UN POINT

SUR

LE CERCLE INSCRIT

À

UN TRIANGLE

Jean - Louis AYME 1

A

B C D

F

E M

Y

Z

X

1

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour d'un point situé sur le cercle inscrit à un triangle et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation se poursuit… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents a collection of problems around a point located on the incircle of a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments

and historical notes accompany each problem. This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved

synthetically.

Resumen. El autor presenta una colección de problemas alrededor de un punto sobre el círculo

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 18/02/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

inscrito en un triángulo y en cuyo contexto se refiere al título anterior. Evidencia a menudo original, comentarios y notas históricas acompañan a cada problema. Esta colección construida en forma lineal por acumulación continua. Las figuras están todos en posición general y todos los teoremas mencionados pueden todos ser demostrados sintéticamente.

3

3

Sommaire

A. Récapitulation 4

B. Thèmes des problèmes 6

C. Les problèmes résolus 7

1. D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral 8 2. D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral 10 3. D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral 13 4. D'un point à deux côtés adjacents d'un triangle et au côté correspondant du triangle de contact 15 5. D'un point aux côtés d'un triangle et aux côtés du triangle de contact 18 6. D'un point à un côté d'un triangle 20 7. D'un point aux sommets du triangle de contact 22 8. D'un point aux côtés d'un triangle équilatéral 23 9. D'un point aux côtés d'un triangle quelconque 25 10. Du point de Feuerbach aux sommets du triangle médian 27 11. D'un point à deux sommets d'un triangle équilatéral 29 12. Deux points et deux sommets du triangle de contact 31 13. De l'antipôle d'un point de contact au sommet correspondant 33 14. De l'antipôle d'un point de contact au point de Nagel 35 15. Une corde et un côté du triangle de contact 36 16. Du point de Feuerbach au point médian d'un triangle 38 17. Fe, orthopôle de (OI) 40 18. Du point de Feuerbach au pied d'une hauteur 43 19. Du point de Feuerbach au pied d'une hauteur 45 20. Fe centre de symétrie 47 21. Une relation 49 22. Parallèle à une hauteur issue du point de Feuerbach 51

4

4

A. RÉCAPITULATION

MA = 2.MX MX4 + MY4 + MZ4 est constante MA4 + MB4 + MC4 est constante

MP² = MY.MZ MP.MQ.MR = MX.MY.MZ

MD² = 2.ID.MX ABC équilatéral MD = ME + MF

ABC équilatéral MZMYMX +=

A

B C

O

X

Z Y 0

M

A

B C

I

D

F E

1 M

A

B C D

F E

1

X

M

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y

X

R Q

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y

A

B C

I

D

F

E

1

M

X

A

B C D

F E

1

M

A

B C D

F E

1

M

Z Y

X

5

5

A

B C D

F

E

1

M Z

Y

X

MZDEMYFDMXEF ... += si, Fe est sur l'arc EF ne contenant pas D alors, FeM = FeN + FeP.

minimum de 1/2.MA + MB MN.EF = 3.EN.FM

AU = NaD' S est sur (B'C').

15. MP.MQ = ME 16. GFe* = 2.GFe.

A

B C D

F

E

1

Fe

M

N P

A

B C D

F E

1 M

A

B C D

E

F 1

M N

A

B C

Na

D

1

D'

U

A

B C

Na

D

1

U

S

B'C'

A

B C D

F

E

1

M

P

Q

A

B C

G

Fe

Fe*

0

1

6

6

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

17. Fe, orthopôle de (OI) est sur 1 18. AX = FeA'

19. (A'A*) est la symétrique de (A'Fe) 20. Fe centre de symétrie par rapport à (A'A).

A

B C

D

F

E

1

M R

Q

P

1a

1c 1b

21. RF = PD + QE 22. (FeX) est parallèle à (AA')

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

A

B C

1 H

2

X

Fe

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

A*

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

7

7

B. THÈMES DES PROBLÈMES 2

• D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral 1, 2, 3 • D'un point à deux côtés adjacents d'un triangle et au côté correspondant du triangle de contact 4 • D'un point aux côtés d'un triangle et aux côtés du triangle de contact 5 • D'un point à un côté d'un triangle 6 • D'un point aux côtés d'un triangle équilatéral 8 • D'un point aux côtés d'un triangle quelconque 9 • Du point de Feuerbach aux sommets du triangle médian 10 • D'un point à deux sommets d'un triangle équilatéral (minimum) 11 • Deux points et deux sommets du triangle de contact 12 • De l'antipôle d'un point de contact au sommet correspondant 13 • De l'antipôle d'un point de contact au point de Nagel 14 • Une corde et un côté du triangle de contact 15 • Du point de Feuerbach au point médian d'un triangle 16 • Fe, orthopôle (OI) 17 • Du point de Feuerbach au pied d'une hauteur 18, 19 • Fe centre de symétrie 20 • Une relation 21 • Parallèle à une hauteur 22

2 Renvoi au numéro du problème

8

8

C. LES PROBLÈMES RÉSOLUS

9

9

PROBLÈME 1 3

D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral

VISION

Figure :

A

B C D

F E

1

X

M

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, X le milieu de [EF] et M un point de l'arc FDE. Donné : MA = 2.MX.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F E

1

X

M

N J

2

3

• Notons N le second point d'intersection de (MX) avec 1,

3 A relation, AoPS du 18/02/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1786774_a_relation

10

10

2 le cercle de diamètre [AI] ; il passe par E et F ; J le centre de 2 ; il est sur 1. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 4, M, N, A et I sont cocyliques. • Notons 3 ce cercle.

A

B C

I

D

F E

1

X

M

N J

2

3

• Une chasse angulaire : * par ''Angles opposés'', <AXM = <IXN * par ''Angles inscrits'', <XMA = <NIA i.e. <NIX. • Les triangles MAX et INX étant semblables, MA/IN = MX/IX i.e. MA/MX = IN/IX. • Scolies : (1) J est l'orthocentre du triangle équilatéral AEF

(2) d'après Carnot ''Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté'', I est le symétrique de J par rapport à (EF).

• Une chasse de rapports : * nous avons : MA/MX = IN/IX * par construction, IN/IX = IJ/IX * d'après Scolie 2, IJ/IX = 2 * par transitivité de =, MA/MX = 2. • Conclusion : MA = 2.MX.

4 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

11

11

PROBLÈME 2 5

Mathematica.gr

D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral

VISION

Figure :

A

B C

O

X

Z Y

0

M

Traits : ABC un triangle équilatéral, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, XYZ le triangle médian de ABC et M un point de 1. Donné : la somme MX 4 + MY4 + MZ4 est constante. Commentaire : pour rester dans le cadre de ce travail, nous aurions pu considérer comme hypothèse

superfétatoire le triangle antimédian UVW de ABC…le cercle circonscrit 0 devant ainsi le cercle inscrit de UVW.

5 Ayme J.-L., Evaluation of a sum, AopS du 17/02/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1786195_evaluation_of_a_sum

12

12

VISUALISATION

A

B C

O

X

Z Y

0

M

a

• Notons R, 1 le rayon de 0, la longueur BC et a la mesure géométrique de <XOM. • Scolies : (1) R² = 3

(2) OX = OY = OZ = R/2 • D'après ''La loi des cosinus'' 6 appliqué au triangle OMX, MX² = OM² + OX² - 2.OM.OX.cos a par substitution, MX² = (15/4) - 3.cos a par élévation au carré, MX4 = (15/4)² - 2.(15/4).3.cos a + 9.cos2 a par simplification, MX4 = (225/16) - (45/2).cos a + 9.cos2 a • Mutatis mutandis, nous montrerions que MY4 = (225/16) - (45/2).cos (a + 2Π/3) + 9.cos2 (a+2Π/3) MZ4 = (225/16) - (45/2).cos (a + 4Π/3) + 9.cos2 (a+4Π/3) • Scolies : (1) cos a + cos(a + 2Π/3) + cos(a + 2.2Π/3) = 0 (2) évaluation

T = cos2 a + cos² (a + 2Π/3) + cos² (a + 2.2Π/3) par duplication, T = (½).[1 + cos 2a + 1 + cos (2a + 4Π/3) + 1 + cos (2a + 8Π/3)] par simplification, T = (½).[3 + cos 2a + cos (2a + 4Π/3) + cos (2a + 8Π/3)] par formule d'addition, T = (½).[3 + 2.cos (2a + 4Π/3).cos (4Π/3) + cos (2a + 4Π/3)] par factorisation, T = (½).[3 + cos (2a + 4Π/3).{2.cos (4Π/3) + 1}] ; cos (4Π/3) = -(1/2) en conséquence, T = 3/2. 6 ou théorème de Ghiyath al kaschi (1380-1429) ou théorème de Pythagore généralisé. Ce résultat se trouve chez Euclide d'Alexandrie (III e siècle a. J.-C.), propositions 12 et 13 du Livre II des Éléments

13

13

• Sommation : MX4 + MY4 +MZ4 = 3.(225/16) + 9.3/2

• Conclusion : la somme MX 4 + MY4 + MZ4 est constante et est égale à 891/16.

14

14

PROBLÈME 3 7

Mathematica.gr

D'un point à un sommet d'un triangle équilatéral

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F E

1 M

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, et M un point de 1. Donné : la somme MA4 + MB4 + MC4 est constante.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F E

1 M

X

7 Constant sum, AoPS du 12/02/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1783432_constant_sum

15

15

• Scolie : DEF est équilatéral. • Notons X le milieu de [EF]

et r, 1 le rayon de 1, la longueur EF. • D'après 01. Problème 1, 2.MA = MX. • D'après 01. Problème 2, MX4 + MY4 + MZ4 = 891/16 ; en conséquence, 16.(MA4 + MB4 + MC4) = 891/16. • Conclusion : la somme MA4 + MB4 + MC4 est constante et est égale à 891/256.

16

16

PROBLÈME 4 8

D'un point à deux côtés adjacents d'un triangle

et

au côté correspondant du triangle de contact

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de l'arc EF ne contenant pas D et P, Y, Z les pieds des perpendiculaires à (EF), (AC), (AB) issues de M. Donné : MP² = MY.MZ.

VISUALISATION

8 Coxeter, Greitzer, Geometry Revisited, New Mathematical Library, New York (1967), Exercice 4, p. 41

Circle, AoPS du 28/10/2012 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h504341p2832925 A relation, AoPS du 25/02/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1790923_a_relation

17

17

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y 1e

1f

• Notons 1e, 1f les cercles circonscrits resp. aux quadrilatères cycliques EPMY, FPMZ. • Une première chasse angulaire : * <ZMP a pour supplément <PFZ i.e. <EFA * <PMY a pour supplément <YEF i.e. <AEF * le triangle AEF étant A-isocèle, <AEF = <EFA * en conséquence, <ZMP = <PMY. • Une seconde chasse angulaire : * par ''Angles inscrits'', <PZM = <PFM * par une autre écriture, <PFM = <EFM * par ''Le théorème de la tangente'', <EFM = <YEM * par ''Angles inscrits'', <YEM = <YPM * par transitivité de =, <PZM = <YPM. • D'après ''Le théorème a.a.a. '', les triangles MPZ et MYP sont semblables ; en conséquence, MP/MY = MZ/MP. • Conclusion : MP² = MY.MZ. Scolies : (1) cette visualisation se généralise à tout point de 1

(2) (BC) est une hypothèse superfétatoire. Généralisation :

18

18

A

F

E

1

M Z

P

Y

la distance MP d’un point quelconque M d’un cercle à une corde donnée [EF] est moyenne proportionnelle entre

les distances MY, MZ du même point M aux tangentes (AE), (AF), menées par les extrémités de la corde donnée.

19

19

PROBLÈME 5 9

D'un point aux côtés d'un triangle

et

aux côtés du triangle de contact

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y

X

R

Q

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de 1, X, Y, Z les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (EF), (FD), (DE) issues de M. Donné : MP.MQ.MR = MX.MY.MZ.

VISUALISATION

9 Geometry, AoPS du 03/01/2017 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1363479_geometry

Une relation métrique connue ?; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1387030 Nice geometry, AoPS du 10/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1510942_nice_geometry Geometry products, AoPS du 05/10/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1927654_geometry_products

20

20

A

B C D

F

E

1

M Z

P

Y

X

R

Q

a b

c

x

y z

• Posons MP = a, MQ = b, MR = c, et MX = x, MY = y, MZ = z.

• D'après Problème 1, a² = y.z , b² = z.x , c² = x.y. • Par multiplication membre à membre et réduction, a.b.c = x.y.z. • Conclusion : MP.MQ.MR = MX.MY.MZ.

21

21

PROBLÈME 6 10

D'un point à un côté d'un triangle

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E

1

M

X

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de 1 et X le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de M. Donné : MD² = 2.ID.MX.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F

E

1

M

X

D'

T

r

r

x

• Notons D' l'antipôle de D relativement à 1 et T le point d'intersection de (D'M) et (BC). • Posons MX = x, ID = r.

• Une chasse segmentaire :

* les triangles TMX et DD'M étant semblables, TM/DD' = MX/D'M

10 A distance, AoPS du 04/05/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1441680_a_distance

A relation, AoPS du 05/03/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1795721_a_relation

22

22

* par ''Produit en croix'', TM.D'M = DD'.MX * par substitution, TM.D'M = 2.ID.MX • Conclusion : par ''Relation métrique''

dans le triangle D-rectangle DD'T, DM² = 2.ID.MX. Scolie : autre écriture MD² = 2r.x.

23

23

PROBLÈME 7 11

D'un point aux sommets du triangle de contact

VISION

Figure :

A

B C D

F E

1

M

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC et M un point de l'arc EF ne contenant pas D. Donné : MD = ME + MF.

VISUALISATION

• Scolies : (1) DEF est équilatéral (2) EF = FD = DE. • D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' 12 appliqué au quadrilatère convexe cyclique MEDF, MD.EF = ME.FD + MF.DE. • Conclusion : par simplification, MD = ME + MF.

11 Equilateral triangle - incircle and equality, AoPS du 15/02/2017 ;

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1383993_equilateral_triangle__incircle_and_equality 12 Ptolémée C. (90-168), Almageste Livre I , chapître IX ;

http://www.lpma-paris.fr/pageperso/mazliak/Ptolemee_Almageste_Livre_1_Chapitre_IX.pdf

24

24

PROBLÈME 8 13

D'un point aux côtés d'un triangle équilatéral

VISION

Figure :

A

B C D

F E

1

M

Z

Y

X

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de l'arc EF ne contenant pas D et X, Y, Z les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M.

Donné : MZMYMX += .

VISUALISATION

13 Equilateral triangle - incircle and equality, AoPS du 15/02/2017 ;

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1383993_equilateral_triangle__incircle_and_equality

25

25

A

B C D

F E

1

M

Z

Y

X

x

y

z

r

r r

• Scolie : DEF est équilatéral. • Notons r le rayon de 1.

• D’'après Problème 3, MD² = 2r.MX i.e. MD = MXr .2

ME² = 2r.MY i.e. ME = MYr .2

MF² = 2r.MZ i.e. MF = MZr .2

• D'après Problème 4, MD = ME + MF.

• Conclusion : par substitution et simplification, MZMYMX += .

26

26

PROBLÈME 9 14

D'un point aux côtés d'un triangle quelconque

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

1

M Z

Y

X

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de l'arc EF ne contenant pas D et X, Y, Z les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M.

Donné : MZDEMYFDMXEF ... += .

VISUALISATION

14 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{z}$, AoPS du 14/07/2016 ;

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1265527p6654374

27

27

A

B C D

F

E

1

M Z

Y

X

r

r

r

• Notons r le rayon de 1.

• D'après Problème 3, MD² = 2r.MX i.e. MD = MXr .2

ME² = 2r.MY i.e. ME = MYr .2

MF² = 2r.MZ i.e. MF = MZr .2 . • D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' 15 appliqué au quadrilatère convexe cyclique MEDF, EF.MD = FD.ME + DE.MF.

• Conclusion : par substitution et simplification, MZDEMYFDMXEF ... += .

15 Ptolémée C. (90-168), Almageste Livre I , chapître IX ;

http://www.lpma-paris.fr/pageperso/mazliak/Ptolemee_Almageste_Livre_1_Chapitre_IX.pdf

28

28

PROBLÈME 10 16

Du point de Feuerbach aux sommets du triangle médian

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

1

Fe

M

N P

Traits : ABC un triangle tel que AB < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, Fe le point de Feuerbach de ABC et MNP le triangle médian de ABC. Donné : si, Fe est sur l'arc EF ne contenant pas D alors, FeM = FeN + FeP.

VISUALISATION

A

B C D

F

E

1

Fe

M

N P

2

16 Thébault V. point [Feuerbach point of a triangle; FY + FZ = FX], AoPS du 28/01/2005 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h24959p157792

29

29

• Notons 2 le cercle d'Euler de ABC ; il passe par M, N, P. 17 • D'après Karl Feuerbach ''Le théorème'' 18, 2 est tangent à 1 en Fe. • Notons BC = a, CA = b, AB = c. • Scolie : 2.NP = a, 2.PM = b, 2.MN = c. • D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' 19 appliqué au quadrilatère convexe cyclique FePMN, NP.FeM = PM.FeN + MN.FeP. i.e. par substitution et simplification, a.FeM = b.FeN + c.FeP. • D'après John Casey ''Une généralisation du théorème de Ptolémée'' 20 appliqué aux aux cercles-points Fe, N, P et à 1 tous tangents à 2 : pour mieux comprendre dédoublons Fe en Fe* : Fe*P.FeN = FeFe*.PN + Fe*N.FeP FP.FeN = 0 + NE.FeP. • Par culture géométrique, 2.NE = a-c et 2.PF = b-a. • Par substitution, (b-a).FeN = (a-c).FeP 21 ; 0 = (a-b).FeN + (a-c).FeP nous avons : a.FeM = b.FeN + c.FeP. • Conclusion : par addition membre à membre

et simplication par a, FeM = FeN + FeP 22.

17 Bevan B., Mathematical Repository de Leybourn I (1804) 18

Brianchon Ch. J., Poncelet J. V., Annales de Gergonne 11 (1820-21) 215, théorème 9 ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=AMPA Ayme J.-L., Les cercles de Morley, Euler…, G.G.G. vol. 2, p. 3-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

18 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1, 21 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 19 Ptolémée C. (90-168), Almageste Livre I , chapître IX ;

http://www.lpma-paris.fr/pageperso/mazliak/Ptolemee_Almageste_Livre_1_Chapitre_IX.pdf 20 Casey J. (1820-1891), (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane ;

(2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere ; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396–423 ; http://www.math.ust.hk/excalibur/v16_n5.pdf

21 Une relation, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1480838 22 Ayme J.-L., What do you think, AoPS du 10/06/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/q1h1460112p8423541

30

30

PROBLÈME 11 23

D'un point à deux sommets d'un triangle équilatéral

VISION

Figure :

A

B C D

F E

1 M

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, et M un point de l'arc FDE. Donné : minimum de 1/2.MA + MB.

VISUALISATION

A

B C D

F E

1

X

M

• Notons X le milieu de [EF]. • D'après Problème 1, ½.MA = MX.

23 find the minimum, AoPS du 26/03/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1411316_find_the_minimum.

31

31

• Nous devons minimiser la ligne B-M-X brisée en M i.e. MX + MB. • Scolie : le plus ''court chemin'' entre deux points est ''la ligne droite''.

A

B C D

F E

1

X

M

• Conclusion : M est le point d'intersection de [BX] avec 1.

32

32

PROBLÈME 12 24

Deux points et deux sommets du triangle de contact

VISION

Figure :

A

B C D

E

F 1

M N

Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, et M, N les points d'intersection de (BE), (CF) avec 0. Donné : MN.EF = 3.EN.FM.

VISUALISATION

A

B C D

E

F 1

M N

a

y m

r t

j

• Posons EF = a, FM = y, EM = m, DM = j, DF = r, DE = t. • D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' appliqué au quadrilatère DEFM

* cyclique, a.j + t.y = m.r * harmonique, a.j = t.y

24 involving Ptolemy, AoPS du 06/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1301937_involving_ptolemy Problème 51 ; http://www.mediafire.com/file/jpv88zv2d0fkcyl/P051-metrigeo.doc

33

33

* par substitution, m = 2.t.y/r.

A

B C D

E

F 1

M N

a

x n

k

r

t

• Posons EN = x, FN = n, DN = k. • D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' appliqué au quadrilatère DFEN

* cyclique, a.k + x.r = n.t * harmonique, a.k = x.r * par substitution, n = 2.r.x/t.

A

B C D

E

F 1

M N

a

b

x

y

m

n

• D'après Claude Ptolémée ''Le théorème'' appliqué au quadrilatère EFMN

* cyclique, a.b + x.y = m.n * harmonique, xy = ab

* par substitution, mn = 4.x.y * en conséquence, ab = 3xy.

• Conclusion : MN.EF = 3.EN.FM.

34

34

PROBLÈME 13 25

De l'antipôle d'un point de contact au sommet correspondant

VISION

Figure :

A

B C

Na

D

1

D'

U

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, D le point de contact de 1 avec (BC), U l'antipôle de D relativement à 1, Na le point de Nagel de ABC et D' l'isotome de D relativement à [BC]. Donné : AU = NaD'.

VISUALISATION

A

B C

Na

D

1

D'

U

A"

X

• Scolie : A, U et D' sont alignés. 25 Lalesco T., La Géométrie du triangle, réédition J. Gabay, Paris (1987) proposition 4-39 p. 35 USAMO 2001 Problem 2, AoPS du 01/10/2005 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h54049_usamo_2001_problem_2 Myakishev A., 9—10, Prove that point lies on the incircle, Sharygin contest 2008. The correspondence round. Problem 13. Mathlinks du 03/09/2008 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=48439151&t=224272 Incircle, Mathlinks du 12/03/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=337716

35

35

• Par définition, Na est sur (AD'). • Notons A" le pied de la A-hauteur de ABC et X le pied de la perpendiculaire abaissée de Na sur (AA"). • Scolie : (AX) // (DU).

A

B C

Na

D

1

D'

U

A"

X

Y

• Notons Y le point tel que le quadrilatère AXNaY soit un rectangle. • Scolie : Na est le centre du cercle inscrit du triangle antimédian de ABC. 26 • Une chasse segmentaire : AX = YNa ;

YNa = UD ; par transitivité de la relation =, AX = UD. • Le quadrilatère AXDU ayant deux côtés parallèles et égaux est un parallélogramme ; en conséquence, (1) (AU) // (XD) (2) AU = XD. • Le quadrilatère XDD'Na ayant ses côtés opposés parallèles, est un parallélogramme ; en conséquence, XD = NaD'. • Conclusion : par transitivité de la relation =, AU = NaD'.

26 Ayme J.-L., Le cercle de Fuhrmann, G.G.G. vol. 5 p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

36

36

PROBLÈME 14 27

De l'antipôle d'un point de contact au poit de Nagel

VISION

Figure :

A

B C

Na

D

1

U

S

B'C'

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, D le point de contact de 1 avec (BC), U l'antipôle de D relativement à 1, Na le point de Nagel de ABC, A'B'C' le triangle médian de ABC et S le milieu de [UNa]. Donné : S est sur (B'C').

Commentaire : d'après le Problème 13, la visualisation est immédiate.

27 A midpoint, AoPS du 16/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1514018_a_midpoint

37

37

PROBLÈME 15 28

Une corde et un côté du triangle de contact

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

1

M

P

Q

Traits : ABC un triangle,

1 le cercle circonscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M le milieu de l'arc EF ne contenant pas D, P un point de [EF], et Q le second point d'intersection de (MP) avec 1. Donné : MP.MQ = ME ².

VISUALISATION

A

B C D

F

E

1

M

P

Q 2

• Notons Tm la tangente à 1 en M/ • Scolie : Tm // (EF). • Le cercle 1, le point de base Q, la monienne (MQP), conduisent au théorème 8'' de Reim ; en conséquence, P et Q sont le cercle tangent à (EF) en P et tangent à 1 en Q. 28 Ayme J ;-L., A point on a circle, AoPS du 14/09/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1512877_a_point_on_a_circle

38

38

• Notons 2 ce cercle. • Scolie : le cercle de centre M passant par E est orthogonal à 2. 29 • Conclusion : par ''Puissance d'un point par rapport à un cercle'', MP.MQ = ME ².

29 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16 p. 10-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

39

39

PROBLÈME 16 30

Du point de Feuerbach au point médian d'un triangle

VISION

Figure :

A

B C

G

Fe

Fe*

0

1

Traits : ABC un triangle,

1 le cercle circonscrit à ABC, G le point médian de ABC, Fe le point de Feuerbach de ABC et Fe* le point d'intersection de (FeG) avec 0 tel que G soit entre Fe et Fe*. Donné : GFe* = 2.GFe.

VISUALISATION

30 A relation with the Feuerbach’s point, AoPS du 08/04/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1818062_a_relation_with_the_feuerbachs_point

40

40

A

B C

G

Fe

Fe*

0

1 2

• Notons 2 le cercle d'Euler de ABC. • D'après Karl Feuerbach ''Le théorème'' 31, 2 est tangent à 1 en Fe. • Par culture géométrique 32, 0 est homothétique à 2 (centre G, rapport 2). • Conclusion : GFe* = 2.GFe. Scolies : (1) X est répertorié sous X100 chez ETC (2) X100 est l'anticomplément de Fe relativement à ABC.

31 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1, 21 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 32 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 5; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

41

41

PROBLÈME 17 33

Orthopôle de (OI)

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : Fe, orthopôle de (OI), est sur 1.

VISUALISATION

• Notons X' l'orthopôle de (OI) relativement à ABC et 1' le cercle d'Euler de ABC. • D'après Modeste Soons ''Orthopôle d'un diamètre'' 34 appliqué à la droite diamétrale (OI) du cercle circonscrit à ABC,

(1) X' est sur 1' (2) X' est ''le point de Fontené de (OI) relativement à ABC'' 35 • D'après Georges Fontené ''Le deuxième théorème'' 36 et Karl Feuerbach ''Le théorème'' 37,

(1) 1 passe par X'

33 With the Feuerbach's point, AoPS du 11/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1511323_with_the_feuerbachs_point 34 Soons M., Théorème de Géométrie, Mathesis 6 (1896) 57-59 Ayme J.-L., Orthopôle d'une droite relativement à un triangle, G.G.G. vol. 8, p. 15-18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 35 Ayme J.-L., Les trois théorème de Georges Fontené, G.G.G. vol. 8, p. 15-18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 36 Ayme J.-L., Les trois théorème de Georges Fontené, G.G.G. vol. 8, p. 11-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 37 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

42

42

(2) X' et Fe sont confondus.

• Conclusion : Fe, orthopôle de (OI), est sur 1.

43

43

PROBLÈME 18 38

Du point de Feuerbach au pied d'une hauteur

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC, A' le pied de la A-hauteur de ABC, X le pied de la perpendiculaire à (OI) issue de A et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : AX = FeA'.

VISUALISATION

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

P N

M

38 With the Feurbach point II , AoPS du 11/09/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1511345_with_the_feuerbach_point_ii

44

44

• Notons MNP le triangle médian de ABC. • Scolie : A' est le symétrique de A par rapport à (MP). • D'après Problème 15, Fe est le symétrique de X par rapport à (MP). • Conclusion : AX = FeA'. Scolies : (1) …et circulairement (2) le quadrilatère AfeXA' est un trapèze isocèle.

45

45

PROBLÈME 19 39

Du point de Feuerbach au pied d'une hauteur

et

symétrisation

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

A*

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC, A' le pied de la A-hauteur de ABC, A* le pied de la perpendiculaire à (OI) issue de A' et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : (A'A*) est la symétrique de (A'Fe) par rapport à (A'A).

VISUALISATION

39 Question 7045, Journal de Mathématiques Élémentaires (1900) 43

46

46

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

A*

• Notons X le pied de la perpendiculaire à (OI) issue de A. • Scolie : (A'A*) // (AX).

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

A*X

• D'après Problème 18, AfeXA' estt un trapèze isocèle. • Une chasse angulaire :

* nous avons : <AA'Fe = <XAA' * par ''Angles alternes-internes'', <XAA' = <A*A'A * par transitivité de =, <AA'Fe = <A*A'A.

• Conclusion : (A'A*) est la symétrique de (A'Fe) par rapport à (A'A).

47

47

PROBLÈME 20 40

Fe centre de symétrie

VISION

Figure :

A

B C

1 H

2

X

Fe

Traits : ABC un triangle,

1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, Fe le point de Feuerbach de ABC,

H l'orthocentre de ABC, 2 le cercle circonscrit au triangle BHC et X le symétrique de A par rapport à Fe. Donné : X est sur 2.

VISUALISATION

40 Very simple, AoPS du 23/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1517510_very_simple

48

48

A

B C

1 H

Oa

2

X

Fe

N

1'

• Notons 1' le cercle d'Euler de ABC et Oa le centre de 2.

• Scolies : (1) 1' est tangent à 1 en Fe 41 (2) A, N et Oa sont alignés (3) N est le milieu de [AOa] (4) 2 est homothétique à 1' (centre A, rapport 2). • Conclusion : X est sur 2.

41 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1, 21 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

49

49

PROBLÈME 21 42

Une relation

proposed

By

Kadir Altıntaş (Emirdağ, Turkey)

VISION

Figure :

A

B C

D

F

E

1

M R

Q

P

1a

1c1b

Traits : ABC un triangle tel que AB < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, M un point de 1, 1a, 1b, 1c les cercles inscrits resp. aux triangles MBC, MCA, MAB et P, Q, R les points de contact de 1a, 1b, 1c resp. avec (BC), (CA), (AB). Donné : si, PD, QE < FR alors, RF = PD + QE.

VISUALISATION

42 A property of Incircle, AoPS du 30/09/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715645_a_property_of_incircle

50

50

A

B C

D

F

E

1

M R

Q

P

1a

1c1b

• Notons a, b, c les longueurs resp. de BC, CA, AB et α, β, γ les longueurs resp. de MA, MB, MC. • Une chasse segmentaire : * d'après 26. Problème 46 appliqué resp. aux triangles ABC, MBC, 2.BD = a – b + c et 2.BP = a – β + γ * par différence, 2.PD = 2.BP – 2.BD. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (1) 2.CE = b - c + a et 2.CQ = b - γ + α 2.QE = 2.CQ – 2.CE (2) 2.AF = c - a + b et 2.AR = c - α + β 2.RF = 2.AF - 2.AR. • Conclusion : RF = PD + QE.

51

51

PROBLÈME 22 43

Parallèle à une cévienne

VISION

Figure :

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC, A' le pied de la A-hauteur de ABC, X le pied de la perpendiculaire à (OI) issue de A et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : (FeX) est parallèle à (AA').

VISUALISATION

43 With the Feuerbach's point, AoPS du 11/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1511323_with_the_feuerbachs_point

52

52

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

A" M

• D'après Problème 17, Fe, orthopôle de (OI), est sur 1. • Conclusion : (FeX) est parallèle à (AA'). Scolie : un cercle passant par X 44

A

B C

I

D

F

E Fe

1

O

A'

X

N P

2

2a

• Notons 2 le cercle d'Euler de ABC et 2a le cercle circonscrit au triangle ANP. • Conclusion : 2a passe par X.

44 Interesting, AoPS du 05/12/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1555276_interesting