01 geometria

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GEOMETRÍA PLANA

INTRODUCCIÓN

CONCEPTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRÍA:

(PUNTO, LÍNEA Y PLANO)

PUNTOS

• Tendremos conjuntos de puntos que llamaremos; Espacio, línea, plano, que caracterizaremos mediante axiomas llamados de incidencia.

• Punto, línea y plano son conceptos primitivos y por lo tanto no se definen.

Tomaremos primero un conjunto que contenga a todos los conjuntos, es decir un universo relativo que llamaremos:

ESPACIO

• Lo designaremos por la letra E. Simbolizaremos por letras mayúsculas, A, B, C, D,..... a los elementos del espacio que serán llamados puntos.

El segundo ente primitivo lo llamamos:

PLANO

• Es un subconjunto del espacio E que simbolizaremos por la letra P. Al conjunto de todas los planos lo simbolizaremos con Π

Π = { P1, P2, P3,.....} = { líneas }

El tercer concepto primitivo lo llamaremos:

LÍNEA RECTA

• Subconjunto del espacio E, lo simbolizaremos con la letra L. Al conjunto de todas las líneas lo simbolizaremos con Λ

Λ = { L1, L2, L3,.....} = { líneas }

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• Podemos dar una idea, mediante un diagrama de lo que aproximadamente son líneas rectas y planos:

• Línea recta

Una figura geométrica de una línea recta, se extiende indefinidamente en ambas direcciones.

Si un punto A ∈ L, podemos decir que A esta en L o que L pasa por A.

Definición: Dos o más puntos son colineales si están en una misma recta.

Postulado:

Existen a lo menos dos puntos en una línea. Postulado que se puede enunciar: 1. Por dos puntos cualesquiera dados, sólo puede pasar una línea

que los contenga. 2. Por dos puntos dados pasa exactamente una línea. Este postulado o axioma caracteriza la línea y se puede enunciar formalmente como:

A,B en E, A B : L tal que A,B en Lque se denota por : L AB

∀ ≠ ⇒ ∃

=suur

I I A B

L

Línea recta: L

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Dos subconjuntos importantes de una línea recta:

• Trazo

Sea L una línea y A, B son dos puntos de L, A ≠ B, entonces A y B determinan lo que se llama trazo o segmento. Trazo o segmento es la unión de los dos puntos A y B y el conjunto de todos los puntos de L que quedan entre A y B. Se denota por AB La longitud del trazo AB se denota por el número real AB.

• Rayo

Un rayo, ABuuur

, es un subconjunto de una recta que contiene un punto A dado y todos los puntos que están en el mismo lado de A, como B.

El rayo se denota por un punto terminal y otros puntos que pertenece al rayo, colocando el punto terminal primero.

I I A B

L

I I A B

AB

Trazo: AB

A B C I I I

B A

A C

AB y ACuuur uuur

ACuuur

ABuuur

Rayo :

I I

I I

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• Plano

Una figura geométrica de un plano que se extiende indefinidamente en todas las direcciones.

Como por ejemplo puede ser el piso de un cuarto que forma parte del plano, pero no es el plano, sino una parte muy pequeña de él.

Si una línea L ⊆ P, diremos que L esta en P Si un punto A ∈ P, podemos decir que A esta en P

Definición : Puntos coplanares son los que se encuentran en un mismo plano.

AXIOMAS O POSTULADOS

1. Existen a lo menos cuatro puntos no coplanares en el espacio E 2. Existen a lo menos tres puntos no colineales en un plano. 3. Dados dos puntos del espacio E, existe una única línea que los

contiene. 4. Dado tres puntos no colineales, existe un único plano que los

contiene. 5. Dados dos puntos en un plano, la línea que los contiene esta

completamente contenido en ese plano. 6. Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una

línea.

P

Plano: P

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ÁNGULO

Un ángulo es la unión de dos rayos que no están en la misma recta y tienen el mismo extremo. Un ángulo esta formado por los puntos que se hallan en los rayos, y por ningún otro punto. Si los rayos AB

uuur y AC

uuur forman un ángulo entonces estos rayos se llaman

lados del ángulo y el punto común A, vértice del ángulo. El símbolo para el ángulo es o∠ . Un ángulo se puede designar por medio de: la letra del vértice ( A ), una letra griega colocada entre los dos rayos y cerca del vértice ( α ),tres letras mayúsculas, colocando la letra del vértice entre las otras dos ( BAC). Ejemplos de ángulos

Medida de un ángulo

Los ángulos se midenpor medio de la cantidadde rotación. La notación para lamedida de un ánguloBAC es m( BAC) . Veremos tres sistemasde medición de ángulos

B

A C C

B

A

C A

B m ( BAC)

Om ( BAC) 90=

C

B

A

α

C A

B

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SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal

La unidad es el grado (sexagesimal ) que es el ángulo del centro de

una circunferencia ( ) que subtiende un arco igual a 1360

de la .

Como submúltiplos están los minutos y los segundos (sexagesimal). Es decir se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. ( En las calculadoras aparece como Deg)

Sistema circular

La unidad es el radian, que es el ángulo del centro de una que subtiende un arco de longitud igual al radio de la . Se usan múltiplos y submúltiplos decimales del radian.

Ángulo en radianes = Long. arco de circunferencia Radio de la circunferencia

El perímetro de una circunferencia de radio r es de 2 rπ entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia:

1 radian = 180≈

π

o

57,29º

En las aplicaciones físicas es mucho mas práctico y directo que trabajar con grados. ( En las calculadoras aparece como Rad)

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Conversión entre grados y radianes: Para cambiar de radianes a grados, multiplique el número de

radianes por 180π

o

Para cambiar de grados a radianes, multiplique por 180

πo

Sistema centesimal

La unidad es el grado centesimal, que es el ángulo del centro de

una circunferencia y que subtiende un arco igual a 1400

de la .

Como submúltiplos están los minutos y segundos centesimales : , , ,,g1 100 , 1 100= =

( En las calculadoras aparece como Grad)

Clasificación de los ángulos. Según la medida de sus ángulos.

Ángulo agudo

Es un ángulo cuya medida está entre 0o y 90o.

Ángulo recto

Es un ángulo que mide 90o. El símbolo cuadrado en el vértice indica que es un ángulo recto.

C A

B m ( BAC)

Om( BAC) 90=

C

B

A

o o0 m( BAC) 90< <

om( BAC) 90=

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Ángulo obtuso

Es un ángulo que mide más de 90o pero menos de 180o

Un ángulo cóncavo es el que mide menos de 180º Por lo tanto el ángulo agudo, recto y obtuso son ángulos cóncavos

Ángulo extendido

Es el que mide 180o Los lados de un ángulo extendido están en la misma línea recta, pero no se debe confundir con una línea recta.

Ángulo convexo

Es el que mide más de180o y menos de 360o

Ángulo completo

Es el que mide 360o

C

B

A

o o90 m( BAC) 180< <

o o180 m( ACB) 360< <

C A

B

I A

I B

I

I A

I B

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Tipos de Pares de ángulos

Ángulos Adyacentes

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común. En la figura :vértice A, y el lado común es ABuuur

( ) ( )( )

m BAC m DAB

m DAC

+

=

Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman pares de rayos opuestos y sus medidas son iguales.

( ) ( )m BAC m EAD=

( ) ( )m BAE m CAD=

Ángulos complementarios

Son dos ángulos cuyas medidas suman 90o

( ) ( ) om m 90α + β =

A cualquiera de los dos ángulos complementarios se le denomina como el complemento del otro.

Ángulos suplementarios

Son dos ángulos cuyas medidas suman 180o

( ) ( ) om m 180α + β =

A cualquiera de los dos ángulos suplementarios se le denomina como el suplemento del otro.

C A

B D

Complementarios adyacentes

Complementarios no adyacentes

α

β

β α

α β

D C

B E

A

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Par lineal de ángulos

Es un par de ángulos con un lado común tal que la unión de los otros dos lados es una recta . Postulado: Si dos ángulos forman un par lineal son suplementarios.

( ) ( ) om m 180α + β =

Líneas Perpendiculares, paralelas y transversal

Si AB y ACuuur uuur

forman un ángulo recto,

entonces las líneas AB y ACsuur suur

se dice que son perpendiculares y se escribe AB AC⊥

suur suur

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no se intersecan AB CDsuur suur

Una transversal a dos o más líneas es aquella que las corta.

En la figura EFsuur

es una transversal de AB y CD

suur suur

α β

B A

C

A B

C D

E

F

A B

C D

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Rectas cortadas por una secante. Ángulos que se forman.

Ángulos internos Son los ángulos 3, 4, 5, 6

Ángulos externos Son los ángulos 1, 2, 7, 8

Ángulos alternos

Los ángulos alternos interiores son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal Los ángulos alternos exteriores son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal Alternos internos: 4 y 6 , 3 y 5 Alternos internos: 1 y 7 , 2 y 8

Ángulos correspondientes

Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal. Uno de los ángulos es un ángulo exterior, el otro es un ángulo interior.

3 y 7 , 1 y 5 , 4 y 8 , 2 y 6

Ángulos conjugados

Son dos ángulos internos, o dos externos, situados en un mismo semiplano respecto a la secante. Conjugados internos: 3 y 6 , 4 y 5 Conjugados internos: 1 y 8 , 2 y 7

4

D

A

B

C

F

E

1 2 3

5 6 87

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Rectas paralelas cortadas por una secante. Ángulos que se forman.

Ángulos alternos Los ángulos alternos entre paralelas son iguales alternos internos: m 4 m 6= ,m 3 m 5= alternos externos: m 1 m 7= , m 2 m 8=

Ángulos correspondientes

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.

m 3 m 7= ,m 1 m 5= , m 4 m 8= ,m 2 m 6=

Ángulos conjugados

Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios. Conjugados internos: om 3 m 6 180+ = , om 4 m 5 180+ = Conjugados internos: om 1 m 8 180+ = om 2 m 7 180+ =

4

D

A B

C

F

E

1 2 3

5 6 87

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POLÍGONOS

Se denomina poligonal a una línea quebrada. Una poligonal puede ser:

1. Convexa toda la poligonal pertenece al mismo semi plano

2. Cóncava no toda la poligonal pertenece al mismo semi plano

Se denomina polígono a la porción del plano limitado por una línea poligonal.

P

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CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS POR LA MANERA QUE ESTAN FORMADOS

Polígonos convexos: están formados por una poligonal convexa cerrada. Todos los ángulos interiores miden menos de 180o

Polígonos cóncavos: están formados por una poligonal cóncava cerrada. Tienen por lo menos un ángulo interior mayor que 180o

Polígonos irregulares: son los que tienen sus lados y sus ángulos interiores desiguales.

Polígonos regulares: son los que tienen sus lados y sus ángulos interiores iguales.

Polígonos inscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus vértices sobre ella.

Polígonos circunscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus lados tangente a la circunferencia.

En todo polígono regular se puede inscribir o circunscribir una circunferencia.

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CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS

NÚMERO DE LADOS NOMBRE

EJEMPLO DE FIGURA

3 • Triángulo

4 • Cuadrilátero

5 • Pentágono

6 • Hexágono o

Exágono

7 • Heptágono o

Eptágono

8 • Octágono

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Complete la tabla con las figuras que faltan y concluya

9 • Nonágono o

Eneágono

10 • Decágono

11 • Endecágono

12 • Dodecágono

15 • Pentadecágono

20 • Icoságono

n • ------------?

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ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR DE N LADOS

Ángulo central: es el ángulo que se forma al dibujar dos radios hacia dos vértices sucesivos.

o360m( )n

α =

Ángulo interno

( ) on 2 180m( )

n−

α =

Ángulo externo o360m( )

nα =

PARA CUALQUIER POLÍGONO

Número de diagonales

Suma de ángulos internos

El número de diagonales de cualquier polígono está dado por:

n(n 3)

2−

La suma de los ángulos internos está dado por: ( ) on 2 180−

α

α

α

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TRIÁNGULOS

• Triángulo sean A, B y C

tres puntos no colineales entonces la unión de los segmentos AB, BC y AC se denomina triángulo y se denota por ∆ ABC.

Elementos del triángulo

- Vértices: Son los puntos A, B y C. - Lados : Son los segmentos AB, BC y AC - Ángulos: , yα β γ

Elementos Secundarios del Triángulo

• Altura de un triángulo : es un trazo perpendicular desde un vértice del triángulo a la línea que contiene al lado opuesto. En un triángulo hay tres alturas ha , hb y hc. El punto O donde concurren las tres alturas se denomina Ortocentro.

α β

γ

A B

C

a b

c

ha hb

hc

• O

A B

C

a b

c

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• Transversal de gravedad

de un triángulo : es un trazo cuyos extremos son en un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Las transversales las designaremos t a , t b y t c. El punto T donde concurren las tres transversales se denomina Centro de Gravedad del triángulo.

• Bisectriz : es un trazo que dividen cada ángulo interno por la mitad. Las bisectrices las designaremos b a , b b y b c. El punto I donde concurren las tres bisectrices se denomina Incentro y es el centro de una circunferencia inscrita.

• Mediatriz de un trazo , es la línea perpendicular al trazo en su punto medio. En todo triangulo podemos trazar tres simetrales o mediatrices, que se intercepta en un solo punto (B), se denomina circuncentro

A B

C

ta

tc

tb

• T

bbba

bc

A

C

B

I

sa sb

sc

B

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• Medianas: un triángulo tiene tres medianas, que son los segmentos que se obtienen al unir los puntos medios de dos lados de un triángulo. Cada mediana de un triángulo es paralela al lado opuesto de ella.

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TRIGONOMETRIA

Introducción

En trigonometría plana se estudian propiedades y algunas aplicaciones de un

cierto tipo de funciones de en llamadas las Funciones Trigonométricas,

que son fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo están basadas en el

Teorema de Thales aplicado a la figura.

Que establece:

, , ,, ,, , ,,

, ,, , , ,, ,,

, ,, , ,,

, , , ,,

, , ,, ,, , ,,

, ,, , , ,, ,,

1 4

2 5

3 6

BC B C B C AB AB ABk kAB AB AB BC B C B C

AC AC AC AB AB ABk kAB AB AB AC AC AC

BC B C B C AC AC ACk kAC AC AC BC B C B C

= = = − − − −− = = = = − − − − − =

= = = − − − − − = = = = − − − − − =

= = = − − − − − = = = = − − − − − =

Obteniéndose de este modo seis razones distintas: k1,k2,.......k6.

Los valores de estas razones varían solo si varia el.

Son funciones del α llamadas “Las Funciones Trigonométricas del α “.

Para encontrar los seis valores de las razones para un mismo α es necesario

considerar únicamente uno de los triángulos rectángulos de la figura anterior.

A C

B

,,C

,C

,B

,,B

α

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Las seis funciones trigonométricas.

Definición 1: En el ∆ ABC de la figura:

Se definen:

La Función Seno del α : sen longitud cateto opuesto a BClongitud de la hipotenusa AB

αα = =

La Función Coseno del α : cos longitud cateto adyacente a AC

longitud de la hipotenusa ABα

α = =

La Función Tangente del α : tan longitud cateto opuesto a BClongitud cateto adyacente AC

αα = =

α

La Función cotangente del α : cot longitud cateto adyacente a AC

longitud cateo opuesto a BCα

α = =α

La Función Secante del α : sec longitud de la hipotenusa ABlongitud cateto adyacente a AC

α = =α

La Función Cosecante del α : csc longitud de la hipotenusa ABlongitud cateto opuesto a BC

α = =α

Las funciones trigonométricas de un α son cuocientes (razones) de trazos:

números reales asociados al α . Cuando α cambia, cambian todos los

valores de esas razones.

Dado que un cateto es siempre menor que la hipotenusa resulta:

sen α <1 cos α <1

sec α >1 csc α >1

La tg α y la cot α pueden tomar cualquier valor positivo ( α es agudo)

α A C

B

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Observaciones:

Con una regla y un transportador es posible calcular, haciendo un dibujo,

aproximadamente las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

Para los ángulos de 30o, 45o y 60o las funciones trigonométricas de esos

ángulos pueden ser estudiadas geométricamente dadas las características

geométricas de los ∆ en que aparecen.

α sen α cos α tan α cot α sec α csc α

30O 12

32

13

45O 12

12

1

60O 32

12

3

Complete la tabla.

1 A B

C

30O

60O

2 3

A B

C D

1

1 2

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Relaciones entre las funciones trigonométricas.

1.- De las definiciones dadas se desprende que para un mismo α

cot1

tgα =

α sec

1cos

α =α

csc1

senα =

α tg

sencos

αα =

α cot

cossen

αα =

α

sen2α + cos2α = 1

tg2α + 1 = sec2 α

cot2α + 1 = csc 2α

Observación: para anotar las potencias de las funciones trigonométricas, se

usa la notación senn α en lugar de (senα )n. Lo mismo ocurre para las 5

restantes funciones.

2.- En las parejas:

senα , cos α

tg α , cot α

sec α , csc α

cada una de ellas se llama la cofunción de la otra y de la figura

Se obtiene la función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.

sen α = cos (90o -α )

cos α = sen (90o -α )

tan α = cot (90o -α )

cot α = tg (90o -α )

sec α = csc (90o -α )

csc α = sec (90o -α )

α A C

B

β = 90o - α

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Identidades trigonométricas

Son igualdades que contienen diversas combinaciones de funciones trigonométricas y

que mediante reemplazos adecuados se llega a hacer ver que ambos miembros son

idénticos.

Ejemplo 1: Demostrar la identidad sec tg 1cos cot

α α− =

α α

Cambiando todas las funciones a expresiones que solo contienen senos y

cosenos obtenemos:

2 2 2

2 2 2 2

1 sen1 sen 1 sen 1 sencos cos 1

coscos cos cos cos cossen

αα − α − αα α

− = − = = =αα α α α αα

Ejemplo 2: Demostrar la identidad tg cos sec cot

senα + α

= α + αα

Solución:

tg cossen sen

α α+ =

α α

sencoscos

sen sen

ααα

+α α

=1 cot

cos+ α =

αsec cotα + α

Las funciones trigonométricas inversas.

Definición: La función inversa de sen α = a es α = arc sen (a)

α es el arco seno de a

De manera análoga:

(cos α = a) ⇔ (α =arccos a)

(tan α = a) ⇔ (α =arctan a)

(cot α = a) ⇔ (α =arccot a)

(sec α = a) ⇔ (α =arcsec a)

(csc α = a) ⇔ (α =arccsc a)

También, en lugar de α = arc sen a se anota α = sen-1 a y del mismo

modo para las restantes funciones.

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Generalización de las funciones trigonométricas

Se trata de generalizar las funciones trigonométricas de modo que sean

aplicables a ángulos de cualquier magnitud.

Para ello se necesita previamente, generalizar el concepto de ángulo.

Si en el ángulo AOB se mantiene fijo el lado OB y se hace girar OA en torno

de O, de acuerdo a los desplazamientos de OA obtendremos ángulos agudos,

rectos, obtusos,...

Pero este concepto de ángulo se generaliza de acuerdo a las siguientes

convenciones:

Todos los ángulos se medirán a partir del lado fijo OB.

Giro positivo de OA. Giro contrario al movimiento de los punteros de un reloj.

Da origen a ángulos Positivos.

Giro negativo de OA giro siguiendo el movimiento de los punteros de un reloj.

Da origen a ángulos negativos.

Se permite que OA gire mas de una o más vueltas completas en uno u otro

sentido, que generara ángulos de la forma : ok 360α = ⋅ ± β con k ∈ . Cada

valor de k representa entonces una vuelta completa en uno u otro sentido de

acuerdo a su signo.

De lo dicho se desprende que existen ángulos de cualquier magnitud:

positivos, negativos y cero.

A

B O α

α < 0

O

A

B α

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GENERALIZACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

La circunferencia trigonométrica permite generalizar las funciones

trigonométricas a ángulos de cualquier magnitud manteniéndose las

definiciones dadas para las funciones de ángulos agudos y las relaciones que

ligan esas funciones.

Para ello, se considera en el plano cartesiano una de radio r = 1 centrada

en el origen: la circunferencia trigonométrica.

Si el punto P se mueve sobre la , el radio OP forma un ángulo α con el semi

eje positivo OX.

OX : lado fijo del α

OX : lado fijo del α

Los ángulos determinados por los ejes coordenados 0o, 90o, 180o, 270o, 360o

se llaman ángulos limites.

P

x

y

1

1 -1

-1

α

•

O

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I) FUNCION SENO

La función seno del α se define como la ordenada del punto P:

sen α = QP

El valor de la función sen α corresponde numéricamente a la longitud de

QP donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonométrica).

1. Es una función acotada ∀α : -1≤ senα ≤ 1 o sen 1α ≤

2. Valores de los ángulos limites.

sen 0o = 1

sen 90o = 0

sen 180o = -1

sen 270o = 0

sen 360o = 1

3. Los signos de la ordenada de P dan los signos de la función sen α de

acuerdo al cuadrante en que queda P.

+ +

- -

P

x

y

1

1 -1

-1

α

•

O Q

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4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez

que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo o360

o 2 π rad.

sen ( ok 360α + ) = sen α o sen ( ok 360α + ) = sen α

k ∈ , k representa una vuelta completa.

5. Consideraciones geometricas llevan a: sen (-α ) = - sen α propiedad

que se expresa diciendo que la función sen α es una función impar.

6. Su representación gráfica es:

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II)LA FUNCION COSENO

La función coseno del α se define como la abscisa del punto P:

cos α = OQ

El valor de la función cos α corresponde numéricamente a la longitud de

OQ donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonometrica).

1. Es una función acotada ∀α : -1≤ cosα ≤ 1 o cos 1α ≤


cos 0o = 1

cos 90o = 0

cos 180o = -1

cos 270o = 0

cos 360o = 1

3. Los signos de la abscisa de P dan los signos de la función cos α de

acuerdo al cuadrante en que queda P.

+ -

+ -

x

y

P

O Q α

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4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez

que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo o360

o 2 π rad.

cos ( ok 360α + ) = cos α o cos ( ok 360α + ) = cos α k ∈

k representa una vuelta completa.

5. Consideraciones geométricas llevan a: cos (-α ) = cos α propiedad que

se expresa diciendo que la función cos α es una función par.


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III) LA FUNCION TANGENTE

Para definir la función tg α es necesario trazar una tangente a la

trigonometrica en el punto (1,0) y prolongar OP en uno u otro sentido

hasta que la corte en M.

La tangente del α se define como la ordenada del punto M.

tg α = QM

El valor de la función tg α corresponde numéricamente a la longitud de

MP.

1. No es una función acotada tg α puede tomar cualquier valor en


tan 0o = 0

tan 90o = ∃/

tan 180o = 0

tan 270o = ∃/

tan 360o = 0

3. Los signos de la tan α de acuerdo al cuadrante

+ -

- +

x

P

O

y

Q

M

α

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4. Función periódica periodo o180 o π rad.

tan ( ok 180α + ) = tan α o tan ( kα + π ) = tan α k ∈

5. Función impar tan (-α ) = - tan α


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Funciones de ángulos compuestos.

Teorema: ∀ α

sen(α + β ) = senα cos β + senβ cosα

sen(α − β ) = senα cosβ - senβ cosα

cos(α + β ) = cosα cosβ - senα senβ

cos(α − β ) = cosα cosβ +senα senβ

tg (α + β ) = tg tg1 tg tg

α + β− α β

tg (α − β ) = tg tg1 tg tg

α − β+ α β

cot (α + β ) = cot cot 1

cot cotα β −

β+ α

cot (α − β ) = cot cot 1cot cot

α β +β − α

Funciones de múltiplos y submúltiplos de un ángulo

Teorema: ∀ α :

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos2 α - sen2 α

= 2cos2 α - 1

= 1 – 2 sen2 α

tg 2α = 22 tg

1 tgα

− α

sen 3α = 3 sen α - 4 sen 3 α

cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α

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Teorema:

sen α = 2 sen 2α

cos 2α

cos α = cos2 2α

- sen2 2α

= 2 cos2 2α

- 1

= 1 – 2 sen2 2α

Teorema:

sen α = 1 cos 2

2− α

±

cos α =1 cos 2

2+ α

±

tg α =1 cos 21 cos 2

− α±

+ α

Suma de funciones homónimas

Teorema: ,∀ α β

sen sen 2 sen cos2 2

α +β α −βα + β =

sen sen 2 cos sen2 2

α +β α −βα − β =

cos cos 2 cos cos2 2

α +β α −βα + β =

cos cos 2 sen sen2 2

α +β α −βα − β = −

de 60

Ecuaciones trigonometricas

Son ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) donde la variable o incógnita figura

en el argumento de las funciones trigonometricas. Resolverla es encontrar los

conjuntos de ángulos que la satisfacen.

Conviene representar aproximadamente la situación en la circunferencia

trigonometrica para encontrar esos conjuntos.

Ejemplo 1:

Resolver sen x = 12

R) Solución principal x = 30o.

La solución general : o o

o o

x 30 k 360x 150 k 360

= +

= +

Ejemplo 2:

Resolver tan x = 2

R) Solución principal 63o

La solución general : x = 63 o + k 180o (k ∈ )

Ejemplo 3:

Resolver : sen ( 2 x ) tg ( x ) = 1

R)

2 sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 1

sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 12

sen2 ( x ) = 12

30o 150o

x

y

63o

x

y

de 60

sen ( x ) = ± 12

arcsen ( )5,0 = 45º

x1 = 45º + 360º k ( k ∈ )

x2 = 135º + 360º k ( k ∈ )

arcsen 1–2

= – 45º

x3 = 225º + 360º k ( k ∈ )

x4 = 315º + 360º k ( k ∈ )

Solución general: x = 45º + 90º k ( k ∈ )

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS

Teorema de los senos

a b c 2rsen sen sen

= = =α β γ

Teorema del coseno (Teorema general de Pitágoras)

En todo triangulo

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c2= a2 + b2 – 2ab cos γ

α β

γ

A c

b a

C

B

r

B A

C

α β

γ

de 60

INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA PLANA

1-. INTRODUCCION.

La Geometría Analítica tiene por objeto el estudio de las relaciones que

existen entre las curvas y las ecuaciones que las representan, estableciendo

las correspondencias que existen entre las propiedades geométricas de esas

curvas y las características de sus ecuaciones.

2-. GENERALIDADES.

Las representaciones gráficas, características de las curvas, relaciones entre

puntos, puntos y curvas, rectas y puntos,......se estudiarán en el Plano

Cartesiano, cuyos Ejes Coordenados serán perpendiculares: Sistema

Ortogonal.

Este sistema Cartesiano Ortogonal, esta formado por dos rectas

perpendiculares que se cortan. El punto en que se cortan : Origen . La recta

horizontal es la recta numérica orientada de izquierda a derecha. La recta

vertical es la recta numérica orientada de abajo hacia arriba. Ambas rectas

se cortan en el punto correspondiente al 0. Se pueden usar escalas

diferentes para ambos ejes.

El eje horizontal: Eje de las Abscisas, Eje de las x o Eje OX.

El eje vertical: Eje de las Ordenadas, Eje de las y o Eje OY.

Un punto queda caracterizado o determinado por sus coordenadas. Si A

(xA,yA), la abscisa de A es xA y su ordenada es yA, existiendo una

correspondencia biunívoca entre par ordenado de números reales y punto

del plano cartesiano.

A

x

y

xA

yA •

de 60

Los ejes OX y OY dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes

numerados como se indica en la figura.

REPRESENTACION GRAFICA EN GENERAL

Utilizaremos el plano cartesiano para representar: puntos, relaciones y

funciones. Estas últimas las denotaremos y = f (x) o f (x,y) = 0.

Un punto P (xp, yp) pertenece o está sobre la curva de ecuación y = f (x) si y

sólo si las coordenadas del punto P satisfacen ( o verifican ) la ecuación

y = f (x)

Ej.- El punto P (0,1) pertenece a la curva y = x2 + 1 ya que 1 = 02 + 1. En

cambio el punto (1,1) no está sobre la curva.

Para representarlas en forma aproximada, seguiremos las normas:

1. Determinar el dominio (Regla del Máximo Dominio ) y el recorrido cuando

sea posible.

2. Determinar los puntos en que la curva corta a los ejes coordenados:

Con x = 0 : las ordenadas de los puntos en

que la curva y = f (x) corta al eje OY.

I II

III IV O

x

y

de 60

Con y = 0 : las abscisas de los puntos en que

la curva y = f (x) corta al eje OX.

3. Determinar si la curva tiene simetrías respecto de los ejes coordenados o

del origen :

1) La curva y = f (x) tiene Simetría Axial

respecto del eje:

a) OY, si y sólo si al cambiar en la ecuación

de la curva x por - x, ésta ecuación no

cambia

b) OX, si y sólo si al cambiar en la ecuación

de la curva y por -y, ésta ecuación no

cambia

2) La curva y = f (x) tiene Simetría Central

respecto del origen O, si al cambiar x por

-x , e y por -y en la ecuación, ésta no

cambia.

de 60

4. De acuerdo al dominio y simetrías ( si las hay) construir una tabla de

valores (conjunto de pares ordenados pertenecientes a la relación) para

comenzar a bosquejar la curva. De acuerdo a ésta tabla se escogen las

escalas para los ejes coordenados.

5. Se representan gráficamente los puntos, agregando nuevas parejas a la

tabla de valores si es necesario. Se unen los puntos encontrados

(interpolan) con una curva "suave".

Intersección de dos curvas:

Los puntos de intersección de dos curvas de ecuaciones y = f (x) , y = g (x) se

encuentran resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones.

Cada solución del sistema da las coordenadas de cada punto de intersección.

Si el sistema no tiene solución : las curvas no se cortan.

3-. RELACIONES ENTRE PUNTOS

Distancia entre dos puntos

Las distancias en geometría analítica se consideran siempre mayores o iguales

a 0, pero nunca negativas.

y f ( x )y g( x )

= =

de 60

Teorema.- La distancia entre los puntos A(xA,yA), B(xB,yB) es:

Si el segmento que une los puntos es paralelo (o coincidente)

con uno de los ejes coordenados, su distancia puede calcularse como:

d = Abscisa Mayor - Abscisa Menor, si es paralelo a OX.

d = Ordenada Mayor - Ordenada Menor , si es paralelo a OY.

Punto de división

Punto de división : es el que divide a un segmento en una relación dada.

Sea P(x,y) un tercer punto que divida al segmento en la relación

1

2

P P rP P

=

( ) ( )2 2A B A Bd x x y y= − + −

P1

P2

P

x1

y1

y

y2

x x2 x

y

O

xA xB

yA

yB

A

B

x

y

O

d

de 60

Como P1P y PP2 son del mismo sentido la relación es positiva.

En caso contrario la relación es negativa.

Teniendo en cuenta los triángulos semejantes

Si P(x,y) es el punto medio del segmento P1 P2, r = 1, entonces :

son las coordenadas del punto medio

Area de un triángulo.

Las áreas en geometria analitica son siempre mayores o iguales a 0.

Teorema.- El área de triángulo de vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3) es

igual al valor absoluto de:

observaciones -.

Para calcular él área de un polígono, se descompone en triángulos parciales

( )

( )

1

2

2 1

2 1

2 1

2 1

1 2

x xrx x

despejando xr x x x xr x r x x xr x x r x xr x x x r 1

x r xx1 r

−=

−

⋅ − = −

⋅ − ⋅ = −

⋅ + = ⋅ +

⋅ + = ⋅ +

+ ⋅=

+

( )

( )

1

2

2 1

2 1

2 1

2 1

1 2

y yry y

despejando yr y y y yr y r y y yr y y r y yr y y y r 1

y r yy1 r

−=

−

⋅ − = −

⋅ − ⋅ = −

⋅ + = ⋅ +

⋅ + = ⋅ +

+ ⋅=

+

1 2 1 2x x y yx y2 2+ +

= =

1 1

2 2

3 3

x y 11 x y 12

x y 1⋅

de 60

Tres puntos están alineados o en línea recta ( colineales sí el triángulo que

ellos forman tiene área 0, sus coordenadas deben cumplir:

4-. LA LÍNEA RECTA.

a) Ecuación General de una Línea Recta.

Teorema-. Toda ecuación de las formas:

Tiene por representación grafica en 2 a una línea recta, y reciprocamente.

En el primer caso: la ecuación representa a una recta oblícua respecto de

los ejes coordenados.

En el segundo caso : una recta paralela al eje OY.

En el tercer caso : una recta paralela al eje OX.

1 1

2 2

3 3

x y 1x y 1 0x y 1

=

( ){ }( ){ }

a x b y c 0 ; a,b {0}x k o x,y / x k y

y k o x,y / y k x

+ + = ∈ −

= = ∀

= = ∀

O x

y

O x

y

O x

y

de 60

b) Ecuación Principal de una Línea Recta.

Se obtiene al despejar la variable y en la ecuación ax + by + c = 0.

La ecuación que se obtiene es de la forma y = mx + n , con m, n ∈ .

Teorema.- En y = mx + n:

m = tg ∝ , donde ∝ es el ángulo que forma la recta con el eje OX medido

desde OX.

n : Ordenada del punto en que la recta corta al eje OY.

m : Coeficiente angular, Pendiente o Inclinación de la recta.

n : Coeficiente de posición.

Rectas Paralelas y Perpendiculares.

Teorema .- 1) Dos o más rectas son paralelas si solo si sus pendientes son

iguales

2) La recta y = m 1 x + n1 es perpendicular a la recta

y = m 2 x + n2, si sólo si:

c) Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Teorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

siempre que la recta P1P2 no sea paralela a uno de los ejes

coordenados.

Observación .- La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1), P2(x2,y2) es:

1 1

1 2 1 2

y y x xy y x x

− −=

− −

1 2

1 2

y ymx x

−=

−

de 60

d) Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene dirección m.

Teorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y tiene dirección

m es: y - y 1= m ( x- x1)

5-. LA CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos

variables. Pero, no toda ecuación de este tipo representa siempre una

circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto.

Una circunferencia queda determinada si se conocen su centro y radio.

La ecuación de la circunferencia de centro (h,k) y radio r es:

( x - h )2 + ( y - k )2 = r2

Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma:

x2 + y2 = r2

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

de 60

Donde el centro es el punto:

El radio r es :

D E,2 2

− −

2 21r D E 4F2

= + −

de 60

SECCIONES CONICAS

INTRODUCCION.

Dada una recta L fija en el espacio y una recta ,

L

que la corta en un punto P. Si se hace girar ,

L en el

espacio manteniendo P y el ángulo α que ,

L forma

con L, ,

L genera una superficie llamada un Cono

Completo de Revolución ( dos conos huecos

unidos).

L : Eje del cono ,

L : Generatriz del cono.

P : Vértice cúspide del cono.

Definición: se llaman secciones cónicas, a las curvas que se obtienen al

interceptar (seccionar) un Cono Completo de Revolución con un plano.

Desde el punto de vista geométrico, hay tres maneras esencialmente

diferentes de seccionar el cono, lo que da origen a tres tipos o tres familias de

las secciones cónicas:

1) La Familia Elipse : Las elipses se obtienen cuando el plano al cortar el

cono corta a todas las generatrices, la que origina curvas cerradas

ubicadas cada una de ellas a un lado del vértice del cono. La

circunferencia es un caso especial de la elipse: cuando el plano es

perpendicular al eje del cono.

2) La Familia Parábola: las parábolas se obtienen al cortar el cono con

un plano paralelo a una generatriz. Se originan curvas abiertas ubicadas

cada una de ellas a un solo lado del vértice del cono.

3) La Familia Hipérbola: las hipérbolas se obtienen al cortar el cono con

un plano paralelo al eje del cono. Son curvas abiertas compuestas de

dos ramas, cada una de ellas ubicadas a distinto lado del vértice del

cono.

L

α P

,L

de 60

Observación :

Estas curvas aparecen frecuentemente en las restantes ciencias. Ej. : las

orbitas de los planetas, satélites artificiales, orbitas en átomos, ... son elipses.

Las trayectorias de los cohetes, cometas, proyectiles, ....son parábolas. En

choques de partículas elementales en física muchas trayectorias son

hipérbolas,....etc.

LAS SECCIONES CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS.

Definición: El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un

punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o

simplemente cónica.

El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación

constante excentricidad que, se representa por la letra e.

Si e < 1 la cónica se llama elipse.

Si e = 1 la cónica se llama parábola.

Si e > 1 la cónica se llama hipérbola.

Elipse Parábola Hipérbola

de 60

LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia a dos

puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Sean los dos puntos fijos F( c, 0) y F ′ (-c,0) y 2a la suma constante .

Consideremos un punto genérico P(x,y) que pertenezca al lugar.

Entonces: F ′P + P F = 2a

Resolviendo esta ecuación se llega a :

Como esta ecuación contiene potencias pares de x e y, la curva es simétrica

con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen. El

punto O es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje

menor.

Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0,c) y (0,-c), el eje mayor

estaría sobre el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma :

2 2

2 2

x y 1a b

+ =

V x F F ′

P

V ′

D D′

y

a

O b

c

a

F F ′ x

y

a a

P

2 2

2 2

x y 1b a

+ =

de 60

La excentricidad es:

Las ecuaciones de las directrices son:

Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices son:

Se denomina lado recto de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor por

uno de sus focos. Su longitud es :

Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.

Si el centro de la elipse es el punto (h,k) y el eje mayor tiene la dirección del

eje x, la ecuación de la elipse es de la forma:

O bien si el eje mayor es paralelo al eje y es de la forma:

2 2a bcea a

−= =

ax 0e

+ =ax 0e

− =

ay 0e

+ =ay 0e

− =

22ba

( ) ( )2 2

2 2

x h y k1

a b− −

+ =

( ) ( )2 2

2 2

x h y k1

b a− −

+ =

de 60

PARÁBOLA.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a

un punto dado y a una recta dada (que pasa por el punto dado ) son iguales.

Donde PF 1PM

=

Resolviendo esta ecuación se llega a : y2 = 4ax

La cuerda CC′ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado

recto. La longitud del lado recto es 4 a.

Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma:

y2 = - 4 ax

Si el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es:

x2 = + 4ay o x2 = - 4ay

Si el centro de la parábola es el punto (h,k) sus ecuaciones son:

( y - k )2 = 4 a( x - h ) o ( y - k )2 = -4 a( x - h )

( x - h )2 = 4 a( y - k ) o ( x - h )2 = -4 a( y - k )

Que desarrolladas adquieren la forma :

x = ay2 + by + c o y = ax2 + bx + c

P(x,y)

F(a,0)

D

O

M C

C′

de 60

LA HIPERBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a

los puntos fijos F(c,o) y F (-c, 0) es constante e igual a 2 a

F′P - PF = 2 a

Resolviendo esta ecuación se obtiene:

Si los focos fueran (0,c) y (0, -c), la ecuación sería de la forma:

2 2

2 2x y 1a b

− =

2 2

2 2

y x 1a b

− =

a O F(c,0) F′(-c,0)

A(a,0)

B(0,b)

B′

A′ c b

de 60

La expresión general de centro en el origen y cuyos focos estén sobre los ejes

coordenados es:

correspondiendo el signo mas cuando los focos pertenezcan al eje x.

La curva es simétrica con respecto a los ejes x e y y con respecto al origen.

A A′ eje real de longitud 2 a

B B′ eje imaginario de longitud 2 b.

La excentricidad es:2 2a bce

a a+

= =

Las ecuaciones de las directrices son:

axe

= ± cuando los focos están sobre el eje x,

aye

= ± cuando los focos están sobre el eje y.

La longitud del lado recto es:22b

a

Las ecuaciones de las asíntotas son:

by xa

= ± cuando el eje real es x,

ay xb

= ± cuando el eje real es y

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h,k).

Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es:

2 2Ax B y 1,− = ±

( ) ( )2 2

2 2

x h y k1

a b− −

− =

de 60

Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es:

Las ecuaciones de las asíntotas son:

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los

coordenadas x e y es: Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0. Siendo A y B del mismo

signo.

( ) ( )2 2

2 2

y h x k1

a b− −

− =

( )by k x h si el eje real es paralelo al eje xa

− = ± −

( )ay k x h si el eje real es paralelo al eje yb

− = ± −

de 60

GUIA DE EJERCICIOS N°1

1-. Realice la gráfica de las siguientes funciones:

2-. Hallar la distancia entre:

a) (-2,3) y (5,1)

b) (6, -1) y (-4, -3)

3-. Demostrar que los puntos A (3,8), B (-11,3), C (-8, -2) son los vértices de

un triángulo isósceles.

4-. Demostrar que los puntos A (7,5), B (2,3), C (6, -7) son los vértices de un triángulo

rectángulo. Hallar el área del triángulo rectángulo.

5-. Demostrar que tres puntos dados son colineales : A (-3, -2), B (5,2),

C (9,4).

3

2

3 x

y

x2

2

x si x 0a) f(x) 3 j) f(x) 2x si 0 x 5

2x 20 si x 5

b) f(x) 2x k) f(x) lnxc) f(x) x l) f(x) ed) f(x) 3x 6 m) x 2

4e) f(x) x 5x 6 n) f(x)5

f ) f(x) 3x 6 o) f(x) 2sen xx 2g) f(x) p) f(x) sen3xx 3

2h) f(x) q) f(x3x 1

≤= − = < <− + ≥

= =

= =

= − − =

= + + =

= − =

+= =

−

=+

2

) cos2x

2x 3 si x 0i) f(x) x 3 si 0 x 2 r) f(x) 2cos x

7 si x 2

=

+ <= + ≤ < = ≥

de 60

6-. Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7), B (8,6),

C (7, -1)

7-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y) que divida al segmento

determinado por Q (1.7) y R (6, -3) en la relación r=2/3.

8-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y ) que divida al segmento

determinado por Q (-2, 1) y R (3, -4) en la relación r = -8/3.

9-. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro Q (-4, 1) es R

(2, 6). Hallar las coordenadas P(x, y) del otro extremo.

10-. Hallar dos puntos Q y R que dividan al segmento que une A (3, -1) con B

(9, 7) en tres partes iguales.

11-. Hallar las coordenadas del extremo C (x, y) del segmento que une este

punto con A (2, -2) sabiendo que el punto B (-4,1) está situado a una

distancia de A a las tres quintas partes de la longitud total del segmento.

12-. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P (x, y) llamado

baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia dé cada uno de

ellos al punto medio del lado opuesto. Hallar las coordenadas del

baricentro de un triángulo cuyos vértices tienen de coordenadas A(xA, yA),

B (xB, yB), C (xC, yC).

de 60


1. Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos:

a) (2, -3) y (4, 2). Sol. 5x - 2y - 16 = 0.

b) (0, 0) y (5, -3). Sol. 3x + 5y = 0.

c) (5, -3) y (5, 2). Sol. x - 5 = 0.

d) (-5, 2) y (3, 2). Sol. y - 2 = 0.

2. En el triángulo de vértices A(-5, 6), B(-1, -4) y C(3, 2), hallar,

a) las ecuaciones de sus medianas,

Sol. 7x + 6y - 1 = 0, x + 1 = 0 x - 6y + 9= 0.

b) el punto de intersección de las mismas. Sol. (-1, 4/3).

3. a) Hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo del Problema 3.

Sol. 2x + 3y - 8 = 0, 2x - y - 2 = 0, 2x - 5y + 4 = 0.

b) Hallar el punto de intersección de dichas alturas.

sol. (7/4, 3/2)

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa

en el origen es el doble que la ordenada en el origen.

Sol. x + 2y - 8 = 0.

5. Hallar el valor del parámetro K para que la recta de ecuación

2x + 3Ky - 13 = 0 pase por el punto (-2, 4). Sol. K = 17/12.

6. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su

punto de intersección con 3x - 2y + 8 = 0. Sol. 7x - 2y + 16 = 0

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas 3x - 5y + 9 = 0 y 4x + 7y - 28 = 0 y cumple la condición siguiente:

de 60

a) Pasa por el punto (-3, -5).

b) Pasa por el punto (4, 2).

c) Es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = 0.

d) Es perpendicular a la recta 4x + 5y - 20 = 0

de 60


1-. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (5, -2) y que pasa

por (-1,5).que tiene por diámetro el trazo que une (-3,5) y (7,-3). que

pasa por (4,5), (3,-2), (1,-4).

2-. Determinar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus

rectum de la parábola 3y2 =8x.

3-. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto ( 6, - −2 ) y

directriz la recta x - 2 = 0. Hallar la longitud del lado recto.

4-. Determinar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3,2) y foco

(5,2).

5-. Dada la elipse 9x2 + 16y2 = 576 hallar el semi eje mayor, el semi eje

menor, la excentricidad, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de

las directrices y la longitud del lado recto.

6-. Determinar la ecuación de la elipse de centro el origen, foco en el punto

(0,3) y semi eje mayor igual a 5.

7-. Hallar la ecuación de elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x y

que pase por los puntos (4,3) y (6,2).

8-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al

punto (4,0) es igual a la mitad de la correspondiente a la recta x - 16 = 0.

9-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya suma

de distancias a los puntos fijos (4,2) y (-2,2) sea igual a 8.

10-. Calcular la ecuación de hipérbola de vértices (±6,0) y asíntotas y = ± 2 x.

11-. Un punto se mueve de modo que la suma a los puntos (4,2), (-2,2) es de

8 unidades. Encontrar la ecuación de la cónica descrita por el punto e

identificarla.

12-. Identificar 3y2 –8x = 0 . Encontrar excentricidad y directriz.

01 geometria

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