsistentes (erróneos)

15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran tres: la rueda de la fortuna, la montaña rusa y el trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.

Los 20 niños que subieron a los tres juegos, gastaron

20 x 3 x 0.50 = $ 30

Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres juegos, y sé también que son 20 los niños que subieron a los tres juegos, es evidente que . . . .

Los que subieron solamente a dos juegos son 55 – 20 = 35 niños

Que subiendo a dos juegos gastaron

35 x 2 x 0,50 = $ 35

Entre los niños que subieron a dos o tres juegos (55 en total), llevan gastado $ 30 + $

35 = $ 65

quedan ahora $ 5 y 20 niños que aún no subieron a juego

algunolos $ 5 que restan son suficientes para 10 tickets, pero los niños

son 20

En el caso que reparta 1 ticket por niño, quedarán 10 sin subir a ningún juego

Una Gramática G que genera un lenguaje L, es un cuádruple G (T, N, S0, P ) conformado por:

T conjunto de símbolos terminales

N conjunto de símbolos NO terminales

S0 símbolo inicial

P conjunto de Producciones

Los símbolos terminales son letras minúsculas y tienen el significado que le asigne cada lenguaje en particular

Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas y sirven para componer las expresiones (cadenas) del lenguaje

Las producciones son las “leyes” que rigen en la composición de las cadenas del lenguaje

T = { a, b } N = { S0, A } P = { S0 a A ; A a A ; A b }

Así desde el símbolo inicial generamos cadenas como

S0 a A a a A a a b

S0 a A a a a A a a a a A a a a a b

LG = { an b, n 1 }

an significa que a puede repetirse n veces

El símbolo inicial S0 es un No Terminal, que

dá inicio a las secuencias de producciones

(an no es una expresión algebraica

de potencia)

1616 1717

16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T, N, S0, P ) donde T = { a, b, c }; N = { S0, A, B }; S0 es símbolo inicial P = { S0 AB, A ab, A a A b, B c, B B c }Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado:

a a b b a a a b b c a a a b b b c c c a b a b c c

Para saber si una cadena pertenece a un determinado lenguaje, debemos verificar si es posible formar dicha cadena con la gramática de dicho

lenguaje

Así, en el primer caso, la cadena es a a b b a a

Y la única producción que involucra al símbolo

inicial es S0 ABDe manera que cualquier cadena de este lenguaje necesariamente comienza en S0

ABDe observar atentamente el conjunto de producciones, verá Ud. que el

símbolo no terminal B produce únicamente B c ó B B c

Entonces cualquier cadena que se inicia con S0 AB debe terminar en c

Luego a a b b a a no es una cadena del Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dadolenguaje dado

En el caso de la cadena a b b c

Si G = ( T, N, S0, P ) donde T = { a, b, c }; N = { S0, A, B }; S0 es símbolo inicial P = { S0 AB, A ab, A a A b, B c, B B c }

S0 AB a b B a b c

No es la cadena buscada

S0 AB a A b B a a b b cNo es la cadena buscada y podemos notar que cualquier cadena de este

lenguaje contendrá igual cantidad de símbolos a que de símboloos b al inicio y

luego una ó mas c La cadena a a a b b b c c c

Se obtiene haciendo

S0 A B a A b B c a a A b b B c c a a a b b b c c c

Usamos A a A b y B B c

Finalmente A a b y B c

Luego, a b b c no es una Luego, a b b c no es una cadena del lenguaje dadocadena del lenguaje dado

Luego, a a a b b b c es una cadena del Luego, a a a b b b c es una cadena del lenguaje dadolenguaje dado

17) Sea : L(G) = { an c bn ; n 0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda generar el lenguaje dado.

Para hallar una gramática que genere un lenguaje dado, debemos definir los conjuibntos que componen el cuádruple que define la gramática, de manera que esa gramática sea capaz dce generar

todas las cadenas del lenguaje y solamente de él.

En nuestro caso, es evidente que el conjunto de símbolos terminales T estará conformado por los

símbolos

T = { a, b, T = { a, b, c }c }

Al conjunto de símbolos no teminales N le asignamos un elemento S0 y un no terminal A N = { SN = { S00, A }, A }

Con estos conjuntos proponemos una primera producción SS00 a A ba A b

Y una segunda y tercera producción pueden ser:

A a A b A c

Con estas producciones se forman cadenas que tienen igual cantidad de a y de b al inicio y al final; y en el medio una c

P = { S0 a A b; A A a B; A c }

Pero si L(G) = { an c bn ; n 0 } puede suceder que no existan símbolos a ni b, (n = 0)

Esto nos lleva a reformular las producciones halladas

S0 a A b; A a A b; A c

Porque es fácil advertir que con estas producciones, siempre

estarán a y b al comienzo y al final respectivamenteEntonces planteamos S0 a S0 b; S0 c

La gramática G = ( T, N, S0, P ) queda conformada con

T = { a, b, c }; N = { S0 }; S0 es símbolo inicial

P = { S0 a S0 b; S0 c }Queda en evidencia que un mismo símbolo no terminal, puede producir

cosas diferentes, inclusive el símbolo inicial (que es un no terminal)

No es perezoso solo el que no hace nada; sino también el que pudiendo hacerlo mejor, no lo hace. Sócrates

02 conjuntos

Documents